Chuyen de. PT - BPT - HPT Mu Loga (Le Van Doan)2.pdf

ThS. Lê Văn Đoàn

07/2013

Chuyên đề

Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)

E m a i l : v a n d o a n _ a u t o m o b i l e @ y a h o o . c o m . v n

MỤC LỤC Trang

A – Công thức mũ & logarit cần nhớ .................................................................................... 1

B – Phương trình & Bất phương trình mũ ........................................................................... 3

Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa ..................................... 3

Các thí dụ ................................................................................................... 3

Bài tập tương tự ......................................................................................... 16

Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 25

Các thí dụ ................................................................................................... 25

Bài tập tương tự ......................................................................................... 67

Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77

Các thí dụ ................................................................................................... 77

Bài tập tương tự ......................................................................................... 88

C – Phương trình & Bất phương trình logarit ..................................................................... 92

Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số ............................................................... 92

Các thí dụ ................................................................................................... 93

Bài tập tương tự ......................................................................................... 124

Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 138

Các thí dụ ................................................................................................... 138

Bài tập tương tự ......................................................................................... 154

Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164

Các thí dụ ................................................................................................... 165

Bài tập tương tự ......................................................................................... 175

D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit ................................................. 180

Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương .................................................... 180

Các thí dụ ................................................................................................... 180

Bài tập tương tự ......................................................................................... 192

Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ ...................................................................... 197

Các thí dụ ................................................................................................... 197

Bài tập tương tự ......................................................................................... 206

Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216

Các thí dụ ................................................................................................... 216

Bài tập tương tự ......................................................................................... 226

E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit ................................................................................ 230

Các thí dụ ................................................................................................... 231

Bài tập tương tự ......................................................................................... 250

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn

Page - 1 -

A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ �

�� Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý.

� na a.a.a...a= ��

xx

x

a a

bb

=

� x y x ya a .a+ = �

xy x ya a=

� x

x y n

y n

a 1a a

a a

− −= ⇒ = � ( )( )

0

0 u xu x 1 x 1,

x 0

∀ = ⇒ = ≠

( ) ( )y x

x.y x ya a a= = n n na. b ab=

� ( )xx xa .b a.b=

� ( )mm

n nm na a a= =

Công thức logarit: Cho 0 a 1< ≠ và b, c 0> .

� xa

log b x b a= ⇔ = � a a a

blog log b log c

c= −

� 10

lg b log b log b= =

(logarit thập phân) �

a

aa

log b khilog b

log b khiα

α α= α α

� e

ln b log b= ( ) , e 2,718...=

(logarit tự nhiên hay log nepe) �

aa

1log b log bα =

α

a a

log 1 0, log a 1= = ba

b log a=

� ( )a a alog b.c log b log c= + � alog b

b a=

Công thức đổi cơ số

� ca

c

log blog b

log a= �

log c log ab ba c=

� a

b

1log b ,

log a=

a

ln blog b

lna=

ab

a b

1log c

1 1

log c log c

=

+

�� Hàm số mũ – logarit và đạo hàm

a/ Hàm số mũ ( ) xy a , a 0, a 1= > ≠ .

Tập xác định: D = � .

n số a

lẻ

chẳn

www.MATHVN.com



Page - 2 -

Tập giá trị: ( )T 0,= +∞ .

Tính đơn điệu

Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

Dạng đồ thị:

b/ Hàm số logarit

( ) a

y log x , a 0, a 1= > ≠ .

Tập xác định: ( )D 0,= +∞ .

Tập giá trị: T = � .

Tính đơn điệu

Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Dạng đồ thị

c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp

� ( ) ( ) '

1x .x , x 0α α−= α > ( ) .'

1u .u u 'α α−⇒ = α

� ( )'

x xa a .ln a= ( )'

u ua a .u '. ln u⇒ =

� ( )'

x xe e= ( )'

u ue e .u '⇒ =

( )'

a

1log x

x lna= ( )

'

a

u 'log u

u lna⇒ =

� ( ) ( ) ' 1

ln x , x 0x

= > ( )' u '

ln uu

⇒ =

● Khi hàm số đồng biến.

● Khi : hàm số nghịch biến.

● Khi : hàm số đồng biến.

● Khi : hàm số nghịch biến.

1 1

O O

O 1 O

1

www.MATHVN.com



Page - 3 -

B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

�� I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN

II – CÁC THÍ DỤ

Thí dụ 1. Giải phương trình: ( )

2x 3 x 84 x 8 x 213.243 .9

9

+ +

+ += ∗

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: x 8

x 2

≠ − ≠ −

.

● Ta có:

14 5 2 24

13 3 ; 243 3 ; 9 3 ; 3

9−= = = = nên:

( )2x 3 x 81 5 2x 8 x 2243 .3 3 .3

+ + + + − ∗ ⇔ =

1 2x 3 x 85 2 2

4 x 8 x 23 3

+ + + − + + + ⇔ =

1 2x 3 x 8

5 2 24 x 8 x 2

+ + ⇔ + = − + + +

Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa

�� Đưa về cùng cơ số: Phương trình mũ:

Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng .

Với thì .

Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: .

Bất phương trình mũ:

Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng .

Nếu thì .

Nếu thì .

Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì .

Logarit hóa: .

� Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp.

www.MATHVN.com



Page - 4 -

241x 102x 248 0⇔ + − =

62

x 4 x41

⇔ =− ∨ = .

● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: 62

x 4 x41

= − ∨ = .


3x 1 6x 7

3 33 43 3 3 3 3 3 9 27

− + = ∗


● Ta có:

11 2

1 33x 11 162

3 3 3 93 3 3 3 3 3 3 3 3.3 3

−

= =

và

1

1 26x 7 3 233

3 4 2 4 243 9 27 3 3 .3 3

+ = =

.

( )( ) ( )16 233x 1 6x 7

9 243 3− +

∗ ⇔ =

( ) ( ) 16 23

3x 1 6x 79 24

⇔ − = +

611

x30

⇔ =− .

● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 611

x30

= − .

Thí dụ 3. Giải phương trình: ( ) 22x 1 4x 3 2x 3x 784 .5 5.10+ + + −= ∗


● Tập xác định: D = � .

( )24x 2 4x 2 2x 3x 782 .5.5 5.10+ + + −∗ ⇔ =

24x 2 2x 3x 785.10 5.10+ + −⇔ =

24x 2 2x 3x 78⇔ + = + −

1 641

x4

±⇔ = .

● Vậy phương trình có hai nghiệm 1 641

x4

±= .

Thí dụ 4. Giải phương trình: ( ) x x x x5.3 3.2 7.2 4.3+ = − ∗



www.MATHVN.com



Page - 5 -

( ) x x x x5.3 4.3 7.2 3.2∗ ⇔ + = −

x x3 .9 2 .4⇔ =

x 23 3

2 2

− ⇔ = .

x 2⇔ =− .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2= − .

Thí dụ 5. Giải phương trình: ( ) x x 1 x 2 x 1 x 1 x 25 5 5 3 3 3− − + − −+ + = + + ∗



( )x x x x

x x

2 2

5 5 3 35 3.3

5 35 3∗ ⇔ + + = + +

x x1 1 1 15 1 3 3

5 25 3 9

⇔ + + = + +

x x31 31.5 .3

25 9⇔ =

x 2

5 25 5

3 9 2

⇔ = =

x 2⇔ = .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2= .

Thí dụ 6. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )

2x 1 x 1

3x x 117 4 17 4

− −

++ = − ∗


● Ta có: ( )( ) ( )( )

( )11

17 4 17 4 1 17 4 17 417 4

−

+ − = ⇒ − = = ++

.

( ) ( ) ( )2x 1 x 1

3x x 117 4 17 4

− −−+

∗ ⇔ + = +

2x 1 x 1

3x x 1

− −⇔ =−

+

2 1 55x 2x 1 0 x

6

±⇔ − − = ⇔ = .

● Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 5 1 5

x x6 6

− += ∨ = .

�� Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là ( ) ( )f x g x

a b= với a.b 1= .

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x11a.b 1 b a a a f x g x

a

−−= ⇒ = = ⇒ ∗ ⇔ = ⇔ =− .

www.MATHVN.com



Page - 6 -

Thí dụ 7. Giải phương trình: ( ) x 2 x 1 x 12 2 1 2 1+ + +− − = + ∗



( ) x x x4.2 2.2 1 2.2 1∗ ⇔ − − = +

x x2.2 1 2.2 1⇔ − = −

x

x x

x x

2.2 1 0

2.2 1 2.2 1

2.2 1 2.2 1

− ≥ − = −⇔ − = − +

x 1

x

12 2

24.2 2

− ≥ =⇔ =

x 1

x 1

12 2

2−

≥−⇔ = =

x 1⇔ =− .

● Vậy nghiệm của phương trình là x 1= − .

Thí dụ 8. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x 1 x 3

x 2 x 2− −

+ = + ∗


● Điều kiện: x 1 0 x 1− ≥ ⇔ ≥ .

( ) ( ) ( )x 2 1 x 1 x 3 0 ∗ ⇔ + − − − − =

x 1 0

x 1 x 3

+ =⇔ − = −

2

x 1

x 3 0

x 1 x 6x 9

= − − ≥⇔ − = − +

x 1

x 3

x 5 x 2

= − ≥⇔ = ∨ =

x 1

x 5

= −⇔ =

.

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 5= .

Thí dụ 9. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2x 5x 4 x 4

2 2x 3 x 3− + +

+ = + ∗

www.MATHVN.com



Page - 7 -



( ) ( ) ( )2 2x 3 1 x 5x 4 x 4 0 ∗ ⇔ + − − + − + =

( )

2

2

x 3 1 0 VN

x 5x 4 x 4

+ − =⇔ − + = +

( )

2

2

x 4 0

x 5x 4 x 4

x 5x 4 x 4 VN

+ ≥ − + = +⇔ − + = − −

x 4

x 0 x 6

≥−⇔ = ∨ =

x 0 x 6⇔ = ∨ = .

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 0 x 6= ∨ = .

Thí dụ 10. Giải phương trình: ( ) 2x 3 x 5x 62 3− − += ∗



● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:

( )2x 3 x 5x 6

2 3log 2 log 3− − +∗ ⇔ =

( ) ( ) 2

2 2x 3 log 2 x 5x 6 log 3⇔ − = − +

( ) ( )( ) 2

x 3 x 2 x 3 log 3 0⇔ − − − − =

( ) ( ) 2

x 3 . 1 x 2 log 3 0 ⇔ − − − =

( )

2

x 3 0

1 x 2 log 3

− =⇔ − −

3 3

x 3

x log 2 2 log 18

=⇔ = + =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm là 3

x 3 x log 18= ∨ = .

Thí dụ 11. Giải phương trình: ( ) 2

4 23

x2x 5x 3 25 7 0

−− + − = ∗




( )2

4 23

x2x 5x 3 2

5 5log 5 log 7 0

−− +∗ ⇔ − =

www.MATHVN.com



Page - 8 -

( ) 4 2 2

5 5

32x 5x 3 log 5 x log 7 0

2

⇔ − + − − =

( ) 2 2 2

5

3 32 x 1 x x log 7 0

2 2

⇔ − − − − =

( ) 2 2

5

3x . 2 x 1 log 7 0

2

⇔ − − − =

( )

22

2 2 55 5

3 63 x xx 0 2 22log 7 12 x 1 log 7 0 x 1 x 2 log 175

2 2

= = ± − = ⇔ ⇔ ⇔ − − = = + = ±

.

● Vậy phương trình có các nghiệm là 5

6 1x x 2 log 175

2 2= ± ∨ = ± .

Thí dụ 12. Giải phương trình: ( ) 2x 4 2 x2 .5 1− − = ∗




( ) ( )2x 4 2 x

2 2log 2 .5 log 1− −∗ ⇔ =

2x 4 2 x

2 2log 2 log 5 0− −⇔ + =

( ) 2

2x 4 2 x log 5 0⇔ − + − =

( )( ) ( ) 2

x 2 x 2 x 2 log 5 0⇔ − + − − =

( )( ) 2

x 2 x 2 log 5 0⇔ − + − =

2

x 2

x 2 log 5

=⇔ = − +

.

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 2

x 2 x 2 log 5= ∨ = − + .

Thí dụ 13. Giải phương trình: ( ) 2x 2x 3

22

− = ∗




( )2x 2x

2 2

3log 2 log

2−∗ ⇔ =

2

2 2 2x 2x.log 2 log 3 log 2⇔ − = −

( ) 2

2x 2x 1 log 3 0 1⇔ − + − =

www.MATHVN.com



Page - 9 -

( ) 2

2 2

2

x 1 log 3' 1 1 log 3 log 3 0

x 1 log 3

= −∆ = − − = > ⇒

= +

.

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 2 2

x 1 log 3 x 1 log 3= − ∨ = + .


x 1x x5 .8 500

−

= ∗

Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998


● Điều kiện: x 0≠ .

( )x 1

3x 3 2x5 .2 5 .2

−

∗ ⇔ =

3x 3x x

3 2

5 2. 1

5 2

−

⇔ =

3x 32

x 3 x5 .2 1−−

−⇔ =

( )

x 3x 3 x5 .2 1 1

−−⇔ =


( )x 3

x 3 x5 5

1 log 5 .2 log 1−

− ⇔ =

x 3

x 3 x5 5

log 5 log 2 0−

−⇔ + =

( ) 5

x 3x 3 log 2 0

x

−⇔ − + =

( ) 5

1x 3 1 log 2 0

x

⇔ − + =

5

x 3

11 log 2 0

x

=⇔ + =

5

x 3

1 1

x log 2

=⇔ = −

5

x 3

x log 2

=⇔ = −

.

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 5

x 3 x log 2= ∨ = − .


2x 3x 2 x3 .4 18

−− = ∗

www.MATHVN.com



Page - 10 -




( )2

2x 3x 2 x

3 3log 3 .4 log 18

−−

∗ ⇔ =

2

2x 3x 2 x

3 3 3log 3 log 4 log 18

−−⇔ + =

( ) 4x 6

2 x3 3

x 2 log 2 log 9.2−

⇔ − + =

( ) 2

3 3 3

4x 6x 2 log 2 log 9 log 2

x

− ⇔ − + = +

( ) 2

3 3

4x 6x 2 log 2 2 log 2 0

x

− ⇔ − + − − =

( ) 2

3

4x 6x 4 1 log 2 0

x

− ⇔ − + − =

( ) 2

3

3x 6x 4 log 2 0

x

−⇔ − + =

( )( )( )

3

3 x 2x 2 x 2 log 2 0

x

−⇔ − + + =

( ) 3

3x 2 x 2 log 2 0

x

⇔ − + + =

2

3

x 2

x 2x 3 log 2 0 : VN

=⇔ + + =

x 2⇔ = .

● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2= .


x

4 xx 28 4.3 −+ = ∗


● Điều kiện: x 2≠− .

( )

3x

x 24 x

2

23

2

+−∗ ⇔ =

3x2

4 xx 22 3−

−+⇔ =

( )

x 44 xx 22 3 1

−−+⇔ =


www.MATHVN.com



Page - 11 -

( )x 4

4 xx 22 2

1 log 2 log 3−

−+⇔ =

( ) 2

x 44 x log 3

x 2

−⇔ = −

+

( ) 2

x 4x 4 log 3 0

x 2

−⇔ + − =

+

( ) 2

1x 4 log 3 0

x 2

⇔ − + = +

2

x 4 0

1log 3

x 2

− =⇔ = − +

2

x 4

x 2 log 3

=⇔ = − −

.

● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: 2

x 4 x 2 log 3= ∨ = − − .

Thí dụ 17. Giải bất phương trình: ( )

29x 17x 11 7 5x

1 1

2 2

− + − ≥ ∗



( ) 29x 17x 11 7 5x∗ ⇔ − + = −

( ) 2

29x 12x 4 0 3x 2 0⇔ − + ≤ ⇔ − ≤

2

x3

⇔ = .

● Vậy 2

x3

= là nghiệm của bất phương trình.


x 2x

x 113

9+

> ∗


● Điều kiện: x 1≠− .

( )2x

2x x 13 3− +∗ ⇔ >

2x

2xx 1

⇔− >+

22x 4x

0x 1

+⇔ <

+

www.MATHVN.com



Page - 12 -

x 2

1 x 0

< −⇔ − < <

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )x ; 2 1;0∈ −∞ − ∪ − .

Thí dụ 19. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )

x 3 x 1

x 1 x 310 3 10 3

− +

− ++ < − ∗

Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002


● Điều kiện: x 1 0 x 1

x 3 0 x 3

− ≠ ≠ ⇔ + ≠ ≠ −

.

● Ta có: ( )( ) ( )( )

( )11

10 3 10 3 1 10 3 10 310 3

−

+ − = ⇔ − = = ++

.

( ) ( ) ( )x 3 x 1

x 1 x 310 3 10 3

− +−

− +∗ ⇔ + < +

x 3 x 1

x 1 x 3

− +⇔ <−

− +

( )( )

22x 100

x 1 x 3

−⇔ <

− +

3 x 5

1 x 5

− < <−⇔ < <

.

● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( )x 3; 5 1; 5∈ − − ∪ .

Thí dụ 20. Giải bất phương trình: ( ) x 1 x 2 x 2 x 13 5 3 5+ + + ++ ≥ + ∗



( ) x x x x25.5 5.5 9.3 3.3∗ ⇔ − > −

x x20.5 6.3⇔ >

x

5 3

3 10

⇔ >

5

3

3x log

10⇔ > .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 5

3

3x log ;

10

∈ +∞ .

Thí dụ 21. Giải bất phương trình: ( ) x x 1 x 2 x x 1 x 24 4 4 9 9 9+ + + ++ + > + + ∗

www.MATHVN.com



Page - 13 -



( ) x x 2 x x x 2 x4 4.4 4 .4 9 9.9 9 .9∗ ⇔ + + > + +

x x4 .21 9 .91⇔ >

x

4

9

4 91 91x log

9 21 21

⇔ < ⇔ > .


9

91x log ;

21

∈ +∞ .

Thí dụ 22. Giải bất phương trình: ( ) 2

x 1

x 2x

12

2

−

−≤ ∗


( )2

x 1

x 2x

12

2

−

−∗ ⇔ ≤

2x 2x x 12 2− − −⇔ ≤

2x 2x x 1⇔− − ≤ −

2x 2x 1 x⇔ − ≥ −

( ) 22 2

1 x 01 x 0x 2

x 2x 0 x 2x 1 x

− > − ≤ ⇔ ∨ ⇔ ≥ − ≥ − ≥ −

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là )x 2;∈ +∞.

Thí dụ 23. Giải bất phương trình: ( ) x x 2

x x

2.3 21

3 2

+−≤ ∗

−

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001


● Điều kiện:

x

x x x x 33 2 0 3 2 1 x 0

2

− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ .

● Với x xx 0 3 2 0< ⇔ − < .

( )x x x x2.3 4.2 3 2

x 0

− ≥ −∗ ⇔ <

x x3 3.2

x 0

≥⇔ <

www.MATHVN.com



Page - 14 -

x

33

2

x 0

≥ ⇔ <

3

3x log

x2

x 0

≥ ⇔ ⇒ ∈∅ <

.

● Với x xx 0 3 2 0> ⇔ − > .

( )x x x x2.3 4.2 3 2

x 0

− ≤ −∗ ⇔ >

x x3 3.2

x 0

≤⇔ >

x

33

2

x 0

≤ ⇔ >

2

3x log

2x 0

≤⇔ >

2

30 x log

2⇔ < ≤ .


3x 0; log

2

∈

.


22x x 1 1 x

2 21 1x x

2 2

+ + − + ≤ + ∗



( ) ( ) ( )2 21x 1 . 2x x 1 1 x 0

2

∗ ⇔ + − + + − − ≤

( ) 2 21x 2x 2x 0

2

⇔ − + ≤

( ) 1 1

x ; 1 ;0 ;2 2

⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )1 1

x ; 1 ;0 ;2 2

∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

.

Thí dụ 25. Giải bất phương trình: ( ) 2x 1 3 x5 7− −< ∗

www.MATHVN.com



Page - 15 -




( ) 2x 1 3 x

5 5log 5 log 7− −∗ ⇔ <

( ) 5

2x 1 3 x log 7⇔ − < −

5 5

2x x log 7 3 log 7 1⇔ + < +

( ) 5 5

x 2 log 7 3 log 7 1⇔ + < +

5

5

1 3 log 7x

2 log 7

+⇔ <

+.


5

1 3 log 7x ;

2 log 7

+ ∈ −∞ + .

Thí dụ 26. Giải bất phương trình: ( ) 2x 5x 6 x 35 2− + −≥ ∗




( )2x 5x 6 x 3

5 5log 5 log 2− + −∗ ⇔ ≥

( ) 2

5x 5x 6 x 3 log 2⇔ − + ≥ −

( )( ) ( ) 5

x 2 x 3 x 3 log 2 0⇔ − − − − ≥

( ) ( ) 5

x 3 x 2 log 2 0 ⇔ − − − ≥

( ) ( ) 5 5 5

x ;2 log 2 3; do : log 2 1 x 2 log 2 3 ⇔ ∈ −∞ + ∪ +∞ < ⇒ = − < .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )5x ;2 log 2 3; ∈ −∞ + ∪ +∞

.

Thí dụ 27. Giải bất phương trình: ( ) 2x x49.2 16.7> ∗



( )2x x

4 2

2 7

2 7∗ ⇔ >

( ) 2x 4 x 22 7 1− −⇔ >


( )2x 4 x 2

2 21 log 2 log 7− −⇔ >

( ) 2

2x 4 x 2 log 7⇔ − > −

www.MATHVN.com



Page - 16 -

( ) ( ) 2

2 2x log 7 .x 2 log 7 4 0 2⇔ − + − >

Ta có: ( ) ( )2 2

2

2 2 2 2log 7 8 log 7 16 log 7 4 4 log 7 0∆ = − + = − = − > .

( )

( )( )

2 2

1

1 2

2 2

2 2 2

log 7 4 log 7x 2

2 , x xlog 7 4 log 7 7

x log 7 2 log2 4

+ − = =⇒ > − − = = − =

.

( ) 2

72 x log x 2

4⇔ < ∨ > .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) 2

7x ; log 2;

4

∈ −∞ ∪ +∞ .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 1. Giải các phương trình sau

1/ x 1 x 132 0,25.128+ −= . ĐS: x 14= .

2/

2x 3x1

3 3 381

− =

. ĐS: 16

x13

= − .

3/ x x3 x 32 4 0,125 0,25= . ĐS: 2 19

x5

− ±= .

4/ x 1 x 1 x2.3 6.3 3 9+ −− − = . ĐS: x 1= .

5/ x x 1 2 x12 .5 .10

5− −= . ĐS: x 1= .

6/ ( )2x 1 7xx 18 0,25. 2−

+ = . ĐS: 2

x 1 x7

= ∨ = .

7/

x

2x 3 20,125.4

8

−

− =

. ĐS: x 6= .

8/ ( )5

x x x 12 .5 0,1. 10 −= . ĐS: 3

x2

= .

9/ ( ) ( ) ( )2 2x 1x x 1 x 1

3 4 2x2 2 4 2−− −

= . ĐS: 1

x 1 x 3 x3

= ∨ = − ∨ = .

10/

x x

2 25 125.

5 8 64

= . ĐS: x 3= .

11/ 22x x 5 2x 12 8+ + += . ĐS:

1x 2 x

2= ∨ = .

12/ x 1 x 1 x

1 x

12 .4 . 16

8

+ −

−= . ĐS: x 2= .

www.MATHVN.com



Page - 17 -

13/ x x2 . 3 216= . ĐS: x 6= .

14/ x x 15 .8 100+ = . ĐS: 40

25x log

2= .

15/ x 1 2x 3 3x 12 .3 6+ + += . ĐS: 12

x log 9= .

16/ 3x 1 8x 29 3− −= . ĐS:

2x

7= .

17/ 2x 3 x5 125−= . ĐS:

3x

5= .

18/ 4x 6 3x 45 25− −= . ĐS:

7x

5= .

19/

2x 1 x 2x 11 9

5 9 5.

3 25 3

+ + − =

. ĐS: 7

x 2 x2

= ∨ = − .

20/

x 7 1 2x

1 1. 2

2 2

+ − =

. ĐS: x 9= .

21/ x 1 x 3 x 1 20 604 .3 .5

27+ − + = . ĐS:

1x

2= .

22/ x 1 x x x 13 6 .2 .3− − += . ĐS: x 2= − .

23/ ( )x 2

x x 12 .3 3+

+ = . ĐS: x 0= .

24/ 23

3

1

17x

16

x 1

13

9

−

+= . ĐS:

5 3x x 1 x

4 4= − ∨ = ∨ = − .

25/ x 1x x5 . 8 100+

= . ĐS: 5

x 2 x log 10= ∨ =− .

26/ ( )2 2

xx

2x 24 x 1230,6 .5 .9

5− −

= . ĐS: x 2 3= ± .

27/ 3x 1 2x 1 3 x2 . 4 .8 2 2.0,125+ − − = . ĐS: 53

x7

= .

28/ 6 x 1 x 12 2 .2 4+ += . ĐS: 3

x2

= .

29/

8x 1

x3 4 9.

4 3 16

− =

. ĐS: x 1 x 4= − ∨ = .

30/

2x 1 x x 1

5 9. 1

3 25

+ + − =

. ĐS: 3

x x 12

=− ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 18 -

31/ 4x 2x 1

x 2x 11

27 .819

−+

+− = . ĐS: 2

x 3 x11

= ∨ = .

32/ 2

3x 191 1

x 2 x 2 x 416 0,25.2−

−+ − −= . ĐS:

5x 1 x

2= − ∨ = .


1/ x x 1 x 2 x x 3 x 15 5 5 3 3 3+ + + ++ + = + + . ĐS: x 0= .

2/ x 1 x 2 x 3 x 43 3 3 3 750+ − − −+ − + = . ĐS: x 5= .

3/ x x 1 x 2 x x 2 x 12 2 2 3 3 3− − − −+ + = + − . ĐS: x 2= .

4/ x x 2 x 1 x 2 x 24 4 4 3 3− + + −+ + = − . ĐS: 4

3

1280x log

729= .

5/ 2 2 2 2x 1 x 2 x x 12 2 3 3− + −+ = + . ĐS: x 3= ± .

6/ x 1 x x 13 3 3 9477− ++ + = . ĐS: x 7= .

7/ 9 7

x x2x 5 x 42 22 3 3 4

+ ++ +− = − . ĐS:

3x

2=− .

8/ x x 2 x 2 x 11 13.4 .9 6.4 .9

3 2+ + ++ = − . ĐS:

9

4

62x log

21= .

9/ 3 1

x xx 2x 12 29 2 2 3

+ +−− = − . ĐS:

9

2

9 2x log

4= .

10/ x x 1 x 2 x x 1 x 23 3 3 5 5 5+ + + ++ + = + + . ĐS: 3

5

31x log

16= .

11/ 1 1

x xx 2x 22 25 9 3 5

+ −−− = − . ĐS:

3x

2= .

12/ 1 1

x xx 2x 12 24 3 3 2

− − −− − −− = − . ĐS:

3x

2=− .


1/ ( )3x

3 2 2 3 2 2− = + . ĐS: 1

x3

=− .

2/ ( ) ( )3x 1 5x 8

5 2 6 5 2 6+ +

+ = − . ĐS: 7

x8

=− .

3/ ( ) ( )x 1 2x 8

3 2 2 3 2 2+ +

+ = − . ĐS: x 3= − .

4/ ( )33x 4x

3 2 2 3 2 2−

− = + . ĐS: 3 21

x 1 x6

− ±= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 19 -

5/ ( ) ( )x 1

x 1x 15 2 5 2

−−

++ = − . ĐS: x 1 x 2= ∨ =− .

6/ ( ) ( )x 3 x 1

x 1 x 382 9 82 9

− +

− +− = + . ĐS: x 5= ± .

7/ ( ) ( )2x 1 4x 3

4x 3 2x 1145 12 145 12

+ +

− −+ = − . ĐS:

2x

2= ± .

8/ ( ) ( )3x 1 x

x 3x 1226 25 226 25

+

−− = + . ĐS:

10x

10= ± .

9/

2x 5 2x 1

2x 1 2x 56 35 6 35

+ −

+ − + = − . ĐS:

13x

2= ± .

10/ ( ) ( )2x 2x 9 2x 7

7 48 7 48− + −

+ = − . ĐS: x 2= .


1/ 2

3x 71 1

x 2 x 2 x 416 0,25.2−

−+ − −= . ĐS:

5x x 1

2= ∨ =− .

2/

2 x 4 x

x 31 13 99

3 9

− −

− + = +

. ĐS: x 6= .

3/ ( )1

1 xx 5 x5 x 1 1

2 .42

+ +

=

. ĐS: x 1= .

4/ ( )2

1 x 1x 3 2 x2 2 4

−+

=

. ĐS: x 9= .

5/ ( )x x

4 3x x

4 3 45 727 3

+

−

=

. ĐS: x 10= .

6/ 2 2 2x 4 x x 12 2x x 164 4 4 1− + − + −+ = + . ĐS: x 4 x 3 x 2= − ∨ = ∨ = ± .


1/ ( ) ( )2x x 5 x 10

x 2 x 2− − +

+ = + . ĐS: x 1 x 5= − ∨ = .

2/ ( )x 1

22x x 1−

− = . ĐS: x 1= .

3/ ( )x 2

2x x 1−

− = . ĐS: x 2= .

www.MATHVN.com



Page - 20 -

4/ ( )2x 1

2x x 1 1−

− + = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = ± .

5/ ( )x 3

x 1 1−

+ = . ĐS: x 0 x 3= ∨ = .

6/ ( ) ( )sin x 2 3 cos x

2 22 x x 2 x x−

+ − − + − . ĐS: 1 5

x x2 6

± π= ∨ = .

7/ ( ) ( )22 x x 43x 5x 2

2x 3 x 6x 9+ −− +

− = − + . ĐS: x 4 x 5= ∨ = .

8/ ( )24 x

2x 2x 2 1−

− + = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = ± .

9/ ( )2x 4

2x 5x 4 1−

− + = . ĐS: 5 13

x x 22

±= ∨ = − .

10/ ( )24 x

2 2x x 1 x x 1−

− + = − + . ĐS: 15

x 0 x 1 x2

= ∨ = ± ∨ = ± .

11/ ( )29 x

2 23x 2x 2 x 2x 2 0−

− + − − + = . ĐS: 4 5

x 1 x3

= ∨ = ± .

12/ ( ) ( )3x 1 x 1

3 x 1 x 1− −

− = − . ĐS: x 0 x 2 x 1 3 3= ∨ = ∨ = + .

13/ ( )2x x 2

x 3 x 3−

− = − . ĐS: x 1 x 2 x 4=− ∨ = ∨ = .


1/ 2x 4 x 22 5− −= . ĐS:

2

5x 2 x log

4= ∨ = .

