Chapter2 Pre

7/28/2019 Chapter2 Pre

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T h e M a t h L e s s T r a v e l e d

( w o r k i n g t i t l e )

C h a p t e r 2 : N u m b e r s

d r a f t v e r s i o n 1

J u n e 2 4 , 2 0 0 7

T h i s c h a p t e r t r a c e s t h e c o n c e p t o f n u m b e r f r o m t h e n a t u r a l s t o t h e r e a l s ,

w h i l e m o r e g e n e r a l l y e x p l o r i n g t h e i d e a s o f g e n e r a l i z a t i o n a n d d e d u c t i o n

t h r o u g h t h i s p a r t i c u l a r l e n s .

A l l c o n t e n t c o p y r i g h t

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7 , e x c e p t w h e r e o t h e r w i s e

n o t e d . P e r m i s s i o n i s g r a n t e d t o m a k e d i g i t a l o r p a p e r c o p i e s o f t h i s w o r k

f o r p e r s o n a l o r e d u c a t i o n a l u s e . E x p l i c i t p e r m i s s i o n m u s t b e o b t a i n e d

i n w r i t i n g f o r a n y o t h e r u s e , i n c l u d i n g c o p i e s m a d e o r d i s t r i b u t e d f o r

p r o t o r c o m m e r c i a l a d v a n t a g e .


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Chapter 2

Numbers

W h a t i s a n u m b e r ?

D o e s t h i s q u e s t i o n s e e m s i l l y o r s i m p l i s t i c t o y o u ? I s t h e a n s w e r ` o b v i o u s ' ?

. . . D o n ' t b e s o s u r e . H o w , e x a c t l y , w o u l d y o u e x p l a i n t o s o m e o n e e l s e

w h a t a n u m b e r i s ? P e r h a p s y o u m i g h t s a y t h a t a n u m b e r i s s o m e t h i n g y o u

u s e t o c o u n t . H o w e v e r , t h a t d e n i t i o n b r e a k s d o w n q u i c k l y . W h a t w h a t

a b o u t z e r o ? C a n y o u ` c o u n t ' z e r o t h i n g s ? H o w a b o u t n e g a t i v e n u m b e r s ,

o r

3/4, o r

2? A r e t h o s e n u m b e r s ? W h a t a b o u t ( g a s p )

i?

T h e f a c t i s t h a t t h e r e ' s n o n i c e , n e a t d e n i t i o n w h i c h c a n t e l l u s w h a t

c o u n t s a s a n u m b e r a n d w h a t d o e s n ' t . P a r t l y t h i s i s b e c a u s e d i s a g r e e m e n t s

o v e r t h i s v e r y q u e s t i o n h a v e b e e n h i s t o r i c a l l y c o m m o n a m o n g m a t h e m a t i -

c i a n s . M o r e i m p o r t a n t l y , t h e m o d e r n c o n c e p t o f n u m b e r i s f u n d a m e n t a l l y

b a s e d i n a n a l o g y , r a t h e r t h a n a n a r b i t r a r y s e t o f p r e d e n e d r u l e s . S i m p l y

p u t , s o m e t h i n g i s a n u m b e r i f i t h a s c e r t a i n t h i n g s i n c o m m o n w i t h o t h e r

k i n d s o f n u m b e r s .

1

T h i s m a k e s t h e t o p i c o f n u m b e r s a p e r f e c t p l a c e t o s e e

s o m e o f t h e m o s t i m p o r t a n t p r o c e s s e s i n m a t h e m a t i c s : g e n e r a l i z a t i o n a n d

d e d u c t i o n

. G e n e r a l i z a t i o n ( a l s o k n o w n a s a b s t r a c t i o n

) i s a b o u t e x t r a c t i n g

t h e e s s e n c e o f a n i d e a i n o r d e r t o g a i n a d e e p e r o r b r o a d e r u n d e r s t a n d i n g .

\ W h a t i s t h e u n d e r l y i n g p a t t e r n h e r e ? C a n I c o m e u p w i t h a w a y t o d e -

1

T h i s s e e m s c i r c u l a r , b u t i t i s n ' t , s i n c e w e c a n s t a r t b y a g r e e i n g o n t h e c o u n t i n g

n u m b e r s ( 1 , 2 , 3 . . . ) b e i n g n u m b e r s , n o t b e c a u s e t h e y ' r e l i k e o t h e r s o r t s o f n u m b e r s , b u t j u s t b e c a u s e .

1


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2 C h a p t e r 2 : N u m b e r s

s c r i b e m o r e t h i n g s , o r c o v e r m o r e c a s e s ? " D e d u c t i o n i s a b o u t s t a r t i n g w i t h

a s e t o f p r e m i s e s , a n d f o l l o w i n g t h e m t o t h e i r l o g i c a l c o n c l u s i o n s : \ I f I s t a r t

w i t h t h i s , w h e r e d o e s i t l o g i c a l l y t a k e m e ? "

I n t h i s c h a p t e r w e ' l l t r a c e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e c o n c e p t o f n u m b e r ,

2

s t a r t i n g f r o m t h e v e r y b a s i c s a n d w o r k i n g o u r w a y u p t o a m o r e m o d e r n

c o n c e p t i o n .

A n d b e f o r e y o u c o n c l u d e t h a t t h i s w i l l b e a b o r i n g c h a p t e r t o b e e n d u r e d

s o w e c a n g e t o n t o t h e i n t e r e s t i n g t o p i c s | n u m b e r s h a v e a f u n n y w a y o f

c o n c e a l i n g m u c h m o r e t h a n m e e t s t h e e y e . Y o u m a y t h i n k t h a t y o u a l r e a d y

k n o w e v e r y t h i n g i n t h i s c h a p t e r . . . b u t y o u j u s t m i g h t b e s u r p r i s e d .

3

2.1 Millions of mammoths

W e ' l l s t a r t i n t h e s a m e p l a c e t h a t p r e h i s t o r i c h u n t e r - g a t h e r e r s o c i e t i e s p r o b -

a b l y s t a r t e d w h e n t h e y r s t h i t u p o n t h e i d e a o f c o u n t i n g t h i n g s :

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, . . .

O n e d a y a p r e h i s t o r i c h u n t e r - g a t h e r e r - p e r s o n c a m e t o t h e i n s i g h t f u l r e a l -

i z a t i o n t h a t a h e r d o f s i x m a m m o t h s a n d a p i l e o f s i x r o c k s h a v e s o m e t h i n g

i n c o m m o n | t h e i r ` s i x - n e s s ' | a n d t h e c o n c e p t o f n u m b e r w a s b o r n ! T h i s

s e e m s p a i n f u l l y o b v i o u s t o u s , b u t t h e f a c t i s t h a t t h e r e a r e p r i m i t i v e l a n -

g u a g e s w h i c h d o n ' t h a v e g e n e r a l n u m b e r - w o r d s , b u t u s e d i e r e n t w o r d s f o r

t h i n g s l i k e \ t e n c o c o n u t s " a n d \ t e n b o a t s " ( C o n w a y a n d G u y 1 9 9 6 ) .

A s a n a s i d e , t h o s e p r e h i s t o r i c h u n t e r - g a t h e r e r - p e o p l e p r o b a b l y j u s t t h o u g h t

o f a n y t h i n g m o r e t h a n

10( o r s o ) a s \ a l o t , " b u t t o u s t h e d o t s m e a n

s o m e t h i n g s l i g h t l y d i e r e n t ( w e ' l l s e e w h a t i n a m o m e n t ) .

2

H a v e y o u n o t i c e d t h a t t h e w o r d n u m b e r s t a r t s t o s o u n d r e a l l y w e i r d i f y o u s a y i t a

l o t ? N u m b e r n u m b e r n u m b e r n u m b e r n u m b e r .

3

O r p e r h a p s y o u w o n ' t . I f a f t e r r e a d i n g t h e w h o l e c h a p t e r y o u n d t h a t y o u w e r e n ' t

s u r p r i s e d , f e e l f r e e t o s k i p d i r e c t l y t o t h e n e x t c h a p t e r .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


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A d d i t i o n 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .

W

T h e s e n u m b e r s a r e u s u a l l y c a l l e d w h o l e n u m b e r s , a n d c a n b e r e p r e s e n t e d

b y t h e s y m b o l W . S o m e t i m e s y o u m i g h t a l s o h e a r t h e m c a l l e d c o u n t i n g n u m b e r s . W e c a n d e n e t h e m v e r y s i m p l y i n a w a y t h a t m i m i c s c o u n t i n g :

1 i s a w h o l e n u m b e r ; a n d i f n i s a w h o l e n u m b e r , t h e n s o i s n + 1 . S o t h a t m e a n s 2 i s a w h o l e n u m b e r . A n d i f 2 i s a w h o l e n u m b e r , t h e n s o i s 3 . W h i c h m e a n s t h a t 4 i s a w h o l e n u m b e r . A n d t h e f a c t t h a t 4 i s a w h o l e n u m b e r m e a n s . . . a n d s o o n .

Problem 2.1 ( ) . W h a t i s t h e b i g g e s t w h o l e n u m b e r y o u c a n t h i n k o f ? W r i t e i t h e r e : .

H a h a ! G o o d j o k e , h u h ? Y o u k n o w y o u ' r e a m a t h n e r d i f y o u l a u g h e d .

W h i c h i s n o t h i n g t o b e a s h a m e d o f , b y t h e w a y ! M a t h i s t o t a l l y s w e e t a n d

t h e r e ' s n o u s e p r e t e n d i n g i t i s n ' t . I f y o u d i d n ' t l a u g h , d o n ' t w o r r y , t h e r e ' s

h o p e f o r y o u y e t .

T h e p o i n t , o f c o u r s e , i s t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y w h o l e n u m b e r s |

t h e y k e e p o n g o i n g f o r e v e r .

2.2 Addition

G e t t i n g b a c k t o o u r p r e h i s t o r i c f r i e n d s ,

4

t h e r s t t h i n g t h e y w o u l d h a v e

t h o u g h t t o d o w i t h t h e s e ` w h o l e n u m b e r s ' t h e y i n v e n t e d i s t o a d d t h e m . I f

y o u h a v e e i g h t m a m m o t h c a r c a s s e s , a n d s o m e o n e g i v e s y o u t h r e e m o r e ( a

v e r y t h o u g h t f u l g i f t ! ) , h o w m a n y d o y o u h a v e ?

5

A d d i t i o n h a s s e v e r a l n i c e p r o p e r t i e s w i t h f a n c y n a m e s : i t i s c o m m u t a t i v e

( y o u c a n a d d t w o n u m b e r s i n e i t h e r o r d e r , t h a t i s , a + b a l w a y s e q u a l s b + a ) a n d a s s o c i a t i v e ( i f y o u h a v e t h r e e n u m b e r s t o a d d , i t d o e s n ' t m a t t e r w h i c h

4

L e t ' s c a l l t h e m O g a n d I g .

5

A l o t .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


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t w o y o u a d d r s t ; t h a t i s , (a + b ) + c a l w a y s e q u a l s a + ( b + c) ) . W e ' l l h a v e m o r e t o s a y a b o u t t h e s e p r o p e r t i e s i n C h a p t e r ?? .

Problem 2.2 ( ) . W h a t i s 2 + 3 + 8 + 7 + 6 + 4 + 5 + 9 + 5 + 1 + 23 + 7 ? C a n y o u d o i t i n y o u r h e a d ? F a s t ?

