CHAPTER 2 電磁波基礎

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本章大綱

• 2.1 簡諧均勻平面電磁波• 2.2 電磁波的極化• 2.3 電磁波的反射與透射• 2.4 電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層

2.1 簡諧均勻平面電磁波

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2.1 簡諧均勻平面電磁波（1/2）

• 在簡諧即正弦時變條件下，可以通過求解複數波動方程，即赫姆霍玆方程，得到簡諧均勻平面波的解。

• 均勻平面電磁波是在均勻的簡單介質中，電磁波傳播的最簡單的形式。

• 均勻平面波的電磁場在垂直於傳播方向的橫截面上是均勻的和同相的，即垂直於傳播方向的平面既是等相位面，又是等振幅面，稱為波前。

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簡諧均勻平面電磁波（2/2）

• 2.1.1 不導電介質中的均勻平面波• 2.1.2 沿任意方向傳播的均勻平面波• 2.1.3 均勻平面波的能流與能量• 2.1.4 有損介質中的平面波、電磁波的衰減

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不導電介質中的均勻平面波（1/9）

• 在穩態簡諧條件下，線性、均向性、非色散、不導電介質中，複數形式的無源馬克斯威爾方程是

7

不導電介質中的均勻平面波（2/9）

• 在與1.3.2節相同的均勻平面波條件下，即E和H都只隨座標及時間變化，在方向不變。這時，根據式（1-190）和（1-193）

• 電場及磁場都只有橫向，即垂直於的方向的分量Ex、Ey、Hx、Hy，它們的關係是式（1-188）、（1-189）、（1-191）和（1-192），化為複數形式

8

不導電介質中的均勻平面波（3/9）

• 研究，即方程（2-1）和（2-2），它們可化為

• 正弦、餘弦函數和虛自變數指數函數之間可由歐拉（Eula）公式互相變換。由此可得方程的解為

9

不導電介質中的均勻平面波（4/9）

• 考慮到、隨時間呈簡諧變化，其複數形式為ejwt，於是有

• 這正是以前時域波動方程解（1-196）中，令f(t)=ejwt所得的結果。式中 ，它們代表朝+z和-z方向傳播的兩個等幅正弦行進波。

10

不導電介質中的均勻平面波（5/9）

• 將式（2-9）代入方程（2-1），得到

• 式中 。比較（2-10）和（2-11），得到

11

不導電介質中的均勻平面波（6/9）

• 時間參數角頻率w，週期T和頻率f，它們的關係是

• 空間參數縱向相位常數或稱角波數kz，波長λz，波數1/λz。它們的關係是

12

不導電介質中的均勻平面波（7/9）

• 空間與時間的聯繫相速vp

均勻平面波的縱向相位常數等於空間相位常數

其相速等於介質中的光速

在真空中

13

不導電介質中的均勻平面波（8/9）

• 波阻抗η

均勻平面波的波阻抗為

在真空中

14

不導電介質中的均勻平面波（9/9）

15

沿任意方向傳播的均勻平面波（1/9）

• 對於沿任意方向傳播的波，可定義一個「波向量（wave vector）」，記做k，其大小就是波的相位常數k，其方向就是波的傳播方向。它的三個座標分量分別是kx、ky、kz，並有