2/ 2x 5x 6 x 35 2− + −= . ĐS:

5x 3 x log 50= ∨ = .

3/ 2x 4x x 43 2− −= . ĐS:

3x 4 x log 2= ∨ = .

4/ 2x x 1 1

8 .58

− = . ĐS: 5

x 1 x 1 log 8=− ∨ = − .

5/ x 1

x x3 .4 18−

= . ĐS: 3

x 2 x log 2= ∨ = − .

6/ 2

2x 3x 2 x3 .4 18

−− = . ĐS: x 2= .

7/ 2x x3 .2 1= . ĐS:

2x 0 x log 3= ∨ = − .

8/ 2x x2 .5 10= . ĐS:

5x 1 x 1 log 2= ∨ = − − .

9/ 3x

x x 23 .2 6+ = . ĐS: x 1= .

10/ x

2 x3x 68 36.3 ++ = . ĐS: 2

3x 4 x log

4=− ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 21 -

11/ 2x 1

x 1 24.9 3.2+

− = . ĐS: 3

x2

= .

12/ x

2 xx 28 36.3 −+ = . ĐS: 3

x 4 x 2 log 2= ∨ = − − .

13/ 2x 2x x 3

2 .32

− = . ĐS: 2

2x 1 x log

3= ∨ = .

14/ x

x x 13 .8 36+ = . ĐS: 2

3x 2 x log

2= ∨ = .

15/ 3x

x 2 x 15 .2 4− + = . ĐS: 5

2x 2 x log

5= ∨ = .

16/ 2x 1 3 x5 7− −= . ĐS: 175

x 4 log 5= .

17/ 53 log x5 25x−

= . ĐS: x 5= .

18/ x

4 lg24x 1600= . ĐS:

1x 40 x

10= ∨ = .

19/ xlog 54 3x .5 5= . ĐS: 41

x x 55

= ∨ = .

20/ 4 log xx 100= . ĐS: 4x 10±= .

21/ log x 2x 1000x= . ĐS: 1

x x 100010

= ∨ = .

22/ 2log x 4

x 32−= . ĐS:

1x 2 x

32= ∨ = .

23/ ( )2

25 5log 5x 1 log 7

7 x−= . ĐS:

1x 125 x

5= ∨ = .

24/ x x7 55 7= . ĐS: ( )7 5

5

x log log 7= .

25/ 2x 1

x x 15 .2 50−

+ = . ĐS: 2

5x 2 x log

2= ∨ = .

26/ 9log x 29.x x= . ĐS: x 9= .

27/ 2x 1 2x x 1 x5 .2 10.8− − + = . ĐS:

2

1x 2 x log 5

2= ∨ = − .

28/ x 1 2x 14.9 3 2− += . ĐS: 3

x2

= .

29/ 1 1

x xx 2x 12 24 3 3 2

− +−− = − . ĐS:

3x

2= .

www.MATHVN.com



Page - 22 -

30/

4x 1 3x 2

2 1

5 7

+ + =

. ĐS: 7

7

22 log

5x2

4 log 35

− −=

+

.

31/ 2 3x 4 x3 125.125− = . ĐS:

2

3 3 3

83log 5 9log 5 16 log 5

32

± + +.

Bài tập 7. Giải các bất phương trình sau

1/ x 1 x

x 2 x 24 0,25.32−

+ −≤ . ĐS: ( ( ); 13 1;0 2; −∞ − ∪ − ∪ +∞ .

2/ ( )22x 3x 6

0,3 0,00243− +

< . ĐS: ( )1

x ; 1;2

∈ −∞ ∪ +∞ .

3/

x 2

x13

3

+

− >

. ĐS: )x 2;7∈ −.

4/ 8x8 4096> . ĐS: ( )x 2;∈ +∞ .

5/ 2 2x 3x 4 x 3x 42 3− − − −< . ĐS: ( ) ( )x ; 1 4;∈ −∞ − ∪ +∞ .

6/

24x 15x 13 4 3x

1 1

2 2

− + − < . ĐS:

3x \

2

∈

� .

7/

6x 5

2 5x2 25

5 4

−

+ < . ĐS:

5 1x ; ;

2 16

∈ −∞ − ∪ +∞ .

8/

6 3x 2x 1 1 x

1 1

2 2

− + − <

. ĐS: ( ) { }x ;1 \ 0∈ −∞ .

9/ ( )x x 1 x 1 x 25 3 2 5 3+ − −− ≥ − . ĐS: )x 3;∈ +∞.

10/ x x 2 x 1 x 17 5 2.7 118.5+ − −− < − . ĐS: ( )x ;2∈ −∞ .

11/ x 2 x 3 x 4 x 1 x 22 2 2 5 5+ + + + +− − > − . ĐS: ( )x 0;∈ +∞ .

12/ x x 1 x 23 3 3 11− −+ − ≤ . ĐS: x 0;4 ∈ .

13/ 2x 3 x 7 3x 16 2 .3+ + −≤ . ĐS: )x 4;∈ +∞.

14/ x 1 x 3 x 4 x 27.3 5 3 5+ + + ++ ≤ + . ĐS: (x ; 1∈ −∞ − .

15/ x 2 x 1 x x 22 5 2 5+ + ++ ≤ + . ĐS: 5

2

3x log ;

20

∈ +∞ .

16/ x 1 x 22 .3 36− + > . ĐS: ( )6x log 8;∈ +∞ .

www.MATHVN.com



Page - 23 -

17/ ( ) ( )x

x 1x 1

2 1 2 1+

−+ ≥ − . ĐS: ( )

1 5 1 5; 1;

2 2

− − − + ∪ +∞

.

18/ ( ) ( )2 2x 2x 1 x 2x 1 4

2 3 2 32 3

− + − −

+ + − ≤−

. ĐS: x 1 2; 1 2 ∈ − + .

19/ 2

x 1

x 2x

12

2

−

−≤ . ĐS: )x 2;∈ +∞

.

20/

1 12x 1 3x 12 2− +≥ . ĐS:

1x ;

3

∈ −∞ .

21/

2

2

x 2

x 10,2 25+

− > . ĐS: ( )x 1;1∈ − .

Bài tập 8. Giải bất phương trình: ( ) ( )x 1

x 1x 1

5 2 5 2

−−

+− ≤ + .

Cao đẳng sư phạm kỹ thuật Vinh năm 2001

ĐS: ) )x 2; 1 1; ∈ − − ∪ +∞ .

Bài tập 9. Giải bất phương trình: x 12 4x 6

4x 2

− + −>

−.

ĐS: ( ) ( )x ;2 4;∈ −∞ ∪ +∞ .

Bài tập 10. Giải bất phương trình: x4 2x 4

2x 1

+ −≤

−.

Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1997

ĐS: 1

x ;12

∈ .

Bài tập 11. Giải bất phương trình: ( )x

2x x 1 1+ + < .

ĐS: ( )x ; 1∈ −∞ − .

Bài tập 12. Giải bất phương trình: 2

x x 1

x 2x 13

3

− −

− ≥

.

Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1997

ĐS: ( )x 2;∈ +∞ .

Bài tập 13. Giải bất phương trình: 2 x 1 x x 26x 3 .x 3 2.3 .x 3x 9++ + < + + .

ĐS: )3

x 0;1 ;2

∈ ∪ +∞ .

Bài tập 14. Giải bất phương trình: 2 2 22 x 1 x 2 x4x x.2 3.2 x .2 8x 12++ + > + + .

Đại học Dược Hà Nội năm 1997

ĐS: ( ) ( )x 2; 1 2;3∈ − − ∪ .

www.MATHVN.com



Page - 24 -

Bài tập 15. Giải bất phương trình: 2 x 1 x 2 x4x 3 .x 3 2x .3 2x 6++ + ≤ + + .

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa

ĐS: 2

3

3x 0; log 2 ;

2

∈ ∪ +∞ .

Bài tập 16. Giải bất phương trình: ( )2x 4 2 x 23 x 4 3 1− −+ − ≥ .

Đại học Sư Phạm Vinh khối A, B năm 2000

ĐS: x 2 x 2≥ ∨ ≤− .

Bài tập 17. Giải bất phương trình: ( )2

2 x 2 x3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 2x 3− − + + > − − + + .

Đại học Y Thái Bình năm 2001

ĐS: 1

1 x3

− < ≤ .

Bài tập 18. Giải bất phương trình: ( )4 x 1 2 x 1x 8.e x x .e 8− −− > − .

Đại học Xây Dựng năm 2001

ĐS: x 2<− .

www.MATHVN.com



Page - 25 -



�� Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 1: ( )( )

( )

( )

f x

f x t a , t 0P a 0

P t 0

= >= ⇔ =

.

Thí dụ 28. Giải phương trình: ( ) x x9 5.3 6 0− + = ∗



( ) ( )x

2 x3 5.3 6 0∗ ⇔ − + =

( ) ( ) 2

x x3 5.3 6 0⇔ − + = ∗ ∗

● Đặt xt 3 0= > . Khi đó: ( )( )( )

2t 2 N

t 5t 6 0t 3 N

=∗ ∗ ⇔ − + = ⇔ =

x3

x

t 3 2 x log 2

x 1t 3 3

= = = ⇔ ⇔ == =

.

● Vậy nghiệm của phương trình là 3

x 1 x log 2= ∨ = .

Dạng 2. Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ

�� Loại 1:

Loại 2:

Chia hai vế cho rồi đặt ẩn phụ (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất).

�� Loại 3: với . Đặt .

�� Loại 4:

� Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Nghĩa là sau khi đặt ẩn

phụ t vẫn còn x. Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số.

www.MATHVN.com



Page - 26 -

Thí dụ 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 2x

x

x

76. 0,7 7

100= + ∗

Đại học An Ninh Nhân Dân khối D, G năm 2000



( )2x x

7 76. 7 0

10 10

∗ ⇔ − − =

x

2

7t 0

10

t 6t 7 0

= > ⇔ − − =

( ) ( )

x x7 7

t 1 L t 7 N10 10

⇔ = = − ∨ = =

0,7

x log 7⇔ =

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 0,7

x log 7= .

Thí dụ 30. Giải phương trình: ( ) 1 2x x2 15.2 8 0+ + − = ∗


● Tập xác định : D = � .

( ) 2x x2.2 15.2 8 0∗ ⇔ + − =

( ) 2

x x2. 2 15.2 8 0⇔ + − =

x

2

t 2 0

2t 15t 8 0

= >⇔ + − =

( )( )

xt 2

1t N

2t 8 L

=⇔ = = −

x 112 2 x 1

2−⇔ = = ⇔ =− .

● Vậy phương trình có nghiệm là x 1= − .

Thí dụ 31. Giải phương trình: ( ) x x 14.4 9.2 8 0+− + = ∗

Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006



( ) 2x x4.2 18.2 8 0∗ ⇔ − + =

www.MATHVN.com



Page - 27 -

x

2

t 2 0

4t 18t 8 0

= >⇔ − + =

x

x

2 4 x 21 x 122

= =⇔ ⇔ = −=

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1 x 2=− ∨ = .

Thí dụ 32. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x x

7 4 3 2 3 6+ + + = ∗



( ) ( ) ( )x

2 x

2 3 2 3 6 0 ∗ ⇔ + + + − =

( ) ( )

2x x

2 3 2 3 6 0 ⇔ + + + − =

( ) ( )( ) ( )

( )

xx

x 2 32

t 2 3 2t 2 3 0x log 2

t t 6 0 t 2 3 3 L+

= + = = + > ⇔ ⇔ ⇔ = + − = = + =−

.

● Vậy phương trình có một nghiệm là ( )2 3

x log 2+

= .

Thí dụ 33. Giải phương trình: ( ) ( )( ) ( ) ( ) x x x

7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0+ + − + + + + − = ∗



( ) ( ) ( )( ) ( )3x 2x x

1 2 2 5 1 2 3 1 2 1 2 0∗ ⇔ + + − + + + + − =

( )( )

x

3 2

t 1 2 0

t 2 5 t 3t 1 2 0

= + >⇔ + − + + − =

( )( ) ( )

x

2

t 1 2 0

t 1 t 2 4 t 2 1 0

= + >⇔ − + − + − =

( ) ( )( )( )

x x

x

x

t 1 2 0 1 2 1x 0

t 11 2 1 2 x 1

t 1 2 x 21 2 3 2 2

t 3 2 2

= + > + = = = ⇔ ⇔ + = + ⇔ = = + = − + = − = −

.

www.MATHVN.com



Page - 28 -

● Vậy phương trình có ba nghiệm là x 2 x 0 x 1=− ∨ = ∨ = .

�� Nhận xét: Vấn đề của bài toán là nhận ra ( ) ( )n

1 2 , n Z+ ∈ với ( )n 1 1 2 ,= ⇒ +

với ( )n 2 3 2 2 ,= ⇒ + với ( )n 3 7 5 2= ⇒ + . Theo kinh nghiệm của

tôi, nếu chúng ta gặp phương trình mũ có nhiều cơ số dạng số vô tỉ (chứa

căn) và không phải là cặp nghịch đảo của nhau ( )a.b 1= thì ta nên sử

dụng máy tính bỏ túi để tìm, chẳng hạn như ( )X

1 2+ và lúc đó, tôi sẽ

CALC những số nguyên X ∈ � như 2,3,4,… rồi sử dụng công thức

( ) ( )c b

b bc ca a a= = để nhận ra ẩn số phụ.

Thí dụ 34. Giải phương trình: ( ) x 2 x 24 16 10.2− −+ = ∗

Đại học Hàng Hải năm 1998


● Điều kiện: x 2 0 x 2− ≥ ⇔ ≥ .

( )x 2

2

t 2 0

t 10t 16 0

− = >∗ ⇔ − + =

x 2x 2

x 2

2 8 x 2 3 x 11t 2 0

x 3t 8 t 2 2 2 x 2 1

−−

−

= − = == > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ == ∨ = = − =

.

● So với tập xác định, phương trình có hai nghiệm : x 3 x 11= ∨ = .

Thí dụ 35. Giải phương trình: ( ) 2x 2 x2 3.2 1 0+ + − = ∗

Đại học Thủy Sản năm 1997



( ) ( )

( )

x

x2

x x

2

t 2 0

t 2 0 3 174. 2 3.2 1 0 t

44.t 3t 1 03 17

t L4

= > = > − + ∗ ⇔ + − = ⇔ ⇔ = + − = − − =

( ) x2 2

17 3 17 32 x log log 17 3 2

4 4

− −⇔ = ⇔ = = − − .

● Vậy nghiệm phương trình là: ( )2x log 17 3 2= − − .

Thí dụ 36. Giải phương trình: ( ) 2 2x x 1 x x 29 10.3 1 0+ − + −− + = ∗

Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2006


www.MATHVN.com



Page - 29 -


( )( )2

22 x x 1x x 110

3 .3 1 03

+ −+ −∗ ⇔ − + =

22

2

x x 1 1x x 1

2 x x 1 1

t 3 3 3t 3 01

3t 10t 3 0 t 3 33

+ −+ −

+ − −

= = = = > ⇔ ⇔ − + = = = =

2

2

x x 1 1 x 1 x 2

x 0 x 1x x 1 1

+ − = = ∨ = − ⇔ ⇔ = ∨ = −+ − = −

.

● Vậy phương trình có 4 nghiệm là x 2 x 1 x 0 x 1=− ∨ = − ∨ = ∨ = .


2 11

x x1 13. 12

3 3

+ + = ∗

Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Ban khoa học xã hội năm 2000



( )

1 12.

x x1 112 0

3 3

∗ ⇔ + − =

1

x

2

1t 0

3

t t 12 0

= > ⇔ + − =

( )( )

t 3 N

t 4 L

=⇔ = −

1

x

1

3

1 13 log 3 1

3 x

⇔ = ⇔ = = − x 1⇔ =− .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 1= − .

Thí dụ 38. Giải phương trình: ( ) 2x 5 x 13 36.3 9 0+ +− + = ∗

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004



( ) ( )2 x 1 x 127.3 36.3 9 0+ +∗ ⇔ − + =

x 1x 1 x 1

2 x 1 1

t 3 0t 3 0 3 1 x 11 x 227t 36t 9 0 3 3t 1 t3

++ +

+ −

= > = > = =− ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −− + = == ∨ =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm x 2= − và x 1= − .

Thí dụ 39. Giải phương trình: ( ) x 1 2 x5 5 124+ −− = ∗


● Tập xác định : D = � .

www.MATHVN.com



Page - 30 -

( )x

xx

2x

t 5 0 t 5 0255.5 124 0 25

5t 124t 25 05 5t 124 0t

= > = > ∗ ⇔ − − = ⇔ ⇔ − − =− − =

( )

( )

x

x

t 5 25 Nx 21

t 5 L5

= =⇔ ⇔ = = =−

.

● Vậy phương trình có một nghiệm là x 2= .

Thí dụ 40. Giải phương trình: ( ) x 1 x5 5 4 0−− + = ∗


● Điều kiện: x 0≥ .

( ) x

x

55 4 0

5∗ ⇔ − + =

( )( )

x xx

2 x

t 5 0 t 5 1 Nt 5 05

t 4t 5 0 t 5 5 Lt 4 0t

= > = == > ⇔ ⇔ ⇔ + − = = = −− + =

x 05 5 x 0 x 0⇔ = ⇔ = ⇔ = .

● Vậy phương trình có một nghiệm x 0= .

Thí dụ 41. Giải phương trình: ( ) 2 2x 2 x3 2.3 27 0− −− − = ∗



( ) ( )2 1 x 1 x3 2.3.3 27 0− −∗ ⇔ − − =

( ) 2

1 x 1 x3 6.3 27 0− −⇔ − − =

( )( )

1 x 1 x

2 1 x

t 3 0 t 3 3 L1 x 2 x 1

t 6t 27 0 t 3 9 N

− −

−

= > = = − ⇔ ⇔ ⇔ − = ⇔ =− − − = = =

.

● Vậy phương trình có một nghiệm là x 1= − .

Thí dụ 42. Giải phương trình: ( ) 2 2x x 5 x 1 x 54 12.2 8 0− − − − −− + = ∗

Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002


● Điều kiện: 2x 5

x 5 0x 5

≤ −− ≥ ⇔

≥

.

( )2 2

2x x 5 x x 52 6.2 8 0− − − − ∗ ⇔ − + =

www.MATHVN.com



Page - 31 -

22

2

x x 5x x 5

2 x x 5

2 2t 2 0

t 6.t 8 0 2 4

− −− −

− −

= = > ⇔ ⇔ − + = =

2 2

2 2

x x 5 1 x 5 x 1

x x 5 2 x 5 x 2

− − = − = −

⇔ ⇔ − − = − = −

( )

( )

22

22

x 1x 1 0

x 3 x 3x 5 x 19x 2x 2 0 x49

xx 5 x 24

≥− ≥ = = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − ≥ = = − = −

.

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là 9

x x 34

= ∨ = .

Thí dụ 43. Giải phương trình: ( ) 2 2x x 2 x x2 2 3− + −− = ∗

Đại học khối D năm 2003



( ) ( )22 x xx x2 4.2 3 0

− −−∗ ⇔ − − =

2

2

x x

x x

12 4. 3 0

2

−

−⇔ − − =

2x xt 2 0

1t 4. 3 0

t

− = >⇔ − − =

( )

22

2

x xx x2

2 x x 2

t 2 1 L x 1t 2 0x x 2

x 2t 3t 4 0 t 2 4 2

−−

−

= = − = − = > ⇔ ⇔ ⇔ − = ⇔ =− − = = = =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 x 2=− ∨ = .

Thí dụ 44. Giải phương trình: ( ) 2 2sin x cos x9 9 6 1+ =



Cách giải 1. Đặt ẩn phụ với 1 ẩn.

( )2 21 cos x cos x1 9 9 6−⇔ + =

( ) 2

2

cos x

cos x

99 6 0 2

9⇔ + − =

● Đặt : ( ) 2cos xt 9 , 1 t 9= ≤ ≤

www.MATHVN.com



Page - 32 -

( )9

2 t 6 0t

⇔ + − =

2t 6t 9 0⇔ − + =

2cos xt 3 9 3⇔ = ⇔ =

22cos x 13 3⇔ =

22 cos x 1 0⇔ − =

( ) k

cos2x 0 x , k4 2

π π⇔ = ⇔ = + ∈ � .

Cách giải 2. Đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình.

● Đặt: ( )

2

2

sin x

cos x

u 9, 1 u, v 9

v 9

= ≤ ≤ =

.

( ) 2 2 2 2sin x cos x sin x cos x

u v 61

u.v 9 .9 9 9+

+ =⇔ = = =

u v 3⇔ = =

2 2sin x cos x9 9 3⇔ = =

22cos x 13 3⇔ =

22 cos x 1 0⇔ − =

( ) k

cos2x 0 x , k4 2

π π⇔ = ⇔ = + ∈ � .

Cách giải 3. Phương pháp ước lượng hai vế (dùng bất đẳng thức Cauchy).

● Ta có: 2 2 2 2

Cauchysin x cos x sin x cos x9 9 2 9 .9 2. 9 6+ ≥ = = .

● Dấu " "= xảy ra khi: ( ) 2 2sin x cos x k

9 9 cos2x 0 x , k4 2

π π= ⇔ = ⇔ = + ∈ � .

Thí dụ 45. Giải phương trình: ( ) 2 2

1

cot x sin x4 2 3 0+ − = ∗


● Điều kiện: ( ) sin x 0 x k , k≠ ⇔ ≠ π ∈ � .

( )22 cot xcot x4 2.2 3 0∗ ⇔ + − = 2

2

1do : 1 cot x

sin x

+ =

2cot x

2

t 2 1

t 2t 3 0

= ≥⇔ + − =

2cot xt 2 1

t 1 t 3

= ≥⇔ = ∨ = −

www.MATHVN.com



Page - 33 -

2cot x2 1⇔ =

2cot x 0⇔ =

( ) cotx 0 x k , k2

π⇔ = ⇔ = + π ∈ � .

● So với điều kiện, phương trình có một tập nghiệm: ( ) x k , k2

π= + π ∈ � .

Thí dụ 46. Giải phương trình: ( ) 2 21 2 sin x 2cos x4 9.4 5 1− −+ =



( )2 21 2 cos x 2 cos x1 4 9.4 5 0− + −⇔ + − =

2

2

2 cos x

2 cos x

4 95 0

4 4⇔ + − =

( )

22cos xt 4 , 1 t 16

t 95 0

4 t

= ≤ ≤⇔ + − =

22 cos x

2

t 4

t 20t 36 0

=⇔ − + =

( )( ) ( )

22 cos xt 4 , 1 t 16

t 18 L t 2 N

= ≤ ≤⇔ = ∨ =

( ) 22 cos x 2 1 1

4 2 2 cos x cos x x k , k2 2 3

π⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + π ∈ � .

Thí dụ 47. Giải phương trình: ( ) 3 3x 3 3x 4 x 4 x 33 3 3 3 10+ − + −+ + + = ∗



( ) 3x x 3

3x x

27 8127.3 81.3 10

3 3∗ ⇔ + + + =

( ) 3x x 3

3x x

1 127. 3 81. 3 10 1

3 3

⇔ + + + =

● Đặt Cauchy

x x

x x

1 1t 3 2 3 . 2

3 3= + ≥ = .

3

3 x 3x 2x x 3x 3

x x 2x 3x 3x

1 1 1 1 1t 3 3 3.3 . 3.3 . 3 t 3t

3 3 3 3 3

⇒ = + = + + + ⇒ + = − .

( ) ( )3 31 27 t 3t 81t 10⇔ − + =

www.MATHVN.com



Page - 34 -

3

3 10t

27⇔ =

( ) x

x

1 10t 3 2 N

33⇔ = + = >

xx

2 x

y 3 3y 3 0x 113y 10y 3 0 y 3

3

= = = > ⇔ ⇔ ⇔ = ± − + = = =

.


Thí dụ 48. Giải phương trình: ( ) x 1 x x

x

327 27 16 3 6 0

3

− − − − + = ∗

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh



( ) ( ) x x

x x

27 327 16 3 6 0 1

27 3

∗ ⇔ − − − + =

● Đặt x 3 x x 3

x x x

3 3 27t 3 t 3 27 t 9t

3 3 27

= − ⇒ = − ⇒ − = + .

( ) 31 t 7t 6 0⇔ − + =

t 1 t 2 t 3⇔ = ∨ = ∨ = − .

● Với x x

3x

3 1 13 1 13t 1 3 1 3 x log

2 23

+ += ⇒ − = ⇔ = ⇔ = .

● Với x x

x

3t 2 3 2 3 3 x 1

3= ⇒ − = ⇔ = ⇔ = .

● Với x x

3x

3 21 3 21 3t 3 3 3 3 x log

2 23

− −= − ⇒ − =− ⇔ = ⇔ = .

● Vậy phương trình có ba nghiệm: 3 3

21 3 1 13x 1 x log x log

2 2

− += ∨ = ∨ = .

Thí dụ 49. Giải phương trình: ( ) ( )

3x x

x3 x 1

1 122 6.2 1 1

22−

− − + =

Đại học Y Hà Nội năm 2000



( ) 3x x

3x x

8 121 2 6.2 1 0

2 2⇔ − − + − =

www.MATHVN.com



Page - 35 -

( )( )

( ) 3

x x

3 xx

8 22 6 2 1 0

22

⇔ − − − − = ∗

● Đặt x

x

2t 2

2= − .

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 33 x x x x 3

x 2 3 3x x x

2 4 8 8t 2 3. 2 . 3.2 . 2 t 6t

2 2 2 2⇒ = − + − ⇒ − = + .

( )3

x

x

t 6t 6t 1

2t 2

2

+ − =∗ ⇔ = −

( )

x

xx

x

t 1 2 1 Lx 12

2 2t 22

= = − ⇔ ⇔ ⇔ = == −

.

● Vậy nghiệm phương trình là x 1= .

Thí dụ 50. Giải phương trình: ( ) ( ) x5

log 5 4 1 x− = − ∗

Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2003


● Điều kiện: x5 4 0− > .

�� Cách giải 1. Đặt ẩn phụ.

( ) x 1 x x

x

15 4 5 5 5. 4 0

5

−∗ ⇔ − = ⇔ − − =

x x

2 x

t 5 0 t 5 1x 1

t 4t 5 0 t 5 5

= > = = − ⇔ ⇔ ⇔ = − − = = =

.

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x 1= .

�� Cách giải 2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

● Nhận thấy x 1= là một nghiệm của phương trình ( )∗ .

● Hàm số ( ) ( )x5

f x log 5 4 := − là hàm số đồng biến.

● Hàm số ( )g x 1 x := − là hàm số nghịch biến.

● Do đó , x 1= là nghiệm duy nhất của phương trình ( )∗ .

Thí dụ 51. Giải phương trình: ( ) ( ) x2

x log 9 2 3+ − = ∗

Đại học Huế khối A, B – Hệ chuyên ban năm 2000


● Điều kiện: x9 2 0− > .

www.MATHVN.com



Page - 36 -

( ) ( )x

2log 9 2 3 x∗ ⇔ − = −

x 3 x9 2 2 −⇔ − =

x

x

82 9 0

2⇔ + − =

2 x

xx x

t 1 t 8t 9t 8 0 2 1 x 0

x 3t 2 0t 2 0 2 8

= ∨ =− + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ == >= > =

.

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 0 x 3= ∨ = .

Thí dụ 52. Giải phương trình: ( ) ( ) x

x 3log log 9 6 1 − = ∗

Đại học Dân Lập Đông Đô khối A, V năm 2001


● Điều kiện: ( )x

3

x

0 x 1

log 9 6 0

9 6 0

< ≠ − > − >

.

( ) ( )x

3log 9 6 x∗ ⇔ − =

x x9 6 3⇔ − =

( )( )

x x

2 x

t 3 0 t 3 3 Nx 1

t t 6 0 t 3 2 L

= > = = ⇔ ⇔ ⇔ = − − = = = −

.

● So với điều kiện, nghiệm x 1= không thỏa. Vậy phương trình vô nghiệm.

Thí dụ 53. Giải phương trình: ( ) ( ) x 1 x

3log 9 4.3 2 2x 1+ − − = + ∗

Đại học Dân Lập Phương Đông năm 2001


● Điều kiện : x 1 x9 4.3 2 0+ − − > .

( ) x 1 x 2x 19 4.3 2 3+ +∗ ⇔ − − =

2x 2x x9.3 3.3 4.3 2 0⇔ − − − =

2x x6.3 4.3 2 0⇔ − − =

( )

( )

xx

2 x

t 2 1 Nt 3 0x 01

6t 4t 2 0 t 2 L3

= = = > ⇔ ⇔ ⇔ = − − = = =−

.

● Thay x 0= vào điều kiện, điều kiện thỏa. Vậy nghiệm phương trình là x 0= .

Thí dụ 54. Giải phương trình: ( ) 2x 1 x 1 x x 15.3 7.3 1 6.3 9 0 1− − +− + − + =

Đại học Hồng Đức khối A năm 2001


www.MATHVN.com



Page - 37 -

( ) ( ) ( )2 2

x x x x7 51 1 6.3 3.3 .3 . 3

3 3⇔ − + = −

( ) ( ) 2 2

x x x7 51 3.3 .3 . 3

3 3⇔ − = −

( ) ( ) 2

x x x7 51 3.3 .3 . 3 2

3 3⇔ − = −

● Đặt xt 3 0= >

( ) 27 52 1 3t t t

3 3⇔ − = −

2

2 2

22

77 50 tt t 0 7

53 3 0 t5 17 5

t t 31 3t t t 5t 16t 3 0 53 335 7 5t 2t 3 0 t 1 t1 3t t t53 3

≤ ≤− ≥ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ = ∨ = − = − − + = − − = = ∨ = −− = −

x

3

x

11 13t x log

55 5t 1 x 03 1

== = ⇔ ⇔ ⇔

= ==

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm là 3

1x 0 x log

5= ∨ = .

Thí dụ 55. Giải bất phương trình: ( ) x 3 x2 2 9 1−+ ≤

Đại học Kỹ Thuật Công Nghệ năm 1998


( ) x

x

81 2 9 0

2⇔ + − ≤

x

2

t 2 0

t 9t 8 0

= >⇔ − + ≤

xt 2 0

1 t 8

= >⇔ ≤ ≤

x1 2 8⇔ ≤ ≤

0 x 3⇔ ≤ ≤ .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x 0;3 ∈ .


2

2

2x x

x 2x 19 2 3 1

3

−

− − ≤

Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2005


www.MATHVN.com



Page - 38 -

( )2 2x 2x x 2x1 9 2.3 3 0− −⇔ − − ≤

( ) ( ) 2 2

2x 2x x 2x3 2.3 3 0 2− −⇔ − − ≤

● Đặt: 2x 2xt 3 0−= > .

( ) 2

t 02

t 2t 3 0

>⇔ − − ≤

t 0

1 t 3

>⇔ − ≤ ≤

0 t 3⇔ < ≤ .

