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Chapitre 5
Choix et demande
Rationalité économique
Un consommateur choisit un panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles.
Ensemble des paniers disponibles = ensemble de budget.
Nous avons vu au chapitre précédent ce qu’on voulait dire par « préféré »
Nous voulons dans ce chapitre intégrer ces deux dimensions (ensemble de budget et préférences)
Rationalité économique
Notre objectif: étudier comment le panier choisi par le consommateur est affecté par des changements exogènes dans les prix ou dans la richesse du consommateur.
Important: Les prix et/ou la richesse changent mais les préférences ne changent pas.
Programme mathématique (PC) décrivant le choix rationnel sous-
contrainte
Cxx
RxpxpqcsxxU
n
nnnxx n
),...,()2
...)1...),...(max
1
111,...1
Le programme mathématique (PC)
A toujours au moins une solution (théorème de Bolzano-Weirstrass)
Une solution est un panier qui est préféré par le consommateur à tous les autres paniers disponibles
Peut on obtenir une intuition géométrique sur ce choix rationnel ?
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2Utilité
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x2
x1
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Utilité
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
utilité
x1
x2
Disponible mais pas optimal
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Utilité
disponible, mais pas optimal.
Le préféré parmiles paniersDisponibles.
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Utilité
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
Utilité
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
Utilitéx1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
paniersdisponibles
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Paniersdisponibles
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
Paniers disponibles
Paniers préférés
Choix Rationnel sous contrainte
Paniers disponibles
x1
x2
Panierspréférés
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
x1*
x2*
Choix Rationnel sous contrainte
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) est le panierpréféré dans l’ensembledes paniers disponibles.
Choix Rationnel sous contrainte
Le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles (solution du programme PC) est appelé DEMANDE MARSHALLIENNE
Cette demande Marshallienne est une fonction (si solution unique) ou une correspondance (si solution multiples) des prix et de la richesse.
On note cette relation fonctionnelle x1*(p1,p2,R) et x2*(p1,p2,R).
Choix rationnel sous contrainte
Lorsque C = Rn+ et xi* > 0 pour tous les biens i, le panier demandé est dit INTERIEUR.
Si acheter (x1*,…,xn*) coûte R euros alors la contrainte budgétaire est saturée.
Choix Rationel sous-contrainte
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) est intérieur.
(x1*,x2*) sature la Contrainte budgetaire.
Choix Rationnel sous Constrainte
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) est intérieur.(a) (x1*,x2*) sature la C. B.p1x1* + p2x2* = R.
Choix Rationnel sous Contrainte
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) est intérieur .(b) La pente de la courbed’indifférence à (x1*,x2*) est égale à la pente de la droite de budget.
Choix Rationnel sous contrainte (x1*,x2*) satisfait 2 conditions: (a) la contrainte budgétaire est
saturée p1x1* +…+ pnxn* = R
(b) la pente de la droite de budget, -pi/pj, et la pente de la courbe d’indifférence passant par (x1*,x2*) sont égales à (x1*,x2*).
Choix Rationnel sous contrainte La condition (a) sera vérifiée par tout
choix d’un panier préféré dès lors que les préférences sont localement non-saturables (que le panier demandé soit intérieur ou non)
La condition (b) ne sera vérifiée que si le panier choisi est intérieur.
Comment résoudre PC ?
Cxx
RxpxpqcsxxU
n
nnnxx n
),...,()2
...)1...),...(max
1
111,...1
Comment résoudre PC ?
Puisque la contrainte budgétaire est saturée (si les préférences sont localement non-saturables) on peut écrire
p1x1* +…+ pnxn* = R
x1* = (R - p2x2* -…- pnxn* )/p1
(PC) devient donc:
),...,,...(max 211
22
1,...2
nnn
xxxx
p
xp
p
xp
p
RU
n
Les solutions intérieures de ce programme (sans contrainte) satisfont (si dérivabilité) les conditions de 1er ordre:
ix
xxU
p
p
x
xxU
i
nin
0),...,(
)(),...,( **
1
11
**1
jip
p
x
xxU
x
xxU
j
i
j
n
i
n
,),...,(
),...,(
**1
**1
Et donc:
1
*
1
*2
1
*1
**1
....
,),...,(
2
p
xp
p
xp
p
Rx
évidemmentavec
jip
pxxTMS
nn
j
inij
Si les préférences sont convexes, ces conditions sont en fait
SUFFISANTES pour indiquer un panier optimal
Plus précisément un panier (x1*,…xn*) qui satisfait:
..
....
,),...,(
1
*
1
*2
1
*1
**1
2
BCsatisfontquipaniersautres
lestousàfaiblementpréféréest
p
xp
p
xp
p
Rx
et
jip
pxxTMS
nn
j
inij
Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple
Cobb-Douglas On se rappelle que les préférences
Cobb-Douglas se représentent par la fonction d’utilité.
U x x x xa b( , )1 2 1 2
Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple
Cobb-Douglas Si les préférences se représentent
par. Alors
U x x x xa b( , )1 2 1 2
MUUx
ax xa b1
1112
MUUx
bx xa b2
21 2
1
Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas. Donc le TMS est
.
/
/
1
21
21
21
1
2
1
1
2
bx
ax
xbx
xax
xU
xU
dx
dxTMS
ba
ba
Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas. Donc le TMS est
A (x1*,x2*), TMS = -p1/p2 donc
./
/
1
21
21
21
1
2
1
1
2
bx
ax
xbx
xax
xU
xU
dx
dxTMS
ba
ba
ax
bx
pp
xbpap
x2
1
1
22
1
21
*
** *. (A)
Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas. Puisque (x1*,x2*) sature également la
contrainte budgétaire, on a
.*22
*11 Rxpxp (B)
Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas.. Nous savons donc que
xbpap
x21
21
* * (A)
.*22
*11 Rxpxp (B)
Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple
Cobb-Douglas.. Nous savons donc que
Substituons dans (B)x
bpap
x21
21
* * (A)
.*22
*11 Rxpxp (B)
Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-
Douglas. Nous savons donc que
xbpap
x21
21
* * (A)
.*22
*11 Rxpxp (B)
.*1
2
12
*11 Rx
ap
bppxp
Substituons
Pour obtenir
Ce qui se simplifie pour donner ….
Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-
Douglas .
.)( 1
*1 pba
aRx
Déterminer les Demandes Marshalliennes – un exemple Cobb-
Douglas.
.)( 2
*2 pba
bRx
En substituant pour x1* dans
Rxpxp *22
*11
On obtient
.)( 1
*1 pba
aRx
Déterminer les demandes Marshalliennes – Un exemple
Cobb-Douglas.Nous avons donc découvert que le panier disponible préféré d’un consommateuravec des préférences Cobb-Douglas
U x x x xa b( , )1 2 1 2
est ).)(
,)(
(),(21
*2
*1 pba
Rb
pba
Raxx
Préférences Cobb-Douglas: une illustration géométrique.
x1
x2
1
*1 )( pba
Rax
2
*2
)( pba
Rb
x
U x x x xa b( , )1 2 1 2
Qu’arrive t-il si le panier préféré contient une quantité nulle d’un bien ?
Un exemple: le cas des substituts parfaits
x1
x2
TMS = -1
Un exemple: Le cas des substituts Parfaits
x1
x2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 > p2.
Un exemple: le cas des substituts parfaits
x1
x2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 > p2.
Un exemple: Le cas des substituts parfaits
x1
x2
2
*2 p
Rx
x1 0*
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 > p2.
Un exemple: le cas des substituts parfaits
x1
x2
1
*1 p
Rx
x2 0*
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 < p2.
Un exemple: Le cas des substituts parfaits
Donc, si U(x1,x2) = x1 + x2, la demande marshallienne est
0,),,(),,,((
1212211 p
RRppxRppx MM si p1 < p2
si p1 > p2.
2212211 ,0),,(),,,((
p
RRppxRppx MM
Un exemple- le cas des substituts parfaits
x1
x2
TMS = -1
pente = -p1/p2 avec p1 = p2.
1p
R
2p
R
Un exemple: le cas des substituts parfaits
x1
x2Tous les paniers satisfaisant la contrainte à égalité sont préférés aux autres Paniers disponibles lorsque p1 = p2.
2p
R
1p
R
Un exemple: Le cas des substituts parfaits
Donc, dans ce cas la demande marshallienne est une correspondance Définie par
)0,(),,(),,,((1
212211 p
RRppxRppx MM si p1 < p2
si p1 > p2.
),0(),,(),,,((2
212211 p
RRppxRppx MM
RxpxpRxxRppxRppx MM 22112
21212211 :),()),,(),,,((
si p1 = p2
Autre exemple de solution de coin -des préférences non-convexes
x1
x2m
ieux
Autre exemple de solution de coin- des préférences non-
convexes
x1
x2
Autre exemple de solution de coin – des préférences non-Convexes
x1
x2
Quel est le panier disponiblepréféré?
Autre exemple de solution de coin – des préférences non-
convexes
x1
x2
Le panier disponiblepréféré
Autre exemple de solution de coin– des préférences non-convexes
x1
x2
Le panier disponible préféré
Notons que la condition (de 1er ordre) TMS = p1/p2
ne caractérise pas le panier disponible préféré ici.
Un exemple non-dérivable- Les préférences pour les compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1a
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2
TMS = 0
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2
TMS = -
TMS = 0
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2
TMS = -
TMS = 0
TMS pas défini
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
Quel est le panier disponiblepréféré ?
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
Le panier disponiblepréféré
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*
x2*
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*
x2*
(a) p1x1* + p2x2* = R
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*
x2*
(a) p1x1* + p2x2* = R(b) x2* = ax1*
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = Rce qui nous permet d’obtenir
21
*1 app
Rx
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.
La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = Rce qui nous permet d’obtenir
etapp
Rx
21
*1
21
*2 app
aRx
Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments
parfaits
x1
x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2 = ax1
21
*1 app
Rx
21
*2
app
aR
x
Un exemple non-dérivable – les préférences pour les
compléments parfaits Demande marshallienne est une
fonction (solution unique) Préférences strictement convexes et
compléments parfaits: impliquent toujours unicité des solutions