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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi delle Decisioni
Probabilita’ condizionate
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Probabilità condizionate
• Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi
• Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate
P(A|B)
probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
• Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino:
• M il nascituro è maschio
• F il nascituro è femmina
• EM l’ecografia prevede “maschio”
• EF l’ecografia prevede “femmina”
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
• Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta):
P(M,EM)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
• Valgono le seguenti espressioni:
P(M,EM) = P(M|EM) P(EM)
P(M,EM) = P(EM|M) P(M)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Teorema di Bayes
• Quindi:
P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M)
ossia
P(M|EM) =P(EM|M) P(M)
P(EM)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
Supponiamo
• P(M) = 0.5 P(F) = 0.5
• P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05
e di conseguenza
• P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
Possiamo ora calcolare
P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475
P(EF) = 1- P(EM) = 0.525
Possiamo ora applicare la formula di Bayes
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
P(M|EM) =P(EM|M) P(M)
P(EM)
=0.9 0.5
0.475= 0.947
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
P(F|EF) =P(EF|F) P(F)
P(EF)
=0.95 0.5
0.525= 0.904
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Teorema di Bayes
• In generale, dati due eventi A e B:
P(A|B) =P(B|A) P(A)
P(B)
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Teorema di Bayes
P(A|B) =P(B|A) P(A)
P(B)
Probabilità a-prioriProbabilità condizionate
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Teorema di Bayes
• È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: il concerto
• Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani
• Questa informazione non è perfetta
• Come determinare il valore di questa informazione?
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Attendibilità dell’informazione
• Caratterizziamo l’attendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata:
P(“Sereno”|Sereno) = 0.8
P(“Pioggia”|Pioggia) = 0.8
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Attendibilità dell’informazione
• L’informazione a-priori in questo caso è data da:
P(Ser) = 0.4
P(Piog) = 0.6
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Attendibilità dell’informazione
• La probabilità che la nuova informazione indichi “sereno”sarà:
P(“Ser”) = P(“Ser”|Ser) P(Ser) +
P(“Ser”|Piog) P(Piog) =
0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44
P(“Piog”) = 1- 0.44 = 0.56
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Attendibilità dell’informazione
• Con Bayes possiamo calcolare
= 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727
P(Piog|”Ser”) = 1- P(Ser|”Ser”) = 0.273
P(Ser|”Ser”) =P(“Ser”|Ser) P(Ser)
P(”Ser”)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Attendibilità dell’informazione
• E analogamente
= 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857P(Ser|”Piog”) = 1- P(Piog|”Piog”) =
0.143
P(Piog|”Piog”) =P(“Piog”|Piog) P(Piog)
P(”Piog”)
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Valore dell’informazione imperfetta• Per molti decisori il valore
dell’informazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione
• Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
aperto
chiuso
sereno (0.727)
sereno (0.727)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)1
0
0.57
0.67
0.95
0.32
0.727
0.5970.778
portico
aperto
chiuso
sereno (0.143)
sereno (0.143)
sereno (0.143)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)0.143
0.6550.178
portico
L’oracolo prevede“sereno” (0.44)
L’oracolo prevede“pioggia” (0.56)
0.778
0.655
0.7091
0
0.57
0.67
0.95
0.32€ 5,470
Informazione gratuita(Avi)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Il valore dell’informazione (Avi)
Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Avi è:
equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,470
-
equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,600
= € 870
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Informazione e decisioni
• Il valore dell’informazione perfetta per Avi era di € 2,000
• L’imperfezione nell’informazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui l’oracolo preveda tempo sereno)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
aperto
chiuso
sereno (0.727)
sereno (0.727)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)1
0
0.4
0.5
0.9
0.2
0.727
0.4270.709
portico
aperto
chiuso
sereno (0.143)
sereno (0.143)
sereno (0.143)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)0.143
0.4850.3
portico
L’oracolo prevede“sereno” (0.44)
L’oracolo prevede“pioggia” (0.56)
0.727
0.485
0.591
0
0.4
0.5
0.9
0.2€ 5,900
Informazione gratuita(Inat)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Il valore dell’informazione (Inat)
Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Inat è:
equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,900
-
equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,800
= € 1,110
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Confronto tra decisori: Avi
• Senza informazione: Chiuso
• Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Confronto tra decisori: Inat
• Senza informazione: Portico
• Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Confronto tra decisori
• Il valore dell’informazione imperfetta per Inat è di € 1,110, per Avi è di € 870
• Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi di sensibilità rivistaUna volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere l’analisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò l’esempio della tavola di decisione.
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
a1
Stati di natura
110
< -3 [-3,+2] > +2
a2
a3
110 110
100 105 115
90 100 120
Decisioni
probabilità 0.2 0.4 0.4
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
I valori di utilita’ degli eventi elementari erano:
u(90)=0
u(100)=0.4
u(105)=0.6
u(110)=0.8
u(115)=0.95
u(120)=1
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Osserviamo nuovamente che
P(2) = P(3).
Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali.
Poniamo allora
P(2) = p
P(3) = q
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
P(1) = 1 - p - q
Inoltre
U[a1] = 0.8, U[a2] = 0.7, U[a3] = 0.56.
U[a1] > U[a2]
0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 8 > 4p+11q
Ne consegue che
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
U[a1] > U[a3]
0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1 4 > 2p + 5q
U[a2] > U[a3]
(1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95> (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1
8 > 4p+9q
Analogamente
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
1.0
0.5 1.00
0.5
D
C
B
A
(0.4,0.4)
p + q = 1
p
q
4p + 9q = 8
2p + 5q = 4
4p + 11q = 8
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Nella regione A si ha U[a1] > U[a2] > U[a3]
Nella regione B si ha U[a2] > U[a1] > U[a3]
Nella regione C si ha U[a2] > U[a3] > U[a1]
Nella regione D si ha U[a3] > U[a2] > U[a1]
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Il punto (0.4,0.4) si trova all’interno della regione A. Quindi l’investimento a1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza.Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga all’interno della regione A.