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Chap11 Box-Jenkins Seasonal modeling 11.1 Modeling for seasonal series. 含有季節變動的序列,有週期現象,在期數點的自相關係數是強烈的。若對週期數差分,可降低季節因素波動。 Z t = (1-B L ) Y t , L 為季節的週期. 同時含有長期走勢及季節變動的序列,可用一次差分及週期數差分來轉為一平穩序列 Z t = (1-B) (1-B L ) Y t , L 為季節的週期. - PowerPoint PPT Presentation
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Chap11 Box-Jenkins Seasonal modeling
11.1 Modeling for seasonal series
含有季節變動的序列,有週期現象,在期數點的自相
關係數是強烈的。若對週期數差分,可降低季節因素波動。
Zt = (1-BL) Yt , L 為季節的週期同時含有長期走勢及季節變動的序列,可用一次差分及週
期數差分來轉為一平穩序列
Zt = (1-B) (1-BL) Yt , L 為季節的週期
qLtqLtLtt ...-Z 221t
季節變動序列之 MA 模式:
acf 在 L, 2L, …, qL 有非 0 之值, pacf 在 L, 2L, …,
呈現漸漸消失的表象
季節變動序列之 AR 模式: pacf 在 L, 2L, …, qL 有非 0 之值, acf 在 L, 2L,
…, 呈現漸漸消失的表象
qLtqLtLtt ZZZ ...Z 221t
Constant Seasonal Variation
2.25
2.3
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
2.65
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172
[ 例 1] 固定季節變化的 ARIMA 建模
178 筆月資料,有 trend ,固定季節變化。其 acf 及 pacf 如下
1t -Z tt YY
因有長期走勢,不為平穩序列,做差分轉換後, acf 及 pacf 如下
acf 接近漸漸消失型,但因為此序列有季節變因存在,在時差 k=12 處, acf 值未能快速消失,造成不平穩性仍在。
若要消除季節變因產生的不平穩性,做時差 12 的差分轉換後, acf 及 pacf 如下
時差 k=12 的相關性不見了,但 acf 仍接近漸漸消失型,造成不平穩性仍在。
12t -Z tt YY
1312112
t -)1)(1(Z ttttt YYYYYBB
綜合以上觀察,對有 trend ,及季節變因的序列,做時差 1 及 12 的差分轉換,可消去此二因素的影響,得到一平穩序列 。 (SAS_ARIMA
中,在 difference 處指定 1, 12)
Zt 之 acf 及 pacf 如下
為建立 Zt 之 ARIMA 模式,觀察 Zt 之 acf 及 pacf , 在時差 lag=12
有影響,對 acf 是截斷型, pacf 是漸消失的,偏向是 MA 模式。其它影響並不明顯。嘗試用 MA(12), 及 AR(12) 來配適。
時差 1 及 12 的差分轉換後,以 MA(12) 配適 ( 設 μ=0) :
Model for variable LnY
Period(s) of Differencing
1,12
No mean term in this model.
Moving Average Factors
Factor 1: 1 - 0.29572 B**(12)
Autocorrelation Check of Residuals
To Lag Chi-Square
DF Pr > ChiSq
Autocorrelations
6 3.56 5 0.6137 0.073 -0.006 0.028 -0.047 0.021 0.109
12 7.37 11 0.7683 0.000 0.087 0.114 0.002 -0.030 0.007
18 14.70 17 0.6169 -0.123 0.045 -0.013 0.128 0.070 -0.038
24 18.99 23 0.7018 -0.128 -0.025 0.025 -0.016 0.062 -0.025
30 22.44 29 0.8017 -0.093 0.014 -0.069 -0.040 0.046 0.005
Variance Estimate 3.913E-6
Std Error Estimate 0.001978
AIC -1585.18
SBC -1582.08
Number of Residuals 165
Conditional Least Squares Estimation
Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
ApproxPr > |t|
Lag
MA1,1 0.29572
0.07509 3.94 0.0001 12
時差 1 及 12 的差分轉換後,以 AR(12) 配適 ( 設 μ=0) :
Conditional Least Squares Estimation
Parameter
Estimate
Standard Error
t Value
ApproxPr > |t|
Lag
AR1,1 -0.26250
0.07741 -3.39 0.0009
12
Variance Estimate 3.953E-6
Std Error Estimate 0.001988
AIC -1583.53
SBC -1580.43
Number of Residuals 165
Autocorrelation Check of Residuals
To Lag Chi-Square
DF Pr > ChiSq
Autocorrelations
6 3.80 5 0.5789 0.079 -0.007 0.029 -0.048 0.026 0.110
12 7.52 11 0.7557 0.007 0.081 0.114 -0.005 -0.027 -0.025
18 14.96 17 0.5985 -0.123 0.037 -0.025 0.126 0.068 -0.054
24 20.84 23 0.5910 -0.130 -0.029 0.021 -0.024 0.061 -0.091
30 24.28 29 0.7151 -0.090 0.009 -0.070 -0.044 0.046 0.004
Model for variable LnY
Period(s) of Differencing
1,12
No mean term in this model
Autoregressive Factors
Factor 1: 1 + 0.2625 B**(12)
Forecasts for variable LnY
Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits
179 2.6069 0.0020 2.6031 2.6108
180 2.6119 0.0028 2.6064 2.6174
181 2.5865 0.0034 2.5798 2.5932
182 2.5816 0.0040 2.5739 2.5894
183 2.5851 0.0044 2.5764 2.5938
184 2.5946 0.0048 2.5851 2.6041
185 2.6045 0.0052 2.5942 2.6148
186 2.6099 0.0056 2.5989 2.6208
187 2.6094 0.0059 2.5978 2.6211
188 2.6126 0.0063 2.6003 2.6248
189 2.6131 0.0066 2.6002 2.6259
190 2.6158 0.0069 2.6023 2.6292
252413121
1212
296.0296.0296.1296.1
)1)(1)(296.01(
tttttt
tt
YYYYY Yor
YBBB
決選預測式為:
註:之前觀察到序列 Yt 之 pacf 中,在 lag=13, 25 之值顯著
預測結果圖
季節變化可能是原型不變,但逐年有變化愈來愈大的
趨勢,這類序列稱為遞增季節變化的序列 之前我們藉函數轉換,將遞增季節變化的序列轉為固
定季節變化的序列,但如果我們使用差分運算,也能使序
列轉為一平穩序列
11.2 Modeling for increasing seasonal variation
此序列呈現 Increasing seasonal variation, 經對數轉換後為一固定季節變化的序列 ,如下圖
Y
400
800
1200
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 156 161 166
Exp 2. Hotel monthly room average
Ln (y)
2.5
2.8
3.1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
經由差分轉換,雖可消除它的不平穩性,但是遞增季節變化的特性仍然存在,故先轉換為固定變化序列,再建立 ARIMA 模式比較適宜。
Diff_hotel-room
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 156 161 166
[ 例 2] Hotel monthly room average --- Series with linear trend and increasing seasonal variation
Y
400
800
1200
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 156 161 166
步驟一、取 .25 次方轉換,使季節原型固定 , Y* 有直線走勢及季節變動
Y* = (Y).25Ystar
4.00
5.00
6.00
1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161
ACF for Y*
Acf 在週期 12 呈現緩慢消失,為非穩定型 (nonstationary) 。需做週期差分轉換
*12-t
**t Y-Z tY步驟二
對一般週期,在 lag =1, 3, 5 時,相關係數 非 0 , acf dies down, pacf cuts off, 為 AR 型,對季節週期, lag =12 時, acf cuts off, pacf dies down ,為 MA 型。
Dickey-Fuller Unit Root Tests
Type Lags Rho Pr < Rho
Tau Pr < Tau
F Pr > F
Zero Mean 0 -40.8001
<.0001 -4.72 <.0001
Single Mean
0 -127.261
0.0001 -10.18 <.0001 51.87 0.0010
Trend 0 -129.457
0.0001 -10.27 <.0001 52.75 0.0010
Conditional Least Squares Estimation
Parameter Estimate Standard Error t Value ApproxPr > |t|
Lag
MU 0.04259 0.0010110 42.12 <.0001 0
MA1,1 0.47634 0.07690 6.19 <.0001 12
AR1,1 0.23242 0.07859 2.96 0.0036 1
AR1,2 -0.22301 0.07909 -2.82 0.0055 3
AR1,3 -0.15263 0.07984 -1.91 0.0578 5
AIC= -696
Autoregressive Factors
Factor 1: 1 - 0.23242 B**(1) + 0.22301 B**(3) + 0.15263 B**(5)
Moving Average Factors
Factor 1: 1 - 0.47634 B**(12)
步驟三 .1 AR(1,3,5) MA(12)
模式分析
步驟三 .2 AR(1,3) MA(12)
AIC= -694
Autoregressive Factors
Factor 1: 1 - 0.26238 B**(1) + 0.24054 B**(3)
Moving Average Factors
Factor 1: 1 - 0.50769 B**(12)
Conditional Least Squares Estimation
Parameter Estimate Standard Error t Value ApproxPr > |t|
Lag
MU 0.04260 0.0011256 37.84 <.0001 0
MA1,1 0.50769 0.07404 6.86 <.0001 12
AR1,1 0.26238 0.07847 3.34 0.0010 1
AR1,2 -0.24054 0.07891 -3.05 0.0027 3
步驟三 .3 MA(1,3,12)
Moving Average Factors
Factor 1: 1 + 0.20059 B**(1) - 0.20126 B**(3) - 0.48116 B**(12)
AIC= -690.6 , residual 之 PACF 有出現非 0 之值
AIC= -683.6 , residual 之 PACF 有出現非 0 之值
Autoregressive Factors
Factor 1: 1 - 0.14788 B**(1) + 0.24255 B**(3) + 0.36203 B**(12)
步驟三 .4 AR(1,3,12)
步驟四 選擇 AR(1,3) MA(12) 為預測式
Y* = (Y).25
t12*123 )0.508B-(1)B-)(10.241B0.262B-(1 tY
Y* 之預測圖