1

5فصل توليد

5 -A - مقدمه گردد، وسيله آن كاالها و خدمات مصرف شده توسط افراد توليد مي در اين فصل با مطالعه، فرآيندي كه به

صورت تركيب تعدادي از واحدهاي توليدي يا طرف عرضه را به. پردازيم بررسي طرف عرضه اقتصاد مي به. كار قانوني باشند و صورت شركتها و يا ديگر واحدهاي كسب توانند به بنگاهها مي. گيريم بنگاهها در نظر مي

توانند مجموعه تمام بنگاهها مي. آنها بايد امكانات توليدي افراد و يا خانوارها را نشان بدهندعالوه بر اين، ابراين اين بن. طور بالفعل سازماندهي نشده باشند كه هرگز به ،تشكيل دهند را تعدادي از واحدهاي توليدي

.واحدهاي توليدي بالقوه ولي غيرفعال تطبيق بيابد با تواند هم با فرآيندهاي توليد فعال و هم نظريه ميچه كسي مالك آن است؟ چه كسي آن را مديريت : تواند توصيف شود هاي مختلف مي يك بنگاه از جنبه

ها تواند بكند؟ از ميان تمام اين پرسش ميشود؟ چه شود؟ چگونه سازماندهي مي كند؟ چگونه مديريت مي ميدر واقع مهم (توجيه ما اين نيست كه پرسشهاي ديگر جالب نيستند . شويم ما تنها بر مورد آخر آن متمركز مي

دست پيدا كنيم كه امكان تحليل بازار را يطور سريع به حداقل چارچوبي مفهوم خواهيم به ، اما مي)هستنديعني : خواهد بود يجويانه و اقتصاد بسيار صرفه ،بنابراين مدل ما از امكانات توليد. ازدس براي ما فراهم مي

.ها را تبديل به انواع ستانده نمايد تواند نهاده شود كه مي صورت يك جعبه سياهي دانسته مي بنگاه به

2

هاي توليدي عاليتاي كه فكنيم؛ مجموعهبحث را با معرفي مجموعه توليدي بنگاه شروع مي B-5در قسمتسپس . هستند) ممكن( 1شدنيبراي بنگاه ) تكنولوژيكي(دهد كه از لحاظ فنيهاي توليدي را نشان مييا طرح

.دهيمو مورد بحث قرار مي دهشمرهاي توليدي را برهاي معموالً مفروض براي مجموعهبرخي از ويژگي .شودمعرفي مي نيز در اين بخش آزاد و ورود آزاد جاخرامفاهيمي چون بازدهي نسبت به مقياس،

، هدف بنگاه يعني حداكثرسازي سود را در B-5پس از بررسي امكانات تكنولوژيكي بنگاه در قسمتهمراه آن يعني تابع سود و موضوعسپس مساله حداكثرسازي سود بنگاه و دو . كنيممعرفي مي C-5قسمتساز بهينهبردارهاي و مقداريتابع : ترتيب عبارتند ازبهاين دو . شودو بررسي مي صورتبنديعرضه آن تناظر

سازي هزينه توليد نيز به هدف حداكثرسازي سود بنگاه مربوط تحقق حداقل. مساله حداكثرسازي سود بنگاه: دهيمسازي هزينه بنگاه و دو هدف مرتبط با آن را مورد مطالعه قرار ميهمچنين مساله حداقل. شودمي

غني )همزاد(سازي مخارج در تئوري تقاضا، يك تئوري دوگانداكثرسازي مطلوبيت و حداقلهمانند مسائل ح . سازي هزينه وجود داردبراي مسائل حداكثرسازي سود و حداقل

شكل هندسي روابط هزينه و توليد را براي ـ مورد خاص اما از لحاظ تئوريكي مهم ـ D-5در قسمت . كنيمتحليل ميبه تفصيل ستاندهتكنولوژي توليد يك

تر در طرف عرضه آسان همفزونيدهيم نشان مي. گيردمورد مطالعه قرار مي E-5در قسمت همفزونيتئوري . باشدتر از تئوري متناظر درباره تقاضا در فصل چهارم ميوقويحداكثرسازي با كنيم و رابطه آن را مفهوم توليد كارا را تعريف مي. بحثي درباره اقتصاد رفاه است F-5قسمت

ندههاي توليدي حداكثرسازبينيم طرحمي ،برخي استثنائات جزئي غير از به. دهيمسود مورد مطالعه قرار مييك طرح : نيز درست است آن باشند، معكوس مي هاي مناسب تحدب برقرارسود كارا هستند و وقتي ويژگي

ورود ي داين نتيجه نخستين مبا. زنده سود استحداكثرسا ،هاكارا براي يك بردار انتخاب شده مناسب از قيمت .دهدرا تشكيل مي رفاهاقتصاد بنيادينهاي مهم قضاياي ايدهما به

-حداكثرسازي ترجيحات نمي هم سنگ يموقعيتكنيم كه حداكثرسازي سود داراي اشاره مي G-5در قسمت اين موضوع و مسائل . ستخراج شودبه طور دقيق، حداكثرسازي سود بايد از حداكثر سازي ترجيحات ا. باشد

. دهيممربوط به آن را مورد بررسي قرار مي

1 -Feasible

3

: دهيمهاي توليد را مورد مطالعه قرار ميبه تفصيل يك مورد خاص و مهم تكنولوژي Aدر ضميمه-خطي ناميده مياين مبحث مدل فعاليت . اندهاي خطي قابل توصيفوسيله محدوديتهايي كه بهتكنولوژي

. شود 5-B - هاي توليد مجموعه

ستانده، -هاي بردار داده همچنين بنام( 2بردار توليد. گيريم كاال در نظر مي Lهمانند فصل قبل، اقتصادي را با )1برداري است ) يا برنامه توليد Net Putپوت نت ,..., ) L

Ly y y= توليد را ال از فرآيند اكLكه ∋ها ها و اعداد منفي را براي نهاده همانند سنت مرسوم، اعداد مثبت را براي نشان دادن ستانده. دهد نشان مياين بدان مفهوم است كه اين فرآيند داراي . تواند صفر باشد بعضي از عناصر بردار توليد مي. گيريم بكار مي

.ستانده خالص از آن كاال نيست

5Lكنيد فرض :)B -1-5(ثالم 3و 2به اين معني است كه y=(-5,2,-6,3,0)باشد آنگاه = 3و 1ترتيب از كاالهاي واحد به 6و 5كه در حالي. شود توليد مي 4و 2ترتيب از كاالهاي واحد به

■.شود مصرف مي ،توليدعنوان نهاده در اين بردار نه توليد و نه به 5كاالي . گردد استفاده مي

براي تحليل رفتار بنگاه الزم است با شناخت آن بردارهاي توليدي شروع كنيم كه از نظر تكنولوژيكي

دهند، هاي ممكن براي بنگاه را تشكيل مي اين مجموعه از تمام بردارهاي توليد كه برنامه. باشند ميپذير امكانLYوسيله نام مجموعه توليد شناخته و به به yتمام . شوند نشان داده مي ⊃ Y∈ ممكن وy Y∉

.شود در نظريه توليد تلقي مي اي يك مفهوم پايهعنوان مجموعه توليد به. شوند ناميده مي) نشدني(ناممكن با اين حال در . شوند هاي تكنولوژيكي محدود ميوسيله قيد هاي توليد شدني در درجه اول به مجموعه برنامه

هر مدل خاص، قيدهاي قانوني يا تعهدات ناشي از قراردادها نيز ممكن است در تعيين مجموعه توليد نقش .داشته باشند

2 - Production Vector

4

تابع . استفاده شود 3نام تابع تبديل ، بهF(.)از تابع Yبعضي وقتها، رسم بر اين است كه براي توصيف توليد }تبديل داراي اين خاصيت است : ( ) 0}Ly y= ∈ ≤Y F و(y)=0F اگر و فقط اگرy يك

}، Yمجموعه نقاط مرزي . باشد Yي از مرز عضو : ( ) 0}Ly y∈ =F ناميده 4با عنوان مرز تبديل .دهد يك مثال دو كااليي را نشان مي B -1-5نمودار . شود مي

مجموعه توليد و مرز تبديل B -1-5نمودار

)شرط yپذير بوده و اگر بردار توليد مشتقF (.)اگر ) 0F y زد، آنگاه براي هر دو كاالي برقرار سارا =l وkنسبت؛

( )( )( )

llk

k

y yMR T yy y

FF

∂ ∂=∂ ∂

3 - Transformation Frontier. 4 - Transformation Function.

5

نهايي تبديل معياري از نرخ. 5شود ناميده مي yدر kجاي كاالي به lكاالي (MRT)نرخ نهايي تبديل . به اندازه يك واحد استlستانده كاالي ) خالص( كاهشدرصورت kستانده كاالي ) خالص(مقدار افزايش

)در واقع از ) 0F y :داريم =

( ) ( ) 0k lk l

y ydy dyy y

∂ ∂+ =∂ ∂F F

:طور دقيق برابر است با به 1-5- 2در نمودار yو بنابراين شيب مرز تبديل در 12 ( )MRT y−

(Distinct)متمايزهاي ها و ستانده هايي با داده تكنولوژياي توانند ستانده شوند، متفاوت از مجموعه ، مجموعه كاالهايي كه مي6توليد واقعي در بسياري از فرآيندهاي

اي از موارد رسم بر اين است كه از در اين حالت در پاره. بكار گرفته شوند دادهبه عنوان توانند است كه ميتوانيم فرض كنيم كه براي مثال مي. ها را از هم متمايز كنيم ها و ستانده نظر نمادگذاري داده

1( ,..., ) 0Mq q q= )1ستانده و Mنشانگر مقادير توليد بنگاه از ≤ ,..., ) 0,L Mz z z −= نشانگر ≤L قاديري ازم M− اكنون با اين فرض كه مقدار داده .است داده بنگاهlzصورت يك عدد استفاده شده به د نتمام كاالهاي به طور بالفعل استفاده نشده در فرايدر واقع از نظر نمادگذاري ( شود گيري مي اندازه منفينا

.)در مدل مي آوريمتوليد را نيز يك تكنولوژي تك ستانده . يكي از متداولترين مدلهاي توليد اين است كه در آن يك ستانده منفرد وجود دارد

هاي قابل حصول از مقادير داده qگردد كه حداكثر مقدار ستانده توصيف مي f(z)وسيله توليد معموالً به1 1( ,..., ) 0Lz z − با فرض اينكه (آنگاه . باشد Lكاالي ستاندهبراي مثال اگر . دهد را نشان مي ≤

:شود منجر به مجموعه توليد زير مي f(.)تابع توليد ). يدآدست تواند بدون وجود هيچ هزينه به ستانده مي 1 1( ,..., ) 0}Lz z − 1و ≤ 1 1 1{( ,..., , ): ( ,..., ) 0L LY z z q q f z z− −= − − − ≤

را kبجاي داده lداده (MRTS)توانيم نرخ نهايي جانشيني فني با فرض ثابت بودن مقدار ستانده مي :صورت زير تعريف كنيم به z در

( ) /( )( ) /

llk

k

f z zMRTS zf z z

∂ ∂=∂ ∂

)دهيم كه ، در محاسبه نسبتهايي نظير اين هميشه فرض را بر اين قرار مي3همانند فصل -2 ) 0ky yF∂ ∂ ≠

6 - Actual

6

)عدد )lkMRTS z تعداد دادهk اضافي كه براي ثابت نگهداشتن سطح)z(fq در هنگام =است كه در اين مربوط به نظريه توليد. دهد را نشان مي ،بايد افزايش يابد lها در داده) مرزي(كاهش نهايي

كننده، توجه به رابطه رفت و در نظريه مصرف. كنندگان قرار دارد مصرف يهمان راستاي نرخ نهايي جانشينكه در اينجا، رابطه رفت و دارد، درصورتي ميان كااليي است كه سطح مطلوبيت را ثابت نگه مي 7برگشتي

در lkMRTSتوجه داشته باشيد كه . دارند ه ميهايي است كه مقدار ستانده را ثابت نگ برگشتي در ميان دادهخاص تك تدر حال kجاي داده به lهاي گذاري مجددي از نرخ نهايي تبديل داده واقع فقط يك نام

.اي است اي، با تكنولوژي چند داده ستانده

صورت زير نشان داده داگالس تابع توليد كاب داگالس با دو داده به - توليد كاب تابع :B -2- 5مثال 1 .شود مي 2 1 2( , )f z z z zα β= نرخ نهايي جانشيني فني بين دو . ≤0βو ≤0αكه در آن

1نهاده در 2( , )z z z= 12:،عبارت است از 2 1( )MRTS z z z=α β.■ هاي توليد هاي مجموعه ويژگي

مناسب . كنيم هاي توليد را معرفي مي هاي مفروض مجموعه از ويژگي قابل احصايياكنون يك فهرست نسبتاً دوبه دو آنها در واقع، بعضي از(د موضوع مورد تحليل دار بستگي به شرايط خاص ها فرضبودن هر يك از

)باشند الجمع مي هنعما

i - Y ريزي آن اين فروض تنها بدين معني است كه بنگاه چيزي دارد كه بتواند با برنامه: ناتهي است .را انجام بدهد

ii- Y مجموعه :بسته استY اي از بردارهاي بنابراين حد دنباله. شود نقاط مرزي خود را شامل مي

nyوقتي ن از نظر نمادي. است )شدني(ستانده از نظر تكنولوژيكي ممكن نيز ممكن -داده y→، nyانگاه Y∈ ايجاب مي كند كهy Y∈اين شرط بايد بيشتر جنبه تكنيكي داشته .باشد

.باشد

7 - Trade- off.

7

iii - فرض كنيد كه :وجود ندارد رايگانناهارy Y∈ 0وy اي از هيچ داده yكه بردار طوري به ≤

شود كه اين بردار توليد نتواند ار ميرخاصيت نبود ناهار رايگان هنگامي برق. كند استفاده نميyهر زماني كه . اي را توليد نمايد ستانده Y∈ 0وy 0yآنگاه ≤ چيز از يعني توليد يك =

LY{0}از نظر هندسي .هيچ چيز غيرممكن است +∩ B -2 (a)-5نمودار L=2براي ⊃كند، ولي مجموعه نشان هار رايگان را نقض ميادهد كه خاصيت نبود ن اي را نشان مي مجموعه

.سازد آنرا را برقرار مي B - 2 b-5داده شده توسط نمودار

خاصيت نبود ناهار رايگان : B -2- 5نمودار

هار رايگانانبود ن: B -2- 5نمودار كند مفرض نبود ناهار رايگان را نقض مي (a)نمودار كند مفرض نبود ناهار رايگان را برقرار مي (b)نمودار

8

دو مجموعه توليد با هزينه هاي تاسيس: B -3-5نمودار مخارج تحميل شدهوجود حداقل سطح از ) a(نمودار يك نوع از نهاده ثابت) b(نمودار

iv- 0گويد كه اين خاصيت مي: 8امكان غيرفعال بودن Y∈. براي . پذير است تعطيلي كامل امكان

كه در آن امكانات اي از زمان لحظه. سازند اين شرط را برقرار مي B -2-5مثال هر دو مجموعه اگر بنگاهي را در نظر . نيز در اغلب موارد براي اعتبار اين فرض مهم است گردد توليد تحليل مي

اي از امكانات تكنولوژيك دسترسي داشته باشد ولي هنوز توانست به مجموعه داشتيم كه مي ميهاي گشت اما اگر بعضي تصميم پذير مي آنگاه غيرفعال بودن كامالً امكان. سازماندهي نشده بود

ها براي تحويل بعضي از نهاده 9اتخاذ شده باشد، يا اگر قراردادهاي غيرقابل نقض توليدي تاكنونها گوييم كه هزينه در اين حالت، مي. پذير نيست غيرفعال بودن امكان ،شده باشد منعقد

- 5مجموعه توليد در نمودار . دهد ، دو مثال را نشان ميB -3-5نمودار . هستند SunkتاسيسB -3(a) ناشي از بكارگيري 10يد موقتامكانات تولy واحد از كاالي يك توسط بنگاه را نشانهاي باقي مانده بنگاه از انتخاب است كه مجموعه توليد مقيديعني اين مجموعه يك . دهد مي

با B-3(b)-5نمودار در .دهد را نشان مي) B -2-5(همانند نمودار Yمجموعه توليد اصلي ها و دو نهاده) 3كاالي (براي يك حالت يك ستانده . روبرو هستيم Sunkمثال ديگري از هزينه

8 - Inaction 9 - Irrevocable 10 - Interim

9

دهد كه مقدار اين نمودار مجموعه توليد مقيد حاصل را براي هنگامي نشان مي) 2و 1كاالي (2طور غيرقابل تغيير در داده دوم به 0y -B-5در اينجا برخالف نمودار . باشدتثبيت شده >

3(a) افزايش در بكارگيري نهاده غيرممكن است. v - هر مقدار كاهشگردد كه اگر هنگامي برقرار مي دور ريختنخاصيت آزادي :11دور ريختنآزادي

yيعني اينكه، اگر . پذير باشد داده جديد بدون كاهش در ستانده هميشه امكان Y∈ و yy ≤′ yآنگاه Y′∈ )يعني اينكهy′ كند زمانيكه حداقل به توليد ميها حداكثر به همان مقدار از ستانده

LYطور دقيقتر به .)گيرد همان مقدار نهاده را بكار مي Y+− -B-5نگاه كنيد به نمودار ( ⊃اي از فرآيند توليد حذف تواند بدون هيچ هزينه ها مي تفسير اين است كه مقادير اضافي داده) 4

.شوند

vi- فرض كنيد كه : 12معكوس ناپذيريy Y∈ 0وy گويد كه مي يپذير نا آنگاه معكوس ≠y Y− است كه ممكنگويد كه ار نظر تكنولوژيكي غير يت ميبه بيان ديگر اين خاص. است ∌

هايي كه براي ايجاد آن مورد استفاده قرار گرفته است بتوان بردار ستانده را به همان مقدار از دادهاگر براي مثال، توصيف يك كاال شامل زمان قابليت دسترس آن باشد، آنگاه . تبديل كنيم

.اده ها پيش از توليد ستانده پديدار شوندناپذيري مستلزم اين است كه نه معكوس

اين يرا برقرار و ديگر معكوس ناپذيري دو مجموعه توليد را ترسيم كنيد كه، يكي از آنها :B -1- 5تمرين .خاصيت را نقض نمايد

11 -Free Disposal 12 -Irreversibility

10

خاصيت :B -4- 5نمودار آزادي دور ريختن

.بازدهي هاي نا افزايشي نسبت به مقياس :B -5- 5نمودار )a( بازدهي ناافزايشي نسبت به مقياس برقرار استويژگي. )b( ويژگي بازدهي ناافزايشي نسبت به مقياس نقض مي گردد.

vii- تكنولوژي توليد : افزايشنا بازدهي نسبت به مقياسy افزايشي را نشان نابازدهي نسبت به مقياس

yدهد، اگر براي هر مي Y∈ ،داشته باشيمy Yα yاسكالرهايبراي تمام ∋ Yα ∈ ،به سمت تواند مي) شدني(عبارت ديگر، هر بردار داده ستانده ممكن به. ∋α[0,1]كه در آن

توجه داشته باشيد كه بازدهي ) B -5-5نمودار ) (كاهش( Scaled Downمقياس شود پايين ).iv خاصيت(پذير است لت بر اين دارد كه غيرفعال بودن امكاندال ناافزايشينسبت به مقياس

11

viii- بازدهي نسبت به مقياس ،برخالف مورد قبل، فرآيند توليد : 13كاهشينابازدهي نسبت به مقياسyدهد اگر براي هر غيركاهش را نشان مي Y∈ داشته باشيم ،y Yα .≤1α، براي هر ∋

- B-5نمودار . تواند به سمت باال مقياس شود ستانده مي -عبارت ديگر هر بردار ممكن داده به6(a) تواند در يك مي) 2كاالي (كند، در اين نمودار واحدهاي ستانده يك مثال نوعي را ارايه مي

وليد هيچ مقدار يك هزينه ثابت توليد شود، به استثناي اينكه براي ت) 1كاالي (هزينه ثابت داده Sunkست كه براي وجود بازدهي غيركاهشي اين هزينه ثابت يهم هم نمو ،تـأسيس الزم است

.باشد يا نه

.بازدهي هاي نا كاهشي نسبت به مقياس :B -6- 5نمودار

ix- خواص 14تركيب اين خاصيت: بازدهي ثابت نسبت به مقياس(vii) و(viii) مجموعه توليد . است

Y دهد، اگر بازدهي نسبت به مقياس ثابت را نشان ميy Y∈ داللت بر اين داشته باشد كه0α≥ ،yبراي هر اسكالر Yα -B-5(نگاه كنيد به نمودار (يك مخروط است Y، يعني ∋

7(:

13 - Nondecreasing Returns 14 - Conjunction

12

تكنولوژي برقرار :B -7- 5نمودار گي بازدهي ثابت نسبت سازنده ويژ .به مقياس

براي تكنولوژي هاي تك ستانده اي، ويژگي هاي مجموعه توليد به سادگي به ويژگيهاي تابع توليد

(.)f 5تمرين . اتقال مي يابد-B -2 5و مثال-B -3 را مالحظه كنيد.