● Với 2x 2x0 t 3 0 3 3−< ≤ ⇒ < ≤

2x 2x 1⇔ − ≤

x 1 2; 1 2 ⇔ ∈ − + .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x 1 2; 1 2 ∈ − + .

Thí dụ 57. Giải bất phương trình: ( ) x x 1

1 11

3 1 1 3 −>

− −


● Điều kiện:

x x

x 1 x 1

3 1 0 3 1 x 0

x 11 3 0 3 1− −

− ≠ ≠ ≠ ⇔ ⇔ ≠− ≠ ≠

( ) x x 1

1 11 0

3 1 1 3 −⇔ − >

− −

( )( )

x 1 x

x x 1

1 3 3 10

3 1 1 3

−

−

− − +⇔ >

− −

( )( )

xx

xx

32 3

3 0 23

3 1 13

− −⇔ >

− −

● Đặt xt 3 0= > .

( )

( ) ( )( )

t 0t 0

42 t 3

2 t3 0 2 0tt 1 1 t 1 4 t

3

> > − ⇔ ⇔ − > > − − − −

www.MATHVN.com



Page - 39 -

x

3

x

3

333 0 x log1 31 t222

t 4 4 3 x log 4

< < < << < ⇔ ⇔ ⇔ > < >

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )3 3

3x 0; log log 4;

2

∈ ∪ +∞ .

Thí dụ 58. Giải bất phương trình: ( ) x 1 x2 2 1 1−− <



( ) ( ) x

x

21 2 1 2

2⇔ − <

● Đặt xt 2 . Do x 0 t 1= ≥ ⇒ ≥ .

( ) 2

t 1 t 12 2 t t 2 0t 1

t

≥ ≥ ⇔ ⇔ − − <− <

x1 t 2 1 2 2 0 x 1⇔ ≤ < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là )x 0;1∈ .

Thí dụ 59. Giải bất phương trình: ( ) 2 2x 2x x x 2x x 13.9 49.3 6 1− − − − −− ≤


● Điều kiện: 2x 2x 0 x 0 x 2− ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ .

( ) ( ) 2 2x 2x x x 2x x1 3.9 7.3 6 2− − − −⇔ − ≤

● Đặt 2x 2x xt 3 0− −= > .

( ) 2

t 02

3t 7t 6 0

>⇔ − − ≤

t 0

2t 3

3

>⇔ − ≤ ≤

2x 2x xt 3 3 3− −⇔ ≤ ⇔ ≤

2x 2x x 1⇔ − − ≤ 2x 2x x 1⇔ − ≤ +

( )

2

22

x 0 x 2x 2x 0 1

1 x 0x 1 0 x 4

4 x 2x 1x 2x x 1

≤ ∨ ≥ − ≥ − ≤ ≤ ⇔ + ≥ ⇔ ≥− ⇔ ≥ ≥ −− ≤ +

.

www.MATHVN.com



Page - 40 -

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là )1

x ;0 2;4

∈ − ∪ +∞

.

Thí dụ 60. Giải bất phương trình: ( ) x x 1 x25 5 5 5++ < + ∗

Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học năm 1998


● Điều kiện: x 0≥ ⇒ Tập xác định: )D 0;= +∞.

( ) ( )2

x x5 6.5 5 0∗ ⇔ − + <

x

2

t 5 0

t 6t 5 0

= >⇔ − + <

xt 5 0

1 t 5

= >⇔ < <

1 t 5⇔ < <

x1 5 5⇔ < <

0 x 1⇔ < <

0 x 1⇔ < < .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là ( )x 0;1∈ .

Thí dụ 61. Giải bất phương trình: ( ) 1 x x 1 x8 2 4 2 5 1+ ++ − + >

Cao đẳng Giao Thông năm 2004


( ) ( )2

x x x1 8 2.2 2 5 2.2⇔ + − > −

x

2

t 2 0

8 2t t 5 2.t

= >⇔ + − > −

( )

2 2

2

t 0 t 0

5 2t 0 5 2t 0

8 2t t 0 8 2t t 5 2t

> > ⇔ − < ∨ − ≥ + − ≥ + − > −

t 0 t 0

5 5t t

2 22 t 4 17

1 t5

> > ⇔ > ∨ ≤ − ≤ ≤ < <

www.MATHVN.com



Page - 41 -

5 5

t 4 1 t2 2

⇔ < ≤ ∨ < ≤

1 t 4⇔ < ≤

x1 2 4⇔ < ≤

0 x 22 2 2⇔ < ≤

0 x 2⇔ < ≤

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (x 0;2∈ .

Thí dụ 62. Giải phương trình: ( ) ( )( ) ( ) 22

x x x2 2 2 2 1 2 1− < + − − ∗


● Điều kiện: x2 1 0 x 0− ≥ ⇔ ≥ .

● Đặt: ( ) x 2 x x 2t 2 1, t 0 t 2 1 2 t 1= − ≥ ⇒ = − ⇒ = + .

( ) ( ) ( )( )2 2

2 2t 1 2 t 1 2 1 t∗ ⇔ + − < + + −

( ) ( )( ) 2 2

2 2t 1 t 3 t 1⇔ − < + −

( )( ) ( )( ) 2 2

2t 1 t 1 t 3 t 1 0 ⇔ − + − + − <

( ) ( ) ( )( ) 2 2 2

2t 1 t 1 t 3 t 1 0⇔ − + − + − <

( ) ( ) ( ) 2 2 2

t 1 t 1 t 3 0

⇔ − + − + <

( ) ( ) 2

t 1 2t 2 0⇔ − − <

( ) 3

2 t 1 0⇔ − < t 1⇔ < .

● Với x xt 1 2 1 1 2 2 x 1< ⇒ − < ⇔ < ⇔ < .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là )x 0;1∈ .

Thí dụ 63. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x

9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1+ + + − − < ∗


● Nhận thấy rằng:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

x 3x 3 x

x 2x 2 x

xx x

9 3 11 2 3 2 3 2

5 2 6 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 3 2 1

+ = + = + + = + = + + − = + − =

.

www.MATHVN.com



Page - 42 -

● Đặt ( ) ( )x x 1

t 3 2 0 3 2t

= + > ⇒ − = .

( )( )

3 2

x

1t 2t 2 1

t

t 3 2 0

+ − <∗ ⇔ = + >

( )

4 3

x

t 2t t 2 1

t 3 2 0

+ − − <⇔ = + >

( )( )( )

( )

2

x

t 1 t 2 t t 1 0

t 3 2 0

− + + + <⇔ = + >

( ) x

2 t 1

t 3 2 0

− < <⇔ = + >

0 t 1⇔ < <

( ) x

2 3 1⇔ + <

x 0⇔ < .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )x ;0∈ −∞ .

Thí dụ 64. Giải phương trình: ( ) x

x

2x

2.55 3 5

5 4+ > ∗

−


● Điều kiện: 2x

5 55 4 0 2x log 4 x log 2− > ⇔ > ⇔ > .

● Đặt xu 5 0= > .

( )2

2uu 3 5

u 4∗ ⇔ + >

−

2 2

2

2 2

4u 4uu 45

u 4 u 4⇔ + + >

− −

2 2

2 2

u u4. 45

u 4 u 4⇔ + >

− −

2

2

2

ut 0

u 4t 4t 45 0

= >⇔ − + − >

www.MATHVN.com



Page - 43 -

2

2

ut 0

u 4t 5

= >⇔ − >

2

2

u5

u 4⇔ >

−

2 2u 5 u 4⇔ > −

4 2u 25u 100 0⇔ − + >

2 2u 20 u 5⇔ > ∨ <

u 20 u 5⇔ > ∨ <

x x5 20 5 5⇔ > ∨ <

5

1x log 20 x

2⇔ > ∨ < .

● So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là ( )5 5

1x log 2; log 20;

2

∈ ∪ +∞ .

Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 2: ( ) ( )

( ) ( )λf x2.f x 2.f x

.a . a.b .b 0α β+ + = .

PP→ Chia hai vế cho ( )2.f xb , rồi đặt ẩn phụ

( )f xa

t 0b

= >

(chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất).

Thí dụ 65. Giải phương trình: ( ) x x x8 18 2.27+ = ∗

Cao đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi năm 2006



( )2x 3x

3 31 2.

2 2

∗ ⇔ + =

x xx

3 2 3 2

3 3t 0 t 0 3

t 1 x 02 22

2t t 1 0 2t t 1 0

= > = > ⇔ ⇔ ⇔ = = ⇔ = − − = − − =

.


Thí dụ 66. Giải phương trình: ( ) x x x6.4 13.6 6.9 0− + = ∗

Đại học Dân Lập Bình Dương năm 2001



www.MATHVN.com



Page - 44 -

( )x 2x

3 36 13. 6. 0

2 2

∗ ⇔ − + =

x

x

x

2

3 23

t 0 2 3x 12

3 36.t 13t 6 02 2

= = > ⇔ ⇔ ⇔ = ± − + = =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm: x 1 x 1=− ∨ = .

Thí dụ 67. Giải phương trình: ( ) x x x25 15 2.9+ = ∗

Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000



( )2x x

5 52 0

3 3

∗ ⇔ + − =

2x

x

x

t 1t t 2 0

t 2 51 x 05 3t 0 5

3 t 03

= + − = = − ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = = > = >

.

● Vậy nghiệm của phương trình là x 0= .


1 1 1

x x x2.4 6 9+ = ∗



( )1 1

x x4 62. 1 0

9 9

∗ ⇔ + − =

21

xx2 2

2. 1 03 3

⇔ + − =

( )

x

xx

x 2

2 3

2t 1 L2

t 0 2 1 13x log3

3 2 22 12t t 1 0 t3 2

= = − = > ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = + − = = =

.

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là 2

3

1x log

2= .

Thí dụ 69. Giải phương trình: ( ) x x 2x 19 6 2 ++ = ∗

www.MATHVN.com



Page - 45 -

Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006



( ) x x x9 6 2.4 0∗ ⇔ + − =

( )

x

2x x x3

t 023 3 3

2 0 1 x 0t 12 2 2

t 2 L

= > ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = = = −

.

● Vậy nghiệm của phương trình là x 0= .

Thí dụ 70. Giải phương trình: ( ) x x x x3.8 4.12 18 2.27 0+ − − = ∗

Đại học khối A năm 2006



( )x 2x 3x

3 3 33 4. 2. 0

2 2 2

∗ ⇔ + − − =

( )

xx

x3 3

3 3t3

t 0 2 2x 12

32t t 4t 3 0 t 1 L2

= = = > ⇔ ⇔ ⇔ = + − − = = = −

.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1= .

Thí dụ 71. Giải phương trình: ( ) 2 22x x x 2x4 2.4 4 0+− + = ∗

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006



( )2 22x 2x x x4 2.4 1 0− −∗ ⇔ − + = (chia hai vế cho

2x4 0> )

( ) 2 2

2x x x x4 2.4 1 0− −⇔ − + =

2

2x x

x x 2

2

x 0t 4 0t 4 1 x x 0

x 1t 2t 1 0

−

− == > ⇔ ⇔ = = ⇔ − = ⇔ =− + =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0 x 2= ∨ = .

Thí dụ 72. Giải phương trình: ( ) 3 3x 5 1 x 5 x x4 2.2 2.4+ + + ++ = ∗

Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006



www.MATHVN.com



Page - 46 -

( )3 3x 5 1 x 5 x

x 2x

4 2.22 0

4 2

+ + + +

∗ ⇔ + − =

3 3x 5 x x 5 x4.4 2.2 2 0+ − + −⇔ + − =

( )

332 x 5 x x 5 x4.2 2.2 2 0

+ − + −⇔ + − =

( )

3 3

3

x 5 x x 5 x 1

2x 5 x

12 t 0 2 t 2

24t 2t 2 0 2 t 1 L

+ − + − −

+ −

= > = = = ⇔ ⇔ + − = = = −

3 x 5 x 1⇔ + − =−

3 x 5 x 1⇔ + = −

3 2x 5 x 3x 3x 1⇔ + = − + − .

3 2x 3x 2x 6 0 x 3⇔ − + − = ⇔ = .


Thí dụ 73. Giải phương trình: ( ) 2 22x 1 x x 2x 22 9.2 2 0+ + +− + = ∗

Đại học Thủy Lợi cơ sở II – Hệ chưa phân ban năm 2000



( )2 22x x x 2x2.2 9.2 4.2 0+∗ ⇔ − + =

2 22x 2x x x2.2 9.2 4 0− −⇔ − + =

( )

222 x x x x2.2 9.2 4 0

− −⇔ − + =

22

2

x xx x

2 x x

2 4t 2 012t 9t 4 0 22

−−

−

= = > ⇔ ⇔ − + = =

2

2

x x 2 x 1

x 2x x 1

− = = − ⇔ ⇔ =− = −

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1 x 2=− ∨ = .


2 2 2log 2x log 6 log 4x4 x 2.3− = ∗

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2001



x 0x 0

> ⇔ > ⇒ ≠

Tập xác định: ( )D 0;= +∞ .

( ) 2 2 21 log x log x 2 log 2x

4 6 2.3 0+

∗ ⇔ − − =

2 2 2log x log x 1 log x4.4 6 2.9 0

+⇔ − − =

www.MATHVN.com



Page - 47 -

2 2 2log x log x log x4.4 6 18.9 0⇔ − − =

2 2

2log x log x

3 34 18. 0

2 2

⇔ − − =

2

2

log x

18t t 4 0

3t 0

2

+ − =⇔ = >

( )

( )

2

2

log x

log x

3 4t N

2 9

3 1t L

2 2

= = ⇔

= = −

2

log x 2⇔ =−

1

x4

⇔ = .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là 1

x4

= .

Thí dụ 75. Giải bất phương trình: ( ) 2x 4 x 2x 23 45.6 9.2 0+ ++ − ≤ ∗

Cao đẳng Cộng Đồng Hà Tây năm 2005


● Tập xác định D = � .

( ) x x x81.9 45.6 36.4 0∗ ⇔ + − ≤

2x x

3 381. 45. 36 0

2 2

⇔ + − ≤

x

2

3t 0

2

81t 45t 36 0

= > ⇔ + − ≤

t 0

41 t

9

>⇔ − ≤ ≤

4

0 t9

⇔ < ≤

x

3 40

2 9

⇔ < <

3

2

4x log 2

9⇔ ≤ =− .

www.MATHVN.com



Page - 48 -

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (x ; 2∈ −∞ − .

Thí dụ 76. Giải bất phương trình: ( ) x x x9 10.6 6.4 0− + > ∗

Đại học Dân Lập Văn Lang năm 1998


( )

2x x

3 310. 6 0

2 2

∗ ⇔ − + >

x

2

3t 0

2

t 10t 6 0

= > ⇔ − + >

t 0

t 5 19 t 5 19

>⇔ < − ∨ > +

x x

3 35 19 5 19

2 2

⇔ < − ∨ > +

( ) ( ) 3 3

2 2

x log 5 19 x log 5 19⇔ < − ∨ > + .

● Vậy tập nghiệm cần tìm là ( ) ( )3 3

2 2

x ; log 5 19 log 5 19 ; ∈ −∞ − ∪ + +∞

.


1 1 1

x x x9.25 16.15 25.9 1− ≥



( ) ( )

2 1

x x5 51 9. 16. 25 0 2

3 3

⇔ − − ≥

● Đặt

1

x5t 0

3

= > .

( ) 2

t 02

9t 16t 25 0

>⇔ − − ≥

t 0

25t 1t

925t

9

> ≤ −⇔ ⇔ ≥ ≥

www.MATHVN.com



Page - 49 -

12

x5 25 5

3 9 3

⇔ ≥ =

1

2x

⇔ ≥1 1 2x 1

2 0 0 0 xx x 2

−⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ < ≤ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: 1

x 0;2

∈

.

Thí dụ 78. Giải phương trình: ( ) x x x2 4.5 4 10 1+ − <


( ) x x x1 2 10 4.5 4 0⇔ − + − <

( ) ( ) x x x2 1 5 4 1 5 0⇔ − − − <

( )( ) x x1 5 2 4 0⇔ − − <

( ) ( )

x x

x x

x x

x x

1 5 0 5 1

2 4 0 2 4 x 2x ;0 2;

x 01 5 0 5 1

2 4 0 2 4

− < > − > > > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ < − > < − < <

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )x ;0 2;∈ −∞ ∪ +∞ .

Thí dụ 79. Giải bất phương trình: ( ) x x x 1 x8.3 9 9+ ++ ≥ ∗

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập – Hà Tỉnh



( ) x x 2 x 2x8.3 9.3 3+∗ ⇔ + ≥

( )

2 x xx x8.3 9.3 1−−⇔ + ≥

( )

2 x x x x9.3 8.3 1 0− −⇔ + − ≥

x x

2

t 3 0

9t 8t 1 0

− = >⇔ + − ≥

x xt 3 0

1t 1 t

9

− = >⇔ ≤− ∨ ≥

x x 21t 3 3

9− −⇔ = ≥ =

x x 2⇔ − ≥−

www.MATHVN.com



Page - 50 -

x x 2⇔ ≥ −

2

x 2 0x 2 0

x 0 x x 4x 4

− ≥− ≤ ⇔ ∨ ≥ ≥ − +

x 2

0 x 21 x 4

≥⇔ ≤ ≤ ∨ ≤ ≤

0 x 2 2 x 4⇔ ≤ ≤ ∨ ≤ ≤ .

0 x 4⇔ ≤ ≤ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x 0;4 ∈ .


41

xx x x22.3 9 9 1

++ + ≥



( )4 4x x x x1 2.3 3.9 9+⇔ + ≥ (chia hai vế cho

x9 )

4 4x x x

2 x x

3 92. 3. 1

3 9

+

⇔ + ≥

( ) 4 4x x x x2.3 3.9 1 2− −⇔ + ≥

● Đặt 4 x xt 3 0−= > .

( )4 x x

2

t 3 02

3t 2t 1 0

− = >⇔ + − ≥

4 x x 11

t 3 33

− −⇔ ≥ ⇔ ≥

4 x x 1⇔ − ≥−

4x x 1 0⇔ − − ≤

4 1 5x

2

+⇔ ≤

7 3 5

0 x2

+⇔ ≤ ≤ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 7 3 5

x 0;2

+ ∈

.

Thí dụ 81. Giải bất phương trình: ( ) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0 1+ + +− − >

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, D năm 2000


www.MATHVN.com



Page - 51 -

● Điều kiện: x 4≥− .

( ) 2x x x 4 x 41 3 8.3 9.9 0+ + +⇔ − − >

2x x x 4

2 x 4 2 x 4

3 38. 9 0

3 3

+ +

+ +⇔ − − > (Chia hai vế cho

x 49 +)

( ) ( ) 2 x x 4 x x 43 8.3 9 0 2− + − +⇔ − − >

● Đặt x x 4t 3 0− += > .

( )x x 4

2

t 3 02

t 8t 9 0

− + = >⇔ − − >

t 9⇔ >

x x 4 23 3− +⇔ >

x x 4 2⇔ − + >

x 4 x 2⇔ + < +

( ) 2 2

x 2 0 x 2x 0

x 3x 0x 2 x 4

+ > > − ⇔ ⇔ ⇔ > + >+ > +

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là ( )x 0;∈ +∞ .

Thí dụ 82. Giải bất phương trình: ( ) ( ) x x

2log 7.10 5.25 2x 1− > + ∗



● Điều kiện:

x

x x x x

10

25

10 5 57.10 5.25 0 7.10 5.25 x log

25 7 7

− > ⇔ > ⇔ > ⇔ < .

( ) x x 2x 17.10 5.25 2 +∗ ⇔ − >

x x x7.10 5.25 2.4 0⇔ − − > (Chia hai vế cho x4 )

2x x

5 57. 5. 2 0

2 2

⇔ − − >

x

2

5t 0

2

5t 7t 2 0

= > ⇔ − + − >

x

5t 0

2

2t 1

5

= > ⇔ < <

www.MATHVN.com



Page - 52 -

x

2 51

5 2

⇔ < <

1 x 0⇔− < < .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: ( )x 1;0∈ − .

Thí dụ 83. Giải bất phương trình: ( ) 2 2x x x 2x 3 1 x 2x 34 3.2 4 0 1+ − − + − −− − >

Cao đẳng khối A, B, D năm 2011


● Điều kiện: 2x 2x 3 0 x 1 x 3− − ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥ .

( )2 22x x x 2x 3 2 x 2x 32 3.2 .2 4.2 0− − − −∗ ⇔ − − >

2 2x 2x 3 x 2 x 2x 3 x1 3.2 4.2 0− − − − − −⇔ − − > (chia hai vế cho 2x2 )

2x 2x 3 x

2

t 2 0

4t 3t 1 0

− − − = >⇔ + − <

2x 2x 3 xt 2 0

11 t

4

− − − = >⇔ − < <

2x 2x 3 x 1

0 24

− − −⇔ < <

2x 2x 3 x 2⇔ − − − <−

2x 2x 3 x 2⇔ − − < −

2

2 2

x 2 07

x 2x 3 0 3 x2

x 2x 3 x 4x 4

− >⇔ − − ≥ ⇔ ≤ < − − < − +

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: 7

x 3;2

∈

.

�� Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 3: ( ) ( )f x f xa b c+ = với a.b 1=

PP→ Đặt ( ) ( )f x f x 1t a b

t= ⇒ = .


2 1 2 1 2 2 0− + + − = ∗

Đại học khối B năm 2007



www.MATHVN.com



Page - 53 -

● Ta có: ( )( ) ( ) ( )x x

x2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1− + = ⇔ − + = = .

● Đặt ( ) ( )x x 1

t 2 1 0 2 1t

= + > ⇒ − = .

( ) 21t 2 2 0 t 2 2 1 0

t∗ ⇔ + − = ⇔ − + =

( )( )

x

x

2 1 2 1t 2 1 x 1

x 1t 2 1 2 1 2 1

+ = += + = ⇔ ⇔ ⇔ = − = − + = −

.



2 3 2 3 4 1+ + − =

Đại học Tổng Hợp Tp. HCM khối D năm 1994 – Đại học Quốc Gia Tp. HCM năm 1996



● Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )x x

x2 3 . 2 3 1 2 3 . 2 3 1 1+ − = ⇔ + − = = .

● Đặt ( ) ( )( )

x x

x

1 1t 2 3 0 2 3 0

t2 3

= + > ⇒ − = = >

+

.

( )( )( )

2t 2 3 0 N1

1 t 4 t 4t 1 0t t 2 3 0 N

= + >⇔ + = ⇔ − + = ⇔

= − >

● Với ( )x

t 2 3 2 3 2 3 x 1= + ⇒ + = + ⇔ = .

● Với ( )x

t 2 3 2 3 2 3 x 1−

= − ⇒ − = − ⇔ = − .

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 x 1=− ∨ = .


x x3 35 2 6 5 2 6 10 + + − = ∗



● Ta có: ( )( )3 335 2 6 5 2 6 5 2 6 5 2 6 1

+ − = + − = .

x x x3 3 3x

x3

15 2 6 . 5 2 6 1 1 5 2 6

5 2 6

⇒ + − = = ⇔ − = −

.

www.MATHVN.com



Page - 54 -

● Đặt

x x3 3 1

t 5 2 6 0 5 2 6t

= + > ⇒ − = .

( )( )( )

2t 5 2 6 0 N1

t 10 0 t 10t 1 0t t 5 2 6 0 N

= + >∗ ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − >

x3

x3

t 5 2 6 5 2 6 x 3

x 3t 5 2 6 5 2 6

= + = + = ⇔ ⇔ = − = + = −

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm x 3 x 3= − ∨ = .


x 35 21 7 5 21 2 +− + + = ∗

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997



● Nhận xét: ( ) ( ) ( ) ( )x x

x5 21 . 5 21 4 5 21 . 5 21 4+ − = ⇔ + − = .

● Đặt: ( ) ( )xx x 4

t 5 21 0 5 21 0t

= + > ⇒ − = > .

( )x

x 347.t 2

t+∗ ⇔ + =

2 x x7t 8.2 t 4 0⇔ − + =

( )( )

( )

x xx

2x x x x

x

4.2 3.2t 2 0 N

7' 16.4 7.4 9.4 3.22

t 0 N7

+ = = >∆ = − = = ⇒

= >

.

● Với ( )x

xx x 2

t 2 5 21 2 1 x 05 21

= ⇒ + = ⇔ = ⇔ = +.

● Với ( )x

x xx

2

5 21

2 2 2t 5 21 7 x log 7

7 7 5 21 +

= ⇒ + = ⇔ = ⇔ = +.


5 21

x 0 x log 7 +

= ∨ = .

Thí dụ 88. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) sin x sin x

8 3 7 8 3 7 16+ + − = ∗



www.MATHVN.com



Page - 55 -

● Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )sin x sin x

sin x8 3 7 . 8 3 7 1 8 3 7 . 8 3 7 1 1+ − = ⇔ + − = = .

● Đặt ( ) ( ) ( )sin x sin x sin x1

t 8 3 7 0 8 3 7 8 3 7 tt

−

= + > ⇒ − = ⇒ − = .

( )( )( )

2t 8 3 7 0 N1

t 16 t 16t 1 0t t 8 3 7 0 N

= + >∗ ⇔ + = ⇔ − + = ⇔

= − >

● Với ( ) ( )sin x

t 8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin x 1 x k2 , k2

π= + ⇒ + = + ⇔ = ⇔ = + π ∈ � .

● Với ( ) ( )sin x

t 8 3 7 8 3 7 8 3 7 sin x 1 x ,2

− π= − ⇒ − = − ⇔ =− ⇔ =− + π ∈l l � .

● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: ( ) x k2 x , k,2 2

π π= + π ∨ = − + π ∈l l � .

�� Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 4: ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

f x g x f x g x

f x g xf x

f x g x

g x

a .a a

.a .a b 0aa

a

α β

+

−

=

+ + + = =

.

PP→ Đặt ( )

( )

f x

g x

u a

v a

= =

đưa về phương trình tích số hoặc phương trình thuần nhất hoặc hệ.

Thí dụ 89. Giải phương trình: ( ) 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = ∗



�� Cách giải 1. Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích số

● Đặt

2 2

2x x x x

x x

2x 2x

u 2 0 u 22

vv 2 0 2

+ +−

= > ⇒ = = = >

.

( )u

u 4. v 4 0v

∗ ⇔ − − + =

2uv v 4u 4v 0⇔ − − + =

( ) ( ) v u v 4 u v 0⇔ − − − =

( )( ) u v v 4 0⇔ − − =

2 2x x 2x

2x

u v x 0x x 2x2 2

v 4 x 12x 22 4

+ = =+ == ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ===

.

�� Cách giải 2. Đưa về phương trình tích số

www.MATHVN.com



Page - 56 -

( )2

2x

x x x x

x

22 .2 2 .2 4. 4 0

2∗ ⇔ − − + =

( )

2

2x x

x x x

x

2 22 2 2 4 0

2

− ⇔ − − =

( ) 2x x x

x

42 2 2 0

2

⇔ − − =

2x x2

xx

x

2 2 x x x 04 x 14 422

= = = ⇔ ⇔ ⇔ ===

.

Thí dụ 90. Giải phương trình: ( ) x x x25.2 10 5 25− + = ∗



( ) x x x x25.2 25 2 .5 5 0∗ ⇔ − − + =

( ) ( ) x x x25 2 1 5 2 1 0⇔ − − − =

( )( ) x x2 1 25 5 0⇔ − − =

x x

x x

2 1 0 2 1 x 0

x 225 5 0 5 25

− = = = ⇔ ⇔ ⇔ =− = =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0 x 2= ∨ = .

Thí dụ 91. Giải phương trình: ( ) x x x 112.3 3.15 5 20++ − = ∗



( ) ( ) ( )x x x3.3 4 5 5 5 4 0∗ ⇔ + − + =

( )( ) x x5 4 3.3 5 0⇔ + − =

x x

x

5 4 0 : Vô nghiêm do 5 4 0, x

3.3 5 0

+ = + > ∀ ∈⇔ − =

�

x

3

5 53 x log

3 3⇔ = ⇔ = .

● Vậy phương trình có một nghiệm: 3

5x log

3= .

Thí dụ 92. Giải phương trình: ( ) x x x 112.3 3.15 5 20++ − = ∗



www.MATHVN.com



Page - 57 -

�� Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x)

( ) ( )2 x x2x 3 1 4.3 .x 6.3 1 0∗ ⇔ − − − + =

( ) ( ) ( )2

x x x x x x9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1∆ = − + − − + = − + = −

( )

x x

x xxx

3 12.3 12.3 1 1x 1 x

4 21 x3 12.3 12.3 1

3 1x 1 6.36 64

− + − = = = ⇒ ⇔

− − + = −= = −

● Ta có: x 1= − là một nghiệm của phương trình ( )1

Hàm số ( ) xf x 3= đồng biến x∀ ∈ � .

Hàm số 1 x

y6 6

= − nghịch biến x∀ ∈ � .

x 1⇒ =− là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1


x 1 x2

= − ∨ = .

�� Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử

( ) ( )2 x2x 3x 1 6.3 . 2x 1 0∗ ⇔ − + + − =

( ) ( ) x12 x 1 x 6.3 . 2x 1 0

2

⇔ − − + − =

( )( )( )

x

x

1x

22x 1 x 1 6.3 01 x

3 16 6

=

⇔ − − + = ⇔ = −

● Ta có: x 1= − là một nghiệm của phương trình ( )1

Hàm số ( ) xf x 3= đồng biến x∀ ∈ � .

Hàm số 1 x

y6 6

= − nghịch biến x∀ ∈ � .

x 1⇒ =− là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1


x 1 x2

= − ∨ = .

Thí dụ 93. Giải phương trình : ( ) 2 x 1 x 2 x4x x.3 3 2x .3 2x 6++ + = + + ∗

Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Hệ chưa phân ban năm 2000



( ) ( ) ( ) ( )2 2 x x x4x 2x .3 x.3 2x 3.3 6 0∗ ⇔ − + − + − =

www.MATHVN.com



Page - 58 -

( ) ( ) ( ) 2 x x x2x 2 3 x 2 3 3 2 3 0⇔ − − − − − =

( )( ) x 22 3 2x x 3 0⇔ − − − =

x

2 3

2 3 0 3x log 2 x 1 x

2x x 3 0 2

− =⇔ ⇔ = ∨ = − ∨ = − − =

.

● Vậy phương trình có ba nghiệm là 3

3x 1 x log 2 x

2= − ∨ = ∨ = .

Thí dụ 94. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 x 1 x x 1 x 1 xx .5 3 3.5 x 2.5 3 0− − −− − + − = ∗



�� Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x)

( ) ( )x 2 x x x x5 .x 5.3 3.5 .x 2.5 5.3 0∗ ⇔ − − + − =

( ) ( ) ( )2 2

x x x x x x x5.3 3.5 4.5 . 2.5 5.3 5.3 5∆ = − − − = −

( )

x

x 1x 1

3 3 x 2x 2 5. 15 5 5

= −= − ⇒ ⇔ + = − + =

● Phương trình ( )1 có một nghiệm là x 1= .

