GVGV HOAØNG NGOÏC HOAØNG NGOÏC

NHAÄMNHAÄM

Boä moân: Boä moân: TOAÙN TOAÙN KINH TEÁKINH TEÁ

Khoa: Khoa: TOAÙN - TOAÙN - THOÁNG KEÂ THOÁNG KEÂ

Phaàn IPhaàn I LYÙ THUYEÁT XAÙC LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁTSUAÁT

Chöông 1Chöông 1 Xaùc suaát cuûa bieán Xaùc suaát cuûa bieán

coá coá vaø caùc coâng thöùc tính vaø caùc coâng thöùc tính xaùc suaátxaùc suaátChöông 2Chöông 2

Ñaïi löôïng ngaãu nhieân Ñaïi löôïng ngaãu nhieân vaø phaân phoái xaùc vaø phaân phoái xaùc

suaátsuaát

Chöông 3Chöông 3 Moät soá phaân phoái Moät soá phaân phoái

xaùc suaát thoâng duïngxaùc suaát thoâng duïng

Chöông 4Chöông 4

Ñaïi löôïng ngaãu nhieân Ñaïi löôïng ngaãu nhieân hai chieàu – haøm cuûa hai chieàu – haøm cuûa caùc ñaïi löôïngcaùc ñaïi löôïng

ngaãu nhieânngaãu nhieân

Chöông 6Chöông 6Maãu ngaãu nhieânMaãu ngaãu nhieân

Phaàn II Phaàn II THOÁNG KEÂ THOÁNG KEÂ TOAÙNTOAÙN

Chöông 5Chöông 5Luaät soá lôùn Luaät soá lôùn

vaø caùc ñònh lyù giôùi vaø caùc ñònh lyù giôùi haïnhaïn

Chöông 8Chöông 8 Kieåm ñònh giaû thieátKieåm ñònh giaû thieát thoáng keâthoáng keâ

Chöông 7Chöông 7 Öôùc löôïng caùc tham soá Öôùc löôïng caùc tham soá

ñaëcñaëc tröng cuûa ñaïi löôïng tröng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieânngaãu nhieân

1-1- Lyù thuyeát xaùc suaát Lyù thuyeát xaùc suaát & thoáng keâ toaùn.& thoáng keâ toaùn.

Hoaøng Ngoïc Hoaøng Ngoïc NhaämNhaäm NXB Kinh t TP H Chí ế ồNXB Kinh t TP H Chí ế ồMinhMinh 20122012

TAØI LIEÄU HOÏC TAÄP TAØI LIEÄU HOÏC TAÄP VAØ THAM KHAÛOVAØ THAM KHAÛO

3-3- Baøi taäp xaùc suaát Baøi taäp xaùc suaát thoáng keâthoáng keâ Th s Hoaøng Ngoïc Th s Hoaøng Ngoïc Nhaäm, Nhaäm, NXB Thoáng keâ - NXB Thoáng keâ - 20112011

2-2- Giaùo trình lyù thuyeát Giaùo trình lyù thuyeát xaùc suaát & thoáng keâ xaùc suaát & thoáng keâ toaùn hoïctoaùn hoïc

Ths Traàn Gia TuøngThs Traàn Gia TuøngNXB ÑH Quoác gia TP Hoà Chí NXB ÑH Quoác gia TP Hoà Chí Minh, 2009Minh, 2009

Cách đánh giá:Cách đánh giá:

- Điểm quá trình: 30%; - Điểm quá trình: 30%; - Điểm thi kết thúc HP: 70%- Điểm thi kết thúc HP: 70% - Điểm quá trình bao gồm:- Điểm quá trình bao gồm: điểm kiểm tra giữa kỳ, điểm kiểm tra giữa kỳ, điểm thảo thuận, sửa bài tậpđiểm thảo thuận, sửa bài tập trên lớptrên lớp, . . .. . .

Bài kiểm tra giữa kỳ:

Thời gian: 45 phút. Nội dung: phần xác suất.

Bài thi kết thúc học phần:

Thôøi gian 75 Phuùt. Coù hai phaàn: Phaàn I: traéc nghieäm Phaàn II: tự luận

PHAÀN I

Chöông 1Chöông 1

LYÙ THUYEÁT XAÙC LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁTSUAÁT

XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ VAØ CAÙCCOÁ VAØ CAÙC COÂNG THÖÙC TÍNH XAÙC COÂNG THÖÙC TÍNH XAÙC SUAÁTSUAÁT I- Pheùp thöû, bieán coá, I- Pheùp thöû, bieán coá, khoâng gian khoâng gian caùc bieán coá sô caáp.caùc bieán coá sô caáp.

Caùc thí duCaùc thí duï:ï:

Tung (gieo) moät ñoàng Tung (gieo) moät ñoàng xu.xu. Tung (gieo) moät con Tung (gieo) moät con suùc saéc.suùc saéc. Choïn ngaãu nhieân 2 Choïn ngaãu nhieân 2 saûn phaåm töø kieän saûn phaåm töø kieän haøng coù 5 saûn phaåm haøng coù 5 saûn phaåm ñeå kieåm tra.ñeå kieåm tra.

Quan saùt ñieåm thi Quan saùt ñieåm thi moân toaùn cao caáp cuûa moân toaùn cao caáp cuûa moät sinh vieân heä CQ.moät sinh vieân heä CQ.

Laøm caùc thí nghieäm Laøm caùc thí nghieäm ñeå nghieân cöùu veà ñeå nghieân cöùu veà naêng suaát cuûa moät naêng suaát cuûa moät gioáng luùa môùi.gioáng luùa môùi.

•• Pheùp thöû laø moät thí nghieäm hay quan saùt.

•• Pheùp thöû laø nhöõng coâng vieäc, nhöõng haønh ñoäng cuûa con ngöôøi nhaèm quan saùt, nghieân cöùu moät hieän töôïng, moät ñoái töôïng naøo ñoù.

Khi thöïc hieän moät pheùp thöû coù nhieàu keát quaû coù theå xaûy ra. Coù keát quaû ñôn giaûn, coù keát quaû phöùc hôïp.

Khi tung moät con suùc Khi tung moät con suùc saéc, suùc saéc ra maët saéc, suùc saéc ra maët 1 chaám, 2 chaám, . . . , 1 chaám, 2 chaám, . . . , 6 chaám laø nhöõng 6 chaám laø nhöõng keát quaû ñôn giaûn, keát quaû ñôn giaûn, suùc saéc ra maët suùc saéc ra maët chaün, suùc saéc ra chaün, suùc saéc ra maët lôùn hôn 3, . . . maët lôùn hôn 3, . . . laø nhöõng keát quaû laø nhöõng keát quaû phöùc hôïp.phöùc hôïp.

Keát quaû ñôn giaûn Keát quaû ñôn giaûn nhaát ñöôïc goïi laø nhaát ñöôïc goïi laø bieán coá sô caápbieán coá sô caáp Taäp hôïp taát caû caùc Taäp hôïp taát caû caùc bieán coá sô caáp ñöôïc bieán coá sô caáp ñöôïc goïi laø goïi laø khoâng gian khoâng gian caùc bieán coá sô caùc bieán coá sô caápcaáp (khoâng gian (khoâng gian maãu).maãu).

•• Moãi taäp con cuûa Moãi taäp con cuûa khoâng gian maãu ñöôïc khoâng gian maãu ñöôïc goïi laø goïi laø bieán coábieán coá..•• Bieán coá laø moät Bieán coá laø moät keát quaû coù theå xaûy keát quaû coù theå xaûy ra khi thöïc hieän ra khi thöïc hieän pheùp thöû.pheùp thöû.•• Khoâng gian caùc Khoâng gian caùc bieán coá sô caáp kyù bieán coá sô caáp kyù hieäu laø hieäu laø ΩΩ (hoaëc S) (hoaëc S)

Gieo moät con suùc saécGieo moät con suùc saéc

ω i (i = 1, 2, . . . , 6) chæ (i = 1, 2, . . . , 6) chæ

keát quaû suùc saéc xuaát keát quaû suùc saéc xuaát hieän maët i chaám.hieän maët i chaám.

Thí duï 1:

Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6

Thí duï 2: Kieåm tra 1 Kieåm tra 1 saûn phaåm choïn ngaãu saûn phaåm choïn ngaãu nhieân töø moät kieän nhieân töø moät kieän haøng. Giaû thieát saûn haøng. Giaû thieát saûn phaåm hoaëc loaïi I, phaåm hoaëc loaïi I, hoaëc loaïi II, hoaëc hoaëc loaïi II, hoaëc pheá phaåm.pheá phaåm.

