Chapitre 4 Expériences multifactorielles plans fractionnaires

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Chapitre 4 Expériences multifactoriellesplans fractionnaires

Plans fractionnaires 2 k – p

Utilisation de Statistica

Exemple : conception et analyse d’un plan avec 8 facteurs

Autres plans

Copyright © Génistat Conseils Inc., 2004, Montréal, Canada

Chapitre 4

2

conception d’un plan fractionnaire

Exemple 1 : plan 4 facteurs en 8 essais - plan noté 24 - 1

- départ : plan complet 23 pour 3 facteurs A, B, C = 8 essais

- ajout 4 ième facteur D en confondant ses valeurs avecl’interaction triple D = ABC (relation de définition)

- hypothèse : effet d’interaction ABC est négligeable

-effets confondus – algèbre des effets confondus (acétate suivante)A = BCD B = ACD C = ABD

AB = CD AC = BD AD = BC BC = AD BD = AC CD = AB

- plan de 4 facteurs en 8 essais 16 essais plan complet 24

économie : 50% des essais

méthode : ajout de facteurs avec des effets d’interaction d’ordre élevé

Plan 23 24 25 26 ………nombre facteurs 3 4 5 6 ………nombre essais 8 16 32 64 ………

Chapitre 4Copyright © Génistat Conseils Inc., 2004, Montréal, Canada

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algèbre de relation des effets confondus :

plans avec facteurs à 2 modalités ± 1

Exemple 1 : plan 2 4 – 1 D définit par D = ABC

BCD = BC (ABC) = A B 2 C 2 = A car B 2 = C 2 = I = identité

B = ACD

C = ABD

AB = CD

AC = BD

AD = BC

BC = AD

BD = AC

CD = AB

tous ces résultats

viennent de l’équation

D = ABC

déplacer les lettres de part et d’autre de l’égalité


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Exemple 2 : plan 5 facteurs en 16 essais - plan noté 25 - 1

- départ : plan complet 24 pour 4 facteurs A, B, C, D = 16 essais

- ajout 5ième facteur E en confondant ses valeurs avecl’interaction quadruple E = ABCD

- hypothèse : effet d’interaction ABCD est négligeable

- effets confondusA = BCDE B = ACDE C = ABDE D = ABCE

AB = CDE AC = BDE AD =BCE AE = BCDBC = ADE BD = ACE BE =ACD CD = ABE CE = ABD DE = ABC


économie : 50% des essais


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Exemple 3 : plan pour 6 facteurs en 16 essais - plan 2 6 - 2

choix 1 : E = ABCD et F = BCD- départ : plan complet 24 pour 4 facteurs A, B, C, D = 16 essais- ajout 5ième facteur E en confondant ses valeurs avec E = ABCD

- ajout 6ième facteur F en confondant ses valeurs avec F = BCD

- effets confondus A = BCDE B = ACDE C = ABDE D = ABCE

AB = CDE AC = BDE AD =BCE AE = BCDBC = ADE BD = ACE BE =ACD CD = ABE CE = ABD DE = ABC EF = A


- économie : 75% des essais mais ….. pas un bon choixpas recommandé de confondre effet principal avec effet d’interaction

meilleur choix pour définir E et F ? ( page suivante)


6


Exemple 3 : plan pour 6 facteurs en 16 essais - plan 2 6 - 2

choix 2 : E = ABC et F = BCD- départ : plan complet 24 pour 4 facteurs A, B, C, D = 16 essais- ajout 5ième facteur E en confondant ses valeurs avec E = ABCD

- ajout 6ième facteur F en confondant ses valeurs avec F = BCD

- effets confondus B = ACE = CDF C = ABE = BDF D = BCF

A - B - C- D : 6 interactions doubles AB AC AD BC BD CD

AE = A(ABC) = A2BC = BC AF = A(BCD) = ABCDBE = B(ABC) = AB2C = AC BF = B(BCD) = B2CD = CDCE = AB CF=BD DE = ABCD DF = BCEF = AD


économie : 75% des essais - choix 2 préférable à choix 1


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Exemple 5 : plan pour 5 facteurs en 8 essais - plan 25 - 2

- départ : plan complet 23 pour 3 facteurs A, B, C = 8 essais

- ajout 4 ième facteur D en confondant ses valeurs avecl’interaction triple D = ABC (relation de définition)

- ajout 5 ième facteur E en confondant ses valeurs avecl’interaction double E = AB (relation de définition)

- effets confondus

A = BCD B = ACD C = ABD AB = CD AC = BD AD = BC AE = A(AB) = BBC = AD BD = AC BE = B(AB) = ACD = AB CE = C (AB) = ABCDE = (ABC) (AB) = A2 B2 C = C

effet principal de A confondu avec l’interaction BEeffet principal de B confondu avec l’interaction AEeffet principal de C confondu avec l’interaction DE

pas recommandé de confondre effet principal avec effet d’interactionplan 2 5-2 pas recommandé


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niveau de résolution d’un plan

niveau interprétationIII effets principaux confondus avec des

interactions doublesIV effets principaux non confondus avec des

interactions doubles et effets d’interactionsdoubles confondus avec d’autres interaction doubles

V séparation complète de toutes les interactionsdoubles et des effets principaux

V+ séparation de tous les effets

Recommandation

- tamiser les facteurs : niveau IV et plus

- modéliser et optimiser avec facteurs critiques : niveau V et V+

- niveau III : seulement si toutes les interactions sont négligeables


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Recommandation :plans pour tamiser des facteurs

# facteurs # d’essais résolution

2 4 V+3 8 IV4 8 IV 5 16 V6 -7 16 IV 8 16 IV

9 à 15 32 IV16 32 IV17 à 31 64 IV

nombre de facteurs ≤ nombre d’essais / 2


10

plans pour 2 à 15 facteurs

IV16

IV16

IV16

IV16

V16

V16

VI16

VIII32

Complet64

128

IV16

IV16

IV16

IV16

IV16

IV16

IV16

V16

VII16

Complet32

64

IV8

IV8

IV8

IV8

IV8

IV8

IV8

IV8

IV8

VI16

Complet16

32

III1

III2

III2

III4

III4

III4

III4

IV8

IV8

IV8

V8

Complet

8

16

III1

III2

III2

IV4

Complet

4

8

III1

Complet

2

4

15141312111098765432nombred’essais

n o m b r e d e f a c t e u r s

résolution nombre maximal de blocs possibles


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FACT. FRACT. ESSAIS RÉSOL. GÉNÉRATEURS____________________________

3 1/2 4 III C = ± AB___________________________4 1/2 8 IV D = ± ABC_________________________5 1/2 16 V E = ± ABCD

______ 1/4 8 III D = ± AB E = ± AC________________6 1/2 32 VI F = ± ABCDE

1/4 16 IV E = ± ABC F = ± BCD1/ 8 8 III D = ± AB E = ± AC F = ± BC________

7 1/2 64 VII G = ± ABCDEF1/4 32 IV F = ± ABCD G = ± ABDE1/8 16 IV E = ± ABC F = ± BCD G = ± ABC1/16 8 III D = ± AB E = ± AC F = ± BC G = ± ACD

8 1/2 128 VIII H = ± ABCDEFG1/4 64 V G = ± ABCD H = ± ABEF1/8 32 IV F = ± ABC G = ± ABD H = ± BCDE1/16 16 IV E = ± BCD F = ± ACD G = ± ABC

H = ± ABD

conception plan fractionnaire : 3 à 8 facteurs


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FACT. FRACT. ESSAIS RÉSOL. GÉNÉRATEURS___________________

9 1/4 128 VI H = ± ACDFG J = ± BCEFG1/8 64 V G = ± ABCD H = ± ACEF J = ± CDEF

1/16 32 IV F = ± BCDE G = ± ACDE H = ± BCDE J = ± ABCE1/32 16 IV E = ± ABC F = ± BCD G = ± ACD

H = ± ABD J = ± ABCD10 1/8 128 V H = ± ABCG J = ± ACDE K = ± ACDF

1/16 64 IV G = ± BCDF H = ± ACDF J = ± ABDE K = ± ABCE1/32 32 IV F = ± ABCD G = ± ABCE H = ± ABDE

J = ± ACDE K = ± BCDE1/64 16 III E = ± ABC F = ± BCD G = ± ACD

H = ± ABD J = ± ABCD K = ± AB11 1/32 64 IV G = ± CDE H = ± ABCD J = ± ABF

K = ± BDEF L = ± ADEF1/64 32 IV F = ± ABC G = ± BCD H = ±CDE

J = ± ACD K = ± ADE L = ± BDE 1/16 16 III E = ± ABC F = ± BCD G = ± ACD

H = ± ABD J = ± ABCD K = ± AB L = ± AC 12 1/256 16 III E = ± ABC F= ± ABD G = ± ACD H = ± BCD

J = ± ABCD K = ± AB L = ± AC M = ± AD13 1/512 16 III E = ± ABC F= ± ABD G = ± ACD H = ± BCD

J = ± ABCD K = ± AB L = ± AC M = ± AD N = ±BC14 1/1024 16 III comme 13 facteurs et O = ± BD

15 1/2048 16 III comme 13 facteurs et O = ± BD P = ± CD

conception plan fractionnaire : 9 à 15 facteurs


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Utilisation de Statistica


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Création du plan d’expériences

2 à 11 facteurs

Plan : 26-2

analyse


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Utilisation de Statistica Plan : 2 6-2

-11-11118

-1-1-111-17

1-1-11-116

11-11-1-15

1-1-1-1114

11-1-11-13

-11-1-1-112

-1-1-1-1-1-11

VD_ 1FEDCBA

11111116

1-1111-115

-1-111-1114

-1111-1-113

-1-11-11112

-111-11-111

111-1-1110

1-11-1-1-19

VD_ 1FEDCBA

Y réponse Chapitre 4Copyright © Génistat Conseils Inc., 2004, Montréal, Canada

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Exemple : conception et analyse d’une expérience avec 8 facteurs

Machine CNC ( commande numérique) à 5 axes employée pour

usiner des aubes ( (« blade ») turbine à jet. Profil aube est une caractéristique importante pour la qualité.

Y = écart type (X 10 3 in) d’une série de mesures sur le profil obtenu

et le profil idéal (dessin).

Objectif : minimiser Y « smaller the better »

Facteur nom unité niveau (-) niveau ( + )A x-axis shift 0.001 in. 0 15B y-axis shift 0.001 in. 0 15C z-axis shift 0.001 in. 0 15D tool vendor - 1 2E a-axis shift 0.001 deg. 0 30F spinule speed % nominal 90 110G fixture height 0.001 in. 0 15H feed rate % nominal 90 110


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Plan ? 6 possibilités

décision : 32 essais 28 - 3 F = ABC

G = ABD

H = BCDE


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221.2093.351100110011515158

140.8712.39110159001151507

261.7775.9190159001150156

60.9082.489001100115005

41.3894.019009001015154

290.8882.4390151100101503

161.8216.18110151100100152

181.0152.76110090010001

runorderLn Y

Y déviation

profile

H feed rate

G fixture height

F spindlespeed

Ea-axis shift

D tool

vendor

CZ-axisshift

BY-axisshift

A X-axisshift

. . . . . . . . . . . .

311.2243.401101511030215151532

51.4844.411100903021515031

201.2953.65900903021501530

91.4914.449015110302150029

données de l’expérience


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Analyse du plan

spécification

des variables


20


Spécification du modèle


21


Modèle ordre 2


22


Avertissement : les effets

8 effets principaux A, B, …, H

28 = (8 x 7) /2 effets d’interaction AB, AC,….FG

ne sont pas tous isolés - il y a des effets confondus

acétate 23


23


(8)H feed rate

(7)G fixture height

(6)F spindlespeed

(5)E a-axis shift

(4)D tool vendor

(3)C Z-axisshift

(2)B Y-axisshift

(1)A X-axisshift

AliasAlias

2 * 5

1 * 8

2 * 41 * 7

2 * 31 * 6

1 * 5

2 * 71 * 4

2 * 61 * 3

4 * 73 * 61 * 2

AliasAlias

5 * 6

4 * 8

4 * 5

3 * 8

4 * 63 * 7

3 * 5

6 * 73 * 4

2 * 8

AliasAlias

effets confondus

7 * 8

6 * 8

5 * 8

5 * 7

AliasAlias


24


ANOVA et effets


25


Diagramme de Pareto des Effets Standardisés ; Variable: lnYVD: lnY

-.013498.1304041-.156788.214328.3489637.3777582-.391067.4182424.4554086-.482074

-.686904-.748641

.9204201-.94227-1.032071.061652-1.20029-1.344321.40982-1.43196

1.620874-1.65468

2.6262822.882921

3.094874-5.34663

7.738754-9.9743

p=.05

Estimation de l 'Effet Standardisé (Valeur Absolue)

(5)E a-axis shift

1*2

2*8

3*7

4*5

(3)C Z-axis shift

3*4

(6)F spindle speed

1*6

1*7

3*8

2*5

(7)G fixture height

(1)A X-axis shift

attention : effets confondus ! voir acétate 23

diagramme fait avec les

valeurs de la statistique t

de Student


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Exemple : conception et analyse d’une expérience avec 8 facteursEffets Estimés : Var.:lnY; R²=.98721; Aj.:.86779

-0.0190.3780-1.030.038-0.039(6)F spindlespeed

0.0200.36631.060.0380.0403 * 5

-0.0230.3162-1.200.038-0.0451 * 6 ou 2 * 3

-0.0250.2715-1.340.038-0.0501 * 8

0.0260.25341.410.0380.0531 * 7 ou 2 * 4

-0.0270.2476-1.430.038-0.0545 * 7

0.0300.20351.620.0380.0613 * 8

-0.0310.1966-1.650.038-0.0621 * 3 ou 2 * 6

0.0490.07862.630.0380.0992 * 5

0.0540.06342.880.0380.108(4)D tool vendor

0.0580.05353.090.0380.116(7)G fixture height

-0.1000.0128-5.350.038-0.201(2)B Y-axisshift

0.1450.00457.740.0380.290(1)A X-axisshift

-0.1870.0021-9.970.038-0.3741 * 4 ou 2 * 7

1.2800.000068.260.0191.280Moy/Ord.Orig

coeffspt(3)Er-TypeEffet

-0.0000.9901-0.010.038-0.001(5)E a-axis shift

0.0020.90450.130.0380.0057 * 8

-0.0030.8854-0.160.038-0.0061 * 2

0.0040.84400.210.0380.0081 * 5

0.0070.75020.350.0380.0132 * 8

0.0070.73080.380.0380.014(8)H feed rate

-0.0070.7219-0.390.038-0.0153 * 7 ou 4 * 6

0.0080.70390.420.0380.0164 * 8

0.0090.67980.460.0380.0174 * 5

-0.0090.6627-0.480.038-0.0185 * 6

-0.0130.5415-0.690.038-0.026(3)C Z-axisshift

-0.0140.5084-0.750.038-0.0286 * 8

0.0170.42520.920.0380.0353 * 4

-0.0180.4156-0.940.038-0.0355 * 8

coeffpt(3)Er-TypeEffet


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Exemple : conception et analyse d’une expérience avec 8 facteursANOVA; Var.:lnY; R²=.98721; Aj.:.86779

0.84400.050.000510.00051 * 5

0.002199.491.119711.11971 * 4

0.19662.740.030810.03081 * 3

0.88540.020.000310.00031 * 2

0.73080.140.001610.0016(8)H feed rate

0.05359.580.107810.1078(7)G fixture height

0.37801.070.012010.0120(6)F spindlespeed

0.99010.000.000010.0000(5)E a-axis shift

0.06348.310.093510.0935(4)D tool vendor

0.54150.470.005310.0053(3)C Z-axis shift

0.012828.590.321710.3217(2)B Y-axis shift

0.004559.890.674010.6740(1)A X-axis shift

pFMCdlSC

312.6390Total SC

0.011330.0338Erreur

0.90450.020.000210.00027 * 8

0.50840.560.006310.00636 * 8

0.41560.890.010010.01005 * 8

0.24762.050.023110.02315 * 7

0.66270.230.002610.00265 * 6

0.70390.170.002010.00204 * 8

0.67980.210.002310.00234 * 5

0.20352.630.029610.02963 * 8

0.72190.150.001710.00173 * 7

0.36631.130.012710.01273 * 5

0.42520.850.009510.00953 * 4

0.75020.120.001410.00142 * 8

0.07866.900.077610.07762 * 5

0.27151.810.020310.02031 * 8

0.25341.990.022410.02241 * 7

0.31621.440.016210.01621 * 6

0.84400.050.000510.00051 * 5

pFMCdlSC


28


Tracé de Probabilité ; Var.:lnY; R²=.98721; Aj.:.867792**(8-3); MC Résidus =.0112546

VD: lnY

(5)E a-axis shift7*81*21*52*8(8)H feed rate3*74*84*55*6(3)C Z-axis shift6*83*45*8(6)F spindle speed3*51*61*81*75*73*81*3