Hàm số ( )x

3f x

5

= nghịch biến x∀ ∈ � .

Hàm số ( )1 2

g x x5 5

= + đồng biến x∀ ∈ � .

x 1⇒ = là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1


�� Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử

( ) ( ) ( )2 x xx 3x 2 .5 5 x 1 .3 0∗ ⇔ + + − + =

( ) ( )( )

xx x

x 1

x 1 x 2 .5 5.3 0 3 x 21

5 5

= − ⇔ + + − = ⇔ + =

● Phương trình ( )1 có một nghiệm là x 1= .

Hàm số ( )x

3f x

5

= nghịch biến x∀ ∈ � .

www.MATHVN.com



Page - 59 -

Hàm số ( )1 2

g x x5 5

= + đồng biến x∀ ∈ � .

x 1⇒ = là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1


Thí dụ 95. Giải phương trình: ( ) 2cos x5 sin x= ∗



● Ta có:

2

2 2

cos x

2 cos x 0 cos x

5 1

cos x 0 5 5 5 sin x

sin x 1

≥≥ ⇔ ≥ ⇔ = ≤

.

( )

2 2cos x cos x 05 1x k , k

sin x 1sin x 1 2

== π ⇒ ⇔ ⇔ = + π ∈ ==

� .

● Vậy phương trình có một tập nghiệm: ( ) x k , k2

π= + π ∈ � .

Thí dụ 96. Giải phương trình: ( ) 1999 1999sin x cos x 1+ = ∗

Đại học Y Tp. Hồ Chí Minh năm 1999


( ) 1999 19991 sin x cos x 0∗ ⇔ − − =

2 2 2 1997 2 1997sin x cos x sin x sin x cos x cos x 0⇔ + − − =

( ) ( ) ( ) 2 1997 2 1997sin x 1 sin x cos x 1 cos x 0 1⇔ − + − =

● Ta có: ( )( )

( )

2 1997

2 1997

sin x 1 sin x 02

cos x 1 cos x 0

− ≥ − ≥

● Từ ( ) ( )( )( )

2 1997

2 1997

sin x 1 sin x 01 , 2

cos x 1 cos x 0

− =⇒ − =

x k2sin x 0 cos x 0

cos x 1 sin x 1 x k22

= π = = ⇔ ∨ ⇔ π = = = + π

.

● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x k2 x k22

π= π ∨ = + π .

Thí dụ 97. Giải phương trình: ( ) 2 2sin x cos x4 4 6 cos2x 1+ = +



www.MATHVN.com



Page - 60 -

● Xét hàm số: ( )f x 6 cos2x= + .

Ta có: ( ) 1 cos2x 1 5 6 cos2x 7 2− ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤

● Xét hàm số: ( )2 2 2

2

sin x cos x sin x

sin x

4g x 4 4 4

4= + = +

Đặt ( ) 2 2sin x 2 0 sin x 1t 4 , 0 sin x 1 4 4 4 Hay t 1;4 = ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ∈ .

Khi đó, ( )g x được viết lại là ( ) 4

g t t , t 1;4t

= + ∀ ∈ .

( ) ( ) 2

2 2

t 2 1;44 t 4g ' t 1 . Cho g ' t 0

t 2 1;4t t

= − ∉− = − = = ⇔ = ∈

.

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )1;4

1;4

max g t max g x 5g 1 5

g 2 4min g t min g x 4

g 4 5

= == ⇒ = ⇒ = = =

.

Hay ( ) 2 2sin x cos x4 4 4 5 3≤ + ≤

● Từ ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

sin x cos x

sin x cos x

4 4 6 cos2x

1 , 2 , 3 6 cos2x 5

4 4 5

+ = +⇒ + ≥ + ≤

2 2sin x cos x

6 cos2x 5

4 4 5

+ =⇔ + =

( )

2 2

2 2

cos2x 1

sin x 0 cos x 0 x k , k2

cos x 1 sin x 1

= − π = =⇔ ⇔ = + π ∈ ∨ = =

� .

● Vậy phương trình đã cho có một tập nghiệm: ( ) x k , k2

π= + π ∈ � .

Thí dụ 98. Giải bất phương trình: ( ) x x

x x

4 2 20

4 2 2

+ −> ∗

− −

Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006



( )( )( )( )( )

x x xx

xxx x

2 2 2 1 2 1 x 02 10 0

x 12 22 22 1 2 2

+ − < <− ∗ ⇔ > ⇔ > ⇔ ⇔ >>− + −

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )x ;0 1;∈ −∞ ∪ +∞ .

Thí dụ 99. Giải bất phương trình: ( ) 2 2 22 x 1 x 2 x4x x.2 3.2 x .2 8x 12++ + > + + ∗

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002


www.MATHVN.com



Page - 61 -


( )2 2 22 x x 2 x4x 2x.2 3.2 x .2 8x 12 0∗ ⇔ + + − − − >

( ) ( ) ( ) 2 2 2x x 2 2 x2x.2 8x 3.2 12 4x x .2 0⇔ − + − + − >

( ) ( ) ( ) 2 2 2x x 2 x2x 2 4 3 2 4 x 2 4 0⇔ − + − − − >

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2x 2 x 22 4 2x 3 x 0 f x 2 4 x 2x 3 0 1⇔ − + − > ⇔ = − − − <

● Cho

2 2x

2

x 22 4 0 x 2

x 1 x 3 x 1 x 3x 2x 3 0

=− = = ± ⇔ ⇔ = − ∨ = = − ∨ =− − =

.

● Bảng xét dấu

x −∞ 2− 1− 2 3 +∞

2x2 4− + 0 − − 0 + +

2x 2x 3− − + + 0 − − 0 +

( )f x + 0 − 0 + 0 − 0 +

● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( )x 2; 1 2;3∈ − − ∪ .

Thí dụ 100. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2x 4 2 x 23 x 4 .3 1 0− −+ − − ≥ ∗

Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006


● Tập xác định: D= � .

( ) ( ) ( ) 2x 4 2 x 23 x 4 .3 1 1− −∗ ⇔ + − ≥

● Nếu ( )

( )

2

2

x 4

x 4 2 x 2

2 x 2

3 1x 2 3 x 4 .3 1

x 4 .3 0

− +− −

−

≥≥ ⇒ ⇔ + − ≥ − ≥

Do đó ( )1 luôn đúng với x 2≥ hay ( )x ; 2 2; ∈ −∞ − ∪ +∞ là tập nghiệm của bất

phương trình.

● Nếu ( )

( )

2

2

x 4

x 4 2 x 2

2 x 2

3 1x 2 3 x 4 .3 1

x 4 .3 0

− ⊕− −

−

<< ⇒ ⇔ + − < − <

Do đó ( )1 không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x 2< .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )x ; 2 2; ∈ −∞ − ∪ +∞ .

Thí dụ 101. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + ∗



www.MATHVN.com



Page - 62 -

( ) ( ) 2 2 2 2x 3x 2 2x 6x 5 x 3x 2 2x 6x 54 4 4 .4 1 1− + + + − + + +∗ ⇔ + = +

● Đặt

2

2

x 3x 2

2x 6x 5

u 4 0

v 4 0

− +

+ +

= > = >

.

( )1 u v uv 1⇔ + = +

( )( ) u 1 1 v 0⇔ − − =

u 1 v 1⇔ = ∨ =

2 2x 3x 2 2x 6x 54 1 4 1− + + +⇔ = ∨ =

2 2x 3x 2 0 2x 6x 5 0⇔ − + = ∨ + + =

x 1 x 2 x 1 x 5⇔ = ∨ = ∨ = − ∨ = − .

● Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x 1 x 2 x 5= ± ∨ = ∨ =− .


22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1

++ −+ = + ∗



( )2 2 22x 2x 1 x x 2x 12 2 2 1+ − + +∗ ⇔ + = +

( ) 2 2 22x 2x 1 x x 2x 12 2 2 1 0 1+ − + +⇔ + − − =

● Đặt

2

2

2

2x 2x

x 2x 1

1 x

u 2 0u.v 2

v 2 0

+

+ +

−

= > ⇔ = = >

.

( )1 u v uv 1 0⇔ + − − =

( ) ( ) u 1 v u 1 0⇔ − − − =

( )( ) u 1 1 v 0⇔ − − =

2

2

2x 2x 2

21 x

u 2 1 2x 2x 0 x 0

x 11 x 0v 2 1

+

−

= = + = = ⇔ ⇔ ⇔ = ±− == =

.

● Vậy phương trình có ba nghiệm: x 0 x 1 x 1= ∨ = − ∨ = .

Thí dụ 103. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2

log x log x22 2 x. 2 2 1 x+ + − = + ∗

Đại học Quốc Gia Hà Nội – Học Viện Ngân Hàng năm 2000


● Điều kiện: x 1> .

● Đặt: t 2 t

2log x t x 2 x 4= ⇒ = ⇒ = .

( ) ( ) ( )t t

t t2 2 2 2 2 1 4∗ ⇔ + + − = +

www.MATHVN.com



Page - 63 -

( ) ( ) ( )( ) t tt

2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2

⇔ + + − = + + −

t t t ta b 1 a b⇔ + = + với ( )

a 2 2

b 2 2 2

= + = −

( ) ( ) t t t ta 1 b a b 0⇔ − + − =

( ) ( ) t t ta 1 b a 1 0⇔ − − − =

( )( ) t ta 1 1 b 0⇔ − − =

t

2t

a 1t 0 log x 0 x 1

b 1

=⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

.


Thí dụ 104. Giải phương trình: ( ) x x x8.3 3.2 24 6+ = + ∗




( ) ( ) ( )x x x x8.3 24 3.2 2 .3 0∗ ⇔ − + − =

( ) ( ) x x x8 3 3 2 3 3 0⇔ − − − =

( )( ) x x3 3 8 2 0⇔ − − =

x

x

3 3 0 x 1

x 38 2 0

− = = ⇔ ⇔ =− =

.

● Vậy nghiệm phương trình là x 1 x 3= ∨ = .

Thí dụ 105. Giải phương trình: ( ) 2x x2 2 6 6− + = ∗


● Đặt

x

2u 2 0

v u 6v u 6 6

= > ⇒ = + = + >

.

( )2

2

u v 6

v u 6

= +∗ ⇔ = +

( ) 2 2u v u v⇔ − =− −

( )( ) u v u v 1 0⇔ − + + =

www.MATHVN.com



Page - 64 -

u v 0

u v 1 0

− =⇔ + + =

.

● Với 2 x

u 3u v u u 6 0 2 3 x 8

u 2

== ⇒ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ = = −

.

● Với 2u v 1 0 u u 5 0+ + = ⇒ + − =

x

2

1 21u 21 1 21 12 2 x log

2 21 21u

2

− + = − −⇔ ⇔ = ⇔ = − − =

.


21 1x 8 x log

2

−= ∨ = .


x 1 x x 1 1 x

8 2 18

2 1 2 2 2 2 2− − −+ = ∗

+ + + +


( ) ( ) x 1 1 x x 1 1 x

8 1 181

2 1 2 1 2 2 2− − − −∗ ⇔ + =

+ + + +

● Đặt ( ) ( )x 1

x 1 1 x x 1 1 x

1 x

u 2 1u.v 2 1 . 2 1 2 2 2 u v

v 2 1

−− − − −

−

= + ⇒ = + + = + + = + = +

.

( )8 1 18 u v 2u 8v 18

1 u v u v 9u v uv u 9 vu v uv 8

= = + = + = ⇔ ⇔ ⇔ + + = = ⇒ = + =

● Với

x 1

1 x

2 1 2u v 2 x 1

2 1 2

−

−

+ == = ⇒ ⇔ = + =

.

● Với

x 1

1 x

2 1 99

u 9 v x 498 2 18

−

−

+ == ∧ = ⇒ ⇔ = + =

.


Thí dụ 107. Giải bất phương trình: ( ) x x 2 x 2x6 2 4.3 2++ ≥ + ∗


● Đặt

x

x

u 3 0

v 2 0

= > = >

.

( ) 2uv 4v 4u v 0∗ ⇔ + − − ≥

( )( ) u v v 4 0⇔ − − ≥

www.MATHVN.com



Page - 65 -

u v 0 u v 0

v 4 0 v 4 0

− ≥ − ≤ ⇔ ∨ − ≥ − ≤

x x x x

x x

3 2 3 2

2 4 2 4

≥ ≤ ⇔ ∨ ≥ ≤

x 0 x 0

x 2 x 2

≥ ≤ ⇔ ∨ ≥ ≤

x 2 x 0⇔ ≥ ∨ ≤

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )x ;0 2; ∈ −∞ ∪ +∞ .

Thí dụ 108. Giải bất phương trình: ( ) x 2x 12 2x 1 2 4x 2++ + < + + ∗


● Điều kiện: 1

2x 1 0 x2

+ ≥ ⇔ ≥− .

( ) ( ) ( ) x 2x2 2x 1 2.2 2 2x 1 1∗ ⇔ + + < + +

● Đặt

xu 2 0

v 2x 1 0

= > = + ≥

.

( ) 2 21 u v 2u 2v⇔ + < +

( ) ( ) 2 2 2u v 2u 2v⇔ + < +

( ) 2

u v 0⇔ − >

u v⇔ ≠

x2 2x 1⇔ ≠ +

2x2 2x 1⇔ ≠ +

2x 0 2x 1⇔ ≠ ∨ ≠

1

x 0 x2

⇔ ≠ ∨ ≠

( ) 1

x ; \ 0;2

⇔ ∈ −∞ +∞

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 1 1

x ; \ 0;2 2

∈ − +∞ .

Thí dụ 109. Giải bất phương trình: ( ) 52x log 2x x x 15 1 5 3 5 2.5 16+ +− + − ≥ − + ∗


www.MATHVN.com



Page - 66 -

( ) x x 2x x 15 1 5 3 2.5 10.5 16+∗ ⇔ − + − ≥ − +

( ) ( ) ( ) 2

x x x x5 1 5 3 2 5 3 2 5 1 1⇔ − + − ≥ − + −

● Điều kiện: x5 1 0 x 0− ≥ ⇔ ≥ .

● Đặt

x

x

u 5 1 0

v 5 3

= − ≥ = −

.

( ) 2 21 u v 2u 2v⇔ + ≥ +

2 22u 2v u v⇔ + ≤ +

( ) 2 2 2

u v 0

u v 2u 2v

+ ≥⇔ + ≥ +

( ) 2

u v 0

u v 0

+ ≥⇔ − ≤

u v⇔ =

x x5 1 5 3⇔ − = −

x

x x

5 3 0

5 1 5 3

− ≥⇔ − = −

x

2x x

5 3

5 7.5 10 0

≥⇔ − + =

x 1⇔ = .

● Vậy bất phương trình có nghiệm x 1= .

www.MATHVN.com



Page - 67 -



1/ x x25 30.5 125 0− + = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

2/ x

x 23 8.3 15 0− + = . ĐS: 3

x 2 x log 25= ∨ = .

3/ 2 2x 2 x 24 9.2 8 0+ +− + = . ĐS: x 1= ± .

4/ 4x 8 2x 53 4.3 27 0+ +− + = . ĐS: 3

x x 12

=− ∨ = − .

5/ x x

x

8 25

4 2

+=

−. ĐS:

2

3 39x 1 x log

2

+= ∨ = .

6/ ( ) ( )x x

7 4 3 3 2 3 2 0+ − − + = . ĐS: x 0= .

7/ ( ) ( )x x

3 2 2 2 2 1 3+ = − + . ĐS: 2 1

x log 2+

= .

8/ 2 22x 2x 1 x x3 28.3 9 0+ + +− + = . ĐS: x 1 x 2= ∨ =− .

9/ 2 2x 1 x 39 36.3 3 0− −− + = . ĐS: x 1 x 2= ± ∨ = ± .

10/ 2 2sin x cos x2 4.2 6+ = . ĐS: ( ) x k , k

2

π= + π ∈ � .

11/ 2 2

1

cot x sin x4 2 3 0+ − = . ĐS: ( ) x k , k2

π= + π ∈ � .

12/ 2 2sin x cos x81 81 30+ = . ĐS: S = ∅ .

13/ 3 2 cos x 1 cos x4 7.4 2 0+ +− − = . ĐS: ( ) 2

x k2 , k3

π= ± + π ∈ � .

14/ 2 2sin x cos x25 25 26+ = . ĐS: ( )

x k, k

x k2

= π ∈π = + π

� .

15/ 2 2sin x cos x4 2 5+ = . ĐS: ( ) x k , k

2

π= + π ∈ � .

16/ 2 2sin x cos x81 81 82+ = . ĐS: ( )

x k, k

x k2

= π ∈π = + π

� .

17/ 2 2cos x sin x9 9 10+ = . ĐS: ( )

x k, k

x k2

= π ∈π = + π

� .

18/ 2 2sin x 1 cos x4 4 10++ = . ĐS: ( )

kx , k

4 2

π π= + ∈ � .

www.MATHVN.com



Page - 68 -

19/ 6x 3xe 3.e 2 0− + = . ĐS: 1

x ln2 x 03

= ∨ = .

20/ x 2 x 24 16 10.2− −+ = . ĐS: x 3 x 11= ∨ = .

21/ 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6+ − − + −− = . ĐS: x 2= .

22/ 2 2x 2x x x 2x x 19 7.3 2− − − − −− = . ĐS:

1x

4=− .

23/ 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − = . ĐS:

3x

2= .

24/ 2 2x x 5 x 1 x 54 12.2 8 0− − − − −− + = . ĐS:

9x 3 x

4= ∨ = .

25/ ( ) ( )x x 10

5 103 3 84 0−

+ − = . ĐS: x 20= .

26/

x 2

5 x12 9

4

−

− = +

. ĐS: 2

4x log

9= .

27/

x 3

5 2x16 12

6

−

− = −

. ĐS: 12

x 3 log 6= − .

28/ ( )2x

x

x

32. 0,3 3

100= + . ĐS:

10

3

x log 3= .

29/ x 4

3 x

34 7

2

−

−= − . ĐS:

2x log 112= .

30/ 2 3x 3

x x8 2 12 0+

− + = . ĐS: 6

x 3 x log 8= ∨ = .


1/ x 2 x3 3 10 0+ −+ − = . ĐS: x 2 x 0= − ∨ = .

2/ x 2 2 x2 2 15 0+ −− − = . ĐS: x 2= .

3/ 2x 2xe 4e 3−− = . ĐS: x ln2= .

4/ x 1 x3 3 4 0−− + = . ĐS: ( )2

3x log 7 2= − .

5/ x 1 x5 5 4 0−− + = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

6/ 2 2x x 2 x x2 2 3− + −− = . ĐS: x 1 x 2=− ∨ = .

7/ 2 21 x 1 x10 10 99+ −− = . ĐS: x 1= ± .

8/ 2 21 x 1 x5 5 24+ −− = . ĐS: x 1= ± .

9/ 3 x 1 5 3x5.2 3.2 7 0− −− + = . ĐS: x 1= .

10/

x 1 x 1

x 1 23.2 8.2 4 0

− −

+ − + = . ĐS: x 9= .

www.MATHVN.com



Page - 69 -

11/ x 1 x 4 x 24 2 2 16+ + ++ = + . ĐS: x 0= .

12/ x x x8 2.4 2 2 0− + + − = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

13/ x x x 18 3.4 3.2 8 0+− − + = . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

14/ 4x 3x x2 2.2 8.2 16 0+ + − = . ĐS: ( )2x log 5 1= − .

15/ 2

xx 1 2x 1 3x 1327 9 2.3 2.3

−− − −− = − . ĐS: x 0= .

16/ 2x 3x 1 x 34 2 2 16 0+ ++ + − = . ĐS: ( )2x log 5 1= − .

17/

3x x

x 1 x 31 18 8. 3.2 125 24.

2 2+ +

+ + = − . ĐS: x 1= ± .

18/ 3x 2x x

x

1 3252 2 1 .2

162+ + + = . ĐS:

2

15 161x log

8

±= .

19/ 3x x x

3x

15 27 5 9.5 64

5

− + + + =

. ĐS: 5

x 0 x log 2= ∨ = .

20/ 3x x

3x x 1

8 12 6 2 1

2 2 −

− = − + . ĐS: x 1= .

21/

x

2

x 2

9 10 4

42 −

+= . ĐS: x 3= .

22/ 2x x3 3 5 5+ + = . ĐS: 3

17 1x log

2

−= .

23/ 3x x 127 2 3. 3 2++ = − . ĐS: x 0= .

24/ ( ) ( )2 2

2 22 x 1 2 x 2x 4 x 62 2 2 2 64+ ++ += + + + . ĐS: x 0 x 1= ∨ = ± .

25/ 2x 1 x 2 x 2x 23 3 1 6.3 3+ + += + − + . ĐS: ( )

3

6 33x log

3

+= .

26/ 2x 1 x 1 x x 15.3 7.3 1 6.3 9 0− − +− + − + = . ĐS: 3 3

3 1x log x log

5 5= ∨ = .


1/ x x x3.9 7.6 6.4 0+ − = . ĐS: x 1= − .

2/ x x 2x 125 10 2 ++ = . ĐS: x 0= .

3/ 2x x 2x4.2 6 18.3− = . ĐS: x 2= − .

4/ 4 4x x x 1 x8.3 9 9+ ++ = . ĐS: x 16= .

5/ x x2 4 x 2 23 45.6 9.2 0+ ++ − = . ĐS: x 2= − .

www.MATHVN.com



Page - 70 -

6/

cosx sinx lg7

2sinx 2cosx 1 2sin 2cosx 112 5 0

10

− −

− + − + − + =

. ĐS:

x k4

x k2

3x k2

2

π = + π= π

π= + π

.

7/ x x x64.9 84.12 27.16 0− + = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

8/ x x 3x 1125 50 2 ++ = . ĐS: x 0= .

9/ 2 22x 1 x x 2x 22 9.2 2 0+ + +− + = . ĐS: x 1 x 2=− ∨ = .

10/ x

x x 24.3 9.2 5.6− = . ĐS: x 4= .

11/ 1 1 1

x x x6.9 13.6 6.4 0− + = . ĐS: x 1= ± .

12/ 3x x 2x 3x2 2 .3 2.3 0+ − = . ĐS: x 0= .

13/ 1 1 1

x x x4 6 9− − −

+ = . ĐS: 1 5

2

3x log

2+= − .

14/ x 1 x 1 x 1

x x x4 6 2.9+ + +

+ = . ĐS: x 1= − .

15/ 2 2 22x 6x 9 x 3x 5 2x 6x 93 4.15 3.5+ − + − + −+ = . ĐS: x 4 x 1=− ∨ = .

16/ 2 2 2x 2x 1 x 2x 1 x 2x25 9 34.15− + + − + + − ++ = . HD:

22x x

x 0

Chia : 9 x 2

x 1 3

−

=

⇒ = = ±

.

17/ 2x x 2x6.3 13.6 6.2 0− + = . ĐS: x 1= ± .


1/ ( ) ( )2 2x x

2 3 2 3 4+ + − = . ĐS: x 1= ± .

2/ ( ) ( )x x

5 24 5 24 10+ + − = . ĐS: x 1= ± .

3/ x x

5 2 6 5 2 6 10 + + − =

. ĐS: x 2= ± .

4/ ( ) ( )x x

x 26. 5 1 2 5 1 2 ++ − − = . ĐS: x 0= .

5/ ( ) ( )x x

x 35 21 7. 5 21 2 +− + + = . ĐS: 5 21

2

x 0 x log 7+

= ∨ = − .

6/ x x

3 33 8 3 8 6

+ + − = . ĐS: x 3= ± .

7/ sin x sin x

7 4 3 7 4 3 4 + + − =

. ĐS: ( ) x k , k2

π= + π ∈ � .

www.MATHVN.com



Page - 71 -

8/ ( ) ( )tan x tan x

8 3 7 8 3 7 16+ + − = . ĐS: ( ) x k , k4

π= ± + π ∈ � .

9/ ( ) ( )tan x tan x

5 2 6 5 2 6 10+ + − = . ĐS: ( ) x k , k4

π= ± + π ∈ � .

10/ ( ) ( )cot x cot x

2 3 2 3 4+ + − = . ĐS: ( ) x k , k4

π= ± + π ∈ � .

11/ ( ) ( )2 21 2sin x 2cos 1

2 8 3 8 6− −

+ + − = . ĐS: ( ) k

x , k2

π= ∈ � .

12/ x x

3 33 8 3 8 6 0 + + − − =

. ĐS: x 3= ± .

13/ ( ) ( )x x

2 3 2 3 14− + + = . ĐS: x 1= ± .

14/ x x

2 3 2 3 4 + + − =

. ĐS: x 2= ± .

15/ ( ) ( )( )x x

2 3 7 4 3 2 3 8 4 3+ + + − = + . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

16/ ( ) ( )x x

x 14 6 9. 4 6 10 ++ + − = . ĐS: x 0= .

17/ ( ) ( )x x

7 4 3 3. 2 3 2 0+ − − + = . ĐS: x 0= .

18/ ( ) ( )x x

o o2cos72 2 cos 36 3+ = . HD: ( )

2

xo

t 3t 1 0

t 2 cos 72 0

− + = = >

.

19/ ( ) ( ) ( )x x x

26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1+ + + − − = . ĐS: x 0= .

20/

x x

7 3 5 7 3 57. 8

2 2

+ − + = . ĐS:

7 3 5

2

x 0 x log 7+

= ∨ = .

21/ x x

6 35 6 35 12 − + + =

. ĐS: x 2= ± .

22/ ( )( )

( )2 2x 1 x 2x 1 4

2 3 2 32 3

− − −

+ + − =−

. ĐS: x 1 x 1 2= ∨ = ± .

23/ ( ) ( )x x

2x2 3 16. 2 3 2+ + − = . ĐS: x 1= .

24/ ( ) ( )x x

x 33 5 16. 3 5 2 ++ + − = . ĐS: 3 5

2

x log 4+

= .

25/ ( ) ( )x x

x 35 21 7. 5 21 2 +− + + = . ĐS: 5 21

2

1x 0 x log

7+

= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 72 -

26/ ( ) ( )2 2x 1 x 1

7 4 3 6. 2 3 7 0+ +

+ + − − = . ĐS: x 3= ± .

27/ ( ) ( )x 1 1 x x 1 1 x

7 4 3 7 4 3 7+ − − + − −

+ + − = . ĐS: 3

x2

= ± .

28/ ( )( )

2

2

x 2x 1

2 x 2x 1

9 2 59 2 5 10 2 5

5 2

− +

− − +

+− + = +

−

. ĐS: x 0 x 1 x 2= ∨ = ∨ = .

29/ ( ) ( )2 2

2x x x x

1 x x5 1 2 3 5 1− −

+ −+ + = − . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

30/ ( )2x 2x x1 1 2 1 2 1 2 .2+ − = + − . ĐS: x 1 x 0= − ∨ = .


1/ x x x2 3 1 6+ = + . ĐS: x 0= .

2/ x x x1 12 3 4+ = + . ĐS: x 0= .

3/ x x x12 6 4.3 3.2+ = + . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

4/ ( )

22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1

++ −+ = + . ĐS:

22x 2x

2

x 0u 2

x 1v 1 x

+ == ⇒ = ±= −

.

5/ x x x8.3 3.2 6 24+ = + . ĐS: x 1 x 3= ∨ = .

6/ x x x 112.3 3.15 5 20++ − = . ĐS: 3

x log 5 1= − .

7/ x 3 x8 x.2 2 x 0−− + − = . ĐS: x 2= .

8/ 2 2x 2x x 1 2x 11

.3 3 9.3 27 03

+ − +− − + = . ĐS: x 0 x 2= ∨ = ± .

9/ ( )2 x x 3 2x .3 3 12 7x 12 x 8x 19x+ − = − + − . ĐS: x 0 x 3 x 4= ∨ = ∨ = .

10/ 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

11/ ( ) ( )2 2

2 22 x x 2 x x1 x 1 x2 2 2 .2 1 0+ +− −+ − − = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = ± .

12/ 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + . ĐS: x 1 x 2 x 5= ± ∨ = ∨ = − .

13/ 2 2x 2x 9 3x x 3 x 2x 9 x 3x x 3 x3 .4 3 .4 4 4 0− − − + − − − +− − + = . ĐS: x 3= .

14/ 2 x x 2 2 x 2 xx .6 6 x .6 6− + −+ = + . ĐS: x 0 x 6= ∨ = .


www.MATHVN.com



Page - 73 -

1/ ( ) ( )x x 1

0,4 2,5 1,5+

− > . ĐS: ( )x ; 1∈ −∞ − .

2/ x x 1 x 23 3 3 11− −+ − < . ĐS: )x 0;4∈ .

3/ x x2 2 3 0−+ − < . ĐS: 2 2

3 5 3 5x log ;log

2 2

− + ∈ .

4/ x 1 x 24 2 3− −− < . ĐS: ( )x ;2∈ −∞ .

5/ x 0,5 x4 7.2 4 0− + −− − < . ĐS: ( )x 2;∈ − +∞ .

6/ 2x 1 x 13.5 2.5 0,2− −− < . ĐS: ( )x ;0∈ −∞ .

7/ 2x 1 x5 26.5 5 0+ − + > . ĐS: ( ) ( )x ; 1 1;∈ −∞ − ∪ +∞ .

8/ 2x 2 3x 23 4.3 27 0+ +− + > . ĐS: ( )x ;0∈ −∞ .

9/ x 1

x 1

2 12

2 1

−

+

−<

+. ĐS: x ∈ � .

10/ x x 1

1 1

3 5 3 1+<

+ −. ĐS: ( )x ;1∈ −∞ .

11/ x x 1

1 1

2 1 1 2 −>

− −. ĐS: ( )

2

4x 0; log 1;

3

∈ ∪ +∞ .

12/ 1 1

1 2x x4 2 3 0− −

− − ≤ . ĐS: 1

x 0 x2

< ∨ > .

13/ 2 2x x 1 x x 29 1 10.3+ − + −+ ≥ . ĐS: ( )x ; 2 1;0 1; ∈ −∞− ∪ − ∪ +∞

.

14/ ( ) ( )2

x 22 x 1x 34 2 8 52−−

− + > . ĐS: ( )x 3;∈ +∞ .

15/ 4 4x x 1 x x8.3 9 9+ ++ > . ĐS: ( )x 0;16∈ .

16/ x x x25.2 10 5 25− + > . ĐS: ( )x 0;2∈ .

17/ 2x 1 x 1 x x5 6 30 5 .30+ ++ > + . ĐS: ( ) 25 6

x log 6; log 5∈ .

18/ x x x6 2.3 3.2 6 0− − + ≥ . ĐS: x ∈ � .

19/ x x 2 x x6 2 4.3 4++ ≥ + . ĐS: ( )x ;0 2; ∈ −∞ ∪ +∞ .