Ω = ω1, ω2, ω3

Thí duï 3: Kieåm tra 2 Kieåm tra 2 saûn phaåm choïn ngaãu saûn phaåm choïn ngaãu nhieân töø moät kieän nhieân töø moät kieän haøng. Giaû thieát saûn haøng. Giaû thieát saûn phaåm hoaëc loaïi I, phaåm hoaëc loaïi I, hoaëc loaïi II, hoaëc hoaëc loaïi II, hoaëc pheá phaåm.pheá phaåm. Khoâng gian caùc bieán coá sô Khoâng gian caùc bieán coá sô caáp goàm coù caùc phaàn töû caáp goàm coù caùc phaàn töû naøo ?naøo ?

spsp11spsp22

LoaïiLoaïi I I LoaïiLoaïi II II LoaïiLoaïi PP PP

LoaïiLoaïi I I

LoaïiLoaïi II II

LoaïiLoaïi PP PP

Ω = ω1, ω2, . . . , ω9

Chuù yù:

Caùc bieán coá cuï theå Caùc bieán coá cuï theå luoân gaén lieàn vôùi luoân gaén lieàn vôùi pheùp thöû cuï theå.pheùp thöû cuï theå.PhePheùpùp

thöû thöû

KhoâKhoângng gian gian caùc caùc b/cb/c sô sô caápcaáp

BieáBieánn coá coá

Pheùp thöûPheùp thöûKh. gian maãuKh. gian maãu Bieán coáBieán coá

Tung 1 Tung 1 ñoàng xuñoàng xu ΩΩ = H, C= H, C

XHXH maët hình (H), maët hình (H),XHXH maët chöõ (C). maët chöõ (C).

Tung 1 Tung 1 con con suùc suùc saécsaéc

Ω = = ωω11, , ωω 22,, . . . , . . . , ωω 66

XH maët 3, 6,XH maët 3, 6,XH maët chaün,XH maët chaün,. . . . . .

Kieåm traKieåm tra 1 saûn 1 saûn phaåm phaåm

Ω = = ωω 11, , ωω 22,, ωω 33

SP laø loaïi I,SP laø loaïi I,SP laø loaïi II,SP laø loaïi II,SP laø pheá phaåmSP laø pheá phaåm

Bieán coá ngaãu Bieán coá ngaãu nhieânnhieân A, B, C, D, E, A, B, C, D, E, F, . . . F, . . . AA11, A, A22, . . . , A, . . . , Ann

BB11, B, B22, . . . , , . . . , BBmm

Bieán coá chaéc Bieán coá chaéc chaén (chaén (Ω) Bieán coá khoâng Bieán coá khoâng theå (theå (∅ ))

Ñònh Ñònh nghóa 1nghóa 1:: Bieán coá A ñöôïc goïi laø Bieán coá A ñöôïc goïi laø keùo theo bieán coá B, keùo theo bieán coá B, kyù hieäu laø kyù hieäu laø A A ⊂⊂ B B neáu neáu A xaûy ra thì B cuõng A xaûy ra thì B cuõng xaûy ra.xaûy ra.

II- MOÁI QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC II- MOÁI QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁBIEÁN COÁ

Thí duïThí duï::

Tung moät con suùc Tung moät con suùc saéc, goïi A laø bieán saéc, goïi A laø bieán coá “suùc saéc ra maët coá “suùc saéc ra maët 2” vaø B laø bieán coá 2” vaø B laø bieán coá “suùc saéc ra maët “suùc saéc ra maët chaün” thì: chaün” thì: A A ⊂⊂ B B

Ñònh Ñònh nghóa 2nghóa 2:: Bieán coá A vaø B ñöôïc Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø hai goïi laø hai bieán coá bieán coá töông ñöôngtöông ñöông,, kyù hieäu kyù hieäu laø laø A = BA = B neáu A neáu A ⊂⊂ B B vaø B vaø B ⊂⊂ A. A.Neáu A = B thì: P(A) = Neáu A = B thì: P(A) = P(B)P(B)

Thí duïThí duï::

Kieåm tra 2 saûn Kieåm tra 2 saûn phaåm. Goïi A laø phaåm. Goïi A laø bieán coá “coù ít nhaát bieán coá “coù ít nhaát moät pheá phaåm” vaø moät pheá phaåm” vaø B laø bieán coá “coù 1 B laø bieán coá “coù 1 pheá phaåm hoaëc coù pheá phaåm hoaëc coù 2 pheá phaåm” thì: 2 pheá phaåm” thì: A = BA = B

Caâu Caâu hoûihoûi:: Taïi sao xaùc suaát Taïi sao xaùc suaát cuûa caùc bieán coá cuûa caùc bieán coá töông ñöông laïi baèng töông ñöông laïi baèng nhau ?nhau ?

Toång cuûa 2 bieán coá A Toång cuûa 2 bieán coá A vaø B laø moät bieán coá, vaø B laø moät bieán coá, kyù hieäu laø kyù hieäu laø A A ∪∪ B B (hoaëc (hoaëc A + BA + B). Bieán coá naøy ). Bieán coá naøy xaûy ra khi vaø chæ khi xaûy ra khi vaø chæ khi coù ít nhaát moät trong hai coù ít nhaát moät trong hai bieán coá A, B xaûy ra.bieán coá A, B xaûy ra.

Ñònh Ñònh nghóa 3nghóa 3::

Thí duïThí duï::

Quan saùt 2 xaï thuû cuøng Quan saùt 2 xaï thuû cuøng baén vaøo moät bia. Moãi baén vaøo moät bia. Moãi xaï thuû baén moät vieân. xaï thuû baén moät vieân. Goïi A laø bieán coá “Goïi A laø bieán coá “xaï xaï thuû thöù nhaát baén thuû thöù nhaát baén truùng biatruùng bia”, B laø bieán ”, B laø bieán coá “coá “xaï thuû thöù hai xaï thuû thöù hai baén truùng biabaén truùng bia”, C laø ”, C laø bieán coá “bieán coá “bia truùng bia truùng ñaïnñaïn”. ”. C = A C = A ∪∪ B B

Ñònh nghóa Ñònh nghóa 44::

Tích cuûa hai bieán coá A Tích cuûa hai bieán coá A vaø B laø moät bieán coá, vaø B laø moät bieán coá, kkyù hieäu laø Ayù hieäu laø A ∩∩ BB ((hoaëc AB), bieán coá hoaëc AB), bieán coá naøy xaûy ra khi vaø chæ naøy xaûy ra khi vaø chæ khi caû A vaø B xaûy ra. khi caû A vaø B xaûy ra.

Thí duïThí duï::

Xeùt pheùp thöû quan saùt Xeùt pheùp thöû quan saùt hai xaï thuû cuøng baén vaøo hai xaï thuû cuøng baén vaøo moät bia (moãi ngöôøi baén moät bia (moãi ngöôøi baén moät vieân). Goïi A laø bieán moät vieân). Goïi A laø bieán coá “coá “xaï thuû thöù nhaát xaï thuû thöù nhaát baén traätbaén traät”, B laø bieán coá ”, B laø bieán coá ““xaï thuû thöù hai baén xaï thuû thöù hai baén traättraät” vaø C laø bieán coá “ ” vaø C laø bieán coá “ bia khoâng truùng ñaïnbia khoâng truùng ñaïn”. ”. Thì: Thì: C = ABC = AB

Ñònh nghóa Ñònh nghóa 55:: Hai bieán coá A vaø B Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu Akhaéc neáu A∩∩B = B = ∅∅ .. A, B laø 2 bieán coá A, B laø 2 bieán coá xung khaéc neáu chuùng xung khaéc neáu chuùng khoâng theå ñoàng khoâng theå ñoàng thôøi xaûy ra khi thöïc thôøi xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû.hieän pheùp thöû.

Chuù yùïChuù yùï::

A, B laø 2 bieán coá A, B laø 2 bieán coá khoâng xung khaéckhoâng xung khaéc neáu chuùng coù theå neáu chuùng coù theå ñoàng thôøi xaûy ra khi ñoàng thôøi xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöïc hieän pheùp thöûù.thöûù.

Thí duï 1Thí duï 1::

Kieåm tra 2 saûn Kieåm tra 2 saûn phaåm. Goïi A laø phaåm. Goïi A laø bieán coá “coù 1 pheá bieán coá “coù 1 pheá phaåm”. B laø bieán phaåm”. B laø bieán coá “khoâng coù pheá coá “khoâng coù pheá phaåm” thì A, B laø 2 phaåm” thì A, B laø 2 bieán coá xung khaéc.bieán coá xung khaéc.

