NỘI DUNG:I. BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN)II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNNIII. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên (phép thử ngẫu nhiên)

X là biến ngẫu nhiên

(:

)

R

XX

B

X(B)

I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục

I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm

BNN rời rạc: Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Ví dụ Tung một con xúc sắc 2 lần

Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận các giá trị 0, 1, hoặc 2.

Tung đồng xu 5 lầnĐặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.

Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5

I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm

BNN liên tục: Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R.

Ví dụ- Chiều cao, cân nặng.- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.

I. BIẾN NGẪU NHIÊN1. Khái niệm

BNN rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.Bảng phân phối xác suất của X:

Chú ý:

1

1)

2) 1

i i

n

ii

p P X x

p

1 2

1 2( )

n

n

x x xXP X p p p

I. BIẾN NGẪU NHIÊN2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Ví dụ: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình.

S

S

S

S

H

H

H H

4 khả năng có thể xảy raPhân phối xác suất

x P(x)

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

0 1 2 x

.50

.25

Xác

suất

I. BIẾN NGẪU NHIÊN2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Hàm mật độ xác suất: f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu

Ví dụ: cho hàm mật độ xác suất của X

Tìm c

) ( ) 0

) ( ) 1

x

ii f x dx

i f x

I. BIẾN NGẪU NHIÊN3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)

2 , 0, 2( )

0 , 0, 2

cx xf x

x

Tìm P(a<X<b)?f(x) P a x b( )≤≤

a b

I. BIẾN NGẪU NHIÊN3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)

) (( )

( ) (

) (

)

b

a

X b P a XP a X b P a b

P a X b f x dx

Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như sau

( ) F x P X x

I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1, x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất tương ứng p1, p2, …, pn.

Bảng phân phối xác suất của X

Hàm phân phối xác suất:

X x1 x2 … xn-1 xn

P p1 p2 … pn-1 pn

I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)

x x

F(x)i

ip

1

1 2

2 3

1

1

2 1

2

1

1

0 ,,

,)

,

(

,

) (

1

n n n

n

pp p

F x P

x xx x x

x x xx

p p p x x xx x

X

I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất của X

( ) ( )

x

F x P X f u dux

I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)

Ví dụXét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

Tìm hàm phân phối F(x). Tính P(1<X<3/2).

2 , 0, 2

0 , 0,8

2

3( )

x

fxx

x

I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)

Tính chất1) .

2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a) F(b).

3)

4)

0 ( ) 1F x

) lim(

(

( ) 0

) lim ( ) 1x

x

F

F

F x

F x

5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.

I. BIẾN NGẪU NHIÊN4. Hàm phân phối xác suất

)( ( ) ( ) b F bP FX aa

Kỳ vọng: Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên.

Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng

BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất

Kỳ vọng của X:

Kỳ vọng thường được ký hiệu là .

X x1 x2 … xn-1 xn

P p1 p2 … pn-1 pn

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)

1

( )

n

i ii

E X x p

Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.

Tính E(X).Bảng phân phối xác suất

E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1

X 0 1 2

P 0.25 0.5 0.25

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)

BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x).Kỳ vọng của X:

( ) ( )

E X xf x dx

Ví dụ: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ

Tính E(X).

2 , 0,238( )0 , 0,2

xf x

xx

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng (BNN liên tục)

Tính chất của kỳ vọng: E(a) = a, a: hằng số E(aX) = aE(X) E(X + Y)=E(X) + E(Y) E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN1. Kỳ vọng

Phương sai: Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung bình.

Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X), phương sai của X

Phương sai thường được ký hiệu là 2.

2

2 2

( )

( ) ( )

ar(X)ar(X)=

V E X E X

V E X E X

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai

Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

hoặc

2 2

1

( ) ( ) ( )

n

i ii

Var X E X E X x E X p

22 2

1

2( ) ( ) ( )

n

i ii

Var X E X EX x p E X

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN rời rạc)

Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.

Tính Var(X).Bảng phân phối xác suất

E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25 = 1Var(X) = E(X2) – E(X)2 = = (02x0.25 + 12 x0.5 + 22x0.25) – 12 = 0.5

X 0 1 2

P 0.25 0.5 0.25

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN rời rạc)

Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x).

hoặc

2 2( ) ( ) ( ) ( )

Var X E X E X x E X f x dx

2 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Var X E X E X x f x dx E X

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN liên tục)

Ví dụCho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

Tính E(X), Var(X).

2 , 0, 2

0 , 0,8

2

3( )

x

fxx

x

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai (BNN liên tục)

Tính chất của phương sai: Var(a) = 0, a:hằng số Var(aX) = a2Var(X)3) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

(nếu X và Y độc lập)

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN2. Phương sai

Độ lệch chuẩn:Là căn bậc hai của phương sai.

2 VarX

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN3. Độ lệch chuẩn

Số mode: Là giá trị của BNN có xác suất lớn nhất.

Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.Bảng phân phối xác suất

Mod(X) = 1Vì P(X = 1) = 0.5

X 0 1 2

P 0.25 0.5 0.25

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN4. Số mode (Giá trị tin chắc)

Số trung vị: Là giá trị của BNN chia phân phối xác suất thành 2 phần có xác suất bằng nhau.

II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN5. Số trung vị

1P(X med(X)) P(X med(X))2

BIEÅU ÑOÀ PHAÂN PHOÁI ÑIEÅM CUÛA 141 TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC NAÊM 200312

482

1245

119

413

2659

532

797 34

878

3570

735

506

3535

734

640

3358

832

802

3172

430

629

2942

028

858

2773

126

697

2532

624

237

2316

121

803

2056

019

509

1876

917

397

1654

315

350

1454

013

442

1274

611

668

1066

310

036

9081

8587

7734

6939

6308

5764

5023

4469

3887

3519

3038

2531

2185

1818

1613

1275

1041

825

609

433

293

207

100

60 32 4 20

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

400000.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

16.0

17.0

18.0

19.0

20.0

21.0

22.0

23.0

24.0

25.0

26.0

27.0

28.0

29.0

30.0

Nguoàn : Tuoåi Treû, ngaøy 4/9/2003

SOÁ THÍ SINH

ÑIEÅM

BNN X có phân phối nhị thức,

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. Phân phối nhị thức

n xx xnp(x) P(X x) C p 1 p ; x 0,1, ,n

X B n,p

Ví dụ: Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trong 1 lô hàng là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 100 sản phẩm ra để kiểm tra. Tính xác suất để:a) Có 3 sản phẩm bị lỗi.b) Có không quá 3 sản phẩm bị lỗi.

Nếu n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1 thì ta có công thức xấp xỉ sau:

Giá trị của hàm f(x) tra bảng phụ lục 1, f(- x) = f(x) Giá trị của hàm φ(x) tra bảng phụ lục 2, φ(- x) = - φ(x)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. Phân phối nhị thức

1 k np1) P(X k) fnp(1 p) np(1 p)

b np a np2) P(a X b)np(1 p) np(1 p)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT1. Phân phối nhị thức

Ví dụ: Một nhà máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm loại A là 20%. Nếu lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm, tính xác suất để:

a) Được 80 sản phẩm loại A.b) Được từ 60 đến 80 sản phẩm loại A.

BNN X có phân phối possion, X P(λ)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2. Phân phối possion

x

p(x) P(X x) e ; x 0,1, ,nx!

Ví dụ: Một nhà máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tính xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt.

Mô hình Poisson :+ Xét n phép thử Bernoulli. + Trong đó xác suất thành công là p.+ Các phép thử độc lập với nhau.(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết

quả của các phép thử kia)+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phépthử.+ Trong đó n lớn ( n 100) và p nhỏ (p 0,01và np 20). Khi đó X ~ P(). Với =np

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2. Phân phối possion

Ví dụTrong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT2. Phân phối possion

BNN X có phân phối siêu bội, X H(N, M, n)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT3. Phân phối siêu bội

x n xM N M

nN

C Cp(x) P(X x) ; x 0,1, ,nC

Ví dụ: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm, trong đó có 4 loại A. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng, tính xác suất để có 2 sản phẩm loại A

Nhận xét: Nếu n << N thì ,p =

Suy ra:Khi n << N, thì H(N, M, n) B(n;p) , p =

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT3. Phân phối siêu bội

x n xM N M

nN

C .CC

x x n x

nC p (1 p) NM

NM

BNN X có phân phối chuẩn, X N(μ; σ2)

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X bằng cách đặt

Khi đó E(Z) = 0 và Var(Z) = 1. Ta nói Z có phân phối chuẩn hóa. Ký hiệu X N(0; 12)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT4. Phân phối chuẩn

2

2(x )

21f (x) e2

σμXZ

Nhận xét: X N(μ; σ2)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT4. Phân phối chuẩn

2 11 2

x x1) P(x X x )

2) P X 2

x3) P(X x) 0.5

P X 68%

P X 2 95%;

P X 3 99.99%

Ví dụ: Lãi suất đầu tư vào Công ty B là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn , biết xác suất để đạt được lãi suất trên 20%/ 1 năm là 0.2 và dưới 10%/ 1 năm là 0.1.

a) Tìm kỳ vọng và phương sai .b) Tính xác suất để khi đầu tư vào công ty B

đó được lãi suất ít nhất 14%/ 1 năm.

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT4. Phân phối chuẩn

BNN X có phân phối mũ, X Exp(λ)

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT5. Phân phối mũ

xp(x) P(X x) e , x 0

: số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.x: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.e = 2.71828

Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao nhiêu. Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó

= 15

3 phút = 0.05 giờ

T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.

P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276

Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT5. Phân phối mũ

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) và Y ~ 2(n); X và Y độc lập với nhau. Đặt

Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student với n bậc tự do.

Ký hiệu: T ~ t(n)

XTY

n

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT6. Phân phối student

Xét Z1, Z2, ..., Zn là n biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn hóa, tức là Zi ~ N(0,1) với i=1,..,n. Z1, Z2, ..., Zn độc lập với nhau.

Đặt

Biến ngẫu nhiên gọi là có phân phối Chi – bình phương với n bậc tự do.

Ký hiệu:

2

1

2 2 2 21 2

n

ni

iZ Z ZZ

2 2~ ( ) n

III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT7. Phân phối chi bình phương

2