20/ x x x27 12 2.8+ > . ĐS: ( )x 0;∈ +∞ .

21/ 1 1 1

x x x49 35 25− ≤ . ĐS: 7 7

5 5

1 5 1 5x log ; log

2 2

− + ∈ .

22/ 2x 2 x 23 4.3 27 0+ +− + < . ĐS: ( )x 0;1∈ .

23/ 2x 1 x5 26.5 5 0+ − + > . ĐS: ( ) ( )x ; 1 1;∈ −∞ − ∪ +∞ .

www.MATHVN.com



Page - 74 -

24/ x x 1 x x 1 14 5.2 16 0+ − + − +− + ≥ . ĐS: x 1;3 ∈ .

25/ ( ) ( )x x

3 2 3 2 2+ + − ≤ . ĐS: x 0= .

26/ ( ) ( ) ( )x x x

9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1+ + + − − < . ĐS: ( )x ;0∈ −∞ .

27/ ( ) ( )x x2 2x 2 1 x 2 1 4

2 3 2 32 3

− + − −

− + − ≤−

. ĐS: ( )x 1 2;1 2∈ − + .

28/ ( ) ( )x x

x

2 2

22 x 2 x

1 x 23 5 3 5 2− −

− +− + + ≤ . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

29/ x

x

x

2.55 3 5

25 4+ >

−. ĐS: ( )5 5

1x log 2; log 20;

2

∈ ∪ +∞ .

30/ 1 1

1 2x x2 2 9+ −

+ < . ĐS: ( ) ( )x ;2 1;∈ −∞ ∪ +∞ .

31/

3x x 1

1 1128 0

4 8

− − − ≥

.

32/ ( ) ( )( )22

x x x2 2 2 2 1 2 1− < + − − . ĐS: )x 0;1∈ .

33/ ( )2x 1 x 22 9.2 4 x 2x 3 0+ − + + − ≥ .

34/ 1 x x

x

2 2 10

2 1

− − +≤

−. ĐS: ( ) )x ;0 1;∈ −∞ ∪ +∞

.

35/ x 1

x x 1

11.3 315

4.9 11.3 5

−

−

−≥

− −.

36/ x

2x 1 x

4 7.5 2

35 12.5 4+

−≤

− +.

37/ ( )x

2x x 1 1+ + < . ĐS: ( )x ; 1∈ −∞ − .

Bài tập 26. Giải bất phương trình: x x 1 x x 12 2 3 3+ −+ ≤ + .

Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996

ĐS: )x 2;∈ +∞.

Bài tập 27. Giải bất phương trình: x

x 1 2x 1 23 2 12 0+ +− − < .

Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1998

ĐS: ( )x 0;∈ +∞ .

Bài tập 28. Giải phương trình: 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + .

ĐS: x 1 x 5 x 2= ± ∨ = − ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 75 -

Bài tập 29. Giải bất phương trình:

2 11

x x1 13. 12

3 3

+ + >

.

Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1996

ĐS: ( )x 1;0∈ − .

Bài tập 30. Giải bất phương trình: x x x2.14 3.49 4 0+ − ≥ .

Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1996

ĐS: 2

7

x log 3; ∈ +∞

.

Bài tập 31. Giải bất phương trình: 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − > .

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000

ĐS: ( )x 5;∈ +∞ .

Bài tập 32. Giải bất phương trình: 2 2x 2x x x 2x x 19 7.3 2− − − − −− ≤ .

Cao đẳng sư phạm nhà trẻ mẫu giáo TWI năm 2001

ĐS: )1

x ;0 2;4

∈ − ∪ +∞

.

Bài tập 33. Giải bất phương trình: 2 2 22x x 1 2x x 1 2x x25 9 34.25− + − + −+ ≥ .

Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1996

ĐS: x 1 3

0 x 2x 1 3

≤ −∨ ≤ ≤

≥ +

.

Bài tập 34. Giải phương trình: x x x x2.27 18 4.12 3.8+ = + .

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối A – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng

ĐS: x 1= .

Bài tập 35. Giải bất phương trình: x x 2

x x

2.3 21

3 2

+−≤

−.

Học Viện Hành Chính Quốc Gia năm 2001

ĐS: 3

2

x 0; log 3 ∈

.

Bài tập 36. Giải bất phương trình: 2 21 x 1 x5 5 24+ −− > .

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Tây Thụy Anh

ĐS: ( ) ( )x ; 1 1;∈ −∞ − ∪ +∞ .

Bài tập 37. Giải bất phương trình: 2 x 1 x 1 2 x 12x .5 5x 5 x.5 10x 5− − −+ + ≥ + + .

www.MATHVN.com



Page - 76 -

ĐS: )1

x ; 3;2

∈ −∞ − ∪ +∞

.

Bài tập 38. Giải bất phương trình: ( ) ( )3 3log x log x 22012 2003 2012 2003 x

3+ − − ≥ .

ĐS: )x 1;∈ +∞.

Bài tập 39. Giải bất phương trình: ( ) ( )3x x x25 1 5 1 2 0

+

− + + − ≤ .

Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Tống Văn Trân – Nam Định

ĐS: ( ) ( ) 5 1 5 1

2 2

x log 2 1 ; log 2 1+ +

∈ − +

.

Bài tập 40. Giải bất phương trình: ( ) 4 x 4 x 4 x9 8.3 9 3 5, x− − −+ − + > ∈ � .

Đề thi thử Đại học năm 2012 – THPT chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Sư Phạm Hà Nội

ĐS: )x 0;4∈ .

www.MATHVN.com



Page - 77 -

��

I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN


Thí dụ 110. Giải phương trình: ( ) x3 5 2x= − ∗



● Nhận thấy x 1= là một nghiệm của phương trình ( )∗

● Mà ( ) xf x 3= đồng biến trên � và ( )g x 5 2x= − nghịch biến trên � .

⇒ Phương trình ( )∗ có một nghiệm duy nhất là x 1= .

Thí dụ 111. Giải phương trình: x x x4 3 5+ = ( )∗

Đại học – Cao đẳng phía Bắc năm 1970




( )x x

4 31

5 5

∗ ⇔ + = .

● Xét hàm số ( )

x x

4 3y f x , x

5 5

= = + ∀ ∈ � .

Dạng 3. Giải phương trình mũ bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình:

� Đoán nhận là một nghiệm của phương trình

Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của

và

để kết luận là nghiệm duy nhất:

o đồng biến và nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).

o đơn điệu và

(hằng số).

� Nếu

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên và thì .

� Nếu đồng biến trên D và thì .

� Nếu

nghịch biến trên và thì .

� Nếu có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời có đúng m nghiệm phân

biệt thì phương trình: sẽ có không quá nghiệm.

www.MATHVN.com



Page - 78 -

( ) ( )

x x

4 4 3 3f ' x .ln .ln 0, x f x

5 5 5 5

= + < ∀ ∈ ⇒ � nghịch biến trên � .


Thí dụ 112. Giải phương trình:

xx 22 3 1= + ( )∗

Đại học Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh năm 1995




● Chia hai vế của ( )∗ cho x2 0> : ( )

x x3 1

12 2

∗ ⇔ = + .

● Xét hàm số : ( )x x

3 1f x

2 2

= + trên � .

( )

x x3 3 1 1

f ' x ln ln 0, x2 2 2 2

= + < ∀ ∈ ⇒ � ( )f x nghịch biến trên � .



xx 23 4 5 1− =

Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1995



( ) ( ) ( )

xxx

x 1 51 3 4 5 1 4.

3 3

⇔ = + ⇔ = + ∗


● Xét hàm số ( )xx

1 5f x 4.

3 3

= + trên � .

( )

xx

1 1 5 5f ' x 4. ln .ln 0, x

3 3 3 3

= + < ∀ ∈ � ⇒ ( )f x nghịch biến trên � .

● Ta lại có ( )f 2 1= nên x 2= là nghiệm duy nhất của phương trình.

Thí dụ 114. Giải phương trình: ( ) x x3 5 6x 2+ = + ∗

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2001

www.MATHVN.com



Page - 79 -


● Xét hàm số ( ) x xf x 3 5 6x 2= + − − trên � .

Ta có: ( ) x xf ' x 3 ln 3 5 ln 5 6= + − là hàm số liên tục và

( )( )

f ' 0 ln 3 ln 5 6 0

f ' 1 3 ln 3 5 ln 5 6 0

= + − < = + − >

( )f ' x⇒ có nghiệm duy nhất o

x x= .

Bảng biến thiên:

x −∞ o

x +∞

( )f ' x − 0 +

( )f x

● Từ bảng biến thiên, ta thấy ( )f x không quá hai nghiệm phân biệt.

● Mà ( ) ( )f 0 f 1 0= = nên phương trình đã cho có hai nghiệm: x 0 x 1= ∨ = .

Thí dụ 115. Giải phương trình: ( ) 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 22 3 5 2 3 5− + + ++ + = + + ∗



( ) 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 22 3 5 2 3 5− + + +∗ ⇔ + + = + +

2x

2x 2x x x 1 x 123 5.5 2 3 5.5

2+ +⇔ + + = + +

( ) 2x 2x 2x x 1 x 1 x 12 2.3 10.5 2 2.3 10.5+ + +⇔ + + = + + ∗ ∗

● Xét hàm số ( ) t t tf t 2 2.3 10.5 , t= + + ∀ ∈ � .

( ) ( ) t t tf ' t 2 . ln2 2.3 . ln 3 10.5 . ln 5 0, t f t= + + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � .

● Phương trình ( )∗ ∗ có dạng ( ) ( )f 2x f x 1 2x x 1 x 1= + ⇔ = + ⇔ = .21


Thí dụ 116. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2

x 1 x x2 2 x 1− −− = − ∗

Đại học Thủy Lợi năm 2001



( ) ( ) ( ) ( ) 2 2x 1 x x 2 x 1 x x 22 2 x 2x 1 2 x 1 2 x x 1− − − −∗ ⇔ − = − + ⇔ + − = + −

● Nhận thấy ( )1 có dạng: ( ) ( ) ( ) 2f x 1 f x x 2− = −

www.MATHVN.com



Page - 80 -

● Xét hàm số ( ) tf t 2 t= + trên � :

( ) ( ) tf ' t 2 ln2 1 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên ( ) 3�

● Từ ( ) ( ) ( ) 2 21 , 2 , 3 x 1 x x x 2x 1 0 x 1⇒ − = − ⇔ − + = ⇔ = .


Thí dụ 117. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x 1 x

2 1 3 2 2 x 1+

+ − + = − ∗

Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2006



( ) ( ) ( )x 1 2x

2 1 2 1 x 1+

∗ ⇔ + − + = −

( ) ( ) ( ) x 1 2x

2 1 x 1 2 1 2x 1+

⇔ + + + = + +

( )1 có dạng ( ) ( ) ( ) f x 1 f 2x 2+ =

● Xét hàm số ( ) ( )t

f t 2 1 t= + + trên � .

( ) ( ) ( )t

f ' t 2 1 .ln 2 1 1 0= + + + > ⇒ Hàm số ( )f t đồng biến trên ( ) 3� .

● Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 x 1 2x x 1⇒ + = ⇔ = .


Thí dụ 118. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3x x x x36. 2 3 9.8 4.27+ = + ∗



( )3 3

x xx x 8 27

2 34 9

∗ ⇔ + = +

( ) 3 3x x 3x 2 3x 22 3 2 3− −⇔ + = + ∗ ∗

● Xét hàm số: ( ) t tf t 2 3 , t= + ∀ ∈ � .

( ) ( ) t tf ' t 2 . ln 2 3 . ln 3 0, t y f x= + > ∀ ∈ ⇒ =� đồng biến trên � .

● Phương trình ( )∗ ∗ có dạng: ( ) ( )3 3x 2

f x f 3x 2 x 3x 2x 1

= −= − ⇔ = − ⇔ =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm x 2 x 1= − ∨ = .

Thí dụ 119. Giải phương trình: ( ) 2x 3x 1 x 2 22 2 x 4x 3 0− + −− + − + = ∗


www.MATHVN.com



Page - 81 -


( ) ( ) ( ) ( ) 2x 3x 1 2 x 2 22 x 3x 1 2 x 2 f x 3x 1 f x 2− + −∗ ⇔ + − + = + − ⇔ − + = − ∗ ∗

● Xét hàm số ( ) tf t 2 t= + xác định và liên tục trên� .

( ) ( ) tf ' t 2 ln2 1 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � .

( ) 2 2x 1

x 3x 1 x 2 x 4x 3 0x 3

=∗ ∗ ⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ =

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 x 3= ∨ = .

Thí dụ 120. Giải phương trình: ( ) 2x 3x 1 x 2 22013 2013 x 3x x 3 0− + −− + − − + = ∗


● Điều kiện: ( )2x 3x 0 x ,0 3, − ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ .

( ) ( ) ( )2x 3x 1 2 x 22013 x 3x 1 2013 x 2− + −∗ ⇔ + − + = + −

( ) ( ) ( ) 2f x 3x 1 f x 2⇔ − + = − ∗ ∗

● Xét hàm số ( ) tf t 2013 t= + xác định và liên tục trên � .

( ) ( ) tf ' t 2013 ln2013 1 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � .

( )( )

2 22

2

x 3 0x 3x 1 x 2 x 3x x 3 x 3

x 3x x 3

− ≥∗ ∗ ⇔ − + = − ⇔ − = − ⇔ ⇔ = − = −

.


Thí dụ 121. Giải phương trình: ( ) 2 2cos x sin x2013 2013 cos2x 0− + = ∗



( )2 2cos x 2 sin x 22013 cos x 2013 sin x∗ ⇔ + = +

( ) ( ) ( ) 2 2f cos x f sin x⇔ = ∗ ∗

● Xét hàm số ( ) tf t 2013 t= + liên tục và xác định trên

0,1 .

( ) ( ) ( ) tf ' t 2013 ln 2013 1 0, t 0,1 f t = + > ∀ ∈ ⇒ đồng biến trên đoạn 0,1 .

( ) ( ) 2 2 2 2 kcos x sin x cos x sin x 0 cos2x 0 x , k

4 2

π π∗ ∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ � .

● Vậy phương trình có một tập nghiệm là ( ) k

x , k4 2

π π= + ∈ � .

Thí dụ 122. Giải phương trình: ( ) 2 2cos x sin xe e cos2x− = ∗

www.MATHVN.com



Page - 82 -



( )2 2cos x sin x 2 2e e cos x sin x∗ ⇔ − = −

2 2cos x 2 sin x 2e cos x e sin x⇔ − = −

( ) ( ) ( ) 2 2f cos x f sin x⇔ = ∗ ∗

● Xét hàm số ( ) tf t e t= − xác định và liên tục trên đoạn

0;1

.

( ) ( ) tf ' t e 1 0, t 0;1 f t = − ≥ ∀ ∈ ⇒ luôn đồng biến trên đoạn 0;1

.

( ) ( ) 2 2 kcos x sin x cos2x 0 2x k x , k

2 4 2

π π π∗ ∗ ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈ � .

● Vậy phương trình có một tập nghiệm là ( ) k

x , k4 2

π π= + ∈ � .

Thí dụ 123. Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) x x

x2 3 2 3 4 1− + + =

Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông (đề số 2) năm 1998


( ) ( )

x x

2 3 2 31 1 2

4 4

− + ⇔ + =

● Nhận thấy x 1= là một nghiệm phương trình ( )2 .

● Xét hàm số

x x

2 3 2 3y

4 4

− + = + trên � .

x x

2 3 2 3 2 3 2 3y ' . ln .ln 0, x

4 4 4 4

− − + + = + < ∀ ∈ ⇒ � Vế trái là hàm số

nghịch biến.

● Còn vế phải y 1= là hàm hằng nằm ngang. Do đó, phương trình ( )2 có nghiệm duy

nhất và nghiệm đó là x 1= .

Thí dụ 124. Giải phương trình: ( ) x 1 x2 4 x 1+ − = − ∗

Đại học Ngoại Thương khối D năm 1997



● Đặt x2 t 0= > . Lúc đó: ( ) 2

t 1 2 xt 2t x 1 0

t 1 2 x

= + −∗ ⇔ − − + = ⇔

= − −

.

● Trường hợp 1: ( ) xt 1 2 x 2 1 2 x 1= + − ⇔ = + −

www.MATHVN.com



Page - 83 -

Ta có:

( )( )( ) ( )

xf x 2 :

g x 1 2 x :

f 1 g 1

= = − − =

( )1 :⇒ có một nghiệm duy nhất là x 1= .

● Trường hợp 2: ( ) xt 1 2 x 2 1 2 x 2= − − ⇔ = − −

Điều kiện : 2 x 0

1 x 21 1 x 0

− ≥ ⇔ < ≤ − − >

.

Ta có: (x 1;2∀ ∈ thì

( ) ( )( ) ( )

( )xf x 2 h 1 2

: 2 :h x 1 2 x h 2 1

= > = ⇒ = − − < =

Vô nghiệm.


Thí dụ 125. Tìm nghiệm dương của phương trình: ( ) 2 2log 3 log 5x x x+ = ∗

Đại học Ngoại Thương năm 1996


● Điều kiện: x 0> (do nghiệm dương).

● Đặt t2

log x t x 2 0= ⇒ = > .

( ) ( )

t t

t t t 2 32 3 5 1

5 5

∗ ⇔ + = ⇔ + = ∗ ∗

● Nhận thấy t 1= là một nghiệm của phương trình ( )∗ ∗ .

● Xét hàm số ( )t t

2 3f t

5 5

= +

Ta có: ( )

t t

2 2 3 3f ' t ln ln 0, t

5 5 5 5

= + < ∀ ∈ ⇒ � Hàm số ( )f t nghịch biến.

Mặt khác y 1= là hàm hằng số ( )// Ox .

● Vậy t 1= là nghiệm duy nhất của ( )∗ ∗

t 1x 2 2 2⇒ = = = là nghiệm cần tìm của ( )∗ .

Thí dụ 126. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x xx 4 .9 x 5 .3 1 0+ − + + = ∗



● Đặt: xt 3 0= > .

( ) ( ) ( )2x 4 .t x 5 .t 1 0∗ ⇔ + − + + =

( ) ( ) ( )2 2

2x 5 4 x 4 x 6x 9 x 3∆ = + − + = + + = +

Là hàm tăng.

Là hàm giảm

www.MATHVN.com



Page - 84 -

( )

( )

x 5 x 3t 1

2 x 4

x 5 x 3 1t

x 42 x 4

+ + + = = +⇒ + − − = = ++

.

● Với xt 1 3 1 x 0= ⇒ = ⇔ = .

● Với ( ) ( ) xx

x 4 0 x 41t 0 1

3 . x 4 1 1x 4 3x 4

+ > >− = > ⇔ ⇔ + =+ = +

Phương trình ( )1 có một nghiệm là x 1= − .

Xét hàm số: ( ) ( ) ( ) xf x 3 . x 4 , x 4;= + ∀ ∈ − +∞

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x x xf ' x 3 . x 4 . ln 3 3 3 . x 4 .ln 3 1 0, x 4; = + + = + + > ∀ ∈ − +∞

( )f x⇒ đồng biến ( )x 4;∀ ∈ − +∞ và ( )g x 1= là hàm không đổi.

x 1⇒ =− là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1 .

● Vậy phương trình ( )∗ có hai nghiệm là x 0 x 1= ∨ = − .

Thí dụ 127. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2x 2 x 24 x 7 .2 12 4x 0+ − + − = ∗



● Đặt: 2xt 2 0= > .

( ) ( )2 2 2t x 7 .t 12 4x 0∗ ⇔ + − + − =

( ) ( ) ( )

2 2

2 22 2 2

2 22

7 x x 1t 4

2x 7 4 12 4x x 17 x x 1

t 3 x2

− + + = =∆ = − − − = + ⇒

− − −= = −

● Với 2x 2 2t 4 2 4 2 x 2 x 2= ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ± .

● Với ( )

( ) 2

2

2

2

x 2 x 2

3 x 0 x 3; 3t 3 x 0

2 3 x 2 x 3 1

− > ∈ − = − > ⇔ ⇔ = − + =

.

Xét hàm số ( ) ( ) 2x 2f x 2 x , x 3; 3= + ∀ ∈ −

( ) ( )2 2x xf ' x 2 .2x. ln 2 2x 2x 2 .ln2 2= + = +

Cho ( ) ( ) 2 2x x

2x 0f ' x 0

2 .ln2 2 0 VN do : 2 .ln2 2 0, x

== ⇔

+ = + > ∀ ∈

�x 0⇔ = .


www.MATHVN.com



Page - 85 -

x −∞ 3− 0 3 +∞

( )f ' x

– 0 +

( )f x

11 11

1

Với ( ) ( ) ( ) x 3;0 f ' x 0 : f x∈ − ⇒ < nghịch biến.

Nếu ( ) ( ) ( )x 1 f x f 1 3 1 :<− ⇔ > − = ⇒ vô nghiệm.

Nếu ( ) ( ) ( )x 1 f x f 1 3 1 :>− ⇔ < − = ⇒ vô nghiệm.

⇒ ( )x 3;0∈ − thì phương trình ( )1 có nghiệm duy nhất là x 1=− .

Với ( ) ( )x 0; f ' x 0 :∈ +∞ ⇒ > ( )f x đồng biến.

Nếu ( ) ( ) ( )x 1 f x f 1 3 1 :< ⇔ < = ⇒ vô nghiệm.

Nếu ( ) ( ) ( )x 1 f x f 1 3 1 :> ⇔ > = ⇒ vô nghiệm.

⇒ ( )x 0;∈ +∞ thì phương trình ( )1 có nghiệm duy nhất là x 1= .

● Vậy phương trình ( )∗ có 4 nghiệm là: x 1 x 2= ± ∨ = ± .

Thí dụ 128. Giải phương trình: x 4 2x 43 2 13+ ++ >



x 22x 4 0 x 2

+ ≥ ≥− ⇔ ⇔ ≥− + ≥ ≥−

● Xét hàm số: ( ) x 4 2x 4f x 3 2+ += + xác định trên )D 2;= − +∞.

( ) ( ) x 4 2x 41 1f ' x 3 .ln 3. 2 . ln2. 0, x 2,

2 x 4 2x 4

+ += + > ∀ ∈ − +∞+ +

.

( ) x 4 2x 4f x 3 2+ +⇒ = + đồng biến ( )x 2,∀ ∈ − +∞ .

Mà: ( ) ( )x 4 2x 4f x 3 2 f 0 13 x 0+ += + > = ⇒ > .


Thí dụ 129. Giải bất phương trình: ( ) x x x3.2 7.5 49.10 2+ > − ∗



www.MATHVN.com



Page - 86 -

( ) x x3.2 7.5 2 49.10∗ ⇔ + + >

x

x

3.2 7.5 249

10

+ +⇔ >

( )

x x x

1 1 13 7 2 49 1

5 2 10

⇔ + + >

● Xét hàm số: ( )x x x

1 1 1f x 3 7 2

5 2 10

= + + xác định trên� .

( )

x x x

1 1 1 1 1 1f ' x 3 ln 7 ln 2 ln 0, x

5 5 2 2 10 10

= + + < ∀ ∈ � .

( )x x x

1 1 1f x 3 7 2

5 2 10

⇒ = + + luôn nghịch biến trên� .

Mà: ( ) ( )x x x

1 1 1f x 3 7 2 f 1 49 x 1

5 2 10

= + + > − = ⇔ <− .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )x ; 1∈ −∞ − .

Thí dụ 130. Giải bất phương trình: 2 x

x

3 3 2x0

4 2

− + −≥

−


● Tập xác định: x 2x 14 2 0 2 2 x

2− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ .

● Xét hàm số: ( ) 2 xf x 3 3 2x−= + − trên � .

( ) 2 xf ' x 3 .ln 3 2 0, x−= − − < ∀ ∈ � .

( ) 2 xf x 3 3 2x−⇒ = + − là hàm số luôn nghịch biến trên � .

● Xét hàm số: ( ) xg x 4 2= − trên 1

\2

� .

( ) x 1g ' x 4 ln 4 0, x \

2

= > ∀ ∈

� .

( ) xg x 4 2⇒ = − là hàm số luôn đồng biến trên 1

\2

� .

● Lúc đó: ( )( )( )

f x4 0

g x⇔ ≥

www.MATHVN.com



Page - 87 -

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

f x 0 f 2 f x 0 f 2

1 1g x 0 g g x 0 g

2 2

≥ = ≤ = ⇔ ∨ > = < =

x 2 x 2

1 1x x

2 2

≤ ≥ ⇔ ∨ > <

1

x 22

⇔ < ≤ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 1

x ;22

∈

.

www.MATHVN.com



Page - 88 -


Bài tập 41. Giải các phương trình sau:

1/ x2 x 3 0+ − = . ĐS: x 1= .

2/

x

1 1x

2 2

= − . ĐS: x 1= .

3/ 6 x7 x 2− = + . ĐS: x 5= .

4/ x

x x 22 5 29+ = . ĐS: x 2= .

5/ x x4 7 9x 2+ = + . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

6/ x x4 6 25x 2+ = + . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

7/ x x x x6 2 5 3+ = + . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

8/ x x x3 5 2.4+ = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

9/ x

x 24 9 7= + . ĐS: x 2= .

10/ ( )x8 3x 1 4+ = . ĐS: 1

x3

= .

11/ x x x x3 4 12 13+ + = . ĐS: x 2= .

12/ x x x x3 8 4 7+ = + . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

13/ x x x x2 3 5 10+ + = . ĐS: x 1= .

14/ x x x2013 2014 2.2012+ = . ĐS: x 0= .

15/ x x x x9 5 4 2 20= + + . ĐS: x 2= .

16/ x x x x 3 2

x x x

1 1 15 4 3 2 2x 5x 7x 17

2 3 6+ + + = + + − + − + . ĐS: x 1= .

17/ x 1 x2 2.4 x+ − = . ĐS: x 0= .

18/ 2x 1 3x5 5 x 1 0+ − − + = . ĐS: x 1= .

19/ 2 2 2x 3cosx x 4cos x2 2 2014cos 3x+ +− = . ĐS:

kx

6 3

π π= + .

20/ 2 3 21 x 4 sin x 1 x 3sin x2 2 2013sin 3x− + − +− = . ĐS:

kx

3

π= .

21/

2

2 2

12 x 12 8x

x x1 1

253 2538 x

− −

− = − . ĐS: x 8= .

22/

2

3 22

47x 217 x 3

x 3xx2

280 21x 7x713 713

x 3x

++

+ − −− =

+. ĐS: x 8 x 5= − ∨ = .

23/ x x x x x3 3 2 2 6 2x 6− − −− + − − = − + . ĐS: x 1= .

www.MATHVN.com



Page - 89 -

24/ 2x 5 x 1 1 1

e e2x 5 x 1

− −− = −

− −. ĐS: x 2 x 4= ∨ = .

25/ 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 22 3 5 2 3 5− + + ++ + = + + . ĐS: x 1= .

26/ 2 2x x 3 2x 2 2x 3 x x2 9 x 6 4 3 5x− − − −+ + + = + + . ĐS: x 1 x 6= ∨ = .

27/ x x2 2 x x 1 x 12 3 2 2 3 x 1+ ++ + = + + + . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

28/ x x3 .2x 3 2x 1= + + . ĐS: x 1 x 1= ∨ = − .

29/ 2x x x 8 22 2 8 2x x− +− = − − . ĐS: x 2 x 4= − ∨ = .

30/ 2 xx x 1 3+ + = . ĐS: x 0= .

31/ ( )( )x x1 x 2 4 3.4+ + = . ĐS: 1

x 0 x x 12

= ∨ = ∨ = .

32/ ( ) ( ) ( )x x x

3 2 3 2 5− + + = . ĐS: S = ∅ .

33/ ( ) ( )xx x23 2 3 2 10− + + = . ĐS: x 2= .

34/ ( ) ( )x x

x 33 5 16. 3 5 2 ++ + − = . ĐS: x 2= ± .

35/ ( ) ( )x x

x3 2 2 3 2 2 6+ + − = . ĐS: x 1= .

36/ x x

x2 3 2 3 2 + + − =

. ĐS: x 2= .

37/ ( )x x x

4 15 4 15 2 2 − + + =

. ĐS: x 2= .

38/ ( ) ( )x x

x2 3 2 3 4− + + = . ĐS: x 1= .

39/ ( ) ( ) ( )2 2 cos2x

sin x cos x cos2x 12 2 2 2 2 2 1

2

+ − + + − = + . ĐS:

kx

4 2

π π= + .

40/ ( )x x9 x 12 3 11 x 0+ − + − = . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

41/ ( )x 2 x 23.25 3x 10 .5 x 3− −+ − = − . ĐS: 5

25x 2 x log

3= ∨ = .

42/ x 3 x8 x.2 2 x 0−− + − = . ĐS: x 2= .

43/ ( ) ( )2 2x 2 x 29 x 3 .3 2 1 x 0+ − + − = . ĐS:

3x 0 x log 2= ∨ = ± .

44/ ( ) ( )2 2 2

x 2 x 26 2 x 6x 1 .6 x 6x 1 0+ − − + − − = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

45/ ( )2x x x x3 2 9 3 9.2 0− + + = . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 90 -

46/ ( )x x25 2 3 x .5 2x 7 0− − + − = . ĐS: x 1= .

Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 1997

47/ ( )x 2 x 23.25 3x 10 .5 3 x 0− −+ − + − = . ĐS: 5

x 2 x 2 log 3= ∨ = − .

48/ x 1 x 13.9 (3x 7).3 2 x 0− −+ − + − = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

49/ ( )x x3.4 3x 10 .2 3 x 0+ − + − = . ĐS: 2

x 1 x log 3= ∨ =− .

50/ ( )x x9 2 x 2 .3 2x 5 0+ − + − = . ĐS: x 1= .

Đại học Thương Mại năm 1995

51/ 2 x 1 x x 24x 3 3 2.3 .x 2x 6++ + = + + . ĐS: 2

3

3x x log 2

2= ∨ = .

52/ ( ) ( )2 x xx 2 3 x 2 1 2 0+ − + − = . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

53/ ( )x x4 x 8 2 12 2x 0+ − + − = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

54/ ( ) ( )x xx 4 .9 x 5 .3 1 0+ − + + = . ĐS: x 0 x 1= ∨ = − .

55/ ( )3x 2x 2 x 32 3x.2 1 3x .2 x x 2+ + + + + = . ĐS: x 0= .

56/ ( )2 2x 2 x 24 x 7 .2 12 4x 0+ − + − = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

57/ ( )x xx 2.3 1 3 2− = + . ĐS: x 1= .

58/ ( ) ( )x x9 x 2 .3 2 x 4 0− −− + − + = . ĐS: x 1= − .

Bài tập 42. Giải các bất phương trình sau:

1/ x 1 x 1 x2 3 6 1+ ++ > − . ĐS: x 2< .