Thí duï 2Thí duï 2::

Kieåm tra 3 saûn Kieåm tra 3 saûn phaåm. Goïi A laø phaåm. Goïi A laø bieán coá “saûn phaåm bieán coá “saûn phaåm thöù nhaát laø saûn thöù nhaát laø saûn phaåm toát; B laø bieán phaåm toát; B laø bieán coá saûn phaåm thöù coá saûn phaåm thöù hai laø saûn phaåm hai laø saûn phaåm toát. A, B laø 2 bieán toát. A, B laø 2 bieán coá khoâng xung khaéc.coá khoâng xung khaéc.

Ñònh nghóa Ñònh nghóa 66:: Bieán coá ñoái laäp Bieán coá ñoái laäp vôùi bieán coá A, kyù vôùi bieán coá A, kyù hieäu laø A, neáu A, A hieäu laø A, neáu A, A xung khaéc vaø Axung khaéc vaø A∪∪A = A = ΩΩ ..Bieán coá “ khoâng Bieán coá “ khoâng xaûy ra bieán coá A” xaûy ra bieán coá A” ñöôïc goïi laø bieán coá ñöôïc goïi laø bieán coá ñoái laäp vôùi bieán ñoái laäp vôùi bieán coá A.coá A.

Thí duïThí duï::

Kieåm tra 5 saûn Kieåm tra 5 saûn phaåm. Goïi A laø phaåm. Goïi A laø bieán coá “coù ít nhaát bieán coá “coù ít nhaát 3 saûn phaåm toát”. A 3 saûn phaåm toát”. A laø bieán coá “soá laø bieán coá “soá saûn phaåm toát saûn phaåm toát khoâng quaù 2”.khoâng quaù 2”.

Bieåu ñoà Bieåu ñoà

VENNVENN:: Quan saùt 2 xaï thuû cuøng Quan saùt 2 xaï thuû cuøng baén vaøo moät bia. Moãi baén vaøo moät bia. Moãi xaï thuû baén moät vieân. xaï thuû baén moät vieân. Goïi A laø bieán coá “Goïi A laø bieán coá “xaï xaï thuû thöù nhaát baén thuû thöù nhaát baén truùng biatruùng bia”, B laø bieán ”, B laø bieán coá “coá “xaï thuû thöù hai xaï thuû thöù hai baén truùng biabaén truùng bia”, C laø ”, C laø bieán coá “bieán coá “bia truùng bia truùng ñaïnñaïn”. ”. C = A C = A ∪∪ B B

ΩΩ AA

BB

A A ∪∪ B B

Quan saùt 2 xaï thuû cuøng Quan saùt 2 xaï thuû cuøng baén vaøo moät bia. Moãi baén vaøo moät bia. Moãi xaï thuû baén moät vieân. xaï thuû baén moät vieân. Goïi A laø bieán coá “Goïi A laø bieán coá “xaï xaï thuû thöù nhaát baén thuû thöù nhaát baén traättraät”, B laø bieán coá “”, B laø bieán coá “xaï xaï thuû thöù hai baén traätthuû thöù hai baén traät”, ”, C laø bieán coá “C laø bieán coá “bia khoâng bia khoâng truùng ñaïntruùng ñaïn”. ”. C = A C = A ∩∩ B B

ΩΩ AA

BB

A A ∩∩ B B

Quan saùt 2 xaï thuû cuøng Quan saùt 2 xaï thuû cuøng baén vaøo moät bia. Moãi baén vaøo moät bia. Moãi xaï thuû baén moät vieân. xaï thuû baén moät vieân. Goïi A laø bieán coá “Goïi A laø bieán coá “coù coù moät vieân truùngmoät vieân truùng”, B laø ”, B laø bieán coá “bieán coá “coù 2 vieân coù 2 vieân truùngtruùng”, A, B xung khaéc”, A, B xung khaéc

ΩΩ AA

BB

A, B xung khA, B xung khaécaéc

Quan saùt 2 xaï thuû cuøng Quan saùt 2 xaï thuû cuøng baén vaøo moät bia. Moãi baén vaøo moät bia. Moãi xaï thuû baén moät vieân. xaï thuû baén moät vieân. Goïi A laø bieán coá “Goïi A laø bieán coá “coù coù moät vieân truùngmoät vieân truùng”, thì A ”, thì A seõ laø bieán coá “seõ laø bieán coá “coù 2 coù 2 vieân truùng hoaëc khoâng vieân truùng hoaëc khoâng coù vieân naøo truùngcoù vieân naøo truùng”.”.

ΩΩAA

Bieán coá ñoái laäpBieán coá ñoái laäp

AA

Bieåu ñoà Bieåu ñoà

VENNVENN::

Caâu hoûi: Kieåm tra 3 saûn phaåm Kieåm tra 3 saûn phaåm choïn ngaãu nhieân töø choïn ngaãu nhieân töø moät kieän haøng. Giaû moät kieän haøng. Giaû thieát saûn phaåm hoaëc thieát saûn phaåm hoaëc laø ñaït tieâu chuaån hoaëc laø ñaït tieâu chuaån hoaëc khoâng ñaït tieâu chuaån. khoâng ñaït tieâu chuaån. -Khoâng gian maãu coù bao Khoâng gian maãu coù bao nhieâu phaàn töû ? Haõy nhieâu phaàn töû ? Haõy chæ ra caùc phaàn töû cuûa chæ ra caùc phaàn töû cuûa khoâng gian maãu?khoâng gian maãu?

Haõy chæ ra caùc taäp hôïp Haõy chæ ra caùc taäp hôïp bieåu dieãn caùc b/c sau:bieåu dieãn caùc b/c sau: 1-1- Khoâng coù saûn phaåm Khoâng coù saûn phaåm ñaït tieâu chuaån trong 3 sp ñaït tieâu chuaån trong 3 sp kieåm tra.kieåm tra. 2-2- Coù 1 sp ñaït tieâu chuaån Coù 1 sp ñaït tieâu chuaån trong 3 sp kieåm tra.trong 3 sp kieåm tra. 3-3- Coù 2 sp ñaït tieâu chuaån Coù 2 sp ñaït tieâu chuaån trong 3 sp kieåm tra.trong 3 sp kieåm tra. 4-4- Caû 3 sp k.tra ñeàu ñaït Caû 3 sp k.tra ñeàu ñaït tieâu chuaåntieâu chuaån

ω1

ω2

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

Caùc tính Caùc tính chaátchaát::

A ∪ B = B B = B ∪∪ A A

A ∩ B = B B = B ∩∩ A A

A∪(BB∪∪C) = C) = (A(A∪∪B)B)∪∪CC = A = A ∪∪ B B ∪∪ C C

A∩(BB∩∩CC) = () = (AA∩∩BB))∩∩CC = = AA ∩∩ BB ∩∩ CC A∪(BB∩∩CC)= )= ((AA∪∪BB))∩∩ ((AA∪∪CC) ) A∩(BB∪∪CC)= )= ((AA∩∩BB))∪∪ ((AA∩∩CC) )

BABA ∩=∪

BABA ∪=∩

1- Khaùi nieäm veà xaùc 1- Khaùi nieäm veà xaùc suaát:suaát:Xaùc suaátXaùc suaát cuûa moät cuûa moät bieán coá laø moät con soá bieán coá laø moät con soá bieåu thò khaû naêng xaûy bieåu thò khaû naêng xaûy ra bieán coá ñoù khi thöïc ra bieán coá ñoù khi thöïc hieän pheùp thöû.hieän pheùp thöû.

Xeùt pheùp thöû Xeùt pheùp thöû ττ , giaû söû , giaû söû khoâng gian maãu coù höõu khoâng gian maãu coù höõu haïn caùc bieán coá sô caáp haïn caùc bieán coá sô caáp vaø caùc bieán coá naøy coù vaø caùc bieán coá naøy coù khaû naêng xaûy ra nhö khaû naêng xaûy ra nhö nhau (ta goïi laø ñoàng nhau (ta goïi laø ñoàng khaû naêng).khaû naêng).•• Soá bieán coá sô caáp Soá bieán coá sô caáp ñoàng khaû naêng laø nñoàng khaû naêng laø n

2- Ñònh nghóa coå ñieån 2- Ñònh nghóa coå ñieån veà xaùc suaátveà xaùc suaát

Ta noùi ñôn giaûn: n laø soá Ta noùi ñôn giaûn: n laø soá tröôøng hôïp ñoàng khaû tröôøng hôïp ñoàng khaû naêng coù theå xaûy ra khi naêng coù theå xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû thöïc hieän pheùp thöû ττ•• Bieán coá ABieán coá A == AA11∪∪AA22∪∪ .. .. .. ∪∪ AAm m

trong ñoù Atrong ñoù Aii ( i = 1, 2, . . . , ( i = 1, 2, . . . , m) laø caùc bieán coá sô m) laø caùc bieán coá sô caáp.caáp.Ta noùi ñôn giaûn: m laø Ta noùi ñôn giaûn: m laø soá tröôøng hôïp ñoàng soá tröôøng hôïp ñoàng khaû naêng thuaän lôïi cho khaû naêng thuaän lôïi cho bieán coá A.bieán coá A.