16

沿任意方向傳播的均勻平面波（2/9）

• 參看圖2-2，設空間有任意點x，則穿過x，垂直於k的平面應為等相位面，其方程是

• 因此電磁波在x點的相位可表示為

• 於是沿k的正方向傳播的均勻平面波的電場、磁場複數值為

17

沿任意方向傳播的均勻平面波（3/9）

• 其複數振幅為

• 對於空間座標函數為 的平面波，向量的空間微分運算符號∇成為下列形式：

18

沿任意方向傳播的均勻平面波（4/9）

19

沿任意方向傳播的均勻平面波（5/9）

• 由式（2-30a）、（2-30b）和（2-30c）可得，對函數

• 於是馬克斯威爾方程（1-96）∼（1-99）成為

20

沿任意方向傳播的均勻平面波（6/9）

• 作-jk與方程（2-31）的向量積，並應用方程（2-32）和（2-33）及三向量叉積公式 ，得到

• 因此有• 即均勻平面波的波向量絕對值等於空間角波數。由方程（2-31）有

21

沿任意方向傳播的均勻平面波（7/9）

• 式中， 為波向量方向的單位向量。• 由方程（2-32）有

• 電場、磁場、波向量三者互相垂直，電場與磁場複數振幅之比為 。並有

22

沿任意方向傳播的均勻平面波（8/9）

• 同理可得沿-k方向傳播的均勻平面波

• 沿任意方向傳播的平面波的等相位面方程為：wt-k*x=常數，它可化為

23

沿任意方向傳播的均勻平面波（9/9）

• 由此可得沿任意方向x的相速為

• 式中θ為x與波向量k的夾角。• θ=0 時，即得到沿波向量方向的相速

24

均勻平面波的能流與能量（1/2）

• 將均勻平面波電場磁場關係式（2-36）代入複數坡印廷向量的定義式（1-239），得到

• 由上述三向量叉積公式及方程（2-33），上式化為

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均勻平面波的能流與能量（2/2）

• 在不導電介質中複數坡印廷向量為實數，平均坡印廷向量與位置無關。即

• 由複數坡印廷定理（1-242），考慮到σ=0，J=0得到

26

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（1/15）

• 當介質有極化損耗時，介電係數成為複數

• 於是空間相位常數k的運算式（1-218）成為

• 當介質內有自由電子從而呈現導電時，設導電率為σ，則根據式（1-213），k成為

27

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（2/15）

• 若介質同時存在導電損耗及極化損耗，則用ε代替上式的ε，成為

• k成為複數，可以寫成

•

28

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（3/15）

• 將以上各式結合，可得

• 故有

29

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（4/15）

• 由此得到

• 有損耗介質中平面波的波阻抗成為複數

30

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（5/15）

• 沿+z方向傳播的平面波電磁場成為

• 不導電介質只有極化損耗，式（2-46）和（2-46’）成為

31

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（6/15）

• 若 ，即小損耗情況，以上二式簡化為

• α與β的關係為

32

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（7/15）

• 當介質為導體，且 ，可略去極化損耗 ，於是式（2-46）和（2-46‘）成為

• 波阻抗η成為

33

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（8/15）

• 不良導體此時σ很小而頻率較高，即

這時，式（2-50）和（2-50‘）可化為

Β>>α，且衰減係數與頻率無關。

34

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（9/15）

• 定義場的振幅衰減為初始值 的距離為電磁波的穿透深度或趨膚深度，記做δ，則

• 對於不良導體

35

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（10/15）

• 良導體此時介質導電率σ很大，頻率w不是很高，即

式（2-50）和（2-50‘）化為

穿透深度δ成為

36

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（11/15）

• 波阻抗η的式（2-51）成為

• 良導體中平面波的電場儲能密度與磁場儲能密度也不再相等，它們的比值可由式（2-58）計算

37

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（12/15）

38

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（13/15）

• 這就是式（1-168）指出的良導體表面的邊界條件或表面阻抗。

• 良導體中的複數坡印廷向量為

39

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（14/15）

• 進入良導體的有功功率密度為

40

有損介質中的平面波、電磁波的衰減（15/15）

• 理想導體當σ→∞時，稱為理想導體或完純導體。這時

α→∞

磁波在理想導體內衰減常數為∞，不能進入，因此，在理想導體內電場磁場都為零，在理想導體表面外側電場切向分量亦為零

n×E=0

但理想導體表面可有面電流，故在理想導體表面外側磁場切向分量不為零

n×H=Js 即Ht=Js

2.2 電磁波的極化

42

2.2 電磁波的極化

• 2.2.1 兩個線極化波合成任意極化態的波• 2.2.2 瓊斯矩陣• 2.2.3 兩個圓極化波合成任意極化態的波• 2.2.4 斯托克斯參數和邦加球• 2.2.5 單色波和多色波、完全極化波、部分極化波和非極化波

43

兩個線極化波合成任意極化態的波（1/16）

• 設平面波的電場為Ex與Ey的向量和

• δx及δy分別為Ex、 Ey的初相，其相位差為

• 於是合成電場成為

44

兩個線極化波合成任意極化態的波（2/16）

• 該平面波的磁場為

• 由馬克斯威爾方程有

• 於是合成磁場成為

45

兩個線極化波合成任意極化態的波（3/16）

• 寫出電場兩個分量（2-62）和（2-63）的瞬間值形式

• 應用式（2-71）、（2-72）和（2-64），可得

46

兩個線極化波合成任意極化態的波（4/16）

• 求以上二式的平方和，則可消去式中的τ，得到

47

兩個線極化波合成任意極化態的波（5/16）

• 同理，磁場的兩個分量（2-67）和（2-68）也可化為瞬間值形式

• 同樣可消去τ，得到

48

兩個線極化波合成任意極化態的波（6/16）

• H向量端點軌跡是一與E向量端點橢圓軌跡垂直的橢圓

49

兩個線極化波合成任意極化態的波（7/16）

50

兩個線極化波合成任意極化態的波（8/16）

• 在這個旋轉後的座標系 中電場的兩個分量為及 ，它們Ex與Ey的關係為

• 在 座標系中，該橢圓是正橢圓，其參數方程為

51

兩個線極化波合成任意極化態的波（9/16）

• 以上式（2-79）等於式（2-77），式（2-80）等於式（2-78），其中Ex、Ey的用式（2-71）和（2-72）代入，得到

52

兩個線極化波合成任意極化態的波（10/16）

• 以上二式中，左右兩邊sinτ的係數、cosτ的係數應分別相等，得到下列四式：

• 求式（2-83）與（2-84）的平方和及式（2-85）與（2-86）的平方和，再將兩個平方和式相加，得到

53

兩個線極化波合成任意極化態的波（11/16）

• 將式（2-83）與（2-85）相乘，式（2-84）與（2-86）相乘，再將兩個乘積式相加，得到

• 將式（2-85）除以（2-83），式（2-86）除以（2-84），兩個除式都等於 ，因此兩除式相等，整理後得到

54

兩個線極化波合成任意極化態的波（12/16）

• 有時用Eym與Exm的比值及與的比值更為方便，設

• X稱為橢圓角。• 用式（2-88）與式（2-87）的除式代替（2-88），得到

55

兩個線極化波合成任意極化態的波（13/16）

• 於是式（2-87）、（2-92）和（2-89）成為

56

兩個線極化波合成任意極化態的波（14/16）

• △=0，即δx= δy=δ，Ex與Ey同相，由式（2-94）可知，χ=0，橢圓的短軸為零，成為線極化波。極化面的取向角可由式（2-95）和（2-90）求出

• 任意取向的線極化波的電場、磁場運算式為

• Eym=0時，Ψ=0，成為電場在方向的線極化波； Exm=0，Ψ=1/2時，成為電場在方向的線極化波。

57

兩個線極化波合成任意極化態的波（15/16）

• △=±π/2，Ex 與Ey相位差π/2 ，由式（2-95）可知，Ψ=0 ，這是正橢圓極化波，橢圓的長、短軸與座標x、y重合，χ=0 。

• △=±π/2 ，同時Exm與Eym ，即Ex與Ey相位差π/2 ，且振幅相等。這時χ= Φ = π/4，b=a，橢圓的長軸與短軸相等，成為圓極化波。△為π/2時是逆時針（左旋）圓極化波（CCW），△為-π/2時是順時針（右旋）圓極化波（CW）。

58

兩個線極化波合成任意極化態的波（16/16）

• 順時針（右旋）圓極化波的電場和磁場為

• 逆時針（左旋）圓極化波的電場和磁場為

• 一般情況， ，是斜橢圓極化波。

59

瓊斯矩陣

• 將描述任意極化波的極化態的參數Eym、 Exm、δx 、δy寫成矩陣形式，即將式（2-62）和（2-63）的複數振幅組成一個列矩陣

• 這個矩陣稱為瓊斯（Jones）矩陣。

60

兩個圓極化波合成任意極化態的波（1/4）

• 根據圓極化波的運算式（2-99）∼（2-102）可寫出合成電場、磁場的運算式

• 式中，α1、α2依次為CW波和CCCW波的初相，兩個圓極化波的初相差為

61

兩個圓極化波合成任意極化態的波（2/4）

• 一般情況下，式（2-104）和（2-105）描述的是一橢圓極化波，其半長軸α，半短軸b及取向角為

• 橢圓角為

62

兩個圓極化波合成任意極化態的波（3/4）

63

兩個圓極化波合成任意極化態的波（4/4）

• 特殊情況Ecw=Eccw，b=0，χ=0，是線極化波。Eccw=0，a=b，E=Ecw，是順時針圓極化波。Ecw=0，a=b， E=Eccw是逆時針圓極化波。α2=-α1 ，ψ=0，是正橢圓極化波。一般情況，Ecw≠Eccw≠0 ， α2≠-α1 則是斜橢圓極化波。

• 以上指出三套描述極化態的參數：兩互相垂直的線極化波振幅Exm、Eym及其相位差△。兩反向旋轉的圓極化波的振幅Ecw、Eccw及其相位差△α。

橢圓軌跡的半長軸α，半短軸b及橢圓取向角ψ。

64

斯托克斯參數和邦加球（1/3）

• 定義四個參數S0、S1、S2、S3，它們與Exm、Eym、△的關係如下：

65

斯托克斯參數和邦加球（2/3）

• 斯托克斯參數與Ecw、Eccw 、△α的關係為

• 斯托克斯參數與a、b、Ψ的關係為

66

斯托克斯參數和邦加球（3/3）

67

單色波和多色波、完全極化波、部分極化波和非極化波（1/2）

• 單色波必然是橢圓極化波、圓極化及線極化都是橢圓極化的特例，前者長、短軸相等，後者短軸等於零。這種單色橢圓極化波屬於完全極化波，簡稱極化波。

• 多頻的電磁波或稱多色波，其極化態比較複雜。完全極化波

部分極化波

非極化波

68

單色波和多色波、完全極化波、部分極化波和非極化波（2/2）

• 非極化波電場向量和磁場向量端點作隨機運動，它的幅度、頻率、相位及場的取向都是隨機的。

例如，自然光就是多色非極化波。

• 完全極化的多色波由若干不同頻率、幅度、相位、極化態的單色波合成的多色波。

• 固定的極化態其幅度、頻率及相位是隨機的多色完全極化波。

2.3 電磁波的反射與透射

70

2.3 電磁波的反射與透射

• 2.3.1 斯奈爾定律，電磁波的方向關係• 2.3.2 菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係• 2.3.3 電磁波垂直入射於理想導體表面• 2.3.4 電磁波垂直入射於一般介質界面• 2.3.5 電磁波斜入射於理想導體表面• 2.3.6 布魯斯特角，全極化• 2.3.7 臨界角，全反射• 2.3.8 漸消場和表面波• 2.3.9 介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變化• 2.3.10 電磁波在導電介質界面的反射和透射

