Chapitre 2 terminale spé math Vecteurs - e-monsite

M. ALBERNI

Chapitre 2

Vecteurs

1 – Vecteurs de l’espace : La notion de vecteur du plan se généralise dans l’espace.

1) Caractérisation : a) On donne deux points de l’espace A et B, distincts.

Le vecteur non nul u AB

a trois caractéristiques :

Sa direction : c’est la droite (AB), qui porte le vecteur.

Son sens : celui de A vers B. Sa norme ou longueur : c’est la longueur AB.

On écrit : u AB

= AB.

b) Vecteurs égaux : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.

En pratique : AB CD

si et seulement si ABDC est un

Remarque sur l’égalité : Ceci nous prouve qu’un vecteur est indépendant du point d’origine choisi mais dépend

des trois caractéristiques données dans le a). On peut donc représenter plusieurs vecteurs égaux par un représentan

c) Quelques propriétés :

Etant donné un point O de l’espace, pour tout vecteur

Pour tout point M de l’espace, le vecteur MM

Tout vecteur non nul u

admet un vecteur opposé noté

Le vecteur nul est son propre opposé.

Quels que soient les points A et B de l’espa

d) Translation : Étant donnée un vecteur u

associé l’unique point A’ tel que AA u

.

Lycée ND de Bon Secours

Vecteurs dans l’espace, Droites et plans

La notion de vecteur du plan se généralise dans l’espace.

a) On donne deux points de l’espace A et B, distincts.

caractéristiques :

: c’est la droite (AB), qui porte le vecteur.

: c’est la longueur AB.

: Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.

si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

: Ceci nous prouve qu’un vecteur est indépendant du point d’origine choisi mais dépend

des trois caractéristiques données dans le a). On peut donc représenter plusieurs vecteurs égaux par un représentan

Etant donné un point O de l’espace, pour tout vecteur u

de l’espace, il existe un unique point M de l’espace tel que

MM

est le vecteur nul noté 0

. (origine et extrémité confondu

admet un vecteur opposé noté u

qui a même direction et même norme que

ace, BA AB

.

u

, la translation de vecteur u

est la transformation du plan qui, à un point

AA u

1

terminale spé math

: Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.

: Ceci nous prouve qu’un vecteur est indépendant du point d’origine choisi mais dépend complètement

des trois caractéristiques données dans le a). On peut donc représenter plusieurs vecteurs égaux par un représentant.

point M de l’espace tel que u OM

.

(origine et extrémité confondues)

qui a même direction et même norme que u

, mais de sens contraire.

est la transformation du plan qui, à un point A donné,

M. ALBERNI

2) Opérations sur les vecteurs :

a) Addition de vecteurs : Comme dans le plan, il y a deux méthodes pour additionner des vecteurs. Relation de Chasles : (on ajoute les vecteurs

Soit u et v

deux vecteurs quelconques. On peut trouver trois points A, B et C dans un même plan tels que

La somme des vecteurs u et v

est le vecteur, noté

Règle du parallélogramme : (Les vecteurs ont la même origine)

Soit u et v

deux vecteurs quelconques. On peut trouver un parallélogra

u v

est le vecteur diagonal qui part de A et arrive en C

Méthode : Comment additionner des vecteurs sur une figure avec la relation de

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur. A l’extrémité de celuisomme a pour origine, l’origine du premier vecteur et pour extrémité, l’extrémité du second vecteur.

Méthode : Comment additionner des vecteurs sur une figure avec la règle du parallélogramme

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur et aussi le deuxième vecteur. On construit alors un parallélogramme pointillés. Le vecteur somme est le vecteur diagonal du parallélogramme, partant de l’origine.

b) Différence de deux vecteurs : La différence de deux vecteurs se trouve en ajoutant au premier l’opposé du deuxième

u v u ( v)

.

c) Multiplication par un réel :

Soit u

un vecteur de l’espace et k un réel quelconque. On appelle produit du vect

par :

- Si u

= 0

ou si k = 0 alors k u

= 0

.