2/ x x x x7 5 2.3 2 3≤ + + . HD: Chia ( ) ( )x7 f x f 2 x 2⇒ ≥ ⇔ ≤ .

3/ x x x2 3 5 38+ + ≥ . ĐS: x 2≥ .

4/ 1 x

x

3 3x 20

2 1

− − +≤

−. ĐS: x 0 x 1< ∨ ≥ .

Học Viện Quân Y năm 1996

5/ x

2

3 x 40

x x 6

+ −>

− −.

6/ ( )( )x 2 2

x 1

5 x 3 x 5x 60

3 1

−

−

+ − + +≥

−. ĐS: ( ) )x ; 3 2;1 2; ∈ −∞ − ∪ − ∪ ∞

.

7/ ( )x 2x x

2

9x 5122 2 1 log x 2x

x+ ++ + + ≥ . HD: ( ) ( )f x f 2 x 2≥ ⇔ ≥ .

Bài tập 43. Giải phương trình: ( ) ( )2 x xx 3 2 x 2 1 2 0− − + − = .

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A và A1 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

www.MATHVN.com



Page - 91 -

ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

Bài tập 44. Giải phương trình: x x3 .2x 3 2x 1= + + .

Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH & LTĐH Quang Minh

ĐS: x 1= ± .

Bài tập 45. Giải phương trình:

2

2 2

1 x 1 2x

x xx 2

2 22x

− −−

− = .

HSG tỉnh Tiền Giang năm 2011 – 2012 (ngày thi thứ nhất 25/10/2011)

ĐS: x 2= .

Bài tập 46. Giải phương trình: 2sin x sin x sin x 1 4 x

3 3 4 sin2 4

− − π − = − −

.

HSG tỉnh Hưng Yên – Khối 12 – Năm học 2005 – 2006

ĐS: ( ) x k2 , k2

π= + π ∈ � .

Bài tập 47. Giải phương trình: ( )cos2x 1

2

1 12 cos2x log 3cos2x 1

2 2− + = + − .

HSG tỉnh Thái Bình – Khối 12 – Năm học 2006 – 2007

ĐS: ( ) x k , k6

π= ± + π ∈ � .

Bài tập 48. Giải bất phương trình: ( ) ( )x x

2

4 x 11 .2 8 x 30

log x 1

+ − − −≥

−.

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 – THPT Đông Sơn 1

ĐS: ( )x 1;3 4; ∈ ∪ +∞ .


2

2

x 1x 12x x

3

2

x 1 x 1x ln x ln 1 x

x x

++

+ + − ≤ − .

Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – (Người ra đề: Đỗ Bá Chủ – Thái Bình)

ĐS: )x 1;∈ +∞.

Bài tập 50. Giải phương trình: 2ln x 5 ln x 7 2

x1 1

x 1 1 x 1 1

− + =

−+ − + +

.

Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – Trường Đại học Hồng Đức

Bài tập 51. Giải phương trình: 2 2log 3 log 5x x x+ = .

Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh năm 1995

ĐS: x 2= .

www.MATHVN.com



Page - 92 -

C – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT


�� Phương trình logarit

Với b

aa 0, a 1 : log x b x a> ≠ = ⇔ = ( )1

Với ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

a a

f x g xa 0, a 1 : log f x log g x

f x 0 hay g x 0

=> ≠ = ⇔ > >

( )2

Với ( ) ( ) ( ) ( )

g x

aa 0, a 1 : log f x g x f x a> ≠ = ⇔ = (mũ hóa) ( )3

Các bước giải:

+ Đặt điều kiện cho biểu thức có nghĩa, chẳng hạn: ( )( )ÐK

a

f x 0log f x

0 a 1

>→ < ≠

.

+ Dùng các công thức biến đổi đưa về dạng ( ) ( )1 , 2 hoặc ( )3 .

Bất phương trình logarit

Khi giải bất phương trình logarit, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ, chẳng hạn giải

phương trình: ( ) ( )a alog f x log g x> .

+ Nếu a 1> thì ( ) ( ) ( ) ( )a alog f x log g x f x g x> ⇔ > (cùng chiều).

+ Nếu 0 a 1< < thì ( ) ( ) ( ) ( )a alog f x log g x f x g x> ⇔ < (ngược chiều).

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì:

+ ( )( )alog B 0 a 1 B 1 0> ⇔ − − > . + ( )( )a

a

log A0 A 1 B 1 0

log B> ⇔ − − > .

�� Các công thức thường dùng

( ) a a a

CT.1 log b log c log b.c+ = . a a a

bCT.2 log b log c log

c

− = .

a

a

a

. log bCT.3 log b

. log bβ

β= β

aa

1CT.4 log b .log bβ =

β.

a

b

1CT.5 log b

log a= . a

b

a

log cCT.6 log c

log b= .

Với a,b, c 0> và a,b, c 1≠ thì: b b

a

log c log a

log b

a c

b a

= =

.

Dạng 1. Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

nếu β lẻ

nếu β chẳn

www.MATHVN.com



Page - 93 -


�� Các thí dụ về giải phương trình logarit đưa về cùng cơ số

Thí dụ 131. Giải phương trình: ( ) ( ) 3

log 2x 1 2− = − ∗



2x 1 0 x2

− > ⇔ > .

( ) 22x 1 3−∗ ⇔ − =

5

x8

⇔ = .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là 5

x8

= .


log x 2 log x 2 2+ − − = ∗



x 2x 2 0 x 2

+ > >− ⇔ ⇔ > − > >

.

( ) ( )( )2 2log x 2 x 2 log 4∗ ⇔ + − =

( )( ) 2x 2 x 2 4 x 8⇔ + − = ⇔ =

x 2 2⇔ = ± .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là x 2 2= .

Thí dụ 133. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2log x 2x 3 lg x 3 lg x 1+ − + + = − ∗


● Điều kiện:

2x 2x 3 0

x 3 0 x 1

x 1 0

+ − > + > ⇔ > − >

.

( ) ( )( ) ( )2

10 10log x 2x 3 x 3 log x 1∗ ⇔ + − + = −

( )( ) ( ) 2x 2x 3 x 3 x 1⇔ + − + = −

( )( ) ( ) 2

x 1 x 3 x 1 0⇔ − + − − =

( )( ) 2x 1 x 6x 8 0⇔ − + + =

x 1 x 2 x 4⇔ = ∨ = − ∨ =− .

● So với điều kiện, phương trình đã cho vô nghiệm: S = ∅ .

Thí dụ 134. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 25 5 5

2 log 3x 11 log x 27 3 log 8− + − = + ∗

www.MATHVN.com



Page - 94 -


● Điều kiện:

113x 11 0 xx 273

x 27 0 x 27

− > > ⇔ ⇔ > − > >

.

( ) ( ) ( )2

3

5 5 552 log 3x 11 log x 27 log 5 log 8∗ ⇔ − + − = +

( ) ( ) 5 5 5 5

12. log 3x 11 log x 27 log 125 log 8

2⇔ − + − = +

( )( ) 5 5

log 3x 11 x 27 log 1000⇔ − − =

( )( ) 3x 11 x 27 1000⇔ − − =

23x 92x 703 0⇔ − − =

19

x x 373

⇔ =− ∨ = .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 37= .


3

5 0,2 25log x log x log x 7+ + = ∗



( ) 1 2

3

3

5 55

log x log x log x 7−∗ ⇔ + + =

5 5 5

33 log x log x log x 7

2⇔ − + =

5

33 1 log x 7

2

⇔ − + =

5

7log x 7

2⇔ =

5

log x 2⇔ =

x 25⇔ = .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất: x 25= .


2 2

x 5log log x 25 0

x 5

−+ − = ∗

+



x 5x 50

x 5x 5

x 25 0

− <−> ⇔+ > − >

.

( )( )( )2

2

x 5 x 25log 0

x 5

− −∗ ⇔ =

+

www.MATHVN.com



Page - 95 -

( ) 2

2log x 5 0⇔ − =

x 5 1⇔ − =

x 5 1

x 5 1

− =⇔ − = −

x 4 x 6⇔ = ∨ = .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x 6= .

Thí dụ 137. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4

log log x log log x 2+ = ∗



4

x 0

log x 0 x 1

log x 0

> > ⇔ > >

.

( ) ( ) ( )2 22 22 28 log log x log log x 2⇔ + =

( ) 2 2 2 2

1 1log log x log log x 2

2 2

⇔ + =

( ) ( ) 2 2 2 2 2

1 1log log x log log x log 3

2 2⇔ + + =

( ) 2 2

3log log x 3

2⇔ =

( ) 2 2

log log x 2⇔ =

2

log x 4⇔ =

x 16⇔ = .

● So với điều kiện, phương trình: x 16= .

Thí dụ 138. Giải phương trình: ( ) ( ) x

2log 9 2 3 x− = − ∗


● Điều kiện: x x9 2 0 2 9− > ⇔ < .

( ) ( ) ( )3 xx

2 2log 9 2 log 2

−∗ ⇔ − =

( )

3 xx9 2 2−

⇔ − =

( ) x

x

82 9 0 1

2⇔ + − =

● Đặt xt 2 0= > .

( )8

1 t 9 0t

⇔ + − =

www.MATHVN.com



Page - 96 -

2t 9t 8 0⇔ − + =

t 1 t 8⇔ = ∨ = .

● Với xt 1 2 1 x 0= ⇒ = ⇔ = .

● Với xt 8 2 8 x 3= ⇒ = ⇔ = .

● Thay vào điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x 0 x 3= ∨ = .

Thí dụ 139. Giải phương trình: ( ) ( ) x 1

3log 3 26 2 x+ − = − ∗


● Điều kiện: x 1 x 26

3 26 0 33

+ − > ⇔ > .

( ) ( )x 1 2 x3 26 3+ −∗ ⇔ − =

( ) x

x

93.3 26 0 1

3⇔ − − =

● Đặt xt 3 0= > .

( )9

1 3t 26 0t

⇔ − − =

23t 26t 9 0⇔ − − =

( ) ( ) 1

t L t 9 N3

⇔ =− ∨ =

● Với xt 9 3 9 x 2= ⇒ = ⇔ = .

● Thay vào điều kiện: 2 26

3 :3

> thỏa ⇒ Nhận nghiệm: x 2= .

Thí dụ 140. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2 4

log x 3 log x 1 2 log 8+ − − = − ∗



x 1x 1 0 x 1

+ > >− ⇔ ⇔ > − > >

.

( ) ( ) ( )1

2

1

24 4 4

4

log x 3 log x 1 2 log 4 log 8∗ ⇔ + − − = −

( ) ( ) 2

4 4 4

4log x 3 log x 1 log

8

⇔ + − − =

4 8

x 3log log 2

x 1

+ ⇔ = −

x 3

2x 1

+⇔ =

−

x 5⇔ = .

www.MATHVN.com



Page - 97 -



24

4 2

xlog log 4x 10 0

4

− + = ∗



( ) 2 2 4 4

4 4 2 2log x log 4 log 4 log x 10 0∗ ⇔ − − − + =

2 2

log x 2 8 4 log x 10 0⇔ − − − + =

2

log x 0⇔ =

0x 2 1⇔ = =

x 1⇔ = ± .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là x 1= ± .

Thí dụ 142. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2

3 32 log x 2 log x 4 0− + − = ∗


● Điều kiện: ( )

2

x 2 0 x 2

x 4x 4 0

− > > ⇔ ≠− >

.

( ) ( )3 32 log x 2 2 log x 4 0∗ ⇔ − + − =

( ) 3

log x 2 x 4 0⇔ − − =

( ) x 2 x 4 1⇔ − − =

( )( ) ( )( )

x 2 x 4 1 x 2 x 4 1

x 4 2 x 4

− − = − − + = ⇔ ∨ > < <

2 2x 6x 7 0 x 6x 9 0

x 4 2 x 4

− + = − + = ⇔ ∨ > < <

x 3x 3 2

2 x 4x 4

== ± ⇔ ∨ < <>

x 3 2 x 3⇔ = + ∨ = .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x 3 2 x 3= + ∨ = .

Thí dụ 143. Giải phương trình: ( ) 2 2 1

2

log x 2 log x 5 log 8 0− + + + = ∗



x 5 0 x 5

− ≠ ≠ ⇔ + ≠ ≠

.

www.MATHVN.com



Page - 98 -

( ) ( )( )2 2log x 2 x 5 log 8∗ ⇔ − + =

( )( ) x 2 x 5 8⇔ − + =

( )( )( )( )

x 2 x 5 8

x 2 x 5 8

− + =⇔ − + = −

2

2

x 3x 18 0

x 3x 2 0

+ − =⇔ − + =

3 17

x 3 x 6 x2

±⇔ = − ∨ = ∨ = .

● So với điều kiện, phương trình có ba nghiệm: 3 17

x 3 x 6 x2

±= − ∨ = ∨ = .

Thí dụ 144. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 226 2

3

2 2 2 2

1log 3x 4 .log x 8 log x log 3x 4

3

− = + − ∗


● Điều kiện:

( )

( )

6

2

3

3x 4 0

3x 4 0 43x 4 00 x

x 0 3x 0

x 0

− > − ≠ − > ⇔ ⇔ < ≠ >> >

.

( )2

2

2 2 2 2

6 1log 3x 4 .3 log x 8 log x 2 log 3x 4

3 2

∗ ⇔ − = + −

( ) ( ) 22

2 2 2 26 log 3x 4 .log x 2 log x 4 log 3x 4⇔ − = + −

( ) ( ) 22

2 2 2 2 2 22 log x log 3x 4 . log x 2 log 3x 4 2 log 3x 4 .log x 0⇔ − − + − − − =

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

log x log x log 3x 4 2 log 3x 4 log 3x 4 log x 0⇔ − − − − − − + =

( )( ) 2 2 2 2

log x log 3x 4 log x 2 log 3x 4 0⇔ − − − − =

2 2

2 2

log x log 3x 4 0

log x 2 log 3x 4 0

− − =⇔ − − =

2 2

2

2 2 2

log x log 3x 4

log x 2 log 3x 4 log 3x 4

= −⇔ = − = −

2

x 0

x 3x 4

x 3x 4

> = −⇔ = −

www.MATHVN.com



Page - 99 -

( )

2

x 0

x 3x 4

x 3x 4

9x 25x 16 0

> = −⇔ = − − − + =

16

x 1 x 2 x9

⇔ = ∨ = ∨ = .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là: 16

x 1 x 2 x9

= ∨ = ∨ = .


3log 8 x x 9 2− + + = ∗

Cao đẳng Du Lịch Hà Nội khối A năm 2006


● Điều kiện: 28 x x 9 0− + + > .

( ) 28 x x 9 9∗ ⇔ − + + =

2x 9 x 1⇔ + = +

2 2

x 1 0 x 1x 4

x 4x 9 x 2x 1

+ ≥ ≥− ⇔ ⇔ ⇔ = =+ = + +

.

● Thay nghiệm x 4= vào điều kiện và thỏa điều kiện.



4

1log x 3 1 log

x− = + ∗

Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối D1 năm 2006


● Điều kiện:

x 3 0 x 3x 31 x 00

x

− > > ⇔ ⇔ > >>

.

( ) ( )4 4

1log x 3 log 1

x∗ ⇔ − − − =

4

x 3log 1

x

−⇔ = −

x 3 1

x 4x 4

−⇔ = ⇔ = .


Thí dụ 147. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2

log x log x 6 log 7+ − = ∗

Cao đẳng Marketing năm 1999

www.MATHVN.com



Page - 100 -


● Điều kiện: x 0 x 0

x 6x 6 0 x 6

> > ⇔ ⇔ > ⇒ − > >


( ) ( )2 2log x x 6 log 7 ∗ ⇔ − =

2x 6x 7 0 x 1 x 7⇔ − − = ⇔ = − ∨ = .

● Kết hợp với tập xác định, nghiệm cần tìm là x 7= .

Thí dụ 148. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 x

log x 2 .log 2 1+ = ∗


● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) ( )2

2

1 1log x 2 . 1

2 log x∗ ⇔ + =

( ) 2 2

log x 2 2 log x⇔ + =

( ) 2

2 2log x 2 log x⇔ + =

2x 2 x x 1 x 2⇔ + = ⇔ = − ∨ = .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình cần tìm là x 2= .

Thí dụ 149. Giải phương trình: ( ) x 27 3

3log 3 3 log x 2 log x

4− = ∗

Cao đẳng Điện Lực Tp. Hồ Chí Minh năm 2006


● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) 3 3

3

3 1. log x 2 log x 0

4 log x∗ ⇔ − − =

3

3

3 1. 3. log x

4 log x⇔ =

2

3

1log x

4⇔ = .

3 3

1 1log x log x

2 2⇔ = ∨ =−

1

x 3 x3

⇔ = ∨ = .


x 3 x3

= ∨ = .


2 1

2

log x 1 log x 1− = − ∗

Đại học Huế khối D, R, R – Hệ chuyên ban năm 2000

www.MATHVN.com



Page - 101 -


● Điều kiện:

2x 1 0x 1

x 1 0

− > ⇔ > ⇒ − >


( ) ( ) ( )2

2 2log x 1 log x 1 0∗ ⇔ − + − =

( )( ) 2

2log x 1 x 1 0⇔ − − =

( )( ) 2x 1 x 1 1⇔ − − =

( ) 2x x x 1 0⇔ − − =

1 5 1 5

x 0 x x2 2

+ −⇔ = ∨ = ∨ = .

● So với tập xác định, nghiệm của phương trình là: 1 5

x2

+= .


2 2log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = ∗

Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006


● Điều kiện:

2x 3 0 5x

6x 10 0 3

− > ⇔ > − >

.

( )( )2

2 2

2 x 3log log 1

6x 10

−∗ ⇔ =

−

( )

22 x 31

6x 10

−⇔ =

−

2x 3x 2 0 x 1 x 2⇔ − + = ⇔ = ∨ = .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là x 2= .

Thí dụ 152. Giải phương trình: ( ) 2 3 4 20

log x log x log x log x+ + = ∗



�� Cách giải 1

( ) 2 2 2

2

2 2 2

log x log x log xlog x

log 3 log 4 log 20∗ ⇔ + + =

2

2 2 2

1 1 1log x. 1 0

log 3 log 4 log 20

⇔ + + − =

2

log x 0⇔ =

x 1⇔ = .

www.MATHVN.com



Page - 102 -


�� Cách giải 2

( )ln x ln x ln x ln x

0ln2 ln 3 ln 4 ln20

∗ ⇔ + + − =

1 1 1 1

ln x. 0ln2 ln 3 ln 4 ln20

⇔ + + − =

ln x 0⇔ =

x 1⇔ = .


�� Nhận xét

Trong cách giải 1, tôi đã sử dụng công thức biến đổi cơ số: c

a

c

log xlog x

log a= và trong

cách giải 2, tôi cũng sử dụng công thức ấy nhưng cụ thể với c e= , lúc đó

a

ln xlog x

lna= .

Thí dụ 153. Giải phương trình: ( ) 2 3 5 2 3 5

log x log x log x log x.log x.log x+ + = ∗



( ) 2 3 5 2 3 5log x log x log x log x.log x.log x∗ ⇔ + + =

( ) 2 3 2 5 2 2 3 5 5

log x log 2 log x log 2 log x log x log 5.log x . log x⇔ + + =

( ) 2

2 3 5 3 5log x 1 log 2 log 2 log 5.log x 0⇔ + + − =

2

2

3 5 3 5

log x 0

1 log 2 log 2 log 5.log x 0

=⇔ + + − =

2 3 5

5

3

x 1

1 log 2 log 2log x

log 5

=⇔ + + =

3 5

5

3

x 1

1 log 2 log 2log x

log 5

=⇔ + +

= ±

3 5

3

1 log 2 log 2

log 5

x 1

x 5

+ +±

=⇔ =

.

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là

3 5

3

1 log 2 log 2

log 5x 1 x 5

+ +±

= ∨ = .

�� Nhận xét

www.MATHVN.com



Page - 103 -

Trong bài giải trên, tôi đã sử dụng công thức: ca c c a

c

log xlog x log x log a.log x

log a= ⇔ =

để đưa về 2

log x nhằm xuất hiện nhân tử chung.

Thí dụ 154. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )

22

3log x 88 x 2

−= − ∗


● Điều kiện: 2x 8 0 x 2 2 x 2 2− > ⇔ <− ∨ > .

( ) ( ) ( )2

233 log x 8

2 x 2−

∗ ⇔ = −

( ) ( ) 2

2

33log x 8

2 x 2−

⇔ = −

( )

22

log x 82 x 2

−⇔ = −

( ) 2

log 22x 8 x 2⇔ − = −

2x 8 x 2⇔ − = −

2x x 6 0⇔ − − =

x 2 x 3⇔ =− ∨ = .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất: x 3= .


2 21 log 9 6 log 4.3 6+ − = − ∗

Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006


● Điều kiện: x

x

9 6 0

4.3 6 0

− > − >

.

( ) ( ) ( )x x

2 2 2log 2 log 9 6 log 4.3 6∗ ⇔ + − = −

( ) ( ) x x

2 2log 2. 9 6 log 4.3 6 ⇔ − = −

x x2.9 12 4.3 6⇔ − = −

( ) 2

x x2. 3 4.3 6 0⇔ − − =

( )

x

x 1

3 1 Lx 1

3 3

= −⇔ ⇔ = =

.

● Thay x 1= vào điều kiện và thỏa điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là x 1= .


x 9x log 27.log x x 4= + ∗

Đại học Huế khối D – Hệ chuyên ban năm 1999


�� Nhận xét

Trong bài giải trên, tôi đã sử dụng công thức:

với và .

Ta có công thức trên là do:

(lấy logb hai vế)

(luôn đúng).

www.MATHVN.com



Page - 104 -

● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) 2

9 xx .log x.log 27 x 4∗ ⇔ = +

2

9x log 27 x 4⇔ = +

2 3 4x . x 4 x x 2

2 3⇔ = + ⇔ =− ∨ = .


Thí dụ 157. Giải phương trình: ( ) x 2

5 12xlog 4. log 2

12x 8

−= ∗

−

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2006


● Điều kiện:

0 x 1 0 x 1

5 12x 5 20 x

12x 8 12 3

< ≠ < ≠ ⇔ − > < < −

.

( ) 2

2

1 5 12x.log 1

log x 12x 8

−∗ ⇔ =

−

2 2

5 12xlog log x

12x 8

−⇔ =

−

5 12x 1 5

x x x12x 8 2 6

−⇔ = ⇔ = ∨ =−

−.


x2

= .


log x log 2x 1 1= + − ∗

Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối D1, M năm 2006



x 02x 1 1 0

> ⇔ > + − >

.

( ) ( )3 3log x log 2x 1 1∗ ⇔ = + −

x 2x 1 1⇔ = + −

x 2x 2 2 2x 1⇔ = + − +

x 2 2 2x 1⇔ + = +

2x 4x 4 8x 4⇔ + + = +

2x 4x 0 x 0 x 4⇔ − = ⇔ = ∨ = .


www.MATHVN.com



Page - 105 -


2

2 2log x 1 log x 2x 1 6+ + + + = ∗

Đại học Huế khối R, T – Hệ chưa phân ban năm 1999



22

x 1x 1 0x 1

x 2x 1 0 x 1 0

≠ − + ≠ ⇔ ⇔ ≠− + + > + >

.

( ) 2 22 log x 1 log x 1 6∗ ⇔ + + + =

2

3 log x 1 6⇔ + =

x 3

x 1 4x 5

=⇔ + = ⇔ = −

.

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 5 x 3= − ∨ = .

Thí dụ 160. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 1 2

2

1log x 1 log x 4 log 3 x

2− + + = − ∗

Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004


● Điều kiện:

x 1 0 x 14 x 3

x 4 0 x 4x 1

3 x 0 x 3

− ≠ ≠ − < < + > ⇔ >− ⇔ ≠ − > <

.

( ) ( ) ( )2 2 2log x 1 log x 4 log 3 x∗ ⇔ − − + = −

( )( ) 2 2

log x 1 log 3 x x 4⇔ − = − +

( )( ) x 1 3 x x 4⇔ − = − +

2x 1 x x 12⇔ − =− − +

2

2

2

x x 12 0

x 1 x x 12

x 1 x x 12

− − + ≥ − = − − +⇔ − = + −

4 x 3

x 1 14 x 1 14

x 11 x 11

− ≤ ≤ = − + ∨ = − −⇔ = − ∨ =

x 11 x 1 14⇔ =− ∨ =− + .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 11 x 1 14= − ∨ = − + .

Thí dụ 161. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3

1 1 1

4 4 4

3log x 2 3 log 4 x log x 6

2+ − = − + + ∗

www.MATHVN.com



Page - 106 -

Cao đẳng Sư Phạm Lai Châu khối A năm 2005


● Điều kiện:

( )

( )

( )

2

3

3

x 2 0x 2

4 x 06 x 4

x 6

+ > ≠ − > ⇔ − < < +

.

( ) ( ) ( )1 1 1 1

4 4 4 4

13 log x 2 3.log 3 log 4 x 3 log x 6

4∗ ⇔ + − = − + +

( ) ( )( ) 1 1

4 4

log 4 x 2 log 4 x x 6⇔ + = − +

( )( ) 4 x 2 4 x x 6⇔ + = − +

24 x 2 x 2x 24⇔ + = − − +

2 24x 8 x 2x 24 4x 8 x 2x 24

x 2 0 x 2 0

+ = − − + + = + − ⇔ ∨ + ≥ + <

2 2x 6x 16 0 x 2x 32 0

x 2 x 2

+ − = − − = ⇔ ∨ ≥− <−

x 2 x 8 x 1 33

x 2 x 2

= ∨ = − = ± ⇔ ∨ ≥− <−

x 2 x 1 33⇔ = ∨ = − .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 2 x 1 33= ∨ = − .


3

3 3 32 log x 1 log 2x 1 log x 1+ = − + + ∗

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập – Hà Tỉnh


● Điều kiện:

3x 1 0 x 12x 1 0 1

xx 1 0 2

+ > > − − ≠ ⇔ ≠ + >

.

( ) ( )( ) ( )2

3 3 32 log x 1 x x 1 2 log 2x 1 2 log x 1 ∗ ⇔ + − + = − + +

( )( ) ( ) 2

3 3log x 1 x x 1 log x 1 2x 1 ⇔ + − + = + −

( )( ) ( ) 2x 1 x x 1 x 1 2x 1⇔ + − + = + −

( ) 22x 1 x x 1 do : x 1 x 1 0⇔ − = − + >− ⇒ + >

www.MATHVN.com



Page - 107 -

2 22x 1 x x 1 1 2x x x 1

2x 1 0 2x 1 0

− = − + − = − + ⇔ ∨ − ≥ − <

x 0 x 1 x 2⇔ = ∨ = ∨ = .

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có ba nghiệm: x 0 x 1 x 2= ∨ = ∨ = .


2

9 33

1 x 1log x 5x 6 log log x 3

2 2

−− + = + − ∗



● Điều kiện:

2 x 2x 5x 6 0

x 3x 1 0

x 3 0 x 1

≠− + ≠ ≠− > ⇔ ⇒ − ≠ >

Tập xác định: ( ) { }D 1; \ 2;3= +∞ .

( ) 2

3 3 3

x 1log x 5x 6 log log x 3

2

−∗ ⇔ − + = + −

( ) 3 3 3

x 1log x 2 . x 3 log log x 3

2

−⇔ − − = + −

3 3 3 3

x 1log x 2 log x 3 log log x 3

2

−⇔ − + − = + −

x 1

x 22

−⇔ − =

( )( )

x 1x 1 0 5x52 x 2 x 1 x 3

3 x 32 x 2 x 1 x 3

≥ − ≥ = − = − + ⇔ ⇔ ⇔ = = − = − =

.

● Kết hợp với tập xác định, nghiệm của phương trình là 5

x3

= .


2012

81 2433

1 1log x 1 log x 3 5 log 4 x 2

3 503 + + − = − ∗

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên


● Điều kiện:

x 1 0x 2

x 3 0x 3

x 2 0

+ > > − ≠ ⇔ ≠ − >

.

( ) ( ) ( )3 3 3log x 1 log x 3 log 4 x 2 ∗ ⇔ + + − = −

( ) ( ) 3 3

log x 1 x 3 log 4 x 2 ⇔ + − = −

( ) ( ) x 1 x 3 4 x 2⇔ + − = −

www.MATHVN.com



Page - 108 -

( )( ) ( )( )

x 1 x 3 4x 8 x 1 x 3 8 4x

x 3 0 x 3 0

+ − = − + − = − ⇔ ∨ − ≥ − ≤

x 1 x 5 x 1 2 3

x 3 x 3

= ∨ = = − ± ⇔ ∨ ≥ ≤

x 5 x 1 2 3⇔ = ∨ =− ± .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x 5 x 1 2 3= ∨ =− + .


4 82log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + ∗

Đại học Bách Khoa Hà Nội khối D năm 2000


● Điều kiện:

( )

( )

2

3

x 1 0x 1

4 x 04 x 4

4 x 0

+ > ≠ − − > ⇔ ⇒ − < < + >

Tập xác định: ( ) { }D 4;4 \ 1= − − .

( ) ( ) ( )2 2 2 2log x 1 log 4 log 4 x log 4 x∗ ⇔ + + = − + +

( )( ) 2 2

log 4 x 1 log 4 x 4 x⇔ + = − +

24 x 1 16 x⇔ + = −

( ) ( )

2 24 x 1 16 x 4 x 1 16 x

x 1 0 x 1 0

+ = − − + = − ⇔ ∨ + ≥ + <

( )( )

( )( )

x 1x 1

x 2 24 Nx 2 N

x 6 L x 2 24 L

< − ≥− = −⇔ = ∨ = − = +

x 2 x 2 24⇔ = ∨ = − .

● Vậy nghiệm phương trình là x 2 x 2 24= ∨ = − .

Thí dụ 166. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x

5 5 5x 1 log 3 log 3 3 log 11.3 9+− + + = − ∗

Đại học Sư Phạm Vinh khối D, G, M năm 2000


● Điều kiện:

x 1

x

3 3 0

11.3 9 0

+ + > − >

.

( ) ( ) ( )x 1 x 1 x

5 5 5log 3 log 3 3 log 11.3 9− +∗ ⇔ + + = −

( ) ( ) x 1 x 1 x

5 5log 3 . 3 3 log 11.3 9− + ⇔ + = −

www.MATHVN.com



Page - 109 -

2x x x3 3 11.3 9⇔ + = −

( ) 2

x x3 10.3 9 0⇔ − + =

x

x

3 1 x 0

x 23 9

= = ⇔ ⇔ ==

.

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 0 x 2= ∨ = .