Khi ñoù, xaùc suaát Khi ñoù, xaùc suaát cuûa bieán coá A, kyù cuûa bieán coá A, kyù hieäu laø P(A), ñöôïc hieäu laø P(A), ñöôïc ñònh nghóañònh nghóa laø:laø:

P(A) P(A) ==

mm nn

Thí duï Thí duï 11 Tung moät con suùc Tung moät con suùc

saéc caân ñoái vaø saéc caân ñoái vaø ñoàng chaát.ñoàng chaát.Caùc tröôøng hôïp Caùc tröôøng hôïp ñoàng khaû naêng laø: ñoàng khaû naêng laø: suùc saéc ra maët 1, suùc saéc ra maët 1, suùc saéc ra maët 2, . . . suùc saéc ra maët 2, . . . , suùc saéc ra maët 6. , suùc saéc ra maët 6. Vaäy n = 6.Vaäy n = 6.

Thí duï Thí duï 22 Choïn ngaãu nhieân Choïn ngaãu nhieân

moät sinh vieân töø moät sinh vieân töø moät lôùp coù 50 sinh moät lôùp coù 50 sinh vieân (trong ñoù coù 30 vieân (trong ñoù coù 30 nöõ vaø 20 nam).nöõ vaø 20 nam).

Tröôøng hôïp ñoàng Tröôøng hôïp ñoàng khaû naêng laø nhöõng khaû naêng laø nhöõng tröôøng hôïp naøo?tröôøng hôïp naøo?Bao nhieâu tröôøng Bao nhieâu tröôøng hôïp ñoàng khaû hôïp ñoàng khaû naêng?naêng?

Thí duï Thí duï 33 Choïn ngaãu nhieân 2 Choïn ngaãu nhieân 2

saûn phaåm töø moät saûn phaåm töø moät kieän haøng coù 5 saûn kieän haøng coù 5 saûn phaåm (trong ñoù coù 3 phaåm (trong ñoù coù 3 saûn phaåm loaïi I vaø saûn phaåm loaïi I vaø 2 saûn phaåm loaïi II).2 saûn phaåm loaïi II).

Tröôøng hôïp ñoàng Tröôøng hôïp ñoàng khaû naêng laø nhöõng khaû naêng laø nhöõng tröôøng hôïp naøo?tröôøng hôïp naøo?Bao nhieâu tröôøng Bao nhieâu tröôøng hôïp ñoàng khaû hôïp ñoàng khaû naêng?naêng?

n = 10n = 10

Thí duï Thí duï 11 Tung moät con suùc saéc Tung moät con suùc saéc

caân ñoái vaø ñoàng chaát. caân ñoái vaø ñoàng chaát. Goïi A laø b/c suùc saéc ra Goïi A laø b/c suùc saéc ra maët chaünmaët chaünCaùc tröôøng hôïp thuaän Caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A laø: suùc saéc ra lôïi cho A laø: suùc saéc ra maët 2, suùc saéc ra maët maët 2, suùc saéc ra maët 4, suùc saéc ra maët 6. 4, suùc saéc ra maët 6. Vaäy m = 3.Vaäy m = 3.

Thí duï Thí duï 22 Choïn ngaãu nhieân Choïn ngaãu nhieân

moät sinh vieân töø moät sinh vieân töø moät lôùp coù 50 sinh moät lôùp coù 50 sinh vieân (trong ñoù coù 30 vieân (trong ñoù coù 30 nöõ vaø 20 nam). Goïi nöõ vaø 20 nam). Goïi B laø bieán coá choïn B laø bieán coá choïn ñöôïc sinh vieân nöõ.ñöôïc sinh vieân nöõ.

Tröôøng hôïp thuaän Tröôøng hôïp thuaän lôïi cho B laø nhöõng lôïi cho B laø nhöõng tröôøng hôïp naøo?tröôøng hôïp naøo?Bao nhieâu tröôøng Bao nhieâu tröôøng hôïp thuaän lôïi cho hôïp thuaän lôïi cho bieán coá B?bieán coá B?

Thí duï Thí duï 33 Choïn ngaãu nhieân 2 Choïn ngaãu nhieân 2

saûn phaåm töø moät saûn phaåm töø moät kieän haøng coù 5 saûn kieän haøng coù 5 saûn phaåm (trong ñoù coù 3 phaåm (trong ñoù coù 3 saûn phaåm loaïi I vaø 2 saûn phaåm loaïi I vaø 2 saûn phaåm loaïi II). Goïi saûn phaåm loaïi II). Goïi C laø bieán coá choïn ñöôïc C laø bieán coá choïn ñöôïc moät saûn phaåm loaïi I moät saûn phaåm loaïi I vaø moät saûn phaåm loaïi vaø moät saûn phaåm loaïi II.II.

Tröôøng hôïp thuaän Tröôøng hôïp thuaän lôïi cho C laø nhöõng lôïi cho C laø nhöõng tröôøng hôïp naøo?tröôøng hôïp naøo?Bao nhieâu tröôøng Bao nhieâu tröôøng hôïphôïpthuaän lôïi cho bieán thuaän lôïi cho bieán coá C?coá C?

m = 6m = 6

b- Caùc tính chaát cuûa b- Caùc tính chaát cuûa xaùc suaát:xaùc suaát: Neáu A laø b/coá ngaãu Neáu A laø b/coá ngaãu

nhieân thì:nhieân thì: 0 < P(A) < 10 < P(A) < 1 Neáu Neáu ΩΩ laø b/coá chaéc laø b/coá chaéc chaén thì:chaén thì: P(P(ΩΩ ) = 1) = 1 Neáu Neáu ∅∅ laø b/coá khoâng laø b/coá khoâng theå thì:theå thì: P(P(∅∅ ) = 0) = 0

Vôùi A laø bieán Vôùi A laø bieán coá baátcoá baát kyø, ta luoân kyø, ta luoân coù:coù:

0 0 ≤≤ P(A) P(A) ≤≤ 1 1

3- Caùc khaùi nieäm 3- Caùc khaùi nieäm cuûa giaûi tích toå hôïpcuûa giaûi tích toå hôïp

** Qui taéc nhaân

Thí Thí duïduï:Coù hai hoäp, hoäp thöù Coù hai hoäp, hoäp thöù nhaát coù 3 saûn phaåm, nhaát coù 3 saûn phaåm, hoäp thöù hai coù 2 saûn hoäp thöù hai coù 2 saûn phaåm. Laáy ngaãu nhieân phaåm. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp thöù nhaát ra 2 töø hoäp thöù nhaát ra 2 saûn phaåm, töø hoäp thöù saûn phaåm, töø hoäp thöù hai laáy ngaãu nhieân ra 1 hai laáy ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm. Vaäy coù bao saûn phaåm. Vaäy coù bao nhieâu caùch laáy ra 3 nhieâu caùch laáy ra 3 saûn phaåm töø hai hoäp? saûn phaåm töø hai hoäp?

nn11= 3= 3

nn22= 2= 2

nn == 66

21nnn =

Neáu ñoái töôïng A coù theå Neáu ñoái töôïng A coù theå ñöôïc choïn baèng nñöôïc choïn baèng n11 caùch, caùch,

vôùi moãi caùch choïn A ta vôùi moãi caùch choïn A ta coù ncoù n22 caùch choïn ñoái töôïng caùch choïn ñoái töôïng B. Khi ñoù soá caùch choïn A B. Khi ñoù soá caùch choïn A vaø B laø:vaø B laø:

Toång quaùt: Neáu choïn Neáu choïn k ñoái töôïng thì soá caùch k ñoái töôïng thì soá caùch choïn k ñoái töôïng seõ laø:choïn k ñoái töôïng seõ laø:

k21 n....nnn =(n(nii laø soá caùch choïn ñoái laø soá caùch choïn ñoái

töôïng thöù i )töôïng thöù i )

* Chænh hôïp

Chænh hôïp chaäp k Chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû (k cuûa n phaàn töû (k ≤≤ n) laø moät nhoùm coù n) laø moät nhoùm coù thöù töï goàm k phaàn thöù töï goàm k phaàn töû khaùc nhau choïn töû khaùc nhau choïn töø n phaàn töû.töø n phaàn töû.