- Si u 0

et k > 0, alors k u

et u

sont de même direction, de

- Si u 0

et k < 0, alors k u

et u

sont même direction, de

d) Règles de calcul : Pour tout vecteurs de l’espace

u v v u

(commutativité)

u 0 u

a(u v) au av

(distributivité)

a(bu) (ab)u

1 u u


Comme dans le plan, il y a deux méthodes pour additionner des vecteurs.

on ajoute les vecteurs bout à bout dans un plan)

deux vecteurs quelconques. On peut trouver trois points A, B et C dans un même plan tels que

est le vecteur, noté u v

, défini par u v AC

. On a donc AB BC AC

(Les vecteurs ont la même origine)

deux vecteurs quelconques. On peut trouver un parallélogramme ABCD tel que AB u et AD v

de A et arrive en C. On a AC AB AD

.

: Comment additionner des vecteurs sur une figure avec la relation de Chasles ?

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur. A l’extrémité de celui-ci, on place le deuxième vecteur. Le vecteur pour origine, l’origine du premier vecteur et pour extrémité, l’extrémité du second vecteur.

nt additionner des vecteurs sur une figure avec la règle du parallélogramme ?

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur et aussi le deuxième vecteur. On construit alors un parallélogramme pointillés. Le vecteur somme est le vecteur diagonal du parallélogramme, partant de l’origine.

La différence de deux vecteurs se trouve en ajoutant au premier l’opposé du deuxième

un vecteur de l’espace et k un réel quelconque. On appelle produit du vecteur u

par le réel k le vecteur, noté k

même direction, de même sens et ku k u

.

sont même direction, de sens opposés et ku k u

.

Pour tout vecteurs de l’espace u

, v

et w

et pour tout réels a et b

(u v) w u (v w)

(associativité)

u u 0

(a b)u au bu

au 0 équivaut à a 0 ou u 0

( 1) u u

2

Comme dans le plan, il y a deux méthodes pour additionner des vecteurs.

deux vecteurs quelconques. On peut trouver trois points A, B et C dans un même plan tels que AB u et BC v

.

AB BC AC

.

AB u et AD v

. Le vecteurs

ci, on place le deuxième vecteur. Le vecteur pour origine, l’origine du premier vecteur et pour extrémité, l’extrémité du second vecteur.

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur et aussi le deuxième vecteur. On construit alors un parallélogramme en

La différence de deux vecteurs se trouve en ajoutant au premier l’opposé du deuxième :

par le réel k le vecteur, noté k u

, défini

3 M. ALBERNI Lycée ND de Bon Secours

Méthode : Comment utiliser la relation de Chasles dans un calcul vectoriel ? Méthode 1 : Simplification de sommes vectorielles.

On regroupe les vecteurs par deux, de façon à ce que le point extrémité du premier corresponde au point origine du deuxième. Alors on peut simplifier la somme en un seul vecteur dont le point origine est celui du premier et le point extrémité celui du

deuxième. Attention, si un vecteur est multiplié par un réel k, le deuxième vecteur doit aussi être multiplié par k pour pouvoir simplifier la somme. Le vecteur final est bien sûr multiplié par k.

Application : Simplifier la somme 2AB CD 2BE 3DE 2EA

.

Démonstration :

.

Méthode 2 : Création de nouveaux vecteurs. Lorsque nous avons un vecteur à disposition, on peut en créer deux en passant par un point intermédiaire, qui sera le point

extrémité du premier vecteur et le point origine du deuxième vecteur. Si le vecteur de départ est multiplié par un coefficient k, ce coefficient se distribue aux deux vecteurs créés.

Application : Montrer que AB DC AC DB

.

Démonstration :

3) Colinéarité :

a) Définition : On dit que u

et v

sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u kv

ou tel que v ku

.

(Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction)

b) Conséquences :

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB

et AC

sont colinéaires.

Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB

et MN

sont colinéaires.

Méthode : Comment montrer un alignement ou du parallélisme avec du calcul vectoriel ? Pour différentier les cas alignement et parallélisme, on choisit les vecteurs avec un point commun pour l’alignement.

On peut utiliser directement la relation de Chasles pour trouver une relation de la forme u kv

. Si cela semble peu évident, on

peut aussi utiliser la relation de Chasles pour décomposer u

et v

à l’aide des mêmes vecteurs intermédiaires (en utilisant les

relations vectorielles données par l’énoncé) et ainsi trouver la relation u kv

. On conclut alors à la colinéarité de u

et v

. Cela

nous donne du parallélisme de droite et la présence d’un point commun

aux deux vecteurs nous permet de conclure à l’alignement.

Application : A, B et C sont trois sommets d’un cube. On considère les

points P et T tels que 1

AP AB2

et BT 3AC 2AB

.

