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IntroductionSéries trigonométriques
Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Chapitre 5 - Séries de Fourier
Paul DARTHOS
Institut supérieur de l'automobile et des transports - NEVERS
7 mai 2020
Paul DARTHOS Chapitre 5 - Séries de Fourier
IntroductionSéries trigonométriques
Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Joseph Fourier est né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le 16mai 1830 à Paris. Ce scienti�que (mathématicien etphysicien), élève de Joseph-Louis Lagrange, Gaspard Monge etPierre-Simon Laplace puis professeur à l'école Polytechnique,est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctionspériodiques en séries trigonométriques convergentes, appeléesséries de Fourier. Il a ainsi posé les fondations de l'analyseharmonique, qui consiste en l'étude des signaux comme unesuperposition d'ondes de base, au travers de son étude de lapropagation de la chaleur.
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Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
L'idée est de décomposer un signal périodique de période T etde forme quelconque comme somme d'un signal sinusoïdal depériode T (fondamentale) et de signaux sinusoïdaux dont lespériodes sont des diviseurs de T (signaux harmoniques).
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Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fouriercomprend deux volets :
l'analyse : on part de la fonction périodique et ondétermine la suite de ses coe�cients de Fourier (passagedu continu au discret) ;
la synthèse : on recompose la fonction à l'aide de la suitede ses coe�cients de Fourier (passage du discret aucontinu).
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Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Les séries de Fourier sont très utiles dans l'ingénierie et l'étudede signaux périodiques, notamment des courants électriques,des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore ou le traitementd'images.
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Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Dé�nition
On appelle série trigonométrique toute série de fonctions dela forme
∑un, avec :
∀x ∈ R,
{u0(x) =
a02
∀n ∈ N∗, un(x) = an cos(nx) + bn sin(nx).
Notation
Par convention, on notera les sommes partielles d'une sérietrigonométrique sous la forme :a02
+n∑
k=1
[ak cos(kx) + bk sin(kx)] avec b0 = 0.
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Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Dé�nition
Une fonction f : R −→ C, 2π-périodique, est développableen série trigonométrique si elle est limite simple d'une sérietrigonométrique.
Exemple
Les fonctions sin et cos sont développables en sériestrigonométriques.
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Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Théorème
Si la série trigonométrique∑
un converge simplement sur Rvers la fonction f , alors : ∀x ∈ R, f (x) =
∑n∈Z
cneinx avec :
∀n ∈ N,
cn =
an − ibn2
c−n =an + ibn
2
.
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Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Remarque
Attention, comme∑n∈Z
cneinx = lim
N→+∞
N∑n=−N
cneinx , il faut
savoir que le fait que cette somme soit �nie ne signi�e pas
nécessairement que+∞∑n=0
cneinx soit �nie, ni que
0∑n=−∞
cneinx soit
�nie.
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Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Exemple
On s'intéresse à la série trigonométrique∑
qne
inx avecq ∈]− 1 ; 1[.En s'intéressant à sa somme partielle, on a : ∀x ∈ R,
N∑n=0
qne
inx =N∑
n=0
(qeix
)n=
1−(qeix
)N+1
1− qeix.
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Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Exemple
Comme q ∈]− 1 ; 1[, on a :∣∣qeix
∣∣ < 1 donc :
limN→+∞
(qeix
)N+1= 0.
On en déduit :+∞∑n=0
qne
inx =1
1− qeix.
La série trigonométrique converge simplement vers
f : x 7→ 1
1− qeix.
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Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Propriété
Si les séries numériques∑
an et∑
bn sont absolumentconvergentes, alors la série trigonométriquea02
+∑
[an cos(nx) + bn sin(nx)] est normalement
convergente sur R.
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Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Exemple
Les séries trigonométriques∑ cos(nx)
n2et∑ sin(nx)
n2convergent normalement sur R.
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Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Conséquence
Dans les mêmes hypothèses que la propriété précédente, ennotant f la limite simple de la série trigonométrique, on peutdire que f est 2π-périodique et continue sur R.