Soá chænh hôïp chaäp Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû k cuûa n phaàn töû ñöôïc kyù hieäu laø:ñöôïc kyù hieäu laø:

knA

)!kn(

!nAk

n −=

Thí duïThí duï Coù theå thaønh laäp Coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu ñöôïc bao nhieâu con con soásoá goàm 3 goàm 3 chöõ soáchöõ soá khaùc nhau töø 5 chöõ khaùc nhau töø 5 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5.soá 1, 2, 3, 4, 5.

GiaûGiaûii Moät Moät con soácon soá goàm 3 goàm 3 chöõ chöõ

soásoá khaùc nhau töø choïn khaùc nhau töø choïn töø 5 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 töø 5 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 chaúng haïn nhö: 153; 315; chaúng haïn nhö: 153; 315; 243; . . . 243; . . . Coù theå xem nhö Coù theå xem nhö moät chænh hôïp chaäp 3 moät chænh hôïp chaäp 3 cuûa 5 phaàn töû.cuûa 5 phaàn töû. Vaäy soá Vaäy soá caùc con soá coù theå thaønh caùc con soá coù theå thaønh laäp laø: laäp laø:

AA = 60 = 60

3355

* Chænh hôïp laëp

Chænh hôïp laëp chaäp k Chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät cuûa n phaàn töû laø moät nhoùm coù thöù töï goàm k nhoùm coù thöù töï goàm k phaàn töû choïn töø n phaàn töû choïn töø n phaàn töû. Trong ñoù moãi phaàn töû. Trong ñoù moãi phaàn töû coù theå coù phaàn töû coù theå coù maët (laëp laïi) moät laàn, maët (laëp laïi) moät laàn, hoaëc hai laàn, . . . , hoaëc hoaëc hai laàn, . . . , hoaëc k laàn trong nhoùm ñoù.k laàn trong nhoùm ñoù.

Vì moãi phaàn töû coù Vì moãi phaàn töû coù theå coù maët nhieàu laàn theå coù maët nhieàu laàn trong moät chænh hôïp trong moät chænh hôïp laëp neân k coù theå lôùn laëp neân k coù theå lôùn hôn n cuõng ñöôïc.hôn n cuõng ñöôïc.Soá chænh hôïp laëp chaäp Soá chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû ñöôïc k cuûa n phaàn töû ñöôïc kyù hieäu laøkyù hieäu laø(hoaëc )(hoaëc )

k

nBk

nA~

kkn nB =

Chuù Chuù yùyù • Moät chænh hôïp cuõng Moät chænh hôïp cuõng

chính laø moät chænh hôïp chính laø moät chænh hôïp laëp (caùc phaàn töû trong laëp (caùc phaàn töû trong nhoùm laëp laïi toái ña 1 nhoùm laëp laïi toái ña 1 laàn).laàn).

• Taäp hôïp caùc chænh Taäp hôïp caùc chænh hôïp khoâng laëp laø moät hôïp khoâng laëp laø moät taäp hôïp con cuûa taäp taäp hôïp con cuûa taäp hôïp caùc chænh hôïp laëp.hôïp caùc chænh hôïp laëp.

Thí duï Thí duï 11 Coù theå thaønh laäp Coù theå thaønh laäp

ñöôïc bao nhieâu ñöôïc bao nhieâu con soácon soá goàm 2 goàm 2 chöõ soáchöõ soá töø 4 töø 4 chöõ soá 1, 2, 3, 4.chöõ soá 1, 2, 3, 4.

GiaGiaûiûi Vì khoâng ñoøi hoûi 2 soá Vì khoâng ñoøi hoûi 2 soá

phaûi khaùc nhau, neân phaûi khaùc nhau, neân moãi con soá goàm 2 chöõ moãi con soá goàm 2 chöõ soá choïn töø taäp hôïp soá choïn töø taäp hôïp goàm 4 chöõ soá: 1, 2, 3, 4, goàm 4 chöõ soá: 1, 2, 3, 4, chaúng haïn nhö: 12; 13; chaúng haïn nhö: 12; 13; 31; 24; 33; . . . coù theå xem 31; 24; 33; . . . coù theå xem nhö moät chænh hôïp laëp nhö moät chænh hôïp laëp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû. chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû. Vaäy soá caùc con soá coù Vaäy soá caùc con soá coù theå thaønh laäp laø: B = 4 theå thaønh laäp laø: B = 4 = 16 = 16

442 2 2 2

12 12

13 13

1414

2121

3131

4141

2323 2424

32 32

4242

34 34

4343 3333

2222

1111 4444

Thí duï Thí duï 22 Xeáp 3 cuoán saùch vaøo 2 Xeáp 3 cuoán saùch vaøo 2

ngaên. Hoûi coù bao ngaên. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp?nhieâu caùch xeáp?

GiaûiGiaûi:: - - Xeáp caû 3 cuoán Xeáp caû 3 cuoán saùch vaøo ngaên 1. Xem nhö saùch vaøo ngaên 1. Xem nhö choïn 3 soá 1 (choïn 3 soá 1 (111111).).

- Xeáp cuoán 1 vaø cuoán 2 - Xeáp cuoán 1 vaø cuoán 2 vaøo ngaên 1, xeáp cuoán 3 vaøo ngaên 1, xeáp cuoán 3 vaøo ngaên 2: (vaøo ngaên 2: (112112))

-Xeáp cuoán 1 vaøo ngaên 2, Xeáp cuoán 1 vaøo ngaên 2, xeáp cuoán 2 vaøo ngaên 1, xeáp cuoán 2 vaøo ngaên 1, xeáp cuoán 3 vaøo ngaên 2: xeáp cuoán 3 vaøo ngaên 2: ((212212))-Khaùi quaùt:Khaùi quaùt: moãi caùch moãi caùch xeáp 3 cuoán saùch vaøo 2 xeáp 3 cuoán saùch vaøo 2 ngaên xem nhö moät chænh ngaên xem nhö moät chænh hôïp laëp chaäp 3 cuûa 2. hôïp laëp chaäp 3 cuûa 2. Vaäy soá caùch xeáp laø:Vaäy soá caùch xeáp laø:

BB = 2 = 8 = 2 = 8

2233 33

Caùch Caùch xeápxeáp

ngaên 1ngaên 1 Ngaên 2Ngaên 2

11 111111

22 222222

33 112112

44 112222

55 112121

66 221111

77 222211

88 221212

Cuoán saùch 1Cuoán saùch 1

ngaên 2ngaên 2ngaên 1ngaên 1

Cuoán saùch 2

Cuoán saùch 3

2211 22 11

11 11 11 1122 22 22 22

111; 112; 121; 122; 211; 212; 221;222111; 112; 121; 122; 211; 212; 221;222

* Hoaùn vò

Hoaùn vò cuûa m phaàn Hoaùn vò cuûa m phaàn töû laø moät nhoùm coù töû laø moät nhoùm coù thöù töï goàm ñuû maët m thöù töï goàm ñuû maët m phaàn töû.phaàn töû.Soá hoaùn vò cuûa m Soá hoaùn vò cuûa m phaàn töû ñöôïc kyù hieäu phaàn töû ñöôïc kyù hieäu laø Plaø Pmm !mPm =

Chuù Chuù yùyù Caùc hoaùn vò ñeàu Caùc hoaùn vò ñeàu

gioáng nhau veà thaønh gioáng nhau veà thaønh phaàn, chæ khaùc nhau phaàn, chæ khaùc nhau bôûi thöù töï saép xeáp bôûi thöù töï saép xeáp cuûa caùc phaàn töû cuûa caùc phaàn töû trong nhoùm.trong nhoùm.

Thí duïThí duï Xeáp 3 ngöôøi vaøo Xeáp 3 ngöôøi vaøo moät daõy gheá 3 choã moät daõy gheá 3 choã ngoài. Hoûi coù bao ngoài. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp?nhieâu caùch xeáp?

