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Hidrología Aplicada a Obras Hidráulicas

*Mercedes Alexandra Villa Achupallas Febrero, 2011

B7. ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA

Usando el método de los momentos, ajustar la distribución normal a la precipitación máxima anual en 24 horas de la estación Alhama-Alcaicería, de la Tabla del ejercicio 1. Graficar las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y distribución acumulada. Utilizar el test para determinar si la distribución normal se ajusta adecuadamente a los datos.

Año hidrológico 1950 1960 1970 0/1 136.8 95.5 1/2 55.3 147.5 66.7 2/3 47.3 73.6 81.5 3/4 63.6 75 121.5 4/5 77 68 90.5 5/6 133.4 60.5 92.5 6/7 35 72.4 88 7/8 71.5 86.8 107 8/9 135.4 140 107 9/0 121.8 80.7 93

Se determina la precipitación media:

Ʃ=2624.80 mm n= 29 datos

90.51mm29

2624.80n

x === ∑

Calculo de la Desviación Estándar, en la tabla se presenta :

Año hidrológico 1950 1960 1970 0/1 2142.73 44.9 1/2 2239.77 3247.82 566.93 2/3 1867.13 285.96 81.19 3/4 724.17 240.57 960.36 4/5 182.53 506.72 0 5/6 1839.52 900.62 3.96 6/7 3081.4 327.98 6.3 7/8 361.39 13.77 271.91 8/9 2015.08 2449.23 271.91 9/0 979.04 96.24 6.2

= 24695.33 Ʃ

( )2xxi −

( )2xxi −

( )

( )

29.70S

24695.33129

1S

xx1n

1S21

2i

=

−=

−

−= ∑

Primero se divide el intervalo de precipitación (R) en 7 intervalos. El primero es

R≤ 40 y el último intervalo es R>140 y los intervalos intermedios son cada 20, a

cada intervalo asigno un número de datos (ni) en base a la los datos del ejercicio:

Así también se determina la frecuencia relativa para cada intervalo, en base a la

siguiente expresión:

( ) nnfs i

xi=

Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 fs(xi) 0.034 0.069 0.310 0.276 0.069 0.207 0.034

Partiendo de estos datos se determina la frecuencia acumulada:

Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 Fs(xi) 0.034 0.103 0.414 0.690 0.759 0.966 1.000

Cálculo de la variable normal estándar z corresponde al límite superior en cada

uno de los intervalos establecidos, mediante la siguiente expresión:

sxx

z supi

−=

Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 X Sup 40 60 80 100 120 140 160 Zi -1.701 -1.027 -0.354 0.320 0.993 1.666 2.340

Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 ni 1 2 9 8 2 6 1

Considerando los valores obtenidos en Zi, se determina la Probabilidad

acumulada de la distribución normal estándar F(xi), en la tabla que se indica a

continuación, para los Zi negativos, el valor de F(xi) corresponde a una diferencia

entre la unidad (1) y el valor obtenido en la tabla, para Zi positivos, F(xi) corresponde a la lectura realizada en dicha tabla.

A continuación se resumen el cálculo de la Probabilidad acumulada de la

distribución normal estándar F(xi)

Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 Zi -1.701 -1.027 -0.354 0.320 0.993 1.666 2.340 Lect. tabla 0.955 0.849 0.637 0.626 0.839 0.952 1 F(xi) 0.045 0.152 0.363 0.626 0.839 0.952 1

La función de probabilidad incremental p(xi) se calcula mediante una diferencia entre F(xi) del intervalo anterior y F(xi) del intervalo que se evalúa, de tal forma que:

Rango (mm) < 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >160 F(xi) 0.045 0.152 0.363 0.626 0.839 0.952 1 p (xi) 0.045 0.107 0.212 0.262 0.213 0.114 0.048

Finalmente, se determina, el valor del CHI CUADRADO:

m= número de intervalos

Intervalo i Rango (mm) ni fs (xi) Fs(xi) zi F(xi) p (xi) X2c 1 < 40 1 0.03 0.03 -1.70 0.96 0.04 0.07 2 40-60 2 0.07 0.10 -1.03 0.85 0.11 0.39 3 60-80 9 0.31 0.41 -0.35 0.64 0.21 1.33 4 80-100 8 0.28 0.69 0.32 0.63 0.26 0.02 5 100-120 2 0.07 0.76 0.99 0.84 0.21 2.83 6 120-140 6 0.21 0.97 1.67 0.95 0.11 2.29 7 >160 1 0.03 1.00 2.34 1.00 0.05 0.12

Ʃ= 29 1.00

1.00 7.05

A continuación se grafica la “Frecuencia Relativa” de la muestra “fs (xi)”y la ajustada “p (xi)”, y la precipitación máxima anual en 24horas.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

< 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >140

Frec

uenc

ia R

elat

iva

Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)

Función de Frecuencia Relativa

fs (xi)

p (xi)

Así también se presentan las distribuciones de probabilidad acumulada de la muestra “Fs (xi)”y la ajustada “F (xi)”.

El valor de 2

1, α−vX para una probabilidad acumulada de 1-a=0.95 y

v = m − p −1 m= número de intervalos p= número de parámetros utilizados en el ajuste

v = 7 − 2 −1 v = 4 grados de libertad

de tal forma que:

24;0.95

2αv,1 XX =−

Y de acuerdo a la siguiente tabla:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

< 40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 >140

Frec

uenc

ia A

cum

ulad

a

Precipitación Máxima Anual en 24h (mm)

Función de Frecuencia Acumulada

F (xi)

Fs(xi)

De la tabla anterior, se obtiene que 𝑋𝑋4.0.95

2 = 9.49 es mayor que 𝑋𝑋2 = 7.05, por lo tanto el ajuste de la distribución normal a la información de precipitación máxima anual se ACEPTA.