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Chapitre 6 : distance hyperfocale et profondeur de champ
1 La netteté en photographie
Dans tout appareil de prise de vue, ladistance entre l’émulsion sensible etl’objectif est variable (c’est le tirage
optique).Dans un boîtier photo ou une caméra,c’est l’objectif qui se déplace par rapportau boîtier, et donc à l’émulsion. Dansune chambre photographique, c’est lechâssis porte-émulsion qui se déplacepar rapport à l’ensemble.
En photographie, faire la mise au point sur un sujet AB signifie que l’on règle la distance
objectif-émulsion, de telle sorte que le plan de l’émulsion coïncide exactement avec le plan de
l’image optique A’B’.
Tous les points images de l’objet AB se forment alors sur l’émulsion, ils sont absolument nets.La netteté absolue n’est réalisable que pour un seul plan du sujet photographié (le plan de
mise au point).
1.1 Mise au point et netteté absolueConsidérons un objectif photo, sans aberration, que l’on assimile à une lentille mince. Àchaque objet plan AB correspond une image plane A’B’.
1.2 Tolérance de netteté d’un support et netteté relative
Tous les points du sujet autres que ceux du plan de mise au point AB donnent sur l’émulsionsensible une tache lumineuse image non ponctuelle. La dimension de cette tache dépend dela distance de ces points sujets à au plan AB.
Soit A1 un point sujet entre A et lefoyer objet F, son image A’1 seraentre A’ et l’infini.
Soit A2 un point sujet entre A etl’infini, son image A’2 sera entre A’et le foyer image F’.
Les rayons issus de A1 forment unetache de diamètre d1 sur l’émulsion.Les rayons issus de A2 forment unetache de diamètre d2 sur l’émulsion.
Dans certaines conditions, ces taches peuvent être assimilées à un point par l’œil, quiprésente une capacité de discernement des détails limitée, en raison de la taille finie descellules photoréceptrices de la rétine qui permettent la vision. Cette capacité est mesurée parle pouvoir séparateur de l’œil.
L‘œil voit donc les cercles formés par les rayons lumineux qui se croisent devant et derrière le
film comme des points tant qu'ils ne dépassent pas une certaine taille. On parle de cercle de
confusion.
� Si le diamètre d de la tache image est supérieur à la tolérance de netteté τ, l’œil voit unetache image non ponctuelle au lieu d’un point image.L’ensemble de ces taches donne une image floue. Le flou est d’autant plus important que d estsupérieur à τ.En prise de vue, on a intérêt à avoir :
� soit une image nette en tous les points.� soit une image présentant une partie nette et une partie très floue.
En effet, si le flou de l’image est faible (d légèrement supérieur à τ), l’œil cherche malgré tout àaccommoder pour obtenir une image nette, mais ne pouvant y parvenir, il se fatigueinutilement, ce qui crée une impression désagréable. Au contraire, si une partie de l’image estcomplètement floue (d très supérieur à τ), l’œil accommode sur les parties nettes et le flouconstitue simplement un environnement, une ambiance.
� Si le diamètre d de la tache image
d’un point A sur la photographie estinférieure ou égale à une certainedistance τ (appelée tolérance de
netteté ou netteté tolérée), l’œil perçoitun seul point image.L’ensemble de ces points images A’donne une image relativement nette.On parle de netteté relative.
L’œil va assimiler à un point toute imagese formant sur la rétine et ayant unedimension inférieure à la distance
moyenne entre deux cônes.
La notion optique de point objet, ayant pour image par le système optique un point image setransforme donc en photographie en la notion d’un cercle objet, qui a pour image une tache
image, assimilée à un seul point image par l’œil tant que la taille du cercle objet n’est pas tropgrande, ou résolue par l’œil en plusieurs points images à partir d’un rayon limite du cercle.
Dans l’espace objet, le cercle le plus grand que l’œil peut percevoir comme un point imageunique s’appelle le cercle de confusion. La taille de ce cercle dépend naturellement de ladistance du plan sujet considéré à l’œil.
Il existe donc un seuil angulaire minimal de séparation de deux points voisins par l’œil : cetangle minimum est le pouvoir résolvant (ou pouvoir séparateur) de l’œil. Il peut être estimé audépart de la distance moyenne entre deux cônes. Sa valeur moyenne est de :
32 0,3.10 rad 0,0172° 1,03'β α −= ≈ ≈ ≈
1.2.1 Pouvoir séparateur de l’œil
Un œil moyen peut donc distinguer deux points sujets voisins, séparés de 0,3 mm, à unedistance de 1 mètre. En effet, si D est le diamètre du cercle de confusion se trouvant dans unplan situé à une distance d, on a :
2tan tan et donc : 2 tan 2 .
2
DD d d d
d
βα α α β= = = ≈ =
-3 -3si 1m, =0,3.10 rad on a 0,3mm ;si 20cm, =0,3.10 rad on a 0,06mmd D d Dβ β= = = =
Notons que le pouvoir séparateur de l’œil varie avec le contraste et l’éclairement. Si lecontraste ou l’éclairement diminue, le pouvoir séparateur diminue.
Remarque : c’est l’écartement des cônes sur la rétine qui fixe le pouvoir séparateur de l’œil.
Comme l’œil peut être assimilé à une lentille à focale variable formant l’image des objets àune distance image p’ de l’ordre de 15 mm, on peut calculer la distance y’ séparant auminimum deux points images sur la rétine.
On trouve, en appliquant les formules bien connues de l’optique géométrique :
''
py Gy y
p= =
33
6
15.10' 0,3.10
1
4,5.10 4,5
y
m mµ
−−
−
=
= ≈
Cette distance est biencomparable à la distance
moyenne entre deux cônes, surla rétine, qui vaut environ 4
µm.
pour deux points sujets séparésde 0,3 mm à une distance de1m :
1.2.2 Tolérance de netteté de l’image finale (du positif)
La tolérance de netteté pour une image finale dépend du format de l’image terminalerecherchée. Elle se détermine en fonction du pouvoir séparateur de l’œil, mais aussi en tenant
compte de la distance à laquelle l’image finale sera visionnée.
Par exemple, une image finale sur un papier de petit format sera regardée plus près qu’uneplus image tirée sur un papier de plus grande dimension, donc la netteté tolérée sur unegrande image est plus grande que la netteté tolérée sur une plus petite image finale.
De la même manière, une image destinée à la projection sur un grand écran (comme aucinéma) devra être plus fine qu’une image destinée à une projection sur une plus petitesurface (comme une diapositive).
Le tableau suivant donne une valeur indicative pour la netteté tolérée τ sur l’image finale, enfonction du format :
Format final Tolérance de netteté ττττ de l’image finale
18 × 24 cm 1/7 mm
9 × 12 cm 1/10 mm
6,5 × 9 cm à 4,5 × 6 cm 1/20 mm
Formats inférieurs 1/30 mm
diapositive 0,03 mm
Pellicule positive de cinéma 0,02 mm
Variation de la représentation de l'image de 2 points. -A Théorique -B Les 2 point sont des
taches discernables le CdC admissible n'est pas atteint -C Le CdC admissible est légèrement
dépassé -D le CdC amissible est largement dépassé
1.2.3 Tolérance de netteté de l’image intermédiaire (du négatif)
Sur une image intermédiaire (comme un négatif) ou une image projetée, la dimension de latache la plus petite qui pourra être assimilée à un point (et donc la tolérance de netteté)dépend du format de l’image intermédiaire ou de la taille de l’image projetée.
Plus le format de l’image intermédiaire est petit, plus il faudra agrandir l’intermédiaire autirage du positif, ou plus le facteur de grandissement sera grand lors de la projection.
Pour respecter le diamètre du cercle de confusion sur l’image finale, il faut que le diamètre
correspondant sur l’intermédiaire soit d’autant plus petit que l’agrandissement γ vers l’imagefinale sera plus grand.
Par exemple, si l’on veut obtenir la même qualité d’image positive à partir de deux négatifs de
formats différents, les tolérances de netteté des différents supports doivent être telles que :
négatif 1
τ1
positifτ=γ1.τ1γ1
négatif 2
τ2
positifτ=γ2.τ2γ2
On doit donc avoir :
et donc :
1 1 2 2. .τ τ γ τ γ= =
1 2
2 1
τ γ
τ γ=
Cette dernière formule montre que la netteté tolérée sur un support intermédiaire estd’autant plus petite que cette image intermédiaire est petite.
C’est logique, puisqu’une petite image intermédiaire (la numéro 1 dans notre exemple) devraêtre agrandie plus fort (γ1>γ2) et donc la tolérance de netteté de la plus petite image estinférieure à la tolérance de netteté de la grande image (τ1<τ2).
Format du négatif photographique Tolérance de netteté ττττ
8 × 10 inch 0,20 mm
5 × 7 inch 0,14 mm
4 × 5 inch 0,10 mm
60 × 90 mm 0,075 mm
60 × 60 mm de 0,03 mm à 0,06 mm
24 × 36 mm de 0,02 mm à 0,033 mm
Pellicule positive cinéma Tolérance de netteté ττττ
35 mm de 0,025 mm à 0,05 mm
16 mm de 0,025 mm à 0,013 mm
8 mm 0,02 mm
Format de la bande vidéo Tolérance de netteté ττττ
1,25 inch 0,04 mm
1 inch 0,03 mm
2/3 inch de 0,021 mm à 0,02 mm
1/2 inch de 0,016 mm à 0,015 mm
Le facteur de grandissement de l’image lors de la projection vaut :
La tolérance de netteté sur la pellicule devrait donc être de l’ordre de :
En réalité, on peut travailler avec une tolérance de netteté environ 10 fois supérieure, car lesconditions de contraste dans une salle de cinéma lors de la projection rendent l’œil beaucoupmoins apte à discerner les détails fins. De plus, l’œil n’analyse pas de la même manière lafinesse d’une image animée. Avec une tolérance de netteté de τ=0,0375 mm sur la pellicule,
le cercle de confusion sur l’écran a un diamètre de γτ soit 24 mm.
Exemple : projection d’une pellicule au cinéma.
Considérons la projection d’une pellicule de 35 mm(image de 21,9 mm × 16mm) dans une salle decinéma. Les spectateurs sont assis entre 5 mètres et30 mètres de l’écran. L’image de 21,9 mm va êtreprojetée sur un écran de 14 mètres de largeur.
Quel est le diamètre de la tache de confusion tolérable sur l’écran ?
3
14640
21,9.10γ
−= ≈
Un spectateur situé à D1=5 mètres dissociera deux points de l’écran séparés par :
De la même manière, un spectateur situé à D2=30 mètres dissociera deux points de l’écranséparés par :
3 3
1 1. 0,3.10 .5 1,5.10 1,5d D m mmβ − −= = = =
3 3
2 2. 0,3.10 .30 9.10 9d D m mmβ − −= = = =
écran 1,50,00234mm
640
ττ
γ= = =
1.2.4 Tolérances de netteté pour les capteurs numériques
Pour les capteurs numériques, on peut estimer la tolérance de netteté d’un objectif de lamanière suivante :
où le facteur multiplicateur de focale est par définition :
Selon les marques, la tolérance de netteté pour le format 35 mm varie entre 0,025 et 0,035mm :
(format 24 36 mm)
facteur multiplicateur de focale m
ττ
×=
focale équivalente pour un format 24 36 mm
focale réelle de l'objectifm
×=
0, 025mm (format 24 36 mm) 0, 035mmτ≤ × ≤
Image sur format 24 × 36 Image sur capteur numérique
Un objectif n'a pas le même angle de champ de vision suivant la taille du capteur implantédans le boitier.
Les capteurs numériques ont en général des tailles plus petites qu’un format 24 × 36, et unobjectif utilisé avec un capteur numérique intercepte par conséquent un champ plus petit.
Pour un objectif lambda, plus le capteur est petit plus l'angle de champ est réduit.
L’objectif en numérique donne donc une image équivalente à un objectif de plus grande focale
avec un support argentique.
Par exemple, deux objectifs zooms de focales 18-70 et 70-210 utilisés sur un Canon argentique,se transforment en deux objectifs équivalents à des zooms 28-112 et un 112-336 lorsqu’onutilise ces optiques sur un Canon 400D (capteur aps), car le rapport de conversion est de 1.6.
Remarque : focale équivalente pour les objectifs équipant les boîtiers numériques
1.3 Latitude de mise au point en prise de vue
Si on fait la mise au point sur un sujet fixe A, l’émulsion doit être placée au voisinage de
l’image optique A’ de A. Le point image A’ est absolument net si l’émulsion est placée en A’.
Si l’émulsion est rapprochée de l’objectif, ou au contraire éloignée, il y a netteté relative tantque le diamètre de la tache image reste inférieur à la netteté tolérée τ sur l’émulsion.
On appelle latitude de mise au point la distance sur laquelle l’émulsion peut être déplacéetout en conservant une netteté relative.
En dehors de cette latitude de mise au point, l’image de A est floue.
2 Distance hyperfocale d’une prise de vue
Considérons un sujet à l’infini, sur lequel onréalise la mise au point.
L’émulsion doit être placée dans le plan focal, et ily a netteté absolue pour l’image du sujet.
2.1 Introduction intuitive
Sans changer la mise au point (c’est-à-dire en gardant l’émulsion dans le plan focal), si le sujet
quitte l’infini et se rapproche de l’objectif, son image n’est plus absolument nette surl’émulsion.
Tant que le sujet n’est pas trop près de l’objectif, le diamètre d de la tache image obtenue surl’émulsion est inférieure à la tolérance de netteté τ du format. Il y a donc netteté relative pources points sujets.
Cette netteté relative est conservée jusqu’à ce que le plan sujet atteigne un point H de l’axe
optique, situé à une distance h du centre optique C de l’objectif, tel que le diamètre de la
tache image d soit égal à la tolérance de netteté τ du format.
Cette distance h=HC est la distance hyperfocale.
2.2 définition de la distance hyperfocale
La distance hyperfocale h=HC est la distance minimale entre l’objectif et un plan sujet, telleque l’on ait toujours une netteté relative pour les points de ce plan, la mise au point étantréalisée sur l’infini (l’émulsion sensible étant donc maintenue dans le plan focal image del’objectif).
2.3 Calcul de la distance hyperfocale
Appelons H’ l’image optique de H, qui se formerait derrière l’émulsion.
Sur l’émulsion, les rayons issus de H forment une tache image de diamètre vertical égal à latolérance de netteté : H’1H’2=τ.
Soit D=B1B2 le diamètre vertical d’ouverture du diaphragme. Par définition du nombre dediaphragme n, ce diamètre vaut aussi D=f’/n.� Les points H et H’ sont conjugués par le système optique :
donc :
1 1 1
' 'CH CH CF− =
'. ' (1)
' '
CH CFh HC
CH CF= =
−� Les triangles H’CB1 et H’F’H’1 sont
semblables :
1
1
' '' ' / 2 .
/ 2 ''
F HF H n
D D fCH CB
τ τ τ= = = =
donc :
et on obtient directement :
( )' '' ' ' ' '
. .
f fCH F H F C CH
n nτ τ= = +
'/ '' ' = ' (2)
1 '/ '
f n fCH F C CF
f n f n
τ
τ τ=
− −
En injectant cette valeur dans (1), on obtient :
La distance hyperfocale h vaut donc finalement :
où f’ est la distance focale image de l’objectif, n le nombre d’ouverture de l’objectif, D lediamètre de la pupille d’entrée et τ la tolérance de netteté du support.
À diamètre de diaphragme fixé, la distance hyperfocale est donc proportionnelle à la focale etau diamètre du diaphragme.
À nombre d’ouverture fixé, la distance hyperfocale est proportionnelle au carré de la distancefocale de l’objectif, et inversement proportionnelle au nombre d’ouverture.
( )
2 3 2
'' '
' ' ' '' .
' ' . .' ' ' ' .' '' .
fCF CF
f CF f ff nh
f f n nf CF CF f nCF CFf n
τ
τ τττ
−= = = =
− −−−
2' '.
.
f f Dh
nτ τ= =
Remarque : les valeurs du tableau ont été calculées avec les valeurs réelles des indices de
diaphragmes, et pas avec les valeurs arrondies usuelles qui figurent dans le tableau.
Remarque : les valeurs du tableau ont été calculées avec les valeurs réelles des indices de
diaphragmes, et pas avec les valeurs arrondies usuelles qui figurent dans le tableau.
Pour éviter le calcul de l’hyperfocale, on peut se servir de cette abaque qui s’applique à tous les
formats parce que l’ouverture et la distance focale ne sont pas absolues ici mais exprimées
relativement à la diagonale du format D. Par exemple, un téléobjectif dont la focale serait
égale à 2 fois la diagonale du format (f’/D=2) ouvert à n=2 et opérant sur un format 24 × 36,
de 43 mm de diagonale (n/D≅0,05) aurait une hyperfocale lue sur la ligne jaune (k/D=0,05)
pour une valeur en abscisse de 2, c’est-à-dire d’environ 120m (le calcul exact donne 129m).
Les valeurs du diaphragme sont reportées à gauche et à droite d'un repère (de couleur orangedans l'image ci-contre) d'une façon similaire.
Sur l'objectif, la valeur de l'hyperfocale est lue en face du repère en positionnant le symbole
infini de la bague de mise au point sur le repère du diaphragme choisi.
La mise au point hyperfocale permet de s'affranchir du réglage de la mise au point pour dessujets situés dans cette zone de profondeur de champ.
2.4 L’hyperfocale en pratique
Dans cet exemple le symbole infini de la bague des distancesest positionné en regard du repère 8 correspondant audiaphragme f/8 présélectionné par l'appareil photo. Laprofondeur de champ s'étend de 1,5m à l'infini (distancematérialisée entre les deux repères 8).
Dans cet exemple le symbole infini est positionné sur lerepère 22 correspondant au diaphragme f/22présélectionné par l'appareil photo. La profondeur dechamp s'étend de 0,60m à l'infini.
3 Plans antérieur et postérieur de netteté3.1 définitionsLors de toute prise de vue, la zone de netteté relative est limitée par deux plans
perpendiculaires à l’axe optique de l’objectif.
Plus précisément, si la mise au point est faite sur un plan sujet quelconque AB perpendiculaireà l’axe optique (il y a donc netteté absolue pour ce plan), il existe de part et d’autre de ce plan
une zone de netteté relative.
Le plan limite de netteté relative se trouvant entre A et l’objectif (en avant du plan de mise aupoint donc) est le plan antérieur de netteté (PAN).
Le plan limite de netteté relative se trouvant entre A et l’infini (en arrière du plan de mise aupoint donc) est le plan postérieur de netteté (PPN).
p
3.2 Calcul des positions approchées des plans antérieur et postérieur de netteté
� P est le plan de mise au point, situé à une distance objet p et son image est le plan del’émulsion P’, situé à une distance image p’.�P1=PAN est le plan antérieur de netteté, situé à une distance objet p1=pan et son image est leplan P’1, situé à une distance image p’1=p’an.� P2=PPN est le plan postérieur de netteté, situé à une distance objet p2=ppn et son image estle plan P’2, situé à une distance image p’2=ppn.
τ
� les triangles AOF et DO’F sont semblables, donc :
ce qui implique :
ou encore : où l’on a tenu compte du fait que le diamètre
D est relié au nombre d’ouverture n par : D=f’/n.
En divisant par p’1.p’, on obtient :
� Si on suppose (première approximation) que la mise au point est faite à grande distance, onpeut assimiler le tirage à la focale (c’est-à-dire p’ à f’) dans le membre de droite et la formulese simplifie en :
� Si on peut appliquer (deuxième approximation) la formule de conjugaison des lentilles
minces aux plans conjugués (P, P’) et (P1,P’1) :
on obtient finalement une formule permettant de calculer la position approchée du plan
antérieur de netteté p1 :
'
'
AO DO
OF O F=
1 1
/ 2 / 2
' ' '
D
p p p
τ=
−
1 11
' '' '
'
p p np p
D f
τ τ− = =
1
1 1 .
' ' ' '
n
p p f p
τ− =
2
1
1 1 . 1
' ' '
n
p p f h
τ− = =
1 1 1
' 'p p f+ =
1
1 1 1
p p h− ≈
1 1
1 1 1
' 'p p f+ =
� de la même manière, les triangles AOC et EO’C sont semblables, donc :
ce qui implique :
ou encore : où l’on a tenu compte du fait que le
diamètre D est relié au nombre d’ouverture n par : D=f’/n.
En divisant par p’2.p’, on obtient :
� Si on suppose (première approximation) que la mise au point est faite à grande distance, on peut assimiler p’ à f’ dans le membre de droite et la formule se simplifie en :
� Si on peut appliquer (deuxième approximation) la formule de conjugaison des lentilles
minces aux plans conjugués P, P’ et P2,P’2 :
on obtient finalement une formule permettant de calculer la position approchée du plan
postérieur de netteté p2 :
'
'
AO EO
OC O C=
2 2
/ 2 / 2
' ' '
D
p p p
τ−=
−
2 22
' '' '
'
p p np p
D f
τ τ− = − = −
2
1 1 .
' ' ' '
n
p p f p
τ− = −
2
2
1 1 . 1
' ' '
n
p p f h
τ− = − = −
1 1 1
' 'p p f+ =
2
1 1 1
p p h− ≈
2 2
1 1 1
' 'p p f+ =
3.3 Calcul de la position exacte du plan antérieur de netteté
� La mise au point est faite sur A, donc l’émulsion est placée en A’ ; P1 est un point du plan
antérieur de netteté PAN, dont l’image est P’1 ; il faut calculer : pan=P1C=-CP1
� Les points P1 et P’1 sont conjugués :
Donc :
On voit qu’il faut calculer CP’1.
1 1
1 1 1
' 'CP CP CF− =
1 11
1 1
'. ' '. '= (1)
' ' ' '
CP CF CP fCP
CF CP f CP=
− −
� Les triangles P’1CB1 et P’1A’B’1 sont semblables, donc :
Et on obtient :
c’est-à-dire, en résolvant :
1 1
1 1
' ' ' ' / 2 .
/ 2 ''
A P A B n
D D fCP CB
τ τ τ= = = =
( )1 1 1
' '' ' ' ' '
. .
f fCP A P A C CP
n nτ τ= = +
1
'' ' (2)
. '
fCP A C
n fτ=
−
p p’
� Les points A et A’ sont conjugués :
donc :
� Remplaçons (4) dans (3), on obtient :
� Finalement, on a donc trouvé la position exacte du plan antérieur de netteté :
où l’on a noté p la distance de mise au point.
1 1 1 1 1 1 ou encore -
' ' ' 'CA CA CF A C AC CF− = + =
� En injectant (2) dans (1), on trouve :
On voit qu’il faut calculer A’C.
( )
2
1
'' . '
' . ' ' . '. ' (3)
' '. . ' '. ' . ' '' '. '
fA C f
A C f A C fn fCP
f f n f f A C n f A Cf A Cn f
τ
τ ττ
−= = =
− − − −−−
. ' . '' = (4)
''
AC CF AC fA C
f ACCF AC=
−−
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2
. '
. ' . ''
. ' . ' . ' . ' . . ' '. '
'
AC f
AC f AC ff ACCP
AC f n f f AC AC f n f AC fn f
f AC
τ ττ
−= = =
− − − − −− −
−
( )
2
1 2
. '
. . ' 'an
p fp PC
n p f fτ= =
− +
La position du plan antérieur de netteté s’écrit plus simplement en termes de la distance de
mise au point p et de la distance hyperfocale h et de la focale f’.
En effet, en divisant haut et bas par n.τ la relation précédente, on obtient :
c’est-à-dire :
Dans la plupart des cas de prise de vue, la focale de l’objectif f’ est négligeable par rapport àla distance de mise au point p, donc :
La position du plan antérieur de netteté est alors approximativement donnée par :
( )
2
2
. ' / .
' ' / .an
p f np
p f f n
τ
τ=
− +
( ).
'an
p hp
h p f=
+ −
'p f p− ≈
.an
p hp
h p≈
+
Cette formule est bien compatible avec la relation approchée trouvée précédemment pour la position du plan antérieur de netteté :
1 1 1
anp p h
− ≈
3.4 Calcul de la position exacte du plan postérieur de netteté
� La mise au point est faite sur A, , donc l’émulsion est placée en A’ ; P2 est un point du plan
postérieur de netteté PPN, dont l’image est P’2 ; il faut calculer : ppn=-CP2=P2C
� Les points P2 et P’2 sont conjugués :
Donc :
On voit qu’il faut calculer CP’2.
2 2
1 1 1
' 'CP CP CF− =
2 22
2 2
'. ' '. '= (1)
' ' ' '
CP CF CP fCP
CF CP f CP=
− −
� Les triangles P’2CB1 et P’2A’B’1 sont semblables, donc :
Et on obtient :
c’est-à-dire, en résolvant :
2 1
2 1
' ' ' ' / 2 .
/ 2 ''
A P A B n
D D fCP CB
τ τ τ= = − = − = −
( )2 2 2
' '' ' ' ' '
. .
f fCP A P A C CP
n nτ τ= − = − +
2
'' ' (2)
. '
fCP A C
n fτ= −
+
p p’
�Les points A et A’ sont conjugués :
donc :
� Remplaçons (4) dans (3), on obtient :
� Finalement, on a donc trouvé la position exacte du plan postérieur de netteté :
où l’on a noté p la distance de mise au point.
1 1 1 1 1 1 ou encore -
' ' ' 'CA CA CF A C AC CF− = + =
� En injectant (2) dans (1), on trouve :
On voit qu’il faut calculer A’C.
( )
2
2
'' . '
' . ' ' . '. ' (3)
' '. . ' '. ' . ' '' '. '
fA C f
A C f A C fn fCP
f f n f f A C n f A Cf A Cn f
τ
τ ττ
−− −+
= = =+ + + ++
+
. ' . '' = (4)
''
AC CF AC fA C
f ACCF AC=
−−
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
. '
. ' . ''
. ' . ' . ' . ' . . ' '. '
'
AC f
AC f AC ff ACCP
AC f n f f AC AC f n f AC fn f
f AC
τ ττ
−− −−
= = =+ − + − +
+ +−
( )
2
2 2
. '
. . ' 'pn
p fp P C
n p f fτ= =
− − +
La position du plan postérieur de netteté s’écrit plus simplement en termes de la distance de
mise au point p et de la distance hyperfocale h et de la focale f’.
En effet, en divisant haut et bas par n.τ la relation précédente, on obtient :
c’est-à-dire :
Dans la plupart des cas de prise de vue, la focale de l’objectif f’ est négligeable par rapport àla distance de mise au point p, donc :
La position du plan postérieur de netteté est alors approximativement donnée par :
( )
2
2
. ' / .
' ' / .pn
p f np
p f f n
τ
τ=
− − +
( ).
'pn
p hp
h p f=
− −
'p f p− ≈
.pn
p hp
h p≈
−
Cette formule est bien compatible avec la relation approchée trouvée précédemment :
1 1 1
pnp p h− ≈
Remarque : mise au point sur la distance hyperfocale et profondeur de champ
Dans la formule précédente, on voit dans la formule exacte que ppn devient infini lorsquep→h+f’, et de même dans la formule approchée que ppn devient infini lorsque p→h, c’est-à-dire lorsque la distance de mise au point tend vers la distance hyperfocale.
La profondeur de champ devient en effet infinie lorsque la mise au point est faite surl’hyperfocale.
Pour une distance de mise au point qui dépasse la distance hyperfocale, la formule établie n’aclairement plus de sens, puisqu’elle donnerait une valeur négative pour la position du planpostérieur de netteté ppn.
En fait, lorsqu’on la distance de mise au point dépasse h, la position du plan postérieur denetteté est toujours à l’infini et la profondeur de champ reste infinie.
La distance hyperfocale est donc la distance de mise au point minimale pour obtenir une
profondeur de champ infinie.
4 Profondeur de champ
On appelle profondeur de champ la portion d’espace dans laquelle le sujet peut être déplacé,pour une mise au point fixée, tout en conservant une netteté relative de l’image.
La profondeur de champ correspond à la portion de l’espace sujet comprise entre le plan
postérieur de netteté et le plan antérieur de netteté.
p
4.1 Définition
4.2 Calcul de la profondeur de champ
Par définition, la profondeur de champ peut s’obtenir en soustrayant de la distance donnantla position du plan postérieur de netteté la distance donnant la position du plan antérieur de
netteté :
On obtient directement pour la profondeur de champ, en utilisant les formules exactes pourles positions des plans postérieur et antérieur de netteté :
c’est-à-dire finalement la formule :
Si la focale f’ est négligeable par rapport à la distance de mise au point p, la formule se réduità :
Remarque : cette formule n’est bien sûr valable que tant que p<h. Au-delà, Pdc est infinie.
dc pn anP p p= −
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
. .
' '
. ' . '
' '
dc pn an
p h p hP p p
h p f h p f
p h h p f p h h p f
h p f h p f
= − = −− − + −
+ − − − −=
+ − − −
( )
( )22
2 . . '
'dc
p h p fP
h p f
−=
− −
2
2 2
2 .dc
p hP
h p≈
−
4.3 L'échelle de profondeur de champLes valeurs du diaphragme sont reportées à gauche et à droite d'un repère (de couleurorange dans l'image ci-contre) d'une façon similaire.
Les grandes ouvertures sont les plus proches du repère et les plus petites, plus éloignées.
Pour une distance de mise au point affichée en regard du repère de la bague des ouvertures,l'on peut lire en regard de deux mêmes marquages de diaphragme de part et d'autre du
repère, les distances entre lesquelles la zone de netteté se situe.
Dans l'image ci-contre, la profondeur dechamp pour un diaphragme fermé à f/8 et unemise au point sur 1,5m est comprise entre unpeu plus de 1m et 3m.
5 Profondeur de foyer
Par analogie avec la profondeur de champ, on définit la profondeur de foyer comme la portion
de l’espace image qui est conjuguée à la portion de l’espace objet qui a une image relativement
nette.
Cette tranche de l’espace des images est donc délimitée par les images des plans postérieur et
antérieur de netteté.
Soient p’an et p’pn les distances des plans images des plans antérieur et postérieur de netteté
En formule, la profondeur de foyer vaut donc :
Les positions p’an et p’pn des plans images des plans antérieur et postérieur de netteté peuvent
s’obtenir par calcul, grâce aux relations de conjugaison, à partir des positions pan et ppn desplans antérieur et postérieur de netteté ; plus simplement, on peut aussi obtenir ces positionsp’an et p’pn géométriquement en revenant aux schémas. Appliquons ces deux méthodes.
' ' 'df an pn
P p p= −
5.1 Définition
On appelle profondeur de foyer la largeur de la zone de l'espace image dans laquelle doit setrouver la surface sensible pour que l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optiqueet sur lequel on a fait la mise au point puisse être considérée comme relativement nette.
p p’
� Autre méthode, plus géométrique :Les triangles P’1CB1 et P’1A’B’1 sont semblables, donc :
D’autre part :
donc :
Et finalement :
1 1
1 1
' / 2
/ 2' ' ' '
P C CB D D
P A A B τ τ= = =
1 1
1 1
' '' '
' ' ' '' ' ' '
an an
an an
p pP C P C
p p p pP A P C CA
−= = =
− + −+
( )' ' 'an an
Dp p p
τ− =
'' '
. '.'' '
1 1.
an
D fp p
h pnpD f h f
n
τ τ
τ τ
= = =−− −
� Calcul au départ de la relation de conjugaison :
On a vu au paragraphe 3.3 :
On a donc directement :
1
'' ' (2)
. '
fCP A C
n fτ=
−
2
1 2
' ' ' / . . '' ' ' ' '
. ' ' . ' / . ' 'an
f f f n h pp CP p p p
n f f n f n f h f
τ
τ τ τ= = − = = =
− − − −
5.2 Position de l’image du plan antérieur de netteté
p p’
� Autre méthode, plus géométrique :Les triangles P’2CB1 et P’1A’B’1 sont semblables, donc :
D’autre part :
donc :
Et finalement :
2 1
2 1
' / 2
/ 2' ' ' '
P C CB D D
P A A B τ τ= = − = −
2 2
2 2
' '' '
' ' ' '' ' ' '
pn pn
pn pn
p pP C P C
p p p pP A P C CA
−= = =
− + −+
( )' ' 'pn pn
Dp p p
τ− = −
'' '
. '.'' '
1 1.
pn
D fp p
h pnpD f h f
n
τ τ
τ τ
= = =++ +
� Calcul au départ de la relation de conjugaison :
On a vu au paragraphe 3.4 :
On a donc directement : 2
2 2
' ' / . . '' ' ' '
. ' ' / . ' 'pn
f f n h pp CP p p
n f f n f h f
τ
τ τ= = = =
+ + +
5.3 Position de l’image du plan postérieur de netteté
2
'' ' (2)
. '
fCP A C
n fτ= −
+
5.4 Calcul de la profondeur de foyerOn obtient donc pour la profondeur de foyer :
( ) ( )( )( )
' ' '
'. '.
' '
' ' ' '
' '
d f an pnP p p
p h p h
h f h f
p h h f p h h f
h f h f
= −
= −− +
+ − −=
+ −
En résumé, les positions des images des plans antérieur et postérieur de netteté sont donnéespar les formules :
. ''
'pn
h pp
h f=
+
. ''
'an
h pp
h f=
−
2 2
2 ' ''
'd f
p hfP
h f=
−c’est-à-dire finalement :
4 2 3 2 2
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ' ' 2 ' ( 1) 2 ' ( 1) 2 ' ( 1) 2 '( 1)'
' ' ' ' ' ' ( 1) 1 ( 1)d f
p hf f G n f G n f G n f G nP
h f f f n f n f n f G n G
τ τ ε ε
τ τ ε ε
+ + + += = = = =
− − − − + − +
On peut réécrire la profondeur de foyer sous la forme :
On obtient donc les résultats suivants :
Et :
La profondeur de foyer est donc une fonction croissante de la focale, une fonction croissante du
nombre d’ouverture et une fonction croissante du grandissement.
2
2 2 2
2
2 2 2
' 2 '( 1)
' ' 1 ( 1)
2( 1)0
1 ( 1)
d fP f G n
f f n G
G n
n G
ε
ε
ε
ε
∂ ∂ +=
∂ ∂ − +
+= >
− +
( )( )
( )( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
22 2 2
2 2 2 2
22 2 2
' 2 '( 1)
1 ( 1)
1 ( 1) 2 '( 1) 2 '( 1) ( 2 ( 1) )
1 ( 1)
1 ( 1) 2 '( 1)0
1 ( 1)
d fP f G n
n n n G
n G f G f G n n G
n G
n G f G
n G
ε
ε
ε ε ε ε
ε
ε ε
ε
∂ ∂ +=
∂ ∂ − +
− + + − + − +=
− +
+ + += >
− +
( )( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
22 2 2
22 2 2
' 2 '( 1)
( 1) ( 1) 1 ( 1)
1 ( 1) 2 '2( 1) 2 '( 1) ( 2 ( 1))
1 ( 1)
4 '( 1)0
1 ( 1)
d fP f G n
G G n G
n G f G n f G n n G
n G
f G n
n G
ε
ε
ε ε ε ε
ε
ε
ε
∂ ∂ +=
∂ + ∂ + − +
− + + − + − +=
− +
+= >
− +
5.5 Autre formulation
Les rayons lumineux issus de P convergent en P' en formant un faisceau d'autant plus ouvertque le diamètre d du diaphragme est plus important.
Si le plan de la pellicule ou du capteur n'est pas placé exactement en P', l'image enregistréene sera pas un point mais une petite tache circulaire. Celle-ci sera néanmoins perçue commenette si elle est vue depuis O sous un angle au plus égal à l’angle ε qui est le pouvoirséparateur de l’œil (on rappelle que ε est un angle très petit, exprimé en radians, sa valeurusuelle : 1/1 500).
Le plan du film peut être avancé d'une distance x oureculé d'une distance x’ sans que l'image soit altérée defaçon visible.
Pour une netteté donnée, l'intervalle dans lequel doit se trouver le plan de la pellicule ou du
capteur (c’est-à-dire la profondeur de foyer) est toujours d'autant plus petit que la focale est
plus courte, le grandissement plus faible et le diaphragme plus ouvert.
Remarque : x=p’-p’pn et x’=p’an-p’, et on peut retrouver directement les résultats de ce
paragraphe en utilisant les formules du paragraphe précédent et du fait que ε.p’=τ.
La profondeur de foyer se réduit à 2.n.τ si la mise au point est faite à l’infini.
6 Intérêt de la mise au point à la distance hyperfocale� Par définition de la distance hyperfocale, lorsque la mise au point est faite sur l’infini, lazone de netteté relative (la profondeur de champ) est infinie puisqu’elle s’étend depuis unavant plan net situé à une distance pan=h, jusqu’à un arrière plan net situé à l’infini.
Ceci se vérifie par un calcul de limite sur la formule générale donnant la position du planantérieur de netteté :
Comme p>h pour une mise au point sur l’infini, le plan postérieur de netteté est bien sûr àl’infini.
( ),
.lim
'an
p
p hp h
h p f∞
→∞= =
+ −
Pour une mise au point sur l’infini, la profondeur de champ est donc infinie, et la zone de
netteté s’étend depuis une distance h jusqu’à l’infini.
� Si l’on effectue la mise au point sur la distance hyperfocale (p=h), le plan postérieur de
netteté reste à l’infini, et la profondeur de champ est donc encore infinie.
La position du plan antérieur de netteté se rapproche encore de l’objectif, puisqu’elle estdonnée dans ce cas par :
La profondeur de champ a donc encore augmenté, par rapport à la mise au point sur l’infini.Elle est en fait maximale.
( )
2
,
.
' 2 ' 2an h
p h h hp
h p f h f= = ≈
+ − −
Pour une mise au point à une distance égale à la distance hyperfocale, la profondeur de
champ est donc infinie, et la zone de netteté relative est la plus grande possible : elle s’étend
depuis une distance égale à h/2 jusqu’à l’infini.
7 Etude de la fonction profondeur de champOn a vu que lorsque la focale est négligeable devant la distance de mise au point (f’<<p), laprofondeur de champ peut se calculer par la formule approchée :
Cette formule est valable tant que p<h ; à partir et au-delà de cette distance de mise aupoint, Pd.c.est infinie.
Sous cette forme, la profondeur de champ est donc une fonction mathématique de deux
variables : la distance de mise au point p et la distance hyperfocale h.
Dans cette dernière variable, on a en fait regroupé trois variables :
� la focale de l’objectif f’
� l’indice de diaphragme n de la prise de vue
� la tolérance de netteté du formatτ
En effet, on a par définition :
On voit sur cette formule que la distance hyperfocale est une fonction croissante de f’ etdécroissante de n et de τ.
2
. . 2 2
2d c
hpP
h p=
−
2'
.
fh
nτ=
Cas particulier : distance de mise au point petite devant l’hyperfocale
Si f’<<p<<h, la formule précédente se simplifie et devient :
La profondeur de champ est alors simplement :
� proportionnelle au carré de la distance de mise au point p
� proportionnelle au nombre d’ouverture n
� inversement proportionnelle au carré de la focale f’
2 2 2
. . 2 2
2 2 2
'd c
hp p p nP
h h f
τ≈ = =
Représentation graphique des relations de proportionnalité décrites à la page précédente.
Les échelles sont logarithmiques sur les deux axes (les distances changent d’un même
facteur pour chaque incrément). Ce type d’échelle est utile pour décrire des variations des
variables sur de grandes échelles. Les relations de proportionnalité se traduisent par des
courbes assimilables à des droites, dont la pente correspond à l’exposant dans la formule.
On voit que les écarts à ces relations (courbes non rectilignes) se produisent à l’infini ou
pour des distances de mise au point trop courtes). Ici, la tolérance de netteté est notée z
et représente 1/1500 de la diagonale D du format.
Les courbes « object height » et « object width » donnent la taille dans l’espace objet de la zone
imagée, qui s’obtiennent directement par les formules :
dérivées des relations fondamentales de l’optique photographique, qui sont donc des relations
de proportionnalité (droites de pente 1) vis-à-vis de la distance de mise au point p.
' '24 . et 36 .
' 'height width
p f p fy mm y mm
f f
− −= =
Le graphique ci-dessus permet de comparer les profondeurs de champ dans des conditions de
prise de vue normales. Chaque ligne colorée représente une profondeur de champ constante,
allant de 1 cm (coin supérieur gauche) à 100 m (ligne noire inférieure). Les axes du graphique
sont la distance de mise au point (abscisse) et l’hyperfocale (ordonnée), et les échelles utilisées
sont logarithmiques. Le graphique est universel comme il s’applique à tous les formats. A
nouveau, une relation de proportionnalité se traduit par une courbe rectiligne.
�Étudions la dépendance de la fonction profondeur de champ générale vis-à-vis de la variable
distance de mise au point p :
On voit que la profondeur de champ est une fonction croissante de la distance de mise au point
(en d’autres mots, la profondeur de champ augmente si la distance de mise au pointaugmente).
Comme la formule est valable pour p<h, ceci montre que la profondeur de champ estmaximale pour une mise au point sur la distance hyperfocale.
�Étudions la dépendance de la fonction profondeur de champ vis-à-vis de la variable distance
hyperfocale h :
On voit que la profondeur de champ est une fonction décroissante de la distance hyperfocale
(en d’autres mots, la profondeur de champ augmente si la distance hyperfocale diminue).
( )
( )( )( ) ( )
22 2 2. .
2 2 2 2 2 2 2 2
h=cst
2 2 3 32
2 2 22 22 2 2 2 2 2
2 1 1 12 . 2 . 2
4 41 1 44 2 .( 2 ) 0
d cP hp
hp hp hpp p h p p h p p h p p h p
hp h p hp h php hp p
h p h p h p h p
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = +
∂ ∂ − ∂ − ∂ − ∂ −
− += − − = = >
− − − −
( )
( )( )
( ) ( )
22 2 2. .
2 2 2 2 2 2 2 2
p=cst
2 2 2 2 2 2 2 42 2
2 2 22 22 2 2 2 2 2
2 1 1 12 . 2 . 2
2 41 1 2 22 2 (2 ) 0
d cP hphp hp hp
h h h p h h p h h p h h p
p h p h p p h pp hp h
h p h p h p h p
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = +
∂ ∂ − ∂ − ∂ − ∂ −
− − − −= − = = <
− − − −
En conclusion :
La profondeur de champ augmente quand :
� la distance de mise au point p augmente ;
� la focale de l’objectif f’ diminue ;
� l’indice de diaphragme n de la prise de vue augmente ;
� la tolérance de netteté τ du format augmente.
Prise de vue à grande ouverture (f4). Prise de vue à petite ouverture (f32).
Chaque ligne de ce tableau comprend des nombres d’ouvertures n équivalents, c’est-à-dire
qui donnent la même profondeur de champ pour un même champ angulaire. Les formats ont
été recadré à un rapport de 3:4 et les valeurs d’ouverture ont été arrondies au demi-cran. La
colonne de gauche donne le nombre d’ouverture (noté k ici) divisé par la diagonale D du
format.
8 Distance de mise au point et diaphragme optimal pour une prise de vueLors d’une prise de vue, si l’on désire obtenir une netteté relative entre un avant plan netsitué à une distance pan et un arrière plan net situé à une distance ppn, quelle doit être la
distance de mise au point p et l’ouverture de travail n ?
8.1 Calcul de la distance de mise au point optimale p
On sait que la position du plan antérieur de netteté est donnée par :
De la même manière, la position du plan postérieur de netteté vaut :
De (1), on tire :
et par conséquent :
. (2)
pn
p hp
h p≈
−
. (1)
an
p hp
h p≈
+
( )
( )
.
.
an
an an
h p h p p
p p h p p
= +
= −
. (3)an
an
p ph
p p=
−
Injectons l’expression (3) dans (2) :
Effectuons et résolvons pour trouver la distance de mise au point p :
On a donc finalement pour la distance de mise au point optimale :
ou encore, sous une autre forme :
( )
2
2 2
2
.
. . 2 . 2
an
an an an anpn
an an an an an
an
p p
p p p p p p p pp
p p p p p p p p p p p pp
p p
−= = = =
− − − −−−
( )
( )
2 .
2 .
pn an an
an pn an pn
p p p p p
p p p p p
− =
= +
2 .an pn
pn an
p pp
p p=
+
1 1 1
2 2an pn
p p p= +
Remarque :
On peut obtenir plus facilement la distance de mise au point optimale p au départ desrelations :
En effet, en multipliant la relation (4) par -1 et en sommant membre à membre on obtientdirectement :
et donc finalement :
1 1 1 (5)
pnp p h− ≈
1 1 1 (4)
anp p h
− ≈
1 1 1 10
pn anp p p p− + + − =
1 1 1
2 2an pn
p p p= +
8.2 Calcul de l’ouverture optimale n
. (3)an
an
p ph
p p=
−
Comme :
On trouve pour la distance hyperfocale, en injectant la valeur de la distance de mise au pointoptimale p, l’expression :
C’est-à-dire, finalement :
ou encore
Comme d’autre part, par définition de la distance hyperfocale, on a :
On trouve, pour l’ouverture optimale, la valeur :
( )
2
2 2
2
2 .
2 . 2 . 2 .
2 . .2 .
an pn
pn an an pn an pn an pn
an pn an pn an pn anan pn an pn anan
pn an
p p
p p p p p p p ph
p p p p p p pp p p p pp
p p
+= = = =
− −− +−
+
2 .an pn
pn an
p ph
p p=
−
2'
.
fh
nτ=
2 2' ' 1 1
2. . 2.
pn an
an pn an pn
p pf fn
p p p pτ τ
−= = −
1 1 1
2 2an pnh p p= −
Remarque :
La distance hyperfocale à utiliser lors de la prise de vue s’obtient plus facilement au départdes relations :
En effet, en les ajoutant membre à membre, on obtient directement :
et donc finalement :
1 1 1 (5)
pnp p h− ≈
1 1 1 (4)
anp p h
− ≈
1 1 2
an pnp p h
− =
1 1 1
2 2an pn
h p p= −
Remarque :
Un calcul analogue mené sur base des formules exactes pour les plan antérieur et postérieurde netteté conduit aux formules suivantes exactes pour la distance de mise au point p etl’hyperfocale h à utiliser pour la prise de vue pour obtenir la zone de netteté souhaitée :
La première est identique à la formule établie dans le cas approché et la seconde se réduit
bien à la formule établie précédemment si f’→0.
( )2 'an pn an pn
pn an
p p f p ph
p p
− +=
−
1 1 1
2 2an pnp p p= +
9 Profondeur de champ et règle des 1/3-2/3
Lors d’une prise de vue en pratique, on se base souvent sur la règle suivante :
Cette règle n’est qu’approximative, nous allons voir plus précisément son domaine de validité.
9.1 Enoncé de la règle des 1/3-2/3
« La zone de netteté relative se répartit toujours pour un tiers en avant du plan de mise au point et pour deux tiers en arrière du plan de mise au point ».
9.2 Champ en avant et champ en arrière du plan de mise au point
On définit le champ en avant (ou champ antérieur) comme la tranche de l’espace sujet
relativement nette, comprise entre le plan de mise au point et le plan antérieur de netteté.
Sur le schéma, on voit que la mesure de ce champ vaut par définition :
Calculons cette valeur. En utilisant la formule générale approchée pour la position du planantérieur de netteté, on obtient :
On a donc :
1champ antérieur = AP
1 1
2( )
anAP AC CP p p
ph p h p ph pp
h p h p h p
= + = −
+ −= − = =
+ + +
2
champ antérieur = p
h p+
On définit de la même manière le champ en arrière (ou champ postérieur) comme la tranche
de l’espace sujet relativement nette, comprise entre le plan postérieur de netteté et le plan de
mise au point.
Sur le schéma, on voit que la mesure de ce champ vaut par définition :
Calculons cette valeur. En utilisant la formule générale approchée pour la position du planpostérieur de netteté, on obtient :
On a donc :
2champ postérieur = P A
2 2
2( )
pnP A P C CA p p
ph ph p h p pp
h p h p h p
= + = −
− −= − = =
− − −
2
champ postérieur = p
h p−
Le rapport R du champ postérieur sur le champ antérieur vaut donc :
On voit que ce rapport est toujours supérieur à l’unité :
Par conséquent, le champ en arrière est toujours plus grand que le champ en avant.
Mais en général, ce rapport n’est pas égal à deux, et la règle des 1/3-2/3 n’est donc pas
applicable.
Pour qu’elle soit exacte, il faut donc que :
Il faut donc que :
En conclusion, la règle des 1/3-2/3 n’est exacte que lorsque la mise au point est égale au tiers
de la distance hyperfocale. En pratique, elle sera à peu près valable tant que la distance de
mise au point reste proche du tiers de la distance hyperfocale.
2
2
2
2 21
champ postérieur.
champ antérieur
p
P A p h p h ph pR
p h p p h pAP
h p
+ +−= = = = =
− −
+
1h p
Rh p
+= >
−
2 12 c'est-à-dire 2P A AP R= =
2 2( ) 33
h p hh p h p h p p
h p
+= ⇔ + = − ⇔ = ⇔ =
−
9.3 Validité de la règle des 1/3-2/3
9.4 Vérification sur un exemple
Considérons différentes prises de vue avec un objectif de 24mm de focale, pour le format 24× 36 mm (tolérance de netteté τ=1/30 mm).
On réalise l’image de quatre objets de différentes tailles (0,5 m, 1m, 2m, 4m) en les cadrantde manière à ce qu’ils occupent toute la hauteur de l’image (c’est-à-dire 24 mm, enorientation paysage).
Pour chaque objet, en réalise différentes prises de vue, en faisant varier l’ouverture dudiaphragme par cran de n=1,4 à n=16.
Déterminons pour chaque condition de prise de vue la position des plans antérieur etpostérieur de netteté, le champ en avant et la profondeur de champ, et le rapport R’ duchamp en avant sur la profondeur de champ :
La règle des 1/3-2/3 est vérifiée exactement lorsque R’=0,33=33%.
. .
champ antérieur'
profondeur de champ
an an
d c pn an
p p p pR
P p p
− −= = =
−
f’=24mm
Diaph 1,4 2 2,8 4 5,6 8 11 16
Taille objet
pan (m) 0,503 0,494 0,483 0,467 0,447 0,422 0,390 0,353
ppn(m) 0,547 0,558 0,573 0,596 0,632 0,692 0,798 1,018
0,5m Pav(m) 0,021
Pd.c.(m) 0,044
R’ 47,9% 47,0% 47,5% 43,9% 41,4% 37,9% 32,8% 25,7%
pan(m) 0,945 0,915 0,877 0,828 0,737 0,695 0,613 0,526
ppn(m) 1,118 1,162 1,230 1,342 1,540 1,947 3,109 19,75
1m Pav(m)
Pd.c.(m)
R’ 45,8% 44,1% 41,6% 38,1% 33,2% 26,3% 16,5% 2,6%
h (mm) 12343 8640 6171 4320 3086 2160 1571 1080
� Pour un objet de taille y=0,5 m et dont l’image mesure y’=24 mm, G=y’/y=0,048,p=f’(1+1/G)=524 mm=0,524 m.
� Pour un objet de taille y=1 m et dont l’image mesure y’=24 mm, G=y’/y=0,024,p=f’(1+1/G)=1012 mm=1,012 m.
f’=24mm
Diaph 1,4 2 2,8 4 5,6 8 11 16
Taille objet
pan (m) 1,736 1,640 1,520 1,378 1,217 1,045 0,870 0,704
ppn(m) 2,426 2,643 3,027 3,808 5,997 32,150 ∞ ∞
2m Pav(m)
Pd.c.(m)
R’ 41,7% 38,3% 33,4% 26,3% 16,9% 3,1% 0% 0%
pan(m) 3,027 2,745 2,426 2,083 1,737 1,406 1,107 0,851
ppn(m) 6,000 7,532 11,79 58,73 ∞ ∞ ∞ ∞
4m Pav(m)
Pd.c.(m)
R’ 33,5% 26,7% 17,1% 3,4% 0% 0% 0% 0%
h (mm) 12343 8640 6171 4320 3086 2160 1571 1080
� Pour un objet de taille y=2 m et dont l’image mesure y’=24 mm, G=y’/y=0,012,p=f’(1+1/G)=2024 mm=2,024 m.
� Pour un objet de taille y=4 m et dont l’image mesure y’=24 mm, G=y’/y=0,006,p=f’(1+1/G)=4048 mm=4,048 m.
On voit que le rapport R’ peut s’éloigner fortement de la valeur 1/3=33,33%. Il est en faitcompris entre 0% (la zone de netteté relative est beaucoup plus étendue derrière le plan demise au point que devant )et 50% (la zone de netteté relative se répartit également devant etderrière le plan de mise au point).
On vérifie aussi directement que la valeur du diaphragme qui donne le rapport R’ le plusproche de 33,33% et donc le meilleur accord avec la règle des 1/3-2/3 est celle qui donne unehyperfocale h telle que la distance de mise au point est égale au tiers de l’hyperfocale :
En effet, on obtient au départ de cette relation et de la définition de la distance hyperfocale :
c’est-à-dire, pour p valant respectivement 524 mm, 1012 mm, 2024 mm, 4048 mm les valeursde diaphragme :
3
hp =
2 2' ' 5760 donc
3 3 . 3 . (en mm)
h f fp n
n p pτ τ= = = =
10,99 11, 5,69 5,6, 2,85 2,8, 1, 42 1,4n n n n= → = → = → = →
10 Cadrage et profondeur de champ
Si l’on utilise plusieurs focales lors de la prise de vue d’un sujet, en gardant la même grandeur
de l’image et la même ouverture, à cause du changement d’angle de champ associé auchangement de focale, la perspective change et la grandeur des avant-plans et des arrière-
plans ne sera pas conservée.
Toutefois, lors de la prise de vue d’un sujet, pour lequel on désire conserver la même grandeur
image, on entend souvent l’adage :
10.1 Adage pratique
« à cadrage égal, un changement de focale ne fait pas varier la profondeur de champ del’image».
Par exemple, sur les photos faites avecles différents objectifs, les points A etB délimitent le cadrage mais l'objectifde 24 mm embrasse un espacebeaucoup plus grand que le 135 mm.Pourtant, au même diaphragme, f/8par exemple, nous obtiendrons uneprofondeur de champ du même ordre(environ 7,5 m).
Vérifions tout d’abord la validité de cet adage sur différents exemples, et dégageons lescirconstances qui le favorisent.
Les tableaux suivants donnent la profondeur de champ en fonction de la focale et du
diaphragme, pour des prises de vues d’objets de 50 cm, 1m, 2m et 4m de hauteur, dont lesimages ont toutes une hauteur égale à la hauteur du format utilisé (24 mm pour un 24 ×36mm, en orientation paysage).
L’adage « à hauteur égale de personnage sur lequel on met au point, la profondeur dechamp est égale, quelle que soit la focale utilisée » est d’autant mieux vérifié que :
� la focale utilisée est grande
� l’ouverture est grande (c’est-à-dire l’indice de diaphragme n est petit)� la distance de l’objet p est petite (et donc la taille de l’objet est petite)
Par conséquent, l’adage est d’autant mieux vérifié que la distance de mise au point p estpetite vis-à-vis de la distance hyperfocale h, c’est-à-dire :
En pratique, la profondeur de champ est quasiment indépendante de la focale pour uneouverture et une taille image fixée tant que p est inférieure au quart de la distance
hyperfocale :
p h<<
10.2 Observations et déductions
4
hp ≤
La distance hyperfocale pour le 50 mm àf 8 pour le format 35 mm (τ=0,025mm)vaut à peu près 12,5 m=41ft (1ft=0,3048m).
On voit que la profondeur de champ estquasiment la même pour le 50 mm et le200 mm tant que la distance de mise aupoint n’excède pas 10 ft, soit le quart dela distance hyperfocale du 50 mm.
Remarque : comme l’hyperfocaleaugmente comme le carré de la focalede l’objectif et que la distance de miseau point augmente comme la focale, lacontrainte p<<h est beaucoup plus fortepour l’objectif de plus faible focale. Parexemple, pour le 200 mm, l’hyperfocalevaut 200 m = 656 ft et on peut donc allerjusque des distances de mise au point de40 ft, soit le seizième de l’hyperfocale.
Les diagrammes suivants, qui donnent la position des plans antérieur et postérieur de nettetéen fonction de la distance de mise au point pour différents objectifs, donnant une image detaille constante, permettent de confirmer notre analyse.
La distance hyperfocale pour le 50 mmà f 8 pour le format 35 mm (τ = 0,025mm) vaut à peu près 12,5 m = 41 ft (1ft = 0,3048 m).
On voit que la profondeur de champest quasiment la même pour le 50 mmet le 400 mm tant que la distance demise au point n’excède pas 10 ft, soitle quart de la distance hyperfocale du50 mm.
La distance hyperfocale pour le 200 mmà f 8 pour le format 35 mm (τ = 0,025mm) vaut à peu près 200 m = 656 ft (1 ft= 0,3048 m).
On voit que la profondeur de champ estquasiment la même pour le 200 mm etle 400 mm tant que la distance de miseau point n’excède pas 130 ft, soit lecinquième de la distance hyperfocale du200 mm.
10.3 Justification qualitative
Voici une explication géométrique de cet adage selon lequel la profondeur de champ nedépend pas de la distance focale pour un cadrage fixé (même grandeur pour l’image d’unobjet donné).
Pour un objet situé à distance finie, pour un nombre d’ouverture donné n, la taille de la pupilled’entrée est proportionnelle à la distance focale et donc à la distance de mise au point,puisque :
n = f’/(diamètre de la pupille d’entrée) et que : p = f’(1/G+1).
Les cônes de lumière et donc les cercles de confusion sont toujours les mêmes, quelle que soit
la focale.
Mais les faisceaux de lumière provenant d’un objet à l’infini et entrant par la pupille d’entréene sont pas les mêmes, et la taille du flou dans l’image d’un objet lointain dépend donc de lafocale.
10.4 Justification théorique
� Fixer la taille de l’image, pour un sujet donné, revient à fixer le grandissement de la scène,G.
� Pour une focale f’ fixée, la distance de mise au point p vaudra donc :
� La profondeur de champ vaut :
�Si on se place dans l’hypothèse où p<<h, la profondeur de champ vaut approximativement :
� Cette expression est bien indépendante de la focale.
�Si de plus G est petit par rapport à 1, la formule se simplifie même en :
�Si par contre G=1 (reproduction grandeur nature), on retrouve pour la profondeur de champl’expression déjà démontrée :
1' 1p f
G
= +
. . 2 2
2 ( ')
( ')d c
hp p fP
h p f
−=
− −
2
. . 2 2 2
2 ( ') 2 ( ') 2 ( ') . 2 ' . 1 1 1 11 2 . 1
' 'd c
hp p f p p f p p f n f nP n
h h f f G G G G
τ ττ
− − − ≈ = = = + = +
. . 2
2 .d c
nP
G
τ≈
. . 4 .d cP nτ≈
Les formules générales doivent absolument être appliquées pour localiser et mesurer lazone de netteté relative ; pour rappel, on a :
� pour la position du plan antérieur de netteté :
ou de manière équivalente :
� pour la position du plan postérieur de netteté :
ou de manière équivalente :
� et donc finalement pour la profondeur de champ :
11 Profondeur de champ en macrophotographie
( )
( )22
2 . . '
'dc
p h p fP
h p f
−=
− −
( ).
'an
p hp
h p f=
+ −
( ).
'pn
p hp
h p f=
− −
1 1 1 '1
an
f
p p h p
= + −
1 1 1 '1
pn
f
p p h p
= − −
Profondeur de champ, distance de mise au point et corrections d’exposition pour deux
objectifs macro Planar de 50mm et 100mm de focale respectivement. Les calculs ont été faits
pour le format 35mm et un cercle de confusion valant 1/1500 de la diagonale du format.
O est le plan de mise au point, I est le plan image de O, P1 et P2 sont les plans principauxobjet et image. Les pupilles d’entrée EN et de sortie EX ont pour diamètre respectif D et d.Les rayons issus d’un point de l’arrière plan de netteté (plan 1) ou d’un point de l’avant plande netteté (plan 2) et s’appuyant sur la pupille d’entrée coupent le plan objet O en un cerclede diamètre K. Les rayons conjugués à ceux-ci s’appuient sur la pupille de sortie et coupentle plan image I en des cercles de diamètre égal à la tolérance de netteté (notée C sur leschéma). On a bien sûr C=m.K où m est le grandissement linéaire.
12 Profondeur de champ d’un système épais
12.1 Cas d’une optique symétrique
Dans l’espace objet, on obtient par les triangles semblables :
Comme le grandissement vaut m = L’/L= v/u et en notant N’ le nombre d’ouverture effectif :
N’=Neff = N (1 + m)=(f’/D)(1+m)=v/D,
on a :
En remplaçant D et K par ces expressions dans les relations précédentes, on obtient :
c’est-à-dire :
uDS
D K
uDR
D K
=−
=+
Si on appelle u et v les distances des plans objet et image par rapport aux plans principaux, etL et L’ les distances de ces mêmes plans par rapport aux pupilles, on a L=u et L’=v dans le casd’une optique symétrique (car les pupilles sont dans les plans principaux et le grandissementpupillaire est égal à 1 pour les optiques symétriques).
' et
' ' '
um uL CLD K
N N L L= = =
' '
' ' et
' '
' ' ' '
uL uLu u
N L N LS R
uL CL uL CL
N L L N L L
= =
− +
( )
( )
( )
( )
2 22 2
2 22 2
' ' et
' ' ' '
u L u LS R
u L N CL u L N CL= =
− +
Ces formules se ramènent aux expressions habituelles, moyennant un retour aux variablesusuelles ; en effet, en posant u=L=p et v=L’=p’, C=τ, on obtient par exemple :
et de la même manière :
2 22
2 2
2 22 22
' '(1 )' (1 )
'' (1 ) '' (1 ) (1 ) ( ')(1 ) (1 )1
pn
pp fp Gp p p G h ph ph phn nS p
p fp n G p fpp n G p h G p h p fG G p h h
n G Gn n
τ τττ
ττ τ
+ += = = = = = = =
+− + + − − −+ − + − −−+
2 22
2 2
2 22 22
' '(1 )' (1 )
'' (1 ) '' (1 ) (1 ) ( ')(1 ) (1 )1
an
pp fp Gp p p G h ph ph phn nR p
p fp n G p fpp n G p h G p h p fG G p h h
n G Gn n
τ τττ
ττ τ
+ += = = = = = = =
++ + + + + −+ + + + +++
12.2 Cas d’une optique dissymétrique
Considérons un objectif dissymétrique, dont les plans principaux H et H’ sont situés à desdistances sH et sH’ des sommets des faces de l’objectif et dont les pupilles d’entrée et de sortiesont situées à des distances sep et s’ap des mêmes sommets. La pupille d’entrée est à unedistance xep derrière H et la pupille de sortie est à une distance x’ap derrière H’. Ces distancessont orientées dans le sens gauche droite.
Les diamètres des pupilles d’entrée et de sortie sont reliés par le grandissement pupillaire :
Sur la figure ci-dessus, pour une mise au point à l’infini, le prolongement jusqu’au planprincipal H’ du cône de rayons sortants s’appuyant sur la pupille de sortie a un diamètre D,donc, en utilisant les triangles semblables, on a :
et donc :
dp
D=
' 'ap ap
D d pD
f f x f x= =
− −
' (1 )apx f p= −
Comme les distances xep et x’ap sont conjuguées, elles sont reliées par le grandissementpupillaire p par la formule (cf. chapitre 5, section 11.2) :
et on a donc aussi :
'ap ep
x px=
11
epx f
p
= −
La profondeur de champ est fixée par le diamètre de la pupille de sortie de l’objectif. Sur lafigure précédente, le plan antérieur de netteté est à une distance un et le plan postérieur denetteté est à une distance uf du plan principal objet (indices mis pour « near » et « far »),leurs images sont situées à des distances vn et vf du plan principal image, la mise au pointest faite à une distance v. La tolérance de netteté est notée c ici.
Des relations de similitude permettent d’écrire :
Par commodité, introduisons comme d’habitude le nombre de diaphragme N plutôt que lediamètre de la pupille d’entrée D :
où l’on peut remplacer le diamètre D de la pupille d’entrée par celui d de la pupille de sortie àl’aide du grandissement pupillaire p :
Faisons la substitution :
dans l’équation précédente, on obtient :
Remplaçons x’ap par son expression f(1-p), on trouve après réarrangement pour la position del’image du plan postérieur de netteté :
Par une méthode semblable, on trouverait pour la position de l’image du plan antérieur de netteté :
Dans l’espace objet, on obtient grâce à la relation de conjugaison :
les limites suivantes pour la zone de netteté relative :
On peut à nouveau inverser ces formules pour trouver la distance de mise au point et lenombre d’ouverture à utiliser pour avoir une zone de netteté s’étendant de un à uf ; ontrouve :
et :
Le champ antérieur (partie de la profondeur de champ située en avant du plan de mise aupoint) vaut :
et le champ postérieur :
ou encore, en terme du grandissement m, en utilisant la substitution :
Le rapport champ antérieur/champ postérieur vaut :
c’est-à-dire la même chose que pour les objectifs symétriques.
La profondeur de champ totale vaut :
Ou encore, en terme du grandissement :
13 Exercices1. Un objectif de 105 mm de focale équipe un appareil pour une prise de vue d’un objet situé
à 2m. Déterminer la profondeur de champ sachant qu’avec l’ouverture de travail,l’hyperfocale vaut 40m.
2. Un objectif 1 : 1,8/55 est employé pour une prise de vue à tirage minimum avec uneouverture de travail f4. Déterminer la profondeur de champ (τ=1/50mm). Déterminer pourla même ouverture de travail la profondeur de champ maximale permise.
3. On réalise une reproduction à l’échelle ½ avec une optique de 80 mm de focale.L’ouverture de travail est f8. La tolérance de netteté admise pour le format employé est de1/20mm. Déterminer la distance de mise au point, le tirage, la profondeur de champ.
4. Une chambre technique 4×5’’ est munie d’un objectif 1 : 5,6/210. On réalise une prise devue à l’échelle 1/5. Les conditions d’exposition pour cette prise de vue sont 2s à f22.Déterminer :
• La profondeur de champ• L’allonge• Les conditions d’exposition qui avaient été lues au posemètre en lumière
incidente (on a conservé la profondeur de champ).
5. Un objectif 1 : 2,8/90 équipant un appareil de format 6×6 donne pour une prise de vue àtirage minimum un premier plan net à 20,25m. Déterminer l’ouverture de travail pourcette prise de vue. À même diaphragme, donner la distance de mise au point qui donneraune profondeur de champ maximum. Donner les limites de cette profondeur de champ.
6. Une chambre technique munie d’un objectif Symmar 1 : 5,6/150 est utilisée pour unereproduction grandeur nature. L’ouverture de travail est f22. Déterminer la profondeur dechamp. Même question si l’objectif est un Symmar 1 : 4/300. Que constatez-vous ?
7. Une chambre technique 4×5’’ est équipée d’un objectif 1 : 5,6/210 et est munie d’unsoufflet qui permet une allonge maximum de 19cm. La prise de vue est effectuée à f32 àl’échelle 1/3. Déterminer la distance de mise au point et la profondeur de champ pour laprise de vue mentionnée. Déterminer les limites de mise au point permises par cettechambre.
8. On réalise la prise de vue d’un sujet et on veut que la zone de netteté aille de 138 à150cm. La chambre technique est équipée d’un objectif 1 : 5,6/360. En lumière incidente,le flashmètre donne f111/3, le générateur Broncolor affiche une puissance relative de 6.
• Quelle sera la nouvelle puissance relative à afficher et éventuellement le nombred’éclairs nécessaires (sans tenir compte de l’effet d’intermittence).
• Si on désirait simplifier le calcul concernant l’augmentation de tirage, quellesensibilité devrait-on afficher au flashmètre, sachant que le film a une sensibiliténominale de 160/23.
• Avec le même appareillage et la même ouverture de travail que pour la prise devue précédente, quelle serait la profondeur de champ maximum ?
9. On équipe une chambre technique d’un objectif macro 1 : 6,3/100. On réalise la prise devue d’un objet situé à 150mm et on mesure une profondeur de foyer de 10mm. Calculerla profondeur de champ.
10. Un appareil grand format muni d’un objectif 1 : 3,5/100 est fixé sur un pied sans tourellepanoramique. On photographie à f8 un mobile qui évolue perpendiculairement à l’axeoptique à une distance de 15m de l’appareil et à la vitesse constante de 36 km/h.Déterminer la profondeur de champ et le temps d’obturation maximum pour que l’imagesoit nette.
11. Pour quel(s) format(s) est prévu l’objectif 1 : 4,5/180 qui permet à f32 d’obtenir uneprofondeur de champ de 2m à partir d’une distance de 2,3m ?
Avec le même appareil, on réalise une nouvelle prise de vue en extérieur en mettant aupoint sur 27cm. On mesure une profondeur de foyer de 15mm et, en lumière incidente, onmesure un temps d’exposition de 1,5s. Déterminer les conditions d’exposition avecconservation de la profondeur de champ.
12. Déterminer les caractéristiques d’un objectif 1 : … / … prévu pour une chambre techniquegrand format sachant que, lors d’une prise de vue à f221/3, la profondeur de champ estmaximum si on met au point à 23m et que, pour une prise de vue à l’ouverture relative età tirage minimum, le premier plan net se trouve à 103m.
13. On réalise une prise de vue en chambre technique grand format avec un objectif 1 :9/480. La profondeur de champ choisie s’étend de 288 à 313 cm. Lors de la mesure del’exposition du sujet, le flashmètre affiche 111/3, le générateur étant sur la puissancerelative 8. Déterminer la puissance réelle à afficher pour une exposition correcte.
14. On réalise une prise de vue avec une chambre technique grand format équipée d’unobjectif 1 : 4,5/150. Pour une profondeur de champ voulue, on mesure une profondeur defoyer de 6mm et on réalise la mise au point sur 45cm. Le flashmètre donne f221/3, legénérateur étant réglé sur la puissance relative 7. Déterminer :
• La profondeur de champ• La puissance à afficher sur le générateur pour une prise de vue correcte• La mise au point minimum permise par la chambre, si l’allonge maximum
possible du soufflet est de 15cm.
15. On réalise une prise de vue en extérieur avec une chambre technique grand formatéquipée d’un objectif 1 : 5,6/210. Pour obtenir le résultat souhaité, on mesure uneprofondeur de foyer de 14mm et un tirage de 84cm. En lumière incidente, le posemètreindique 1/30s à f81/3. Déterminer la profondeur de champ et les conditions d’expositioncorrecte pour la conserver.