GiaûiGiaûi Moãi caùch xeáp 3 ngöôøi Moãi caùch xeáp 3 ngöôøi vaøo moät daõy gheá 3 vaøo moät daõy gheá 3 choã ngoài ñeàu gioáng choã ngoài ñeàu gioáng nhau veà thaønh phaàn, nhau veà thaønh phaàn, chæ khaùc nhau bôûi thöù chæ khaùc nhau bôûi thöù töï saép xeáp cuûa caùc töï saép xeáp cuûa caùc phaàn töû trong nhoùm. phaàn töû trong nhoùm. Vaäy soá caùch xeáp laø: Vaäy soá caùch xeáp laø: PP33..Ta coù: PTa coù: P33 = 3! = 6 = 3! = 6

Caùch xeápCaùch xeáp

11

22

33

44

55

66

Chuù Chuù yùyù Coù theå duøng qui taéc Coù theå duøng qui taéc

nhaân thay theá cho nhaân thay theá cho chænh hôïp, chænh chænh hôïp, chænh hôïp laëp, hoaùn vò.hôïp laëp, hoaùn vò.

* Toå hôïpToå hôïp

Toå hôïp chaäp k cuûa Toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû (k n phaàn töû (k ≤≤ n) laø n) laø moät nhoùm khoâng moät nhoùm khoâng phaân bieät thöù töï phaân bieät thöù töï goàm k phaàn töû goàm k phaàn töû khaùc nhau choïn töø n khaùc nhau choïn töø n phaàn töû.phaàn töû.

Soá toå hôïp chaäp k Soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñöôïc cuûa n phaàn töû ñöôïc kyù hieäu laøkyù hieäu laø

knC

)!kn(!k

!nCk

n −=

Chuù Chuù yùyù Toå hôïp vaø chænh hôïp Toå hôïp vaø chænh hôïp

gioáng nhau ôû choã: ñeàu gioáng nhau ôû choã: ñeàu laø nhöõng nhoùm goàm k laø nhöõng nhoùm goàm k phaàn töû khaùc nhau choïn phaàn töû khaùc nhau choïn töø taäp hôïp goàm n phaàn töø taäp hôïp goàm n phaàn töû. Khaùc nhau ôû choã: töû. Khaùc nhau ôû choã: toå hôïp khoâng phaân toå hôïp khoâng phaân bieät thöù töï, chænh hôïp bieät thöù töï, chænh hôïp coù phaân bieät thöù töï coù phaân bieät thöù töï caùc phaàn töû trong caùc phaàn töû trong nhoùm.nhoùm.

Thí duï Thí duï 11 Moät lôùp trong moät Moät lôùp trong moät

hoïc kyø phaûi hoïc 5 hoïc kyø phaûi hoïc 5 moân, moãi ngaøy hoïc moân, moãi ngaøy hoïc 2 moân. Vaäy coù bao 2 moân. Vaäy coù bao nhieâu caùch xeáp thôøi nhieâu caùch xeáp thôøi khoùa bieåu trong moät khoùa bieåu trong moät ngaøy?ngaøy?

GiaGiaûiûi Khi xeáp thôøi khoaù bieåu Khi xeáp thôøi khoaù bieåu

trong moät ngaøy neáu ta trong moät ngaøy neáu ta thay ñoåi thöù töï moân thay ñoåi thöù töï moân hoïc seõ taïo ra caùch xeáp hoïc seõ taïo ra caùch xeáp khaùc. Töùc coù phaân khaùc. Töùc coù phaân bieät thöù töï moân hoïc. bieät thöù töï moân hoïc. Vaäy moãi caùch xeáp thôøi Vaäy moãi caùch xeáp thôøi khoaù bieåu trong moät khoaù bieåu trong moät ngaøy laø moät chænh hôïp ngaøy laø moät chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5. Vaäy soá chaäp 2 cuûa 5. Vaäy soá caùch xeáp laø: A = 20caùch xeáp laø: A = 20

552 2

Caùch Caùch xeápxeáp

Caùch xeápCaùch xeáp

11 1111

22 1212

33 1313

44 1414

55 1515

66 1616

77 1717

88 1818

99 1919

1010 2020

Thí duï Thí duï 22 Coù 5 ñoäi boùng thi Coù 5 ñoäi boùng thi

ñaáu vôùi nhau theo ñaáu vôùi nhau theo caùch: 2 ñoäi baát kyø caùch: 2 ñoäi baát kyø trong 5 ñoäi boùng trong 5 ñoäi boùng naøy phaûi thi ñaáu naøy phaûi thi ñaáu vôùi nhau moät traän. vôùi nhau moät traän. Hoûi phaûi toå chöùc Hoûi phaûi toå chöùc bao nhieâu traän ñaáu?bao nhieâu traän ñaáu?

GiaGiaûiûi Moät traän giöõa hai ñoäi Moät traän giöõa hai ñoäi

boùng thì khoâng caàn boùng thì khoâng caàn phaân bieät thöù töï cuûa phaân bieät thöù töï cuûa hai ñoäi boùng ñoù. Vì vaäy hai ñoäi boùng ñoù. Vì vaäy moät traän ñaáu giöõa 2 moät traän ñaáu giöõa 2 ñoäi choïn trong soá 5 ñoäi ñoäi choïn trong soá 5 ñoäi boùng laø moät toå hôïp boùng laø moät toå hôïp chaäp 2 cuûa 5. Vaäy soá chaäp 2 cuûa 5. Vaäy soá traän ñaáu caàn phaûi toå traän ñaáu caàn phaûi toå chöùc laø:chöùc laø: CC = 10 = 10

552 2

Soá Soá tttt

Soá Soá tttt

11 ABAB 66 BDBD

22 ACAC 77 BEBE

33 ADAD 88 CDCD

44 AEAE 99 CECE

55 BCBC 1010 DEDE

•Chuù yù: • Ñeå tính Ñeå tính • coù theå duøng caùc coù theå duøng caùc haøm:haøm:• COMBIN(n,k); FACT(m);COMBIN(n,k); FACT(m);• PERMUT(n,k); POWER(n,kPERMUT(n,k); POWER(n,k))

• trong Excel trong Excel (xem phuï (xem phuï luïc 1)luïc 1)

kn

knm

kn B;A;P;C

4- Ñònh nghóa thoáng 4- Ñònh nghóa thoáng keâ cuûakeâ cuûa xaùc suaát xaùc suaát Xeùt pheùp thöû Xeùt pheùp thöû ττ vaø vaø A laø moät bieán coá. A laø moät bieán coá. Giaû söû ta coù theå Giaû söû ta coù theå thöïc hieän laëp laïi thöïc hieän laëp laïi pheùp thöû pheùp thöû ττ voâ haïn voâ haïn laàn. laàn.

Khi thöïc hieän pheùp Khi thöïc hieän pheùp thöû thöû ττ n laàn ta thaáy n laàn ta thaáy coù k laàn bieán coácoù k laàn bieán coá

A xaûy ra, ta goïi tyû A xaûy ra, ta goïi tyû soá soá

laø taàn suaát cuûa laø taàn suaát cuûa bieán coá A trong n bieán coá A trong n pheùp thöû, kyù hieäu pheùp thöû, kyù hieäu laø flaø fnn(A)(A)

kk nn

fn(A) =

Khi n taêng voâ haïn Khi n taêng voâ haïn taàn suaát ftaàn suaát fnn(A) caøng (A) caøng gaàn moät soá khoâng gaàn moät soá khoâng ñoåi p, khi ñoù:ñoåi p, khi ñoù:P(A) = lim fn(A) = p

n→∞

n k

Trong thöïc teá, khi n Trong thöïc teá, khi n ñuû lôùn, ta xaáp xæ ñuû lôùn, ta xaáp xæ P(A) P(A) ≈≈ f fnn(A)(A) Thí duï:

1-1- Tính xaùc suaát ñeå Tính xaùc suaát ñeå moät maùy saûn xuaát moät maùy saûn xuaát ra pheá phaåm ra pheá phaåm 2-2- Tính xaùc suaát ñeå Tính xaùc suaát ñeå xe oâ toâ bò tai naïn. xe oâ toâ bò tai naïn.

IV- Caùc coâng thöùcIV- Caùc coâng thöùc tính xaùc suaáttính xaùc suaát

Neáu A vaø B laø hai Neáu A vaø B laø hai bieán coá xung khaéc thì:bieán coá xung khaéc thì:

P(A P(A ∪∪ B) = P(A) + B) = P(A) + P(B)P(B)

1- 1- Coâng thöùc coäng xaùc Coâng thöùc coäng xaùc suaátsuaát::

Toång quaùt:

Neáu ANeáu A11, A, A22, . . . , A, . . . , Ann laø laø n bieán coá xung khaéc n bieán coá xung khaéc töøng ñoâi, thì:töøng ñoâi, thì:

P(AP(A11 ∪∪ A A22 ∪∪ . . . . . . ∪∪ A Ann) = ) = P(AP(A11) +) + P(AP(A22) + . . . ) + . . . + P(A+ P(Ann))

Heä quaû:Heä quaû: Neáu A vaø Neáu A vaø laø hai bieán coá ñoái laäp laø hai bieán coá ñoái laäp nhau thì: nhau thì:

A

P(A) = 1 P(A) = 1 −− P( ) P( ) A

Neáu A vaø B laø hai Neáu A vaø B laø hai bieán coá khoâng xung bieán coá khoâng xung khaéc thì:khaéc thì:P(A P(A ∪∪ B) = P(A) + P(B) B) = P(A) + P(B) −− P(AB)P(AB)

+−−−++=∪∪

)AA(P)AA(P)AA(P

)A(P)A(P)A(P)AAA(P

323121

321321

)AAA(P 321+

Tröôøng hôïp n = 3:Tröôøng hôïp n = 3: Neáu Neáu AA11, A, A22, A, A33 laø caùc b/coá laø caùc b/coá khoâng xung khaéc, thì:khoâng xung khaéc, thì:

Thí duï 1Thí duï 1:: Moät hoäp coù 5 saûn phaåm (trong ñoù coù 3 saûn phaåm loaïi I vaø 2 saûn phaåm loaïi II. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra 2 saûn phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå coù khoâng quaù 1 saûn phaåm loaïi I trong 2 saûn phaåm laáy ra.

GiaûiGiaûi:: Goïi AGoïi A00 laø b/c laø b/c “khoâng coù saûn phaåm “khoâng coù saûn phaåm loaïi I naøo trong 2 saûn loaïi I naøo trong 2 saûn phaåm laáy ra”; Aphaåm laáy ra”; A11 laø b/c laø b/c “coù 1 saûn phaåm loaïi I “coù 1 saûn phaåm loaïi I trong 2 saûn phaåm laáy trong 2 saûn phaåm laáy ra”; A laø b/c”coù khoâng ra”; A laø b/c”coù khoâng quaù 1 saûn phaåm loaïi I quaù 1 saûn phaåm loaïi I trong 2 saûn phaåm laáy trong 2 saûn phaåm laáy ra”. ra”.

A = AA = A00 ∪∪ A A11

AA00, A, A11 xung khaéc. xung khaéc.

P(A) = P(AP(A) = P(A00 ∪∪ A A11) = P(A) = P(A00) + ) + P(AP(A11)) P(AP(A00) = = = 0,1 ) = = = 0,1

C C CC

2 22 22 55

11

1010

P(AP(A11) = = = ) = = = 0,6 0,6

CC CC CC 55 33 11 11

22 22

1010

66

⇒⇒ P(A) = 0,1 + 0,6 = P(A) = 0,1 + 0,6 = 0,70,7

1- 1- Xaùc suaáùt Xaùc suaáùt coù ñieàu kieäncoù ñieàu kieän

2- Coâng thöùc nhaân 2- Coâng thöùc nhaân xaùc suaátxaùc suaát

a- a- Ñònh Ñònh nghóanghóa:: Xaùc suaát cuûa bieán coá Xaùc suaát cuûa bieán coá A ñöôïc tính vôùi ñieàu A ñöôïc tính vôùi ñieàu kieän bieán coá B ñaõ kieän bieán coá B ñaõ xaûy ra goïi laø xaùc xaûy ra goïi laø xaùc suaát coù ñieàu kieän suaát coù ñieàu kieän cuûa A, kyù hieäu laø cuûa A, kyù hieäu laø P(A/B)P(A/B)

b- b- Coâng thöùc tínhCoâng thöùc tính::Ñeå tính xaùc suaát coù Ñeå tính xaùc suaát coù ñieàu kieän, tuøy theo ñieàu kieän, tuøy theo ñieàu kieän cuï theå cuûa ñieàu kieän cuï theå cuûa baøi toaùn ta coù theå baøi toaùn ta coù theå duøng: ñònh nghóa coå duøng: ñònh nghóa coå ñieån, coâng thöùc Bayes, ñieån, coâng thöùc Bayes, hoaëc aùp duïng coâng hoaëc aùp duïng coâng thöùc sau:thöùc sau:

P(A/B) P(A/B) ==

c- Thí duï:c- Thí duï: Moät lôùp coù Moät lôùp coù 50 s/v (20 nöõ vaø 30 nam, 50 s/v (20 nöõ vaø 30 nam, trong ñoù coù 5 nöõ gioûi trong ñoù coù 5 nöõ gioûi toaùn). Gaëp ng.n moät s/v toaùn). Gaëp ng.n moät s/v cuûa lôùp. Tìm xaùc suaát cuûa lôùp. Tìm xaùc suaát ñeå gaëp ñöôïc s/v gioûi ñeå gaëp ñöôïc s/v gioûi toaùn bieát s/v naøy laø toaùn bieát s/v naøy laø nöõ ?nöõ ?

P(AB)P(AB) P(B)P(B)

GiaûiGiaûi:: Goïi A laø bieán Goïi A laø bieán coá “gaëp ñöôïc s/v gioûi coá “gaëp ñöôïc s/v gioûi toaùn”; B laø bieán coá toaùn”; B laø bieán coá “gaëp ñöôïc s/v nöõ”. Ta “gaëp ñöôïc s/v nöõ”. Ta caàn tìm P(A/B).caàn tìm P(A/B).

P(A/B) P(A/B) ==

P(AB)P(AB)

P(BP(B) )

== 5/5/505020/520/500

= = 0,250,25

Hai bieán coá A, B ñöôïc Hai bieán coá A, B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp vôùi goïi laø ñoäc laäp vôùi nhau neáu: nhau neáu:

P(A/B) = P(A) P(A/B) = P(A) HoaëcHoaëc P(B/A) = P(B)P(B/A) = P(B) Vieäc xaûy ra hay khoâng Vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa b/c naøy xaûy ra cuûa b/c naøy khoâng aûnh höôûng ñeán khoâng aûnh höôûng ñeán khaû naêng xaûy ra cuûa khaû naêng xaûy ra cuûa b/c kia.b/c kia.

Hai bieán coá A, B Hai bieán coá A, B ñöôïc goïi laø ñoäc ñöôïc goïi laø ñoäc laäp vôùi nhau khi laäp vôùi nhau khi vaø chæ khi: vaø chæ khi:

P(AB) = P(AB) = P(A).P(B) P(A).P(B)

Neáu A, B ñoäc laäp Neáu A, B ñoäc laäp thì: thì:

A, B; A, B vaø A, B A, B; A, B vaø A, B

cuõng ñoäc laäp.cuõng ñoäc laäp.

Caùc b/c ACaùc b/c A11, A, A22, . . . A, . . . Ann ñöôïc goïi laø ñoäc laäp ñöôïc goïi laø ñoäc laäp toaøn phaàn neáu moãi toaøn phaàn neáu moãi b/c ñoäc laäp vôùi moät b/c ñoäc laäp vôùi moät toå hôïp baát kyø trong toå hôïp baát kyø trong caùc bieán coá coøn laïi.caùc bieán coá coøn laïi.

Neáu A, B laø hai b/c Neáu A, B laø hai b/c baát kyø thì:baát kyø thì: P(AB) = P(AB) = P(A).P(B/A)P(A).P(B/A)

= = P(B).P(A/B) P(B).P(A/B)

2- 2- Ñònh lyù:Ñònh lyù:

Toång quaùtToång quaùt::

P(AP(A11AA22 . . . A . . . Ann) = ) = P(AP(A11)P(A)P(A22 /A /A11). . . ). . . P(AP(Ann/A/A11AA22. . . A. . . An-1n-1) )

Neáu ANeáu A11, A, A22, . . . A, . . . Ann laø laø caùc b/c baát kyø, thì:caùc b/c baát kyø, thì:

(xem thí duï trang 36)(xem thí duï trang 36)

Neáu A, B laø hai b/coá Neáu A, B laø hai b/coá ñoäc laäp, thì:ñoäc laäp, thì:

Heä quaû:Heä quaû:

P(AB) = P(AB) = P(A)P(B)P(A)P(B)

P(AP(A11AA22 . . . . . . AAnn)=P(A)=P(A11)P(A)P(A22)). . . . . .

P(AP(Ann))

Toång quaùtToång quaùt:: Neáu Neáu AA11,, AA2 2 , . . . , A, . . . , Ann laø caùc b/c ñoäc laäp laø caùc b/c ñoäc laäp toaøn phaàn, thì:toaøn phaàn, thì:

Chia ngaãu nhieân 9 hoäp söõa (trong ñoù coù 3 hoäp keùm phaåm chaát) thaønh 3 phaàn, moãi phaàn 3 hoäp. Tính xaùc suaát ñeå moãi phaàn coù 1 hoäp keùm phaåm chaát?