O u r w h o l e n u m b e r s h a v e a n o t h e r n i c e p r o p e r t y . T r y t h i s : p i c k a n y t w o

w h o l e n u m b e r s . G o o n , p i c k t w o ! A n y t w o w h o l e n u m b e r s y o u l i k e . G o t

y o u r n u m b e r s ? O k a y . N o w a d d t h e m t o g e t h e r . N o w , d o y o u h a v e t h e

a n s w e r ? I w a n t y o u t o c o n c e n t r a t e o n t h e a n s w e r v e r y h a r d . H m m . . . l e t ' s

s e e . . . c o n c e n t r a t e a l i t t l e h a r d e r , p l e a s e . . . h m m . . . I t h i n k . . . y e s ,

I ' m p r e t t y s u r e . . . a h a ! I ' l l b e t y o u $ 3 . 1 4 t h a t t h e a n s w e r y o u ' r e t h i n k i n g

o f i s . . . a n o t h e r w h o l e n u m b e r !

6

I ' m r i g h t , a r e n ' t I ? T h a t ' s a g o o d t r i c k

t o t r y o n y o u r f r i e n d s s o m e t i m e .

O K , s e r i o u s l y , t h o u g h , t h e f a c t t h a t y o u a l w a y s g e t a n o t h e r w h o l e n u m b e r

w h e n a d d i n g t w o w h o l e n u m b e r s i s v e r y i m p o r t a n t . T h e m a t h e m a t i c a l w a y

t o s a y t h i s i s t h a t t h e w h o l e n u m b e r s a r e c l o s e d u n d e r a d d i t i o n . T h i s i s

a g r e a t p r o p e r t y f o r a s e t o f n u m b e r s t o h a v e w i t h r e s p e c t t o a p a r t i c u l a r

o p e r a t i o n , b e c a u s e i t m e a n s t h e r e i s o n e l e s s t h i n g t o w o r r y a b o u t ; y o u

c a n n e v e r ` f a l l o t h e e d g e o f t h e w o r l d , ' s o t o s p e a k , w h e n p e r f o r m i n g t h e

o p e r a t i o n .

7

I n f a c t , y o u ' l l s e e t h a t m u c h o f o u r j o u r n e y t h r o u g h d i e r e n t

s o r t s o f n u m b e r s i n t h i s c h a p t e r w i l l b e m o t i v a t e d b y a d e s i r e t o m a k e o u r

s e t o f n u m b e r s c l o s e d o n c e a g a i n a f t e r i n t r o d u c i n g s o m e n e w o p e r a t i o n .

2.3 A section about nothing

O u r w h o l e n u m b e r s a r e g r e a t , b u t t h e y ' r e m i s s i n g s o m e t h i n g . A c t u a l l y ,

m o r e t o t h e p o i n t , t h e y ' r e m i s s i n g n o t h i n g . A n u m b e r t o r e p r e s e n t n o t h i n g ,

t h a t i s . T o t h e r e s c u e c o m e s z e r o ! Z e r o , o f c o u r s e , i s h o w m a n y t h i n g s y o u

h a v e w h e n y o u d o n ' t h a v e a n y t h i n g . I t ' s t h e n u m b e r o f p a g e s o f t h i s b o o k

6

P l e a s e t r y t o c o n t a i n y o u r a m a z e m e n t .

7

T h e d i e r e n c e b e t w e e n h a v i n g a s e t o f n u m b e r s w h i c h i s c l o s e d u n d e r a p a r t i c u l a r

o p e r a t i o n a n d o n e w h i c h i s n ' t i s s o r t o f l i k e t h e d i e r e n c e b e t w e e n r u n n i n g a r o u n d b l i n d -

f o l d e d i n a b i g g r a s s y e l d o r o n t h e e d g e o f t h e G r a n d C a n y o n .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


7/35

M u l t i p l i c a t i o n 5

w h i c h c o n t a i n c o l o r p h o t o g r a p h s o f w e a s e l s . I t ' s h o w m a n y m a m m o t h s

y o u k i l l e d w h e n y o u g o t c h a s e d h o m e b y a s a b e r - t o o t h e d t i g e r a n d n e v e r

e v e n s a w a m a m m o t h .

8

Z e r o i s a l s o t h e i d e n t i t y w i t h r e s p e c t t o a d d i t i o n :

a d d i n g z e r o h a s n o e e c t w h a t s o e v e r . I n o t h e r w o r d s , 0 i s t h e n u m b e r f o r

w h i c h

0 + a = a + 0 = a, ( 2 . 1 )

f o r a n y n u m b e r a .

O u r n e w s e t o f n u m b e r s | w h o l e n u m b e r s a l o n g w i t h z e r o | i s o f t e n c a l l e d

t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r s , r e p r e s e n t e d b y t h e s y m b o l N . 9 I t s h o u l d n ' t b e t o o h a r d t o c o n v i n c e y o u r s e l f t h a t a d d i t i o n o f n a t u r a l n u m b e r s i s s t i l l c o m -

m u t a t i v e a n d a s s o c i a t i v e , a n d t h a t t h e n a t u r a l n u m b e r s a r e c l o s e d u n d e r

a d d i t i o n , j u s t a s t h e w h o l e n u m b e r s w e r e .

1 0

2.4 Multiplication

T h e s e c o n d m o s t o b v i o u s o p e r a t i o n t o p e r f o r m u s i n g n a t u r a l n u m b e r s i s

m u l t i p l i c a t i o n . I f y o u k i l l t h r e e m a m m o t h s a d a y f o r a w h o l e w e e k , h o w

m a n y h a v e y o u k i l l e d ?

1 1

M u l t i p l i c a t i o n i s s i m p l y a s h o r t h a n d f o r r e p e a t e d

a d d i t i o n :

a b = b + b + b + + b a

. ( 2 . 2 )

I n o t h e r w o r d s , a t i m e s b m e a n s t o a d d b t o i t s e l f a t i m e s . 1 2 N o t e t h a t

8

A l t h o u g h i t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t o u r p r e h i s t o r i c f r i e n d s p r o b a b l y d i d n ' t t h i n k

o f i t t h a t w a y ; i t t o o k a w h i l e f o r t h e i d e a o f z e r o a s a n u m b e r t o c a t c h o n .

9

N o t e , h o w e v e r , t h e r e i s n o w i d e s p r e a d a g r e e m e n t o n w h e t h e r N s h o u l d i n c l u d e z e r o o r n o t . S o m e p e o p l e u s e t h e t e r m n a t u r a l n u m b e r s t o r e f e r t o w h a t w e h a v e c a l l e d w h o l e

n u m b e r s . T h e r e ' s n o r i g h t o r w r o n g a n s w e r f o r t h i s p a r t i c u l a r q u e s t i o n ; y o u j u s t h a v e t o

m a k e s u r e y o u a l w a y s k n o w w h i c h d e n i t i o n i s b e i n g u s e d .

1 0

D i d y o u i p t h r o u g h t h e b o o k t o s e e i f t h e r e a r e a n y c o l o r p h o t o g r a p h s o f w e a s e l s ?

Y o u d i d , d i d n ' t y o u ? C o m e o n , d o n ' t y o u t r u s t m e ?

1 1

Y o u g u e s s e d i t | a l o t . Y o u w o u l d a l s o b e v e r y t i r e d .

1 2

A w o r d o n n o t a t i o n : i n e l e m e n t a r y s c h o o l e v e r y o n e l e a r n s t o u s e t h e s y m b o l t o r e p r e s e n t m u l t i p l i c a t i o n ( a b ) , b u t m a t h e m a t i c i a n s i n g e n e r a l p r e f e r t o u s e a c e n t e r e d d o t ( a b ) i n s t e a d , o r m o r e o f t e n s t i l l , n o s y m b o l a t a l l ( ab ) . M a t h e m a t i c i a n s p r o b a b l y u s e

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


8/35


t h i s d e n i t i o n w o r k s e v e n w h e n a = 0 : i n t h a t c a s e , w e a d d t o g e t h e r z e r o c o p i e s o f b , a n d a d d i n g u p n o t h i n g g i v e s u s 0 . L e t ' s e s t a b l i s h a f e w b a s i c p r o p e r t i e s o f m u l t i p l i c a t i o n .

Problem 2.3 ( ) . W h a t i s t h e i d e n t i t y w i t h r e s p e c t t o m u l t i p l i c a t i o n ?

Problem 2.4 ( ) . P r o v e t h a t m u l t i p l i c a t i o n i s c o m m u t a t i v e ( t h a t i s , t h a t a b = b a f o r a n y n a t u r a l n u m b e r s a a n d b ) .

Problem 2.5 ( ) . P r o v e t h a t m u l t i p l i c a t i o n i s a s s o c i a t i v e ( t h a t i s , t h a t (a b ) c = a (b c) f o r a n y n a t u r a l n u m b e r s a, b , a n d c .

Problem 2.6 ( ) . A r e t h e n a t u r a l n u m b e r s c l o s e d u n d e r m u l t i p l i c a t i o n ?

S o f a r , w e s e e t h a t m u l t i p l i c a t i o n h a s a l o t o f t h e s a m e p r o p e r t i e s a s a d -

d i t i o n . T h e r e ' s o n e i m p o r t a n t p r o p e r t y l e f t t h a t h a s t o d o w i t h t h e w a y

m u l t i p l i c a t i o n a n d a d d i t i o n i n t e r a c t , t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y . T h e d i s -

t r i b u t i v e p r o p e r t y s a y s t h a t i f a , b , a n d c a r e n a t u r a l n u m b e r s , t h e n

a (b + c) = a b + a c. ( 2 . 3 ) W e s a y t h a t m u l t i p l i c a t i o n d i s t r i b u t e s o v e r a d d i t i o n .

Problem 2.7 ( ) . P r o v e t h e d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y .

Problem 2.8 ( ) . D o e s a d d i t i o n d i s t r i b u t e o v e r m u l t i p l i c a t i o n ? W h y o r w h y n o t ?

2.5 There is no such thing as subtraction

S a y w h a t ? N o s u c h t h i n g a s s u b t r a c t i o n ? P r e p o s t e r o u s ! E v e r y o n e k n o w s

t h e r e i s t o o s u c h a t h i n g a s s u b t r a c t i o n ; i t ' s t h e o p p o s i t e o f a d d i t i o n . T h a t

i s ,

c b = a

a + b = c. ( 2 . 4 )

a c e n t e r e d d o t o r n o t h i n g b e c a u s e i t i s e a s y t o w r i t e a n d m u l t i p l i c a t i o n i s s u c h a f r e q u e n t

o p e r a t i o n ; e l e m e n t a r y s c h o o l s t u d e n t s a r e p r o b a b l y t a u g h t t o u s e s i n c e i t w o u l d b e t o o e a s y f o r t h e m t o c o n f u s e 2 4 w i t h 2.4 . B u t y o u ' r e b i g e n o u g h t o h a n d l e t h e t r u t h . B y t h e w a y , w h e n i s a b = a.b ?

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


9/35

T h e r e i s n o s u c h t h i n g a s s u b t r a c t i o n 7

F o r e x a m p l e , 7 4 = 3 , s i n c e 3 + 4 = 7 . A s a n o t h e r e x a m p l e , 2 5 =A i e e e e e

e

e

e

e

e

e

e

e

!

