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Chapitre 3 : Théorème de Gauss
Flux d’un champ de vecteurs……………………………………………………………….Notion d’un angle solide…………………………………………………………………....Flux à travers une surface finie du champ créé par une charge ponctuelle………………... Théorème de Gauss………………………………………………………………………...Conséquence du théorème de Gauss……………………………………………………….Forme locale du théorème de Gauss……………………………………………………….
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Théorème de Gauss
I- Flux d’un champ de vecteurs
1) Représentation vectorielle d’une surface
Un élément de surface d’aire dS entourant un point M de l’espace, peut être représenté par le vecteur tel que : où est le vecteur unitaire normal à la surface d’aire dS au point M.
2) Orientation d’une surface
L’orientation d’une surface est donnée par le sens de la normale qui peut être imposé d’une façon arbitraire.
a) Cas d’une surface ouverte :
" une surface ouverte possède deux faces s’ouvrant sur l’extérieur "
Soit (C) le contour fermé sur lequel s’appuie la surface ouverte d’aire S (cf.fig.ci-dessous). On choisit un sens de parcours arbitraire sur ce contour.
Le sens de est donné par la règle de la main droite : On place les doigts dans le sens de la circulation et le pouce levé indique le sens du vecteur normal à la surface qui s’appuie sur ce contour.
n
n face positive
l’orientation du contour fixe le sens de la normale à surface
dS
dl
S
( C )
M
n
* La face qui se trouve du coté de est par convention une face positive.
* La face qui se trouve du coté opposé à est par convention une face négative
b) Cas d’une surface fermée :
" une surface fermée est une surface qui possède un intérieur et un extérieur "
Dans ce cas, il n’y a plus de bord, on convient de définir l’orientation de la normale vers l’extérieur de la surface.
3) Définition du flux
Etant donné un champ de vecteurs uniforme et une surface plane orientée parallèle au vecteur . Le flux noté de à travers l’aire est par définition :
Il mesure la quantité de lignes de champ traversant la surface S.
Si la surface plane S est inclinée et fait un angle avec les lignes de champ (cf.fig ci-dessous).
Le flux dans cette configuration est donné par : (cf. définition ci-dessus)
Le nombre de lignes interceptées par Sn (projection de la surface S sur un plan normal aux lignes de champ) est égal aux lignes de champ traversant S.
Soit :
On peut donc dire que le flux associé à un champ uniforme s’écrit :
Si le champ n’est pas uniforme ou la surface n’est pas plane, on divise la surface considérée en petits éléments de surface S pouvant être considérés comme plans.
Le flux total à travers la surface S est égal à la somme :
A la limite, quand S 0 et i devient infini, cette somme discrète devient une intégrale continue. On peut donc écrire :
: l’intégration (ici double) porte sur la surface S
II- Notion d’angle solide
a) Définition
L’angle solide élémentaire, noté d, sous lequel on voit un élément de surface orienté
centré sur un point M, à partir d’un point O, est le flux du vecteur à travers cet
élément de surface.
b) Convention de signe de l’angle solide d
d > 0 si rentre du coté négatif de (0 < ).
d < 0 si rentre du coté positif de ( <
<
).
L’angle solide global, sous lequel d’un point O, on voit une surface orientée S, est donné par l’expression :
: l’intégration (ici double) porte sur la surface S
face positive
r
O
d
dS
n
u
M
u
III- Flux à travers une surface finie du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
1) Flux élémentaire
Selon la définition du flux élémentaire d’un champ de vecteurs en un point M :
L’expression de peut être écrite sous la forme : , où est l’angle solide
sous lequel du point O (où se trouve la charge), on voit l’élément de surface orienté .
2) Flux global de
L’expression de flux global de est donnée par :
l’intégration (ici double) porte sur la surface S
:
l’angle solide sous lequel on voit la surface S
r
q
d
u
M
dS E
O
face positive
dO
S
qE 1 E 2
dS 1
dS 2
1) Flux de à travers une surface fermée
a) Cas ou la charge est à l’extérieur de la surface S
Si la charge q se trouve à l’extérieur de S, alors le flux
de à travers S est nul.
En effet :
est le flux de à travers et est le flux de à travers :
Du point O, on voit les surfaces dS1 et dS2 de la même façon puisqu’ils correspondent au
même cône. D’après le signe de , nous avons 0 et 0, c'est-à-dire :
.
Le flux résultant à travers la surface S est alors nul :
b) Cas où la charge se trouve à l’intérieur de la surface S.
où est l’angle solide sous lequel, de l’endroit où se trouve la charge, on voit la surface interne de S. C’est aussi l’angle solide sous lequel, toujours de l’endroit où se trouve la charge q, on voit une sphère S1 de centre O et de rayon unité. Il vient :
q
dS1
d
M
dS
R = 1
E
n
S
OS1
où dS1 est la surface élémentaire de la sphère S1 de rayon unité.
D’où : , et finalement :
Soit :
IV- Théorème de Gauss
1) Enoncé
Le flux du vecteur champ électrostatique à travers une surface fermée est égal au quotient
par de la somme des charges se trouvant à l’intérieur de cette surface.
Exemple : Soient un ensemble de six charges ponctuelles et une surface fermée S (cf.fg.ci-dessous). Calculons le flux de champ à travers S.
Le champ , en tout point sur la surface de Gauss, est créé par toutes les charges de la distribution; mais dans le calcul du flux on ne tient compte que des charges internes.
1q
2q
6q
3q
ferméeS
E
5q
EE
E
2) Remarques
i/ Le théorème de Gauss peut être appliqué sur toutes les distributions (discrète, linéique, surfacique ou volumique), qui présentent une symétrie.
ii/ La surface considérée qui est en général une surface fictive s’appelle surface de Gauss. Cette surface est choisie en fonction du problème considéré.
iii/ Dans le cas de charges ponctuelles, on doit éviter que la surface de Gauss passe sur l’une des charges. Cette difficulté disparaît dans le cas d’une distribution continue.
V- Conséquences du théorème de Gauss
1) Caractère conservatif du flux du champ électrostatique
a) Notion de tube de champ
Un tube de champ est une surface engendrée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour (courbe) fermé (cf.fig ci-dessous). Pour un champ uniforme, les lignes de champ sont des droites parallèles. Dans ce cas, un cylindre dont l’axe est parallèle aux lignes de champ est un tube de champ.
b) Enoncé
Le flux du vecteur champ électrique à travers une surface fermée ne contenant pas de
charges est nul. Dans ce cas, on dit que est à flux conservatif.
Dans la figure ci-dessous on a représenté un tube de champ et deux sections , de celui-ci.
Le flux à travers la surface est , le flux à travers est et le flux à travers la paroi du
tube de champ est .
E
E
D’après le théorèmeme de Gauss :
car le champ électrique est tangent en tout point à la surface (le champ ne
traverse pas la surface latérale).
Soit : et
A travers une surface fermée, de forme quelconque et ne contenant pas de charges, le flux du vecteur champ électrique entrant est égale au flux sortant. On dit dans ce cas que le champ
est à flux conservatif.
3) Continuité ou discontinuité du champ à la traversée d’une surface chargée
La composante tangentielle du champ électrostatique est continue. Par contre, la composante normale du champ présente une discontinuité à la traversée d’une surface chargée.Soient la densité superficielle de charges et la normale sur S, orientée du milieu vers le milieu (cf.fig.ci-dessous). M1 et N1 sont deux points très proches situés de part et autre de la surface chargée S.
a) Composantes tangentielles
n1n2
nlat
E
S1
S2
Slat
E 1T
N 1 N 2
M 1M 2
E 2T
milieu
N1
M
M1
milieu E 1
E 2
S
1
2
S
E 1N
N1
M 1
E 1
E 1T
E 2N
E 2T
E 2
M 2
N2
milieu
milieu n
On choisit des points très proches de la surface tels que :
A la traversée de la surface chargée et au voisinage de cette dernière, nous avons la continuité du potentiel.
et
Sachant que :
On en déduit :
b) Composantes normales
Le flux du champ à travers un cylindre de bases dS1 et dS2 (cf.fig.ci-dessus) est :
étant le flux à travers la paroi latérale. Lorsqu’on fait tendre et vers on a
:
milieu
milieudS 1
dS 2
dS 3
n 1
n 2
dS
E 1N
E 2N
charge interne = dS
M 2
M1
M
n
milieu
M2
M1
milieu
M
charge interne
= dS
dS1
dS2
E 2
E 1n 11
2
et
De plus , donc on peut écrire en M :
ou
VI- Forme locale du théorème de Gauss
1) Notion de divergence
On appelle divergence d’un champ de vecteurs , que l’on note , le scalaire :
Théorème de la divergence
Le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de
la divergence de sur le volume intérieur à S. On suppose que les dérivées de sont continues.
L’expression mathématique de ce théorème est la suivante :
2) Equation de Poisson
a) Expression de l’équation de Poisson
Dans la figure ci-dessous on a représenté une charge dq placée au point M et une surface fermée dS traversée par des lignes de champ .
d
dS
E
M
dq = d 0
les lignes de champ
divergent
dS
E
M
d
dq = d 0
les lignes de champ
convergent
Le flux du vecteur à travers la surface dS est :
où d est le volume intérieur à dS.
Le théorème de la divergence permet d’écrire :
soit :
Par ailleurs V étant le potentiel associé à : .
Donc :
Finalement cette équation (appelée équation de Poisson) devient :
(M) est le défaut ou l’excès de charges par unité de volume au point M.
b) Définition de laplacien
La quantité est appelée le laplacien de V, notée V.
Dans les trois systèmes de coordonnées, le laplacien a pour expressions :
L’équation de Poisson peut s’écrire :
c) Remarques
i/ Dans une région où il n’y a pas de charges, nous avons = 0 et on obtient alors une équation appelée équation de Laplace : V = 0
ii/ Sous sa forme locale ou différentielle, le théorème de Gauss relie le champ électrostatique en un point M à la densité de charges (M) en ce point.