71

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（1/9）

• 應用2.1.2節得出的沿任意方向傳播的平面波的運算式（2-28），可寫出介質1中的入射波和反射波及介質2中的透射波的運算式依次為

72

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（2/9）

73

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（3/9）

• 在介質界面，x=0，場滿足下列邊界條件或稱相位匹配條件：

• 上式在x=0面上任意y、z都必須成立，因此

74

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（4/9）

• 將入射波向量所在平面定為x-z面，則

• 式（2-128）在任意都必須成立，因此有

• 由此可知，入射波向量、反射波向量和透射波向量共面，這個面稱為入射面，於是

75

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（5/9）

• 由（2-128）又有

76

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（6/9）

• 從圖2-8可以看出

• θi、θr、θl依次為入射角、反射角和折射角。它們是波向量與介質界面法線的夾角。

77

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（7/9）

• 入射波及反射波在介質1中傳播，透射波在介質2中傳播，由式（2-17）有

• 將式（2-135）、（2-136）及（2-138）、（2-139）代入式（2-134），得到

• 即，入射角等於反射角。

78

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（8/9）

• 再將式（2-135）、（2-137）及（2-138）、（2-140）代入式（2-134），得到

• 即，折射角正弦與入射角正弦之比等於透射介質與入射介質的平面波相速之比。定義介質的折射率為 。

79

斯奈爾定律，電磁波的方向關係（9/9）

• 介質1的折射率

• 介質2的折射率• 介質2對介質1的相對折射率

• 則式（2-142）成為

• 即，折射角正弦與入射角正弦之比為二介質折射率的反比。

80

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（1/8）

81

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（2/8）

• 三個波向量分別為

• 根據沿任意方向傳播的均勻平面波運算式（2-26），有

82

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（3/8）

• 由平面波電場與磁場的關係式（2-36），可以得到入射波、反射波及透射波的磁場運算式

83

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（4/8）

• 在介質界面，x=0，界面上無面電流，則界面兩側的電場及磁場，即介質1中入射波和反射波的合成場與介質2中的透射波場，在界面上滿足下列邊界條件：

• 將式（2-156）與式（2-157）相除，得到的表面阻抗邊界方程

84

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（5/8）

• 由式（2-153）和（2-154）有

• 由式（2-155）有

85

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（6/8）

• 為相應的導納。於是式（2-159）和（2-160）成為

• 代入式（2-158）得到

• 解之，得到TE波電場反射係數 為

86

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（7/8）

• 將式（2-161）和（2-162）代入上式，得到

• 將斯奈爾公式（2-142）代入上式，消去θt，得到

87

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（8/8）

• 由邊界條件式（2-156）可得TE波的電場透射係數 ，即

• 反射波與入射波都在介質1中傳播，其波阻抗相同，故有

• 透射波在介質2中傳播，其波阻抗不等於入射波波阻抗，故有

88

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（1/10）

89

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（2/10）

• 根據圖2-10所示方向關係，應用式（2-27）和（2-37）， p波入射場、反射場和透射場可寫出如下：

90

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（3/10）

91

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（4/10）

• 根據圖2-10所示方向關係，應用與TE波相同的方法，可以得到p波或TM波的磁場反射係數為

• 式中

92

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（5/10）

• 將（2-179）和（2-180）代入（2-178），有

• 應用斯奈爾公式（2-142）消去，得到TM波磁場反射係數

93

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（6/10）

• TM波磁場透射係數， 為

• TM波電場反射係數， 為

• TM波電場透射係數， 為

94

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（7/10）

• 對於非磁性電介質界面， ，則TE波及TM波的反射係數式（2-167）、（2-181）和（2-168）、（2-182）依次成為

95

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（8/10）

96

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（9/10）

• 對於磁介質界面， ，則有

97

菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（10/10）

98

電磁波垂直入射於理想導體表面（1/8）

99

電磁波垂直入射於理想導體表面（2/8）

• 在圖2-11所示座標系統中，線極化入射波與反射波的電場、磁場可寫成下列二式：

• 由理想導體表面的短路邊界條件（1-158），有

100

電磁波垂直入射於理想導體表面（3/8）

• 所以理想導體表面的電場反射係數為

• 由式（2-191），得到磁場反射係數

101

電磁波垂直入射於理想導體表面（4/8）

• 將式（2-192）和（2-193）代入式（2-190）和（2-191），得到

102

電磁波垂直入射於理想導體表面（5/8）

103

電磁波垂直入射於理想導體表面（6/8）

• 駐波中的複數坡印廷向量為

• 在空間某一點，電場與磁場的比值定義為該點的等效阻抗Z(x)。由式（2-194）和（2-195）可得

104

電磁波垂直入射於理想導體表面（7/8）

105

電磁波垂直入射於理想導體表面（8/8）

• 若入射波為圓極化波，設為順時針波

• Ey落後於Ez90°。反射波電場為

• 合成的駐波電場是

106

電磁波垂直入射於一般介質界面（1/7）

• 在式（2-167）和（2-181）中，若θi=θt= 0，則成為

• 由式（2-169）和（2-185）可得

• 由式（2-171）和（2-183）可得

107

電磁波垂直入射於一般介質界面（2/7）

108

電磁波垂直入射於一般介質界面（3/7）

• 按照圖2-14所示座標方向，介質1及介質2中的電磁場為

• 在介質2中，是沿-x傳播的等幅行進波，其相位常數為k2。

109

電磁波垂直入射於一般介質界面（4/7）

• 介質2可以是無損也可以是有損介質。則 可寫成複數

• 代入式（2-202），得到介質1中的合成電場

• 其振幅為

110

電磁波垂直入射於一般介質界面（5/7）

• 由式（2-203）得到合成磁場

• 磁場振幅為

111

電磁波垂直入射於一般介質界面（6/7）

112

電磁波垂直入射於一般介質界面（7/7）

• 由式（2-207）和（2-209）可求出行駐波的等效阻抗

• 將式（2-199）代入上式，得到

113

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（1/6）

• 設入射波和反射波的波向量和電磁場仍如式（2-147）、（2-148）、（2-150）、（2-151）、（2-153）和（2-154）所示。

• 合成電場及合成磁場在理想導體表面即x=0面上滿足短路邊界條件（1-154），參看圖2-9。此時Et=0

114

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（2/6）

• 將式（2-150）和（2-151）所表示的入射波電場和反射波電場疊加，並應用式（2-212），就得到空間的合成電場

115

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（3/6）

• 由式（2-153）和（2-154）可以得到空間的合成磁場

116

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（4/6）

117

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（5/6）

• 沿x方向之波長為

• z方向的波長為

• 由式（2-24），並考慮到ky=0，有

118

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（6/6）

• 於是

• z方向的相速為

119

電磁波斜入射於理想導體表面--p波或TM波斜入射於理想導體表面（1/2）

• 根據圖2-10所規定的方向，邊界條件如下

• 考慮到Et=0，Ht=0，可寫出電場、磁場運算式

120

電磁波斜入射於理想導體表面--p波或TM波斜入射於理想導體表面（2/2）

121

布魯斯特角，全極化（1/3）

• 使TM波的反射係數，即式（2-187‘）的分子為零，此時的θi稱為θB，則有

• 得到

• 或

122

布魯斯特角，全極化（2/3）

• 將上式代入斯奈爾公式（2-146），式中θi = θB ，有

• 因此• 由（2-141），有θr=θi = θB• 因此，當入射角為布魯斯特角時

123

布魯斯特角，全極化（3/3）

124

臨界角，全反射（1/5）

• 當電磁波從密介質入射到疏介質時

• 由斯奈爾定律（2-146）

125

臨界角，全反射（2/5）

• 此時透射波向量只有界面切向分量，沒有法向分量，透射波沿界面切向傳播。這個使θt=90的特殊入射角稱為臨界角，記做θc，即

• 當電磁波以大於臨界角的入射角從密介質射向疏介質時

126

臨界角，全反射（3/5）

• 此時θt在實域無解。 cosθt成為虛數，即

• 考慮到（2-233），TE波及TM波反射係數式（2-168）和（2-182）依次成為

127

臨界角，全反射（4/5）

• 由式（2-236）和（2-237）可得

128

臨界角，全反射（5/5）

• 對於電介質界面， ，於是式（2-236）∼（2-241）成為

129

漸消場和表面波（1/8）

• 研究透射波向量kt。由式（2-133），有

• 於是

• 由（2-140）

• 由式（2-134）、（2-135）、（2-137）、（2-138）和（2-140）有

130

漸消場和表面波（2/8）

• 因此

131

漸消場和表面波（3/8）

• 將以上結果用於式（2-152）和（2-155），得到發生全反射時的TE波透射場

132

漸消場和表面波（4/8）

• 發生全反射時，sinθt>1，ktz=k2sinθt>k2，故其透射場沿z的相速小於平面波在介質2中的相速

• 考慮到發生全反射時， ，由式（2-150）、（2-151）、（2-153）和（2-154）可以寫出發生全反射時，介質1中入射波與反射波的合成場

133

漸消場和表面波（5/8）

• 且磁場運算式為

• 得到電場及磁場

134

漸消場和表面波（6/8）

135

漸消場和表面波（7/8）

136

漸消場和表面波（8/8）

• 由式（2-134）有ktz=krz=kiz=kz且有

• 而發生全反射時， sinθt>1， sinθi

137

介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變

化--從疏介質到密介質（1/2）

• n2＞n1時，TE波及TM波反射係數的絕對值和角與入射角θi的關係

138

介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變

化--從密介質到疏介質（2/2）

• n2

139

電磁波在導電介質界面的反射和透射（1/2）

• 在導電介質中用 代替ε，則前面導出的電磁波在介質界面反射與透射的定律都可應用。由於等效介電係數成為複數，因此相位常數，相速及折射率都成為複數

• β及α如式（2-50）和（2-50'）所示。複相速成為

140

電磁波在導電介質界面的反射和透射（2/2）

• 複折射率成為

• 將 分為實部與虛部，即

• n'為折射率， n’’為吸收率或稱消光係數。應用式（2-50）和（2-50'）可得

141

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（1/6）

• 由式（2-146）得

• n1為實數， 為複數。sinθt成為複數，θt也成為複數。於是cosθt成為

142

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（2/6）

• cosθt也是複數，令

• 式（2-260）與（2-261）的關係是

143

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（3/6）

• 將以上得到的cosθt 、 sinθt及式（2-137）、（2-149）代入式（2-152）或（2-177），得到透射波電場運算式

144

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（4/6）

145

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（5/6）

• 若寫成斯奈爾定律的形式

• 若電磁波從不導電介質斜入射向良導體表面，則在介質2中σ2>>wε2。由式（2-56）有

146

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（6/6）

• 若介質1是普通介質，即ε1不是非常大，則有

• 由式（2-259）和（2-268）有

147

電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波垂直入射於介質──導體界面

• 此時2.3.4節的論述仍然有效，只是η2成為複數，如式（2-51）所示。

• 於是反射係數 成為複數，其角Φ可以是任意值。

• 界面不再是波腹或波谷。透射入介質2的波成為衰減行進波。

2.4 電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層

149

2.4 電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層

• 2.4.1 電磁波反射係數和阻抗的變換• 2.4.2 四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波或光學塗層

• 2.4.3 多層四分之一波長微波或光學塗層• 2.4.4 交替變化折射率多層微波或光學塗層

150

電磁波反射係數和阻抗的變換（1/4）

• 由式（2-150）、（2-151）、（2-153）、（2-154）可以得到TE模入射介質中的合成電磁場

• 同理可得TM模入射介質中的合成電磁場

151

電磁波反射係數和阻抗的變換（2/4）

• 對於TE模， ，對於TM模， ，應用式（2-270）∼（2-273）可得

• 式中Zc是在入射介質中TE模或TM模的斜入射波阻抗

152

電磁波反射係數和阻抗的變換（3/4）

• 是截面x上的反射係數

• 截面x1的反射係數和截面x2的反射係數之間的關係是

153

電磁波反射係數和阻抗的變換（4/4）

• 應用式（2-277）、（2-274）、（2-275），可得x1和x2兩截面的阻抗之間的變換關係

• 若平面波垂直入射於界面，即θi =θr= 0 ，則TE和TM模無區別，即2.3.4節所述的情況。

154

四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波

或光學塗層（1/3）

• 由式（2-278）可知，若兩截面x1與x2的距離為四分之一波長或四分之一波長的奇數倍

• n為整數，則

• 於是有

155

四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波

或光學塗層（2/3）

• 若在上述兩種介質之間加入一層厚度為四分之一波長或四分之一波長奇數倍的介質並使該介質的波阻抗Zc滿足

• 則根據式（2-279）可知， x2截面的阻抗為

156

四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波

或光學塗層（3/3）

157

多層四分之一波長微波或光學塗層（1/3）

158

多層四分之一波長微波或光學塗層（2/3）

• 膜系中每一層的厚度為該介質中的四分之一波長，各層的波阻抗滿足以下關係

• 式中i=1至n，為層數。

159

多層四分之一波長微波或光學塗層（3/3）

• 契比雪夫設計應用契比雪夫（Chebyshev）多項式設計的多層四分之一波長減反射膜系可獲得等波紋響應。

• 二項式設計應用二項式設計的多層四分之一波長減反射膜系可獲得最平坦響應。

160

交替變化折射率多層微波或光學塗層（1/5）

• 在微波或光學塗層中易於實現的是由兩種相近折射率的塗層交替塗敷所構成的週期性多層膜系。它既可做成抗反射（AR）膜或稱減反射膜或稱增透膜，又可做成高反射（HR）膜。

161

交替變化折射率多層微波或光學塗層（2/5）

• 第一個膜對層的輸入阻抗為，由式（2-280）可知

• 因此有

• 第一個膜對Zc2層的輸入阻抗為Z21，並有

162

交替變化折射率多層微波或光學塗層（3/5）

• 將上述Z11的運算式代入，得到第一個膜對的阻抗變換關係

• 由此可推出第i個膜對的阻抗變換關係為

• 若將m個 塗層對塗敷在波阻抗為ZcL的襯底上，則輸入阻抗與襯底（負載）阻抗的關係為

163

交替變化折射率多層微波或光學塗層--減（抗）反射（AR）膜（4/5）

• 若使n1>n2同時使m足夠大，則塗層成為減反射膜。這時折射率比 應滿足

• 於是

• 這就是減反射（AR）膜，或稱增透膜或稱匹配膜。

164

交替變化折射率多層微波或光學塗層--高反射（HR）膜（5/5）

• 若使n1

Q & A

CHAPTER 2 電磁波基礎本章大綱2.1 簡諧均勻平面電磁波2.1 簡諧均勻平面電磁波（1/2）簡諧均勻平面電磁波（2/2）不導電介質中的均勻平面波（1/9）不導電介質中的均勻平面波（2/9）不導電介質中的均勻平面波（3/9）不導電介質中的均勻平面波（4/9）不導電介質中的均勻平面波（5/9）不導電介質中的均勻平面波（6/9）不導電介質中的均勻平面波（7/9）不導電介質中的均勻平面波（8/9）不導電介質中的均勻平面波（9/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（1/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（2/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（3/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（4/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（5/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（6/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（7/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（8/9）沿任意方向傳播的均勻平面波（9/9）均勻平面波的能流與能量（1/2）均勻平面波的能流與能量（2/2）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（1/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（2/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（3/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（4/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（5/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（6/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（7/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（8/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（9/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（10/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（11/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（12/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（13/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（14/15）有損介質中的平面波、電磁波的衰減（15/15）2.2 電磁波的極化2.2 電磁波的極化兩個線極化波合成任意極化態的波（1/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（2/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（3/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（4/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（5/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（6/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（7/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（8/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（9/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（10/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（11/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（12/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（13/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（14/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（15/16）兩個線極化波合成任意極化態的波（16/16）瓊斯矩陣兩個圓極化波合成任意極化態的波（1/4）兩個圓極化波合成任意極化態的波（2/4）兩個圓極化波合成任意極化態的波（3/4）兩個圓極化波合成任意極化態的波（4/4）斯托克斯參數和邦加球（1/3）斯托克斯參數和邦加球（2/3）斯托克斯參數和邦加球（3/3）單色波和多色波、完全極化波、部分極化波和非極化波（1/2）單色波和多色波、完全極化波、部分極化波和非極化波（2/2）2.3 電磁波的反射與透射2.3 電磁波的反射與透射斯奈爾定律，電磁波的方向關係（1/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（2/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（3/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（4/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（5/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（6/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（7/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（8/9）斯奈爾定律，電磁波的方向關係（9/9）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（1/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（2/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（3/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（4/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（5/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（6/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（7/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--n波或TE波的反射與透射（8/8）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（1/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（2/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（3/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（4/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（5/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（6/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（7/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（8/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（9/10）菲涅爾定律，電磁波複數振幅的關係--p波或TM波的反射與透射（10/10）電磁波垂直入射於理想導體表面（1/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（2/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（3/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（4/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（5/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（6/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（7/8）電磁波垂直入射於理想導體表面（8/8）電磁波垂直入射於一般介質界面（1/7）電磁波垂直入射於一般介質界面（2/7）電磁波垂直入射於一般介質界面（3/7）電磁波垂直入射於一般介質界面（4/7）電磁波垂直入射於一般介質界面（5/7）電磁波垂直入射於一般介質界面（6/7）電磁波垂直入射於一般介質界面（7/7）電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（1/6）電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（2/6）電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（3/6）電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（4/6）電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（5/6）電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波斜入射於理想導體表面（6/6）電磁波斜入射於理想導體表面--p波或TM波斜入射於理想導體表面（1/2）電磁波斜入射於理想導體表面--p波或TM波斜入射於理想導體表面（2/2）布魯斯特角，全極化（1/3）布魯斯特角，全極化（2/3）布魯斯特角，全極化（3/3）臨界角，全反射（1/5）臨界角，全反射（2/5）臨界角，全反射（3/5）臨界角，全反射（4/5）臨界角，全反射（5/5）漸消場和表面波（1/8）漸消場和表面波（2/8）漸消場和表面波（3/8）漸消場和表面波（4/8）漸消場和表面波（5/8）漸消場和表面波（6/8）漸消場和表面波（7/8）漸消場和表面波（8/8）介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變化--從疏介質到密介質（1/2）介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變化--從密介質到疏介質（2/2）電磁波在導電介質界面的反射和透射（1/2）電磁波在導電介質界面的反射和透射（2/2）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（1/6）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（2/6）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（3/6）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（4/6）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（5/6）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波斜入射於介質──導體界面（6/6）電磁波在導電介質界面的反射和透射：電磁波垂直入射於介質──導體界面2.4　電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層2.4　電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層電磁波反射係數和阻抗的變換（1/4）電磁波反射係數和阻抗的變換（2/4）電磁波反射係數和阻抗的變換（3/4）電磁波反射係數和阻抗的變換（4/4）四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波或光學塗層（1/3）四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波或光學塗層（2/3）四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波或光學塗層（3/3）多層四分之一波長微波或光學塗層（1/3）多層四分之一波長微波或光學塗層（2/3）多層四分之一波長微波或光學塗層（3/3）交替變化折射率多層微波或光學塗層（1/5）交替變化折射率多層微波或光學塗層（2/5）交替變化折射率多層微波或光學塗層（3/5）交替變化折射率多層微波或光學塗層--減（抗）反射（AR）膜（4/5）交替變化折射率多層微波或光學塗層--高反射（HR）膜（5/5）Q & A