6.5 Transformasi Laplace untuk Penyelesaian Persamaan
DiferensialPenyelesaian persamaan diferensial dengan mencari
tanggapan homogen dan tanggapan paksa yang telah dibahas dalam Bab
5. Penyelesaian dengan cara tersebut memerlukan perumpamaan
tanggapan yang tepat. Cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan
persamaan diferensial tanpa harus menggunakan perumpamaan tanggapan
adalah dengan transformasi Laplace.Untuk mendapatkan solusi
persamaan diferensial yang pertama dilakukan adalah pengubahan
persamaan ke bentuk s. Untuk lebih jelasnya disajikan contoh
berikut:Contoh:Carilah penyelesaian untuk persamaan diferensial
berikut ini:
Penyelesaian:
maka,
Laplace balik dari X (s) menghasilkan:
a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan Transformasi
Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan
diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan
diferensial
atau dengan p,q adalah konstanta dan persamaan tersebut
mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y(0)=B, A dan B adalah
konstanta yang diberikan.
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan
dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing
persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan.
Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar .Selesaian yang diperlukan
diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s).
Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial
tingkat tinggi.ContohTentukan selesaian persamaan diferencial
berikut.1) dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-2 Jawab Dengan transformasi
Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial
diperoleh
Menurut sifat transformasi Laplace
, sehingga
=
= Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace
invers
Untuk pemeriksaan jawab di atas
dan Y(0) = 1, Y(0)=-2
2) dengan Y(0) = -3 dan Y(0)=5Jawab Dengan transformasi Laplace
masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh
Menurut sifat (5) transformasi Laplace
, sehingga
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace
invers
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel
Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan
selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya
persamaan diferensial yang berbentuk sehingga transformasi Laplace
diperoleh Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika maka Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh
berikutTentukan selesaian persamaan diferensial 1)
dengan Y(0) = 1 dan Y()= 0Jawab Dengan transformasi Laplace pada
masing-masing bagian persamaan diperoleh:
Diperoleh
Karena bila kita dapatkan , sehingga
Akhirnya didapat , hal ini memenuhi Y(=0
2) , dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2Jawab Dengan transformasi
Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner
tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:
Faktor integral persamaan di atas adal
Maka
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Soal-soalTentukan selesaian persamaan diferensial berikut:1)
dengan Y(0) = 0 dan Y(0) = 12) dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 23)
dengan Y(0) = 5 dan Y() = 04) dengan Y(0) = 3 dan Y(0) = 05)
Y+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y(0)=76) Y-3Y+2Y=4x+12edengan Y(0) = 0
dan Y(0)=-1
6.6 Solusi Persamaan Rangkaian Listrik dengan Transformasi
LaplaceDengan menggunakan transformasi laplace kita dapat mencari
solusi suatu persamaan rangkaian (yang sering berbentuk persamaan
diferensial) dengan lebih mudah. Transformasi akan mengubah
persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar biasa di kawasan s
yang dengan mudah dicari solusinya. Dengan mentransformasi balik
solusi dikawasan s tersebut, kita akan memperoleh solusi dari
persamaan diferensialnya.
CONTOH:Gunakan transformasi laplace untuk mencari solusi
persamaan berikut.,
Penyelesaian:Transformasi laplace persamaan diferensial ini
adalah atau
Transformasi balik memberikan v(t) = Transformasi laplace dapat
kita manfaatkan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial
dalam analisis transien. Langkah langkah yang harus dilakukan
adalah:
1. Menentukan persamaan diferensial rangkaian di kawasan
waktu.2. Menstranformasikan persamaan diferensial yang diperoleh
pada langkah 1 ke kawasan s dan mencari solusinya.3. Transformasi
balik solusi yang diperoleh pada langkah 2 untuk memperoleh
tanggapan rangkaian
CONTOH:Saklar S pada rangkaian ini ditutup pada t = 0. Tentukan
tegangan kapasitor untuk t > 0 jika sesaat sebelum S ditutup
tegangan kapasitor 2 V.