Thí duïThí duï::

GiaûiGiaûi:: Goïi AGoïi Aii (i = 1, 2) laø (i = 1, 2) laø

bieán coá phaàn thöù i coù bieán coá phaàn thöù i coù 1 hoäp söõa keùm phaåm 1 hoäp söõa keùm phaåm chaát.chaát.A laø bieán coá moãi A laø bieán coá moãi phaàn coù 1 hoäp keùm phaàn coù 1 hoäp keùm phaåm chaát.phaåm chaát.

(A2 phuï thuoäc A1). AÙp duïng coâng thöùc nhaân xaùc suaát, ta coù:

A = AA = A11AA22

P(A) = P(AP(A) = P(A11)P(A)P(A22/A/A11))

28

9

C

C.C.

C

C.C36

24

12

39

26

13 ==

3- Coâng thöùc xaùc suaát 3- Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ñaày ñuû • Cho khoâng gian maãu S Cho khoâng gian maãu S vaø Avaø A11, A, A22, . . . , A, . . . , Ann , B laø , B laø caùc bieán coá.caùc bieán coá.• Caùc bieán coá ACaùc bieán coá A11, , AA22, . . . , A, . . . , Ann laø heä bieán laø heä bieán coá ñaày ñuû neáu chuùng coá ñaày ñuû neáu chuùng thoûa maõn 2 ñieàu kieän thoûa maõn 2 ñieàu kieän sau:sau:

(1) A1 ∪ A2 . . . ∪ An = Ω

(2) Ai ∩ Aj = ∅ (∀i ≠ j) i, j ∈1,

2, . . . , n • Khi ñoù ta coù:Khi ñoù ta coù:

P(B) = P(B) = (A(Aii)P(B/A)P(B/Aii))

∑=

n

1i

P

Caùc xaùc suaát P(ACaùc xaùc suaát P(A11); );

P(AP(A22); . . . , P(A); . . . , P(Ann) thöôøng ) thöôøng

ñöôïc goïi laø caùc xaùc ñöôïc goïi laø caùc xaùc suaát tieân nghieäm vaø suaát tieân nghieäm vaø coâng thöùc treân ñöôïc coâng thöùc treân ñöôïc goïi laø goïi laø coâng thöùc xaùc coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû.suaát ñaày ñuû.

Thí duïThí duï:: Coù 3 kieän Coù 3 kieän haøng. Moãi kieän coù 5 haøng. Moãi kieän coù 5 saûn phaåm, soá saûn saûn phaåm, soá saûn phaåm loaïi A coù trong phaåm loaïi A coù trong kieän 1, kieän 2, kieän 3 kieän 1, kieän 2, kieän 3 töông öùng laø: 4, 3, 2. töông öùng laø: 4, 3, 2. Choïn ngaãu nhieân moät Choïn ngaãu nhieân moät kieän roài töø kieän ñaõ kieän roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân ra choïn laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm. Tìm xaùc moät saûn phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc saûn suaát ñeå laáy ñöôïc saûn phaåm loaïi A.phaåm loaïi A.

Giaûi:Giaûi:

Goïi B laø bieán coá laáy Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc saûn phaåm loaïi A. ñöôïc saûn phaåm loaïi A. AA11, A, A22, A, A33 töông öùng laø töông öùng laø

caùc bieán coá choïn ñöôïc caùc bieán coá choïn ñöôïc kieän 1, 2, 3.kieän 1, 2, 3.

AA11, A, A22, A, A33 laø moät heä bieán laø moät heä bieán coá ñaày ñuû.coá ñaày ñuû.

Kieän Kieän 11

Kieän Kieän 22

Kieän Kieän 33

ΩΩAA11

AA22

AA33

BB

3

1)A(P)A(P)A(P 321 ===

∑=

=3

1iii )A/B(P)A(P)B(P

P(B/AP(B/A11) = = 0,8) = = 0,84455

P(B/AP(B/A22) = = ) = = 0,60,6 55

33

P(B/AP(B/A33) = = ) = = 0,40,4

5522

P(B) = (0,8 + 0,6 + 0,4) P(B) = (0,8 + 0,6 + 0,4) = 0,6= 0,6

1133

4- Coâng thöùc Bayes4- Coâng thöùc Bayes

Vôùi caùc giaû thieát nhö Vôùi caùc giaû thieát nhö phaàn coâng thöùc xaùc phaàn coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû vaø ta suaát ñaày ñuû vaø ta theâm ñieàu kieän laø theâm ñieàu kieän laø pheùp thöû ñöôïc thöïc pheùp thöû ñöôïc thöïc hieän vaø bieán coá B ñaõ hieän vaø bieán coá B ñaõ xaûy ra. Khi ñoù:xaûy ra. Khi ñoù:

P(AP(Aii/B) = /B) =

( i = 1, 2, . ( i = 1, 2, . . . , n). . , n)

)B(P

)A/B(P)A(P ii

Caùc xaùc suaát P(ACaùc xaùc suaát P(Aii/B) /B)

ñöôïc xaùc ñònh sau khi ñöôïc xaùc ñònh sau khi ñaõ bieát keát quaû cuûa ñaõ bieát keát quaû cuûa pheùp thöû laø B ñaõ xaûy pheùp thöû laø B ñaõ xaûy ra neân thöôøng ñöôïc goïi ra neân thöôøng ñöôïc goïi laø caùc laø caùc xaùc suaát haäu xaùc suaát haäu nghieämnghieäm.. Coâng thöùc Bayes xaùc Coâng thöùc Bayes xaùc ñònh laïi caùc ñònh laïi caùc xaùc suaát xaùc suaát tieân nghieämtieân nghieäm P(A P(Aii)) khi khi

bieát thoâng tin laø B bieát thoâng tin laø B xaûy ra.xaûy ra.

Thí duïThí duï:: Coù 3 kieän Coù 3 kieän haøng. Moãi kieän coù 5 haøng. Moãi kieän coù 5 saûn phaåm, soá saûn saûn phaåm, soá saûn phaåm loaïi A coù trong phaåm loaïi A coù trong kieän 1, kieän 2, kieän 3 kieän 1, kieän 2, kieän 3 töông öùng laø: 4, 3, 2. töông öùng laø: 4, 3, 2. Choïn ngaãu nhieân moät Choïn ngaãu nhieân moät kieän roài töø kieän ñaõ kieän roài töø kieän ñaõ choïn laáy ngaãu nhieân ra choïn laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm thì ñöôïc moät saûn phaåm thì ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Tìm saûn phaåm loaïi A. Tìm xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc kieän 3.kieän 3.

Giaûi:Giaûi:

Goïi B laø bieán coá laáy Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc saûn phaåm loaïi A. ñöôïc saûn phaåm loaïi A. AA11, A, A22, A, A33 töông öùng laø töông öùng laø

caùc bieán coá choïn ñöôïc caùc bieán coá choïn ñöôïc kieän 1, 2, 3.kieän 1, 2, 3.

AA11, A, A22, A, A33 laø moät heä bieán laø moät heä bieán coá ñaày ñuû.coá ñaày ñuû.

Vì bieán coá B ñaõ xaûy ra, aùp duïng coâng thöùc Bayes ta coù:

P(AP(A33/B) = /B) = ==

1133 0,40,4

0,60,6 9922

TOÙM TAÉT CHÖÔNG 1TOÙM TAÉT CHÖÔNG 1

PheùpPheùp

thöûthöû

Bieán Bieán

coácoá

XaùcXaùcsuaátsuaátcuûacuûa

bieán bieán coácoá

•• ÑN coå ñieånÑN coå ñieån•• ÑN thoáng ÑN thoáng

keâkeâ•• Caùc coângCaùc coâng

thöùc thöùc cô baûncô baûn

•• Caùc loaïi b/cCaùc loaïi b/c•• Moái quan heäMoái quan heä

Ñieàu kieän Ñieàu kieän aùp duïngaùp duïng

Baøi taäp chuông 1Baøi taäp chuông 1 1.10; 1.15; 1.10; 1.15; 1.16; 1.16; 1.35; 1.36; 1.35; 1.36; 1.39; 1.39; 1.43; 1.48; 1.43; 1.48; 1.49;1.49;

Baøi taäp xaùc Baøi taäp xaùc suaát thoáng keâ suaát thoáng keâ Hoaøng Ngoïc NhaämHoaøng Ngoïc NhaämNXB Thoáng keâ 2011NXB Thoáng keâ 2011) )

Heát chuông 1Heát chuông 1