Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER

TS. Lê CôngHảo

Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin

Schrödinger đã đưa ra một phương trình cho phép

xác định được hàm sóng mô tả trạng thái của một

hệ lượng tử.Erwin Schrödinger (1887-1961)

Phương trình này đóng một vai trò căn bản trong cơ học

lượng tử, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ

điển.

Khi giải phương trình Schrödinger, chúng ta có thể tìm được

hàm sóng và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có các

tọa độ, động lượng, v.v.. nào đó.

GIỚI THIỆU

3.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER

3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian

Hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực

Ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năngnào đó, U = U(x, y, z, t).

Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóngkhi biết hàm thế năng này.

2

2mx y z t U x y z t i

x y z t

t ( , , , ) . ( , , , )

( , , , )

i là số phức. là toán tử Laplace.

2

2

2

2

2

2x y zTrong hệ tọa độ Descartes,

3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian

Trong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t

2 2

22m

x t

xU x t x t i

x t

t

( , )( , ) ( , )

( , )

Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động của trường thế

nào ta bảo hạt chuyển động tự do:

2 2

22m

x t

xi

x t

t

( , ) ( , )

3.1.2. Điều kiện của hàm sóng

o Hữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn,

o Đơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm

chỉ có một xác suất tìm thấy hạt,

o Đạo hàm bậc hai của phải hữu hạn, muốn vậy thì và đạo hàm

bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục.

3.1.3. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (trạng

thái dừng)

Thế năng U của hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viếtthế năng dưới dạng U = U(x, y, z).

iEtzyxtzyx exp.,,,,,

Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần

2

2mx y z U x y z E x y z( , , ) . ( , , ) ( , , )

Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng

xExxUdx

d

m2 2

22

0xUE

m2

dx

d22

2

Hạt chuyển động một chiều

3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU

Bên ngoài U lớn nên hạt không thể nhảy ra hạt chỉ tồn tại bên trong

0xEm2

dx

)x(d22

2

2

2 mE2k

0xk

dx

)x(d 2

2

2

)cos(.)sin(. kxBkxAx Nghiệm tổng quát

3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU

1. Sin(x) vaø Cos(x) höõu haïn

2. Lieân tuïc: ψ(0) = ψ(a) = 0

ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = 0 B = 0 ψ(x) = A sin(kx)

ψ(a) = A sin(ka) = 0 sin(ka) = 0 k = πn/a, n = 1, 2, 3,…

Điều kiện của hàm sóng

Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng

a

0

21dxx

a

0

22 1dx)a/x..n(sinA

a/2A

)a/x..nsin(a/2)x(n

n4

]n2sin[a

2

adx)a/x..n(sin

a

0

2

Hàm sóng trong giếng thế phụ thuộc vào n

3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU

2

2 2nn n 2

2 2 22 2

n 2 2

2mEk n k n

a a

hE n n

2ma 8ma

Năng lượng của hạt bị lượng tử hóa Hạt chỉ có thể có nhữngnăng lượng xác định chứkhông thể có mọi nănglượng tùy ý

n = 1 (trạng thái cơ bản) ta cógiá trị năng lượng bé nhất

2

22

1ma2

E

Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong hố thế ứng với hàm sóng n

a

xn

axn

22

sin2

)12(2 2

22

1 nma

EEE nn

Khoảng cách giữa 2 mức liên tiếp

Giải bài toán hạt chuyển động vượt qua rào thế có U cao hơnnăng lượng của nó.

Theo cô hoïc löôïng töû E < Uo, ta thaáy haït vaãn coù khaû

naêng xuyeân qua raøo theá theo moät hieäu öùng goïi laø:

Hieäu öùng ñöôøng ngaàm.

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

Mieàn I & III:

Mieàn II:

Phöông trình Schrodinger

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

Em2

k,0kdx

d2

2

1

2

12

2

EUm2

k,0kdx

d02

2

2

2

22

2

xik

1

xik

1I11 eBeA

xk

2

xk

2II22 eBeA

)ax(ik

3

)ax(ik

3III11 eBeA

Nghiệm của của các phương trình vi phân

Hàm eikx mô tả một sóngtruyền từ trái sáng phải

ñaëc tröng cho soùng truyeàn qua raøo theá

moâ taû soùng phaûn xaï töø voâ cöïc trôû veà.

Caùc haèng soá : Ai, B

iñöôïc goïi laø caùc bieân ñoä soùng.

Vì raèng ôû voâ cöïc khoâng coù söï phaûn xaï soùng, do ñoù

ta ñaët B3

= 0

1iK (x-a)

3A e

1-iK (x-a)

3B e

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

Tính heä soá xuyeân raøo:

Heä soá truyeàn qua raøo D laø tæ soá giöõa bình phöông

bieân ñoä soùng truyeàn qua haøng raøo vaø bình phöông

bieân ñoä soùng tôùi.

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỉ số giữabình phương biên độ sóng phản xạ và sóng tới

2

1

3

2

1

2

3

A

A

A

AD

2

1

1

2

1

2

1

A

B

A

BR

Caên cöù vaøo ñieàu kieän bieân (x = 0 & x = a):

ax

III

ax

II

IIIII

0x

II

0x

I

III

dx

d

dx

d

aa

dx

d

dx

d

00

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

Ta coù theå ruùt ra caùc heä thöùc sau:

A1

+ B1

= A2

+ B2

ik1( A

1– B

1) = -k

2( A

2– B

2)

A2e

-k2a + B2

ek

2 a

= A3

- k2( A

2e

-k2a – B2e

k2a)= ik1A

3

0)ak2exp()n1(

n16D 222

2

nk

k

E

U E

1

2 0

ak

322eA

2

n.i1A

ak

322eA

2

n.i1B

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

0D exp[ (2a / ) 2m(U E)]

0

2

2.m(U E)D exp( 2.T.a), T

Hạt xuyên qua rào

Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10-31 J, khi đó ta có thể dùng lý

thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ số truyền qua D vào độ rộng hố thế a.

a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10

D 0,1 0,03 0,008 5.10-7

Ứng dụng:

1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại

2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn.

3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

3.4. . DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vịtrí cân bằng là một ví dụ về dao động tử điều hòa lượngtử.

Dao động tử điều hòa là một hiện tượng rất quan trọngcủa vật lí nói chung và cơ học lượng tử nói riêng.

Kết qủa về mức năng lượng

1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn

2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương

và là năng lượng ở nhiệt độ T = 0K.

3- Mức thứ n bất kỳ có giá trị

E

2

1E0

)2

1n(En n = 0, 1, 2,...