CHƯƠNG 6ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI

LAPLACE VÀO GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN

NGÔ ĐỨC HÒANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

10-2009

QUAN HỆ DÒNG-ÁP CỦA CÁC PHẦN TỬ TUYẾN TÍNH

Điện trởMiền thời gian

)()( tRitv

Miền -s )()( sRIsV

R

+

vi

Tụ điệnMiền thời gian

+

v C

i

dttCdvti /)()(

I(s)

+

V(s)Cv(0-)

Miền -s

( ) ( ) (0 )I s sCV s Cv

1/sC hay:+

v(0-)/s

1/sC+

V(s)

I(s)

1 (0 )( ) ( )

vV s I s

sC s

QUAN HỆ DÒNG-ÁP CỦA CÁC PHẦN TỬ TUYẾN TÍNH

Cuộn cảm

Miền thời gian

dttLditv /)()(

Miền -s

( ) ( ) (0 )V s sLI s Li

+

v L i

+

V(s)

sL I(s)

+ Li(0-)

hay:+

V(s) sL

I(s)

i(0-)s

1 (0 )( ) ( )

iI s V s

sL s

Bài tập 1: Cho mạch điện dưới đây. Giả sử các điều kiện ban đầu đều = 0. Tính vc(t).

+

_2 u(t) V

1 0 0

0 .0 0 1 F v c (t)

+

_

t = 0

Đây là một ví dụ cho trường hợp đơn giản: các điều kiện ban đầu bằng 0. Khi đó việc chuyển sang miền-s của tụ điện và cuộn cảm không có các nguồn chứa các thông số của điều kiện đầu.

+

_

1 0 0

+

t = 0

V c(s )

_

2

s s1 0 0 0

I(s )

2 1000

( )1000

100

20( )

( 10)

s sV sc

s

V sc s s

20 2 2( )

( 10) 10

10( ) 2 2 ( )

V sc s s s s

tv t e u tc

Ta có thể kiểm tra lại các trạng thái ban đầu và trạng thái dừng của mạch,

0 0

2c

c

v

v

Lưu ý, các trạng thái nói trên cũng có thể tính từ biểu thức Vc(s)

0 0

200 lim lim 0

1020

lim lim 210

c cs s

c cs s

v sV ss

v sV ss

Bài tập 2: Khảo sát mạch RLC song song dưới đây. Tìm v(t) và i(t) biết rằng v(0) = 5V và i(0) = -2A.

Chuyển đổi mạch sang miền-s,

)(sI

)(sVs

4161

s

80s4

810

)(sV

208

)96(516

96

16

16

80

)208(

16

14

80

)8(

4

8

016

1480

//10

2

2

ss

sV

s

s

ss

Vss

s

Vs

s

V

ss

VI

22222 2)4(

)2(230

2)4(

)4(5

4)4(

)96(5)(

ss

s

s

ssV

V)()2sin2302cos5()( 4 tuetttv t

Để tìm i(t)

ssss

s

s

VI

2

)208(

)96(25.1

4

82

sss

CBs

s

A

ssss

ssI

2

208

2

)208(

)96(25.1)(

22

Xác định được, 75.46,6,6 CBA

Suy ra,

22222 2)4(

)2(375.11

2)4(

)4(64

208

75.4664)(

ss

s

sss

s

ssI

A)(])2sin375.112cos6(4[)( 4 tuettti t

Bài tập 3: Công tắc trong mạch dưới đây chuyển từ vị trí a sang vị trí b tại thời điểm t = 0. Giả sử mạch đã ở trạng thái dừng (steady state) ở thời điểm t = 0-. Tính i(t) với t > 0.

0t

V 42

5

1F 1.0H 625.0

)(tio

a b

Đây là một ví dụ về trường hợp bài tóan không nói một cách tường minh về các điều kiện đầu. Trong trường này chúng ta cần phân tích mạch để tìm điều kiện đầu. Lưu ý: đối với mạch điện nguồn DC thì ở trạng thái dừng, cuộn cảm xem như ngắn mạch và tụ điện xem như hở mạch.

