Chap2 Poly

8/17/2019 Chap2 Poly

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Algèbre de Boole et fonctions logiques Introduction et définitions

1. Introduction et définitions :

Introduction :

Les machines numériques sont constituées d’un

ensemble de circuits électroniques.

Circuit A

F(A,B)

B

Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir

un modèle mathématique de la fonction réalisée.

Adil Brouri 1


Ce modèle utilise le système binaire.

Le modèle mathématique utilisé est celui de

Boole.

Définitions et conventions :

Une variable booléenne ou logique est une variable

binaire (qui prend la valeur 0 ou 1).

Exemples de systèmes à deux états (booléens ) :

• Un interrupteur. • Une lampe. • Une porte.Adil Brouri

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Remarque : On utilise les conventions suivantes :

OUI VRAI (true) 1 (Niveau Haut)

NON FAUX (false) 0 (Niveau Bas)

⇒ L’étude d’un système logique nécessite de préciser

le niveau des tensions de travail :

Niveau Logique positive Logique négative

H (haut ) 1 (+E) 0

L (bas ) 0 1 (-E)3


Fonction booléenne ou logique :

C’est une fonction d’une ou plusieurs variables qui

ne prend que deux valeurs 1 ou 0.

Une fonction logique peut être représentée par

une expression algébrique reliant les variables

logiques avec un ensemble d’opérateurs logiques.

Dans l’Algèbre de Boole, il existe trois opérateurs

de base : NON, ET, OU.Adil Brouri

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Algèbre de Boole et fonctions logiques Les fonctions logiques

2. Les fonctions logiques :

Fonction d ’ une variable logique :

Les fonctions d’une seule variable sont :

1( ) 0 F e Fonction nulle.

2 ( ) 1 F e Fonction vraie.

3 ( ) F e e Fonction identité (Oui). e e

4( ) F e e Fonction complémentation

(Non). eeAdil Brouri

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2. Les fonctions logiques :

Fonction d ’ une variable logique :

• Fonction identité (Oui ) :

e e

e S

0 0

1 1

Adil Brouri 6


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• Fonction d’inversion NON (négation ) :

C’est un opérateur qui a pour rôle d’inverser la

valeur d’une variable :

A AF(A)= Non(A) = A

Table de vérité :A

0 1

1 0

A

Adil Brouri 7


Fonction à deux variables :

• La fonction ET (AND ) :

Il réalise le produit logique entre deux variables

booléennes : F(A,B) = A . B A

B

A .B

A B A . B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1 Adil Brouri 8


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• La fonction OU (OR) :

Il réalise la somme logique entre deux variables

booléennes : F(A,B) = A + B

⇒ Il ne faut pas confondre avec la somme

arithmétique.A

BA +B

A B A + B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1 Adil Brouri 9


Autres opérateurs logiques :

• OU exclusif (XOR) :( , ) . . F A B A B A B A B

A B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B

A

BA B+

Adil Brouri 10


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• NAND (Non-ET ) :( , ) A . B F A B A B

A B

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

. A B

B A

• NOR (Non-OU ) :( , ) A B F A B A B

B A

A B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

A B

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Les opérateurs logiques :

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Les opérateurs logiques (suite) :

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• Remarque :

Le groupe d’opérateurs (NON, ET, OU) est un groupe

d’opérateurs complet on peut réaliser toute

fonction logique à partir de ses 3 opérateurs.• Exercice :

1 Exprimer les opérateurs NON, ET et OU en

utilisant des portes NAND.

2 Même question pour le NOR.Adil Brouri

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Propriétés des opérateurs fondamentaux :

. A A A

• Idempotence :

A A A

• Involution :

A A

• Absorption :

1 1 A .0 0 A

Adil Brouri 15


• Complémentation :

1 A A . 0 A A

• Elément neutre :

0 A A 1 . A A

• Commutativité :

B A A B . . B A A B

B A A B Adil Brouri

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• Associativité :

A B C A B C A B C

. . . . . . A B C A B C A B C

A B C A B C A B C

• Distributivité : . . . A B C A B A C

. . A B C A B A C

Adil Brouri 17


• Théorème de DE-MORGANE :

Cas de 2 variables :

. A B A B

. A B A B

Cas de plusieurs variables :

. . . . . .

. . . . . .

A B C A B C

A B C A B C

Adil Brouri 18


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• Théorème de Consensus :

Forme ∑ :

. . . . . A B A C B C A B A C

Forme ∑ :

( )( )( ) ( ) .( ) A B A C B C A B A C

Adil Brouri 19


• Autres relations utiles :

. A A B A

. A A B A

. A B A B A

. A A B A B

Adil Brouri 20


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Algèbre de Boole et fonctions logiques Représentation des fonctions logiques

3. Représentation des fonctions logiques :

a-Table de vérité

Si une fonction logique possède n variables

logiques 2 n combinaisons la fonction possède

2 n valeurs.

Les 2 n sont représentées dans une table quis’appelle table de vérité .

Les 2 n combinaisons sont écrites en binairenaturel correspondant à l’ordre décimal croissant.

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Exemple 1 : C B AC B AC B AC B AC B A F ........),,(

(0, 0, 0) 0.0.0 0.0.0 0.0.0 0.0.0 0(0, 0,1) 0.0.1 0.0.1 0.0.1 0.0.1 1

(0,1, 0) 0.1.0 0.1.0 0.1.0 0.1.0 0

(0,1,1) 0.1.1 0.1.1 0.1.1 0.1.1 1

(1, 0, 0) 1.0.0 1.0.0 1.0.0 1.0.0 0

(1,0,1) 1.0.1 1.0.1 1.0.1 1.0

F F

F

F

F

F

.1 1

(1,1,0) 1.1.0 1.1.0 1.1.0 1.1.0 0

(1,1,1) 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1.1.1 1

F

F

Table de vérité

A B C F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

⇒ La fonction possède 3 variables 2 3 combinaisons:

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Exemple 2 : Soit la fonction : ( , , ) . . F A B C A B B C

• Établir la table de vérité de F :Table de vérité

A B C F

0 0 0

0 0 1

0 1 00 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1Adil Brouri 23


b-Table de Karnaugh

C’est une autre représentation de la table devérité.

Si une fonction possède n variables logiques Onfait une partition des variables telle que :

n = l + c avec c ≥ l .

Les 2 l combinaisons écrites sur les lignes et les 2 c

combinaisons sur les colonnes sont en code deGray.

Adil Brouri 24


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• Exemple :

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 01 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

00 01 11 10

0 1

1 1 1 1

BAC

Adil Brouri 25

Algèbre de Boole et fonctions logiques Formes canoniques d’une fonction logique

4. Formes canoniques d’une fonction logique :

a. Définitions :

On appelle forme canonique d’une fonction la

forme où chaque terme de la fonction comportetoutes les variables.

• Exemple : ( , , ) F A B C A BC A C B A BC

Adil Brouri 26


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• 1ère forme canonique : (somme de produits )

Exemple :

( , , ) . . . . . . . . F A B C A B C A B C A B C A B C

• 2 ème forme canonique : (produit de sommes )

Exemple :

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) F A B C A B C A B C A B C A B C

⇒ La première et la deuxième forme canonique

sont équivalentes.Adil Brouri

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b.Fonction d’une seule variable :

1ère forme canonique :

( ) . (1) . (0) f x x f x f

( 0 ) ( 0 ) e t (1) (1) f f f f

2 ème forme canonique :

( ) (0) . (1) f x x f x f

( 0 ) 0 ( 0 ) . 1 (1 ) ( 0 )

e t (1 ) (1)

f f f f

f f

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c. Fonction à deux variables :


. . . .

. . . .

( , ) (1,1) (1, 0 )

( 0 ,1) ( 0 , 0 ) y

f x y x y f x y f

x f x y f


( , ) ( 0 , 0 ) . ( 0 ,1) .

(1, 0 ) .

(1,1)

f x y x y f x y f

x y f

x y f

Adil Brouri 29


d.Fonction à n variables :


1 1 1

1 1

( ,..., ) ... . (1,1,...,1) ... . (0,1,...,1) ...

... . (1,...,1,0) ... ... . (0,...,0)

n n n

n n

f x x x x f x x f

x x f x x f


1 1

1 2

1 2

,..., ... ,..., .

... ,...,

( ) (0 0)

(1 0) . . .

... (1,1,...,1)

n n

n

n

f x x x x f

x x x f

x x x f

Adil Brouri

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A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

: m a x t e r m e A B C

Exemple 2 :

: max t e rme A B C : m ax t e rm e A B C

: min terme. . A BC

: max te rme A B C . . : m in t e rm e A B C

. . : m in t e rm e A B C

. . : m in t e rm e A B C 33

Algèbre de Boole et fonctions logiques Logigramme

6.Logigramme (Schéma d’un circuit logique ):

• C’est la traduction de la fonction logique en un

schéma électronique.

Exemple 1 : Donner l’expression de la fonctionlogique réalisée par le logigramme suivant :

( , , ) . . F A B C A B B C

Adil Brouri 34


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Exemple 2 :

( , , , ) ( ) . ( ) . F A B C D A B B C D A

Adil Brouri 35


Exercice :

i. Donner le logigramme de la fonction suivante en

utilisant uniquement des portes NOR :

. . F A B A B

ii. Refaire le logigramme de F en utilisant des portes

NAND.

Adil Brouri 36

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