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Chapt 13. 多元函数的极限与连续. §1. 平面点集 §2. 多元函数的极限和连续性. 一、邻域、点列的极限. 性质. 二、开集、闭集、区域. 内点 :. 外点：. 边界点：. 例 1. 例 2. 开集：. 例 3. 聚点：. 性质：. 闭集：. 例 4. 区域：. 区域. 不是区域. 有界：. 三、平面点集的几个基本定理. 矩形套定理：. 致密性定理：. 有限覆盖定理：. 收敛原理：. - PowerPoint PPT Presentation
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Yunnan
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§1. 平面点集 Chapt 13. 多元函数的极限与连续
§1. 平面点集
§2. 多元函数的极限和连续性
Yunnan
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§1. 平面点集
一、邻域、点列的极限
1 1 1 2 2 2
221 2 1 2 1 2
0 0 0
0 0
220 0 0
( , ) , )
( , ) ( )
( , ),
( , ) ( , ) ( )
M x y M x y
r M M x x y y
M x y M
M O M
O M x y x x y y
平面上任何两点 和 （ 之间的距离
凡是与 ( , )的距离小于 的那些点 组成的平面点集，
叫做 的 邻域，记为 即
＝ 。
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§1. 平面点集
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0
( , ), , .
( , ,
( , ),
lim .
, ,
n n n
n
n
nn
n n
M x y M x y M
O M N n N
M O M
M M
M M
x y x y n
定义：设 如果对
的任何一个邻域 ）,存在 当 时，有
就称 收敛，并且收敛于 ，记为
即
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§1. 平面点集
0 0
2 20 0
, , 0, ,
( ) .
n n
n n
x y x y N n N
x x y y
当 时，有
性质
0 01 , , , .
(2)
n n n n
n
x y x y x x y y
M
（）
若 收敛，则它的极限为一。
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§1. 平面点集
0 01 . , , .n nx y x y 证（）“ ”设 0
N n N
则 ，正整数 ，当 时，有
2 2
0 0 ,n nx x y y
0 0,n nx x y y
更有
0 0, .n nx x y y
0 0, .n nx x y y n “ ” 。设
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§1. 平面点集
0 N n N 则 ， 正整数 ，当 时，有
0 0,2 2n nx x y y
,n N于是当 时 有
2 2
0 0 ,n nx x y y
0 0, , .n nx y x y
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§1. 平面点集
(2) ,n nM M M M n 设 。
0 N n N 则 ， 正整数 ，当 时，有
, , , .2 2n nr M M r M M
,
, , ,n n
n N
r M M r M M r M M
当 时
M M这表明 。
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§1. 平面点集
二、开集、闭集、区域
内点 :
外点：
E设 是一个平面点集.
0 0
0
. 0, ( , ) ,
.
M E O M E
M E
设 如果存在 使得
就称 是 的内点
1 1
1
. 0, ( , ) ,
.
M E O M E
M E
设 如果存在 使得
就称 是 的外点
边界点： * 2 *
* 2 *
. 0, ( , ) ,
( , ) ( \ ) , .
M R O M E
O M R E M E
设 如果 都有
就称 是 的边界点
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§1. 平面点集
.E E的边界点全体叫做 的边界
例 1. 2 2, ) 1 4 .E x y x y 设 （
2 2 4x y
2 2 1x y
x
y
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§1. 平面点集
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
, ) 1 4 ;
, ) 1 4
, ) 1 3 .
E
x y x y
E
x y x y x y
E
x y x y x y
则 的内点全体为
（
的外点全体为
（ 或
的边界为
（ ＝ 或
例 2. 2
, , ,
, .
E x y x Q y Q E
E E R
设 且 则 的内点全体为
的外点全体为 的边界为
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§1. 平面点集
开集： E E E如果 的每一点都是 的内点，就称 是开集.
例 3. 2 2( , ) 1 .x y x y 是开集
聚点： 20 0 0
0
. 0, ( , ) ( \ ) ,M R O M E M
M E
设 如果 有
就称 是 的聚点。
性质： 0
0
nM E E M
M
设 是 的聚点，则在 中存在一个点列 以
为极限.
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§1. 平面点集
闭集： E E E设 的所有聚点都在 内，就称 是闭集.
例 4. 2 2( , ) 1 .x y x y 是闭集
区域： 1 2
.
E E M M
E E
设 是一个开集，并且 中任意两点 和 之间
都可以用折线连接起来，且折线都在 中，就称是区域 区域加上它的边界就是闭区域.
1M2M
1M2M
区域 不是区域
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§1. 平面点集
有界： 0, (0, ),
.
D M D O M
D
设 是一集合，如果存在 使得
就称 是有界的
三、平面点集的几个基本定理矩形套定理：
0 0 0
0 0
, ,
0, 0,
,
, , 1, 2,
n n n n
n n n n
n n n n
a x b c y d
b a d c
M x y
a x b c y d n
设 是矩形序列
其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且
那么有唯一的一点 ，使得
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§1. 平面点集
致密性定理： ,n n nM x y 如果序列 有界，那么从
其中必能选取收敛的子列.
有限覆盖定理：
,x y
若一开矩形集合 ＝ 覆盖一
有界闭区域，那么从 里，必可选出有限个开矩形，它们也能覆
盖这个区域。
收敛原理： 0, , , ( , ) .
n
n m
M
N m n N r M M
平面点列 有极限的充分必要条件是：
当 时，有