Mạch điện ở trạng thái dừng với t 0

V24 )0(Li

)0(Cv

5

V0)0(,A8.45

24)0( CL vi

Bây giờ, ta phân tích mạch và chuyển mạch này sang miền –s với điều kiện đầu và t >0

Suy ra,

3)0( LLi

s625.0

s10 1

)(sIo

I

1025.6625.0

)10(3

625.0

3

1//625.0

32

101010

ss

s

ssI

ss

)8)(2(

48

1610

48

1025.6625.0

30

10

10

1

2

210

10

ssss

ssI

sII

s

so

Dùng phương pháp phân tích thành các phân thức đơn giản, ta được,

2

8

8

8)(

sssIo

A)()(8)( 28 tueeti tto

HÀM TRUYỀN Định nghĩa: Cho một mạch điện nói riêng hoặc một hệ thống

nói chung. Hàm truyền là tỉ số giữa biến đổi Laplace của đầu ra với biến đổi Laplace của đầu vào hệ thống đó trong trường hợp tất cả các điều kiện đầu bằng 0.

H(s) Y(s)X(s)

Y sH s

X s

trong đó, X(s): biến đổi Laplace của đầu vàoY(s) : biến đổi Laplace của đầu ravới điều kiện tất cả các điều kiện đầu bằng 0.

HÀM TRUYỀNTrong miền thời gian:- x(t) là hàm đầu vào mà có biến đổi Laplace là X(s)- y(t) là hàm đầu ra mà có biến đổi Laplace là Y(s)- h(t) là đặc trưng thời gian của mạch điện hoặc hệ thống mà có

biến đổi Laplace là H(s).

h(t) y(t)x(t)

Suy ra, ( ) ( )y t x t h t tích chập (convolution)

Vì ( ) ( ) ( )Y s X s H s

Bản chất thật của h(t) và H(s) là gì?

H(s) và h(t) Khi hàm đầu vào là delta-Dirac hay còn gọi là

hàm xung đơn vị, 1x t t X s

Suy ra, x t t

Y s H s X s H s

h t y t

Vậy:-Đặc trưng thời gian của mạch điện –h(t)- là hàm đầu ra của mạch ứng với hàm đầu vào là hàm xung đơn vị và các điều kiện ban đầu bằng 0. -Hàm truyền của mạch điện – H(s)- có thể hiểu là biến đổi Laplace của y(t) khi x(t) là hàm xung đơn vị và các điều kiện đầu bằng 0.

HÀM VÀO LÀ HÀM BƯỚC ĐƠN VỊ Rất khó để giả lập hàm vào là hàm xung đơn vị. Chính vì thế

một lọai hàm vào cũng thường được quan tâm là hàm bước đơn vị u(t).

1

1

L

x t u t X ssH s

Y s H s X ss

Y s Y sH s h t

s s

Bài tập 3: Cho mạch điện dưới đây, tìm hàm truyền

0

i

V sH s

V s

Chuyển mạch sang miền –s để tính hàm truyền, lưu ý trong trường hợp tính hàm truyền thì tất cả các điều kiệu đầu đều bằng zero.

)(sVs )(sVo

s

s

10

Dùng nguyên lý phân áp,

ss

sso

Vss

Vss

Vs

s

sVs

s

sV

3092

20

)52)(2(20

20

252

2052

20

210

//4

10//4

2

3092

20

)(

)()(

2

sssV

sVsH

s

o

Bài tập 4: Tìm hàm truyền của mạch dưới đây,

)(sVs )(sVo

)(sIs

2

)(2 sI

s

Iss

IsIs

V

IIIV

s

o

932

3)3(2

9)2(3

293

9

932

9

)(

)()(

2

ss

s

ss

sV

sVsH

s

o

Bài tập 4: Tính toán giá trị các linh kiện của mạch dưới đây sao cho đặc trưng mạch theo thời gian của mạch là:

Với t > 0 và điều kiện đầu bằng 0.

22 ,t th t e e

2

21

1 1 ( 2) ( 1) 2( ) 2 2

1 2 ( 1)( 2) 3 2

1

1( ) 1/

( )1( ) (1/ ) 1/

1

s

o s

ss

s

s sH s

s s s s s s

RC

RV s C LC

H sV s s RC s LCR

CL

RC