O o p s .

O b v i o u s l y , t h e n a t u r a l n u m b e r s a r e n o t c l o s e d u n d e r s u b t r a c t i o n ! W e j u s t

` f e l l o t h e e d g e o f t h e w o r l d ' s i n c e t h e r e ' s n o n a t u r a l n u m b e r n f o r w h i c h n + 5 = 2 . A h , y o u s a y , b u t a l l w e h a v e t o d o i n o r d e r t o x t h i n g s i s i n t r o d u c e n e g a t i v e n u m b e r s . W e l l , y o u ' r e r i g h t | b u t s t o p a n d t h i n k f o r

a m o m e n t a b o u t w h a t a s t r a n g e a n d a b s t r a c t i d e a i t i s t o h a v e n u m b e r s

w h i c h a r e l e s s t h a n z e r o ! W e ' r e s o u s e d t o t h e m t h a t t h e y s e e m n a t u r a l ,

e v e n o b v i o u s . B u t i t h a s n ' t a l w a y s b e e n t h a t w a y | i n f a c t , i t t o o k W e s t e r n

m a t h e m a t i c i a n s q u i t e a l o n g t i m e t o f u l l y a c c e p t t h e i d e a o f n e g a t i v e n u m -

b e r s . I t ' s t r u e t h a t w e c a n c o n n e c t n e g a t i v e n u m b e r s t o t h e ` r e a l w o r l d ' b y

t h i n k i n g o f t h e m a s r e p r e s e n t i n g d e b t s o r l o s s e s , b u t a ` d e b t ' i s s t i l l m u c h

m o r e a b s t r a c t t h a n a p i l e o f r o c k s !

N o w t h a t w e h a v e a p r o p e r a p p r e c i a t i o n o f h o w c r a z y i t i s t o h a v e n e g a t i v e

n u m b e r s , l e t ' s d e n e t h e m . F o r e v e r y n u m b e r

1 3 n , w e ' l l d e n e n e g a t i v e n( w r i t t e n n ) t o b e t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f n . T h a t i s , n i s t h e n u m b e r w h i c h y o u c a n a d d t o n i n o r d e r t o g e t z e r o , t h e a d d i t i v e i d e n t i t y :

n + ( n ) = 0. ( 2 . 5 )

Problem 2.9 ( ) . S h o w t h a t 0 = 0 , a n d 1 = 1 .

Problem 2.10 ( ) . E v e r y o n e k n o w s t h a t 5 + ( 3) = 2 . C a n y o u p r o v e i t u s i n g e q u a t i o n ( 2 . 5 ) ?

Problem 2.11 ( ) . W e k n o w t h a t 7 i s t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f 7 . W h a t i s t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f 7 ? C a n y o u p r o v e i t ?

Problem 2.12 ( ) . W h a t i s 2 5 ? C a n y o u p r o v e i t ?

N o w t h a t w e h a v e d e n e d n e g a t i v e n u m b e r s , n o t i c e t h a t w e c a n d o a w a y

w i t h s u b t r a c t i o n , s i n c e s u b t r a c t i n g n i s t h e s a m e a s a d d i n g ( n ) :

a b = a + ( b ). ( 2 . 6 ) 1 3

N o t i c e t h a t I ' m i n t e n t i o n a l l y v a g u e a b o u t w h a t s o r t s o f n u m b e r s t h i s d e n i t i o n a p p l i e s

t o : t h a t ' s b e c a u s e w e w a n t t h i s d e n i t i o n t o a p p l y t o a l l k i n d s o f n u m b e r s , e v e n t h e k i n d s

w e h a v e n ' t t a l k e d a b o u t y e t .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


10/35


T h i s i s w h a t I m e a n t w h e n I s a i d t h e r e ' s \ n o s u c h t h i n g a s s u b t r a c t i o n . "

O f c o u r s e I d i d n ' t r e a l l y m e a n i t l i t e r a l l y . A l l I m e a n t i s t h a t o n c e w e h a v e

n e g a t i v e n u m b e r s , w e c a n d e n e s u b t r a c t i o n i n t e r m s o f a d d i t i o n , s o t h a t

s u b t r a c t i o n i s j u s t a s h o r t h a n d f o r a c e r t a i n k i n d o f a d d i t i o n r a t h e r t h a n

b e i n g a c o m p l e t e l y n e w o p e r a t i o n i n a n d o f i t s e l f . S o m e t i m e s i t c a n b e

h e l p f u l t o t h i n k o f s u b t r a c t i o n i n t h i s w a y , a s a d d i t i o n i n d i s g u i s e . U s u a l l y ,

t h o u g h , n o o n e g e t s t o o c o n f u s e d b y s u b t r a c t i o n , s o i t ' s n o t r e a l l y t h a t b i g

o f a d e a l . H o w e v e r , p e o p l e d o t e n d t o g e t c o n f u s e d b y d i v i s i o n ; w e ' l l s e e i n

a m i n u t e t h a t t h e r e ' s n o s u c h t h i n g a s d i v i s i o n , e i t h e r , w h i c h i s m u c h m o r e

h e l p f u l .

O u r n e w s e t o f n u m b e r s | n e g a t i v e n u m b e r s , z e r o ,

1 4

a n d p o s i t i v e n u m b e r s |

i s c a l l e d t h e s e t o f i n t e g e r s , w h i c h c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e s y m b o l Z . 1 5

0 1 2 3 4 5 . . . 1 2 3 4 5. . .

Z

2.6 Theres no such thing as division, eitherA r e y o u c o n f u s e d b y d i v i s i o n ? N e v e r f e a r , i t d o e s n ' t e x i s t ! T h i s t i m e y o u

p r o b a b l y h a v e a m u c h b e t t e r i d e a o f w h e r e w e ' r e g o i n g w i t h t h i s . J u s t a s

s u b t r a c t i o n c a n b e s e e n a s a d d i n g a d d i t i v e i n v e r s e s . . .

Problem 2.13 ( ) . C o m p l e t e t h e a b o v e s e n t e n c e .

D i v i s i o n i s t h e ` o p p o s i t e ' o f m u l t i p l i c a t i o n i n e x a c t l y t h e s a m e w a y t h a t

s u b t r a c t i o n i s t h e o p p o s i t e o f a d d i t i o n :

c/b = a

a b = c. ( 2 . 7 ) 1 4

N o t e t h a t z e r o i s c o n s i d e r e d t o b e n e i t h e r p o s i t i v e n o r n e g a t i v e . H e n c e s a y i n g \ a l l

p o s i t i v e n u m b e r s " i s s l i g h t l y d i e r e n t t h a n s a y i n g \ a l l n o n n e g a t i v e n u m b e r s . " T h e l a t t e r

i n c l u d e s z e r o , b u t t h e f o r m e r d o e s n o t .

1 5

T h a t ' s r i g h t , Z , n o t I . I t s t a n d s f o r Z a h l e n ( o r p e r h a p s Z a h l e n ) , w h i c h i s G e r m a n f o r n u m b e r s . P e o p l e w h o s p e a k E n g l i s h a r e n ' t t h e o n l y o n e s w h o d o m a t h , y o u k n o w .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


11/35

T h e r e ' s n o s u c h t h i n g a s d i v i s i o n , e i t h e r 9

S o , f o r e x a m p l e , 21/7 = 3 s i n c e 3

7 = 21 . A s a n o t h e r e x a m p l e , 22/11 =

2 s i n c e 2 11 = 22 . 1 6

A n d a s a n a l e x a m p l e , 13/6 = A i e e e e e e e e e

e

e

e

e

!

N o t a g a i n !

I t s h o u l d b e c l e a r b y n o w ( i f y o u d i d n ' t a l r e a d y s e e t h i s o n e c o m i n g ) t h a t

t h e i n t e g e r s a r e n o t c l o s e d u n d e r d i v i s i o n , s i n c e , f o r e x a m p l e , t h e r e i s n o

i n t e g e r w h i c h c a n b e m u l t i p l i e d b y 6 t o g e t 13 . W e ' l l j u s t h a v e t o x t h i n g s u p b y o n c e m o r e e x t e n d i n g o u r i d e a o f w h a t c o u n t s a s a n u m b e r . W e ' l l s t a r t

i n m u c h t h e s a m e w a y t h a t w e d i d w h e n w e i n t r o d u c e d n e g a t i v e n u m b e r s .

F o r a n y i n t e g e r q , w e c a n d e n e t h e r e c i p r o c a l o f q , w r i t t e n 1/q , a s t h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f q | t h a t i s , 1/q i s t h e n u m b e r f o r w h i c h

q 1/q = 1. ( 2 . 8 )

Problem 2.14 ( ) . T h e r e i s o n e s m a l l p r o b l e m w i t h t h e a b o v e d e n i t i o n . C a n y o u s p o t i t ?

Y o u g o t i t , w e c a n ' t q u i t e d o t h i s f o r a n y i n t e g e r q . I n p a r t i c u l a r :

Problem 2.15 ( ) . E x p l a i n w h y d e n i n g 1/0 a c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n g i v e n a b o v e d o e s n ' t m a k e a n y s e n s e .

O K , s o w e c a n d e n e 1/q f o r a n y i n t e g e r q e x c e p t z e r o . Z e r o i s j u s t s p e c i a l l i k e t h a t .

1 7

I t ' s e a s y t o s e e n o w t h a t w e c a n t h i n k o f d i v i s i o n a s a c e r t a i n k i n d o f m u l -

t i p l i c a t i o n , j u s t a s w e t h o u g h t o f s u b t r a c t i o n a s a c e r t a i n k i n d o f a d d i t i o n .

I n p a r t i c u l a r , d i v i d i n g i s t h e s a m e a s m u l t i p l y i n g b y a r e c i p r o c a l :

a b = a 1/b ( 2 . 9 ) I t ' s o f t e n m u c h e a s i e r t o t h i n k o f d i v i s i o n t h i s w a y , i n t e r m s o f m u l t i p l i c a t i o n

b y a r e c i p r o c a l , e s p e c i a l l y w h e n d e a l i n g w i t h f r a c t i o n s .

1 6

T h e a s t u t e r e a d e r m i g h t n o t e t h a t w e n e v e r a c t u a l l y d e n e d w h a t i t m e a n s t o m u l t i p l y

w i t h n e g a t i v e n u m b e r s . B u t a c t u a l l y , w e h a v e : i t ' s p o s s i b l e t o l o g i c a l l y d e d u c e w h a t i t

m u s t m e a n t o m u l t i p l y n e g a t i v e n u m b e r s u s i n g o n l y t h i n g s w e h a v e d e n e d a n d p r o v e d

s o f a r ; s e e P r o b l e m 2 . 3 6 .