تابع توليد مربوط به يك تكنولوژي تك ستانده اي باشد، و گيريم f(.)فرض كنيد : B -2- 5تمرين Y نشان دهيد كه . مجموعه توليد اين تكنولوژي باشدY خاصيت بازدهي نسبت به مقياس ثابت را

.همگن از درجه يك باشد f(.)برقرار مي دارد، اگر و فقط اگر تابع

- كاب براي تابع توليد : داگالس- بازدهي هاي نسبت به مقياس در يك تابع توليد كاب: B -3- 5مثال B-2 ،1-5معرفي شده در مثال داگالس 2 1 2 1 2(2 , 2 ) 2 2 . ( , )f z z z z f z zα β α β α β+ += =

1αبنابراين، هنگامي كه .است β+ 1αس؛ براي است با بازدهي سابت نسبت به مقيا = β+ < 1αبا بازدهي كاهنده؛ و براي β+ ■.بازدهي افزايشي نسبت به مقياس داريم <

x - فرض كنيد كه .15)يا آزادي ورود( يبر هم افزايy Y∈ وy Y′ خاصيت بر هم افزايي .∋

Yyy كهايجاب مي كند براي نتيجه مي دهد كه افزايي برهم، دقيقترطور به. باشد +′∋kyصحيح مثبت k مثال براي هر عدد Y∈5در نمودار .باشد-B -8 مالحظه ي رايك مثال

15 - Additivity

13

ر توجه داشته باشيد كه در اين مثال، ستانده فقط در مقادي. است 16بر هم افزا Yكه كنيم مي شدنيهر دو ′yو yتفسير اقتصادي اين خاصيت اين است كه اگر . قابل دسترس است 17صحيح

طور جداگانه توليد را به′yو y ، وتوان تأسيس طرح مستقل از هم مي وتوان د باشند، آنگاه ميyتوليد آنگاه نتيجه بردار ،كرد y .است +′

yاگر يك . گردد مربوط مي به ايده آزادي ورودهمچنين برهم افزايي Y∈ توليد توسط يكyشده و صنعت بنگاه بوده و بنگاه ديگر وارد Y′ را توليد نمايد، آنگاه نتيجه خالص بردار ∋

y y از اينرو مجموعه توليد همفزون بايد شرط بر هم افزايي را برقرار سازد، در هر .گردد مي +′ .پذير باشد امكان يزماني كه ورود غيرمقيد و بدون محدوديت با آزاد

xi- كند كه اين فرض ادعا مي. بنيادين اقتصاد خرد است هاي اين فرض يكي از فرض: تحدب

yمحدب است، يعني اگر براي هرYمجموعه توليد Y′ α[0,1]داشته باشيمyو∋ ، آنگاه ∋(1 )y y Yα α ′+ − ، محدب B -5(a)-5در نمودار ، Yمجموعه توليد، براي مثال ∋

.محدب نيست B -5(b)- 5در نمودار ولي

مجموعه توليد كه :B -8- 5نمودار ويژگي برهم افزايي را برقرار مي كند

16 - Additive 17- Integer

14

ايده اولين. تواند تفسير شود صورت تركيب كردن دو مفهوم در امكانات توليد مي تواند به فرض تحدب مي يعني اگر(طور مشخص، اگر غيرفعال بودن ممكن باشد، به. است 18ناافزايشيبازدهي نسبت به مقياس

0 Y∈ ( آنگاه تحدب داللت بر اين دارد كهY براي .داراي بازدهي نسبت به مقياس غيرافزايش استα[0,1]مالحظه اين، توجه كنيد كه براي هر 1)توانيم بنويسيم ، مي∋ )0y yα α α= + از −

yرو اگر اين Y∈ 0و Y∈ آنگاه تحدب داللت بر اين دارد كهy Yα تحدب اين ايده :ايده دوم. باشد∋طور هاي نامتوازن از ستانده داراي هزينه كمتر از تركيب متوازن نيست به كه تركيبگيرد در نظر ميرا

كند، ولي با تركيبهاي متفاوت از داده توليد مي ،ني از ستانده رامقدار يكسا ′yو yمشخص، اگر برنامه توليد دهد كه متوسط مقادير مورد استفاده در آنگاه يك بردار توليدي كه مقداري از هر نهاده را مورد استفاده قرار مي

.توليد نمايد ′yيا yخوبي تواند حداقل به مي. اين رو برنامه است محدب است، اگر فقط اگر تابع توليد Yنشان دهيد كه براي تكنولوژي با يك ستانده،: B -3-5مرين ت

.مقعر باشد1 اگر 1Lz − ]به صورت Yها باشد، آنگاه مرز مجموعه از نهادهبردار × , ( )]z f z−گردد تعريف مي.

1 1 1 1 1 2 1{( ,..., , ) : ( ,..., ) 0, ( , ,..., ) 0}L l LY z z q q f z z z z z− − −= − − − ≤ ≥ ها، همراه با عدم كاهش در مقادير اضافي نهاده اخراجيعني (را بپذيريم، 19آزادي اخراج را وجود اگر فرض

كاهش اين . اين فرض به اين معني است كه توليد غيركارآ امكانپذير است). پذير باشد ستانده همواره امكانآنگاه براي بعضي .اي را در بر ندارد تعداد نهاده اضافي از نظر توليد هزينه

}هاzاز : ( , ( ))}Y y y z f z= ≤ −.

: برهان )كنيم كه تابع ، آنگاه ثابت ميمحدب باشد Yابتدا فرض كنيد )f x دو بردار. مقعر استz وz′ با

]فرض كنيد . ها را در نظر بگيريد از نهاده L−1بعد ]1,0∈α .آنگاه [ , ( )]z f z Y′ ′− ∈ [ , ( )]z f z Y− بنا به فرض تحدبو ∋

18 - Nonincreasing 19 - Free disposal

15

[ (1 ) , ( ) (1 ) ( )]z z f z f z Yα α α α′ ′− − − + − ∈ داريم؛ Yنابراين بنا به تعريفب ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )f z f z f z zα α α α′ ′+ − ≤ + −

)فرض كنيد كه ؛اكنون برعكس )f z فرض كنيد .مقعر باشد( , )z q و( , )z q′ عضوي ازY بوده و]1,0[∈α است.

)آنگاه )q f z≤ و( )q f z′ نمودن دو طرف نامساوي از اين رو با جمع. ≥′(1 ) ( ) (1 ) ( )q q f z f zα α α α′ ′+ − ≤ + −

داريم f(.)بنا به فرض مقعر بودن و Yبنا به تعريف (1 ) ( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ](1 ) ( (1 ) )

q q f z f z f z zq q f z z

α α α α α αα α α α

′ ′ ′+ − ≤ + − ≤ + −′ ′+ − ≤ + −

.( , ) (1 )( , )z q z q Yα α ′ ′− + − − ∈ Q.E.D

Yمجموعه توليد بنابراين .محدب است

xii -Y)اين فرض تركيبي از فرض :يك مخروط محدب است) با تعريف قبل(xi) زدهي نسبت به و با,0يعني براي. (مقياس ثابت است ≥∈ αα Yy نمادينبصورت . )حدب استمو،Y يك مخروط محدب

y است، اگر براي هر بردار توليد Y′∈وy و, 0α β≥ داشته باشيمYyy ∈′+ .βα. مجموعه .يك مخروط محدب است B -7-5توليد نشان داده شده در نمودار

.شود آورده مي B -1-3مهم در گزاره موضوعيك

16

بوده و شرط بازدهي غير افزاينده نسبت به 20هم افزا رب Y مجموعه توليد : B -1- 5گزاره

. وط محدب باشديك مخر (Y)سازد، اگر و فقط اگر مقياس را برقرار مي

: برهان يعني ابتدا فرض . افزايي دارد رو ب يتعريف مخروط محدب بطور مستقيم داللت بر خاصيت بازدهي غير افزايش

.شود نتيجه مي ييهم افزارو ب يكنيم كه مخروط محدب باشد، آنگاه بازدهي نسبت به مقياس غيرافزايش مياگر .دهد اصيت بازدهي ناافزايشي و برهم افزايي را نتيجه ميدو خ به طور مستقيم تعريف مخروط محدب

Yyyبراي هر 0,0و ,′∋ ≥≥ αβ ،y Y′β yو ∋ Yα بازدهي غير افزايشي را نتيجه مي ∋yاگر. دهد yα yو =′′ yβ ′ yزيراشود هم افزايي نتيجه مي ربباشد، =′′′ y Y′′ ′′′+ و نتيجه ∋ .شود مي

يهم افزايرو ب يهاي نا افزايش خواهيم نشان بدهيم كه اگر بازدهي يعني مي. كنيم اكنون برعكس فكر ميy,برقرار باشد، آنگاه براي هر y Y′ Yyy، داريمβ<0و α<0و ∋ ∈′+ βα.

}اي باشد كه به گونه kدهيم كه عدد صحيح به اين منظور فرض را بر اين قرار مي , }k Max α β> kyو ∋Ykyهم افزايي ربنا به فرض ب Y′ )كه ز آنجائيا ،∋ ) 1kα و >

Yykyk ∈=αα )شرط بازدهي به مقياس غير افزايشي. )/)(( )k ky Yα ، داللت بر اين دارد ∋) ، داريم βو همين طور براي Yy∈αكه ) 1kβ < و از طرف ∋Ykyيزايهم افربنا به فرض ب .

)داريم يديگر بنا به فرض بازدهي نا افزايش )( )k ky y Yβ β= ∈ پس بار ديگر با بكارگيري فرض Yyyداريم يهم افزاي رب ∈′+ βα.■

توانيم اظهار بطور غير صوري مي. سازد توجيهي براي فرض تحدب توليد را فراهم مي، B-1-5 گزارهنتيجه

ها بدون و اگر عمليات همزمان تكنولوژي. بتوانند كوچك شوند 21هاي داده ستانده شدني كنيم كه اگر تركيب .آيد تداخل دو به دو هميشه ممكن باشد، آنگاه، بطور مشخص، محدب بودن بدست مي

20 - additive 21 - Feasible

17

Yyyاگر براي هر ∈′≥≥ ,,0,0 βα داشته باشيمyyy ∈′+ βα هآنگاY هم افزا بوده و داراي ربداراي بازدهي Yيعني اگر ،كنيم اكنون بر عكس آن را اثبات مي .نسبت به مقياس است يبازدهي غير افزايش

.باشد نسبت به مقياس و به هم افزا باشد، آنگاه مخروط محدب نيز مي يافزايش}maxيعني اگر , }k α β>

1) , , ,y Y y Y y Y y Yk kβ α′ ′∈ ∈ ∈ ∈

و نيز اگر YzzYzyy ∈′+∈′= ,,)2 βα

آنگاه Yyy ∈′+ βα

Yyyيعني بايد ثابت كنيم كه اگر Yyyآنگاه ,′∋ ∈′+ βα 01براي ≥βα فرض كنيد{ }βα ,MaxK Yyk چون بنا به فرض به هم افزايي آنگاه. باشد< :است پس kyو ′∋

( )( ) , ( )( )z k ky Y z k ky Y′ ′= α ∈ = β ∈ بار ديگر برهم افزايي بنا به فرض

Yzz ∈′+ Yyy ∈′+ βα

5 -C - سازي هزينه حداكثرسازي سود و حداقل :

از تقاضاي مصرف صورت گرفتهبه موازات مطالعه . كنيم خود از رفتار بازار را شروع ميدر اين قسمت، مطالعه )1كاال با بردار قيمت Lدهيم كه كننده، فرض را بر اين قرار مي ,....., ) 0Lp p p= وجود داشته

عالوه بر اين هميشه فرض را . كنيم در سراسر اين فصل هدف بنگاه را حداكثرسازي سود فرض مي و .باشد .است ي اخراجداراي خاصيت ناتهي بودن، بسته بودن و آزاد Yدهيم كه مجموعه توليد بنگاه بر اين قرار مي

22مسئله حداكثرسازي سود

22 - The Profit Maximization Problem

18

.1 برابر است با yسود به دست آمده از 0pبراي بردار قيمت مفروض Li l lp y p y==∑ بنا به

با در .كل منهاي هزينه كل درآمدهاي مرسوم، اين عبارت دقيقاً برابر است با گذاري نمادگذاري و عالمتسود حداكثرسازي ، آنگاه مسئله Yنظرگرفتن محدوديت تكنولوژيكي نشان داده شده بوسيله مجموعه توليد

(PMP) عبارت است از :

. .y

Max py

s t y Y∈

را بصورت زير بيان PMPتوانيم بطور هم عرض مي ،Yبراي توصيف F(.)با بكارگيري تابع تبديل :كنيم

. ( ) 0y

Max py

s t F y ≤

)، تابع سودYمفروض در يك مجموعه )pπ مربوط به هرp مقدار ،{ }YyypMaxp ∈= :.)(πبراي ي، جوابPMP تناظر عرضه بنگاه در ،بطور متناظر. استp

)(بصورت py اي از بردارهاي حداكثر سازنده سود وعهبعنوان مجم{ })(.:)( pyPYypy π=∈= اكيداً محدب Yبراي يك مجموعه توليد PMPتناظر عرضه مربوط به C -1-5نمودار . شود نشان داده مي)(ساز بردار بهينه. دهد را نشان مي py از مجموعهاي در نقطهY مربوط به باالترين سطح از سود قرار

)(بردار بنابراين، در نمودار، . گيرد مي py گيرد كه مجموعه توليد را در بر روي خط سود يكساني قرار مي)(در Yبر مرز مماسكند و بنابراين قطع مي 23شرق شمالنقطه باالترين py گردد مي.

23 - Farthest to the northeast

19

مسئله حداكثرسازي سود: C -1-5نمودار

2 2 1 1p y p y π+ =

1 2 12 1

2 2 1 2

.p dy py yP p dy pπ

= − = −

)(بطوركلي، py همچنين ممكن است هيچ برنامه توليد و تواند بجاي يك بردار يك مجموعه باشد ميكه هيچ كراني باشداي براي مثال، سيستم قيمت ممكن است به گونه. د نداشته باشدسود وجو ندهحداكثرساز

)(=∞+گوييم در اين حالت، مي. براي مقدار سود وجود نداشته باشد pπ براي ارائه يك مثال .است، هر واحد از محصول ، به مقياس ثابت و بنگاه با تكنولوژي توليد با بازدهي نسبت L=2گيريم مي فرض

2y 1را با يك واحد از نهادهy 0آنگاه . توليد كند)( =pπ 2هر زماني كه 1p p≤ . اما براي2 1p p> 212سود برابر است با )()( yppp −=π 2ه در آنكy بطور . است 2توليد كاالي

از اين رو . توانيم بطور اختياري سود را افزايش دهيم مي 2yمشخص با انتخاب مقدار مناسبي براي +∞=)( pπ 2اگر 1p p>.

داراي بازدهي نسبت به مقياس غير افزايش Yگر مجموعه توليدبت كنيد كه بطور كلي، اثا: C -1-5تمرين

)(0باشد، آنگاه يا ≤pπ يا+∞=)( pπ.

20

بكار PMPآوردن جواب براي بدست تواند مي پذير باشد، آنگاه شرايط مرتبه اول مشتق (.)Fاگر تابع تبديل)(اگر. بسته شود pyy .رتبه اول زير را برقرار سازدم، بايد شرايط λ،∗y≤0، آنگاه براي بعضي از ∗∋

L,....,2,1=براي . ( )lp F y yλ ∗= ∂ ∂ در نماد ماتريسي بطور هم ارز

)5-C -1( .p = F(y*)λ ∇ p قيمت بردار ، ديگر عبارت به )(ياندگرا و ∗∇ yF 5ار نمود( دارند 24يك رابطه نسبتي-C-1 ( اين

. دهد برابري نسبت زير را نتيجه مي) C -1-5(همچنين شرط . دهد واقعيت را نشان مي( )l k kp p MRT y∗=. براي تمامk, 2براي=L گويد كه شيب مرز تبديل در اين عبارت مي

نشان C -1-5ها باشد، همچنانكه در نمودار نسبت قيمت) منفي(ا سود بايد برابر ب ندهحداكثرسازبرنامه توليد كه سود بنگاه وجود داشته باشدتوانست اگر اينچنين نبود، يك تغيير كوچك در برنامه توليد مي. شود داده مي

.را افزايش بدهد)پذير ي با تابع توليد مشتقستانده ابه شكل يك تكنولوژي تك Yهنگاميكه )f zتوانيم باشد، ميpدر حالت خاص بايد اسكالر. نشان بدهيم zگيري بنگاه را بصورت انتخاب تصميم > را در نظر بگيريم 0

wكه قيمت ستانده بنگاه و zبردار داده. دهد ها را نشان مي بردار قيمت 0 حداكثر (p,w)در سود را ،∗ . حل نمايد راسازد، اگر مسئله زير مي

. ( ) .Max p f z w z− 0≥z

zاگر ∗ ,....,1برايبهين باشد، آنگاه شرايط مرتبه اول زير بايد 1L= .گردد برقرار −0lz ∗ > . با برابري اگر ( ) l lp f z z w∗∂ ∂ ≤

يا در شكل و نمادگذاري ماتريس . ( )p f z w∗∇ ≤ و * *[ . ( ) ]. 0p f z w z∇ − =

)5-C -2( 0z با يعني( بنابراين توليد نهايي هر نهاده بطور بالفعل استفاده شده ∗ سب بايد برابر با قيمت آن برح) <

lwستانده p همچنين توجه داشته باشيد كه ،باشد ,l k l kMRTS w w=يعني نرخ نهايي جانشين ،

24 - Proportional

21

فقط 25يتاين شرط نسب . آنها ميان يبين دونهاده برابر است با نسبت قيمت آنها، نرخ اقتصادي جانشين فني .ي باشدم )C -1-5 (يك حالت خاص از شرط عمومي استخراج شده در

نه تنها براي به دست آوردن ) C -2-5(و) C -1-5(محدب باشد، آنگاه شرايط رتبه اول Yاگر مجموعه .الزم است بلكه كافي نيز مي باشد PMPجواب با استفاده اين خواص را مي توان .ه را فهرست مي كندر عرضويژگي هاي تابع سود و تناظ) C -1-5(گزاره

كه در آن تقاضاي مصرف كننده مطالعه مي شد، 3روش هاي بكار گرفته شده در فصل از روش هاي مشابه)در واقع . نموداثبات ) ( )yp pπ µ−= }كه در آن − }( ) min .( ) :y p p y y Yµ− = − تابع ∋از ) C -1-5(يتوان اثبات كرد كه فهرست ويژگيهاي مهم گزاره بنابراين م. است Yگاه مجموعه تكيه

.دشونتيجه F-3در هتوابع تكيه گاه بحث شد) يكل(ويژگيهاي عمومي

)گيريم، : C -1-5گزاره )pπ تابع سود مجموعه توليدY بوده و اينكه( )y p تناظر عرضه مربوط به آن : را برقرار سازد، آنگاه ي اخراجبسته بوده و خاصيت آزاد Yفرض كنيد كههمچنين . باشد

i -( )pπ .همگن از درجه يك است ii - ( )pπمحدب است.

iii - اگرY محدب باشد، آنگاه{ }: . ( ) 0LY y IR p y p pπ= ∈ ≤ ∀ iv - (.)y يباشدهمگن از درجه صفر م. v- اگرY محدب باشد، آنگاه)( py براي تمامpباشد، عالوه بر اين اگر مي ها يك مجموعه محدبY

)(بطور اكيد محدب باشد، آنگاه py اگر ناتهي باشد(تك مقداري است( . vi - اگر 26لم هتلينگ)( py يك نقطه باشد، آنگاه(.)π مشتق پذير درp بوده و

( ) ( )p y pπ∇ .است =

vii - اگر(.)y يك تابع مشتق پذير درp باشد، آنگاه)()( 2 pDpDy π= يك ماتريس متقارن و ،).(0مثبت با ينعمشبه =ppDy است.

.باشند غير بديهي مي )vii(و ) ii( ،)iii( ،)vi(ويژگيهاي

25 - Ratio Condition 26 - Hotelling's Lemma

22

]C -1-5گزاره (ii)خاصيت[يك تابع محدب است π(.)ثابت كنيد كه: C -2- 5تمرين

))1((گيريم: اشاره ppyy ′−+∈ αα آنگاه ، )]()1()(.)1(.))1([ ppypyppp ′−+≤′−+=′−+ πααπααααπ

: برهان 00گيريم >>>>′ pp ،]1,0[],)1([ ∈′−+∈ ααα ppyy آنگاه)(. pyp π≤

)(و pyp ′≤′ π )()1()()1( ppyppy ′−+≤′−+ πααπαα

[ (1 ) ] [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )p p p p y p pπ α α α α απ α π′ ′ ′+ − = + − ≤ + −

، سازدرا برقرار ي اخراج آزادشرط بسته و محدب بوده و Yگويند كه اگر به ما مي )iii(ويژگي )(آنگاه pπ غير تيهمچنانكه براي تابع مطلوب .دهد ارايه مييك توصيف ديگري از تكنولوژي توليد را

)ناقص است( ،)3درفصل هبحث شد(نمايش ترجيحات ) خارجميا تابع (مستقيم

اين يك نتيجه مستقيم از قضيه دوگانگي . سازد رفتار عرضه را به مشتق تابع سود مرتبط مي، )vi(ويژگي )، اين واقعيت كه C -1-3همانند گزاره ). F-1-3گزاره (است ) ( )p y pπ∇ تواند بوسيله مي ،است = .پوش و شرايط مرتبه اول اثبات شود قضيه

)(مثبت شبه معين بر اين ماتريس pyD در خاصيت(vii) ، كه از منظر ويژگي(vi) اي از تحدب نتيجه(.)π دهد مقدار در همان جهت واكنش نشان مي: مي باشداست، بطوركلي يك بيان رياضي از قانون عرضه

هاي ديگر تمام قيمت( اين بدان مفهوم است كه اگر قيمت يك ستانده افزايش يابد،. كند كه قيمت تغيير ميتقاضا براي نهاده آنگاه يابد و اگر قيمت نهاده افزايش يابد، ، آنگاه عرضه ستانده افزايش مي)ثابت بمانند

.كند ميپيدا كاهش 2

( ) ( ) ( )( )p P y pD y p D Dπ→ = توجه داريم .است PSDآن ن يهش در نتيجه ماتريس .محدب است pبا توجه به اينكه تابع سود نسبت به

. كه اثبات تمام اين موارد شبيه اثبات ماتريس اسالتسكي بوده و خواص مشابه آن را دارد

23

بودجه وجود ديقزيرا برخالف نظريه تقاضا،. باشد تغيير قيمت برقرار مي هرتوجه داريم كه قانون عرضه براي ه، اثرات درآمدي وجود ندارد، اثر كل برابر با اثر جانشيني بطور خالص. ندارد و هيچ نوعي از جبران الزم نيست

.تواند به صورت زير بيان شود گيري، قانون عرضه مي مشتق هاي غيرقابل بر حسب عبارت. است0)).(( ≥′−′− yypp

)5-C -3(

pو pبراي تمام ′ ،( )y y p∈ و)( pyy ترجيحات ساده از در اين شكل، با يك استدالل ′∋′ مشخص، بطور. تواند نشان داده شود آشكار شده مي

0)..()..())(( ≥′−′′+′−=′−′− ypypypypyypp ),()(شود كه كه در آن اين نامساوي از اين واقعيت نتيجه مي pyypyy ∈∈′.

)(بر اين دارد كه ماتريس ، داللت)C -1-5(گزاره (vii)ويژگي pyDداراي 27عرضه ي، ماتريس جانشينبنابراين، اثر جانشين خودي . نظريه تقاضا است يماتريس جانشين) اگرچه با عالمت مخالف آن(خواصي نظير

]، همچنانكه در باال اشاره شد،مي باشدنامنفي ( ) / 0 ]l ly p p l∂ ∂ ≥ ن جانشيني متقار اثراتو ،∀

]. باشد مي ( ) / ( ) / , ]l k k ly p p y p p l k∂ ∂ = ∂ ∂ ∀ ، )اين واقعيت كه ).3بحث شده در فصل (در نظريه تقاضا يهمانند خواص ماتريس جانشين ). 0Dy p p =

y(.)، از خاصيت همگني است شيني تقاضاويژگيهاي موازي ماتريس جان ،به طريق مشابه ])iv( خاصيت [ .شود نتيجه مي 3در فصل

اثبا ت گزاره با جزييات بيشتر

)هاي تابع سود ويژگي - )pπ : -i 5گزاره ( [ :همگن از درجه يك است-C -1 (بند[(i)

ن برنامه توليد بهيدر دهد، در نتيجه ها را تغيير نمي ها در عدد ثابت نسبت قيمت ضرب تمام قيمت: شهود .شود برابر مي αبرابر بشوند مقدار سود نيز αها اما اگر تمام قيمت. ايجاد نمي گردد يتغيير)الزم است نشان دهيم كه :برهان ) ( )p pπ α απ= ،اما

π(.)بنا به تعريف تابع سود[ [ { }( ) . :p Max p y yπ α = α ∈Υ

27 - Supply Substitution Matrix

24

]αيك ضريب و ثابت است [

} ] بنا به تعريف سود حداكثر شده[ }( ) :p Max py yαπ α= ∈Υ

-ii)( pπ5گزاره ([يك تابع محدب است-C -1(،[(ii)

گاه بصورت خطي اگر قيمت يك ستانده افرايش يابد و بنگاه برنامه توليد خود را تعديل نمايد، سود بن :شهودنمايد، بطوري بنگاه برنامه توليد خود را در صورت مواجه با سطح قيمت جديد تعديل مي زيرا .يابد مينافزايش

.يابد كه سود او بيشتر از حالت خطي افزايش ميpدو بردار قيمت :برهان pو ′ را در نظر بگيريد و گيريم

(1 )p p pα α′′ ′= + − )بايد نشان بدهيم كه ) ( ) (1 ) ( )p p pπ απ α π′′ ′≤ + ]تمام براي − ]1,0∈αتوانيم بنويسيم ، مي :

{ }( ) ( ) . :p p y p Max p y yπ ′′ ′′ ′′ ′′= = ∈Υ ′′pبنا به تعريف[ [ . ( ) (1 ) ( )p y p p y pα α′′ ′ ′′= + −

] (.)yبنا به فرض بهينه بودن[ . ( ) (1 ) . ( )p y p p y pα α ′ ′≤ + − ( ) (1 ) ( )p pαπ α π ′= + −

)(بنا به تعريف py

{ }( ) : . ( )y p y p y pπ= ∈Υ =

iii. اگرΥ محدب باشد، آنگاه{ }0)(: >>∀≤∈=Υ pppyIRy L π

(.)y . iv 5گزاره ([همگن از درجه صفر است-C -1(،[(iv) الزم است، نشان داده شود . كند هاي نسبي تغيير نمي ها در ثابت مثبت ضرب شود، قيمت اگر تمام قيمت :شهود

)()(كه pypy =α اما ،{ })(.:)( απαα pypypy =Υ∈= y(.)بنا به تعريف[ [

{ } [ ])()()(.: pppypy απαππαα =/=/Υ∈= { }: . ( )y p y p= ∈Υ =π زيرا 0α>

)( py=

25

( )y p= i. گراY محدب باشد، آنگاه)( py يك مجموعه محدب براي تمامpين اگرعالوه بر ا. گردد ها ميY

)(بطور اكيد محدب باشد، آنگاه، py تك مقداري است. 52در صفحه iiiبند )D -2-3(نگاه كنيد به برهان :برهان

: سازد را مرتبط مي y(.)و iπ)(كه يخواص -)(اگر: 28هتلينگ لم -1 py درp تك مقداري باشد، آنگاه)( pπ درp پذير مشتق

)بوده و ) ( )l lp p y p∂π ∂ = . ])C -1-5(گزاره (iv)خاصيت [. است

)خواهيم ثابت كنيم كه مي :برهان ) / ( )l lp p y p∂π ∂ =. : كندكه بيان مي Envelope Theoremقضيه پوش

( )( )( ) ( )( ) ( )l

l y p ll l l

y pp py p y pp y p

π π ∂∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

)(اگر -2 py پذير در تك مقداري و مشتقp باشد، آنگاه: (a) )( pDY=2 ( )D pπ ماتريس متقارن و مثبت نيمه معين است، كه در آن

1 2 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

L

LY

L L L

L

y p y p y pp p p

y p y p y pp p pD p

y p y p y pp p p

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂≡ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

28 - Hotelling’s Lemma

26

22 21

21 1 2 1

2 2 2

2 22 1 2 2

2 2 2

21 2

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

L

L

L L L

pp pp p p p p

p p pD p p p p p p

p p pp p p p p

π

ππ π

π π π

π π π

⎡ ⎤∂∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

)(به دليل محدب بودن تابع pπيانگاز قضيه همچنين. ، ماتريس باال مثبت نيمه معين خواهد بود (b) عالوه بر اين

1 1

1 21

2 2 22

1 2( )

1 2

( ) ( ) ( )

0( ) ( ) ( )

0. .

0( ) ( ) ( )

l

L

Ly p

LL L L

L

y p y p y pp p p

py p y p y p

pp p pD p

py p y p y p

p p p

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

.شود است، نتيجه ميصفر همگن از درجه y(.)و اين واقعيت كه Euler راز قضيه اويل (b)بخش

1

( ) 0 1, 2,...,L

kl

l

y p p k Lp=

∂⋅ = =

∂∑

:29سازي هزينه حداقل

امكان توليد مقادير يكساني از ،مهم انتخاب برنامه توليد حداكثر سازنده سود اين است كه در آن ليليك دسازي هزينه شرط الزم براي حداكثر شدن سود ين حداقلبنابرا. ها وجود ندارد داده تر ايينپكل در هزينه ستانده

. سازد را فراهم مي سازي هزينه توسط بنگاه حداقل اين مسئله انگيزه كافي براي مطالعه مستقل .مي باشد 29 - Cost Minimization

27

به ما را ، حداقل سازي هزينه نخست. مسئله بداليل متعددي مورد توجه بوده و از اهميت برخوردار استبينيم، مي 12، همانطوريكه در فصل دوم. زد كه از نظر تكنيكي بسيار سودمند استنتايجي رهنمون مي سا

. در تحليلها استفاده نخواهيم كردسود ابع تهنگاميكه بنگاه در بازار محصول خود قيمت پذير نيست، ديگر از ه حداقل سازي هزينه با اين حال تا هنگاميكه د ر بازار نهاده خود قيمت پذير است، نتايج بدست آمده از مسئل

اينكه، هنگاميكه مجموعه توليد داراي ويژگي بازدهي ناكاهشي نسبت به مقياس سوم. از اعتبار برخوردار استهاي مسئله حداقل سازنده هزينه، براي هر مقدار ثابت از ستانده ها، از تابع سود و است، تابع مقداري و بردار

بخاطر آوريد كه تابع سود تنها مقادير C-1-5مثال از تمرين براي( خوشرفتار تر است PMPتناظر عرضه ).را انتخاب مي كند ∞+و 0

zكه مكني مي فرض همانند هميشه،. كنيم اي متمركز مي تك ستانده موردخود را بر براي منجز بودن، تحليلآنگاه . ها باشد بردار قيمت نهاده 0wمقادير ستانده و qتابع توليد، zf)(ها، بردار غيرمنفي از داده

آزاد ستانده را اخراجفرض (تواند بصورت زير بيان شود مي CMP)(سازي هزينه مسئله حداقل ).!!؟پذيريم مي

)CPM( 0.

. . ( )z

w zMin

s t f z q≥

≥

)تابع هزينهبوسيله CMPمقدار بهينه , )c w q ساز هاي مجموعه نهاده بهينه انتخاب. شود نشان داده مي),(متناظر، بوسيله qwz اگر اين تابعيا ( .معروف است تناظر تقاضاي شرطي نهادهشود كه به نشان داده مي ،

شود كه اين تقاضاها براي عوامل توليد به به اين دليل به كار گرفته ميشرطي واژه .)تناظر تك مقداري باشد .است qتوليد مقدار ستانده قيدشرط

28

ناحيه تيره شده مجموعه . شود براي يك حالت با نهاده نشان داده ميC -2 (a)-5در نمودار CMPجوابآن تصويري از .دهد را نشان qتواند حداقل مقدار ستانده دهد كه مي را نشان مي zهاي نهاده بردارهاي

-5همانطوري كه در نمودار . كند را ايجاد ميqاست كه حدااقل مقدار ستانده Yتوليد بخش از مجموعه C -2(b) 5در نمودار . شود نشان داده مي-C -2(a)، جواب),( qwz بر روي خط هزينه يكسان قرار} گيرد كه، مجموعه مي }qzFIRz L ≥∈ + .كند ترين نقطه به مبدأ قطع مي را در نزديك :)(پذير باشد، آنگاه براي بعضي مشتق f(.)بهين باشد، و اگر تابع توليد CMPدر z∗اگر2,1,...,1هاي ه، شرايط مرتبه اول بايد براي تمام نهادλ≤0از −= L باشدبرقرار.

* 0lz ). با شرط برابري اگر< ( ) )l lw f z zλ≥ ∂ ∂ يا در نماد ماتريس

)5-C-4 ( [ ( )]. 0w f z z∗−λ∇ = و . ( )w f z ∗≥λ∇ نه تنها ) C -4-5(آنگاه شرط) مقعر باشدf(.)اگر يعني(محدب باشد، Y، اگر مجموعه توليدPMPهمانند

. مي باشد CMPدر z∗شرط الزم، بلكه شرط كافي براي بهين بودنبا kو l، داللت بر اين دارد كه براي هر دو نهاده PMPدر) C -2- 5(ط همانند شر )C -4-5(شرط

( , ) 0l kz z ؛ ، داريم, l kl kMRTS w w=. اين تناظر غير منتظره هم نيست زيرا، هچنانكه قنالحداكثر سازي سود ايجاب مي كند كه انتخاب نهاده ها براي هر سطح از مقدار انتخاب هم خاطر نشان شديم،

2Lبراي .هزينه را حداقل سازد qشده از ستانده، برابري شيب توليد همسان با سطح C-4-5، شرط =zدر qتوليد 1با منفي نسبت قيمت نهاده ها ∗ 2w w−5همين طور نمودار . را ايجاب مي كند-C -2a

.اين واقعيت را نشان مي دهد جايگزين f(.)در نظريه توليد . به تشابه نزديك نظريه مصرف كننده و نظريه توليدتوجه داشته باشيد

(.)u ،q جايگزينu و نيزz جايگزينx و شده است ،CMP همانند مسئله حداقل سازي هزينه درEMP 3است كه در بخش-E 5ابراين در گزاره بن. در باره آن بحث شد-C -2هاي، خاصيت i تاvii تابع

با اين تفسير مجدد G -3تا E-4هزينه و متناظر تقاضاي شرطي عامل توليد از تحليل هاي بخشهاي اثبات ) 3-2-5(را در تمرين (ix)و (viii)سته مي شود تا ويژگي هاي ااز شما خو. (بدست مي آيد

.كنيد

29

)گيريم :C-2-5گزاره , )c w q تابع هزينه يك تكنولوژي تك ستانده ايY با تابع توليد

(.)f بوده و( , )z w q همچنين فرض را بر ايـن . تناظر تقاضاي شرطي عامل توليد باشد

:آنگاه. سازدبسته بوده و فرض آزادي اخراج را برقرار Yقرار دهيد كه

(i) (.)c همگن از درجه يك درw و ناكاهشي درq است.

(ii) (.)c تابعي مقعر نسبت بهw است.

(iii) ــاي ــه ه ــر مجموع }اگ 0: ( ) }z f z q≥ ــر ≤ ــراي ه ــاه qب ــد، آنگ محــدب باش

{( , ) : . ( , ) 0}Y z q w z c w q for all w= − ≥.

(iv) (.)z همگن از درجه صفر درw است.

(v) اگر مجموعه{ (.) 0 : ( ) }z f z q≥ )محدب باشـد، آنگـاه ≤ , )z w q يـك مجموعـه

}عالوه بر اين اگر .محدب است 0: ( ) }z f z q≥ گاه يك مجموعه اكيدًا محدب باشد، آن≤

( , )z w q تك مقداري است.

(vi) )اگر ) لم شفارد( , )z w q از يك تك نقطه تشكيل شده باشد، آنگاه(.)c نسبت به

w درw مشتق پذير بوده و( , ) ( , )w c w q z w q∇ .است =

(vii) اگر(.)z درw 2مشتق پذير باشـد، آنگـاه( , ) ( , )w wD z w q D c w q= يـك

)ماتريس متقارن و منفي نيمه معين با , ) 0wD z w q w .است =

(viii) اگر(.)f يعني داراي خاصيت بازدهي ثابت نسبت بـه مقيـاس (همگن از درجه يك (

.است qهمگن از درجه يك در z(.)و c(.)باشد، آنگاه

(ix) اگر(.)f مقعر باشد، آنگاه(.)c يك تـابع محـدب درq ،بطـور مشـخص، (اسـت

.)ناكاهشي هستند qتوابع هزينه نهايي در

براي تكنولوژي هاي چنـد (vii)تا (i)نشان بدهيم كه خواص تا از ما خواسته مي شود) 2-3-5(در تمرين

.ستانده اي نيز برقرار است y(.)در ايـن حالـت، . توليد سودمند باشـد تابع هزينه ميتواند در هنگام بازده به مقياس ثابت بودن مجموعه

نيسـت، لـم هتلينـگ را در يك مقدارتدر هر برداري از قيمت كه مقدار توليد بزرگتر از صفر را نتيجه ميدهد )اما تقاضاي شرطي . اين سطح از قيمتها غير فابل كاربرد مي سازد , )z w q هـا هنـوز ممكـن براي نهـاده

30

با اين حال به خاطر داشته باشـيد، . كه امكان بكارگيري لم شفارد را فراهم مي سازد. است تك مقداري نباشدو ) 1-2-5(گـزاره (iii)در واقع، از خاصيت . كه تابع هزينه، اطالعات بيشتري در مقايسه با تابع سود ندارد

تناظر يك به يك بين تابع سود و تـابع هزينـه برقـرار تحدب، يك قيدبخاطر مي آوريم كه تحت ) 5-2-2(مي توانـد ياست، يعني اينكه، مجموعه توليد، با استفاده از هر يك از اين توابع قابل بازيابي بوده و تابع ديگر

.از مجموعه توليد استخراج شود

:كنيم ه صورت زير بيان توانيم مسئله تعيين سطح حداكثر سود بنگاه را ب مي ، با استفاده از تابع هزينه)5-C -5(

( )0

,max≥

−q

qwcpq

:بتواند حداكثر سازنده سود باشد، اين است كه q*شرايط الزم مرتبه اول براي اينكه )5-C -6( * 0q )* با برابري اگر < , ) 0p c w q q−∂ ∂ ≤

*يعني اگر (دروني بهينهبه عبارت ديگر، در يك نقطه 0q اگر . گردد ، قيمت برابر هزينه نهايي مي)<c(w,q) نسبت بهq 5(محدب باشد، آنگاه شرط مرتبه اول-C -6 ( براي بهينه بودن سطح ستانده*q

رابطه بين رفتار منحني عرضه و خواص تكنولوژي آن و تابع هزينه را با جزييات بيشتري در . (بنگاه كافي است ).كنيم مطالعه مي D-5بخش

ها و خواص ديگر در بعضي از مثال. توانستيم صفحات بيشتري را صرف تحليل سود و توابع هزينه كنيم مي .مطالعه شود) 1978(، مك فادن باره اين مطلبيشتر در براي مطالعه ب. شوند تمرين آورده مي

در اين بخش توابع هزينه و سود براي : 30داگالس -توابع هزينه و سود براي تابع توليد كاب :C -1- 5مثال

)، B -2 -5داگالس مربوط به مثال - تابع توليد كاب ) βα2121 , zzzzf از مثال . گردد استخراج مي =

)5-B -3 (1ه خاطر بياوريد كه ب=+ βα ،1متناظر با مورد بازدهي نسبت به مقياس ثابتα+β< متناظر با حالت بازدهي افزايش نسبت به <1α+βمتناظر با مورد بازدهي كاهش نسبت به مقياس و

.مقياس است

30 Cobb - Douglas

31

E-3تابع هزينه دقيقاً به همان شكل و روش تابع مخارج در بخش معادالت تقاضاي شرطي براي نهاده و ؛ تنها مورد تفاوت در محاسبات اين است كه قيد E-1-3نگاه كنيد به مثال (شود، استخراج مي

1=+ βα كنيم را اعمال نمي:( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1 2 2 1

12 1 2 1 2

11 2 1 2

, , /

, , /

, , .

z w w q q w w

z w w q q w w

c w w q q w w

β α βα β

α α βα β

β α β α α βα β α α β β α β

α β

β α

α β α β

++

++

+ − ++ + +

=

=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

تابع هزينه داراي فرم تابع( ) ( ) ( )1

1 2 1 2, , ,c w w q q w wα+β= θφ كه در آن

( ) ( ) ( ) ( )β α β α α βθ α β α β+ − +⎡ ⎤= +⎣ ⎦

)يك ثابت بوده و ) ( ) ( )βαββααφ ++= 2121 , wwww تابع است كه به سطح ستاندهq بستگي ندارد .)هنگامي كه ما با بازدهي ثابت نسبت به مقياس روبرو هستيم )1 2,w wθφ هزينه واحد توليد است.

با به . است) C -5-5(استفاده از تابع هزينه و حل مسئله . و تابع سود يك راه براي استخراج تابع عرضه بنگاه :، شرط مرتبه اول براي اين مسئله عبارت است از)C -6-5(كارگيري

)5-C -7( q > 0 ) با برابري اگر )( ) ( )1 11 2, 1p w w q α+β −≤ θφ α+β

+≥1ك حداكثر در هنگام براي ي)) C -7-5( شرط مرتبه اول βα كافي است، زيرا آنگاه تابع هزينه .محدب است qبنگاه در

1αهنگامي كه β+ < ،)5 -C -7 ( تواند حل شود ستانده مي مقدار يكتايي ازبراي:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2, , ,q w w p p w w

α+β −α−β⎡ ⎤= α+β θφ⎣ ⎦ .يگزيني به دست آيدتواند از طريق جا توابع تقاضا براي عوامل توليد مي

1,2lبراي = ، 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ( , , ))l lz w w p z w w q w w p= تواند، همانطوري كه تابع سود مي

1 2 1 2 1 2 1 2( , , ) . ( , , ) . ( , , ( , , ))w w p p q w w p w z w w q w w pπ = −

32

+=1هنگامي كه βα 5(، سمت راست شرط مرتبه اول-C -7 (1 2. ( , )w wθ φ هزينه واحد يعني1اگر . شود مي) است qكه مستقل از (توليد 2. ( , )w wθ φ از بزرگترp باشد ، آنگاه ،q=0 بهينه است، اگر

؛ و )آيد به دست مي qبار ديگر سود بيكران با افزايش (باشد، آنگاه راه حل و جوابي وجود ندارد pكوچكتر از 1هنگامي كه 2. ( , )w w pθ φ بوده و سود صفر را ايجاد PMPر مقدار نامنفي از ستانده جوابي براي ، ه=

.كند مي1αسرانجام، هنگامي كه β+ ، )به طوري كه ما با بازدهي افزايشي نسبت به مقياس روبرو هستيم( <

. دهد دست نمي يك سطح توليد حداكثر سازنده سود را به) C -7-5(برقرار سازنده شرط مرتبه اول qمقدار به طوري كه، هر جوابي براي شرايط مرتبه . مقعر است qدر واقع در اين حالت، تابع هزينه به طور اكيد در (

اي كه هميشه در كند، مشروط به ستانده يك مقدار حداقل موضعي براي سود را ايجاد مي) C -7-5(اول pاز آنجايي كه در واقع. شود حداقل هزينه توليد مي > qدو برابر كردن سطح ستانده شروع شده از 0

)، اما هزينه نهاده را تنها به اندازه ضريب كند درآمد بنگاه را دو برابر مي )12 2α β+ . دهد افزايش مي >ز اينرو با بازدهي ا. تواند به اندازه دلخواه بزرگ بشود سود بنگاه مي -هاي كافي بنابراين با دو برابرسازي

. ■.وجود ندارد PMPافزايش نسبت به مقياس، جوابي براي

5 -D - اي ك ستاندهتهندسه هزينه و عرضه در حالت: براي حالت خاص اما را در اين بخش، تحليل خود از روابط ميان تكنولوژي بنگاه، تابع هزينه و رفتار عرضه آن

يك مزيت مهم مطالعه .يمكن مي متمركز وجود دارد، يك ستانده كه در آن ،استفادهمورد به طور مرسوم .تواند بوسيله روشهاي نموداري تحليل گردد اي اين است كه مي مورد تك ستانده

براي سادگي در . دهيم نشان مي0wها را با و بردار قيمت نهاده qدر سراسر اين فصل مقدار ستانده را با )ذاري، تابع هزينه بنگاه بوسيله نمادگ ) ( , )C q C w q= 0براي . د شو ميداده نشانq>توانيم مي

)هزينه متوسط بنگاه را با ) ( )AC q C q q= دهيم و با فرض اين كه مشتق تابع هزينه كل نشان)وجود دارد، هزينه نهايي را بوسيله ) ( )C q dC q dq′ .گردد بيان مي =

تمام مقادير ستانده حداكثر سازنده ،به خاطر بياوريد كه براي يك قيمت مفروض ستانده) C -6-5(از عبارت )(سود pqq∈ ،با فرض اينكه (بايد شرط مرتبه اول را برقرار سازد( )C q′ وجود دارد:(

)5-D -1 ( >0qبا برابري اگر( )p C q′≤

33

)مراجعه كنيد به خاصيت (يك تابع محدب است، C(.)محدب باشد، Yاگر مجموعه توليد )ix 5گزاره -C -2(5در اين مورد همانطوري كه در بخش . ، بنابراين هزينه نهايي ناكاهشي مي باشد-C ،اشاره شد

.استكافي نيز pدر سطوح قيمت qبرقراري شرايط مرتبه اول براي اثبات حداكثرسازي سود در ارها، در اين نمود. شوند آورده مي D-2-5و D -1-5هاي توليد محدب در نمودارهاي دو مثال از مجموعه

- 5نمودار . دهيم دهيم كه تنها يك ستانده وجود دارد و قيمت آن را برابر واحد قرار مي فرض را بر اين قرار ميD -1 در بخش)a ( مجموعه توليد، در بخش)b ( تابع هزينه، و در بخش)c ( توابع هزينه متوسط نهايي براي

با توليد نظر بگيريد كه تابع هزينه از مجموعه در. دهد يك حالت بازدهي كاهنده نسبت به مقياس را نشان ميبراي سطح ) (D -1 )b-5تعيين هزينه متوسط و هزينه نهايي در نمودار . آيد درجه به دست مي 90چرخش را همان توابع را براي حالت بازدهي ثابت نسبت به مقياس D -2-5نمودار . شود نشان داده مي) q̂ستانده

حداكثر سازنده q(.)براي منحني عرضه، نمودار ) c( D -2-5و ) D -1 )c-5در نمودارهاي . دهد ان مينشتوجه داشته باشيد در اين نمودار و نمودارهاي بعدي، . (سود را به وسيله خطوط پررنگ تر نشان داده شده است

ها در اين دو به دليل اينكه تكنولوژي). شود ده ميمنحني عرضه به وسيله نمودارهاي پررنگ تر نشان دااست كه ) pوq(هاي ها منطبق بر تركيب باشند، منحني عرضه در هر يك از اين حالت ها محدب مي مثال

.سازند را برقرار مي) D -1-5(شرايط مرتبه اول باشد، آنگاه برقراري شرايط ها ناپذيري اگر تكنولوژي محدب نباشد، شايد به دليل وجود بعضي از انواع تقسيم

.ديگر داللت بر حداكثر سود ندارد) C-1-5(الزم، شرط

تكنولوژي اكيداً محدب و بازدهي كاهشي نسبت به مقياس): D -1-5(نمودار

34

تكنولوژي با بازدهي ثابت نسبت به مقياس): D -2- 5(نمودار

محدبنايك تكنولوژي : D -3-5نمودار

.سازد را برقرار مي) D -1-5(است كه شرط )qوp( نها زيرمجموعه اي از تركيباتت 31آنگاه منحني عرضه

مجموعه توليد در اين نمودار در تكه اوليه با. دهد وضعيتي با تكنولوژي نامحدب را نشان مي) D -3-5(نمودار و آنگاه يابد هاي افزايشي نسبت به مقياس روبروهستيم كه در طول آن هزينه متوسط كاهش مي بازدهي با

يا (در طول آن هزينه متوسط افزايشي است، مقدار ويك ناحيه بازدهي كاهشي نسبت به مقياس داريم نشان qكه اگر يكتا باشد، بوسيله ،شود ناميده مي 32رآمقياس كاتوليد متناظر با حداقل هزينه متوسط ) مقادير

ابري رب qشود كه در مشاهده مي) b(و ) D -3 )a-5در نمودارهاي با مالحظه توابع هزينه. شود داده مي

31 - supply locus 32 Efficient Scale

35

( ) ( )AC q C q′=، 5(در تمرين . داريما ر-D -1(شود اين واقعيت را به عنوان يك ، از شما خواسته مي .قاعده كلي اثبات كنيد

)نشان دهيد كه :D -1- 5تمرين ) ( )AC q C q′= در q برقرار سازنده( ) ( )AC q AC q≤

اي دارد؟ در هر نقطهC(.)پذيري آيا اين نتيجه بستگي به مشتق. ها مي باشدqبراي تمام

اي ه نامحدب در نظر گرفته شده است كه به وسيله منحني موردمنحني عرضه براي ) D -3 )c-5در نمودار )هنگامي كه . شود پررنگ تر نشان داده مي )p AC q> بنگاه سود خود را با توليد سطحq ،برقرار سازند

( ) ( )p C q AC q′= )از سوي ديگر، اگر . سازد حداكثر مي، < )p AC q< هرq>0 بنگاه باqهبنابراين عرضه بهين. شود سود اكيداً منفي مواجه مي = )هنگامي كه . است 0 )p AC q= مجموعه ،

}حداكثر سازنده سود مجموعه ستانده }q,0 5آنگاه منحني عرضه به شكلي است كه در نمودار . مي باشد -D -3 )c (شود نشان داده مي.

توانند ها مي اين هزينه. هاي ثابت تأسيس است هزينه )مجموعه توليد(يكي از مهمترين علل نامحدب بودن sunkقابل اجتنابيا اجتناب ناپذير sunk 5(نمودارهاي . باشند-D-4 ( و)5-D-5 (هاي دو مورد با هزينهدر نمودارها با موردي . باشد پذير مي دهند كه در آن غيرفعال شدن امكان را نشان مي sunk قابل اجتنابثابت

روبرو است اگر و تنها اگر بخواهد مقدار مثبتي ستانده را Kهاي ثابت كه در آن بنگاه با هزينهروبرو هستيم ، هزينه كل داراي شكل طور مشخصب. گردد هاي محدب روبرو مي توليد نمايد، در غير اينصورت با هزينه

(0)=0C وvC(q) = C (q) + K برايq>0 0ن است كه در آ>K وvC (q) ،تابع هزينه متغير0vCبا خاصيت (محدب است (q) vCدهد كه در آن موردي را نشان مي D -4-5نمودار .)= (q) به طور

vCدر حاليكه. اكيد محدب مي باشد (q) 5در نمودار-D -5 هاي عرضه در اين نمودار منحني. خطي است . شوند نشان داده مي

36

nonsunkاجتناب قابل هاي متغير اكيداً محدب با هزينه تأسيس هزينه D -4- 5نمودار

nonsunkاجتناب قابل هاي ثابت با هزينه تأسيس هاي متغير، بازدهي هزينه: D -5- 5نمودار

اگر و فقط اگر سود او براي پوشش ،كند ها، بنگاه مقادير مثبتي از ستانده را توليد مي يفدر هر دو اين توصدر ) مكان هندسي عرضه(منحني عرضه . كافي باشد Kهاي ثابت هاي متغير بلكه هزينه دادن نه تنها هزينه

pبراي ) D -5 )c-5نمودار p> نهايت بوده و براي بيpp .بهينه است q=0در ≥

sunkاجتناب ناپذيرهاي ثابت را با فرض هزينه) D -4-5(مورد مطالعه شده در نمودار ،)D -6-5(در نمودار (0)دهيم به طوري كه تغيير مي 0C ) :است، بويژه اكنون داريم < ) ( )vC q C q K= براي تمام +

0≥q بنابراين بنگاه بايدK را در صورت توليد يا عدم توليد مقدار مثبتي ازq هزينه نمايد. پذير نيست، ولي تابع هزينه بنگاه محدب است و بنابراين به شدن در اينجا امكان inactionاگرچه غيرفعال بدون توجه به اينكه مقادير را Kبنگاه . كافي مي باشد) D -1-5(گرديم كه شرط مرتبه اول موردي باز مي

37

توجه . شود نمايد، يا نه تعطيل نخواهد كرد، تنها به خاطر اينكه سود او منفي مي مثبتي از ستانده را توليد مي)محدب بوده و vC(.)داشته باشيد، به دليل اينكه ) 0vC q = ،( ) ( )v vC q AC q′ > ،

( )vp C q′= داللت بر اين دارد كه( )vpq C q> هاي متغير خود را در است از اينرو، بنگاه هزينه)صورت تعيين توليد يا استفاده از شرط )vp C q′= بنابراين مكان هندسي عرضه بنگاه . پوشش خواهد داد

اگر نگاه در اين حالت دقيقاً همانند زماني است كهرفتار عرضه ب. شود نشان داده مي) D -6 )c-5در نمودار .))D-1 )c-5مقايسه كنيد با نمودار . (روبرو نبود sunk ،K اجتناب ناپذيربنگاه با هزينه

جزيي، يعني، sunk اجتناب ناپذير هاي مكان هندسي عرضه را براي موردي با هزينه :D -2- 5تمرين

)جايي كه ) ( )vC q K C q′= 0و q>0اگر + (0)C K< .نشان دهيد >

.sunkاجتناب ناپذيرهزينه متغير اكيداً محدب با هزينه : D -6- 5نمودار

مدت، ، حداقل در كوتاهsunkاجتناب ناپذيرهاي هزينه عللاشاره شد، يكي از B-5همانطوري كه در بخش

براي مثال، فرض كنيد كه دو نهاده در تابع . ستگيري پيشين ا با تصميم و غيرقابل برگشت هاي نهاده وجود)توليد )21 , zzf 1ها را در به خاطر بياوريد كه قيمت نهاده. داشته باشيم 2( , )w w ايم ثابت فرض كرده .

اين . شود نشان داده ميC(.)اي بوسيله گونه تعهدات نهاده ، تابع هزينه بدون هيچ)D-7 )a-5در نمودار در 2zاگر يك نهاده، مثالً . ناميم مي) Long Run Cost Function(نمودار را تابع هزينه بلندمدت

مدت بنگاه عبارت است از ثابت باشد، آنگاه تابع هزينه كوتاه 2zمدت در كوتاه2 1 1 2 2( , )C q z w z w z= )شودكه اي انتخاب مي به گونه 1zكه در آن + )1 2,f z z q= . توابع

.شود نشان داده مي) D-7 )a-5بسياري در نمودار 2zهزينه نظير متناظر با سطوح مختلف

38

)2در هزينه هاي توليـد بدليل اينكه، قيدهاي اعمال شده بر تصميم گيري نهاده بنگاه تنها | )C q z بـراي

د رسـطح بلنـد مـدت اسـت، بـاالتر از 2z، كـه در آن مقـدار نهـاده qها به غير از آن مقداري از qتمام ( )C q ــرار دار ــدار از [ . دقـ 2، بطـــوري كـــه qيعنـــي آن مقـ 2( , )z w q z= ــابراين . ]باشـــد بنـ

2( | ( , )) ( )C q z w q C q= بــراي تمــامq از ايــن بحــث و از ايــن واقعيــت كــه . هــا اســت2( | ( , )) ( )C q z w q C q′ qبراي تمام ≤′ )2شود كه نتيجه مي ′ | ( , )) ( )C q z w q C q′ ′=

در مقدار بلندمدت خود قرار داشته باشد، آنگاه هزينه نهايي كوتاه 2zاست يعني اينكه، اگر سطح qبراي تماماز نظر هندسي، پائين ترين پوش از خـانواده توابـع هزينـه كوتـاه . شود يمدت با هزينه نهايي بلندمدت برابر م

)2مدت | )C q z 2توليد شده بوسيلهz 2است كه در آن امكان انتخاب تمام مقادير ممكن ديگر نيز بـهz . داده مي شود

ه باشيد كه با مفروض دانستن توابع هزينه كوتاه مدت و بلندمدت توابـع هزينـه متوسـط سرانجام در نظر داشتتواند به همـان روشـي كـه در بخـش قبـل كوتاه مدت و بلند مدت، و توابع عرضه كوتاه مدت و بلندمدت مي

) b( D-7-5در نمـودار ) D-7 )a-5تابع هزينه متوسط مربوط به نمودار . توضيح داده شد استخراج شودخواهد تا رفتار عرضه كوتاه مدت و بلند مدت بنگاه را با جزئيـات از شما مي) D-3-5(تمرين . (شود آورده مي

.) بيشتر بررسي كنيد 5 -E – همفزوني S.24

ديديم، نبود قيد بودجه، C-5همچنانكه در بخش . شود در اين بخش تئوري عرضه همفزون مطالعه مياثرات در صورت تغيير قيمتها تنها. نباشدارد كه عرضه يك بنگاه مقيد به اثرات ثروت داللت بر اين د

39

وجود اين براي يك تئوري همفزوني ،برخالف نظريه تقاضاي همفزون. جانشيني برروي مرز توليد وجود دارد .سازدي خاصيت انجام همفزوني را ساده و پر قدرت م

در اقتصاد وجود داشته باشد كه هر يك از ) هاي توليد ا، شايد، برنامهبنگاهها ي(واحد توليد Jفرض كنيد كه 1ا مجموعه بآنها ,..., JY Y تهي و بسته بوده و نادهيم همه آنها بر اين قرار مي را فرض. شود نشان داده مي

ترتيب با بهjYعه توليد مربوط به مجموتابع سود و تناظرهاي عرضه . كند را برقرار مي 33ي اخراجخاصيت آزاد( )j pπ و( )jy p هاي هر يك از ر عرضهظتناظر عرضه همفزون مجموع تنا. شود نشان داده مي

.واحدهاي اقتصادي است

1,... }j J= براي بعضي از( )j jy y p∈ 1 1

( ) ( ) { :J

Lj j

j j

y p y p y y y= =

= = ∈ =∑ ∑

jyاي فرض را بر اين قرار دهيد كه هر براي لحظه . باشد pپذير در بردار قيمت تابعي تك مقداري، مشتق(.))دانيم كه هر يك از ، ميC -1-5از قضيه )

jyD p با توجه به . ماتريس متقارن و مثبت نيمه معين استتوانيم نتيجه بگيريم كه ماتريس ماند، مي محفوظ مي 34زاييفهم ارين دو خاصيت تحت باينكه ا

Dy(p)اگر قيمت افزايش يابد، آنگاه عرضه همفزون نيز برقرار : دارد قانون عرضه را در همفزون برقرار مي2(سازد مي

( )pDπ ومثبت معين است( )pπ نقطهMin همانند قانون عرضه در سطح بنگاه اين ). داردتوانيم كه اين قانون عرضه همچنين مي. خاصيت از منحني عرضه براي تمام مقادير قيمتها صادق است

،jدانيم كه، براي هر مي) C-3-5(صورت مستقيم اثبات كنيم، زيرا از همفزون را به ( ) ( ( ) ( ) ) 0j jp p y p y p′ ′− − ≥

.داريم jبنابراين با به هم افزودن برروي ( ) ( ( ) ( ) ) 0p p y p y p′ ′− − ≥

2تقارن ( ) ( )n p y pD D= كند كه پيشنهاد ميy(p) وجود دارد "توليدكننده نماينده"مربوط به يك .

.درست است ياين به طرز موكد خاص، دهيم همچنانكه اكنون نشان مي,...,1با در نظر داشتن JY Yوسيله عبارت زير تعريف كنيم را به توليد همفزونتوانيم مجموعه ، مي:

1,...,, }j j J Jy y 1براي بعضي ∋= 2 ... { :LJ j jY Y Y Y y y y= + + + = ∈ =∑

33 - Free Disposal 34 - Addition

40

كند كه در همفزون قابل دسترس هستند، اگر تمام بردارهاي توليد را توصيف مي Yمجموعه توليد همفزون )*و p(*π(گيريم . همديگر مورد استفاده قرار گيرند هاي توليد همزمان با مجموعه )y p تابع سود و

اي هستند كه اگر يك بنگاه اينها تابع سود و تناظر عرضه. باشد Yتناظر عرضه مجموعه توليد همفزون .توانست نمود يابد كرد، مي عمل مي هاي توليد انفرادي تحت مديريت يكسان و نيز تمام مجموعه 35پذير قيمتدست آمده توسط هر سود همفزون به .كند نتايج قوي همفزون براي طرف عرضه را اثبات مي ،E-1-5گزاره

طور جداگانه سازنده سود با قيمتهاي مفروض، همانند و حقيقي است كه در آن بنگاهها واحد توليدي به .كردند داكثرساي سود مشترك با يكديگر هماهنگ ميگيري ح فعاليتهاي خود را در يك تصميم

داريم؛ 0pبراي تمام : E-1-5گزاره *( ) ( ) ( )j ji p pπ = π∑

*( ) ( ) ( ) ( : ( ) }).j j j j j jii y p y p y y y p امبراي jتم ا =ه = ∈∑ ∑ هاي توليد اي از برنامه براي برابري اول، توجه داريم كه اگر هر مجموعه: (i)برهان 1,...,j jy Y j J∈ Yyرد نظر بگيريم، آنگاه را = jj تابع سود π(.)*با توجه به اينكه ∑∋

)*. است، بنابراين داريم Yمربوط به ) ( ) .j j j jp p y p yπ ≥ =∑ شود از اينرو، نتيجه مي .∑

∑ كه π≥π )p()p( jj*.

yاز طرف ديگر، اگر هر Y∈ بنابه تعريف مجموعه . ر نظر بگيريمرا دY وجود دارند ،i jy Y∈ jكه طوري به jy y=∑ بنابراين:

. j jp y p y= ∑ 1 ... .( ) 1,...,j j J j jp y py py p j Jπ= = + ≤ =∑ ∑

yبراي تمام Y∈ 1هاي توليد بنابراين برنامه 1 ,..., J Jy Y y Y∈ كه طوري دارند، بهوجود ∋1 2 ... Jy y y y= + + *بنابراين + *

1 1( ) ... ( ) ... ( )J Jp p y py py p pπ π π= = + ≤ + + :در نظر گرفتن دو نامساوي داللت بر اين دارد كه

∑ π=π )p()p( jj*

35 - Price Taker

41

ii - براي اثبات تساوي دوم، بايد نشان دهيم كه∑ ⊂ )p(yy *jj و نيز

*( ) ( )j jy p y p⊂∑ ،1,...,j J= هاي توليد براي رابطه اول هر مجموعه دلخواهي از برنامه)انفرادي )i jy y p∈ آنگاه . را در نظر بگيريد

*.( ) ( ) ( ) 1,...,j i j j j jp y py p p j Jπ π= = = =∑ ∑ ∑ از اينرو ،چون براي تابع عرضه قرار دارد. آيد دست مي گزاره به (i)كه در آن رابطه تساوي آخر از نتايج بند

*( )j jy y y p= :بنابراين ∑∋ *( ) ( )j jy p y p⊂∑

)*از طرف ديگر، )y y p∈ )آنگاه . وارد نظر بگيريم) اي بر روي منحني عرضه همفزون نقطه j jy y=∑ براي بعضي ازi jy Y∈ ،1,...,j J= . از آنجاييكه

*.( ) ( ) ( )j i j jp y p p=π = π∑ :داريم jو براي هر ∑ . ( )j jp y p≤ π

.داشته باشيم، jبايد داشته باشيم، براي هر ( )j jp y p= π . بنابراين براي تمامj ها داريم( )j jy y p∈ و بنابراين( )j jy y p∈∑ بنابراين، نشان داديم كه

*( ) ( )j jy p y p⊂∑ . 5محتوي گزاره-E-1 5در نمودار-E-1 اين گزاره . شود نشان داده ميبراي پيدا كردن جوابي براي مسئله . تفسير گردد Decentralizationعنوان يك نتيجه تواند به مي

، تنها كافي است كه جواب متناظر با هر فرد را بر هم pحداكثرسازي سود همفزون براي قيمتهاي مفروض .بيفزاييم

براي . هر اندازه هم كه اين نتيجه بخواهد ساده باشد، با وجود اين از اهميت داللتي بااليي هم برخوردار نيستها حداكثر سازنده سود با گويد كه اگر بنگاه نتيجه به ما مي. اي را در نظر بگيريد مثال، يك حالت تك ستانده

ا . سازد شند، آنگاه رفتار عرضه آنها سود همفزون را حداكثر ميروبرو با wهاي نهاده و قيمت pقيمت ستانده jما اين باال داللت بر اين داشته باشد كه اگر jq q=∑ ها ستانده همفزون توليد شده توسط بنگاه

تابع هزينه متناظر با (فزون ، مقدار تابع هزينه همC(w, q)باشد، آنگاه هزينه كل توليد دقيقاً برابر با در ميان بنگاهها حداقل سازنده هزينه qبنابراين، تخصيص توليد مقدار ستانده . است) مجموعه توليد همفزون

به تابع هزينه q(p)عالوه بر اين، اين گزاره امكان برقراري تابع عرضه جمعي بنگاهها براي ستانده . است

42

اين واقعيت در . (سازد براي يك بنگاه را فراهم مي D-5بخش همفزون را به همان روش انجام شده در ).براي ما مفيد خواهد بود 10هنگام مطالعه مدل تعادل جزيي بازارهاي رقابتي در فصل

طور خالصه اگر بنگاهها در قيمتهاي مفروض سود خود را حداكثر سازند، آنگاه طرف توليد اقتصاد به زيبايي به .شود همفزون مي

5-F - توليد كارآ: الزم ) 16و 10مثال نگاه كنيد به فصلهاي براي( استمتمركز بر كارآيي با توجه به اينكه نظريه اقتصاد رفاه

هاي بدون اتالف تلقي گردند ري برنامه هاي توليدي كه مي توانند بعنوان برنامهجباست ويژگيهاي هندسي .كند تعريف زير را فراهم ميانگيزه كافي براي ارايه ،اين ضرورت. بيان شود

ولي تمام نقاط ،قرار داشته باشد Y بايدبر روي مرز مجموعه توليد ابرنامه توليد كاريك ):F -1-5(نمودار

.مرزي لزوما كارا نيستند

yبردار توليد ):F -1 - 5(تعريف Y∈ كارآ است اگر هيچy Y′ كه نداشته باشد وجود∋y y′ yبوده ≤ y′ .باشد ≠

ديگري وجود نداشته باشد كه همان مقدار يا ) ممكن(به بيان ديگر برداري از توليد كارا است كه بردار شدني

واقع ستانده بيشتري با ينكه دررا بدون بكارگيري نهاده هاي اضافي توليد نمايد و ا همقدار بيشتري از ستاند yهر ،دهد نشان مي) F-1-5(همانطوري كه نمودار . ها توليد نمايد بكارگيري مقداركمتري از بعضي از نهاده

43

Yيعني ممكن است نقاطي در مرز . اما عكس آن ضرورتا درست نيست. قرار داشته باشد Yكارآ بايد در مرز .نيستند وجود داشته باشد كه كارآ

اين . دهيم كه كارآيي در ارتباط نزديك با امكان حمايت توسط حداكثرسازي سود را دارد كنون نشان مياگيرد مورد كنكاش قرار مي 16و با دقت بيشتري در فصل 10به موضوعي كه در فصل موضوع نگاه اوليه ما

.دهند را تشكيل ميبياني ساده از اولين قضيه اين گزاره .م مي سازدفراه را يك نتيجه مقدماتي ولي بسيار مهم) F-1-5(گزاره

.نظريه اقتصاد رفاه ميباشد

yاگر ):F -1-5(گزاره Y∈ 0برايp حداكثر سازنده سود باشد، آنگاهy كارا است . yاينكهيعني . كارا نباشد ولي حداكثر سازه سود باشد y فرض كنيد :برهان Y′ . وجود دارد ∋

yبطوري كه Y′ yو ∋ y′ اين داللت برآن دارد كه ،است 0pاينكه با توجه به. ≤py py′ ….ر داردقرا yكه در تناقض با حداكثر سازنده سود بودن . ≤

اين نتيجه در . معتبر است حتي اگر مجموعه توليد غيرمحدب باشد F-1-5 گزارهبايد تاكيد كرد

. نشان داده شده است F -2-5شكل - به ما مي F-1-5 گزارهتركيب كنيم، E-5سازي مورد بحث در قسمت وقتي اين نتيجه را با نتايج كلي

0pطور مستقل نسبت به بردار قيمت ثابت يكسان به ها هر يكاي از بنگاهگويد اگر مجموعه سود <<-يعني هيچ طرح توليد ديگري در اقتصاد به. خود را حداكثر نمايند آنگاه توليد كل از لحاظ اجتماعي كارا است

اين . ليد نمايدهاي بيشتري توستاندههاي اضافي استفاده از نهاهعنوان يك كل وجود ندارد كه بتواند بدون شود كل با كمترين هزينه ممكن توليد مي ستاندههماهنگ است يعني سطح E-5نتيجه با نتايج قسمت

.اندهاي يكساني مواجههاي حداكثركننده سود با قيمتكه تمامي بنگاهوقتيظر نتوان از آن صرفخوشايند نيست اما نمي F-1-5 گزارههاي اكيداً مثبت در نياز به قيمت

.خواهد آن را نشان دهيداز شما مي F-1-5كه تمرين نمود چنان

با p≤0ارائه كنيد كه حداكثركننده سود براي برخي ∋Yyمثالي از يك :F -1-5تمرين0≠pكارا نباشد(حال ناكارا نيز باشد باشد و درعين.(

44

متن اصلي 151صفحه F-3-5و شكل 150صفحه F-2-5اي شكل ج

45

، قيمت هاي سيستم بعضي از براي ، هر بردار توليد كاراكه دارد بيان ميF-1-5گزاره عكس -دهد اين نتيجه بهنشان مي F-2-5در شكل ′yاما نگاهي به توليد كاراي .است حداكثر سازنده سود

تواند وجود اين، اين شكل معكوس با وجود فرض اضافي تحدب ميبااين. تواند درست باشدنمي طوركليدوم قضيه بنيادين اصطالح تر است شكلي از بهابتدايي F-1-5 گزارهكه از F-2-5گزاره. صادق باشد

.باشداقتصاد رفاه مي

يك توليد ∋Yyه هر توليد كارايآنگا. محدب است Yفرض كنيد :F -2-5گزاره .36است p≤0حداكثركننده سود براي يك بردار قيمت غيرصفر

مراجعه (هاي محدب استبراي مجموعه سازنده صفحه جداابر گزارهاين اثبات يك كاربرد :برهان

GMكنيد به قسمت كاراست و مجموعه ∋Yyفرض كنيد ). يدر ضميمه رياض .{ }yyRyP L

y >>′∈′= . نشان داده شده است F-3-5در شكل yPمجموعه . را تعريف كنيد :∩=∅كاراست داريم yاين مجموعه محدب است و چون yPY .فوق گزارهوانيم از تبنابراين مي-

pكه طوريوجود دارد به p≠0صفحه جداگانه استفاده كنيم و نشان دهيم برخي y p y′ ′′⋅ ≥ براي ⋅yPyهر Yyو ′∋ - ميويژه توجه داشته باشيد كه اين نتيجه نشان به). F-3-5مراجعه كنيد به ( ′′∋

ypypدهد yyبراي هر ⋅′≤⋅ براي p>0زيرا اگر p≤0بنابراين بايد داشته باشيم . ′<<ypypباشد آنگاه داريم برخي yyبراي برخي ⋅′>⋅ yy با ′<< .به اندازه كافي بزرگ ′−

Yyاكنون فرض كنيد هر pآنگاه . ′′∋ y p y′ ′′⋅ ≥ yPyبراي هر ⋅ كه از آنجايي. ′∋y′ توان به اندازه دلخواه نزديك به را ميy گيريم كه ب نمود نتيجه ميانتخاp y p y ′′⋅ ≥ براي هر ⋅Yy ■.است pحداكثركننده سود براي y؛ يعني ′′∋

F-1b-5در شـكل yدهد اين نتيجه براي توليدهاي كاراي ضعيف، يعني توليدهايي ماننـد گونه كه اثبات نشان ميهمان - 36

Yyكه در آن هيچ yyكه طوريوجود ندارد به ′∋ .باشد، نيز صادق است ′<<

46

152صفحه F-4-5جاي شكل

» p<<0«صورت توان چنان قوي كرد كه بتوان آن را بهرا نمي F-2-5گزاره بخش دوم توان آن را با بردار قيمت اكيداً مثبتي كاراست اما نمي yبراي مثال بردار توليد F-4-5در شكل. خواند

. پشتيباني نمود)اي ستاندهبه يك تابع توليد مقعر تك F-2-5گزارهعنوان مثالي از به )zf يك . توجه كنيد)را ثابت در نظر بگيريد و فرض كنيد zبردار نهاده )⋅f درz پذير است و داريم ديفرانسيل( ) 0>>∇ zf . آنگاه طرح توليدي كه از بردار نهادهz ستاندهبراي توليد سطح ( )zf كند استفاده مي

اي كه اين گويد بردار قيمت نهادهبه ما مي C -2-5باشد شرط 1 ستاندهبا فرض اينكه قيمت . كاراست)سازد دقيقاً توليد كارا را حداكثركننده سود مي )zfw . هاي نهايي استورييعني بردار بهره =∇

5-G ه اهداف بنگاهمالحظاتي دربار

اي براي تئوري عنوان مفهوم اوليهاگرچه منطقي است كه فرض حداكثرسازي ترجيحات را بهچرا . توان براي فرض حداكثرسازي سود توسط بنگاه بيان نمودكننده بپذيريم اما مورد مشابهي را نميمصرف

وي كار بنگاه ـ پذيرفت؟ اهداف پذيرفته جاي حداكثرسازي درآمد فروش يا اندازه نيربايداين هدف را ـ مثالً به. بنگاه در تحليل اقتصادي ما بايد از اهداف افراد كنترل كننده آن نشات بگيرد) مفروض يا فرض شده(شده كنندگان نيز ها در نوع اقتصادهايي كه مورد توجه ما است در مالكيت افرادي هستند كه مصرفبنگاهدر اين مورد تنها مساله اين : اي داردشدهاست كه اهداف كامالً تعريف يك بنگاه در مالكيت فردي. باشندمي

هرگاه بيش از يك مالك وجود داشته باشد سطح . است كه آيا اين هدف با حداكثرسازي سود مطابقت دارد

47

اري درواقع بايد تمامي اهداف متضاد مالكان را با يكديگر هماهنگ نماييم يا ك. اي ا ز پيچيدگي داريمفزاينده .كنيم كه نشان دهيم هيچ تضادي وجود ندارد

توان اين مسائل را حل كرد و مبناي تئوريكي معناداري به هدف حداكثرسازي سود خوشبختانه ميدهيم براساس فروض قابل قبولي حداكثرسازي سود هدفي است تمان مالكان درباره آن اكنون نشان مي. داد

.توافق دارنددر اينجا . كننده استدر مالكيت شماري مصرف Yموعه توليدي فرض كنيد بنگاهي با مج

Iiكننده مالكيت به اين معنا است كه هر مصرف از سود است كه در iθ≤0داراي يك سهم =1,....,∑آن =

i i 1θممكن است برخي از (استiθترتيب اگر تصميم توليد بدين). ها مساوي صفر باشندYy∈ كنندهباشد آنگاه يك مصرفi با تابع مطلوبيت( )⋅iu به سطح مطلوبيت

( )0

. .i

i ix

i i i

u xMax

s t p x w p yθ≥

⋅ ≤ + ⋅

هاي ثابت، ترتيب با قيمتبدين. است iكننده ودي مصرفثروت غيرس iwرسد كه در آن ميكند كه يك تر ميدهد و مجموعه بودجه او را بزرگكننده ـ مالك را افزايش ميسود باالتر ثروت كلي مصرف

دهند ان ـ مالكان متفقاً ترجيح ميكنندگ، مصرفpشود در هر بردار قيمت ثابتنتيجه مي. پيامد مطلوب استYyبنگاه يك طرح توليد pاجرا نمايد هرگاه ∋Yyجاي را به ′∋ y p y′⋅ > ترتيب بدين. باشد ⋅

توابع نظر ازرا بپذيريم تمام مالكان، صرف) price-taking(پذيريگيريم اگر فرض رفتار قيمتنتيجه مي . 37مطلوبيت آنها، توافق نظر دارند مدير بنگاه بايد سود را حداكثر سازد

ها ثابت هستند و به اعمال قيمت) 1: (الذكر تاكيد كردبايد بر سه فرض ضمني در استدالل فوق. ودتوان مديران را توسط مالكان كنترل نممي) 3(باشند و سودها نامطمئن نمي) 2(ها بستگي ندارند، بنگاه

.كنيمطور غيرصوري ارائه ميمالحظاتي را درباره اين فروض بههاي آنان ها به توليد بنگاه بستگي داشته باشند، هدف مالكان ممكن است به سليقهاگر قيمت) 1(

اي داراي هيچ ثروتي از كنندهبراي مثال فرض كنيد هيچ مصرف. كنندگان بستگي داشته باشدعنوان مصرفبه)ير از بنگاه غمنبعي به 0)iw با تابع 2را از كاالي 1است نداشته باشد و بنگاه كاالي L=2كه =

شود و فرض كنيد قيمت كاالي 1را نرمال كنيد تا معادل 2همچنين قيمت كاالي .كندتوليد مي f(.)توليد

- ها وجود دارند كه مالكاني به معناي سهامداران بنگاهعمومي مانند دانشگاههايي شبههايي عمومي و سازماندر واقعيت بنگاه - 37 . اهداف آنها ممكن است متفاوت باشند و اين مبحث درباره آنها مصداق نداشته باشد. دهاي خصوصي ندارن

48

)ز عبارتست ا 2برحسب كاالي 1 )qp ستاندهاگر q طوري باشد براي مثال اگر ترجيحات مالكان به. باشد0خواهند اهميت دهند آنگاه متفقاً مي 2كه تنها به مصرف كاالي ( ( )) ( )zMax p f z f z z≥ حل −

از سوي ديگر اگر آنها . اهند مصرف نمايندخوكند كه آنا ميرا حداكثر مي 2حل اين مساله مقدار كاالي . كنند0خواهند را مصرف كنند آنگاه مي 1بخواهند تنها كاالي ( ) [ ( ( ))]zMax f z z p f z≥ حل كنند −

)زيرا اگر )( ) ( ) zzfzfp را بدست آورند، آنگاه 2واحد از كاالي −( )( ) ( ) ( )( )p p z f z z p f z⎡ ⎤−⎣ - دو مساله حل اما اين. آورندرا بدست مي 1واحد از كاالي ⎦

- شود اگر مالكان بهگونه كه پيشنهاد ميعالوه همانبه.). شرايط مرتبه اول را كنترل كنيد. (هاي متفاوتي دارندخواهد انجام دهد توافق نظر هاي متفاوتي داشته باشند آنگاه درباره آنچه بنگاه ميكنندگان سليقهعنوان مصرف ).پردازدميبا اين نكته G -1-5تمرين (نخواهند داشت

قبل يا بعد از رفع عدم اطمينان ستاندهبنگاه تصادفي باشد آنگاه تمايز ميان اينكه ستاندهاگر ) 2(همچنانكه محصوالتي (فروش برسد بعد از رفع عدم اطمينان به ستاندهاگر . رسد اهميت داردفروش ميبه

نظر مطلوب براي حداكثرسازي اه اتفاقآنگ) رسندفروش ميكشاورزي در بازارهاي نقدي پس از برداشت بهترتيب داراي عدم اطمينان هستند، كه اكنون سود و ثروت بدست آمده بديناز آنجايي. رودسود از بين مي

. دهدهاي توليدي تحت تاثير قرار ميهاي ريسك و انتظارات مالكان ترجيحات آنان را درخصوص طرحتلقيهاي توليدي نسبتاً با ريسك كمتر را گريزان متوسط طرحسه با ريسكگريزان قوي در مقايبراي مثال ريسك . ترجيح خواهند داد

همچنانكه محصوالتي كشاورزي (فروش برسد قبل از رفع عدم اطمينان به ستاندهازسوي ديگر اگر حمل طور كامل توسط خريدار تعهد و تآنگاه ريسك به) رسندفروش ميدر بازارهاي سلف پيش از برداشت به

. ماندنظر به نفع حداكثرسازي سود كماكان باقي ميسود بنگاه مواجه با عدم اطمينان نيست و اتفاق. شودميعنوان توليدكننده كااليي تصور نمود كه پيش از رفع عدم اطمينان در يك بازار متعارف به توان بنگاه را بهمي

پس از G.19در قسمت . كنداصلي بسيار دور ميتحليل بيشتر اين مساله ما را از موضوع . (رسدفروش مي .)ارائه مباني تئوري تصميم تحت شرايط عدم اطمينان در فصل ششم، دوباره به اين موضوع خواهيم پرداخت

آنان به . هاي خود را اعمال نمايندتوانند مستقيماً كنترلبديهي است كه سهامداران معموالً نمي) 3(ويژه اگر مالكيت بسيار پراكنده باشد نحوه و ميزان امكان به. نياز دارند كه طبيعتاً اهداف خود را دارند مديراني

برخي مالحظات مربوطه عبارتندازعواملي . كنترل شدن مديران توسط مالكان چالش تئوريكي مهمي است C.14ئل درقسمتبه اين مسا.(بودن اعمال مديران و سهم مالكان فرديچون درجه قابل مشاهده

49

عنوان يك بازارسهام به(شودپرداخته ميG.19دروني وقسمتعنوان يك مكانيزم كنترلآژانس بهقراردادهاي ).) مكانيزم كنترل بيروني

مدل فعاليت خطي: A پيوست

ثابت نسبت به مقياس، سبب هايي با بازدهيتحدب و تكنولوژي) ويژگي(برجستگي مدل توليد با .شود تا اين مدل را با تفصيل بيشتري مورد بررسي قرار دهيممي

يك توسط) واقع(، شعاع بوجود آمدهYبا داشتن يك تكنولوژي بازدهي ثابت نسبت به مقياس}، مجموعه∋Yyبردار }0: ≥=∈ αα scalerssomeforyyYy نيم مي توا. است

توان آن را در هر سطح از مقياس عمليات انجام دهنده يك فعاليت توليدي بدانيم كه مييك شعاع را نشانترتيب افزايش يا كاهش مقياس داد و بدين α≤0عامل ) اندازهبه(توان با را مي yيعني طرح توليد . داد

.ديگري را بوجود آوردهاي توليدي ممكن طرحشويم كه هاي بازدهي ثابت نسبت به مقياس متمركز ميدر اينجا روي يك موردخاص تكنولوژي

به عنوان شروعي براي تئوري خود . باشدمحاسبات صريحي دارد و بنابراين در موارد كاربردي بسيار مهم مي-وجود دارد كه هر يك از آنها را مي) Mاً،فرض(هاي بسيار زياد اما محدود كنيم فهرستي از فعاليتفرض مي

طور همزمان انجام توان بهتوان را در هر سطح از مقياس عمليات انجام داد و همچنين هر تعداد از آنها را ميLاصطالح فعاليت اوليه را با فعاليت يا به M. داد

ML RaRa ∈∈ -آنگاه مجموعه. ان دهيدنش 1,...,

:توليدعبارتست از

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥=∈= ∑=

0,...,: 11

M

M

mmm

L scalerssomeforyRyY αααα

از . كندگيري ميام را اندازهmشود كه مقياس عمليات فعاليتناميده مي mسطح فعاليت اوليه mαاسكالر . ك مخروط كثيرالوجه يا مجموعه توليد شده از رويه محدب تعداد محدودي شعاع استيYلحاظ هندسي

)يك فعاليت به شكل )0,...,0,1,0,...,0 ام قرار دارد فعاليـت خـروج در مكان −1كه در آن − Mكنيم عالوه بـر از اين به بعد همواره فرض مي. شودناميده مي) disposal activity(براي كاالي

5...1شكل . باشندفعاليت خروج نيز در دسترس مي Lفعاليت اوليه فهرست شده، AA يك مجموعه توليـد .آيدبوجود مي M=2و L=2دهد كه در مورد را نشان مي

50

LRpبا يك بردار قيمت ، وجود دارد اگر و تنها Yداده شده، يك طرح حداكثرسازي سود در ∋+⋅≥0اگر map براي هرm 0ه داشته باشيد اگـر براي درك بهتر موضوع، توج. باشد<⋅ map ،باشـد

⋅=0اگر . ma=0عبارتست از mآنگاه سطح فعاليت حداكثركننده سود map باشد آنگـاه هـر سـطح⋅<0نهايتاً، اگر . كندسود صفر توليد مي mفعاليت map براي برخيm باشد آنگاه با بزرگ كردنmα

هاي خروجـي توجه داشته باشيد وجود فعاليت. اندازه دلخواه بزرگي ايجاد كنيمتوانيم سود بهاندازه دلخواه ميبهLpدهـد بايـد داشـته باشـيم نشان مي اگـر . تـا يـك طـرح حداكثركننـده سـود وجـود داشـته باشـد ∋+

0<p بوجود مي) ترتيب به اندازه دلخواه بزرگيو بدين(امين فعاليت خروج سود اكيداً مثبت باشد آنگاه- .آورد

)فرض كنيد بوجود آوردنده سود صفر، pبراي هر بردار قيمت )pA هـايي را مجموعه فعاليـت): آورنددهد كه دقيقاً سود صفر را بوجود مينشان مي ) { }0: =⋅= mm apapA . اگـر( )pAam ∉ ⋅>0باشد آنگاه map ترتيب فعاليت و بدينmهاي در قيمتp بنـابراين مجموعـه . شودبكار برده نمي

)عرضه حداكثركننده سود )py هـاي موجـود در مخروط محدب توليد شده بوسيله فعاليـت( )pA اسـت؛)يعني ) ( ){ }∑ ∈

≥=pAa mmm

mapy 0:αα .مجموعه( )py 5...1نيز در شـكل AA نشـان داده

اگـر ( 2aآورد و فعاليت دقيقاً سود صفر را بوجود مي 1a، فعاليت pدر اين شكل در بردار قيمت . شده استــود ــام شــــ ــالً انجــــ ــي ) اصــــ ــود مــــ ــان بوجــــ ــابراين . آوردزيــــ )بنــــ ) { }1apA و =

( ) { }0: 111 ≥== αα scaleranyforayypy يعني شـعاع بوجـود آمـده توسـط .1aفعاليت

51

5...1جاي شكل AA متن اصلي 155صفحه

گـزاره يك نتيجه مهم كه آن را اثبات نخواهيم كرد آن است كه براي مدل فعاليت خطـي عكـس 1..5 F5..2 گزارهتوانيم ؛ يعني ميكارايي دقيقاً صادق است F هـر : را قوي كنيم و بگوييمYy∈ كـارا

.است p<<0يك تابع حداكثر كننده سود براي برخي اين مدل دو ويژگـي . است لئونتيف ستاندهمدل نهاده ـ يك مورد خاص مهم از مدل فعاليت خطي

:رداضافي داهمـين دليـل آن را به. شودام وجود دارد كه با هيچ فعاليتي توليد نميLيك كاال مثالً كاالي ) 1(

.در اغلب كاربردهاي مدل لئونتيف، عامل اوليه نيروي كار است. ناميمعامل اوليه مي-ناميده مـي توليد مركب هيچاين فرض . هر فعاليت اوليه حداكثر يك ورودي مثبت تكي دارد) 2(

ترتيب اين مانند آن است كه هر كااليي به استثناي عامل اوليه از نوع خاصي از تابع توليـد بـازدهي بدين. شود .شودعنوان نهاده توليد مياز كاالهاي ديگر و عامل اوليه به ستاندهثابت با ا

لئونتيف بدون امكانات جايگزيني ستاندهمدل نهاده ـ

52

مدل لئونتيف مدلي است كه در آن هر كاالي قابل توليدي تنها بوسيله يك فعاليت توليد ترين ساده1,...,1در ايـــن مـــورد طبيعـــي اســـت فعـــاليتي كـــه كـــاالي . شـــود −= L كنـــد را توليـــد مـــي

( ) LL Raaa ∈= -بـه . L−1ي است با مساوMهاي اوليه ترتيب تعداد فعاليتبدين. بناميم 1,...,

ــكل ــال در شــ ــوان مثــ 5...2عنــ AA ــه در آن ــوردي كــ ــراي مــ ــي L=3بــ ــت منحنــ اســ)مجموعه(مقداري توليد واحد هم ) ( ){ }1,:, 3232 =zzfzz ( دهيمنشان مي 1را براي تابع توليد كاالي .

. شـوند منظور رهايي از هرگونه مازاد نهاده بكار بـرده مـي به 3و 2االهاي هاي خروج براي كدر شكل فعاليتبكار برده شوند، اين مـورد خـاص يـك مـدل ) نظر از خروجصرف(هاي ثابتيها بايد با نسبتكه نهادهازآنجايي

.شودلئونتيف بدون امكانات جايگزيني ناميده مي1,...,1براي هر a=1كه طورياگر بردارهاي فعاليت را نرماليزه كنيم به −= L آنگاه ،

)بردار ) 111,..., −− ∈= L

L Rααα 1تا 1سطح فعاليت مساوي بردار توليد ناخالص كاالهاي−L مي-

)براي تعيين سطوح توليد خالص ماتريس .باشد ) ( )11 −×− LL را باA نشان

5...2جاي شكل AA متن اصلي 156صفحه

با اين استثنا كه آخرين آرايه حذف شده aامين ستون عبارتست از منفي بردار فعاليت دهيم كه در آن مي ):غيرمثبت هستند k≠با kaهاي خاطر آوريد آرايهبه(استبا صفر جايگزين شده aو آرايه

53

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

=

−−

−

−

0...

...0

...0

2,11,1

1,221

1,112

LL

L

L

aa

aaaa

A

−≤0امين آرايه يعني k. شودناميده ميلئونتيف ستاندهماتريس نهاده ـ ، Aماتريس ka همچنين بردار مقادير نياز به عامل . كندگيري مياندازه الزم براي توليد يك واحد كاالي kمقدار كاالي ∋−1اوليه را با LRb دهيم كه در آن نشان مي( )1,1,..., −−−= LLL aab آنگاه بردار . است( )αAI ها در سطوح كه فعاليتدهد وقتيرا نشان مي ستانده L−1سطوح توليد خالص −

( )11,..., −= Lααα ها نرماليزه خاطر داشته باشيد كه فعاليتبراي درك بهتر اين مطلب به. شوندانجام مي)كاالي توليد شده دقيقاً L−1كه سطوح توليد ناخالصطورياند بهشده )11,..., −= Lααα هستند .

عنوان نهاده براي ديگر كاالهاي دهد كه بهمقادير هر يك از اين كاالهايي را نشان ميαAديگر،ازسوي)بنابراين اختالف يعني . شوندتوليدشده بكار برده مي )αAI 1,...,1كاالهاي خالص توليد− −L است .

-طورخالصه با اين نمادگذاري ميبه. دهدمقدار كل استفاده از عامل اوليه را نشان مي α⋅bعالوه اسكالر به :صورت زير بنويسيمرا به) با فرض خروج رايگان(توانيم مجموعه بردارهاي توليدي موجه از لحاظ فني

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

≤= +LRsomefor

bAI

yyY αα:

)اگر ) 0>>− αAI 0براي برخي≥α ستاندهباشد آنگاه ماتريس نهاده ـA بهـره (مولد-ه باشد كه است اگر طرح توليدي وجود داشت) وربهره(مولد Aستاندهيعني ماتريس نهاده ـ . شودناميده مي) ور

را بتواند توليد كند به شرط آنكه مقداري كافي از نهاده اوليه L−1هاي ستاندهبتواند مقادير مثبت خالصي از .در دسترس وجود داشته باشد

لئونتيف ويژگي همه ـ يا ـ هـيچ اسـت كـه در ستاندهيك واقعيت قابل توجه درباره تئوري نهاده ـ 5...1 گزاره AA گفته شده است.

5...1 گزاره AA: اگرA 1مولد باشد آنگاه براي هر مقدار غيرمنفـي تعـداد−L كـاالي قابـل−1توليد

+∈ LRc 0، يك بردار سطوح فعاليت≥α كـه طوريبهوجود دارد( ) cAI =− α . يعنـي اگـرA بـه ) منظور مصرف نهاييشايد به(وجود دارد ستاندهمولد باشد آنگاه امكان توليد هر مقدار غيرمنفي خالص

.شرط آنكه مقداري كافي از نهاده اوليه در دسترس وجود داشته باشد

54

)مولـد باشـد آنگـاه معكـوس مـاتريس Aنشان خواهيم داد اگـر : اثبات )AI وجـود دارد و −−1خـالص ستاندهتوانيم سطوح دهد زيرا مياين عبارت نتيجه مورد نظر را مي. غيرمنفي است

+∈ LRc را بـا)) غيرمنفي(تعيين سطوح فعاليت ) cAI 1−−=α يمبدست آور.

دهـيم اگـر نشان مـي . كنيمبراي اثبات اين ادعا كار را با اثبات يك نتيجه در جبر ماتريس آغاز ميA مولد باشد آنگاه ماتريس∑ =

N

nnA

0كنـد بـه يـك حـد ميـل مـي اسـت، Aام nتوان nA، كه در آن

∑هـاي غيرمنفـي اسـت، هـر آرايـه تنها داراي آرايه Aچون . N→∞همچنانكه =

N

nnA

0نسـبت بـه

Nبنابراين براي اثبات اينكه . غيرنزولي است∑ =

N

nnA

0سـت كـافي اسـت نشـان دهـيم داراي يك حد ا

c<<0و αمولـد اسـت يـك Aكـه از آنجـايي . هاي آن وجود داردبااليي براي آرايه) حد bound(مرزــه ــوريوجودداردب ــهط )ك )αAIc ــاوي رادر . =− ــن تس ــرف اي ∑اگرهردوط =

N

nnA

0ــيم ــرب كن ض

ــم )داريـــ ) ( )α10

+=

−=∑ NN

nn AIcA)ــه ــيد بـــ ــته باشـــ ــاطر داشـــ IAخـــ ــا ). 0= امـــ

( ) αα ≤− +1NAI 1تمامي عناصر ماتريس+NA بنـابراين . غيرمنفي هسـتند( ) α≤∑ =cAN

nn

0 .

∑دهـــد هـــيچ آرايـــه مـــي، نشـــان c<<0ايـــن نتيجـــه بـــا توجـــه بـــه =

N

nnA

0توانـــد از نمـــي

{ } { }[ ]1111 ,...,/,..., −− LL ccMinMax αα ترتيـب مـرز بـاالي مطلـوب را اثبـات تجاوز كند و بدين∞∑گيريم كه بنابراين نتيجه مي. ايمكرده

=0nnA وجود دارد.

∞∑اين حقيقت كه

=0nnA 0هـد وجود دارد بايـد نشـان دlim =∞→

NN A . ترتيـب بـدين

)كه ازآنجايي )( ) ( )10

+=

−=−∑ NN

nn AIAIA و( ) IAI N

N =− +∞→

1lim است بايد نتيجه

)شود ) 10

−∞

=−=∑ AIA

nn) . اگرA عددي تكي باشد اين يك فرمـول جبـر دبيرسـتاني بـراي جمـع

)شـود كـه ن مـي نتيجه اي.) جمالت يك سري هندسي است ) 1−− AI هـاي آن وجـود دارد و تمـام آرايـه .كنداين نتيجه رااثبات مي. غيرمنفي هستند

∞∑تمركز روي

=0nnA 5...1 گزارهدر اثبات AA خـواهيم فرض كنيد مي. معني اقتصادي دارد

−1هاي نهايي بردار مصرف+∈ LRc چه مقدار توليد كل مـورد نيـاز خواهـد بـود؟ بـراي توليـد . را توليد كنيم

cAcهاي نهايي ستانده )الزمست مقادير =0 ) AccAA عنوان نهـاده از كاالهاي توليد شده را به 0=

55

)بنوبه خود براي توليد اين مقادير الزمست مقـدار . بكار ببريم ) cAAcA از كاالهـاي توليـد شـده را =2بنـابراين مقـادير كـل كاالهـايي كـه الزم اسـت توليـد شـود حـد . همين ترتيب الـي آخـر استفاده كنيم و به

( ) ∞→∑ =NascAN

nn

0قابـل توليـد c≤0توانيم نتيجه بگيريم بـردار ترتيب ميبدين. است

∞∑است اگر و تنها اگر

=0nnA هاي آن محدود باشديعني تمام آرايه(تعريف شده باشد.(

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ5...1مثال AA : 3فرض كنيد=L وهمچنـين( )2,1,11 −−=a و( )4,1,2 −−= βa

)سطوح فعاليت . ثابت β≤0براي برخي )21,ααα توليـد 2مثبـت خـالص از كـاالي ستاندهيك =12كنند اگر مي αα 021كننـد اگـر توليد مي 1مثبت خالص از كاالي ستانده؛ آنها يك < >− βαα.

)و ماتريس Aستاندهماتريس نهاده ـ ) 1−− AI عبارتند از:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

111

11,

010 1 β

ββ

AIA

)شكل . β>1مولد است اگر و تنها اگر Aترتيب ماتريس بدين )aAA موردي را 5...3دهد كه هاي خالصي را نشان ميستاندهخورده بردارهاي ناحيه سايه. مولد است Aدر آن دهد كهنشان مي

توانند تمام تواند توليد شود؛ توجه كنيد چگونه دو بردار فعاليت ميتواند با استفاده از دو بردار فعاليت ميمي2)ر شكل بالعكس د. نمايند spanرا + )bAA هيچ بردار اكيداً مثبتي از : مولد نيست Aماتريس 5...3

-مجدداً ناحيه سايه. (هاي غيرمنفي بدست آوردتوان با انجام دو فعاليت در مقياسهاي خالص را نميستاندهتواند توليد شود كه در اينجا بردار فعاليت ميتواند با استفاده از دو دهد كه ميخورده بردارهايي را نشان مي

2اي است كه تنها اشتراك آن با مجموعه+Rنقطه( به βهمچنين توجه داشته باشيد كه هرچه ). است0,0(

.تر استي مصرف بزرگتر باشد سطوح فعاليت الزم براي توليد هر بردار نهاينزديك 1مقدار لئونتيف با امكانات جايگزيني ستاندهمدل نهاده ـ

پردازيم كه در آن هر كاال ممكن است بيش از يك فعاليت قابل اكنون به مدل كلي لئونتيف مي هاي مدل غير جايگزيني ارتباط خواهيم ديد ويژگي. توليد كردن آن داشته باشد

56

5...3جاي شكل AA متن اصلي 158صفحه

.تر دارند كه در آن جايگزيني امكان داردو تناسب زيادي با مورد كليريزي به يك مساله برنامه 1پيش از هر چيز بايد دانست محاسبه تابع توليد يك كاال مانند كاالي

درواقع فرض كنيد ). در ضميمه رياضي M.Mمراجعه كنيد به قسمت (شودخطي تبديل ميL

ML RaRa ∈∈

1را توليد نمايد و 1تواند كاالي فعاليت اوليه است كه مي 1Mفهرستي از 1,...,

Lzzمساوي با L,...,2سطوح كاالهاي با 1آنگاه حداكثر توليد ممكن از كاالي . داده شده است 2,...,)هاي نهاده )Lzzf :، حل مساله زير است2,...,

1 11 1

1

1 11 10,..., 0

1

...

. . 2,...,

M

M M

Mm mm

a aMax

s t a z for all L

α αα α

α

≥ ≥

=

+ +

≥− =∑

)متغير دوگان L−1دانيم ريزي خطي ميهمچنين از تئوري برنامه )Lλλ اين مساله 2,...,نهاده تلقي L−1هاي نهايي وريعنوان بهرهتوان بهرا مي) محدوديت L−1يعني ضرائب متناظر با (

)داريم =L,...,2تر براي هر به عبارت دقيق. نمود ) ( )−+ ∂∂≤≤∂∂ zfzf // λ كه در آن ،( )+∂∂ zf )و / )−∂∂ zf )ام چپ و راست هاي جزئي به ترتيب مشتق / )⋅f در( )Lzz ,...,2

. باشندمي5...4شكل AA دهدكه در آن واحد را براي موردي نشان مي)آيزوكوانت(مقدارييك هم

عنوان نهاده با دو فعاليت ممكن به) 3و 2كاالهاي (توان با استفاده از دوكاالي ديگررا مي 1كاالي

57

( )1,2,11 −−=a و( )2,1.12 −−=a 2يا كمتر از 2تراز ها بزرگاگرنسبت نهاده. توليدنمود1

. شودهاي خروج براي حذف هرگونه نهاده مازاد استفاده ميباشديكي از فعاليت)بنويسيم،آسانتراست∋LRyبراي هربردار )LL yyy -،كه=−,

)درآن )11,..., −− = LL yyy . فرض خواهيم كرد مدل لئونتيف ما مولد است به اين معنا كه يك بردار .Ly−<<0كه طوريوجود دارد به ∋Yyممكن از لحاظ تكنولوژيكي

) تكي بازدهي ثابت، عدم وجود محصوالت مركب، عامل اوليه(يكي از نتايج جالب ساختار لئونتيف تواند تركيبي از چند تكنيك اوليه كه مي(توانيم با هر كاال يك تكنيك بهينه تكي متناظر كنيمآنست كه مي

بردارهاي توليد كارايي را ) ستاندههر يك تكنيك براي هر (هاي بهينه يعني تكنيك). متناظر با آن كاال باشدخاصي انتخاب نمود كه قرار است توليد ستاندهردار طور مستقل از بتوان آنها را بهكند كه ميپشتيباني مي

ترتيب اگرچه جايگزيني اصوالً امكان بدين). هر كاالي قابل توليد مثبت باشد ستاندهكه خالص مادامي(شودهنگام تغيير سطوح مصرف نهايي مطلوب نياز ها بهدارد اما توليد كارا به جايگزيني تكنيك

).Samuelson,1951(ندارد

58

5...4شكل جاي AA متن اصلي 159صفحه

5...2 گزاره AA: )مولد لئونتيف با ستاندهبه يك مدل نهاده ـ ) عدم جايگزيني گزاره1−L 1كاالي قابل توليد و≥M 1,...,1فعاليت اوليه براي كاالي قابل توليد −= Lتوجه كنيد .

)فعاليت L−1آنگاه )11,..., −Laa باa تركيب خطي غيرمنفي ممكن ازM فعاليت اوليه براي توليدفعاليت L−1تواند با اين ميLy−<<0ا كه تمامي بردارهاي توليد كارا بطوريوجود دارد به كاالي

. توليد شودبايد با yطوركلي، بردار به. باشد Ly−<<0يك بردار توليد كارا با ∋Yyفرض كنيد : اثبات

)فعاليت L−1اي از مجموعه )11,..., −Laa )هاي هايي از فعاليتها با تركيبكه برخي از اين فعاليت)ايجاد شود كه در سطوح فعاليت ) اصلي ) 0,..., 11 >>−Lαα شوند؛ يعني انجام مي∑ −

==

1

1

L ay α .)توان با را مي Ly−′<<0با ′yدهيم هر طرح توليد كارا نشان مي )11,..., −Laa فعاليت انجام داد.

59

حداكثركننده سود yكه طوريوجود دارد بهp<<0كارا است يك ∋Yyكه ازآنجايي5..2 گزارهاين نتيجه از (است pنسبت به F از ). آيد كه براي مدل فعاليت خطي تقويت شده بودبدست مي

0≤⋅ap 1,...,1براي تمامي −= L ،0>α و

∑∑−

=

−

=

⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⋅=

1

1

1

10

LL

apapyp αα

⋅=0شود كه نتيجه مي ap 1,...,1براي تمامي −= L. Yyاكنون به هر توليد كاراي ديگري خواهيم نشان دهيم مي. توجه كنيد Ly−′<<0با ′∋

y′ هايتواند از فعاليتمي ( )11,..., −Laa متناظر با ستاندهماتريس نهاده ـ . ايجاد شود( )11,..., −Laa . مولد است Aشود است براساس تعريف نتيجه مي Ly−<<0كهازآنجايي. دهيمنشان مي Aرا با

5...1 گزارهبنابراين براساس AA دانيم سطوح فعاليت مي( )11,..., −′′′′ Laa كه بردار وريطوجود دارد به∑توليد −

=′′′′=′′

1

1

L ay α دارايLL yy −− ⋅=0كه توجه داشته باشيد ازآنجايي. است ′′=′ ap براي1,...,1تمامي −= L 0است، بايد داشته باشيم=′′⋅ yp .ترتيب بدينy ده سود براي حداكثركنن ′′

0>>pخاطر داشته باشيد حداكثر سود براي به(استp شود كه و بنابراين نتيجه مي) صفر استy ′′ 5..1 گزارهبراساس F اما آنگاه دو بردار . كارا استy′ وy LLبا ′′ yy −− را داريم كه هر دو كارا ′′=′

LLبنابراين بايد . باشندمي yy - تواند تنها با استفاده از فعاليتمي ′yگيريم كه ترتيب نتيجه ميبدين. ′′=′

)هاي )11,..., −Laa جه مطلوب استتوليد شود كه همان نتي. با بيش از يك . اين معنادار است. عدم جايگزيني به وجود تنها يك عامل اوليه بستگي دارد گزاره

بنوبه خود منطقي . هاي نسبي اين عوامل بستگي داشته باشدها بايد به قيمتعامل اوليه، انتخاب بهينه تكنيكبراي مثال اگر (تركيب تقاضاي نهايي نباشند هاي نسبي مستقل از است كه انتظار داشته باشيم اين قيمت

بر به سمت كاالهاي كاربر انتقال يابد انتظار داريم قيمت نيروي كار نسبت به قيمت تقاضا از كاالهاي زمينهاي كه قيمتماند ماداميبا اين وجود شايان ذكر است نتايج عدم جايگزيني معتبر باقي مي). زمين افزايش يابد

.يير نكندعوامل اوليه تغ .Gale,1960براي مطالعه بيشتر درباره موضوعات مورد بحث در ضميمه مراجعه كنيد به

************************************************** 160-166صفحه تمرينات فصل پنجم

AB .در متن فصل 5..1

60

AB .در متن فصل 5..2AB .در متن فصل 5..3BB صورت تكنولوژي يك واحد توليدي يك مجموعه توليدي است كه بهYفرض كنيد 5..4

ه جمعي ترين مجموعه توليدي كدهيم يعني كوچكنشان مي Y+را با Yبسته جمعي. شودتكي تعريف ميرا بتوان براي هر Yمجموعه توليد كل است اگر تكنولوژيY+ديگر، عبارتبه(باشدميYاست و حاوي

صورت به(ن داده شدههاي توليد نشاهاي مجموعهرا براي هر يك از مثال Y+). تعداد دلخواه تكرار نمودويژه توجه داشته باشيد براي تكنولوژي بازدهي نزولي شكل به. نشان دهيد B.5در قسمت ) نموداري( )aB )، شرط بسته بودن Y+، بسته جمعي5..5 )ii رد اين مورد را با مو. كندرا نقض مي)شكل )bB .بسته است، مقايسه و بحث كنيد Y+كه در آن 5..5

CB YRLبسته و محدب باشد و Yنشان دهيد اگر 5..5 ⊂− free disposalباشد آنگاه + .برقرار است

BB نشان qكاالي سوم كه مقدار آن با . نهاده هستند 2و 1كاالهاي . ه كاال وجود داردس5..6طور همزمان يا توان آنها را بهتوان با دو تكنيك توليد نمود كه ميرا مي ستانده. است ستاندهشود يك داده مي

ول از نهاده دوم و تكنيك دوم از نهاده اول استفاده تكنيك ا. ها لزوماً خطي نيستندتكنيك. جداگانه انجام داد)طور كامل با به) ترتيب تكنيك دومو به(ترتيب تكنيك اولبدين. كندمي )11 qφ)ترتيب تكنيك دوم با و به

( )2 2qφ (يعني حداقل مقدار نهاده اول)ترتيب نهاده دومو به (1اركافي براي توليد مقدq ستانده)ترتيب و به)دو تابع . شودتصريح مي) ستانده2qمقدار )11 qφ و( )22 qφ اند و فزاينده( ) ( ) 000 21 ==φφ .

( )aفرض كنيد . يك را توصيف كنيدبعدي متناظر بااين دو تكنمجموعه توليد سهfree disposal برقرار است.

( )b شرايط كافي روي( ) ( )⋅⋅ 21 ,φφ براي مجموعه توليدي را ارائه كنيد تا خاصيت جمعي را .نشان دهد

( )c1هاي نهاده فرض كنيد قيمتw 2وw شرايط الزم مرتبه اول براي حداكثرسازي سود .باشد)تحت چه شرايطي روي . را بنويسيد و تفسير كنيد ) ( )⋅⋅ 21 ,φφ شرايط الزم، شرايط كافي خواهند بود؟

61

( )d نشان دهيد اگر( ) ( )⋅⋅ 21 ,φφ تواند حداقل كننده هزينه نمي اكيداً مقعر باشند آنگاه يك طرحرا ) هاآيزوكوانت(ها مقداريمعناي لزوم مقعر بودن را تفسير كنيد و هم. شامل كاربرد همزمان دو تكنيك باشد

.ها رسم كنيددر فضاي دوبعدي كاربردهاي نهادهAC .در متن فصل 5..1AC .در متن فصل 5..2BC )هاي ويژگي 5..3 )viii و( )ix 5..2 گزاره C ويژگي آسان : راهنمايي.(را اثبات كنيد)است؛ ويژگي )ix اي را اثبات كنيدنخست مورد تك نهاده. دشوارتر است(. AC )هاي ويژگي 5..4 )i تا( )vii 5..2 گزاره C ستاندهرا براي موردي كه در آن چندين

.وجود دارد اثبات كنيدAC )بحث كنيد كه براي صادق بودن ويژگي 5..5 )iii 5..2 گزاره C ، كافي است( )⋅f

)مقعر بودن نشان دهيد شبه. مقعر باشدشبه )⋅f با بازدهي فزاينده مطابقت دارد. CC )فرض كنيد 5..6 )zf 1يك تابع توليد مقعر با−L نهاده( )11,..., −Lzz است .

)هچنين فرض كنيد ) 0/ ≥∂∂ zzf 0و براي تمامي≥z و نيز ماتريس( )zfD2 منفي معين :استفاده كنيد تابع ضمني براي اثبات عبارات زير گزارهاز شرايط مرتبه اول بنگاه و . استzدر تمامي

( )a حداكثركننده سود را افزايش ستانده، همواره سطح ستاندهافزايشي درقيمت .دهدمي

( )b دهدها را افزايش مي، تقاضا براي برخي نهادهستاندهافزايشي درقيمت. ( )c شودر به كاهشي در تقاضا براي نهاده ميافزايشي درقيمت يك نهاده منج .

CC يك بنگاه پذيرنده قيمت و توليدكننده يك محصول تكي براساس تكنولوژي 5..7( )11,..., −= Lzzfqهاي ، مواجه با قيمتp 11اش و ستاندهبراي,..., −Lww هايش استبراي نهاده .

)فرض كنيد )⋅f اكيداً مقعر و فزاينده است و( ) 0/2 <∂∂∂ kzzzf براي تماميk≠ نشان . است1,...,1دهيد براي تمامي −= L توابع تقاضاي عامل( )wpz )روابط , ) 0/, >∂∂ pwpz و

( ) 0/, <∂∂ kwwpz را براي تماميk≠ كندتامين مي.

62

BC )شركت آلفا اينكورپوريتد 5..8 )( )AIedIncorporatAlpha تكي ستاندهيكq را باتعداد يكصد . شود تكنولوژي اين شركت را تعيين كنيدخواسته مي از شما. كندتوليد مي 2zو 1zدو نهاده

:دو مشاهده از اين يكصد مشاهده در جدول زير ارائه شده است. شودمشاهده ماهانه به شما داده مي

ستاندهسطح ستاندهقيمت سطوح نهاده هاهاي نهادهقيمت ماه1w 2w 1z 2z p q

3 3 1 40 50 4 60 95 2 2 55 40 4 60

بااستفاده از اين دو مشاهده ماهانه، براي انجام اين كار با چه مشكالتي مواجه شويد؟مي

AC )تابع سود 5..9 )pπ عرضه ) يا معادل(و تابع( )py ستاندههاي تك را براي تكنولوژي )كه داراي توابع توليد )zf باشند، استخراج كنيدهاي زير ميبه شكل:

( )a ( ) 21 zzzf += . ( )b ( ) { }21, zzMinzf = .

( )c ( ) ( ) 1121 ≤+= ρ

ρρρ forzzzf . AC )تابع هزينه 5..10 )qwc )) هاي آنهايا معادل(توابع تقاضاي عامل شرطي , )qwz را ,

هاي به مقياس كه داراي توابع توليد به شكلبا بازدهي ثابت نسبت ستاندههاي تك براي هر يك از تكنولوژي :باشند، استخراج كنيدزير مي

( )a ( ) ( )inputsblesubstitutaperfectzzzf 21 += ( )b ( ) { } ( )ytechnoLeontiefzzMinzf log, 21=

( )c

( ) ( ) ( )ytechnoonsubstitutiofelasticitytconszzzf logtan1,121 ≤+= ρ

ρρρ

AC )نشان دهيد 5..11 ) 0/, >∂∂ qqwz است اگر و تنها اگر هزينه نهايي درq برحسب

w فزاينده باشد. AC عنوان قسمتي از يك توان بهمحدب را ميYديديم هر B.5در پايان قسمت 5..12

′⊃+1بازدهي ثابت نسبت به مقياس تكنولوژي LRY 1دانست كه در آن+L ثابت −1مختص در سطح

63

)باشد آنگاه pهاي حداكثركننده سود در قيمت∋Yyنشان دهيد اگر . است ) Yy داكثر كننده ح,1−∋′)سود در )( )pp π, همچنين عكس اين .شوداست يعني سود به صورت قيمت نهاده ثابت ضمني ظاهر مي

)اگر : نتيجه نيز صادق است ) Yy )هاي حداكثر كننده سود در قيمت ,1−∋′ )1, +Lpp باشد آنگاهYy∈ نده سود درحداكثر كنp 1است و سود عبارتست از+Lp.

BC براساس يك 2zو 1zهاي از نهادهq ستاندهيك بنگاه پذيرنده قيمت توليدكننده 5..13)پذير ديفرانسيلتابع توليد مقعر )21, zzf 0بنگاه ستاندهقيمت . است>p هاي آن هاي نهادهو قيمت

( ) 0, 21 >>ww اوالً، بنگاه به جاي حداكثر كردن سود، درآمد . دو نكته درباره اين بنگاه وجود دارد. استثانياً، بنگاه محدوديت نقدينگي ). هر مدير ديگري فروش داشته باشدخواهد بيش از مدير مي(كندرا حداكثر مي

Cتواند بيش از ها نميدالر پيش از توليد دارد و در نتيجه مخارج كل آن براي نهادهCويژه تنها به. دارد .باشد

-هاي تكراري درآمد بنگاه با قيمتاز داده گويدفرض كنيد يك دانشمند اقتصادسنجي به شما مي Rها، قيمت هاي نهاده ها و سطوح مختلف محدوديت مالي استفاده كرده و سطح درآمد بنگاه ستاندههاي

)را به صورت تابعي از متغيرهاي )Cwwp ,,, :به صورت زير تعيين نموده است21( ) ( )1 2 1 2, , , ln ln 1 lnR p w w C p C w wγ α α= + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

)γ وα مقدار استفاده .) گويداند كه مقاديرشان را دانشمند اقتصادسنجي به شما مياسكالرهايي)چقدر است وقتي كه قيمت ها 1zبنگاه از نهاده )21,, wwp هستند و بنگاهC دالر نقدينگي دارد؟ AD .در متن فصل 5..1AD .در متن فصل 5..2BD )نهاده عامل L−1را از Lتواند كاالي فرض كنيد بنگاهي مي 5..3 )2>L توليد

∋−1هاي عامل عبارتند از قيمت. كند LRw ستاندهو قيمت p تابع هزينه ديفرانسيل. است-

)پذير )qwc )اگرچه . اكيداً محدب است qفرض كنيد اين تابع برحسب . است , )qwc تابع هزينه است , .توان در كوتاه مدت تعديل كردرا نمي 1طور دلخواه تعديل نمود اما عامل كه بتوان همه عوامل را بهوقتي

و pو wهاي داده شده با قيمت L ستاندهاي است كه سطح فرض كنيد بنگاه ابتدائاً در نقطه( )pwq يعني سطحي كه در شرايط هزينه بلندمدت بيان (كند، حداكثركننده سود در بلندمدت، را توليد مي,

)شده با )qwc )يعني (اندطور بهينه تعديل شدهها بهو تمامي نهاده) بهينه است , )( )pwqwzz ,,=

64

1,...,1براي تمام −− L آن ، كه در( )⋅⋅,z نشان دهيد واكنش ). تابع تقاضاي بلندمدت نهاده استتر از كوتاه مدت در بلندمدت بزرگ Lحداكثركننده سود بنگاه به افزايشي نهايي در قيمت كاالي ستانده)يك تابع هزينه كوتاه مدت : راهنمايي. (است )1, zqwcs ستاندهعريف كنيد كه حداقل هزينه توليد سطح ت

q را بدست .)ثابت باشد 1zدر سطح 1دهد به شرط آنكه نهاده مي

BD بنگاه . ها باشدستاندهها و بنگاهي را در نظر بگيريد كه داراي مجموعه متمايزي از نهاده 5..4M فرضاً : كندرا توليد مي ستانده( )Mqqq هاي بنگاه را نشان ستاندهبرداري است كه سطوح =1,...,): هاي عامل، تابع هزينه بنگاه عبارتست ازبا ثابت نگه داشتن قيمت. دهدمي )MqqC گوييم مي. 1,...,( )⋅C ست اگر براي تمام زيرجمعي ا( )Mqq )نتوان توليد مقادير 1,..., )Mqq را ميان چند بنگاه 1,...,

)هر يك با تابع هزينه )⋅C اي از مثالً يعني مجموعه.و كم كردن هزينه توليد، تجزيه كردJ بنگاه و) مجموعه بردارهاي توليد ){ }J

jMjjj qqq ∑كه طوريوجود ندارد به=1,..., =j j qq و

( ) ( )∑ <j j qCqC وقتي كه . باشند( )⋅C گوييم صنعت يك انحصار طبيعي است زيرجمعي است مي

.شود وقتي كه تنها توسط يك بنگاه انجام شودتر انجام ميزيرا توليد ارزان( )a 1ستاندهمورد تك=M نشان دهيد اگر . را در نظر بگيريد( )⋅C هاي متوسط نزولي هزينه

)را نشان دهد آنگاه )⋅C زيرجمعي است. ( )b 1اي ستاندهاكنون مورد چند>M اي ستاندهبا مثال نشان دهيد بسط چند. را در نظر بگيريد

)هاي متوسط نزولي براي زيرجمعي بودن زير از فرض هزينه )⋅C باشدكافي نمي: ( )⋅Cدهد اگر براي هر پرتو نزولي هزينه متوسط را نشان ميMRq +∈،

( ) ( ) 1/ >> kallforqkqCqC. ( )c )اثبات كنيد اگر ) تمرين دشوارتر( )⋅C محدب بودن آن را پرتو نزولي هزينه متوسط و شبه

)نشان دهد، آنگاه )⋅C فرض كنيد . (زيرجمعي است( )⋅C پيوسته، صعودي و تامين كننده( ) 00 =C .)باشد

BD تابع توليد . q ستاندهو يك zيك نهاده : فرض كنيد دو كاال وجود دارد 5..5( )zfq )كنيم فرض مي. است = )⋅f داردبازدهي فزاينده نسبت به مقياس.

65

( )a فرض كنيد( )⋅f آيا بازدهي فزاينده . پذير استديفرانسيل( )⋅f دهد متوسط نشان مي توليد لزوماً برحسب نهاده غيرنزولي است؟ توليد نهايي چطور؟

( )b با تابع مطلوبيت كننده نماينده فرض كنيد يك مصرف( ) zqu عالمت منفي (وجود دارد −)فرض كنيد ). شودكننده گرفته مينهاده از مصرفدهد نشان مي )zfq طرح توليدي باشد كه مطلوبيت =هاي لحنظر از راهصرف(به شكل رياضي يا اقتصادي بحث كنيد . كندكننده نماينده را حداكثر ميمصرف .تساوي مطلوبيت نهايي و هزينه نهايي يك شرط الزم براي مساله حداكثرسازي است) مرزي

( )c همانند بند( )b تساوي مطلوبيت نهايي و « . كننده نماينده را فرض كنيدوجود يك مصرف طرح توليد هزينه نهايي يك شرط كافي براي براي بهينه بودن يك

.آيا اين عبارت درست يا نادرست است؟ بحث كنيد» .باشدميAE )فرض كنيد هر 5..1 )⋅jπ دانيد پذير است و از قبل ميديفرانسيل

( ) ( )∑ =∗ =

J

j j pp1ππپذيري، هاي ديفرانسيل؛ با استفاده از تكنيك( ) ( )∑ =

∗ =J

j j pypy1

را .ثبات كنيدا

AE 5..1 گزارهتحقيق كنيد 5..2 E و تفسير آن به هيچ فرضيه تحدب روي JYYهاي مجموعه .بستگي ندارد1,...,

BE JYYهايبا فرض تحدب مجموعه 5..3 اينكه و free disposalو تامين ويژگي 1,...,

∑ =

J

j jY1

بسته است، نشان دهيد مجموعه اخير مساوي است با

( ){ }∑ =>>≤⋅

J

j j pallforpypy1

0: π. BE هر تكنولوژي . هاي فراواني وجود داردتكنولوژي. شوداز دو نهاده توليد مي ستاندهيك 5..4

بنابراين يك . ثابت و نسبي توليد كند 2zو 1zاي دهرا با الزامات نها ستاندهاز ) و نه بيشتر(تواند يك مي)تكنولوژي با )21, zzz ها را با يك تابع چگالي توانيم جمعيت تكنولوژيشود و ميمشخص مي =( )21, zzg فرض كنيد اين تابع چگالي روي مربع. نشان دهيم [ ] [ ]10,010,0 uniformصورت به ×

.باشد( )a ها هاي نهادهبا فرض اينكه قيمت( )21,www است، مساله حداكثرسازي سود بنگاهي =

.است 1 ستاندهقيمت . را حل كنيد zهاي با ويژگي( )b ترتابع سود ر كليطوبه( )21,wwπ را براي

66

1 21 10 1 10w and w≥ ≥ .پيدا كنيد

( )c آيا اين تابع مستقيم است و آيا اين پاسخ با استفاده از . تابع تقاضاي نهاده كل را محاسبه كنيد)هاي بند يافته )b تيب بند همين ترصحيح است، به( )b را نيز تحقيق كنيد.

( )d كرديد تابع سود استخراج شده دربند توانيد بگوييد؟ اگر فرض ميدرباره تابع توليد كل چه مي( )b 01براي ≥w 02و ≥w تابع توليد كل چه بود؟درست است، آنگاه

AE 5..5 ( )WeitzmanM هزينه . اي وجود داردستاندهطرح تك Jفرض كنيد تعداد .)ام عبارتست از jمتوسط طرح ) 0≥+= jjjjj qforqqAC βα . توجه داشته باشيد ضريب

α ها يكسان است اما ضريب براي تمام طرحjβ به مساله تعيين . ها متفاوت استبراي هر يك از طرحتوجه كنيد كه در آن qكل ستاندهطرح توليد كل حداقل كننده هزينه براي توليد يك

( )jjMaxq βα .است >/( )a اگرjallforj 0>β چگونه ميان ستاندهباشد آنگاهJ طرح تخصيص مي-

يابد؟( )b اگرjallforj 0<β چگونه ميان ستاندهباشد آنگاهJ طرح تخصيص مي-

يابد؟( )c 0ها اگر براي برخي طرح>jβ 0و براي برخي ديگر<jβ چگونه ستاندهباشد آنگاه

يابد؟طرح تخصيص مي Jميان AF .در متن فصل 5..1BG )فرض كنيد 5..1 )zfهمچنين فرض . اي استستاندهاي و تك ع توليد تك نهادهيك تاب

. باشندمي )numeraire(واحدخطي با نهاده بنگاه به عنوان هاي شبهكنيد مالكان داراي مطلوبيت( )a كنندگان ـ مالكان بر روي يك طرح توليد نشان دهيد يك شرط الزم براي توافق نظر مصرف

z هاي هاي مصرف ميان مالكان در قيمتآن است كه سهم( )zp با .هاي مالكيت مطابقت داشته باشدسهم

( )b درباره تضادهاي مديريت و وابستگي آنها به . هاي مالكيت يكسان باشدفرض كنيد سهم .توضيح دهيد ستاندهره كنندگان ـ مالكان درباهاي مصرفسليقه

67

( )c هاي مالكيت يكسان، بحث كنيد مالكان درباره حداكثر كردن سود با فرض ترجيحات و سهمبه خاطر داشته باشيد فرض مي كنيم ترجيحات برحسب نهاده شبه خطي .(برحسب نهاده توافق نظر دارند

.) زا تعيين شده استطور درونبه )numeraire(واحدهستند؛ بنابراين AAA )تابع هزينه 5...1 )1,wc و تقاضاي نهاده( )1,wz 5...4براي تابع توليد شكل AA )بررسي كنيدهرگاه . محاسبه كنيد )1,wz مقداري است آنگاه داريم تك( ) ( )1,1, wcwz w∇=. BAA فرض كنيد . لئونتيف بدون جايگزيني توجه كنيد ستاندهبه يك مدل نهاده ـ 5...2

. اكيداً مثبت است bهاي عامل اوليه مولد است و بردار نيازمندي Aماتريس نهاده ( )a 0راي هر نشان دهيد ب≥α طرح توليد

α⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=b

AIy

.كارا است( )b 0است؛ نشان دهيد هر طرح توليد با 1قيمت عامل اوليه مساوي>>α حداكثر كننده

.هاي يكتا استسود در يك بردار قيمت( )c هاي بدست آمده در بند دهيد قيمتنشان( )b تفسيري همانند مقادير عامل اوليه مستقيم يا

. غيرمستقيم موجود در توليد يك واحد از كاالهاي مختلف دارد( )d )فرض كنيد) تمرين دشوارترA راي مدلي است كه اصوالً عدم جايگزيني ب گزارهمتناظر با)در بند Aنشان دهيد هر جزء بردار قيمت از . پذيردجايگزيني را مي )c كمتر يا مساوي جزء متناظر در

.باشدبردار قيمت بدست آمده از هر تكنيك انتخابي ديگري ميBAA :عبارتست از ستاندهماتريس نهاده ـ . ه و نيروي كار وجود دارددو كاالي توليد شد 5...3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

010

αA

.باشدمي kالزم براي توليد يك واحد از كاالي مقدار كاالي kaدر اينجا

( )a فرض كنيد21

=α و بردار ضرائب نيروي كار عبارتست از:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

b

68

و به ( 1مقدار نيروي كار الزم براي توليد يك واحد از كاالي ) 2bو به ترتيب ( 1bكه در آن طور نموداري براي دو كاال را به) توليدهاي ممكن مكان هندسي(مجموعه امكانات توليد . است) 2ترتيب

.باشد 0نشان دهيد اگر كل مقدار دسترسي به نيروي كار ( )b براي مقاديرα وb در بند( )a1هاي تعادلي ، قيمتp 2 وp ) نرمال 1دستمزد را برابر

).فرض كنيد توليد دو كاال مثبت است(را از شرايط حداكثرسازي سود محاسبه كنيد) كنيد( )c براي مقاديرα وb در بند( )aمستقيم يا غيرمستقيم موجود در توليد يك ، نيروي كار

.را محاسبه كنيد 1از كاالي ) يعني مقدار قابل دسترس براي مصرف(واحد خالص ( )d اكنون به . وجود دارد 2فرض كنيد تكنيك دومي براي توليد كاالي

2,01

222

12 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡b

aa

كنيماضافه مي

2,0 221

22

12 =′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

baa

2و نيروي كار الزم براي توليد يك واحد از كاالي 1با توجه به دو تكنيك، مكان هندسي كاالي ).free disposalبا فرض . (طور نموداري نشان دهيدرا به

( )e در چارچوب بند( )d گويد؟ مقدار عدم جايگزيني چه مي گزارهβ را تعيين كنيد كه در آن .هاي بهينه وجود داردتكنيك) تغيير(يك انتقال

BAA :به مدل فعاليت خطي زير توجه كنيد 5...4( )( )( )( )1,0,0,2

1,1,0,00,1,1,00,0,1,1

4

3

2

1

−=−=

−=−=

aaaa

( )a دارد يا زير آيا به مجموعه توليد كل تعلق ستاندهبررسي كنيد هر يك از بردارهاي نهاده ـ :هاي خود را توجيه كنيدتعلق ندارد؟ پاسخ

69

( )( )( )( )( )0,4,3,0

4,0,4,00,0,3,6

1,0,3,52,0,0,6

5

4

3

2

1

−=−=−=

−−=−=

yyyyy

( )b ستاندهبردار نهاده ـ ( )0,5,5,0 −=y اين نتيجه را با يافتن يك . كارا است0>>p اثبات كنيد كه براي آنy ده سود استحداكثر كنن.

( )c ستاندهبردار نهاده ـ ( )0,0,1,1 −=yچرا؟. است اماكارا نيست)ممكن(موجه BAA )اين تمرين بااقتباس از تمريني از( 5...5 )1983MilleronandChampsaurاست (.

لوژي يك بنگاه با هشت فعاليت اوليه تكنو. وجود دارد =4,3,2,1چهار كاال با انديس 8,...,1, =mam مقادير عددي اين هشت فعاليت عبارتند از. شودبيان مي:

( )( )( )( )( )( )( )( )2,5,4,2

10,0,5,85,2,3,40,12,19,11

1,3,13,81,3,2,1

2,3,9,70,4,6,3

8

7

6

5

4

3

2

1

−−=−−=

−−−=−−=−−=

−−−=−−=−−=

aaaaaaaa

ها را انجام داد و تمام فعاليت mα≤0توان با هر سطح غيرمنفي شود هر فعاليتي را ميفرض مي1,0,...,8يعني براي هر ( زمان در هر مقياسي انجام داد طور همتوان بهمي =≥ mmα توليد

∑m mmaα است ) ممكن(موجه.( ( )a مجموعه توليد متناظرY را تعريف كنيد و نشان دهيد محدب است. ( )b ويژگيlunch-efre-no را بررسي كنيد. ( )c بررسي كنيدY ويژگيfree disposal ويژگي . كندرا تامين نميfree disposal بايد

ها را چگونه انتخاب اين فعاليت. كرديممان اضافه ميهاي اوليه جديدي به فهرستشد اگر فعاليتتامين مي ؟)فرض معلوم بودن مقادير عدديبا (كرديد مي

70

( )d 1با مقايسه مستقيمa 5باa ،2a 4باa ،3a 8باa 6وa 7باa نشان دهيد چهار .فعاليت اوليه كارا نيستند

( )e 3با نشان دادن دو تركيب خطي مثبت ازa 7وa 1كه به ترتيب برa 2وa تسلط دارند .ناكارا هستند 2aو 1aد نشان دهي

( )f توانيد مجموعه كاملي از بردارهاي توليد كارا را ارائه كنيد؟آيا مي ( )g از فرض كنيد مقادير چهار كاالي قابل دسترس به عنوان منابع اوليه براي بنگاه عبارتست:

00300480 4321 ==== ssss مند به حداكثر كردن خالص ها براي خالص كاربرد منابع، بنگاه عالقهبا توجه به اين محدوديت

كنيد؟خطي چگونه بيان مي) ريزي(مساله را به عنوان يك برنامه. باشدتوليد سه كاال مي( )h توانيد مساله ايد، آيا ميدارهاي توليد كارا بدست آوردهبا تمام معلوماتي كه درباره مجموعه بر

)سازي در بند بهينه )g صورت نموداري انجام دادتوان بهاين كار را مي: راهنمايي(را حل كنيد؟(.