Penyelesaian:Langkah pertama adalah menentukan persamaan
rangkaian untuk t > 0. Aplikasi HTK memberikan atau Pemecahan
persamaan ini dapat diperoleh dengan mudah. Langkah terakhir adalah
mentransformasi persamaan ini ke kawasan s , menjadi
CONTOH:Pada rangkaian gambar berikut ini, saklar S dipindahkan
dari posisi 1 ke 2 pada t = 0. Tentukan i(t) untuk t > 0, jika
sesaat sebelum saklar dipindah tegangan kapasitor 4 V dan arus
kondoktor 2 A.
Penyelesaian:Aplikasi HTK pada rangkaian ini setelah saklar ada
di posisi 2 (t > 0) memberikan atau Transformasi laplace dari
persamaan rangkaian ini menghasilkan atau Pemecahan persamaan ini
adalah:
Transformasi balik dari I(s) memberikan:
Latihan Soal:Dengan Transformasi Laplace selesaikan permasalahan
rangkaian berikut:1.Tentukan respon lengkap I(t) pada rangkaian
Gambar 3.8 jika E=100volt, R= 100 ohm dan L=20 henry dengan
I(t=0)=0! Gambarkan dengan bantuan program Matlab komponen respon
lengkap I(t)!2. Tentukan arus steady state pada rangkaian Gambar
3.8 jika E=10 sin 2t volt, R= 2 ohm dan L=2 henry! Gambarkan dengan
bantuan program Matlab arus steady state I(t)!3. Rangkaian RL seri
R=8 ohm dan L=0,5 henry dihubungkan dengan sumber baterai E volt.
Jika I(t=0)=0, tentukan I(t) pada:a. E= 64b. E= 8te-16tc. E= 32
e-8tGambarkan dengan bantuan program Matlab komponen respon lengkap
I(t)!4. Tentukan I(t) pada soal nomor 3, jika E= 64 sin 8t!
Tentukan mana arus keadaan steady state dan arus transiennya!
Gambarkan dengan bantuan program Matlab komponen respon lengkap
I(t)!5.Tentukan arus transien pada rangkaian Gambar 3.8 jika E=10
sin 2t volt, R= 2 ohm dan L=2 henry dengan I(t=0)=0! Gambarkan
dengan bantuan program Matlab arus transien I(t)!6. Tentukan Q(t)
dan I(t) pada rangkaian Gambar 3.12 jika E=100volt, R= 5 ohm dan
C=0,02 farad dengan Q(t=0)=5 coulomb! Gambarkan dengan bantuan
program Matlab komponen arus I(t)!7. Jika pada Gambar 3.12 R= 50
ohm, C= 0,04 farad E= 125 sin(t) volt Tentukan muatan Q keadaan
stabil!8. Jika E= 110 cos(314t), tentukan muatan Q keadaan stabil
soal nomor 7!9. Tentukan tegangan kapasitor pada Gambar 3.12, jika
resistor R=200 ohm, kapasitor C= 0,1 farad dengan sumber baterai E=
12 volt dan kapasitor tidak bermuatan pada saat t=0 atau
Q(t=0)=0!10. Tentukanlah arus I(t) dalam rangkaian LC dimana L=1H,
C=1F dan E=100 volt. Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan
muatan kapasitor Q=0.11. Tentukanlah arus l(t) dalam rangkaian LC
dimana L=1H, C=0,25F dan E=30 sin t volt. Anggaplah bahwa pada saat
t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.12. Tentukanlah arus l(t)
dalam rangkaian LC dimana L=10H, C=1/90F dan E=10 cos 2t volt.
Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor
Q=0.13. Tentukanlah arus l(t) dalam rangkaian LC dimana L=10H,
C=0,1F dan E=10t volt. Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan
muatan kapasitor Q=0.14. Tentukanlah arus l(t) dalam rangkaian LC
dimana L=2,5H, C=10-3F dan E=10t2 volt. Anggaplah bahwa pada saat
t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.15. Tentukanlah arus l(t)
dalam rangkaian LC dimana L=1H, C=1F dan E=1 volt jika 0