1 7

L e t ' s j u s t p u t i t t h i s w a y , y o u w o u l d n ' t w a n t t o m e e t z e r o i n a d a r k a l l e y .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


12/35


13/35

R a t i o n a l n u m b e r s 1 1

Problem 2.20 ( ) . L e t r e p r e s e n t a s m a l l p o s i t i v e n u m b e r . S h o w t h a t n o m a t t e r h o w s m a l l i s , y o u c a n a l w a y s n d a r a t i o n a l n u m b e r p/q < . 1 9

I n o t h e r w o r d s , y o u c a n ` z o o m i n ' t o w a r d s z e r o a s f a r a s y o u w a n t a n d y o u

w i l l a l w a y s n d s m a l l e r a n d s m a l l e r r a t i o n a l n u m b e r s n o m a t t e r h o w c l o s e

y o u g e t . B u t t h a t ' s n o t t h e e n d o f t h e s t o r y ; a s i t t u r n s o u t , t h e r e ' s n o t h i n g

p a r t i c u l a r l y s p e c i a l a b o u t z e r o h e r e a t a l l :

Problem 2.21 ( ) . G i v e n a n y n u m b e r x a n d a n y s m a l l p o s i t i v e n u m b e r , s h o w t h a t y o u c a n a l w a y s n d a r a t i o n a l n u m b e r

p/qw h i c h i s w i t h i n

a d i s t a n c e o f f r o m x ( t h a t i s , |x p/q | < ) .

T h i s i s p r e t t y w i l d ! W h a t t h i s m e a n s i s t h a t y o u c a n t h r o w a d a r t a t

t h e n u m b e r l i n e w h i l e b l i n d f o l d e d , t h e n l o o k a t t h e p l a c e w h e r e t h e d a r t

h i t w i t h a s p o w e r f u l o f a m i c r o s c o p e a s y o u w a n t ,

2 0

a n d y o u ' l l n d s o m e

r a t i o n a l n u m b e r s . T h e r e a r e r a t i o n a l n u m b e r s e v e r y w h e r e ! T h e m a t h t e r m

f o r t h i s i s t h a t t h e r a t i o n a l n u m b e r s a r e d e n s e . H e r e ' s a n i l l u s t r a t i o n t o

h e l p s h o w w h a t ' s g o i n g o n :

50 21 3 4 5 4 3 2 1

1/3 14/33 16/33 2/36/11 20/33

17/33 19/33 7/114/11 13/33 5/11

3799

70187

6311683

6321683

211561

1 9

T h a t ' s a l o w e r c a s e e p s i l o n , b y t h e w a y , w h i c h i s t h e f t h l e t t e r i n t h e G r e e k a l p h a b e t .

2 0

O r a s p o w e r f u l a s y o u c a n a o r d ; a g o o d s c a n n i n g e l e c t r o n m i c r o s c o p e c a n c o s t a f e w

h u n d r e d t h o u s a n d d o l l a r s .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


14/35

1 2 C h a p t e r 2 : N u m b e r s

2.8 Exponentiation: repeating repeatedly

W h e n w e r s t d e n e d m u l t i p l i c a t i o n i n s e c t i o n 2 . 4 W e s a w p r o c e s s o f g e n -

e r a l i z i n g a d d i t i o n t o m u l t i p l i c a t i o n , a l t h o u g h i t q u i c k l y g o t a w a y f r o m i t s

o r i g i n a l d e n i t i o n a s r e p e a t e d a d d i t i o n ( e . g . 5 / 6 * 5 / 7 = 2 5 / 4 2 ? N o t h i n g

\ r e p e a t e d " h e r e . . . ) . N o w w e ' l l d e n e e x p o n e n t i a t i o n a s r e p e a t e d m u l t . a n d

s e e w h e r e t h e l o g i c t a k e s u s . ]

I f x i s a n u m b e r a n d a i s a p o s i t i v e i n t e g e r , w e c a n d e n e

xa = x x x x a

. ( 2 . 1 1 )

P r e t t y s i m p l e , r i g h t ? T h e w e i r d n e s s s t a r t s ( a s a n y o n e w h o h a s h a d e x p e -

r i e n c e w i t h e x p o n e n t s k n o w s ) w h e n w e t r y t o d e n e w h a t e x p o n e n t i a t i o n

m e a n s w h e n t h e e x p o n e n t i s s o m e t h i n g o t h e r t h a n a p o s i t i v e i n t e g e r . B u t

a s w e ' l l s e e , t h e r e a r e g o o d w a y s t o d e n e e x p o n e n t i a t i o n i n t h e s e c a s e s

t h a t m a k e a l o t o f s e n s e o n c e y o u u n d e r s t a n d t h e r e a s o n s b e h i n d t h e m .

W e ' l l s t a r t b y p r o v i n g s o m e p r o p e r t i e s o f e x p o n e n t i a t i o n f o r p o s i t i v e i n t e -

g e r e x p o n e n t s , a n d t h e n s e e h o w t o e x t e n d t h e d e n i t i o n o f e x p o n e n t i a t i o n

t o o t h e r s o r t s o f e x p o n e n t s s o t h a t o u r n i c e p r o p e r t i e s s t i l l w o r k . R e a d y ?

Problem 2.22 ( ) . S h o w t h a t t o m u l t i p l y t w o e x p r e s s i o n s t h a t h a v e t h e s a m e b a s e t o d i e r e n t p o w e r s , y o u a d d t h e e x p o n e n t s . T h a t i s , s h o w t h a t i f

a a n d b a r e p o s i t i v e i n t e g e r s , a n d x i s a n y n u m b e r ,

xa xb = xa+ b . ( 2 . 1 2 )

Problem 2.23 ( ) . S h o w t h a t i f a a n d b a r e p o s i t i v e i n t e g e r s , w i t h a > b , a n d x i s a n y n u m b e r o t h e r t h a n z e r o , 2 1

xa

xb = xa b

.( 2 . 1 3 )

Problem 2.24 ( ) . S h o w t h a t i f a a n d b a r e p o s i t i v e i n t e g e r s ,

(xa )b = xab . ( 2 . 1 4 )

2 1

B y t h e w a y , w h y c a n ' t w e h a v e x = 0 h e r e ?

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


15/35

E x p o n e n t i a t i o n : r e p e a t i n g r e p e a t e d l y 1 3

O K , n o w w e u n d e r s t a n d h o w t o d o c e r t a i n m a n i p u l a t i o n s w i t h p o s i t i v e

i n t e g e r e x p o n e n t s . B u t w h a t o n e a r t h d o e s s o m e t h i n g l i k e t h i s m e a n :

1634

?

I k n o w w h a t y o u ' r e t h i n k i n g : i t m e a n s w e s h o u l d r u n a w a y . B u t w a i t ,

c o m e b a c k ! T h i s i s n o t i m e t o b e a s m a r t - a l e c k . . . . A c t u a l l y , I t a k e

t h a t b a c k . T h i s i s a n e x c e l l e n t t i m e t o b e a s m a r t - a l e c k . A m a t h e m a t i c a l

s m a r t - a l e c k w o u l d t a k e o n e l o o k a t e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) a n d s a y , \ a > b , h u h ? W h a t h a p p e n s i f I m a k e a b ? " T h i s i s e x a c t l y t h e k i n d o f c o m m e n t t h a t w o n ' t g e t y o u v e r y f a r w i t h y o u r t e a c h e r , b u t w i l l g e t y o u q u i t e f a r i n d e e d

i n m a t h e m a t i c s !

2 2

G r e a t m a t h e m a t i c i a n s a s k t h i s s o r t o f q u e s t i o n a l l t h e

t i m e . \ W h a t h a p p e n s i f I b r e a k t h e r u l e s ? W h e n c a n I g e t a w a y w i t h i t ?

H o w c a n I c h a n g e t h e d e n i t i o n s o i t d o e s n ' t n e e d a s m a n y r u l e s ? " T h e

w o r s t t h a t c a n h a p p e n i f y o u b r e a k t h e r u l e s i s t h a t i t d o e s n ' t w o r k | a n d

e v e n i n t h a t c a s e , y o u m i g h t a t l e a s t g a i n a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f w h y

t h e r u l e s a r e n e c e s s a r y !

S o , l e t ' s b r e a k t h e r u l e s . E q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) s a y s y o u c a n o n l y u s e i t w h e n

a > b . B u t i f a b w e m i g h t h a v e s o m e t h i n g l i k e t h i s :

x2x5

.

A p p l y i n g e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) ( e v e n t h o u g h t h e r u l e s s a y w e c a n ' t ! ) , t h i s s h o u l d

b e e q u a l t o x2 5 = x 3 . W h a t c o u l d b e s i m p l e r ?

\ W a i t j u s t o n e m i n u t e ! x t o t h e n e g a t i v e t h r e e ! ? " ( y o u m i g h t b e t h i n k - i n g ) . \ S e e , t h i s i s w h y w e s h o u l d n ' t b r e a k t h e r u l e s , b e c a u s e w e g e t h o r r i -

b l e t h i n g s t h a t d o n ' t m a k e a n y s e n s e ! W e o n l y k n o w w h a t e x p o n e n t i a t i o n

m e a n s w h e n t h e e x p o n e n t i s a p o s i t i v e i n t e g e r . H o w o n e a r t h c a n y o u m u l t i -

p l y s o m e t h i n g b y i t s e l f n e g a t i v e t h r e e t i m e s ? " W e l l , y o u h a v e a p o i n t | b u t

h a n g o n j u s t a m i n u t e . I n s t e a d o f l o o k i n g a t t h i s a s a h o r r i b l e f a i l u r e , t r y

t o s e e i t a s a g o l d e n o p p o r t u n i t y . S i n c e w e d o n ' t k n o w w h a t x 3 m e a n s , w e a r e f r e e t o d e n e i t h o w e v e r w e l i k e . B u t o f c o u r s e m o s t d e n i t i o n s

w o u l d b e s i l l y . F o r e x a m p l e , w e w o u l d b e ` f r e e ' t o d e n e x 3 = , b u t t h a t

2 2

D o n ' t t e l l y o u r t e a c h e r I s a i d t h a t .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


16/35


w o u l d n ' t b e v e r y h e l p f u l . T h e g o l d e n o p p o r t u n i t y i s t o d e n e x 3 ( a n d n e g a t i v e e x p o n e n t s i n g e n e r a l ) i n s u c h a w a y t h a t o u r d e n i t i o n t s n e a t l y

w i t h t h e p r o p e r t i e s w e ' v e a l r e a d y e s t a b l i s h e d f o r p o s i t i v e e x p o n e n t s .

Problem 2.25 ( ) . L e t a b e a p o s i t i v e i n t e g e r . W e a l r e a d y k n o w w h a t xa m e a n s . H o w s h o u l d w e d e n e x a s o t h a t i t t s n e a t l y w i t h t h e e x p o n e n t p r o p e r t i e s w e ' v e a l r e a d y p r o v e n ?

N o w w e k n o w w h a t t o d o w i t h e x p o n e n t s t h a t a r e p o s i t i v e i n t e g e r s o r

n e g a t i v e i n t e g e r s . B u t w h a t a b o u t z e r o ?

Problem 2.26( ) . L e t

xb e a n y n u m b e r o t h e r t h a n z e r o . W h a t s h o u l d

x0

b e d e n e d a s ? W h y ?

A s a n e x e r c i s e , y o u c a n c h e c k t h a t w i t h o u r n e w d e n i t i o n s o f e x p o n e n -

t i a t i o n b y z e r o a n d n e g a t i v e i n t e g e r s , e q u a t i o n s ( 2 . 1 2 ) a n d ( 2 . 1 4 ) a r e n o w

t r u e f o r a n y i n t e g e r e x p o n e n t s , n o t j u s t w h o l e n u m b e r s .

T h a t w a s n ' t t o o h a r d , w a s i t ? N o w l e t ' s t a c k l e r a t i o n a l e x p o n e n t s .

