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Chapitre 2
Régime transitoire
Justine Philippe
2JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Sommaire
• Condensateur et bobine
• Circuit RC
• Circuit RL
• Circuit RLC
3JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Sommaire
• Condensateur et bobine
• Circuit RC
• Circuit RL
• Circuit RLC
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Le condensateur
4
Condensateur et bobine
armatures
diélectrique
Symbole
C
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Le condensateur
5
Condensateur et bobine
A quoi sert un condensateur ?
Filtrage, stockage de l’énergie et mémoire
Accumulateur d’énergieMémoireFiltre antiparasitesEvite les discontinuités de tensionTemporisateurLissage de tension…
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Le condensateur
6
Condensateur et bobine
Rappel : L’intensité i d’un courant électrique mesure le débit des charges qui circulent dans une section d’un circuit.
Si le courant est constant, la quantité d’électricité transportée pendant la durée ∆t est :
∆q = i ∆t
Avec ∆q en Coulomb (C), i en Ampère (A) et ∆t en seconde (s).
Chargeons le condensateur : A
B
I0 qAqB
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Le condensateur
7
Condensateur et bobine
On charge le condensateur à l’aide d’un générateur de courant constant et on relève la tension uAB et la charge q à des intervalles de temps réguliers.On peut tracer la courbe q en fonction de uAB suivante :
A
B
I0 qAqB
q
uAB
Par conséquent, la caractéristique a pour équation : q = C uAB
C représente la capacité du condensateur et s’exprime en Farad (F)
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Le condensateur
8
Condensateur et bobine
Quelques remarques :
Si la tension aux bornes du condensateur est variable, le courant dans le condensateur est différent de zéro.
Si la tension aux bornes du condensateur est constante, c’est que sa charge (ou décharge) est terminée.
Il n’y a pas de discontinuité de tension dans un condensateur (un condensateur ne se « vide » pas instantanément)
dt
duCi
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Energie stockée par un condensateur
9
Condensateur et bobine
Lorsque la tension passe de U1 à U2, la charge croît de ∆q = I.∆t, il en résulte un accroissement de l’énergie stockée : ∆Eelec = P.∆t = u(t).I.∆tD’où ∆Eelec = U.∆q
Cet accroissement correspond à l’aire verte sur la figure. Puis l’énergie stockée par un condensateur
dont la tension à ses bornes passe de 0 à U a pour expression ∆𝐸𝑒𝑙𝑒𝑐 =1
2𝑈𝑄. Or comme Q = C.U, on
peut l’exprimer sous les formes suivantes :
∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒄 =𝟏
𝟐𝑼𝑸 =
𝟏
𝟐𝑪.𝑼²
Qq1 q2
u
q
U
U2U1
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Association de condensateurs
10
Condensateur et bobine
Association parallèle : La tension est commune ; la charge totale est la somme Q1 + Q2 + … (on augmente la charge)
C1 C2 Cn
Conclusion :
1 2 ....eq nC C C C
Association série : Le courant est commun ; les armatures portent des charges égales à Q (on augmente la tension)
1 2
1 1 1 1....
eq nC C C C
C1 C2 Cn
Conclusion :
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
La bobine
11
Condensateur et bobine
Une bobine est constituée par l’enroulement régulier d’un fil métallique conducteur. Cette bobine peut être plate ou longue (solénoïde). Une bobine n’a d’existence que si le courant est variable.
L
iL
uL
-Filtrage (par ex dans les amplis audio)- Stockage d’énergie- Création de signaux haute fréquence-Bobine d’allumage- …
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
La bobine
12
Condensateur et bobine
Si le courant dans la bobine est constant, alors la tension à ses bornes est nulle.
Il ne peut y avoir de tension que si le courant est variable.
Donc une bobine alimentée en courant continu se comporte comme un court-circuit.
L
i
u dt
diLu
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
La bobine
13
Condensateur et bobine
Unité : L’inductance d’une bobine s’exprime en Henry (H)
Propriétés :Une bobine ne peut subir de discontinuité de courant. Le courant électrique dans un circuit inductif ne peut pas s’interrompre instantanément.
L
i
u dt
diLu
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Energie d’une bobine
14
Condensateur et bobine
L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d’inductance L, parcourue par un courant d’intensité I est :
𝑬𝒎𝒂𝒈 =𝟏
𝟐𝑳𝑰𝟐
Emag en joule (J) ; L en Henry (H) ; et
I en Ampère (A)
Une bobine idéale ne dissipe pas d’énergie ou de chaleur.Elle ne fait que l’emmagasiner et la restituer.
L’expression de l’énergie est indépendante du temps.
Une bobine réelle dissipe par effet joule une partie de l’énergie qu’elle reçoit.
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Association de bobines
15
Condensateur et bobine
En série : L2L1 Ln
1 2 ...eq nL L L L
En parallèle :
1 2
1 1 1 1....
eq nL L L L L2
L1
Ln
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Objectif
16
Condensateur et bobine
A partir du schéma d’un circuit électrique donné, on établit l’équation différentielle qui régit le fonctionnement du circuit à l’aide des lois de Kirchhoff, on résout cette équation pour obtenir l’expression mathématique de la grandeur recherchée (tension, courant ou charge électrique), on trace ensuite la courbe obtenue et on exploite les résultats.
Les équations différentielles seront établies à partir des équations suivantes :
𝑖 =𝑑𝑞
𝑑𝑡; 𝑢 = 𝑅. 𝑖 ; 𝑖 = 𝐶
𝑑𝑢
𝑑𝑡; 𝑢 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Objectif
17
Condensateur et bobine
L’étude des régimes transitoires va faire apparaître deux types d’équations différentielles :
• L’étude des régimes transitoires du premier ordre régis par une équation différentielle du premier ordre : les circuits RC et RL
• L’étude des régimes transitoires du second ordre régis par une équation différentielle du second ordre : les circuits LC et RLC
18JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Sommaire
• Condensateur et bobine
• Circuit RC
• Circuit RL
• Circuit RLC
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RC du premier ordre
19
Circuit RC
Sachant R, C et u (la tension appliquée), que vaut la tension uC aux bornes du condensateur ?
R
u C
0
i
uC
uR
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RC du premier ordre
20
Circuit RC
R
u C
0
i
uC
uR
Mise en équation :
Equation différentielle du premier ordre (c=ay’+by)
Equation différentielle en tension (variable)
𝑢𝑅 = 𝑅 × 𝑖 𝑡
𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐶
𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
𝑢 𝑡 = 𝑅𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
+ 𝑢𝐶 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝜏 = 𝑅𝐶
𝑢 𝑡 = 𝜏.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
+ 𝑢𝐶
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RC du premier ordre
21
Circuit RC
Détermination des conditions initiales en régime continu :A t=0-, on suppose le condensateur non chargé. Il se comporte comme un circuit ouvert ; le schéma devient donc :
R
u
0
i = 0
uC
uR
i = 0 ; UR = 0 ; UC = 0 (non chargé)
A t = 0+, si u(t) est une tension continue (variation brutale), uC(0+) = 0 car il y a continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ; i devient égal à u/R (variation brutale puis décroissance vers 0), et uC évolue progressivement vers la valeur U
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Résolution de l’équation différentielle de 1er ordre
22
Circuit RC
τ : constante de temps du circuit étudié (s)
x(t) : second membre correspondant à l’apport d’énergie extérieur ; régime forcé
𝑦 𝑡 + 𝜏𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑥(𝑡)
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Résolution de l’équation différentielle de 1er ordre
23
Circuit RC
La solution d’une équation différentielle est constituée de deux termes :
• Un terme représentant le régime transitoire, c’est-à-dire la période de temps durant laquelle il existe une évolution des grandeurs (tensions, courants) permettant à la solution de se stabiliser dans un régime stable
• Un terme représentant le régime permanent, c’est-à-dire la période de temps suivant le régime transitoire et où les grandeurs se sont stabilisées définitivement
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Résolution de l’équation différentielle de 1er ordre
24
Circuit RC
La solution générale de cette équation différentielle linéaire se présente comme la somme de :
• La solution de l’équation sans second membre (Yt) : appelée aussi solution transitoire
• Une solution particulière (Yp) : appelée aussi solution permanente (généralement de la même forme mathématique que x(t))
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Résolution de l’équation différentielle de 1er ordre
25
Circuit RC
La résolution de l’équation différentielle s’opère en cinq étapes :
1. Résolution de l’équation sans second membre (EQSSM) (solution générale ou transitoire)
2. Recherche d’une solution particulière (SP) (permanent)3. On somme les deux solutions4. Recherche des constantes5. Ecriture de la solution
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Résolutions types pour un circuit du 1er ordre
26
Circuit RC
Ici, on ne traite que des cas dans lesquels x(t) est une constante.
Le régime forcé/sinusoïdal, où x(t) est dépendant du temps, est traité dans le chapitre suivant.
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
27
Circuit RC
Charge d’un condensateur à travers une résistance :
Le condensateur est initialement déchargé.A t = 0, on ferme l’interrupteur :
Ecrire la loi des mailles de ce circuit.
Ecrire l’équation caractéristique du condensateur.
𝐸 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝑢𝐶(𝑡)
𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
28
Circuit RC
Ecrire l’équation différentielle liant E, uC et 𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡
et la mettre sous la forme canonique.
𝐸 = 𝑅. 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
+ 𝑢𝑐(𝑡)
𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 = 𝑅𝐶
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
29
Circuit RC
Résoudre cette équation différentielle et exprimer uC(t).
La résolution de l’équation sans second membre donne :
La solution particulière est : E
La solution générale vaut :
Détermination de A : à t = 0, on a uC(t) = 0 (conditions limites)
Exprimer uC(t) en fonction de E, τ et t :
𝐴. 𝑒−𝑡𝑅𝐶
𝐴. 𝑒−𝑡𝑅𝐶 + 𝐸
𝐴. 𝑒0 + 𝐸 = 0 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = −𝐸
𝑢𝐶 𝑡 = 𝐸. 1 − 𝑒−𝑡𝜏
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
30
Circuit RC
Tracer uC(t) pour 0 < t < 5τ.
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
31
Circuit RC
Exprimer i(t) et tracer-le.
𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
= 𝐶.𝑑 𝐸 1 − 𝑒−
𝑡𝑅𝐶
𝑑𝑡= 𝐶𝐸.
1
𝑅𝐶. 𝑒−
𝑡𝑅𝐶 =
𝐸
𝑅𝑒−
𝑡𝑅𝐶
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
32
Circuit RC
Décharge d’un condensateur à travers une résistance :
Le condensateur est initialement chargé à la valeur E.A t = 0, on ferme l’interrupteur :
Ecrire la loi des mailles de ce circuit.
Ecrire l’équation caractéristique du condensateur.
0 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝑢𝐶(𝑡)
𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
33
Circuit RC
Ecrire l’équation différentielle liant uC et 𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡
et la mettre sous la forme canonique.
0 = 𝑅. 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
+ 𝑢𝑐(𝑡)
𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 = 𝑅𝐶
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
34
Circuit RC
Résoudre cette équation différentielle et exprimer uC(t).
La résolution de l’équation sans second membre donne :
La solution particulière est : 0
La solution générale vaut :
Détermination de A : à t = 0, on a uC(t) = E (conditions limites)
Exprimer uC(t) en fonction de E, τ et t :
𝐴. 𝑒−𝑡𝑅𝐶
𝐴. 𝑒−𝑡𝑅𝐶
𝐴. 𝑒0 = 𝐸 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = 𝐸
𝑢𝐶 𝑡 = 𝐸. 𝑒−𝑡𝜏
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
35
Circuit RC
Tracer uC(t) pour 0 < t < 5τ.
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RC
36
Circuit RC
Exprimer i(t) et tracer-le.
𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝐶𝑑𝑡
= 𝐶.𝑑 𝐸𝑒−
𝑡𝑅𝐶
𝑑𝑡= 𝐶𝐸. −
1
𝑅𝐶. 𝑒−
𝑡𝑅𝐶 = −
𝐸
𝑅𝑒−
𝑡𝑅𝐶
37JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Sommaire
• Condensateur et bobine
• Circuit RC
• Circuit RL
• Circuit RLC
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RL du premier ordre
38
Circuit RL
L
Ru
0
iL
uR
uL
Mise en équation :
Equation différentielle du 1er ordre
𝑢𝑅 = 𝑅. 𝑖𝐿 𝑡
𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿
𝑢𝐿 = 𝐿.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
𝑢 𝑡 = 𝑅. 𝑖𝐿 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
𝑢(𝑡)
𝑅= 𝑖𝐿 +
𝐿
𝑅.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 ∶ 𝜏 =𝐿
𝑅
𝑢(𝑡)
𝑅= 𝜏.
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
+ 𝑖𝐿
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RL du premier ordre
39
Circuit RL
Détermination des conditions initiales en régime continu :A t = 0-, on suppose que la bobine n’a accumulé aucune énergie, elle se comporte comme un court-circuit ; le schéma devient donc :
R
u
0
i
uL=0
uR
UL = 0 ; UR = U ; i = 0 (pas d ’énergie)
A t = 0+, si u(t) est une tension continue (variation brutale), iL(0+) = 0 continuité du
courant, puis évolution progressive vers la valeur U/R ; et uL passe instantanément à la valeur U (variation brutale puis décroissance vers 0).
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
40
Circuit RL
Etablissement du courant dans une bobine :
La bobine n’a initialement accumulé aucune énergie.A t = 0, on ferme l’interrupteur :
Ecrire la loi des mailles de ce circuit.
Ecrire l’équation caractéristique de la bobine.
E = 𝑢𝑅 𝑡 + 𝑢𝐿(𝑡)
𝑢𝐿(𝑡) = 𝐿.𝑑𝑖
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
41
Circuit RL
Ecrire l’équation différentielle liant E, i et 𝑑𝑖𝑑𝑡
et la mettre sous la forme canonique.
𝐸 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 =𝐿
𝑅
𝐸
𝑅= 𝑖 𝑡 +
𝐿
𝑅.𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
42
Circuit RL
Résoudre cette équation différentielle et exprimer uC(t).
La résolution de l’équation sans second membre donne :
La solution particulière est :
La solution générale vaut :
Détermination de A : à t = 0, on a i(t) = 0 (conditions limites)
Exprimer uL(t) en fonction de E, τ et t :
𝐴. 𝑒−𝑅𝐿𝑡
𝑖 0 = 0 = 𝐴. 𝑒0 +𝐸
𝑅; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = −
𝐸
𝑅𝑖 𝑡 =
𝐸
𝑅. 1 − 𝑒−
𝑡𝜏
𝐸
𝑅
𝐴. 𝑒−𝑅𝐿𝑡 +
𝐸
𝑅
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
43
Circuit RL
Tracer i(t) pour 0 < t < 5τ.
𝑡𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 5% = 3𝜏
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
44
Circuit RL
Exprimer uR(t) et uL(t) et tracer-les.
𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 = 𝐸. 1 − 𝑒−𝑡𝜏 𝑢𝐿 𝑡 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡𝑜𝑢 𝑢𝐿 = 𝐸 − 𝑢𝑅
𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑢𝐿 𝑡 = 𝐸. 𝑒−𝑡𝜏
uR(t) a donc la même forme que i(t) ; tandis que uL(t) donne le résultat suivant :
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
45
Circuit RL
Extinction du courant dans une bobine :
A t = 0, le courant dans la bobine vaut I0 et on ferme l’interrupteur :
Ecrire la loi des mailles de ce circuit.
Ecrire l’équation caractéristique de la bobine.
0 = 𝑢𝑅 𝑡 + 𝑢𝐿(𝑡)
𝑢𝐿(𝑡) = 𝐿.𝑑𝑖
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
46
Circuit RL
Ecrire l’équation différentielle liant i et 𝑑𝑖𝑑𝑡
et la mettre sous la forme canonique.
0 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 ∶ 𝜏 =𝐿
𝑅
0 = 𝑖 𝑡 +𝐿
𝑅.𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
47
Circuit RL
Résoudre cette équation différentielle et exprimer uC(t).
La résolution de l’équation sans second membre donne :
La solution particulière est : 0
La solution générale vaut :
Détermination de A : à t = 0, on a i(t) = I0 (conditions limites)
Exprimer uC(t) en fonction de E, τ et t :
𝐴. 𝑒−𝑅𝐿𝑡
𝑖 0 = 𝐼0 = 𝐴. 𝑒0 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐴 = 𝐼0
𝑖 𝑡 = 𝐼0. 𝑒−𝑡𝜏
𝐴. 𝑒−𝑅𝐿𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
48
Circuit RL
Tracer i(t) pour 0 < t < 5τ.
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Etude du circuit RL
49
Circuit RL
Exprimer uR(t) et uL(t) et tracer-les.
𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 = 𝑅. 𝐼0. 𝑒−𝑡𝜏 𝑢𝐿 𝑡 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡= −𝑢𝑅
uR(t) a donc la même forme que i(t) ; tandis que uL(t) a la forme opposée :
50JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Sommaire
• Condensateur et bobine
• Circuit RC
• Circuit RL
• Circuit RLC
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RLC du second ordre
51
Circuit RLC
u(t) en fonction de uC(t) ?
Mise en équation :
L
uR
i(t) C u(t)
R
0
uC
uL
𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑐
𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡)
𝑢𝐿 = 𝐿.𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑖 = 𝐶.𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡
𝑢 𝑡 = 𝐿𝐶.𝑑²𝑢𝐶(𝑡)
𝑑𝑡²+ 𝑅𝐶.
𝑑𝑢𝐶 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑢𝐶(𝑡)
Ou en divisant par LC :
𝑑²𝑢𝐶(𝑡)
𝑑𝑡²+𝑅
𝐿.𝑑𝑢𝐶 𝑡
𝑑𝑡+
1
𝐿𝐶. 𝑢𝐶 𝑡 =
1
𝐿𝐶. 𝑢(𝑡)
C’est une équation différentielle du second ordre en tension
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Circuit RLC du second ordre
52
Circuit RLC
On peut aussi trouver l’équation différentielle du second ordre en courant.Mise en équation :
𝑢 𝑡 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑐
𝑢𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡) 𝑢𝐿 = 𝐿.𝑑𝑖
𝑑𝑡𝑢𝐶 𝑡 =
1
𝐶.න 𝑖 𝑡 𝑑𝑡
𝐶.𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡= 𝐿𝐶.
𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡²+ 𝑅𝐶.
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑖(𝑡)
Ou en divisant par LC :𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡²+𝑅
𝐿.𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡+
1
𝐿𝐶. 𝑖 𝑡 =
1
𝐿.𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
En dérivant l’équation et en multipliant par C, on obtient :
𝑢 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖
𝑑𝑡+1
𝐶. න 𝑖 𝑡 𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Méthode de résolution de l’équation différentielle
53
Circuit RLC
Equation à résoudre :
𝐿𝐶.𝑑2𝑢(𝑡)
𝑑𝑡²+ 𝑅𝐶.
𝑑𝑢 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑢 𝑡 = 0
Solution = solution homogène + solution particulière
Ici, cas particulier : second membre nul → Solution particulière nulle
On cherche donc une solution = solution homogène
Solution du type : 𝑢 = 𝐴𝑒𝑟𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Méthode de résolution de l’équation différentielle
54
Circuit RLC
Equation homogène du second ordre :
𝐿𝐶.𝑑2𝑢(𝑡)
𝑑𝑡²+ 𝑅𝐶.
𝑑𝑢 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑢 𝑡 = 0
Solution du type :
En injectant la solution dans l’équation, on obtient :
𝑢 = 𝐴𝑒𝑟𝑡
𝐿𝐶𝑟2𝑢 + 𝑅𝐶𝑟𝑢 + 𝑢 = 0 ⟺ 𝑟2 +𝑅
𝐿𝑟 +
1
𝐿𝐶= 0
Cette équation est appelée polynôme caractéristique de l’équation différentielle. Trouver la solution de ce polynôme permet de trouver les solutions de l’équation différentielle.
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Définition des variables réduites usuelles
55
Circuit RLC
Pulsation propre :
𝜔0 =1
𝐿𝐶
Pulsation des oscillations en l’absence d’amortissement
𝜆 =𝑅
2𝐿
Facteur d’amortissement :
Plus λ est grand, plus l’amortissement est élevé
En utilisant ces variables réduites, on peut écrire le polynôme caractéristique de la manière suivante :
𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Solutions : les différents régimes
56
Circuit RLC
Le polynôme caractéristique acceptant plusieurs solutions selon la valeur de son discriminant, il en est de même pour l’équation différentielle.
On utilise le discriminant réduit :
Trois régimes selon le signe de ∆’ :
• ∆’ > 0 Régime apériodique• ∆’ = 0 Régime critique• ∆’ < 0 Régime pseudo-périodique
𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0
Δ′ = 𝜆2 −𝜔02
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime apériodique
57
Circuit RLC
Le polynôme admet deux racines :
La solution s’écrit :
Remarque : les deux racines sont négatives, c’est normal puisque la solution ne peut pas tendre vers l’infini, cela n’aurait pas de signification physique.
𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0
Δ′ = 𝜆2 −𝜔02 𝑒𝑡 Δ′ > 0
𝑟1 = −𝜆 + 𝜆2 −𝜔02 𝑟2 = −𝜆 − 𝜆2 − 𝜔0
2
𝑢 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑟1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑟2𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime apériodique
58
Circuit RLC
Détermination des constantes à partir des conditions initiales
Continuité de la tension : u(t = 0) = EContinuité de l’intensité : i(t = 0) = 0
Deux équations pour deux inconnus. Après calcul, on déduit :
𝑢 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑟1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑟2𝑡𝑢 𝑡 = 0 = 𝐴1 + 𝐴2 = 𝐸
𝑖 𝑡 = 0 = 𝑟1𝐴1 + 𝑟2𝐴2 = 0
𝐴1 =𝑟2𝐸
𝑟1 − 𝑟2𝐴2 =
−𝑟1𝐸
𝑟1 − 𝑟2
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime apériodique
59
Circuit RLC
Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur
𝑢 𝑡 =𝑟2𝐸
𝑟1 − 𝑟2𝑒𝑟1𝑡 −
𝑟1𝐸
𝑟1 − 𝑟2𝑒𝑟2𝑡
𝑟2 = −𝜆 − 𝜆2 − 𝜔02
𝑟1 = −𝜆 + 𝜆2 −𝜔02
Régime apériodique
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime apériodique
60
Circuit RLC
Expression et allure de l’intensité dans le circuit
A partir de l’équation caractéristique du condensateur :
𝑖 𝑡 =𝑟2𝑟1𝐸𝐶
𝑟2 − 𝑟1𝑒𝑟1𝑡 − 𝑟𝑟2𝑡
𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑢
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime critique
61
Circuit RLC
Le polynôme admet une racine double :
La solution s’écrit :
Après détermination des constantes :
En utilisant
Même type de résultat que dans le régime apériodique
𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0
Δ′ = 𝜆2 − 𝜔02 𝑒𝑡 Δ′ = 0
𝑟1 = −𝜆
𝑢 𝑡 = (𝐴1𝑡 + 𝐴2)𝑒−𝜆𝑡
𝑢 𝑡 = 𝐸(𝜆𝑡 + 1)𝑒−𝜆𝑡
𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑢
𝑑𝑡𝑖 𝑡 = −𝐸𝐶𝜆2𝑡𝑒−𝜆𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime pseudo-périodique
62
Circuit RLC
Le polynôme admet deux racines complexes :
La solution s’écrit :
Difficulté : C1 et C2 sont des constantes complexes (comme r1 et r2), or on veut une solution réelle. On peut montrer qu’en combinant les solutions 𝑒𝑟1𝑡 et 𝑒𝑟2𝑡, on obtient une autre forme, réelle, de u :
𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔02 = 0
Δ′ = 𝜆2 − 𝜔02 𝑒𝑡 Δ′ < 0
𝑟1 = −𝜆 + 𝑗𝜔
𝑢 𝑡 = 𝐶1𝑒𝑟1𝑡 + 𝐶2𝑒
𝑟2𝑡
𝑢 𝑡 = 𝐴1 cos 𝜔𝑡 + 𝐴2 sin 𝜔𝑡 𝑒−𝜆𝑡
𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝜔2 = −∆′
𝑟2 = −𝜆 − 𝑗𝜔
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime pseudo-périodique
63
Circuit RLC
Expression et allure de la tension aux bornes du condensateur :
Détermination des constantes à partir des conditions initiales, on trouve :
Cette solution se découpe en deux parties :• Une partie oscillante à la pulsation ω• Une amplitude décroissant de manière exponentielle
𝑢 𝑡 = 𝐸 cos 𝜔𝑡 +𝜆
𝜔sin 𝜔𝑡 𝑒−𝜆𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime pseudo-périodique
64
Circuit RLC
Expression et allure de l’intensité dans le circuit :
En utilisant : 𝑖 𝑡 = −𝐶𝐸𝜔2 + 𝜆²
𝜔𝑒−𝜆𝑡 sin(𝜔𝑡)𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑢
𝑑𝑡
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Régime pseudo-périodique
65
Circuit RLC
Remarque :
On observe donc des oscillations électriques à la pulsation ω, donc de pseudo-période :
𝑇 =2𝜋
𝜔
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Pour résumer
66
Circuit RLC
Circuit RLC :
Trois régimes en fonction des paramètres R, L et C Peut faire apparaître des oscillations électriques Selon l’amortissement par effet Joule, le régime transitoire est
différent
Apériodique Critique Pseudo-périodique
JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 2
Récapitulatif (à savoir)
• Equations caractéristiques de la bobine et du condensateur
• Résolution d’équations différentielles du premier et du second ordre
• Notion de régimes transitoire et permanent
• Comportement des circuits RC, RL et RLC
67
Fin du Chapitre 2