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 2

2 2 2 2log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1+ + + − + = + + + − + ∗

Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 2000


● Điều kiện:

2

2

4 2

4 2

x x 1 0

x x 1 0

x x 1 0

x x 1 0

+ + > − + > ⇒ + + > − + >

Tập xác định D = � .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2 4 2

2 2 2log x 1 x x 1 x log x x 1 log x x 1 ∗ ⇔ + + + − = + + + − +

( ) ( ) ( ) 2

2 2 4 2 4 2

2 2 2log x 1 x log x x 1 log x x 1

⇔ + − = + + + − +

( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4 2

2 2 2log x x 1 log x x 1 log x x 1⇔ + + = + + + − +

( ) 4 2

2log x x 1 0⇔ − + =

4 2x x 1 1⇔ − + =

4 2x x 0⇔ − =

x 0 x 1⇔ = ∨ = ±

● Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x 0 x 1 x 1= ∨ = − ∨ = .

Thí dụ 168. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 1 2

2

12 log x log 1 x log x 2 x 2

2+ − = − + ∗



● Điều kiện:

( )2

x 0 x 0

1 x 0 x 1 0 x 1

x 2 x 2 0 x 1 1 0

> > − > ⇔ < ⇔ < < − + > − + >

.

( ) ( ) ( )2

2

2 2 2log x log 1 x log x 1 1

∗ ⇔ − − = − +

www.MATHVN.com



Page - 110 -

( ) ( ) 2

2

2 2log x log 1 x 1 x 1

⇔ = − − +

( ) ( ) 2

2x 1 x 1 x 1 ⇔ = − − +

( )1

● Đặt t 1 x= − . Do 0 x 1< < 0 t 1⇒ < < .

( ) ( )22

2 2 4 3 2x 1 t x 1 t x 1 2t t t 4t 6t 4t 1 ⇒ = − ⇔ = − ⇔ = − + = − + − + .

( ) ( )4 3 2 21 t 4t 6t 4t 1 t t 1⇔ − + − + = +

4 3 2t 5t 6t 5t 1 0⇔ − + − + = ( )2

● Do ( )t 0;1∈ nên chia hai vế ( )2 cho 2t 0,≠ ta được:

( ) 2

2

5 12 t 5t 6 0

t t⇔ − + − + =

2

2

1 1t 5 t 6 0

tt

⇔ + − + + = ( )3

● Đặt Cauchy1

u t 2t

= + ≥ 2 2 2 2

2 2

1 1u t 2 t u 2

t t⇒ = + + ⇒ + = − .

( )( )( )

2u 4 N

3 u 5u 4 0 u 4u 1 L

=⇔ − + = ⇔ ⇔ = =

.

( )( )

2t 2 3 N1

t 4 t 4t 1 0 t 2 3t t 2 3 L

= −⇒ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = −

= +

.

1 x 2 3 x 3 1 x 4 2 3⇒ − = − ⇔ = − ⇔ = − .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 4 2 3= − .


3 2 3 2

3 x 1log . log x log log x

x 23− = + ∗

Cao đẳng Y Tế Nghệ An năm 2004



( ) ( ) ( )3

3 3 2 3 3 2

1 1log 3 log x .log x log x log 3 log x

2 2∗ ⇔ − − − = +

( ) 3 2 3 2

1 1 11 log x . log x 3 log x log x

2 2 2

⇔ − − − = +

2 2 3 3 2

1 1 1log x log x.log x 3 log x log x 0

2 2 2⇔ − − + − − =

www.MATHVN.com



Page - 111 -

2 2 3 3

1log x log x.log x 3 log x 0

2⇔ − − =

2 2 3 3

log x 2 log x.log x 6 log x 0⇔ − − =

2

2 2 3

2

6. log xlog x 2 log x.log x 0

log 3⇔ − − =

2 3 3

log x. 1 2 log x 6 log 2 0 ⇔ − − =

2

3 3 3 3 3

log x 0 x 1

1 3 3log x 3 log 2 log 3 log 8 log x

2 8 8

= = ⇔ ⇔ = − = − = =

.


x 1 x8

= ∨ = .


32

1 89x 253 log

log x 2 2x

+ = − ∗

Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III khối A năm 2006



x 10 x 10 x 1

589x 25 89x 25 x ;0 02 2x 2x 89

≠ < ≠< ≠ ⇔ ⇔ − ∈ +∞− > >

.

( )2

x x

89x 253 log 32 log

2x

−∗ ⇔ + =

2

3

x x x

89x 25log x log 32 log

2x

−⇔ + =

2

3

x x

89x 25log 32x log

2x

−⇔ =

2

3 89x 2532x

2x

−⇔ =

4 264x 89x 25 0⇔ − + =

2 2 25x 1 x

64⇔ = ∨ =

5

x 1 x8

⇔ = ± ∨ = ± .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là: 5

x8

= .

Thí dụ 171. Giải phương trình: ( ) 2 2 24 5 20

log x x 1 . log x x 1 log x x 1 − − + − = − − ∗

Đại học Sư Phạm Vinh khối A, B năm 2001

www.MATHVN.com



Page - 112 -


● Điều kiện:

2

2

2

x x 1 0

x x 1 0 x 1

x 1 0

− − > + − > ⇔ ≥ − ≥

.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

4 20 5 20log 20.log x x 1 .log x x 1 log x x 1 0∗ ⇔ − − + − − − − =

( ) ( ) 2 2

20 4 5log x x 1 . log 20. log x x 1 1 0

⇔ − − + − − =

( )( )

2

20

2

4 5

log x x 1 0

log 20.log x x 1 1 0

− − =

⇔ + − − =

( )

2

2

5 20

4

x x 1 1

1log x x 1 log 4

log 20

− − =

⇔ + + = =

20

2

log 42

x 1 x 1

x x 1 5

− = −

⇔ + + =

20

2 2

log 42

x 1 0

x 1 x 2x 1

x 1 5 x

− ≥ − = − +⇔ + = −

20

log 4

2 2 2

x 1

x 1

x 5 a

x 1 a 2ax x

≥ =⇔ ≥ = + = − +

2

x 1

2ax a 1

=⇔ = −

( )

2

x 1

1x a 1

2a

=⇔ = −

( )

20

20

log 4

log 4

x 1

1x 25 1

2.5

=⇔ = −

.

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là: ( ) 20

20

log 4

log 4

1x 1 x 25 1

2.5= ∨ = − .

www.MATHVN.com



Page - 113 -

Các thí dụ về giải bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số


x 2log

x5 1−

< ∗

Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006


● Điều kiện : x 2

0 x 0 x 2x

−> ⇔ < ∨ > .

( ) 3

x 2 x 2 2log 0 1 0 x 0

x x x

− − −∗ ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ > .


Thí dụ 173. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2

1

2

log x 3x 2 1− + ≥− ∗



( ) ( )2

2log x 3x 2 1∗ ⇔ − − + ≥

( ) 2

2log x 3x 2 1⇔ − + ≤

2

2

x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1

0 x 3 2 x 3x 3x 2 2

− + > < ∨ > ≤ < ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ < ≤− + ≤

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ) (x 0;1 2;3 ∈ ∪ .


3x 5log 1

x 1

−< ∗

+

Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006


● Điều kiện: 3x 5 5

0 x 1 xx 1 3

−> ⇔ <− ∨ >

+.

( ) 3x 53

x 1

−∗ ⇔ <

+

3x 5

3 0x 1

−⇔ − <

+

8

0x 1

−⇔ <

+

x 1 0 x 1⇔ + > ⇔ >− .


x ;3

∈ +∞ .

www.MATHVN.com



Page - 114 -


1

2

x 3x 2log 0

x

− +≥ ∗


● Điều kiện: 2 0 x 1x 3x 2

0x 2x

< <− + > ⇔ >

.

( )2x 3x 2

1x

− +∗ ⇔ ≤

2x 3x 2

1 0x

− +⇔ − ≤

2x 4x 2

0x

− +⇔ ≤

2 2 x 1

2 x 2 2

− ≤ <⇔ < ≤ +

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là ) (x 2 2;1 2;2 2 ∈ − ∪ + .


2

x 8x 1log 2

x 1

+ − ≤ ∗ +

Đại học Quốc Gia Hà Nội – khối B năm 1999


( )

2

2

x 8x 10

x 1x 8x 1

4x 1

+ − > +∗ ⇔ + − ≤ +

2

4 17 1

x 4 17

x 4x 50

x 1

− − <− > − +⇔ + − ≤ +

4 17 1

x 4 17

x 5

1 x 1

− − <− > − +⇔ ≤ − − ≤ ≤

4 17 x 5

4 17 x 1

− − < ≤−⇔ − + < ≤

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( ( )x 4 17; 5 4 17;1∈ − − − ∪ − +.

www.MATHVN.com



Page - 115 -


0,7 6

x xlog log 0

x 4

+ < ∗ +



● Điều kiện: 2 4 x 1x x

0x 0x 4

− < <−+ > ⇔ >+

.

( )2

0,7 6 0,7

x xlog log log 1

x 4

+ ∗ ⇔ < +

2

6

x xlog 1

x 4

+⇔ >

+

2x x

6x 4

+⇔ >

+

2x 5x 24

0x 4

− −⇔ >

+

4 x 3

x 8

− < <−⇔ >

.

● Kết hợp với điề kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( )x 4; 3 8;∈ − − ∪ +∞ .

Thí dụ 178. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 1

3

2 log 4x 3 log 2x 3 2− + + ≤ ∗


● Điều kiện: 4x 3 0 3

x2x 3 0 4

− > ⇔ > + >

.

( ) ( ) ( )2

3 3log 4x 3 2 log 2x 3∗ ⇔ − ≤ + +

( ) ( ) 2

3 3log 4x 3 log 9 2x 3 ⇔ − ≤ +

( ) ( ) 2

4x 3 9 2x 3⇔ − ≤ +

216x 42x 18 0⇔ − − ≤

3

x 38

⇔− ≤ ≤ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là 3

x ;34

∈

.


2 1

2

1 1log x 4x 5 log

2 x 7

+ − > ∗ +


www.MATHVN.com



Page - 116 -

● Điều kiện: ( ) ( )2x 4x 5 0

x 7; 5 1x 7 0

+ − > ⇔ ∈ − − ∪ +∞ + >

.

( ) ( )2

2 2

1log x 4x 5 2 log

x 7∗ ⇔ + − >−

+

( ) ( ) 2

2

2 2log x 4x 5 log x 7⇔ + − > +

2 2x 4x 5 x 14x 49⇔ + − > + +

10x 54⇔− >

27

x5

⇔ <− .


x 7;5

∈ − − .

Thí dụ 180. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) x x 2

5 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1−+ − < + + ∗


( ) ( ) ( )x x 2

5 5 5log 4 144 log 16 log 5 2 1− ∗ ⇔ + − < +

( ) ( ) x x 2

5 5log 4 144 log 80 2 1− ⇔ + < +

( ) x x 24 144 80 2 1−⇔ + < +

x x4 20.2 64 0⇔ − + <

x4 2 16⇔ < <

2 x 4⇔ < < .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )x 2;4∈ .


5

x 1x 4x 3 1 log 8x 2x 6 1 0

5 x− + + + − − + ≤ ∗

Đại học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội khối A năm 2000


● Điều kiện:

2

2

x 4x 3 0 x 1 x 3x 1

2x 8x 6 0 1 x 3x 3

x x 00

5

− + ≥ ≤ ∨ ≥ = − + − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ = > >

.

● Với ( )x 1 : 0 0 := ∗ ⇔ ≤ thỏa. Do đó, phương trình có một nghiệm x 1= .

● Với ( ) 5 5 3

3 1 3x 3 : log log 0 :

5 3 5= ∗ ⇔ + = ≤ không thỏa do

5 53

3log log 1 0

5> = .

● Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là x 1= .

www.MATHVN.com



Page - 117 -

Thí dụ 182. Giải bất phương trình: ( ) x

1 log 2000 2+ < ∗

Đại học Đà Nẵng năm 2000


( ) ( ) x x

2 1 log 2000 2 3 log 2000 1∗ ⇔ − < + < ⇔ − < < ∗ ∗

● Trường hợp 1: ( )

3

x 1

x 1 : x 200012000 x

x

>> ∗ ∗ ⇔ ⇔ > < <

.

● Trường hợp 2: ( ) 3

3

0 x 11

0 x 1 : 0 x12000 x 2000

x

< << < ∗ ∗ ⇔ ⇔ < < > >

.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( )3

1x 0; 2000;

2000

∈ ∪ +∞ .


( ) 2x 1

1 1log

4 2−> ∗

Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004


● Điều kiện: ( ) 2

0 x 1 1 x 0 x 1 x 2< − ≠ ⇔ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ .

( ) x 1

1 1 1log

2 4 2−∗ ⇔ >

( ) x 1 x 1

1log log x 1

4− −⇔ > − ∗ ∗

● Nếu x 1 1− > thì ( )1 x 1 1

x 14 1

x 1x 1 14

− > > − ∗ ∗ ⇔ ⇔ − < − >

(vô lí) ⇒ Không có x thỏa.

● Nếu 0 x 1 1< − < thì

( )31 0 x 1 1 0 xx 1 1 40 x 14 1 54x 10 x 1 1 x 24 4

< − < < < < − ∗ ∗ ⇔ ⇔ ⇔ < − < ⇔ − < < − < < <

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 3 5

x 0; ;24 4

∈ ∪ .

Thí dụ 184. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2xlog 4x 5 1+ ≤ ∗

Đại học Dân Lập Hùng Vương ban B năm 2000


www.MATHVN.com



Page - 118 -

● Điều kiện:

2 x 0 x 11 x 054x 5 0 x4

≠ ∨ ≠ ≠ > ⇔ ⇒ + > >−

Tập xác định: { }5

D ; \ 0;14

= − +∞ .

( ) ( )x

1log 4x 5 1

2∗ ⇔ + ≤

( ) x

log 4x 5 2⇔ + ≤

2 2

0 x 1 x 1

4x 5 x 4x 5 x

< < > ⇔ ∨ + ≥ + ≤

1 x 5

x 1 x 5

− ≤ ≤⇔ ≤ − ∨ ≤

.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm là: ( ) ( ) )5

x ; 1 1;0 0;1 5;4

∈ − − ∪ − ∪ ∪ +∞ .

Thí dụ 185. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )

21 xlog 1 x 1

−− ≥ ∗

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối B năm 2001



2

1 x 01 x 1

1 x 0x 0

1 x 1

− > − < < − > ⇔ ⇒ ≠ − ≠

Tập xác định : ( ) { }D 1;1 \ 0= − .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

1 x 1 xlog 1 x log 1 x

− −∗ ⇔ − ≥ −

( )( ) 2 21 x 1 1 x 1 x 0⇔ − − − − + ≥

( ) 2 2x x x 0⇔ − ≤

2x x 0⇔ − ≤

0 x 1⇔ ≤ ≤ .

● Kết hợp với tập xác định, tập nghiệm của bất phương trình là: ( )x 0;1∈ .


xlog 5x 8x 3 2− + > ∗




2

0 x 10 x 1 3x 0; 1;35x 8x 3 0 5x x 1

5

< ≠ < ≠ ⇔ ⇔ ∈ ∪ +∞ − + > < ∨ >

.

www.MATHVN.com



Page - 119 -

( )( )

2 2

2 2

3x 1;x 0;

55x 8x 3 x

5x 8x 3 x

∈ +∞∈ ∗ ⇔ ∨ − + > − + <

( )

3x 1;x 0;

51 3

1 3 x ; ;x ; 2 2

2 2

∈ +∞∈ ⇔ ∨ ∈ −∞ ∪ +∞ ∈

1 3 3

x ; x ;2 5 2

⇔ ∈ ∨ ∈ +∞ .

● Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 3 3

x ; ;2 5 2

∈ ∪ +∞ .

Thí dụ 187. Giải bất phương trình: ( ) x

5 xlg

5 x 02 3x 1

+

− < ∗− +

Đại học Luật – Đại học Xây Dựng Hà Nội năm 2000



5 x 5 x 505 x

x 1 x 32 3x 1 0

+ − < <> ⇔ ⇒ − ≠ ∨ ≠ − + ≠

Tập xác định: ( ) { }D 5;5 \ 1;3= − .

( ) x x

5 x 5 xlg 0 lg 0

5 x 5 x2 3x 1 0 2 3x 1 0

+ + > < ∗ ⇔ ∨ − − − + < − + >

x x

5 x 5 x1 1

5 x 5 x2 3x 1 2 3x 1

+ + > < ⇔ ∨ − − < + > +

2x 2x0 0

5 x 5 xx 1 x 3 1 x 3

> < ⇔ ∨ − − < ∨ > < <

0 x 5 x 0 x 5

x 1 x 3 1 x 3

< < < ∨ > ⇔ ∨ < ∨ > < <

.

● Kết hợp với tập xác định, tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( )x 5;0 1;3∈ − ∪ .

Thí dụ 188. Giải bất phương trình:

( ) ( )2 3

1 1

2 3

log x 3 log x 3

0x 1

+ − +

>+

( )∗

Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004


● Điều kiện: 3 x 1− < ≠ .

www.MATHVN.com



Page - 120 -

● Trường hợp 1. x 1 0

3 x 13 x 1

+ < ⇔ − < <−− < ≠

( )1 . Lúc đó:

( ) ( ) ( )1 1

2 3

2 log x 3 3 log x 3 0∗ ⇔ + − + <

( ) ( ) 2 3

2 log x 3 3 log x 3 0⇔ − + + + <

( ) ( ) 2 3 3

2 log 3.log x 3 3 log x 3 0⇔ − + + + <

( ) ( ) 3 2

log x 3 . 2 log 3 3 0⇔ + − + <

( ) ( ) 3 2

log x 3 0 do : 2 log 3 3 0⇔ + > − + <

x 3 1⇔ + >

x 2⇔ >− ( )2

( ) ( ) ( ) 1 , 2 x 2; 1⇒ ∈ − −

● Trường hợp 2. x 1 0

1 x 13 x 1

+ > ⇔ ≠ >−− < ≠

( )3 . Lúc đó:

( ) ( ) ( )1 1

2 3

2 log x 3 3 log x 3 0∗ ⇔ + − + >

( ) ( ) 2 3

2 log x 3 3 log x 3 0⇔ − + + + >

( ) ( ) 2 3 3

2 log 3.log x 3 3 log x 3 0⇔ − + + + >

( ) ( ) 3 2

log x 3 . 2 log 3 3 0⇔ + − + >

( ) ( ) 3 2

log x 3 0 do : 2 log 3 3 0⇔ + < − + <

x 3 1⇔ + <

x 2⇔ <− ( )4

( ) ( ) 3 , 4 x⇒ ∈∅ .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )x 2; 1∈ − − .

�� Nhận xét:

Khi giải bất phương trình loga có dạng tích số hay dạng thương, ta có thể chia ra từng

trường hợp về dấu của các thành phần để giải. Cụ thể, ta có một số dạng như sau:

� ( ) ( )( )( )

( )( )

f x 0 f x 0

f x .g x 0g x 0 g x 0

> < > ⇔ ∨ > <

.

( ) ( )( )( )

( )( )

f x 0 f x 0

f x .g x 0g x 0 g x 0

< > < ⇔ ∨ > <

.

www.MATHVN.com



Page - 121 -

� ( )( )

( )( )

( )( )

f x f x 0 f x 0

0g x 0 g x 0g x

> < > ⇔ ∨ > <

.

� ( )( )

( )( )

( )( )

f x f x 0 f x 0

0g x 0 g x 0g x

< > < ⇔ ∨ > <

.

Suy luận tương tự cho trường hợp có dấu " "= nhưng lưu ý, mẫu số khác 0 .


( ) 2

1133

1 1

log x 1log 2x 3x 1> ∗

+− +

Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 1998

● Nhận xét

Dạng tổng quát của bài toán là ( ) ( )a b

1 1

log f x log g x> .

— Tìm điều kiện xác định của phương trình.

— Xét dấu các mẫu thức.

— Nhân hai vế của bất phương trình với tích các mẫu thức.

— Dựa vào bảng xét dấu để giải bất phương trình.


● Điều kiện:

2

2

1x x 12x 3x 1 0

2 11 x , x 032x 3x 1 1 2x 0,x

2 3x 1 0x 1, xx 1

2x 1 1x 0

< ∨ > − + > − < < ≠− + ≠ ≠ ≠⇔ ⇔ + > > ≠ > − + ≠ ≠

.

( )( )2

33

1 1

log x 1log 2x 3x 1∗ ⇔ >

− +− − +

( )( )

233

1 11

log x 1log 2x 3x 1⇔ <

+− +

● Dựa vào điều kiện, ta có bảng xét dấu

x 1− 0

1

2 1

3

2

( )3log x 1+ − 0 + + +

23

log 2x 3x 1− + + 0 − − 0 +

● Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

Nếu 1 x 0 :− < < VT VP> ⇒ Bất phương trình vô nghiệm.

www.MATHVN.com



Page - 122 -

Nếu 1

0 x : VT VP2

< < < ⇒ Bất phương trình được thỏa.

Nếu 3

1 x : VT VP2

< < < ⇒ Bất phương trình được thỏa.

● Nếu 3

x2

> thì

( ) ( )2

3 31 log 2x 3x 1 log x 1⇔ − + > + ( ) ( )2

3 3

1log 2x 3x 1 log x 1

2⇔ − + > +

( ) ( ) 2

2

3 3log 2x 3x 1 log x 1⇔ − + > + ( )

222x 3x 1 x 1⇔ − + > + x 5⇔ > .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: ( )1 3

x 0; 1; 5;2 2

∈ ∪ ∪ +∞ .


( ) 2

1 22

1 10 1

log 2x 1 log x 3x 2+ >

− − +



● Điều kiện: ( )1 3 5

x ;1 2; \2 2

± ∈ ∪ +∞

.

( )( )2

22

1 11 0

log 2x 1log x 3x 2⇔ − >

−− +

( )

( )

2

2 2

2

2 2

log 2x 1 log x 3x 20

log 2x 1 .log x 3x 2

− − − +⇔ >

− − +

( )( )

( )

2 2

2

2 2

2x 1log

x 3x 2f x 0 2

log 2x 1 . log x 3x 2

−

− +⇔ = >

− − +

● Xét dấu của: ( )2log 2x 1−

( )2

1log 2x 1 0 0 2x 1 1 x 1

2− < ⇔ < − < ⇔ < < .

( )2log 2x 1 0 2x 1 1 x 1− > ⇔ − > ⇔ > .

● Xét dấu của: 2

2log x 3x 2− +

Khi 2

2log x 3x 2 0− + <

2x 3x 2 1⇔ − + <

3 5 3 5x

2 2

− +⇔ < < .

Khi 2

2log x 3x 2 0− + >

www.MATHVN.com



Page - 123 -

2x 3x 2 1⇔ − + > .

3 5 3 5x x

2 2

− +⇔ < ∨ > .

● Xét dấu của: 2 2

2x 1log

x 3x 2

−

− +

2 2 2

2x 1 2x 1 1 1 13log 0 0 1 x

2 6x 3x 2 x 3x 2

− − +< ⇔ < < ⇔ < <

− + − +.

2 2 2

2x 1 2x 1 1 13log 0 1 x

6x 3x 2 x 3x 2

− − +> ⇔ > ⇔ >

− + − +.

● Bảng xét dấu của ( )f x :

x −∞

1

2

1 13

6

+ 1 2

3 5

2

+ +∞

( )2log 2x 1− − − + +

2

2log x 3x 2− +

− − − +

2 2

2x 1log

x 3x 2

−

− +

− + + +

( )f x − + − +

● Do đó, tập nghiệm của ( )2 là 1 13 3 5

x ;1 ;6 2

+ + ∈ ∪ +∞ .

www.MATHVN.com



Page - 124 -



1/ ( )2 2log x log x 1 1+ − = . ĐS: x 2= .

2/ ( )3 3log 7 2 log x 2 2 + − =

. ĐS: x 5= .

3/ ( ) ( )2 2log x 2 log x 2 2+ − − = . ĐS: x 2 2= .

4/ ( ) ( )5 5 5log x log x 6 log x 2= + − + . ĐS: x 2= .

5/ ( ) ( )4 4 4log x 3 log x 1 2 log 8+ − − = − . ĐS: x 5= .

6/ ( ) ( )2

2 2log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = . ĐS: x 2= .

7/ ( ) ( )2 2

5

1log x 3 log x 1

log 2+ + − = . ĐS: x 2= .

8/ ( )ln x ln x 1 0+ + = . ĐS: 1 5

x2

− += .

9/ ( ) ( ) ( )2log x 2x 3 lg x 3 lg x 1+ − + + = − . ĐS: S = ∅ .

10/ lg 5x 4 lg x 1 2 lg 0,18− + + = + . ĐS: x 8= .

11/ ( ) 21log x 10 log x 2 log 4

2+ + = − . ĐS: x 5 x 5 2 5=− ∨ = − .

12/ 5 25 0,2

log x log x log 3+ = . ĐS: 3

1x

3= .

13/ ( )2 1

8

log x 2 6.log 3x 5 2− − − = . ĐS: x 3= .

14/ ( ) ( )5 1

5

log x 1 log x 2 0− − + = . ĐS: 13 1

x2

−= .

15/ ( ) ( )25 5 52 log 3x 11 log x 27 3 log 8− + − = + . ĐS: x 37= .

16/ 3

3

5 0,2 25log x log x log x 7+ + = . ĐS: x 25= .

17/ ( ) ( ) ( )2

5 1 5 1

5 25

log x 1 log 5 log x 2 2log x 2+ + = + − − . ĐS: 21

x2

= .

18/ ( )2

2 2

x 5log log x 25 0

x 5

−+ − =

+. ĐS: x 6= .

19/ ( ) ( )9 3log x 8 log x 26 2 0+ − + + = . ĐS: x 1 x 28= ∨ = .

Đại học Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ khối A, B năm 1999

20/ ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = . ĐS: x 16= .

www.MATHVN.com



Page - 125 -

21/ ( )4 2 4log x 3 log x 1 2 log 8+ − − = − . ĐS: x 5= .

22/ 3 13

3

log x log x log x 6+ + = . ĐS: x 27= .

23/ 2 4 8


24/ 3 9 27


25/ ( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2

log x 1 log x 1 1 log 7 x− + + = + − . ĐS: x 3= .

26/ 2 2 1

2

log x 2 log x 5 log 8 0− + + + = . ĐS: 3 17

x 3 x 6 x2

±=− ∨ = ∨ = .

27/ 1 2

2

x xlog 1 log 2 0

2 4

− + − = . ĐS: x 1= − .

28/ ( )2

9 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − . ĐS: x 1 x 4= ∨ = .

29/ ( )2

4 2 22 log x log x. log 2x 1 1= + − . ĐS: x 1 x 4= ∨ = .

30/ ( ) ( )2

3 32 log x 2 log x 4 0− + − = . ĐS: x 3 x 3 2= ∨ = + .

31/ ( )2

4

4 2

xlog log 4x 10 0

4

− + = . ĐS: x 1= ± .

32/ ( ) ( ) ( )2

9 3 3log x 1 log 4 x log 4 x+ = − + + . ĐS:

61 1x

21 69

x2

− = − =

.

33/ ( )3 4

1 333

log x log x log 3x 3+ + = . ĐS: x 3= .

Đại học Mở Hà Nội khối A, B, R, V, D4 năm 1999

34/ 3

3 2 3 2

3 x 1log .log x log log x

x 23− = + . ĐS:

3x 1 x

8= ∨ = .

35/ ( ) ( )2 3

4 82log x 1 2 log 4 x log x 4+ + = − + + . ĐS: x 2 x 2 2 6= ∨ = − .

36/ ( ) ( )2

5 25log 4x 13x 5 log 3x 1 0− + − − + = . ĐS:

15 97x

811 73

x8

− = + =

.

37/ ( ){ }4 3 2 2

1log 2 log 1 log 1 3 log x

2 + + =

. ĐS: x 2= .


www.MATHVN.com



Page - 126 -

1/ 2013 2014 2015

log x log x log x+ = . ĐS: x 1= .

2/ 2 3 5 2 3 5

log x log x log x log x.log x.log x+ + = . ĐS: 2 3

2

log 5 log 5 1

log 3

x 1

x 3

+ +±

= =

.

3/ 5 3 5 3

log x.log x log x log x= + . ĐS: x 1 x 15= ∨ = .

Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004

4/ ( ) ( ) ( )2 2 2

2 3 6log x x 1 .log x x 1 log x x 1− − + − = − − . ĐS: 6 6

log 2 log 2

x 1

3 3x

2

−

= + =

.


1/ ( )x

2log 9 2 3 x− = − . ĐS: x 0 x 3= ∨ = .

2/ ( )x 1

3log 3 26 2 x+ − = − . ĐS: x 2= .

3/ ( )x

7log 6 7 1 x−+ = + . ĐS: x 0= .

4/ ( )x 1

3log 4.3 1 2x 1− − = − . ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

5/ ( ) ( )5log 3 xx

2log 9 2 5

−− = . ĐS: x 0= .

6/ ( )x

2log 3.2 1 2x 1 0− − − = . ĐS: x 3 7= ± .

7/ ( )x

2log 12 2 5 x− = − . ĐS: x 3 x 2= ∨ = .

8/ ( )x

5log 26 3 2− = . ĐS: x 0= .

9/ ( )x 1 x

2log 5 25 2+ − = . ĐS: x 0= .

10/ ( )x 1

4log 3.2 5 x+ − = . ĐS:

2x 0 x log 5= ∨ = .

11/ ( )x 1 x

1

6

log 5 25 2+ − = − . ĐS: 5 5

x log 3 x log 2= ∨ = .

12/ ( )x 1 x

1

5

log 6 36 2+ − = . ĐS: 6

15 2 55x log

5

+= .

13/ ( ) ( )x 3 x 3

2 2log 25 1 2 log 5 1+ +− = + + . ĐS: x 2= − .

Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004


1/ ( )2

5 xlog x 2x 65 2

−− + = . ĐS: x 5= − .

2/ ( )2

x 1log x 4x 5 1

−− + = . ĐS: x 2 x 3= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 127 -

3/ ( )2

xlog 5x 8x 3 2− + = . ĐS:

1 3x x

2 2= ∨ = .

4/ ( )3 2

x 1log 2x 2x 3x 1 3

++ − + = . ĐS: x 3= .

5/ ( )x 3log x 1 2

−− = . ĐS: x 5= .

6/ ( )xlog x 2 2+ = . ĐS: x 2= .

7/ ( )2

2xlog x 5x 6 2− + = . ĐS:

97 5x

6

−= .

8/ ( )2

x 3log x x 1

+− = . ĐS: x 1 x 3= − ∨ = .

9/ ( )2

xlog 2x 7x 12 2− + = . ĐS: x 3 x 4= ∨ = .

10/ ( )2

xlog 2x 3x 4 2− − = . ĐS: x 4= .

11/ ( )2

xlog x 2 1− = . ĐS: x 2= .

12/ ( )2

3x 5log 9x 8x 2 2

++ + = . ĐS:

23x

22= − .

13/ ( )2

2x 4log x 1 1

++ = . ĐS: x 1 x 3= − ∨ = .