Problem 2.27 ( ) . I f w e w a n t t o d e n e e x p o n e n t i a t i o n f o r a n y r a t i o n a l e x p o n e n t , i t i s e n o u g h t o d e n e e x p o n e n t i a t i o n f o r e x p o n e n t s o f t h e

f o r m 1q , w h e r e q i s a p o s i t i v e i n t e g e r ( a s s u m i n g w e w a n t o u r d e n i t i o n o f r a t i o n a l e x p o n e n t i a t i o n t o p l a y n i c e l y w i t h o u r o t h e r e x p o n e n t i a t i o n

f a c t s ) . W h y ?

Problem 2.28 ( ) . L e t x b e a n y n u m b e r , a n d l e t q b e a p o s i t i v e i n t e g e r . H o w s h o u l d w e d e n e x1/q ? W h y ?

N o w w e ' r e n a l l y r e a d y t o p u t a l l o f t h i s t o g e t h e r !

Problem 2.29 ( ) . W h a t i s t h e v a l u e o f t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s ?

( a ) 1634

( b ) x 1 y32

3 x10 y5

35

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


17/35

A d i v e r s i o n ( r e p e t i t i v e l y r e p e a t i n g r e p e a t e d l y ) 1 5

2.9 A diversion (repetitively repeating repeatedly)

S o , m u l t i p l i c a t i o n i s r e p e a t e d a d d i t i o n ; e x p o n e n t i a t i o n i s r e p e a t e d m u l t i -

p l i c a t i o n ; t h e o b v i o u s n e x t s t e p w o u l d b e . . . r e p e a t e d e x p o n e n t i a t i o n !

R e p e a t e d e x p o n e n t i a t i o n h a s i n f a c t b e e n s t u d i e d ; s o m e t i m e s a r r o w n o t a -

t i o n i s u s e d :

x n = xx. .

.x

n

. ( 2 . 1 5 )

I n o t h e r w o r d s , x n r e p r e s e n t s a p o w e r t o w e r 2 3 o f n c o p i e s o f x . ( K e e p i n m i n d t h a t b y c o n v e n t i o n , s t a c k e d e x p o n e n t s s h o u l d b e e v a l u a t e d f r o m

t o p t o b o t t o m , n o t b o t t o m t o t o p . T h i s m a k e s a b i g d i e r e n c e , s i n c e , f o r

e x a m p l e , i f w e i n c o r r e c t l y e v a l u a t e 2 4 = 222 2

f r o m b o t t o m t o t o p w e

g e t 222 2

= 422

= 162 = 256 , b u t e v a l u a t i n g f r o m t o p t o b o t t o m w e g e t t h e c o r r e c t a n s w e r , 22

2 2

= 224

= 216 = 65536 . ) T h i s i s n o t r e a l l y a v e r y u s e f u l o p e r a t i o n i n g e n e r a l . B u t w h o c a r e s ? I t ' s f u n . L e t ' s d e n e t h e

s u p e r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a s f o l l o w s , f o r n 1 :

S( n ) = n n. ( 2 . 1 6 ) I n o t h e r w o r d s , n s u p e r e x p o n e n t i a l i s n t o t h e n t o t h e n t o t h e . . . a n d s o o n , r e p e a t e d n t i m e s .

Problem 2.30 ( ) . F i n d t h e v a l u e s o f S( 1), S( 2) , a n d S( 3) .

S u r p r i s e d ? W e l l , n o w l e t ' s t r y t o e v a l u a t e S( 4) . W e h a v e

S( 4) = 444 4

= 44256

.

W e c a n e v a l u a t e 4256 o n a n y g r a p h i n g c a l c u l a t o r 2 4 t o n d t h a t i t ' s a p p r o x i - m a t e l y e q u a l t o

1.34078079299 10154

, w h i c h m e a n s t h a t i t h a s

155d i g i t s .

L e t ' s c a l l t h i s n u m b e r B ( f o r B i g ) . C o m p u t e r s o f t w a r e ( e . g . o r J ) c a n b e

2 3

P o w e r T o w e r w o u l d b e a g r e a t n a m e f o r a m a t h e m a t i c a l r o c k b a n d .

2 4

O r G o o g l e c a l c u l a t o r , f o r t h a t m a t t e r . T r y g o i n g t o google.com a n d t y p i n g 4 256i n t o t h e s e a r c h b o x . ( Y o u s h o u l d a l s o t r y t y p i n g \ t h e a n s w e r t o l i f e , t h e u n i v e r s e , a n d

e v e r y t i n g " . )

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


18/35


u s e d t o n d t h e v a l u e o f B e x a c t l y :

B = 134078079299425970995740249982058461274793658205923933777

235614437217640300735469768018742981669034276900318581864

86050853753882811946569946433649006084096.

A n d u s i n g a n o n l i n e n u m b e r s - t o - w o r d s c o n v e r t e r ( F o r t y t w o 2 0 0 5 ) , w e c a n

e x p r e s s t h i s n u m b e r i n E n g l i s h j u s t f o r f u n :

B = t h i r t e e n q u i n q u a g i n t i l l i o n f o u r h u n d r e d s e v e n n o v e m q u a r d r a g i n t i l l i o n e i g h t h u n d r e d s e v e n o c t o -

q u a r d r a g i n t i l l i o n n i n e h u n d r e d t w e n t y n i n e s e p t q u a r d r a g i n t i l l i o n n i n e h u n d r e d f o r t y t w o s e x q u a r d r a g -

i n t i l l i o n v e h u n d r e d n i n e t y s e v e n q u i n q u a r d r a g i n t i l l i o n n i n e t y n i n e q u a t t u o r q u a r d r a g i n t i l l i o n v e h u n -

d r e d s e v e n t y f o u r t r e q u a r d r a g i n t i l l i o n t w e n t y f o u r d u o q u a r d r a g i n t i l l i o n n i n e h u n d r e d n i n e t y e i g h t u n -

q u a r d r a g i n t i l l i o n t w o h u n d r e d v e q u a r d r a g i n t i l l i o n e i g h t h u n d r e d f o r t y s i x n o v e m t r i g i n t i l l i o n o n e h u n -

d r e d t w e n t y s e v e n o c t o t r i g i n t i l l i o n f o u r h u n d r e d s e v e n t y n i n e s e p t t r i g i n t i l l i o n t h r e e h u n d r e d s i x t y v e

s e x t r i g i n t i l l i o n e i g h t h u n d r e d t w e n t y q u i n t r i g i n t i l l i o n v e h u n d r e d n i n e t y t w o q u a t t u o r t r i g i n t i l l i o n t h r e e

h u n d r e d n i n e t y t h r e e t r e t r i g i n t i l l i o n t h r e e h u n d r e d s e v e n t y s e v e n d u o t r i g i n t i l l i o n s e v e n h u n d r e d t w e n t y

t h r e e u n t r i g i n t i l l i o n v e h u n d r e d s i x t y o n e t r i g i n t i l l i o n f o u r h u n d r e d f o r t y t h r e e n o v e m v i g i n t i l l i o n s e v e n

h u n d r e d t w e n t y o n e o c t o v i g i n t i l l i o n s e v e n h u n d r e d s i x t y f o u r s e p t v i g i n t i l l i o n t h i r t y s e x v i g i n t i l l i o n s e v -

e n t y t h r e e q u i n v i g i n t i l l i o n v e h u n d r e d f o r t y s i x q u a t t u o r v i g i n t i l l i o n n i n e h u n d r e d s e v e n t y s i x t r e v i g i n -

t i l l i o n e i g h t h u n d r e d o n e d u o v i g i n t i l l i o n e i g h t h u n d r e d s e v e n t y f o u r u n v i g i n t i l l i o n t w o h u n d r e d n i n e t y

e i g h t v i g i n t i l l i o n o n e h u n d r e d s i x t y s i x n o v e m d e c i l l i o n n i n e h u n d r e d t h r e e o c t o d e c i l l i o n f o u r h u n d r e d

t w e n t y s e v e n s e p t d e c i l l i o n s i x h u n d r e d n i n e t y s e x d e c i l l i o n t h i r t y o n e q u i n d e c i l l i o n e i g h t h u n d r e d f t y

e i g h t q u a t t u o r d e c i l l i o n o n e h u n d r e d e i g h t y s i x t r e d e c i l l i o n f o u r h u n d r e d e i g h t y s i x d u o d e c i l l i o n f t y

u n d e c i l l i o n e i g h t h u n d r e d f t y t h r e e d e c i l l i o n s e v e n h u n d r e d f t y t h r e e n o n i l l i o n e i g h t h u n d r e d e i g h t y

t w o o c t i l l i o n e i g h t h u n d r e d e l e v e n s e p t i l l i o n n i n e h u n d r e d f o r t y s i x s e x i l l i o n v e h u n d r e d s i x t y n i n e

q u i n t i l l i o n n i n e h u n d r e d f o r t y s i x q u a d r i l l i o n f o u r h u n d r e d t h i r t y t h r e e t r i l l i o n s i x h u n d r e d f o r t y n i n e

b i l l i o n s i x m i l l i o n e i g h t y f o u r t h o u s a n d n i n e t y s i x .

W o a h .

B u t w a i t | w e ' r e n o t d o n e y e t ! S( 4) i s n ' t B , i t ' s 4B . T h a t i s ,

S( 4) = 41.34078079299 10154

.

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


19/35

I r r a t i o n a l n u m b e r s 1 7

I n o t h e r w o r d s , t o g e t S( 4) , t a k e t h e n u m b e r 4 a n d m u l t i p l y i t b y i t s e l f a b o u t t h i r t e e n q u i n q u a g i n t i l l i o n

2 5

t i m e s . T h i s i s a n i n c r e d i b l y , r i d i c u l o u s l y ,

f a n t a s t i c a l l y , m o n s t r o u s l y l a r g e n u m b e r . T o g i v e a b i t o f p e r s p e c t i v e , t h e

n u m b e r o f a t o m s i n t h e e n t i r e u n i v e r s e i s c u r r e n t l y e s t i m a t e d a t s o m e w h e r e

a r o u n d 1078 | t h a t i s , a o n e w i t h 78 z e r o s a f t e r i t . S( 4) , b y c o n t r a s t , h a s a b o u t l o g S( 4) = 4256 l o g 4 8.07230473 10153 d i g i t s . T h i s m e a n s t h a t i f y o u c o u l d s o m e h o w w r i t e a d i g i t o n e v e r y s i n g l e a t o m i n t h e e n t i r e u n i -

v e r s e ,

2 6

y o u w o u l d n o t h a v e a n y w h e r e n e a r e n o u g h a t o m s t o e v e n w r i t e

d o w n S( 4) ! I n f a c t , y o u w o u l d n e e d a b o u t 1076 ( t h a t i s , t e n q u a t t u o r v i g - i n t i l l i o n , o r t e n t h o u s a n d t r i l l i o n t r i l l i o n t r i l l i o n t r i l l i o n t r i l l i o n t r i l l i o n )

u n i v e r s e s i n o r d e r t o h a v e e n o u g h a t o m s .

B e f o r e y o u g e t t o o e x c i t e d , t h o u g h , k e e p i n m i n d t h a t S( 4) i s a c t u a l l y a v e r y s m a l l n u m b e r , i n t h e s e n s e t h a t m o s t n u m b e r s a r e b i g g e r t h a n i t . F o r

e x a m p l e , S( 5) i s a L O T b i g g e r t h a n S( 4) . S o i s S( 100) . A n d S(S( 4)) . A n d l e t ' s n o t f o r g e t t h e h y p e r m e g a e x p o n e n t i a l f u n c t i o n HME( x) , w h i c h i s d e n e d i n t e r m s o f r e p e a t e d s u p e r e x p o n e n t i a t i o n , a n d t h e u l t r a h y p e r m e g a -

e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , a n d . . .

D o n ' t h u r t y o u r b r a i n .

2.10 Irrational numbers

R e m e m b e r h o w y o u p r o v e d i n P r o b l e m 2 . 2 1 t h a t t h e r a t i o n a l n u m b e r s a r e

d e n s e | t h a t n o m a t t e r h o w f a r y o u z o o m i n , y o u c a n a l w a y s n d m o r e

r a t i o n a l n u m b e r s h i d i n g i n e v e r y n o o k a n d c r a n n y ? T h i s s e e m s l i k e p r e t t y

g o o d e v i d e n c e t h a t a n y q u a n t i t y c a n b e e x p r e s s e d a s a r a t i o n a l n u m b e r

p/q . T h e a n c i e n t G r e e k s b e l i e v e d t h i s t o b e t r u e ; y o u m i g h t h a v e t o m a k e

pa n d

qr e a l l y b i g i n o r d e r f o r

p/qt o b e e q u a l t o y o u r f a v o r i t e n u m b e r

x( t h e t h i n k i n g w e n t ) , b u t e v e n t u a l l y y o u w i l l n d v a l u e s f o r p a n d q t h a t w o r k .

2 5

Q u i n q u a g i n t i l l i o n i s a g r e a t n u m b e r t o i m p r e s s y o u r f r i e n d s w i t h . M a k e s u r e t h e y ' r e

t h e r i g h t s o r t o f f r i e n d s , t h o u g h .

2 6

A d u b i o u s p r o p o s i t i o n .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


20/35


S e e m s r e a s o n a b l e , d o e s n ' t i t ? T h e r e a r e a l w a y s m o r e a n d m o r e r a t i o n a l s

n o m a t t e r h o w f a r y o u z o o m i n a n y w h e r e o n t h e n u m b e r l i n e . T h e r e a r e

r a t i o n a l s e v e r y w h e r e ! T h e y ' r e l i k e m o s q u i t o s i n a s w a m p . S o t h e i d e a t h a t

e v e r y n u m b e r i s r a t i o n a l s e e m s v e r y r e a s o n a b l e i n d e e d . T h e r e ' s o n l y o n e

t e e n s y l i t t l e p r o b l e m : i t ' s w r o n g .

I t t u r n s o u t t h a t t h e r e a r e t r i c k s y n u m b e r s ( c a l l e d i r r a t i o n a l s ) t h a t c a n

n e v e r b e r e p r e s e n t e d a s a r a t i o n a l n u m b e r p/q . N o m a t t e r h o w f a r y o u z o o m i n | n o m a t t e r h o w n e y o u m a k e y o u r r a t i o n a l n e t i n a n a t t e m p t

t o c a t c h a n i r r a t i o n a l n u m b e r | t h e s e e l u s i v e c r e a t u r e s w i l l k e e p s l i p p i n g

t h r o u g h t h e c r a c k s . L e t ' s s e e i f w e c a n c a t c h o n e w i t h a n e t m a d e o f p r o o f

i n s t e a d o f r a t i o n a l s .

2 7

L e g e n d h a s i t t h a t a G r e e k m a t h e m a t i c i a n n a m e d H i p p a s u s m a d e t h i s

d i s c o v e r y b y c o n s i d e r i n g a r i g h t i s o s c e l e s t r i a n g l e ( t h a t i s , a r i g h t t r i a n g l e

w i t h t w o e q u a l l e g s ) :

h

L e t ' s s a y t h a t t h e l e g s h a v e l e n g t h 1 . O b v i o u s l y t h e h y p o t e n u s e m u s t h a v e a l e n g t h t o o : l e t ' s c a l l i t h . H i p p a s u s ' a m a z i n g i n s i g h t w a s t o r e a l i z e t h a t h c a n n e v e r b e e x p r e s s e d a s a r a t i o n a l n u m b e r ! 2 8

Problem 2.31 ( ) . S h o w t h a t h 2 = 2 .

2 7

B e v e w y , v e w y q u i e t . W e ' r e h u n t i n g i w w a t i o n a l s .

2 8

A c t u a l l y , h e m o s t l i k e l y p r o v e d t h a t t h e h y p o t e n u s e i s n o t c o m m e n s u r a t e w i t h t h e

l e g s ; t h a t i s , y o u c a n ' t n d a s m a l l e r l e n g t h t h a t w i l l e v e n l y d i v i d e b o t h t h e h y p o t e n u s e

a n d t h e l e g s . B u t i t r e a l l y a m o u n t s t o t h e s a m e t h i n g .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


21/35

I r r a t i o n a l n u m b e r s 1 9

O K , t h a t w a s t h e e a s y p a r t . N o w f o r t h e r e a l i n s i g h t ! A s a n a s i d e w h i c h

m a y h e l p y o u a b i t , n o t e t h a t g i v e n a n y r a t i o n a l n u m b e r p/q , w e c a n a l w a y s n d a w a y t o r e p r e s e n t i t a s p /q , w h e r e p a n d q h a v e n o c o m m o n f a c t o r s ,

a n d q > 0 . F o r e x a m p l e , 21/ ( 15) c a n b e r e e x p r e s s e d a s 7/5 . S o w h e n u s i n g a r a t i o n a l n u m b e r i n a p r o o f , i t ' s a l w a y s O K t o a s s u m e t h a t i t ' s i n

l o w e s t t e r m s a n d h a s a p o s i t i v e d e n o m i n a t o r , w h i c h c a n s o m e t i m e s m a k e

t h i n g s a l i t t l e e a s i e r .

Problem 2.32 ( ) . P r o v e t h a t h i s i r r a t i o n a l | t h a t i s , t h a t h c a n n o t b e e x - p r e s s e d a s a r a t i o n a l n u m b e r p/q . ( H i n t : u s e a p r o o f b y c o n t r a d i c t i o n . )

h , o f c o u r s e , i s t h e n u m b e r w e w o u l d c a l l 2 , o r 21/2 . I h o p e y o u c a n a p - p r e c i a t e w h a t a w o n d r o u s a n d s u r p r i s i n g r e s u l t t h i s i s | t h e r e a r e r a t i o n a l s

a l l o v e r t h e p l a c e , p a c k e d a s c l o s e t o g e t h e r a s y o u c o u l d e v e r w a n t , a n d

y e t t h e r e a r e s t i l l n u m b e r s t h a t s l i p t h r o u g h ! I n f a c t , l e g e n d h a s i t t h a t

t h e P y t h a g o r e a n s w e r e s o s u r p r i s e d a n d d i s t u r b e d b y H i p p a s u s ' p r o o f , t h a t

t h e y k i l l e d h i m . O r s a c r i c e d a h u n d r e d b u l l s . O r s o m e t h i n g l i k e t h a t . W e

d o n ' t a c t u a l l y k n o w e x a c t l y w h a t t h e y d i d , b u t t h e p o i n t i s t h a t t h i s w a s

a n i n c r e d i b l e , e a r t h - s h a k i n g d i s c o v e r y .

I s a i d \ n u m b e r s " i n t h e l a s t p a r a g r a p h , b u t I s h o u l d p o i n t o u t t h a t , t e c h -

n i c a l l y s p e a k i n g , a l l w e r e a l l y k n o w a t t h i s p o i n t i s t h a t t h e r e i s a t l e a s t

o n e i r r a t i o n a l n u m b e r . M a y b e

2 i s t h e o n l y o n e ! A s y o u c a n p r o b a b l y g u e s s , t h a t i s n ' t a c t u a l l y t h e c a s e . I t ' s n o t t o o h a r d t o n d a f e w m o r e :

Problem 2.33 ( ) . L e t d b e a n y p o s i t i v e i n t e g e r . F o r w h i c h v a l u e s o f d i s d r a t i o n a l , a n d f o r w h i c h i s i t i r r a t i o n a l ? S o , n o w w e k n o w t h a t m o s t s q u a r e r o o t s a r e i r r a t i o n a l . A r e t h e r e o t h e r

i r r a t i o n a l n u m b e r s ? Y o u b e t . F o r e x a m p l e ,

3 2 i s i r r a t i o n a l . ( C a n y o u p r o v e i t ? ) T h e b e l o v e d n u m b e r , t h e r a t i o o f a n y c i r c l e ' s c i r c u m f e r e n c e t o i t s d i a m e t e r , i s a l s o i r r a t i o n a l ( a s r s t p r o v e n b y L a m b e r t i n 1 7 6 1 ) . S o i s

e , t h e b a s e o f t h e n a t u r a l l o g a r i t h m ( l n ) ; p r o v i n g t h i s i s m u c h e a s i e r t h a n i t i s f o r , a l t h o u g h i t r e q u i r e s s o m e c a l c u l u s s o w e w o n ' t p r o v e i t h e r e .

H o w a b o u t + e ? D o y o u t h i n k i t ' s r a t i o n a l , o r i r r a t i o n a l ? T h e a m a z i n g t h i n g i s . . . n o o n e k n o w s ! Y o u m i g h t t h i n k t h a t a d d i n g t w o i r r a t i o n a l

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


22/35


n u m b e r s t o g e t h e r w o u l d s u r e l y g i v e y o u a n o t h e r i r r a t i o n a l , b u t |

Problem 2.34 ( ) . I f x i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r a n d r i s a r a t i o n a l n u m b e r , p r o v e t h e f o l l o w i n g :

( a ) x + r i s a l s o i r r a t i o n a l . ( b ) x r i s a l s o i r r a t i o n a l ( u n l e s s r = 0 ) .

Problem 2.35 ( ) . U s e t h e r e s u l t o f P r o b l e m 2 . 3 4 t o n d t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s w h o s e s u m i s a r a t i o n a l n u m b e r .

S o , j u s t b e c a u s e a n d e a r e i r r a t i o n a l d o e s n ' t n e c e s s a r i l y t e l l u s a n y t h i n g a b o u t + e . I f y o u a s k e d a r a n d o m m a t h e m a t i c i a n t o g u e s s w h e t h e r + ei s r a t i o n a l , t h e y w o u l d p r o b a b l y t e l l y o u t h e y t h i n k i t i s n ' t . B u t n o o n e

h a s b e e n a b l e t o p r o v e i t .

I t t u r n s o u t t h a t t h e r e a r e l o t s o f i r r a t i o n a l n u m b e r s ; w e ' v e o n l y s c r a t c h e d

t h e s u r f a c e . I n f a c t | y o u s h o u l d p r o b a b l y b e s i t t i n g d o w n f o r t h i s | m o s t

n u m b e r s a r e i r r a t i o n a l ! W h a t I m e a n i s t h i s : i f y o u t a k e t h e n u m b e r l i n e a n d

p i c k a s p o t o n i t r a n d o m l y ( s a y , b y t h r o w i n g a d a r t w i t h i n n i t e l y h o r r i b l e

a i m ) , y o u h a v e a n i n n i t e l y s m a l l c h a n c e o f h i t t i n g a r a t i o n a l n u m b e r .

2 9

B u t w a i t a m i n u t e | a r e n ' t t h e r e i n n i t e l y m a n y r a t i o n a l n u m b e r s ? ! Y u p .

A n d t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y i r r a t i o n a l n u m b e r s , t o o . B u t t h e ` i n n i t y '

o f t h e i r r a t i o n a l s i s a b i g g e r s o r t o f i n n i t y t h a n t h e ` i n n i t y ' o f t h e

r a t i o n a l s ! D i d y o u k n o w t h e r e a r e d i e r e n t k i n d s o f i n n i t y ? N o ? W e l l , a s

c r a z y a s i t s o u n d s , i t ' s t r u e , a n d w e ' l l e x p l o r e t h i s ( a n d m a n y o t h e r s t r a n g e

t o p i c s ) m o r e i n C h a p t e r ?? , I n n i t y .

T h e s e t o f a l l t h e n u m b e r s o n t h e n u m b e r l i n e | t h e r a t i o n a l n u m b e r s t o -

g e t h e r w i t h t h e i r r a t i o n a l n u m b e r s | i s c a l l e d t h e s e t o f r e a l n u m b e r s , r e p -

r e s e n t e d b y t h e s y m b o l R .

4.907632 . . . 0 5. . . . . . 2 eR

T h e r e a r e n o h a s h m a r k s o n t h e n u m b e r l i n e s h o w n a b o v e t o e m p h a s i z e t h e

c o n t i n u i t y o f t h e r e a l n u m b e r s . U n l i k e w i t h t h e i n t e g e r s a n d t h e r a t i o n a l s ,

2 9

O f c o u r s e , t h i s i m m e d i a t e l y s u g g e s t s s e v e r a l f o o l p r o o f b e t t i n g s c a m s . . .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


23/35

. . . a n d b e y o n d 2 1

t h e r e a r e n o ` g a p s ' i n b e t w e e n t h e r e a l n u m b e r s . S o , h a v e w e c o m p l e t e d

o u r q u e s t t o c a t a l o g n u m b e r s ? W e l l . . . n o t r e a l l y .

2.11 . . . and beyond

Y o u m a y n o t r e a l i z e i t , b u t r i g h t n o w w e ' r e a c t u a l l y i n a b i t o f a x . W e

d e n e d e x p o n e n t i a t i o n f o r r a t i o n a l n u m b e r s , w h i c h i s g r e a t b e c a u s e i t l e t s

u s t a l k a b o u t n u m b e r s l i k e

2 . B u t t h e r e ' s o n e m a j o r p r o b l e m : t h e r e a l n u m b e r s a r e n ' t c l o s e d u n d e r t h i s o p e r a t i o n !

2 i s w e l l a n d g o o d , b u t w h a t a b o u t

64? W h e n e v e r y o u s q u a r e a r e a l n u m b e r , y o u g e t a n o n n e g a t i v e

r e a l n u m b e r , s o t h e r e i s n ' t a n y r e a l n u m b e r w h i c h i s t h e s q u a r e r o o t o f

64 , o r f o r t h a t m a t t e r , o f a n y n e g a t i v e r e a l n u m b e r a t a l l . A i e e e e e e

e

e

e

e

e

e

e

!

O u r p r o b l e m s a r e n ' t l i m i t e d t o s q u a r e r o o t s , e i t h e r ; a n y r a t i o n a l p o w e r

w i t h a n e v e n d e n o m i n a t o r c a u s e s t r o u b l e ( f o u r t h r o o t s , s i x t h r o o t s . . . ) .

F i x i n g t h i s p r o b l e m b r i n g s u s i n t o t h e w o r l d o f c o m p l e x n u m b e r s . . . b u t

t h a t w i l l h a v e t o w a i t f o r a n o t h e r c h a p t e r .

2.12 More problems

Problem 2.36 ( ) . P r o v e t h e f o l l o w i n g l a w t h a t d e n e s m u l t i p l i c a t i o n b y n e g a t i v e n u m b e r s :

( a ) b = ( a b ). ( 2 . 1 7 )

Problem 2.37 ( ) . G i v e n e q u a t i o n ( 2 . 1 7 ) , p r o v e t h a t

( a ) ( b ) = a b.( 2 . 1 8 )

Problem 2.38 ( ) . P r o v e t h a t l o g 10 (2) i s i r r a t i o n a l .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


24/35


Hints for Chapter 2

2.1 C o m e o n , y o u c a n d o b e t t e r t h a n t h a t .

2.2 Y o u c a n d o i t a l o t f a s t e r i f y o u r e m e m b e r t h a t a d d i t i o n i s c o m m u - t a t i v e . . .

2.4 T h e r e a r e m a n y p o s s i b i l i t i e s . A n i n f o r m a l p r o o f m i g h t i n v o l v e a r - r a n g i n g p e n n i e s i n t h e s h a p e o f a r e c t a n g l e . A f o r m a l p r o o f m i g h t u s e t h e

d e n i t i o n o f m u l t i p l i c a t i o n .

2.7 U s e t h e d e n i t i o n o f m u l t i p l i c a t i o n a l o n g w i t h t h e a s s o c i a t i v e a n d c o m m u t a t i v e p r o p e r t i e s o f a d d i t i o n .

2.8 N o t e t h a t t o d i s p r o v e a s t a t e m e n t l i k e t h i s , a l l y o u h a v e t o d o i s s h o w a s i n g l e e x a m p l e w h e r e a d d i t i o n d o e s n o t d i s t r i b u t e o v e r m u l t i p l i c a t i o n .

2.10 S t a r t b y w r i t i n g 5 a s 2 + 3 .

2.14 A n y i n t e g e r q , e h ?

2.19 U s e t h e r e s u l t f r o m P r o b l e m 2 . 1 8 a l o n g w i t h e q u a t i o n ( 2 . 9 ) .

2.20 L e t Q = 1/ + 1 . W h a t c a n y o u s a y a b o u t Q ? ( x m e a n s ` r o u n d u p . ' )

2.21 F i r s t n o t e t h a t y o u c a n a l w a y s n d a r a t i o n a l n u m b e r r/s < , b y P r o b l e m 2 . 2 0 . H o w c a n y o u u s e t h i s n u m b e r t o c r e a t e a n o t h e r r a t i o n a l

n u m b e r t h a t m u s t b e w i t h i n a d i s t a n c e o f f r o m x ?

2.22 W r i t e o u t xa a n d xb a s a p r o d u c t o f a c e r t a i n n u m b e r o f c o p i e s o f x , a c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n o f e x p o n e n t i a t i o n .

2.24 A g a i n , u s e t h e d e n i t i o n o f e x p o n e n t i a t i o n | y o u c a n s t a r t b y w r i t i n g (xa )b a s t h e p r o d u c t o f a c e r t a i n n u m b e r o f c o p i e s o f xa .

2.25 C o n s i d e r e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) . H o w c a n w e m a k e i t t r u e w h e n a < b ? F o r e x a m p l e , w h a t s h o u l d x 3 b e d e n e d a s i f i t i s g o i n g t o e q u a l x

2

x 5 ?

2.26 C o n s i d e r e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) w h e n a = b .

2.27 L e t p/q b e a n y r a t i o n a l n u m b e r w i t h q > 0 ( p c o u l d b e n e g a t i v e ) , a n d r e w r i t e xp/q i n a f o r m i n v o l v i n g e x p o n e n t i a t i o n b y 1/q .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


25/35

H i n t s f o r C h a p t e r 2 2 3

2.28 C o n s i d e r (x1/q )q a n d a p p l y e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) .

2.29 ( a ) F i r s t r e w r i t e i t a s 1634 = ( 161/4 ) 3 .

2.31 U s e t h e P y t h a g o r e a n T h e o r e m ; H i p p a s u s a n d P y t h a g o r a s w e r e a c t u - a l l y f r i e n d s .

2.32 T h e r e a r e a c t u a l l y q u i t e a l o t o f w a y s t o p r o v e t h i s , b u t o n e w a y ( u s e d b y t h e a n c i e n t G r e e k s ) m i g h t r u n a l o n g t h e s e l i n e s : s t a r t b y a s s u m i n g t h a t

h = pq , w h e r e p a n d q a r e i n t e g e r s w i t h n o c o m m o n f a c t o r s . S q u a r e b o t h s i d e s a n d m u l t i p l y b y q 2 . C o n c l u d e t h a t p m u s t b e e v e n ( w h y ? ) , a n d s u b s t i t u t e 2r f o r p . N o w w h a t c a n y o u c o n c l u d e a b o u t q ? H o w d o e s t h i s c o n t r a d i c t y o u r i n i t i a l a s s u m p t i o n s ?

2.34 U s e a p r o o f b y c o n t r a d i c t i o n . F o r i n s t a n c e , w h a t i f x + r w e r e a r a t i o n a l n u m b e r ?

2.36 S t a r t b y n o t i n g t h a t 0 = 0 b , t h e n e x p a n d t h e 0 o n t h e r i g h t - h a n d s i d e i n t o s o m e t h i n g m o r e u s e f u l . . .

2.38 L e t x = l o g 10 (2) a n d d e d u c e t h a t 10x = 2 . N o w a s s u m e t h a t x = p/qa n d a r r i v e a t a c o n t r a d i c t i o n .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


26/35


27/35

Bibliography

C o n w a y , J o h n H . , a n d R i c h a r d K . G u y ( 1 9 9 6 ) . T h e B o o k o f N u m b e r s .

N e w Y o r k : C o p e r n i c u s .

F o r t y t w o , G e o ( 2 0 0 5 ) . B i g N u m b e r s . 2 0 0 5 . u r l : http://g42.org/tiki/tiki-index.php?page=BigNumbers .

2 5


28/35


29/35

Solutions

Chapter 2

2.1 O f c o u r s e , t h i s q u e s t i o n i s i m p o s s i b l e t o a n s w e r , a s h a r d a s y o u m i g h t t r y | a s s o o n a s y o u t h i n k o f a n u m b e r n y o u c a n a l w a y s t h i n k o f n + 1 !

2.2 S i n c e a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e a n d a s s o c i a t i v e , w h e n a d d i n g u p a b u n c h o f n u m b e r s w e c a n r e a r r a n g e t h e m i n a n y o r d e r w e w a n t :

2 + 3 + 8 + 7 + 6 + 4 + 5 + 9 + 5 + 1 + 23 + 7

= 2 + 8 + 3 + 7 + 6 + 4 + 5 + 5 + 9 + 1 + 23 + 7

= 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 30

= 80.

2.3 F o l l o w i n g t h e s a m e p a t t e r n w e s a w i n d e n i n g z e r o a s t h e i d e n t i t y w i t h r e s p e c t t o a d d i t i o n , t h e i d e n t i t y w i t h r e s p e c t t o m u l t i p l i c a t i o n ( c a l l

i t j ) m u s t b e t h e n u m b e r w h i c h h a s n o e e c t w h e n m u l t i p l y i n g , o r m o r e m a t h e m a t i c a l l y , t h e n u m b e r f o r w h i c h a j = j a = a f o r a n y n u m b e r a . C l e a r l y j = 1 .