Montrer que les points C, T et P sont alignés.

Démonstration :


4) Combinaison linéaire de trois vecteurs :

a) Définition : On considère trois vecteurs u, v et w

.

On dit que u

est combinaison linéaire des vecteurs v et w

si et seulement si il existe deux réels k et k tels que u kv k w

.

Lorsqu’une telle égalité est impossible, on dit que u, v et w

sont linéairement indépendants.

Remarque : La disposition des vecteurs dans cette égalité peut changer car u

est combinaison linéaire des vecteurs v et w

si et

seulement si v

est combinaison linéaire des vecteurs u et w

si et seulement si w

est combinaison linéaire des vecteurs v et u

.

La définition reste encore valable avec quatre, cinq, six, etc ….vecteurs.

b) Propriété : Les vecteurs u, v et w

sont linéairement indépendants si et seulement si au bv cw 0

implique a = b = c = 0.

Méthode : Comment représenter une combinaison linéaire de vecteurs donnés ?

A partir d’un point d’application, on représente chacun des vecteurs au bout des précédents en respectant les trois

caractéristiques et en tenant compte des coefficients multiplicatifs éventuels. Application : Reprenons l’application précédente. A, B et C sont trois sommets d’un cube. On considère les points P et T tels

que 1

AP AB2

et BT 3AC 2AB

. Représenter le point T.

Démonstration :

Méthode : Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs à partir d’une figure ?

On décompose le vecteur à l’aide de la relation de Chasles pour obtenir une combinaison linéaire formée par les vecteurs demandés. On peut bien-sûr passer

provisoirement par l’utilisation de vecteurs égaux à ceux demandés. Application : Soit ABCDEFGH un cube. On considère le point I centre de la face EFGH, le point J milieu de [BC] et K centre de la face CDHG.

A l’aide des vecteurs AB, AD et AE

, déterminer les vecteurs AI, AJ et AK

.


Démonstration :

2 – Droite dans l’espace :

1) Définition vectorielle d’une droite : Soit d une droite, A un point de d.

On appelle vecteur directeur d’une droite, tout vecteur u

non nul de même direction que la droite d. (Il dirige la droite)

Un point M appartient à la droite d passant par A et de vecteur directeur u

si et seulement si il existe un réel t tel que AM tu

(Une droite est l’ensemble des points de l’espace formant des vecteurs colinéaires à un vecteur directeur donné, à partir d’un point donné).

2) Géométrie :

a) Par deux points A et B distincts de l’espace passe une droite et une seule : la droite (AB) de vecteur directeur AB

(par exemple).

b) Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

c) Par un point de l’espace, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée. On peut choisir que leurs vecteurs directeurs soient égaux.

d) Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Les trois vecteurs directeurs sont donc colinéaires. 3 – Plans dans l’espace : 1) Définition vectorielle d’un plan :

a) Définition 1 : On appelle direction d’un plan l’ensemble des vecteurs formés à partir des points appartenant au plan.

b) Définition 2 : Deux vecteurs non nuls non colinéaires appartenant à la direction d’un plan permettent de construire tous les autres vecteurs de ce plan par combinaison linéaire. On dit qu’ils engendrent la direction et on appelle ces vecteurs des vecteurs directeurs du plan.

c) Caractérisation : Soient p un plan, A un point de p et u

et v

deux vecteurs non colinéaires de p .

Un point M appartient au plan p passant par A et de vecteurs directeurs u

et v

si et seulement si il existe deux réels k et k’ tels

que AM ku k v

.

(Un plan est l’ensemble des vecteurs de l’espace en combinaison linéaire avec deux vecteurs directeurs donnés et formés à

partir d’un point donné)


2) Vecteurs coplanaires :

a) Définition : Trois vecteurs u

, v

et w

de l’espace sont coplanaires si on peut trouver des représentants de u

, v

et w

dans un

même plan, c’est-à-dire s’il existe des points A, B, C et D appartenant à un même plan tels que u AB

, v AC

et w AD

Remarque : Le résultat porte sur trois vecteurs car deux vecteurs non colinéaires sont toujours coplanaires. Les représentants des vecteurs ne sont pas obligatoirement attachés à un même point dans le plan commun mais c’est un principe qu’on essaiera d’appliquer pour avoir des certitudes sur le caractère coplanaire ou pour montrer que des points sont

coplanaires. Sur une figure, des vecteurs peuvent sembler ne pas être physiquement dans un même plan et pourtant être coplanaires. La

définition nous dit qu’il faut trouver des représentants de chaque vecteur dans un plan commun. A la différence, des points coplanaires doivent appartenir vraiment au plan.

b) Caractérisation : Soient u

, v

et w

des vecteurs de l’espace tels que u

et v

ne soient pas colinéaires.