14/ x

15log 2

1 2x= −

−. ĐS:

1x

5= .

15/ ( )2xlog 3 2x 1− = . ĐS: x 3= − .

16/ ( )2x 3xlog x 3 1

++ = . ĐS: x 1= .

17/ ( )2

xlog 2x 5x 4 2− + = . ĐS: x 4= .

18/ 2 xxlog 16 log 64 3+ = . ĐS:

3x 4 4= .

19/ ( )2

x 3

1log 3 1 2x x

2+− − + = . ĐS:

5 3 9 29x x

2 2

− −= ∨ = .

Bộ đề Tuyển sinh Đại học (Đề 88 câu III1)

20/ ( )

( )( )

0,25

x 3

2

2 log 4 xlog 6 1

log x 3+

−+ =

+. ĐS: x 1 3= ± .


1/ ( )2

5log x x 0− < . ĐS:

1 5 1 5x ;0 1;

2 2

− + ∈ ∪ .

2/ 2

3

2x 3log 0

x 1

− ≥ + . ĐS:

3x ;4

2

∈

.

www.MATHVN.com



Page - 128 -

3/ 3

x 1log 0

x 2

−>

−. ĐS: ( )x 2;∈ +∞ .

4/ 2 1 9

9

log 1 log x log x 1 + − <

. ĐS: 1

x ;3

∈ +∞ .

5/ ( )21

2

1 log 2 x x 0+ + − > . ĐS: ( )x 1;0 1;2 ∈ − ∪ .

6/ ( )2 lg 5x 5 lg 5 x 1− > − + . ĐS: ( )x 3;5∈ .

7/ ( )( )

3

3

3

log 35 x3

log 5 x

−>

−. ĐS: ( )x 2;3∈ .

8/ 27 9 3

log x log x log x 11+ + > . ĐS: ( )x 729;∈ +∞ .

9/ 3 4

1 333

log x log x log 3x 3+ + > . ĐS: ( )x 3;∈ +∞ .

10/ ( )3

1 1

3 3

1log 1 x 1 log x

2+ − > . ĐS: ( ) ( )x 0;1 9;∈ ∪ +∞ .

11/ 2 2 2log x log x 1 log x 2

2 .3 .5 12− −

≥ . ĐS: )x 4;∈ +∞.

Đại học Thủy Sản Nha Trang năm 1999

12/ 3 1

2

log log x 0≥ . ĐS: 1

x 0;2

∈

.

13/ 2 1 5

3

log log log x 0> . ĐS: ( )3x 0; 5∈ .

14/ 2

0,5 6

x xlog log 0

x 4

+ < + .

15/ ( )2

1 4

3

log log x 5 0 − > .

16/ ( )1 2 x 1

2

log log log 9 0−

> .

17/ 1 2

3

1 2xlog log 0

1 x

+ > + . ĐS: ( )x 0;∈ +∞ .

18/ ( )2

1 4

3

log log x 5 0 − > .

19/ 3 0,2 32

x 1log log log 0

x 5

− ≤ + .

20/ 2

0,1 2

x 1log log 0

x 1

+<

−.

www.MATHVN.com



Page - 129 -

21/ ( )2 9log 1 2 log x 1− < . ĐS:

1x ;3

3

∈ .

1/ ( )1

2

1log 1 x

2− > .

22/ ( ) ( )3 3log 1 2x log 5x 2− ≥ − . ĐS:

2 3x ;

5 7

∈

.

23/ ( ) ( )2 2log 3x 4 log 5 2x+ > − . ĐS:

1 5x ;

5 2

∈ .

24/ ( ) ( )5 5log 1 x log x 3− < + . ĐS: ( )x 1;1∈ − .

25/ ( )0,3log x 5 x 1 0+ − + > . ĐS:

1 21x ;4

2

+ ∈ .

26/ ( )1 1

3 3

log 5 x log 3 x− < − .

27/ 2

3

1log x 9 x 1

3

− − + ≤− . ĐS:

41x ;

3

∈ +∞ .

28/ ( ) ( )2

1 1

3 3

log x 4 log x 2x 2+ < + − .

29/ ( ) ( )2 2log x 3 1 log x 1+ ≥ + − .

30/ ( ) ( )x 1 x 1

0,5 0,5log 9 1 2 log 3 7− −+ − > + . ĐS: ( )x ;1∈ −∞ .

Đại học Nông Nghiệp I năm 1999

31/ ( )0,4 0,4

x 7log log 5 x

2x 3

+< −

+.

32/ ( ) ( )7 7log 2 x log 3x 6− ≤ + . ĐS: ( )x 1;2∈ − .

33/ ( ) ( )8 1

8

22 log x 2 log x 3

3− + − > .

34/ ( ) ( )5 5log 1 2x 1 log x 1− < + + . ĐS:

2 14 6 1x ;

5 2

− ∈ .

35/ 3 4 1 1

3 4

4x 1 x 1log log log log

x 1 4x 1

− + < + − .

36/ 2 3 0,5 0,3

x 1 x 1log log log log

x 1 x 1

− + < + − .

37/ ( ) ( )2 2

1 5 3 1

3 5

log log x 1 x log log x 1 x+ + > + − .

www.MATHVN.com



Page - 130 -

38/ ( ) ( )2 2

1 7 4 1

4 7

log log x 1 x log log x 1 x + + < + −

.

39/ ( )2

1 3 2 23

27log 9x x 3 log 3

9x x 5 x− + > −

− + −.

40/ ( )2

3 1 1

3 3

1log x 5x 6 log x 2 log x 3

2− + + − > + . ĐS: ( )x 10;∈ +∞ .

41/ ( )2

2 1 22

2log x 4x 3 log 1

x 4x x 1 1− + > +

− + + +. ĐS:


1/ 2x

log 2x 1≥ . ĐS: (x 1;2∈ .

Đại học An Giang khối D năm 2001

2/ x

1log x 2

4

− ≥ . ĐS:

1x ;1

4

∈ .

3/ x 2

3x 1log 0

x 1

−>

+.

4/ x

3x 2log 1

x 2

+>

+. ĐS: ( )x 1;2∈ .

Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 2001

5/ x

2x 1log 1

x 1

−>

−. ĐS:

3 5 1 3 5; 1;

2 2 2

− + ∪ .

Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1995

6/ 2

2

x 2x 1

1log 2x 2x 1

2− +− − < . ĐS:

1 3 1 31; 1;

3 3

− + − ∪ .

Đại học Xây Dựng năm 1996

7/ ( )x

x 3log log 9 72 1 − ≤

. ĐS: ( 3x log 6 2;2∈

.


8/ ( )x

x 4log log 2 4 1− ≤ .

9/ ( )23x xlog 3 x 1

−− > . ĐS:

3 5 3 5;1 ;3

2 2

− + ∪ .

Bộ Đề Tuyển Sinh Đại học (Đề 90 câu II)

10/ ( )2

x

5

log x 8x 16 0− + ≥ .

www.MATHVN.com



Page - 131 -

11/ ( )2

xlog x x 2 1+ − > . ĐS: ( )x 2;∈ +∞ .

12/ ( )2

2xlog x 5x 6 1− + < . ĐS: ( ) ( )x 1;2 3;6∈ ∪ .

13/ x x

3

log 3 log 3< . ĐS: ( ) ( )x 0;1 3;∈ ∪ +∞ .

14/ ( ) ( )2

x xlog 3x 1 log x 1− > + . ĐS: { }

1x ;2 \ 1

3

∈ .

15/ ( ) ( )2x 1 x 1log x 1 log x 1

− −+ > + .

16/ ( )2

xlog 5x 8x 3 2− + > . ĐS:

1 3 3x ; ;

2 5 2

∈ ∪ +∞ .

17/ ( )2

2

9xlog 6 2x x 4+ − ≥ .

18/ x

log 20 x 1− > .

19/ ( )2

x 1log x x 6 0

++ − ≥ .

20/ ( )x

22x

5log 05 1 x

+>

−.

21/ ( )x

4x 1log 0

6 x 1

+<

+.

22/ 2

x

xlog x 1

2

− > .

23/ 2x

4x 5 1log

2x 2

−≥

−. ĐS: ( )x 2;5 6 1;2∈ ∪ −

.

24/ 3x

x 5 1log

6x 3

−≥− . ĐS: ( ) )x 0;1 11;∈ ∪ +∞

.

25/ ( )23x xlog 3 x 1

−− > . ĐS:

3 5 3 5;1 ;

2 2

− + ∪ +∞ .

26/ ( ) x 1x 2 x

log 2 log 2++ −

≤ . ĐS: 2 3 3

x 0;3

− ∈ .


1/ 2 3 2 3

log x log x 1 log x. log x+ < + . ĐS: ( ) ( )x 0;2 3;∈ ∪ +∞ .

Đại học Ngoại Thương năm 1998

www.MATHVN.com



Page - 132 -

2/ ( )2

1

2014

x log x x 1 0+ + > . ĐS: ( )x ; 1∈ −∞ − .

3/ ( )2

1

2

x 4 log x 0− > . ĐS: ( )x 1;2∈ .

4/ ( )2

log x 10

x 1

+>

−. ĐS: ( ) ( )x 1;0 1;∈ − ∪ +∞ .

5/ ( )2

log x 10

x 3

−≤

−. ĐS: )x 2;3∈

.

6/ ( )

2

2

1

2

x 40

log x 1

−<

−.

7/ ( )2

2

log x 30

x 25

−>

−.

8/ ( ) ( )4x 1 log x 4 0+ + < .

9/ ( ) ( )1

7

x 3 log x 8 0− + ≥ .

10/

( )1

2

1 log x

02 6x

− −

<−

.

11/ ( )

2

x 50

log x 4 1

−≥

− −. ĐS: ( )x 5 x 4 2;= ∨ ∈ + +∞ .

12/ ( )2

2x 4x log 1 x 3 0 − − − <

.

13/ 2

3

x 14 x . 2 log 0

x

+ − + ≤ .

14/ ( ) ( )2

34x 16x 7 log x 3 0− + − > . ĐS: ( )

7x 3; 4;

2

∈ − ∪ +∞ .

Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1999

15/ ( ) ( )x x

24 12.2 32 log 2x 1 1− + − ≤ . ĐS: (x ;1 2;3 ∈ −∞ ∪

.

Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1998

16/ ( ) ( )2

25 5 1

5

12 log x 1 log .log x 1

2x 1 1

− ≥ − − −. ĐS: x 2;5 ∈

.

Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1999 (hệ chưa phân ban)

17/ ( )4

4

1 1

x 1log x 3log

x 2

>++

+

.

www.MATHVN.com



Page - 133 -

18/ ( )2

33

1 1

log x 1log 2x 3x 1>

+− +. ĐS: ( )

3x 1;0 ;5

2

∈ − ∪ .

Đại học Nông Nghiệp I năm 1995

19/ x 2 x x 1

log 2 log 2+ − +

≤ . ĐS:

1x

42 3

0 x 13

>< ≤ −

.

Học Viện Kĩ Thuật Quân Sự năm 1998

20/ ( )

2

2

2

log x 30

x 4x 5

−≥

− −.

21/ ( )( )

3

2

log x 20

log x 3

+<

+.

22/ 2

2

2

log x 32

log x 3

+>

+. ĐS:

1 1x ;

8 2

∈ .

Cao đẳng Kinh Tế Kĩ Thuật Công Nghiệp II năm 2004

23/

( )1

3

2

3

3 log 15 2x

01

log 2x2

+ −

≤

−

.

24/ ( )( )

2lg x 11

lg 1 x

−<

−.

25/ 3

2

7

4log x

50

7log x 2x

16

+ <

− +

.

26/ ( ) ( )

82 2

2 3

2

log x 2x 7 log x 2x 70

3x 13x 4

− − − − −≤

− +.

27/ ( ) ( )

2 32 2

5 11

2


3x 5x 2

− − − − −≥

− − +. ĐS: ( ) ( ) ); 2 2;2 15 6;−∞− ∪− − ∪ +∞ .

28/ ( ) ( )

2 3

2 3

2

log x 1 log x 10

x 3x 4

+ − +>

− −. ĐS: ( ) ( )x 1;0 4;∈ − ∪ +∞ .


29/

( ) ( )2

1 1

7 7

log 3x 8 log x 4

010 x

− − +

≥−

.

www.MATHVN.com



Page - 134 -

30/ ( )2x 4 2log 8 log x log 2x 0+ ≥ . ĐS: ( )

1x 0; 1;

2

∈ ∪ +∞

.

Bài tập 59. Giải phương trình: ( )4 2

2x 1

1 1log x 1 log x 2

log 4 2+

− + = + + .

ĐS: 5

x2

= .

Bài tập 60. Giải phương trình: x 2x 2x

log 2 2 log 4 log 8+ = .

ĐS: x 2= .

Bài tập 61. Giải phương trình: ( ) ( )3

1 822

log x 1 log 3 x log x 1 0+ − − − − = .

ĐS: 17 1

x2

+= .

Bài tập 62. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2

2 1 4 1

4 2

log x log x 2x 1 log x 4x 4 log x 1 0+ − + − − + − − = .

ĐS: x 4= .

Bài tập 63. Giải phương trình: ( ) ( )35 52 log 3x 1 1 log 2x 1− + = + .

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa

ĐS: x 2= .

Bài tập 64. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )8

4 82

1 1log x 3 log x 1 3 log 4x

2 4+ + − = .

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần 1 – THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh

ĐS: x 3 x 2 3 3= ∨ = − .


3 3log x 1 log 2x 1 2− + − = .

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Long Châu Sa – Phú Thọ

ĐS: x 2= .

Bài tập 66. Giải phương trình: ( ) ( )2 3

9 273 3log x 1 log 2 log 4 x log x 4+ + = − + + .

Đề thi thử Đại học 2009 khối A – THPT Nguyễn Trung Ngạn

ĐS: x 2 x 2 2 6= ∨ = − .


2 1 8

2

1log x 1 log x 4 log 3 x

2− + + = − .

Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Bố Hạ – Bắc Giang

ĐS: x 11 x 14 1=− ∨ = − .

Bài tập 68. Giải phương trình: log log log2 3

1 81 9

3

x 20 x 40 x 7 0− + + = .

www.MATHVN.com



Page - 135 -

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A, A1 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

ĐS: x 3= .

Bài tập 69. Giải phương trình: ( )( )

2

4

3 4x 2

2

1log 9 4x 2

log 3 4x−− = +

−.

ĐS: 1

x2

= ± .


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

1 2 2x 1 2 2 22

log 5 2x log 5 2x .log 5 2x log 2x 5 log 2x 1 .log 5 2x+

− + − − = − + + − .

Đề thi thử lần 1 khối A, B năm 2011 – THPT Nguyễn Trung Thiên

ĐS: 1 1

x x x 24 2

=− ∨ = ∨ = .

Bài tập 71. Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2log 3x 1 6 1 log 7 10 x+ + − ≥ − − .

Đề thi thử Đại học năm 2012 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam

ĐS: 369

x 1;49

∈

.

Bài tập 72. Giải bất phương trình: ( )2 2

2 2log x 3 x 1 2 log x 0+ − − + ≤ .


ĐS: ( )x 0;1∈ .


2

1 2

2

1 1log 2x 3x 1 log x 1

2 2− + + − ≥ .

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối D lần 2 – THPT Ninh Giang – Hải Dương

ĐS: 1 1

x ;3 2

∈

.

Bài tập 74. Giải bất phương trình: ( )x

x 3log log 9 72 1 − ≤

.

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Liên Hà – Hà Nội

ĐS: ( 9

x log 72; 2∈ .

Bài tập 75. Giải bất phương trình: ( )x x

3log 16 2.12 2x 1− ≤ + .

Đề thi thử Đại học năm 2009 lần 2 – THPT Cao Lãnh 2 – Đồng Tháp

ĐS: 4

3

x 1; log 3 ∈

.


2 1

2

1log 4x 4x 1 2x 2 (x 2)log x

2

− + − > − + − .

www.MATHVN.com



Page - 136 -

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh

ĐS: ( )1 1

x ;0 ;4 2

∈ −∞ ∪ .

Bài tập 77. Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2

1 5 3 1

3 5


Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A, B – THPT chuyên Lê Quý Đôn – lần 2

ĐS: 12

x 0;5

∈ .

Bài tập 78. Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2 21 log x log x 2 log 6 x+ + + > − .

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối D – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng

ĐS: ( ) ( )x ; 18 2;∈ −∞ − ∪ +∞ .

Bài tập 79. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2x 3 log x 2 x 3 log x 11 2 − − < − + +

.

HSG tỉnh Hưng Yên – Khối 12 – năm học 2008 – 2009

Bài tập 80. Giải bất phương trình: 1 2

3

2x 3log log 0

x 1

+ > + .

Đề thi thử Đại học số 1 năm 2013 khối A – Tuổi trẻ online

ĐS: ( )x ;2∈ −∞ .


1 5 3 1

3 5


Đề thi thử Đại học năm 2010 khối A, B lần 2 – THPT chuyên Lê Quý Đôn

ĐS: 12

x 0;5

∈ .

Bài tập 82. Giải bất phương trình: ( ) ( )3

3 1 1

3 3

1log x x 4 log 2 x 1 log

2+ + + + ≥ .

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần 1 – THPT Lê Hữu Trát

ĐS: x 0;1 ∈ .

Bài tập 83. Giải bất phương trình: ( ) ( )

2 3

3 4

2

log x 1 log x 10

x 5x 6

+ − +>

− −.

Đề thi thử Đại học khối B, D năm 2011 – THPT Lê Văn Hưu – Thanh Hóa

ĐS: ( )x 0;6∈ .

Bài tập 84. Giải bất phương trình: ( ) ( )

22 2

5 11

2


2 5x 3x

− + − − +≥

− −.

www.MATHVN.com



Page - 137 -

ĐS: ( ) ( ) )x ;2 2;2 15 6;∈ −∞ ∪ − − ∪ +∞ .

Bài tập 85. Giải bất phương trình: ( )x 1

x x 22

4 2.2 3 . log x 3 4 4x+

− − − > − .

Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

ĐS: ( )2

1x 0; log 3;

2

∈ ∪ +∞ .

Bài tập 86. Giải bất phương trình: ( )( )

2

2

2

log x 9x 82

log 3 x

− +<

−.

Đại học Tổng Hợp năm 1994

ĐS: 1

x ;13

∈ − .

Bài tập 87. Giải bất phương trình: ( )2lg x 3x 2

0lg x lg2

− +>

+.


ĐS: 1 33 3

x ;2 6

− ∈ .


x 3log 5x 18x 16 2− + > .

Đại học Thương Mại năm 1997

ĐS: 3

x 8 x 13

> ∨ < < .

www.MATHVN.com



Page - 138 -

��


Thông thường, ta đi tìm mối liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ, đưa về phương trình (bất phương trình) đại số hoặc hệ phương trình đại số mà đã biết cách giải. Từ đó, tìm ra được nghiệm.

Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn phụ, tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện đúng và tìm điều kiện thừa.


�� Các thí dụ về giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ


2 2log x 4 log x 3 0− + = ∗



● Đặt 2

t log x= .

( ) 2t 4t 3 0∗ ⇔ − + =

2

2

t log x 1

t log x 3

= =⇔ = =

x 2

x 8

=⇔ =

.

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x 2 x 8= ∨ = .


15 log x 1 log x

+ = ∗− +



1

x 0x 0 x 0

5 log x 0 log x 5 x 10

log x 1 0 log x 1 1x 10

10−

>> > − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ≠ ≠ − ≠ =

.

● Đặt t log x= .

( ) 1 21

5 t 1 t∗ ⇔ + =

− +

2t 5t 6 0⇔ − + =

Dạng 2. Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

www.MATHVN.com



Page - 139 -

t log x 3

t log x 2

= =⇔ = =

3

2

x 10 1000

x 10 100

= =⇔ = =

.


Thí dụ 193. Giải phương trình: ( ) x 4

7log 2 log x 0

6− + = ∗

Đại học Ngoại Ngữ năm 1999 (hệ chưa phân ban)


● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) ( ) 2

2

1 1 7log x 0 1

log x 2 6∗ ⇔ − + =

● Đặt 2

t log x 0= ≠ .

( )1 t 7

1 0t 2 6

⇔ − + =

23t 7t 6 0⇔ − + + =

2

2

2t log x

3t log x 3

= = −⇔= =

2

3

3

1x 2

4x 8

− = =⇔ =

.


1x x 8

4= ∨ = .

Thí dụ 194. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 9x

3

42 log x .log 3 1

1 log x− − = ∗

−


● Điều kiện:

10 x

9x 3

< ≠ ≠

.

( ) 3

3 3

2 log x 41

log 9x 1 log x

−∗ ⇔ − =

−

( ) 3

3 3

2 log x 41 1

2 log x 1 log x

−⇔ − =

+ −

● Đặt 3

t log x, t 2, t 1= ∀ ≠ − ≠ .

www.MATHVN.com



Page - 140 -

( ) 2 t 41 1

2 t 1 t

−⇔ − =

+ −

2t 3t 4 0⇔ − − =

3

3

t log x 1

t log x 4

= = −⇔ = =

4

1x

3x 3 81

=⇔= =

.


x x 813

= ∨ = .


3 3log x log x 1 5 0+ + − = ∗



● Đặt 2 2 2 2 2

3 3 3t log x 1 1 t log x 1 log x t 1= + > ⇒ = + ⇒ = − .

( ) 2t t 6 0∗ ⇔ + − =

( )

2

3

2

3

t log x 1 3 L

t log x 1 2

= + = −

⇔ = + =

2

3log x 1 4⇔ + =

3

log x 3⇔ = ±

3x 3±⇔ = .

● Vậy phương trình có hai nghiệm: 3 3x 3 x 3−= ∨ = .


2 log xx 8+

= ∗

Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2006


● Điều kiện: x 0> và x 1≠ .

( ) 2

2 x2 log x log 8∗ ⇔ + =

2

2 xlog x 3. log 2 2 0⇔ − + =

2

2

2

1log x 3. 2 0

log x⇔ − + =

2

2

t log x 0

3t 2 0

t

= ≠⇔ − + =

www.MATHVN.com



Page - 141 -

2

3

t log x 0

t 2t 3 0

= ≠⇔ + − =

2

t log x 1⇔ = =

x 2⇔ = .

● So với điều kiện, phương trình có một nghiệm x 2= .


2 2

4log x log x

3+ = ∗

Đại học Công Đoàn năm 2000

● Điều kiện:

3 x 0x 0

x 0

> ⇔ > ⇒ >


( ) 32 2

1 4log x log x 0

3 3∗ ⇔ + − =

332 2

3

t log x t log x

1 4t t 0

3 3

= ⇒ =⇔ + − =

3

2log x t

t 1

=⇔ =

x 2⇔ = .

● So với tập xác định, nghiệm của phương trình là x 2= .


2

4 4 42 log x x 3 log x 1 2 log x 4− + − − = ∗

Đề thi thử Đại học khối A lần 3 năm 2013 – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh


● Điều kiện:

( )

2

2

4

x x 0

x 1, x 0 x 2

log x 1 0

− ≥ ≠ > ⇔ ≥ − ≥

.

( ) ( ) ( )4 4 42 log x x 1 3 2 log x 1 2 log x 4 0 ∗ ⇔ − + − − − =

( ) ( ) 4 4 4 4

2 log x log x 1 3 2 log x 1 2 log x 4 0 ⇔ + − + − − − =

( ) ( ) 4 4

2 log x 1 3 2 log x 1 4 0⇔ − + − − =

( ) ( )

2

4 4

2

t 2 log x 1 0 t 2 log x 1

t 3t 4 0

= − ≥ ⇒ = −⇔ + − =

( )

4t 2 log x 1 0

t 1 t 4

= − ≥⇔ = ∨ = −

www.MATHVN.com



Page - 142 -

( ) 4

2 log x 1 1⇔ − =

( ) 4

2 log x 1 1⇔ − =

( ) 4

1log x 1

2⇔ − =

1

2x 1 4⇔ − =

x 3⇔ = .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 3= .

Thí dụ 199. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x x 1

2 2log 2 1 .log 2 2 2++ + = ∗



( ) ( ) ( )x x

2 2log 2 1 . log 2.2 2 2∗ ⇔ + + =

( ) ( ) x x

2 2log 2 1 . log 2. 2 1 2 ⇔ + + =

( ) ( ) x x

2 2log 2 1 . 1 log 2 1 2 ⇔ + + + =

( ) ( ) ( ) 2

x x

2 2log 2 1 log 2 1 2 0 1 ⇔ + + + − =

● Đặt ( )x

2t log 2 1= + .

( ) 21 t t 2 0⇔ + − =

( )( )

x

2

x

2

t log 2 1 1

t log 2 1 2

= + =⇔

= + = −

x

x 2

2 1 2

2 1 2−

+ =⇔ + =

( )

x

x

2 1

32 L

4

=⇔ = −

x 0⇔ = .


Thí dụ 200. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x x 1

2 2log 2 1 .log 2 2 6++ + = ∗

Cao đẳng Hóa Chất năm 2004



( ) ( ) ( )x x

2 2log 2 1 .log 2. 2 1 6 ∗ ⇔ + + =

www.MATHVN.com



Page - 143 -

( ) ( ) x x

2 2log 2 1 . 1 log 2 1 6 0 ⇔ + + + − =

( )( )

x

2t log 2 1 0

t 1 t 6 0

= + >⇔ + − =

2

t 0

t t 6 0

>⇔ + − =

( )

t 0

t 2 t 3 L

>⇔ = ∨ = −

t 2⇔ =

( ) x

2log 2 1 2⇔ + =

x2 1 4⇔ + =

x2 3⇔ =

2

x log 3⇔ = .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 2

x log 3= .

Thí dụ 201. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) x x 13 3

log 3 1 .log 3 3 2++ + = ∗

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Nghệ An khối A năm 2006



( ) ( ) ( )x x3 3

log 3 1 .log 3. 3 1 2 ∗ ⇔ + + =

( ) ( ) x x

3 3log 3 1 . 1 log 3 1 2 ⇔ + + + =

( )( )

x3

t log 3 1 0

t. t 1 2

= + >⇔ + =

( )

x3

2

t log 3 1 0

t t 2 0

= + >⇔ + − =

( )

x3

t log 3 1

t 1 t 2

= +⇔ = ∨ = −

( ) x3

log 3 1 1⇔ + =

x3 1 3⇔ + = .

3

x log 2⇔ = .

● Vậy nghiệm của phương trình là 3

x log 2= .

www.MATHVN.com



Page - 144 -


4 2lg x 1 lg x 1 25− + − = ∗




( )

2

3

x 1 0 x 1 0x 1

x 1 0x 1 0

− > − ≠ ⇔ ⇔ > ⇒ − >− >

Tập xác định ( )D 1;= +∞ .

( ) ( )4 2

2 lg x 1 3 lg x 1 25 0 ∗ ⇔ − + − − =

( ) ( ) 4 216 lg x 1 9 lg x 1 25 0⇔ − + − − =

( )

2

2

16t 9t 25 0

t lg x 1 0

+ − =⇔ = − >

( )( )

2

25t 1 t L

16t lg x 1 0

= ∨ = −⇔ = − >

( ) 2lg x 1 1⇔ − =

( ) ( ) lg x 1 1 lg x 1 1⇔ − = ∨ − = −

11

x 11 x10

⇔ = ∨ =

● Kết hợp tập xác định, phương trình có hai nghiệm: 11

x 11 x10

= ∨ = .

Thí dụ 203. Giải phương trình: ( ) 2 20,5 2 x

log x log x log 4x+ = ∗

Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối B năm 2006


● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) ( )2

2 2 x xlog x 2 log x log 4 log x∗ ⇔ − + = +

22 2

4

1log x 2 log x 1 0

log x⇔ + − − =

22 2

2

2log x 2 log x 1 0

log x⇔ + − − =

2

3 2

t log x 0

t 2t t 2 0

= ≠⇔ + − − =

2t log x 0

t 1 t 1 t 2

= ≠⇔ = ∨ = − ∨ = −

www.MATHVN.com



Page - 145 -

2 2 2

log x 1 log x 1 log x 2⇔ = ∨ =− ∨ = −

1 1

x 2 x x2 4

⇔ = ∨ = ∨ = .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là 1 1

x x x 24 2

= ∨ = ∨ = .

Thí dụ 204. Giải phương trình: ( ) 9 x

4 log x log 3 3+ = ∗

Đại học Dân lập Kỹ Thuật Công Nghệ năm 1998


● Điều kiện: 0 x 1< ≠ ⇒ Tập xác định: ( ) { }D 0; \ 1= +∞ .

( ) 3

3

12 log x 3 0

log x∗ ⇔ + − =

3

2

t log x 0

2t 3t 1 0

= ≠⇔ − + =

3

3

t log x 1

1t log x

2

= =⇔ = =

x 3

x 3

=⇔ =

.

● So với tập xác định, nghiệm của phương trình là x 3 x 3= ∨ = .

Thí dụ 205. Giải phương trình: ( ) ( ) 2x x 2log 2 x log x 2

++ + = ∗

Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2001


● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) ( )x x 2

1log 2 x log x 2

2 +∗ ⇔ + + =

x

x

1log x 2 2 0

log x 2⇔ + + − =

+

x

t log x 2 0

1t 2 0

t

= + ≠⇔ + − =

x

2

t log x 2 0

t 2t 1 0

= + ≠⇔ − + =

x

t log x 2 1⇔ = + =

www.MATHVN.com



Page - 146 -

x 2 x⇔ + =

2

x 0

x 2 x

≥⇔ + =

2

x 0

x x 2 0

≥⇔ − − =

x 2⇔ = .



2

2x 2x

1log x log x

2+ = ∗

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh


● Điều kiện: 31 4

0 x; x ; x2 2

< ≠ ≠ .

( ) 2 3

x x

1 1 1

2log 2x log 2x∗ ⇔ + = (do x 1= không là nghiệm phương trình)

( )

2

xx

1 1 1

3 log 2 21 log 2⇔ + =

++

( )

( )

x

2

t log 2, t 1, t 3

1 1 1

3 t 21 t

= ≠ − ≠ −⇔ + = + +

( ) x

3 2

t log 2, t 1, t 3

t 3t t 5 0

= ≠ − ≠ −⇔ + + − =

2

t log x 1⇔ = =

x 2⇔ = .


Thí dụ 207. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

2x 33x 7log 9 12x 4x log 6x 23x 21 4

+++ + + + + = ∗

Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 2001


● Điều kiện:

( )( )( )

2

2

72 x1 3x 7 0 3

31 2x 3 0 31 x 1 x29 12x 4x 0 2

2x 3 06x 23x 21 0

2x 3 3x 7 0

− ≠ >− ≠ + > ≠ + > − ≠ >−⇔ ⇔ − ≠ >− + + > + > + + > + + >

.

www.MATHVN.com



Page - 147 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

3x 7 2x 3log 2x 3 log 2x 3 3x 7 4

+ +∗ ