Chapitre 1 Poutres et Planchers continus

37 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

Chapitre 1

Poutres et Planchers continus



3.1. Introduction

L’objectif de cette partie est de présenter les méthodes de calcul des sollicitations (moment fléchissant et

effort tranchant) dans les poutres et planchers continus. Comme nous le verrons, ces méthodes sont

adaptées au matériau béton arme puisqu’elles prennent en compte les capacités d’adaptation et le

phénomène d’amortissement du béton arme.

3.2. Particularités liées au Béton Armé

3.2.1 Rappel de Resistance des Matériaux

Une poutre continue est une poutre reposant sur plusieurs appuis successifs pour former un système

hyperstatique.

La continuité de la poutre se traduit par:

Une continuité des déformations, et notamment des rotations.

Des moments sur appuis non-nuls permettant d'assurer cette continuité.

La résolution du système pour une poutre élastique peut être conduit par l’utilisation de la formule des

trois moments (ou méthode de Clapeyron) qui fournie n-2 équations reliant les moments sur appuis (ou n

est le nombre d’appuis), qui permet:

Déterminer les moments sur appuis Mw et Me à partir de la continuité des rotations.

Déterminer les équations du moment fléchissant et de l'effort tranchant le long de la poutre.

Chaque travée peut être étudiée séparément comme une poutre isostatique soumise à deux moments a ces

extrémités, comme indique sur la Figure 3.1.

Figure 3.1 : Principe de résolution d’une poutre continue.

.

Le théorème de superposition permet alors de résoudre ces trois chargements (chargement sur la travée

considérée isostatique et moments à l’appui gauche et à l’appui droit) séparément, on obtient le moment

fléchissant et l’effort tranchant :

𝑀 𝑥 = 𝑚 𝑥 + 𝑀𝑤 1 −𝑥

𝑙 + 𝑀𝑒

𝑥

𝑙 3.1

𝑉 𝑥 = 𝑣 𝑥 +𝑀𝑒 −𝑀𝑤

𝑙 3.2

Moment isostatique de la travée considérée : 𝑚 𝑥 =𝑞𝑙

2𝑥 −

𝑞𝑥2

2

𝐸𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐𝑕𝑎𝑛𝑡 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒: 𝑣 𝑥 =𝑑𝑚 (𝑥)

𝑑𝑥=

𝑞𝑙

2− 𝑞𝑥

𝑉 𝑥 = 0 permet de calculer le moment max en travée considérée



3.2.2 Rappels sur le théorème des 3 moments (formule de Clapeyron)

3.2.2.1 Présentation de la méthode

Les sollicitations le long d’une poutre continue M(x) et V(x) peuvent se calculer travée par

travée en isolant chacune d’elles et en incluant leurs efforts aux appuis (moments de continuité)

dus à cette continuité.

Figure 3.2 : Schéma de calcul travée de référence.

Les sollicitations sont 𝑚 𝑥 𝑖𝑠𝑜 et 𝑣 𝑥 𝑖𝑠𝑜, les moments de continuité sont notés Mi-1 et Mi

Les rotations de la travée i sont notées 𝜔𝑖′ pour l’appui gauche et 𝜔𝑖

′′ pour l’appui droit.

On commence par déterminer les moments sur appuis :

𝑏𝑖𝑀𝑖−1 + 𝑐𝑖 + 𝑎𝑖+1 𝑀𝑖 + 𝑏𝑖+1𝑀𝑖+1 = 𝜔𝑖+1′ − 𝜔𝑖

′′ 3.3

𝑎𝑖 = 2𝑏𝑖 = 𝑐𝑖 =𝑙𝑖

3𝐸𝐼𝑖= 𝐶𝑠𝑡𝑒

𝐼𝑖 : Moment d’inertie de la travée 𝑙𝑖

𝜔𝑖+1′ 𝑒𝑡 𝜔𝑖

′′ rotations sur l’appui ai des travées de références encadrant cet appui

Autant d’équations que d’appuis intermédiaires. Ensuite les sollicitations sont obtenues en

utilisant l’équation 3.1 et 3.2 pour chaque travée.

3.2.2.2 Exemple de calcul

Sachant que M1 et M3 en appui & et 3sont nuls, le théorème des 3 moments nous permet d’écrire

que :

𝑏𝑀0 + 𝑐 + 𝑎 𝑀1 + 𝑏𝑀2 = 𝜔2′ − 𝜔1

′′ = −𝑞𝑙3

24𝐸𝐼−

𝑞𝑙3

24𝐸𝐼

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙

3𝐸𝐼+

𝑙

3𝐸𝐼 𝑀1 =

𝑞𝑙3

12𝐸𝐼 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑀1 = −

𝑞𝑙2

4

Calcul des sollicitations

Pour la travée 1 : en appliquant les équations 3.1 et 3.2 :

Moment dans la travée : 𝑀 𝑥 =3𝑞𝑙

8𝑥 −

𝑞𝑥2

2

𝐸𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐𝑕𝑎𝑛𝑡 ∶ 𝑉 𝑥 =𝑑𝑀(𝑥)

𝑑𝑥=

3𝑞𝑙

8− 𝑞𝑥

Effort normal est nul : N=0

𝑉 𝑥 = 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑥 =3𝑙

8 𝑒𝑡𝑀𝑚𝑎𝑥 =

9𝑞𝑙2

128

ai i-1 i i+1

ai-1 ai+1 li

ai i

ai-1 li 𝜔𝑖′ 𝜔𝑖

′ ′

𝑀𝑖 𝑀𝑖−1 Travée de référence

isostatique

a2 EI q

EI a1 l l a0

𝑅0 = 𝑅2 =3𝑞𝑙

8

𝑅1 =5𝑞𝑙

4

9𝑞𝑙2

128

𝑞𝑙2

4

3𝑞𝑙

8 5𝑞𝑙

8

5𝑞𝑙

8



3.2.3 Phénomène d’adaptation du béton armé

La continuité d’une poutre engendre des moments négatifs sur appuis. On doit donc se poser la

question du comportement du béton armé vis-à-vis de cette continuité.

Pour comprendre le phénomène d’adaptation, nous allons étudier les modes de ruine et les

sollicitations correspondantes de trois poutres en béton armé de même section brute et de même

portée l, et armées par la même section d’acier A0

1-dans le premier cas de figure (poutre 1 de référence), on considère une poutre isostatique sur

deux appuis simples, soumise à l’action d’une charge concentrée P appliquée à mi-portée et a

ses armatures à la partie inférieure. On augmente ensuite la charge P jusqu’à rupture de la poutre.

Elle se comporte comme deux poutres isostatique adjacentes par la création de la rotule plastique

au milieu. A la rupture on a une charge P=Pu et le moment correspondant 𝑀𝑢 =𝑃𝑢 𝑙

4,

a: modèle de poutre b : mode de chargement c : mode de rupture (mécanisme)

Figure 3.3 : Mode de rupture de la poutre de référence.

2- La poutre 2 a le même ferraillage que la première, mais elle est encastrée à ses extrémités.

Lorsque l’on augmente la charge P, On a une fissuration des appuis. La première plastification se

manifeste à l’encastrement, la poutre continue à se déformer jusqu'à apparition de la rotule

plastique à mi travée et on retrouve le comportement de la poutre isostatique étudiée

précédemment. A la rupture le moment 𝑀𝑢 =𝑃𝑢 𝑙

4.

a: modèle de poutre b : fissuration des appuis c : mode de rupture (mécanisme)

Figure 3.4 : Mode de rupture de la poutre 2.

On prend la même poutre bi-encastrée, la section d’armatures A0 est placée en fibre supérieure,

on a une fissuration au milieu de la poutre qui travaille ensuite comme deux consoles nez à nez.

La poutre retrouve le même mécanisme de rupture de la poutre initiale. A la rupture le moment

𝑀𝑢 =𝑃𝑢 𝑙

4

a: modèle de poutre b : fissuration à mi travée c : mode de rupture (mécanisme)

Figure 3.5 : Mode de rupture de la poutre 3.



En comparant ces 3 essais, on conclue que la charge de rupture (identique dans les 3 cas) ne

dépend que de la section d’aciers A0 correspondant au fonctionnement isostatique (sur deux

appuis simples), indépendamment de la position de ces aciers.

D’une manière plus générale, on est assuré d’avoir une marge permettant un transfert partiel de

moment des appuis vers la travée, ou réciproquement, sans que ce transfert compromette la

sécurité vis à vis de la rupture en adoptant :

𝐴𝑡 +𝐴𝑤 + 𝐴𝑒

2≥ 𝐴0

Si l’on multiplie cette inégalité par zb x σst , il vient

puisque l’on a M = A.zb.σst

𝑀𝑡 +𝑀𝑤 + 𝐴𝑀𝑒

2≥ 𝑀0

Figure 3.6 : Ferraillage de principe de la poutre continue.

La fissuration des sections les moins armées permet une redistribution des moments qui diffère

de celle donnée par la théorie de la résistance des matériaux, c’est le phénomène d’adaptation

du béton armé.

Par exemple, dans le cas d’une poutre continue à plusieurs travées, s’il y a fissuration sur appui

(aciers en face supérieur), le moment réel repris par l’appui sera inférieur au moment théorique

calculé par la méthode des 3 moments. Dans ce cas, la redistribution des efforts fait qu’il y aura

une augmentation du moment en travée.

Figure 3.7 : Diagramme du moment avant et après redistribution.

3.2.4 Phénomène d’amortissement

Le béton armé est un matériau qui flue. C’est à dire qu’il continue à se déformer au cours du temps même

si la charge reste constante. Cette déformation de fluage est loin d’être négligeable pour le béton arme

puisqu’elle peut représenter jusqu’à trois fois la déformation instantanée, pour une charge constante et un

temps infini.

Pour les poutres continues, le fluage entraine que l’amortissement est beaucoup plus rapide que pour une

poutre élastique. Par conséquent, on supposera que le moment sur un appui ne dépend que des charges

supportées par les deux travées adjacentes de l’appui considéré, comme indique sur la Figure 3.7.



Figure 3.8 : Comparaison du moment fléchissant dans le cas de la théorie de la RDM et dans le

cas du béton armé.

3.3 Méthodes propres aux BA

En fonction de l’intensité des charges d’exploitation, les méthodes simplifiées de calcul

suivantes sont proposées :

La méthode forfaitaire (annexe E.1 du BAEL) pour les éléments supportant des charges

d’exploitation modérées, décrites ci-après.

La méthode de Caquot (annexe E.2 du BAEL) pour les éléments supportant des charges

d’exploitation élevées décrite dans le chapitre suivant.

La méthode de Caquot minorée (Annexe E.2 du BAEL).

3.3.1 Méthode forfaitaire (Annexe E.1)

3.3.1.1 Conditions d’application

La méthode forfaitaire de calcul des planchers à charge d’exploitation modérée s’applique pour

déterminer les moments sur appui et en travée, si les conditions sont vérifiées.

a. Les charges d’exploitation sont modérées c’est-à-dire où :

qB = somme des charges variables,

g = somme des charges permanentes,

Vérifient : 𝑞𝐵 ≤ 500𝐾𝑔𝑓/𝑚2

𝑞𝐵 ≤ 2𝑔

2. La fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons,

3. les moments d’inertie des sections transversales sont identiques le long de la poutre des différentes

travées,

4. Les portées vérifient les rapports suivants :

0.8 ≤𝑙𝑖𝑙𝑖−1

≤ 1.25 0.8 ≤𝑙𝑖𝑙𝑖+1

≤ 1.25

3.3.1.2 Principe de la méthode – Adaptation

La méthode consiste donc à déterminer des moments sur appuis, Mw et Me, et des moments

entravée Mt grâce à des fractions fixées forfaitairement de la valeur maximale du moment



fléchissant Mo dans la travée de référence (c'est-à-dire considérée isolée et isostatique).

3.3.1.2 Calcul des moments

1-Evaluation des moments isostatique pour chaque travée i

𝑀0𝑖 =𝑝𝑖𝑙𝑖

2

8

Pi=1.35g+1.5qB en état limite ultime

Pi=g+qB en état limite de service

2-Evaluation du paramètre α : 𝛼 =𝑞𝐵

𝑔+𝑞𝐵

3-Valeurs minimales des moments Mt, Me et Mw pour chaque travée

a-Calcul des moments en appui :

La valeur absolue de chaque moment sur appui intermédiaire doit être au moins égale à :

0.6M0 pour une poutre à deux travées,

0.5M0 pour les appuis voisins des appuis de rive d’une poutre à plus de deux travées,

0.4M0 pour les autres appuis intermédiaires d’une poutre à plus de trois travées.

b-Calcul des moments en travées :

Mt ≥ (1 + 0.3 α)M0 /2 dans une travée intermédiaire,

Mt ≥ (1.2 + 0.3 α)M0 /2 dans une travée de rive.

Poutre a deux travées

Ma < 0

Mt > 0

Poutre a plus deux travées

Pour chaque travée les valeurs des moments en travée Mt et sur appui Mw et Me doivent vérifier :

Mti +Mw + Me

2≥ max

1 + 0.3α M0i

1.05M0i

Ce qui se traduit par le schéma suivant :

0 ou 0.15M01

0 ou 0.15M02

0.6 max(M01,M01)

0.15M01

𝑀𝑡1 ≥1.2+0.3𝛼

2𝑀01

𝑀𝑡2 ≥1.2+0.3𝛼

2𝑀02

0 ou 0.15M01

0.5 max(M01,M02)

0.15M01

𝑀𝑡1 ≥1.2+0.3𝛼

2𝑀01

𝑀𝑡2 ≥1+0.3𝛼

2𝑀02

𝑀𝑡3 ≥1+0.3𝛼

2𝑀03

0.4 max(M02,M03)

0.15M01



Remarque

Dans le cas où l’appui de rive est solidaire d’un poteau ou d’une poutre, il convient de disposer

sur cet appui des aciers supérieurs pour équilibrer un moment Ma1 ≥ -0,15 M0.

Mode opératoire

Dans la pratique, on prend la valeur minimale des moments sur appui Mw et Me (en valeur

absolue), puis on calcule Mt par les formules des moments.

3.3.1.3 Arrêt des barres

Lorsque les trois conditions suivantes sont réunies : q ≤ g, les charges sont reparties et les moments sur

appui sont pris à leur valeur absolue minimale (valeurs adoptées), il est alors possible de déterminer de

façon forfaitaire la longueur des chapeaux et l’arrêt des barres, comme indique sur la Figure 52.

Figure 3.9 : Arrêt des barres forfaitaire.

Lorsqu’il n’est pas possible de réaliser l’arrêt forfaitaire des barres, il faut tracer la courbe

enveloppe des moments fléchissant (voir la méthode de Caquot).

3.3.1.4 Effort tranchant

L’effort tranchant est donné pour chaque travée analytiquement par la formule suivante :

𝑉𝑖 𝑥 = 𝑣𝑖 𝑥 +𝑀𝑒𝑖 −𝑀𝑤𝑖

𝑙𝑖

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 = 0

𝑣 𝑥 =𝑝𝑖 𝑙𝑖

2− 𝑝𝑥

𝑉 𝑥 =𝑝𝑙

2+𝑀𝑒𝑖 −𝑀𝑤𝑖

𝑙

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 = 𝑙, 𝑉 𝑥 = −𝑝𝑙

2+𝑀𝑒𝑖 −𝑀𝑤𝑖

𝑙

3.4

L’effort tranchant aux appuis peut être déterminé de façon forfaitaire comme indiqué sur la

figure suivante :

Figure 3.10 : Valeur forfaitaire de l’effort tranchant.



En notant V0i : l’effort tranchant sur les appuis de la travée isostatique de référence i.

3.3.1.5 Exercices de cours

Exercice 1 : Poutre continue à deux travées inégales

Calculer les moments fléchissants sur appuis et

en travées selon la méthode forfaitaire :

-la section de la poutre est supposée constante,

-la fissuration est considérée non préjudiciable

1-Etapes de calcul

a-vérification des conditions d’utilisation de la méthode forfaitaire

L’inertie est constante

La fissuration est non préjudiciable

Les conditions des charges sont supposées verifiées

Vérification du rapport des travées :0.8 ≤𝑙𝑖

𝑙𝑖+1≤ 1.25

𝑙2

𝑙1=

7.5

6= 1.25 la méthode forfaitaire est applicable

b- calcul des moments isostatiques : 𝑀0𝑖 =𝑃𝑢𝑖 𝑙𝑖

2

8

pour la travée 1 : 𝑀01 = 36.00𝑘𝑁.𝑚

pour la travée 2 : 𝑀02 = 56.25𝑘𝑁.𝑚

c- calcul des moments en appuis

Moment sur appui intermédiaire : 𝑀𝐵 ≥ max 0.6 𝑀01 ,𝑀02 𝐴𝑁:𝑀𝐵 = 33.75 𝑘𝑁.𝑚

Moment sur appui de rive : on considère 𝑀𝐴 = 𝑀𝐶 = 0

d- calcul des moments en travée :

Il faut pour chaque travée satisfaire les inégalités suivantes :

pour la travée 1: 𝑀𝑡1 ≥1.2+0.3𝛼

2 𝑀01 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 =

1

3, 𝑀𝑡1 ≥ 0.65𝑀01 = 23.40 𝑘𝑁.𝑚

Et on doit verifier : 𝑀𝑡1 +𝑀𝑤1+𝑀𝑒1

2≥ max 1.05, 1 + 0.3𝛼 𝑀01 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑀𝑡1 ≥ (1.10𝑀01 −

𝑀𝐵

2)

𝑀𝑡1 ≥ 22.72 𝑘𝑁.𝑚 , on prend alors 𝑀𝑡1 = 23.40 𝑘𝑁.𝑚

pour la travée 1:𝑀𝑡2 ≥1.2+0.3𝛼

2 𝑀02 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 =

1

3, 𝑀𝑡2 ≥ 0.65𝑀02 = 36.56𝑘𝑁.𝑚

on doit verifier : 𝑀𝑡2 +𝑀𝑤2+𝑀𝑒2

2≥ max 1.05, 1 + 0.3𝛼 𝑀02 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑀𝑡2 ≥ (1.10𝑀02 −

𝑀𝐵

2)

𝑀𝑡2 ≥ 45.00 𝑘𝑁.𝑚 on prend alors 𝑀𝑡2 = 45.00 𝑘𝑁.𝑚

e- Calcul de l’effort tranchant

Travée 1 :

𝑉𝑤 =𝑃𝑢1𝑙1

2+

𝑀𝑒−𝑀𝑤

𝑙1 et 𝑉𝑤 = −

𝑃𝑢1𝑙1

2+

𝑀𝑒−𝑀𝑤

𝑙1 soit :

𝑉𝑤1 = 19.28 𝑘𝑁𝑉𝑒1 = −28.73 𝑘𝑁

et 𝑉𝑤2 = 33.37 𝑘𝑁𝑉𝑒2 = −26.62 𝑘𝑁

Résumé des résultats

Travées Moment en (kN.m) Efforts tranchants (kN) Effort normal(kN)

𝑀𝑤 𝑀𝑡 𝑀𝑒 𝑉𝑤 𝑉𝑒 N

1 -5.40 23.40 −33.75 19.28 -28.73 0

2 −33.75 45.00 -8.44 33.37 -26.62 0



Diagrammes des sollicitations :

a-Diagramme du moment (kN.m) b-Diagramme de l’effort tranchant (kN)

Figure 3.11 : Diagrammes des sollicitations.

Exercice 2 : Poutre continue à trois travées inégales :

Déterminer les moments de flexion sur appuis et en travées par la méthode forfaitaire.

Etapes de calcul :

1-Etapes de calcul

a-vérification des conditions d’utilisation de la méthode forfaitaire

Vérification du rapport des travées :0.8 ≤𝑙𝑖

𝑙𝑖+1≤ 1.25

𝑙2

𝑙1=

7.00

5.60= 1.25 ,

𝑙3

𝑙2=

6.00

7.00= 0.857 la méthode forfaitaire est applicable

b- Calcul des moments isostatiques : 𝑀0𝑖 =𝑃𝑢𝑖 .𝑙𝑖

2

8 , 𝑃𝑢 = 1.35𝐺 + 1.5𝑄 𝐴𝑁 𝑃𝑢 = 12𝑘𝑁/𝑚

Pour la travée 1 : 𝑀01 = 47.04 𝑘𝑁.𝑚



c- Calcul des moments sur appuis

Moment sur appuis intermédiaires : 𝑀𝐵 ≥ max 0.5 𝑀01 ,𝑀02 𝐴𝑁:𝑀𝐵 ≥ 36.75 𝑘𝑁.𝑚

𝑀𝐶 ≥ max 0.5 𝑀02 ,𝑀03 𝐴𝑁:𝑀𝐶 ≥ 36.75 𝑘𝑁.𝑚

Moment sur appui de rive : théoriquement 𝑀𝐴 = 𝑀𝐷 = 0 un moment de construction de

0.15𝑀0𝑖 est pris en considération.

d- calcul des moments en travées : Travée1 Travée2 Travée3

𝛼 =𝑄

𝐺+𝑄=

1

2,

1.2+0.3𝛼

2= 0.675,

1+0.3𝛼

2= 0.575, 1 + 0.3𝛼 = 1.15 ≥ 1.05

𝑀𝑡1 ≥1.2 + 0.3𝛼

2 𝑀01 = 31.75𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑡2 ≥

1 + 0.3𝛼

2 𝑀02 𝑀𝑡3 ≥

1 + 0.3𝛼

2 𝑀03

𝑀𝑡1 ≥ 1.15𝑀01 −𝑀𝐵

2 = 35.72𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑡2 ≥ 1.15𝑀02 −

𝑀𝐵 + 𝑀𝐶

2 𝑀𝑡3 ≥ 1.15𝑀03 −

𝑀𝐶

2

On retient : 𝑀𝑡1 = 35.72 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑡2 = 47.80 𝑘𝑁.𝑚 𝑀𝑡3 = 43.73 𝑘𝑁.𝑚

𝑉𝑤1 = 27.04 𝑘𝑁 𝑉𝑤2 = 42.00 𝑘𝑁 𝑉𝑊3 = 12.75 𝑘𝑁

𝑉𝑒1 = −33.60 𝑘𝑁 𝑉𝑒2 = −42.00 𝑘𝑁 𝑉𝑒3 = −0.125 𝑘𝑁

N=0



a-Diagramme du moment (kN.m) b-Diagramme de l’effort tranchant (kN)

Figure 3.12 : Diagrammes des sollicitations.

3.3.2 Calcul des poutres par la méthode de Caquot (Annexe E.2)

3.3.2.1 Domaine d’application

La méthode proposée par Albert Caquot, s’applique pour le calcul des poutres supportant des

planchers dont les charges d’exploitation sont relativement élevées : Q > 2G ou Q > 5 kN/m².

C’est le cas par exemple pour les bâtiments industriels et entrepôts. Elle s’applique également

quand l’une des trois conditions (a, b et d) qui délimitent la méthode forfaitaire n’est pas remplie

(Inerties variables ; différence de longueur entre les portées supérieure a 25% ; fissuration

préjudiciable ou très préjudiciable).

3.3.2.2 Principe de la méthode

La méthode tient compte :

de la variation du moment d’inertie due aux variations de la largeur de la table de

compression.

de l’amortissement de l’effet des chargements des poutres en BA

La méthode consiste à calculer les moments sur appuis d’une poutre continue en considérant

uniquement les travées qui encadrent l’appui considéré. Cette méthode est donc une « méthode

de continuité simplifiée ». Ainsi une poutre continue est assimilée à une série de poutres à deux

travées :

3.3.2.3 Evaluation des moments sur appui

Pour le calcul des moments sur appuis Ma on fait les hypothèses suivantes :

seules travées voisines de gauche (w) et de droite (e) sont prises en compte.

On adopte la longueur fictive des travées de calcul 𝑙𝑤′ et 𝑙𝑒

′ , telle que

Pour les travées de rive : 𝑙𝑖′ = 𝑙𝑖

Pour les travées intermédiaires : 𝑙𝑖′ = 0.8𝑙𝑖

Cas des charges réparties :

On considère les deux charges réparties de part et d’autre de l’appui à calculer.

Soit Pw la charge répartie sur la travée de gauche et Pe la charge sur celle de droite, le moment

d’appui i est égale à :

𝑀𝑎 = 𝑀𝑖 =𝑝𝑤 𝑙𝑤

′3 + 𝑝𝑒 𝑙𝑒′3

8.5(𝑙𝑤′ + 𝑙𝑒′ ) 3.5

𝑝𝑤 , 𝑝𝑒 : Charges réparties sur la travée de gauche et de droite



𝑙𝑤′ , 𝑙𝑒

′ : travée de gauche et de droite

L’inertie de la poutre est supposée constante pour les deux travées.

Figure 3.13 : Notations pour le calcul des moments sur appui, charge répartie.

Cas de l’inertie variable entre les deux travées:

On applique les formules suivantes :

𝑀𝑎 = 𝑀𝑖 = 𝑀𝑤′𝐾𝑒

𝐷+ 𝑀𝑤

′ (1 −𝐾𝑒

𝐷) 3.6

𝑀𝑤′ =

𝑝𝑤 𝑙𝑤′ 3

8.5 𝑒𝑡 𝑀𝑒

′ = 𝑝𝑒 𝑙𝑒𝑤

′ 3

8.5

𝐾𝑤 =𝐼𝑤𝑙𝑤′3

𝑒𝑡 𝐾𝑒 =𝐼𝑒

𝑙𝑒′3 𝑒𝑡 𝐷 = 𝐾𝑤 + 𝐾𝑒

NB : dans les expressions précédentes, les inerties 𝐼𝑤 et 𝐼𝑒 doivent être calculées en considérant

la section de béton seule (soit bh3/12 pour une section rectangulaire) sans tenir compte des

armatures

Cas des charges ponctuelles

Pour des charges ponctuelles, les moments Ma sur appui intermédiaire sont donnes par :

𝑀𝑎 = 𝑀𝑖 =𝑘𝑤(𝑎𝑤)𝑃𝑤 𝑙𝑤

′2 + 𝑘𝑒(𝑎𝑒)𝑃𝑒 𝑙𝑒′3

(𝑙𝑤′ + 𝑙𝑒′ ) 3.7

𝑃𝑤 : la charge ponctuelle située sur la travée de gauche et distante de aw de l’appui considéré

𝑃𝑤 : la charge ponctuelle située sur la travée de droite et distante de ae de l’appui considéré.

𝑙𝑤′ , 𝑙𝑒

′ : travée de gauche et de droite respectivement

L’inertie de la poutre est supposée constante pour les deux travées

Figure 3.14 : Notations pour le calcul des moments sur appui charges ponctuelles.

Le coefficient k dépend du rapport a/l’ et prend les valeurs suivantes :

𝑘(𝑎) =1

2.125

𝑎

𝑙′ 1 −

𝑎

𝑙′ 2 −

𝑎

𝑙′ 3.8

𝑎 = 𝑎𝑤 et 𝑙′ = 𝑙𝑤′ pour la travée à gauche de l’appui

𝑎 = 𝑎𝑒 et 𝑙′ = 𝑙𝑒′ : pour la travée à droite de l’appui.

i

𝑙𝑤′ 𝑙𝑒

′

𝑃𝑤 𝑃𝑒

i

𝑙𝑤′ 𝑙𝑒

′

𝑃𝑤 𝑃𝑒 𝑎𝑒 𝑎𝑤



Lorsque les inerties des travées de part et d’autres de l’appui sont différentes, on applique les

formules suivantes :

𝑀𝑎 = 𝑀𝑖 = 𝑀𝑤′𝐾𝑒

𝐷+ 𝑀𝑤

′ (1 −𝐾𝑒

𝐷) 3.9

Avec : 𝑀𝑤′ = 𝑘𝑤𝑃𝑤 𝑙𝑤

′ 𝑒𝑡 𝑀𝑒′ = 𝑘𝑒𝑃𝑒 𝑙𝑒

′

𝑘𝑤(𝑎𝑤) =1

2.125

𝑎𝑤𝑙𝑤′

1 −𝑎𝑤𝑙𝑤′

2 −𝑎𝑤𝑙𝑤′

𝑘𝑒(𝑎𝑒) =1

2.125

𝑎𝑒𝑙𝑒′

1 −𝑎𝑒𝑙𝑒′ 2 −

𝑎𝑒𝑙𝑒′

𝐾𝑤 =𝐼𝑤𝑙𝑤′3

𝑒𝑡 𝐾𝑒 =𝐼𝑒

𝑙𝑒′3 𝑒𝑡 𝐷 = 𝐾𝑤 + 𝐾𝑒

Remarque :

le coefficient 1

2.125 provient de l’application de la méthode Caquot :

8

8.5𝑥

1

2

Lorsqu’il y a plusieurs charges ponctuelles, il suffit de sommer les effets de chacune des

charges.

Cas des consoles

Les charges appliquées sur la console vont induire un moment sur l’appui i-1. On cherche donc à

déterminer les effets de ce moment sur l’appui i.

≡

Figure 3.15 : Notations pour le calcul des moments sur appui, charge répartie.

𝑀𝑖 =1

2.125

𝑙𝑤′ 𝐼𝑒

𝑙𝑤′ 𝐼𝑒 + 𝑙𝑒′ 𝐼𝑤𝑀𝑖−1 3.10

Si l’inertie est constante :

𝑀𝑖 =1

2.125

𝑙𝑤′

𝑙𝑤′ + 𝑙𝑒′𝑀𝑖−1

Si la console est à droite de la poutre continue, il faut inverser le rapport des travées dans la

formule précédente, ce qui nous donne :

𝑀𝑖 =1

2.125

𝑙𝑒′ 𝐼𝑤

𝑙𝑤′ 𝐼𝑒 + 𝑙𝑒′ 𝐼𝑤𝑀𝑖+1 3.11

Si l’inertie est constante :

𝑀𝑖 =1

2.125

𝑙𝑒′

𝑙𝑤′ + 𝑙𝑒′𝑀𝑖−1

Bien entendu, ce moment viendra se cumuler aux moments sur appui issus du chargement des

travées.



3.3.2.4 Calcul des moments en travée

Pour le calcul des moments en travée, on utilise les formules classiques de RDM en considérant

les travées réelles et non plus les travées fictives. Pour le calcul des moments de la travée i ci-

dessous, il faut prendre en compte les combinaisons de charges (notion de travée chargée-

déchargée) :

Cas 1 : Pour le calcul des moments maximum sur appuis, donc des aciers maxi en chapeaux

On charge les travées adjacentes à l’appui considéré ici :

Pour l’appui 2, on charge les travées 1 et 2. La travée 3 est déchargée.

Pour l’appui 3, on charge les travées 2 et 3. La travée 1 est déchargée

Figure 3.16 : Calcul des moments max sur appuis.

Cas 2 : pour le calcul du moment maximum en travée, donc des aciers maxi en travée et leurs

longueurs, on charge la travée considérée, les autres travées seront déchargées.

Pour la travée 2 : le Mt2 est obtenu en chargeant la travée 2 les autres seront déchargées

Le même principe s’applique pour les travées 1 et 3.

Figure 3.17 : Calcul des moments max en travées.

Cas 3 : pour le calcul du moment minimum en travée, donc de la longueur des aciers en

chapeaux. Le risque des travées soulevées (voir 2ème exercice). On décharge la travée

considérée et on charge les travées adjacentes à cette travée.

Figure 3.18 : Calcul des moments min en travées.

Pour chaque cas de combinaisons:

on calcule les moments sur appuis avec les longueurs l’ comme décrit ci-dessus (avec les

travées fictives).

on utilise la longueur des portées réelles l (et non plus 𝑙′ ), pour les calculs des moments

en travée Mt,

on ne considère que les deux travées adjacentes et les trois cas de charge définis.

L’évolution du moment en travée M(x), pour un cas de charge, est donne par l’équation 3.1 :

𝑀 𝑥 = 𝑚 𝑥 + 𝑀𝑤 1 −𝑥

𝑙 + 𝑀𝑒

𝑥

𝑙

𝑚 𝑥 : Moment isostatique de la travée de référence étudiée



La position du moment maximum en travée est obtenue en recherchant l’abscisse ou la dérivée

de M(x) s’annule (𝑉 𝑥 = 0), soit dans le cas d’un chargement symétrique sur la travée :

𝑋 =𝑙

2+𝑀𝑒 −𝑀𝑤

𝑝𝑙

3.12

3.3.2.5 Effort tranchant

L’effort tranchant, pour un cas de charge donné, est calculé classiquement comme la dérivée du moment

fléchissant, Equation 3.2 :

𝑉 𝑥 = 𝑣 𝑥 +𝑀𝑒 −𝑀𝑤

𝑙

𝑣 𝑥 =𝑑𝑚(𝑥)

𝑑𝑥=

𝑞𝑙

2− 𝑞𝑥 ∶ 𝐸𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐𝑕𝑎𝑛𝑡 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒:

Effort tranchant sur l’appui de gauche de la travée i : 𝑉𝑤 = 𝑉0 0 +𝑀𝑒−𝑀𝑤

𝑙,

Effort tranchant sur l’appui de droite de la travée i : 𝑉𝑒 = 𝑉0 𝑙 +𝑀𝑒−𝑀𝑤

𝑙

3.3.2.6 Courbes enveloppes

Pour chaque cas de chargement, on trace les courbes de sollicitations en utilisant les formules

précédentes, ainsi on peut dresser la courbe enveloppe des moments fléchissants qui a en général

l’allure suivante :

Figure 3.19 : Diagramme enveloppe pour une travée i.

3.3.2.7 Réactions d’appuis

Connaissant les efforts tranchants au droit des appuis, on peut en déduire facilement les réactions

d'appuis correspondantes :

_ Soit Ri, la réaction d'appui au niveau de l'appui "i".

_ Vwi+1 l'effort tranchant à gauche de la travée i+1

_ Vei l'effort tranchant à droite de la travée i

On a : 𝑅𝑖 = 𝑉𝑤 𝑖+1 + 𝑉𝑒 𝑖

3.3.3 Méthode de Caquot minorée (B.6.210 : BAEL)

La méthode de Caquot minorée s’applique pour les poutres supportant des charges

d’exploitations modérées (telles que décrites au chapitre de la méthode forfaitaire) mais dont le

rapport des longueurs de portée ne respecte pas les conditions de la méthode forfaitaire (ou si on

a une inertie variable le long d’une travée).

Cas 1

Cas 2 Cas 3

i

Me max Mw max

Mtmax



Dans ce cas, on applique la méthode de Caquot décrite précédemment en réduisant uniquement

les charges permanentes 𝒈’ =𝟐

𝟑𝒈 (pas de réduction sur les surcharges).

Pour le calcul des moments en travée, on considère la totalité des charges.

3.3.3 Exercices d’application

3.3.3.1 Poutre continue à 2 travées

Soit une poutre continue à 2 travées identiques chargées

par des charges permanentes et d’exploitation réparties.

Calculer à l’ELU :

Le moment maximum sur l’appui B

Le moment max en travée le moment à mi portée

de la travée AB.

La courbe de moment le long de la poutre

Les charges

gu=1.35g = 18kN/m

qu=1.5q = 32kN/m

Pu= 1.35g+1.5q = 50 kN/ml

Etapes de calcul

1-Calcul des portées fictives : 𝑙𝑤′ = 𝑙𝑒

′ = 𝑙 = 6.00𝑚

2-Calcul du moment max sur l’appui B

𝑀𝐵 =𝑝𝑤 𝑙𝑤

′ 3+𝑝𝑒 𝑙𝑒′ 3

8.5(𝑙𝑤′ +𝑙𝑒

′ ) AN : 𝑀𝐵 = −

𝑃𝑢 𝑙2

8.5= −211.76𝑘𝑁.𝑚

3-Moment en travée AB

Pour avoir le moment max sur la travée AB, on ne charge

que cette travée :

Les moments d’appuis en A et C sont nuls car ce sont des

appuis de rive.

Le moment en B : 𝑀𝐵 =50𝑥63+18𝑥63

8.5(6+6)= 144𝑘𝑁.𝑚

Le moment en travée :

M x = m x + Mw 1 −x

l + Me

x

l soit M x = −25x2 + 126x

Le moment à mi travée : M l

2 = −25x2 + 126x =153kN.m

Moments maximal en travée AB

Pour déterminer l’abscisse où le moment est maximal, il nous faut déterminer le point ou

l’effort tranchant s’annule.

𝑉 𝑥 = 𝑣 𝑥 +𝑀𝑒−𝑀𝑤

𝑙 soit 𝑉 𝑥 = −50𝑥 + 126 , si 𝑉 𝑥 = 0 pour x=2.52m

On obtient : 𝑀tmax = 𝑀 𝑥 = 2.52 = 158.76kN. m

3.3.3.2 Exercice 2 : poutre continue à 3 travées

Les charges

gu=1.35g = 18kN/m, qu=1.5q = 32kN/m

Pu= 1.35g+1.5q = 50 kN/ml

Calculer à l’ELU : Les sollicitations



Etapes de calcul

1-Recherche des moments sur appuis

MA = MB = 0, MB = MC = par symétrie

2-calcul des portées : l1′ = l3

′ = l = 6.00m, l3′ = 0.8l = 5.60m

3-Calcul les moments sur appuis pour les 3 scénarios de chargement :

Cas 1 : calcul des moments max sur appuis

Appui B :

𝑀𝐵 =𝑝𝑤 𝑙𝑤

′3 + 𝑝𝑒 𝑙𝑒′3

8.5(𝑙𝑤′ + 𝑙𝑒′ ) 𝑀𝐵 =

50𝑥63 + 50𝑥5.63

8.5(6 + 5.6)

𝑀𝐵 = 198.59 𝑘𝑁.𝑚 Appui C : travées BC et CD chargées

𝑀𝐶 = 198.59 𝑘𝑁.𝑚

Moment en travée 1 :

M x = m x + Mw 1 −x

l + Me

x

l , M x = −25x2 + 116.90x

𝑉 𝑥 = −50𝑥 + +116.90 , 𝑉 𝑥 = 0 pour x=2.34m

𝑀tmax = 𝑀 𝑥 = 2.34 = 136.67kN. m, 𝑀 𝑥 = 0 pour x = 4.68m

Moment en travée 2 :

M x = −25x2 + 175x − 189.59 , 𝑉 𝑥 = −50𝑥 + 175 ,

𝑉 𝑥 = 0 pour x=3.50m 𝑀tmax = 𝑀 𝑥 = 3.50 = 107. kN. m, 𝑀 𝑥 = 0 pour x = 5.57m

4- travée 1 chargée:

𝑀𝐵 =50𝑥63+18𝑥5.63

8.5(6+5.6) , 𝑀𝐵 = 141.60𝑘𝑁.𝑚

Moment en travée 1:

M x = m x + Mw 1 −x

l + Me

x

l , M x = −25x2 + 126.40x

𝑉 𝑥 = −50𝑥 + +126.40 , 𝑉 𝑥 = 0 pour x=2.53m


Moment en travée 2:

M x = −9x2 + 63𝑥 − 141.59

𝑉 𝑥 = −18𝑥 + 63 , 𝑉 𝑥 = 0 pour x=3.50m

𝑀tmax = 𝑀 𝑥 = 3.50 = −31.34kN. m,

4- travée 2 chargée:

𝑀𝐵 =18𝑥63+50𝑥63

8.5(6+5.6), 𝑀𝐵 = 128.50𝑘𝑁.𝑚



Moment sur la travée 1:

M x = m x + Mw 1 −x

l + Me

x

l , M x = −9x2 + 32.59x

𝑉 𝑥 = −18𝑥 + 32.59 , 𝑉 𝑥 = 0 pour x=1.81m


moments sur la travée 2

, M x = −25x2 + 175x − 128.49 𝑉 𝑥 = −50𝑥 + 175 , 𝑉 𝑥 = 0 pour x=3.5m


Figure 3.20 : Tracé du diagramme des moments pour les 3 cas.

Nous allons maintenant analyser de façon détaillée la travée 2 en partant des hypothèses

suivantes :

_ Section de la poutre centrale : 25x60cm

_ Béton fc28=25MPa et acier Fe500.

_ Hauteur utile : c=6cm, d=h-c=54cm.

On cherche à calculer pour cette travée :

_ Les armatures longitudinales inférieures.

_ Les aciers de chapeaux.

_ La longueur des barres en considérant les courbes de moments adéquates.

Armatures longitudinales inférieures

Pour le calcul de ces armatures, on prend compte la courbe de moment du cas III (qui donne le

moment max en travée) qui correspond au chargement de la travée centrale et au non

chargement des travées adjacentes.

Aciers de chapeaux – travée 2

Mu(kN.m) μu= Mu/bd2 fbu αu zu(cm) Ast(cm

2) Choix des armaures

177.76 0.172 0.237 49.0 8.37 3HA16+3HA12 soit 9.42 cm²

Mu(kN.m) μu= Mu/bd2 fbu αu zu(cm) Ast(cm

2) Choix des armatures

159.59 0.192 0.27 48.20 9.45 3HA16+3HA12 soit 9.42 cm².



3.3.3.3 Exercice 3 : poutre continue à 4 travées

Une poutre à 4 travées de portées identiques (l = 5.00m), supportant une charge permanente g =

20kN/m et une charge d’exploitation q = 25kN/m, correspondant à une charge surfacique de

6kN/m2.

La présentation des calculs se fait dans un tableau qui comporte autant de colonnes qu’il y a de travées sur

la poutre. Pour un calcul à l’ELU de la méthode de Caquot, ce tableau prend la forme présentée sur la

Figure 3.16 : diagramme enveloppe pour une travée i

3.3.4 Déformation des poutres (BAEL B.6.5,1)

L’article B.6.5,1 précise les conditions à verifier pour ne pas avoir à faire une vérification sur

les flèches limites pour les poutres. Les trois conditions à verifier sont :

𝑕 ≥ max 1

16+

𝑀𝑡

10𝑀0 𝑙

3.13 𝐴𝑠𝑡 ≤

4.2𝑏𝑑

𝑓𝑒

et 𝑙 ≤ 8𝑚

poutre à 4 travées

Portée l(m) 5.00 5.00 5.00 5.00

Portée fictive (m) 5.00 4.00 4.00 5.00

Charge permanente g (kN/m) 20.0 20.0 20.0 20.0

Charge d’exploitation q(kN/m) 25.0 25.0 25.0 25.0

Travée chargée C :1.35g+1.5q 64.5 64.5 6 4.5 64.5

Travée chargée D :1.35g 27.0 27.0 27.0 27.0

Ma cas 1 :CCCC (kN.m) 0 -159.35 -121.41 -159.35 0

Ma cas 2 :DCDC (kN.m) 0 -98.08 -86.12 -127.98 0

Ma cas 3 :CDCD (kN.m) 0 -127.98 -86.12 -98.08 0

Miso travée chargée (kN.m) 201.56 201.56 201.56 201.56 Miso travée déchargée (kN.m) 84.38 84.38 84.38 84.38 X pour V(x)=0 (m) 2.1 2.54 2.46 2.90

Mtmax (kN.m) 142.65 109.51 109.51 142.65

Figure 3.21 : Tracé des moments fléchissants des trois cas de charge et de la

courbe enveloppe.



Avec : fe en MPa.

Mt :est le moment en travée,

M0 :le moment en travée de la travee isostatique de référence

Ast : section d’armatures calculée pour la poutre et

L : la portée.

Si ces conditions n’étaient pas verifiees, le calcul des flèches est présenté au chapitre 4 de ce

cours.

Documents

Chapitre 1 Poutres et Planchers continus