Les vecteurs u

, v

et w

sont coplanaires si et seulement si, ils sont liés par une combinaison linéaire si et seulement si il existe

deux réels k et k’ tels que : w ku k v

.

Les vecteurs u

, v

et w

ne sont pas coplanaires si et seulement si, ils sont linéairement indépendants si et seulement si

au bv cw 0

implique a = b = c = 0.

Remarque : Comme nous le savons déjà, la disposition des vecteurs peut changer. En pratique, on essaye si possible de choisir la plus évidente.

Méthode : Comment montrer que des vecteurs sont coplanaires à partir d’une figure ?

On détermine un plan commun dans lequel on essaye de trouver des vecteurs représentants, égaux aux vecteurs étudiés. Si on y arrive les vecteurs sont coplanaires. Si un point formant un vecteur représentant n’est pas dans ce plan commun alors les vecteurs ne sont pas coplanaires.

Application : On considère un pavé droit ABCDEFGH représenté ci-contre. On

note I et J les milieux respectifs des côtés [GH] et [FG]. Montrer que les vecteurs

IJ, FD et DH

sont coplanaires et montrer que les vecteurs IG, FD et DH

ne le sont

pas.


Démonstration :

Méthode : Comment montrer que des vecteurs sont coplanaires avec du calcul vectoriel ? Comment montrer que quatre points

sont coplanaires ? Pour deux vecteurs, il suffit de montrer que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Pour trois vecteurs, il faut trouver une relation de combinaison linéaire à coefficients non tous nuls entre les trois vecteurs. La relation de Chasles et les égalités de vecteurs sont primordiales. Si la relation ne saute pas aux yeux, il peut être judicieux

d’exprimer chacun des vecteurs en fonction des mêmes vecteurs à définir. Ensuite, il est possible que nous ayons à résoudre un système d’équations. Pour montrer que quatre points sont coplanaires, il est judicieux de former les vecteurs à partir du même d’origine. Dans ce

cas, si les vecteurs formés sont coplanaires alors les quatre points seront coplanaires sinon, ils ne le seront pas.

Application : On considère une pyramide ABCDE de sommet E dont la base est le parallélogramme ABCD. Soit u AB

,

v 2AD DE

et w AC AE

. Démontrer que les vecteurs u, v et w

sont coplanaires.

Démonstration :

3) Géométrie :

a) Trois points A, B et C distincts non alignés définissent un unique plan. C’est, par exemple, le plan passant par A et de

vecteurs directeurs AB

et AC

.

b) Lorsqu’un plan contient deux points distincts A et B alors il contient toute la droite (AB).

c) Une droite d et un point A n’appartenant pas à la droite d définissent un plan et un seul.

M. ALBERNI

d) Si deux vecteurs directeurs d’un plan p sont colinéaires à deux vecteurs directeurs d’un plan

e) Si deux plans sont parallèles a un même troisième alors ces deux pla

deux vecteurs directeurs communs aux trois plans.

f) Tous les résultats de la géométrie plane s’appliquent dans chaque plan de l’espace. 4 – Intersections dans l’espace

1) Droite-Droite : a) Point de vue géométrique : Dans l’espace, deux droites

Remarques : Deux droites sécantes ou deux droites parallèles permettent de définir un plan et un seul.

b) Point de vue vectoriel : Soit d la droite de vecteur directeur

Méthode : Comment étudier le positionnement relatif entre deux droites

On teste le parallélisme de d et d’.

Si u

et u

sont colinéaires alors les droites sont parallèles ou confondus.

On prend un point A de la droite d

Si A appartient à d’ alors les droites sont confondues. Si A n’appartient pas à d

Si u

et u

ne sont pas colinéaires alors les droites sont sécantes ou non coplanaires.

La différence se fera en mettant en valeur l’existence d’un point commun entre

avec certitude que les droites ne sont pas dans le même plan


sont colinéaires à deux vecteurs directeurs d’un plan Q

e) Si deux plans sont parallèles a un même troisième alors ces deux plans sont parallèles entre eux. Dans ce cas, on peut choisir

deux vecteurs directeurs communs aux trois plans.

f) Tous les résultats de la géométrie plane s’appliquent dans chaque plan de l’espace.

:

: Dans l’espace, deux droites d et d’ peuvent être :

: Deux droites sécantes ou deux droites parallèles permettent de définir un plan et un seul.

la droite de vecteur directeur u

et d’ la droite de vecteur directeur

: Comment étudier le positionnement relatif entre deux droites ?

sont colinéaires alors les droites sont parallèles ou confondus.

d et on teste son appartenance à d’.

alors les droites sont confondues. d’ alors les droites sont strictement parallèles.

ne sont pas colinéaires alors les droites sont sécantes ou non coplanaires.

La différence se fera en mettant en valeur l’existence d’un point commun entre les deux droites

avec certitude que les droites ne sont pas dans le même plan.

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Q alors p et Q sont parallèles.

ns sont parallèles entre eux. Dans ce cas, on peut choisir

: Deux droites sécantes ou deux droites parallèles permettent de définir un plan et un seul.

la droite de vecteur directeur u

.

les deux droites ou bien en montrant

M. ALBERNI

Application : On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et L sont les milieux respectifs des arêtes [EH], [FG] et [GC].

O et K sont deux points tels que1

IO IJ2

et

1) (IO) et (DK). 2) (BJ) et (EF).

Démonstration :

2) Plan-Plan :

a) Point de vue géométrique : Dans l’espace, deux plans

b) Point de vue vectoriel : Soit p un plan et

Méthode : Comment étudier le positionnement relatif entre deux plans

On teste le parallélisme de p et p’. Cela peut être justifié par la construction de la figure.

Si existe deux vecteurs directeurs du plan plans sont parallèles.

On prend un point A du plan p et on teste son appartenance à

Si A appartient à p’ alors les plans sont c Si A n’appartient pas à p’

S’il est impossible de montrer que la propriété du

droite intersection en déterminant deux points communs aux deux plans. La droite passe par ces deux points. Remarque : Nous verrons une méthode différen


On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et L sont les milieux respectifs des arêtes [EH], [FG] et [GC].

IO IJ

et3

DK DC2

. Étudier les positions relatives des couples de droites suivants.

2) (BJ) et (EF). 3) (JL) et (BC).

: Dans l’espace, deux plans p et p’ peuvent être :

un plan et p’ un plan.

: Comment étudier le positionnement relatif entre deux plans ?

Cela peut être justifié par la construction de la figure.

plan p colinéaires à deux vecteurs directeurs du plan p’

et on teste son appartenance à p’.

alors les plans sont confondus. ’ alors les plans sont strictement parallèles.

que la propriété du 3 – 3) d) est vraie alors les plans sont sécants et no

droite intersection en déterminant deux points communs aux deux plans. La droite passe par ces deux points.

différente (et plus efficace) dans les prochains chapitres.

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On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et L sont les milieux respectifs des arêtes [EH], [FG] et [GC].

. Étudier les positions relatives des couples de droites suivants.

(propriété 3 – 3) d) alors les

sécants et nous devons identifier la

droite intersection en déterminant deux points communs aux deux plans. La droite passe par ces deux points.

M. ALBERNI

Application : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des deux plans. Justifier.1) (AIE) et (BIG) 2) (ADI) et (BJC).

Démonstration :

3) Droite-Plan :

a) Point de vue géométrique : Dans l’espace,

b) Point de vue vectoriel : Soit p un plan de vecteurs directeurs

Méthode : Comment étudier le positionnement relatif entre

On teste le parallélisme de p et d. 1er cas :

Si on connait un vecteur de p qui est colinéaire à

On prend un point A de la droite d Si A appartient à p alors la droite est incluse dans le plan.

Si A n’appartient pas à p

Si on ne connait pas un tel vecteur, on ne peut rien conclure et il faut passer au deuxième cas. 2e cas :

Si les vecteurs u

, v et w

sont coplanaires alors

On prend un point A de la droite d Si A appartient à p alors la droite est incluse dans le plan.

Si A n’appartient pas à p

Si les vecteurs u

, v et w

ne sont pas coplanaires (

Il s’agit alors de trouver le point commun au plan et à la droite.

Remarque : Nous verrons une méthode différente da


ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [ CD]. Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des deux plans. Justifier.

2) (ADI) et (BJC). 3) (HEF) et (BJC).

: Dans l’espace, pour un plan p et une droite d :

de vecteurs directeurs v et w

et d une droite de vecteur directeur

: Comment étudier le positionnement relatif entre un plan et une droite ?

qui est colinéaire à u

alors le plan et la droite sont parallèles.

d et on teste son appartenance à p. alors la droite est incluse dans le plan.

alors le plan et la droite sont strictement parallèles.

connait pas un tel vecteur, on ne peut rien conclure et il faut passer au deuxième cas.

sont coplanaires alors le plan et la droite sont parallèles.

d et on teste son appartenance à p. alors la droite est incluse dans le plan.

alors le plan et la droite sont strictement parallèles.

ne sont pas coplanaires (ils sont alors linéairement indépendants) alors le plan et la droite sont sécants.

Il s’agit alors de trouver le point commun au plan et à la droite.

: Nous verrons une méthode différente dans les prochains chapitres.

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de vecteur directeur u

.

inéairement indépendants) alors le plan et la droite sont sécants.


Application : ABCDEFGH est un cube. M est le milieu de [CD] ; N est le centre de la face ABCD ; P est le milieu de [GH] ; Q est le centre de la face BCGF. Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection entre le plan et la droite. Justifier.

1) (AEGC) et (FB). 2) (ACE) et (GN). 3) (PQ) et (ABC).

Démonstration :

5 – Base et repère de l’espace : 1) Base :

a) Définition : On appelle base d’un plan tout couple i , j

formé de vecteurs du plan non colinéaires.

On appelle base de l’espace tout triplet i , j, k

formé de vecteurs non coplanaires.

Remarque : les vecteurs i , j et k

sont non nuls et non colinéaires deux à deux.

Méthode : Comment montrer que deux vecteurs forment une base d’un plan ? Comment montrer que trois vecteurs forment une base de l’espace ? Pour montrer que deux vecteurs forment une base d’un plan, il faut montrer que ces vecteurs sont des vecteurs du plan et qu’ils ne sont pas colinéaires. Pour montrer que trois vecteurs forment une base de l’espace, il faut montrer que ces vecteurs ne sont pas coplanaires. Application : ABCDEFGH est un parallélépipède et O est le centre du parallélogramme EFGH. 1) Donner deux vecteurs qui forment une base du plan (ABC).

2) a) Justifier que AC,OH

est une base du plan (ABC).

b) Compléter AC,OH

pour former une base de l’espace.

3) GO, FB,CE

est-elle une base de l’espace ? Justifier.


Démonstration :

b) Propriété et définition : Soit i , j, k

une base de l’espace.

Pour tout vecteur u

de l’espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que u xi yj zk

.

(x ; y ; z) sont les coordonnées de u

dans la base i , j, k

. On écrit

x

u y

z

.

Méthode : Comment décomposer un vecteur dans une base ? Il faut écrire ce vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. La relation de Chasles et les égalités de vecteurs sont primordiales. Application : On considère un tétraèdre ABCD. Soit I le milieu de [DC] et J le milieu de [BD].

1) Justifier que les vecteurs u AB

, v AC

et w AD

forment une base de l’espace.

2) Exprimer les vecteurs suivants en fonction de u, v et w

, puis en déduire leurs coordonnées dans la base u, v, w

.

a) AJ

b) BI

c) BD

.

Démonstration :


2) Repère :

a) Définition : Un repère de l’espace est un quadruplet O; i, j, k

où O est un point de l’espace (appelé origine du repère) et

i , j, k

est une base de l’espace.

b) Propriété et définition : Soit O; i, j, k

un repère de l’espace. Pour tout point M, il existe un unique triplet de réels

(x ; y ; z) de réels tels que OM xi yj zk

.

(x ; y ; z) sont les coordonnées de M, x est l’abscisse de M, y est l’ordonnée de M et z est la cote de M. On écrit M (x ; y ; z)

Remarque : Par convention, pour ne pas les confondre, on écrit les coordonnées des points en ligne et les coordonnées des

vecteurs en colonne mais ce n’est pas une erreur d’écrire tout en ligne.

c) Calcul analytique : L’espace est rapporté au repère O; i, j, k

.

i) Soit

x

u y

z

et

x

v y

z

alors

x x

u v y y

z z

et

kx

ku ky

kz

pour tout k réel ;

ii) u

= 0

si et seulement si x = 0, y = 0 et z = 0.

iii) u v

si et seulement si x = x’, y = y’ et z = z’.

iv) Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB) deux points et I leur milieu alors B A

B A

B A

x x

AB y y

z z

et I A B A B A Bx x y y z z

; ;2 2 2

.