2*5(4)D tool vendor

(7)G fixture height(2)B Y-axis shift

(1)A X-axis shift

1*4

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

- Interactions - Effets princ. et autres effetsEffets Standardisés (valeurs t) (Valeurs Absolues)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Val

eur N

orm

ale

Théo

rique

(Nor

mal

ité p

ar M

oitié

)

.05

.25

.45

.65

.75

.85

.95

.99

effets importants : A B D G AD


29


Nouvelle analyse basée sur les facteurs A B D G


Effets; Var.:lnY; R-sqr=.88649; Adj:.85338MS Residual=.0124813 DV: lnY

0.8829-0.1490.0395-0.00591 * 2

0.19321.3390.03950.05291 * 4

0.01152.7380.03950.1081(3)D toolvendor

0.00722.9390.03950.1161(4)G fixtureheight

0.0000-5.0770.0395-0.2005(2)B Y-axisshift

0.00007.3490.03950.2903(1)A X-axisshift

0.0000-9.4720.0395-0.37411 by 3

0.000064.8160.01971.2801Mean/Interc.

pt(24)Err.typeEffet

ANOVA; R-sqr=.88649; Adj:.85338

312.6390Total SS

0.0125240.2996Errur

0.19321.7920.022410.02241 * 4

0.000089.7111.119711.11971 * 3

0.88290.0220.000310.00031 * 2

0.00728.6370.107810.1078(4)G fixtureheight

0.01157.4940.093510.0935(3)D toolvendor

0.000025.7770.321710.3217(2)B Y-axisshift

0.000054.0020.674010.6740(1)A X-axisshift

pFMCdlSC

30



Pareto Chart of Standardized Effects; Variable: lnY2**(4-1) design; MS Residual=.0124813

DV : lnY

-.148885

1.33875

2.73759

2.938858

-5.0771

7.348637

-9.47157

p=.05

Standardized Effect Estimate (Absolute Value)

1by2

1by4

(3)D tool vendor

(4)G fixture height

(2)B Y-axis shift

(1)A X-axis shift

1by3

31


minimum de Y : A = 0 B = 15 D = 1


Plot of Marginal Means and Conf. Limits (95.%)DV: lnY

Design: 2**(4-1) designNOTE: Std.Errs. for means computed from MS Error=.0124813

A X-axis shif t 0 A X-axis shif t 15

D tool vendor: 1

B Y -ax is shif t:0

150.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

lnY

D tool vendor: 2

B Y-axis shif t:0

15

32

Autres plans expérimentaux

Central composite (Box-Wilson)Box-BehnkenPlackett - BurmanPlans en blocs, carrés latins, Greco LatinArrangements Taguchi ( « linear array » )Mélanges ( « mixture » )Designs avec contraintes sur les facteursDesigns optimaux algorithmiquesSplit PlotFacteurs emboîtés (« nested »)


33

Central composite ( Box-Wilson )

facteurs avec 5 modalités- α -1 0 1 α

α >= 1α dépend du nombre

de facteurs k et autres critères

valeurs souvent employées:

α = 1 , k0.5 , nc0.25

surfaces de réponses pour optimisation

avec polynômes du deuxième degré


34

Box- Behnken : facteurs à 3 modalités

essai A B C1 - - 02 - + 03 + - 04 + + 05 - 0 -6 - 0 +7 + 0 -8 + 0 +9 0 - -

10 0 - +11 0 + -12 0 + +13 0 0 014 0 0 015 0 0 0

centre du cube : ( 0 , 0 , 0 )

Exemple : 3 facteurs A B C - modalités codées : -1 0 1


35

Plan en blocs - plans Split Plot

Blocs regroupement des d’essaistenir en compte desfacteurs secondaires

facteursessai A B … bloc

1 . . 1 2 . . 1 k ….……… 1

k +1 . . 2 k +2 . . 2

…………. 2…………………..

n-1 tn .. t

Split Plotassignation des traitementsavec restriction sur la

randomisation

2 catégories d’unitésexpérimentales : plot

split plot

a1 a2facteur 1

facteur 2

b1

b2

b3

b4


36

Plans de surface de réponse

central composite et Box-Behnken


Documents

Chapitre 4 Expériences multifactorielles plans fractionnaires