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Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Propriété
Si les suites numériques (an) et (bn) sont décroissantes vers 0(donc nécessairement positives), alors la série trigonométriquea02
+∑
[an cos(nx) + bn sin(nx)] est :
simplement convergente sur R\{2kπ | k ∈ Z} ;uniformément convergente sur tout intervalle[2kπ + α ; 2(k + 1)π − α] où k ∈ Z et α ∈ ]0 ; π[.
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Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques
Conséquence
Dans les mêmes hypothèses que la propriété précédente, ennotant f la limite simple de la série trigonométrique, on peutdire que f est 2π-périodique et continue sur R\{2kπ | k ∈ Z}.
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Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Dé�nition
On dit qu'une fonction f : R −→ C est continue par
morceaux si, sur tout intervalle borné, elle ne possède qu'unnombre �ni de points de discontinuité.
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Dé�nition
On dit qu'une fonction f : R −→ C est C1 par morceaux si,sur tout intervalle borné, à l'exception d'un nombre �ni depoints, elle est dérivable et sa dérivée est continue.
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Notation
On pose les notations suivantes.
On note E l'espace vectoriel des fonctions dé�nies sur R,2π-périodiques, C1 par morceaux et possédant en toutpoint de discontinuité a, des limites à gauche et à droite.
On note f (a+) et f (a−) les limites à droite et à gauchede f en a.
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Dé�nition
On appelle coe�cients de Fourier d'une fonction f ∈ E lesnombres dé�nis par : ∀n ∈ N,
an =1
π
∫ 2π
0
f (t) cos(nt) dt,
bn =1
π
∫ 2π
0
f (t) sin(nt) dt.
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Conséquence
On en déduit que, pour toute fonction f ∈ E :
Si f est paire, alors tous les coe�cients bn sont nuls.
Si f est impaire, alors tous les coe�cients an sont nuls,sauf éventuellement a0.
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Théorème
Si la série trigonométrique∑
cneinx (avec n ∈ Z) converge
uniformément vers la fonction complexe 2π-périodique f alors :
∀n ∈ Z, cn =1
2π
∫ 2π
0
f (t)e−intdt.
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Dé�nition
Le coe�cient cn, parfois noté cn(f ) ou f̂ (n), est appelé len-ième coe�cient de la série de Fourier.
Remarque
Le coe�cient cn(f ) est la valeur moyenne de t 7→ f (t)e−int .En particulier, le coe�cient c0(f ) est égal à la valeur moyennede f .
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Conséquence
On a donc la correspondance suivante entre les coe�cients deFourier réels et complexes : ∀n ∈ N,
an = cn + c−n ;
bn = i(cn − c−n).
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Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase
Dé�nition
La pulsation d'une fonction T -périodique, notée ω, est le
nombre ω =2π
T.
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Propriété
On peut généraliser l'étude conduite précédemment auxfonctions T -périodiques, avec les fonctions de baset 7→ cos(nωt) et t 7→ sin(nωt), qui sont égalementT -périodiques.Les coe�cients de Fourier sont, dans ce cas :
∀n ∈ N, an =2
T
∫ T
0
f (t) cos(ωnt) dt ;
∀n ∈ N, bn =2
T
∫ T
0
f (t) sin(ωnt) dt ;
∀n ∈ Z, cn =1
T
∫ T
0
f (t)e−inωtdt ;
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Remarque
Toutes les propriétés vues précédemment s'appliquent demême dans le cas où f est T -périodique.
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Propriété
La suite de fonctions harmoniques, terme général d'une sérietrigonométrique, dé�nie par :
∀x ∈ R,
{u0(x) =
a02
∀n ∈ N∗, un(x) = an cos(nωx) + bn sin(nωx),
peut s'écrire :
∀x ∈ R,
{u0(x) =
a02
∀n ∈ N∗, un(x) = An cos(nωx + ϕn)où{
An = |zn|ϕn = arg(zn)
avec zn = an − ibn.
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Remarque
Ainsi, l'harmonique de rang n est un signal (co)sinusoïdal
d'amplitude An, de périodeT
net donc de fréquence nf , et de
phase à l'origine ϕn.
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Dé�nition
Le spectre d'amplitude d'une série trigonométrique est lareprésentation graphique de l'amplitude An d'une composantede base en fonction de sa pulsation nω : c'est un spectre deraies.
Remarque
La première raie, correspondant à n = 0, correspond au doublede la valeur moyenne du signal (composante constante de cesignal).
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Dé�nition
Le spectre de phase d'une série trigonométrique est lareprésentation graphique de la phase ϕn d'une composante debase en fonction de sa pulsation nω : c'est également unspectre de raies.
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GénéralitésPhénomène de Gibbs
Dé�nition
On appelle série de Fourier de f la série trigonométriquedé�nie par les sommes partielles
SN(f ) : x 7→ a02
+N∑
n=1
[an cos(nx) + bn sin(nx)].
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GénéralitésPhénomène de Gibbs
Théorème
Théorème de Dirichlet-Jordan.
Si f ∈ E , alors la série de Fourier de f converge simplement
versg : R −→ C
x 7−→ f (x+) + f (x−)
2
.
Corollaire
Si la fonction f ∈ E est continue en a, alors sa série de Fourierconverge ponctuellement en a vers f (a).
Remarque
L'égalité en un point entre la fonction et sa série de Fourierpermet notamment de calculer certaines séries numériques.
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GénéralitésPhénomène de Gibbs
Lorsque l'on s'intéresse à une fonction f de classe C1 parmorceaux (ayant donc un nombre �ni de points dediscontinuité sur une période), nous avons vu que la série deFourier de f converge uniformément vers f sur tout intervallefermé ne contenant pas de point de discontinuité de f . Auvoisinage d'un point de discontinuité x0, il y a un e�et debord : la série de Fourier ne peut pas converger uniformément,cela mettrait en défaut le théorème vu lors de l'étude desséries de fonctions.
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GénéralitésPhénomène de Gibbs
En fait, au voisinage de x0, la somme partielle SN (qui estcontinue) subit une forte oscillation, de l'ordre de 9% del'amplitude de la discontinuité (notée ∆y).
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Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval
Théorème
Pour toute fonction f continue par morceaux et T -périodique,on a :
1
T
∫ T
0
|f (t)|2 dt =∑n∈Z
|cn|2 .
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Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval
Conséquence
Si f est de plus à valeurs dans R, on a alors :
1
T
∫ T
0
|f (t)|2 dt =1
4a0
2 +1
2
+∞∑n=1
(an
2 + bn2).
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Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval
Remarque
L'égalité de Parseval met en avant l'égalité du calcul de lapuissance moyenne d'un signal périodique de période T àpartir de sa représentation dans le domaine temporel oufréquentiel.
Remarque
Lorsque l'intégrale est plus facile à calculer que la série,l'égalité de Parseval est un moyen de calculer un certainnombre de séries numériques.
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Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval
Propriété
Deux fonctions f et g continues T -périodiques ayant lesmêmes coe�cients de Fourier sont égales.
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Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval
Propriété
Si f est une fonction continue T -périodique, alors la suite(cn(f )) des coe�cients de Fourier de f tend vers 0 lorsque ntend vers ±∞.
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Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval
Conséquence
Si f est une fonction continue T -périodique de classe Ck ,alors :
cn(f ) = o|n|→+∞
(1
nk
).
Remarque
En résumé : plus une fonction est régulière, plus sescoe�cients de Fourier convergent vite vers 0 !
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
On s'intéresse au � signal créneau � représenté ci-dessous.
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
On lit graphiquement une expression de la fonction sur
l'intervalle
[−T
2;T
2
], car la fonction est T -périodique :
u : t 7→
−A si t ∈]−T
2; 0
[0 si t ∈
{−T
2; 0 ;
T
2
}A si t ∈
]0 ;
T
2
[ .
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
La fonction u est donc C1 par morceaux, on peut calculer sescoe�cients de Fourier.
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
Comme u est trivialement impaire, les coe�cients an sont tousnuls pour n ∈ N∗ et comme de plus la valeur moyenne de u est0 (trivial), on a a0 = 0.
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
On a ensuite : ∀n ∈ N,
bn =2
T
∫ T2
−T2
u(t) sin(ωnt) dt
= · · · (voir notes de cours)
=2A
nπ(1− (−1)n)
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
Ainsi, on procède par disjonction des cas selon la parité de n :
si n est pair alors bn = 0 ;
si n est impair alors bn =4A
nπ.
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
On en tire la série de Fourier associée à u :
+∞∑p=0
4A
(2p + 1)πsin((2p + 1)ωt)
=4A
π
[sin(ωt) +
1
3sin(3ωt) +
1
5sin(5ωt) + · · ·
]
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
Graphiquement, cela donne les courbes suivantes en choisissantdiverses valeurs de n (et donc de p), ce qui permet d'observerla convergence de la série de Fourier vers le signal créneau.
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Ordre n = 7 (p allant de 0 à 3)
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Ordre n = 21 (p allant de 0 à 10)
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
Ordre n = 201 (p allant de 0 à 100)
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
On observe sur ces graphiques l'uniforme convergence de lasérie de Fourier vers la fonction f sur les zones de continuitéet le phénomène de Gibbs au voisinage des points dediscontinuité.
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Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
Par simple observation des coe�cients de la série de Fourier,on détermine que :
∀n ∈ N, An =
{0 si n est pair ;4A
nπsi n est impair.
.
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On en tire le spectre d'amplitude de ce signal :
Paul DARTHOS Chapitre 5 - Séries de Fourier
IntroductionSéries trigonométriques
Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction
Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau
Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes
On y observe bien que la valeur moyenne de la fonction(correspondant à la moitié de A0) est nulle, et que lesharmoniques impaires ont des amplitudes décroissantes.
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En considérant le cas particulier où A = 1 et T = 2π, ons'intéresse à la fonction
u : t 7→
−1 si t ∈]− π ; 0[0 si t ∈ {−π ; 0 ; π}1 si t ∈ ]0 ; π[
sur l'intervalle [−π ; π].
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La série de Fourier associée à u est alors :
+∞∑p=0
4
(2p + 1)πsin((2p + 1)t).
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On a en particulier l'égalité donnée par le théorème de
Dirichlet appliqué en a =π
2, où la fonction u est continue :
u(π2
)= 1⇐⇒
+∞∑p=0
4
(2p + 1)πsin(
(2p + 1)π
2
)= 1
⇐⇒+∞∑p=0
4× (−1)p
(2p + 1)π= 1
⇐⇒+∞∑p=0
(−1)p
2p + 1=π
4
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Remarque
Cette identité, appelée identité de Leibniz, correspond enfait au développement en série de Taylor de la fonction arctanen a = 1.Elle a été découverte en Occident au XVIIe siècle mais étaitdéjà utilisée par le mathématicien indien Madhava (fondateurde la grande école mathématique de la province du Kerala),vers 1400, pour calculer une approximation de π. Il estplausible que les travaux mathématiques indiens ont étéconnus à la �n du XIXe siècle, pendant la colonisation del'Inde par la Grande-Bretagne.
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On peut également appliquer l'identité de Parseval à la sériede Fourier de u, qui est bien continue par morceaux et2π-périodique, cela donne :
1
4a0
2 +1
2
+∞∑n=1
(an
2 + bn2)
=1
2π
∫ 2π
0
|u(t)|2 dt
⇐⇒ 1
2
+∞∑p=0
(4
(2p + 1)π
)2
=1
2π
∫ 2π
0
1 dt
⇐⇒ 8
π2
+∞∑p=0
1
(2p + 1)2= 1
⇐⇒+∞∑p=0
1
(2p + 1)2=π2
8
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De cette égalité, on tire même la somme de la série numériquede Riemann avec α = 2 :
S =+∞∑n=1
1
n2⇐⇒ S =
+∞∑p=0
1
(2p + 1)2+
+∞∑p=1
1
(2p)2
⇐⇒ S =+∞∑p=0
1
(2p + 1)2+
1
4
+∞∑p=1
1
p2
⇐⇒ S =π2
8+
1
4S
⇐⇒ 3
4S =
π2
8
⇐⇒ S =π2
6
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