Remarque : Toutes les définitions et propriétés vues dans ce chapitre pourront être abordées du point de vue des coordonnées.

Méthode : Comment déterminer les coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle ?

On calcule les coordonnées des vecteurs de la relation avec la formule du cours. Lorsqu’un point a des coordonnées inconnues, on pose x, y et z ce qui nous amènera à résoudre des équations.

Application : L’espace est muni d’un repère O; i, j, k

On donne les points A 2;4;3 , B 0;1;5 et C 5; 3;3 . On appelle G le centre de gravité du triangle ABC défini par l’égalité

vectorielle GA GB GC 0

. Déterminer les coordonnées du point G dans le repère O; i, j, k

.

Démonstration :


Méthode : Comment montrer que des vecteurs sont colinéaires ou pas avec des coordonnées ? Comment montrer que trois points définissent un plan ?

On calcule les coordonnées des vecteurs. S’il existe un coefficient évident qui multiplie les trois coordonnées du premier vecteur pour obtenir les trois coordonnées du

deuxième vecteur alors les vecteurs sont colinéaires. Si deux coordonnées du premier vecteur se multiplient par deux coefficients différents évidents pour obtenir les deux coordonnées correspondantes du deuxième vecteur, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Si les coefficients n’apparaissent pas de manière évidente, on peut aussi diviser les coordonnées d’un vecteur par les coordonnées correspondantes de l’autre vecteur. Cela permet, en cas d’égalité des rapports, de conclure à la colinéarité. Si au

moins deux coefficients différents apparaissent alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Pour montrer que trois points définissent un plan, il suffit de former deux vecteurs qui ont le même point origine et de montrer qu’ils ne sont pas colinéaires.

Application :

1) On donne les points A 1;2;1 , B 2; 1;3 et C 3; 4;5 . Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

2) On donne A 2;3; 2 , B 1;3;1 et C 1;1;0 . Démontrer que A, B et C définissent un plan.

Démonstration :

Méthode : Comment montrer que trois vecteurs ou quatre points sont coplanaires avec des coordonnées ?

On calcule les coordonnées des trois vecteurs. Si l’énoncé nous demande de calculer les coordonnées d’une combinaison linéaire donnée et qu’on obtienne des coordonnées

nulles, on peut conclure que les vecteurs sont coplanaires.

Sinon, on forme une relation de la forme w ku k v

avec k et k’ deux réels à déterminer. On passe aux coordonnées. Cela

nous donne un système de trois équations à deux inconnues. (Astuce pratique : Si un de vecteurs a une coordonnée nulle, il

vaut mieux placer ce vecteur dans la combinaison linéaire ; le système sera plus simple à résoudre.) On résout le système. Pour cela, on fait une première résolution avec deux équations du système que l’on choisie. Et en cas de solution, on vérifie la cohérence du système en utilisant la ligne qui était mise de côté. Si le système est cohérent, les vecteurs

sont coplanaires. Par contre, s’il est incohérent, les vecteurs ne sont pas coplanaires. Pour déterminer si quatre points sont coplanaires, il suffit de reprendre la méthode décrite ci-dessus avec des vecteurs formés à

partir du même point d’appui.

Application :

1) Dans l’espace muni d’un repère O; i, j, k

, on considère les vecteurs

1

u 2

3

,

1

v 2

3

et

3

w 2

3

.

a) Calculer les coordonnées du vecteur 2u v w

.

b) Que peut-on en déduire ?


Démonstration :

2) Dans la base i , j, k

, on donne les vecteurs u i j 2k

, v i j 2k

et w 3i j 2k

.

a) Déterminer deux réels a et b tels que w au bv

.

b) Que peut-on en déduire ?

Démonstration :

3) On donne les points A 1;2;1 ; B 1; 2;3 , C 2;2;5 et D 1;0;0 .

a) Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

b) Que peut-on dire de D,DA, DB,DC

?

Démonstration :

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Chapitre 2 terminale spé math Vecteurs - e-monsite