2.4

2 7


30/35

2 8 S o l u t i o n s

a

b = b + b + b +

+ b

a

= a + ( b 1) + ( b 1) + + ( b 1) a

= a + a + ( b 2) + ( b 2) + + ( b 2) a

= a + a + a + + a n

+ ( b n ) + ( b n ) + + ( b n ) a

= a + a + a + + a b

= b a.2.5 A f o r m a l p r o o f u s i n g t h e d e n i t i o n o f m u l t i p l i c a t i o n i s p o s s i b l e . H o w - e v e r , i t ' s p r o b a b l y a l o t e a s i e r ( i f l e s s f o r m a l ) t o n o t e t h a t a (b c) c o r r e - s p o n d s t o t h e v o l u m e o f a r e c t a n g u l a r s o l i d w i t h d i m e n s i o n s a , b , a n d c , a n d t h a t t h e v o l u m e o f t h e s o l i d s t a y s t h e s a m e n o m a t t e r w h i c h w a y y o u

t u r n i t .

2.6 M u l t i p l i c a t i o n o f n a t u r a l n u m b e r s i s d e n e d a s r e p e a t e d a d d i t i o n o f n a t u r a l n u m b e r s ; t h e r e f o r e , i f t h e n a t u r a l n u m b e r s a r e c l o s e d u n d e r

a d d i t i o n , t h e y m u s t b e c l o s e d u n d e r m u l t i p l i c a t i o n , t o o .

2.7 a (b + c) = ( b + c) + ( b + c) + + ( b + c) a

( d e f n . o f )

= b + b + + b a

+ c + c + + c a

( p r o p e r t i e s o f + )

= a b + a c.2.8 A d d i t i o n d o e s n o t d i s t r i b u t e o v e r m u l t i p l i c a t i o n . Y o u c a n n d p a r - t i c u l a r i n s t a n c e s w h e r e i t d o e s ; f o r e x a m p l e , 0 + ( 2 3) = ( 0 + 2) (0 + 3) , a n d 3 + ( 2

( 4)) = ( 3 + 2)

(3 4) . B u t i t i s a l s o e a s y t o n d i n s t a n c e s

w h e r e i t d o e s n ' t ; f o r e x a m p l e , 3 + ( 1 4) = ( 3 + 1) (3 + 4) . 2.9 B y d e n i t i o n , 0 i s t h e n u m b e r s u c h t h a t 0 + 0 = 0 . B u t s i n c e a + 0 = a f o r a l l n u m b e r s a , w e k n o w t h a t 0 + 0 = 0 a s w e l l . H e n c e 0 = 0 .

T o s e e t h a t 1 = 1 , u s e a p r o o f b y c o n t r a d i c t i o n . I f 1 = 1 , t h e n w e

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


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C h a p t e r 2 2 9

c a n a d d 1 t o b o t h s i d e s t o g e t 1 + 1 = 1 + 1 , w h i c h s i m p l i e s t o t h e p r e p o s t e r o u s e q u a t i o n 0 = 2 ; t h e r e f o r e 1 = 1 .

2.10 5 + ( 3) = ( 2 + 3) + ( 3) = 2 + 0 = 2 .

2.11 S i n c e 7 i s t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f 7 , w e k n o w t h a t 7 + ( 7) = 0 . B u t s i n c e a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e , t h i s m e a n s t h a t ( 7) + 7 = 0 a s w e l l ; t h e r e f o r e 7 i s t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f 7 . A s a n a s i d e , i t s h o u l d b e e a s y t o s e e h o w t o e x t e n d t h i s t o a p r o o f t h a t ( a ) = a f o r a n y n u m b e r a .

2.12 I f 2 5 = a , t h e n a + 5 = 2 ; t h e n u m b e r a w i t h t h i s p r o p e r t y i s a = 3 , a s y o u p r o v e d i n P r o b l e m 2 . 1 0 .

2.13 \ . . . d i v i s i o n c a n b e s e e n a s m u l t i p l y i n g m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e s . "

2.14 T h e d e n i t i o n d o e s n o t m a k e s e n s e w h e n q = 0 ( s e e P r o b l e m 2 . 1 5 ) .

2.15 A c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n , w e s h o u l d h a v e 0 (1/0 ) = 1 . B u t z e r o t i m e s a n y t h i n g i s z e r o , n o t o n e .

2.16 T h e r e a r e m a n y p o s s i b l e s o l u t i o n s ; f o r e x a m p l e , 1/3 i s t h e r e c i p r o c a l o f 3 , b u t 1/3 + 1/3 i s n e i t h e r a n i n t e g e r n o r t h e r e c i p r o c a l o f a n i n t e g e r .

2.17 E q u a t i o n ( 2 . 9 ) s a y s t h a t a b = a 1/b , a n d e q u a t i o n ( 2 . 1 0 ) s a y s t h a t a 1/b = ab ; s o w e c o n c l u d e t h a t a b = ab , t h a t i s , t h e r a t i o n a l n u m b e r a/b r e p r e s e n t s t h e r e s u l t o f d i v i d i n g a b y b .

2.18 T h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f pq i s qp , s i n c e

pq

q p

= p 1q q

1 p

= p 1 1

p= 1.

2.19 S i n c e d i v i s i o n i s t h e s a m e a s m u l t i p l i c a t i o n b y a r e c i p r o c a l , w e h a v e ab

cd

=ab

dc

=adbc

.

2.20 G i v e n , l e t Q = 1/ + 1 , w h e r e x m e a n s t o ` r o u n d u p ' ( i n o t h e r w o r d s , x d e n o t e s t h e s m a l l e s t i n t e g e r w h i c h i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o x ) . 1 T h e n 1/Q < , s i n c e

1Q

=1

1/ + 1 0 . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) , w e h a v e

xpq = x

1q

p = ( x1q )p .

B u t p i s a n i n t e g e r , a n d w e a l r e a d y k n o w h o w t o e x p o n e n t i a t e b y a n y i n t e g e r ; s o a s l o n g a s w e d e n e x1/q w e k n o w h o w t o d o t h e r e s t .

2.28 W e s h o u l d d e n e

x1/q

=q

x,s i n c e t h a t m e a n s

x = xq/q = ( x1/q )q = ( q x)q = x.2.29 ( a ) 16

34 = 161/4

3= ( 4 16) 3 = 2 3 = 12 3 = 18 .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


34/35

3 2 S o l u t i o n s

( b ) T h i s o n e i s a l i t t l e m o r e c o m p l i c a t e d - l o o k i n g b u t y i e l d s t o p a t i e n t

a p p l i c a t i o n o f e x p o n e n t i d e n t i t i e s :

x 1 y32

3 x10 y5

35

= x 1 y32

2

x103

y5

35

= x 1 2 y32

2 x

103

( 35 )

y5 (35 )

= x 2 y3 x 2

y 3

= y3

x2 y

3

x2= 0.

2.30 S( 1) = 1 ; S( 2) = 22 = 4; S( 3) = 333

= 327 = 7625597484987 ( t h a t ' s 7.6 t r i l l i o n , s l i g h t l y s m a l l e r t h a n t h e U S n a t i o n a l d e b t ) .

2.31 B y t h e P y t h a g o r e a n T h e o r e m , h 2 = 12 + 12 = 2 .

2.32 S u p p o s e h = pq , w h e r e pq i s i n l o w e s t t e r m s . S q u a r i n g b o t h s i d e s a n d

m u l t i p l y i n g b y q 2 g i v e s u s q 2 h 2 = p2 ,

a n d s i n c e w e k n o w h 2 = 2 w e c a n w r i t e

2q 2 = p2 .

T h i s m e a n s t h a t p2 m u s t b e e v e n s i n c e i t i s e q u a l t o 2 t i m e s s o m e t h i n g ; b u t t h a t m e a n s p i t s e l f m u s t b e e v e n s i n c e s q u a r i n g a n o d d n u m b e r a l w a y s g i v e s a n o t h e r o d d n u m b e r . S o w e c a n s u b s t i t u t e 2r f o r p :

2q 2 = ( 2r )2 .

S i m p l i f y i n g a b i t y i e l d s

q 2 = 2r 2 ,

f r o m w h i c h w e c a n c o n c l u d e t h a t q i s a l s o e v e n | b u t t h a t ' s a c o n t r a d i c t i o n s i n c e w e a s s u m e d p a n d q d o n ' t h a v e a n y c o m m o n f a c t o r s ! T h e r e f o r e o u r i n i t i a l a s s u m p t i o n m u s t b e f a l s e , a n d h i s n o t r a t i o n a l .

2.34c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7


35/35

C h a p t e r 2 3 3

( a ) S u p p o s e x + r w e r e r a t i o n a l . S i n c e r i s r a t i o n a l , w e k n o w t h a t

r i s a l s o r a t i o n a l ; t h e r e f o r e , s i n c e t h e r a t i o n a l s a r e c l o s e d u n d e r a d d i t i o n , (x + r ) + ( r ) = x m u s t b e r a t i o n a l a s w e l l . B u t w e a r e g i v e n t h a t x i s i r r a t i o n a l . T h e r e f o r e , b y c o n t r a d i c t i o n , x + rm u s t b e i r r a t i o n a l a s w e l l .

( b ) T h e p r o o f f o r x r i s s i m i l a r . 2.35 T h e r e a r e m a n y p o s s i b i l i t i e s ; h e r e ' s o n e . S i n c e i s i r r a t i o n a l w e k n o w t h a t ( 1) = i s a l s o i r r a t i o n a l ( b y p a r t ( b ) o f P r o b l e m 2 . 3 4 ) , s o 3 + ( ) = 3 i s i r r a t i o n a l t o o ( b y p a r t ( a ) ) . B u t t h e n w e s e e t h a t a n d 3 a r e t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s w h i c h s u m t o a r a t i o n a l n u m b e r ( n a m e l y , 3 ) .

2.36 0 = 0 b ( b y e q u a t i o n ( 2 . 2 ) ) = ( a + ( a )) b ( b y e q u a t i o n ( 2 . 5 ) ) = a b + ( a ) b ( b y e q u a t i o n ( 2 . 3 ) )

B u t i f a b + ( a ) b = 0 , t h e n b y e q u a t i o n ( 2 . 5 ) w e k n o w t h a t ( a ) b i s t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f a b ; t h a t i s , ( a ) b = ( a b ) . 2.37 ( a ) ( b ) = ( a ( b ))

= (( b )

a )

= (( b a ))= b a = a b.

2.38 L e t x = l o g 10 (2) . T h e n b y t h e d e n i t i o n o f l o g a r i t h m s , w e k n o w t h a t 10x = 2 . S u p p o s e x = p/q i s r a t i o n a l ( a s u s u a l w e a s s u m e t h a t q = 0 ; w e a l s o k n o w t h a t p a n d q a r e b o t h p o s i t i v e , s i n c e 10 t o a n e g a t i v e p o w e r w o u l d b e s m a l l e r t h a n 1 ) . T h e n 10p/q = 2 , a n d r a i s i n g b o t h s i d e s t o t h e q p o w e r w e n d t h a t 10p = 2q . B u t s i n c e p a n d q a r e p o s i t i v e i n t e g e r s , t h i s i s i m p o s s i b l e : t h e l e f t s i d e i s d i v i s i b l e b y 5 b u t t h e r i g h t s i d e i s n o t . T h e r e f o r e , b y c o n t r a d i c t i o n , l o g 10 (2) m u s t b e i r r a t i o n a l .

c

B r e n t Y o r g e y 2 0 0 7

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Chapter2 Pre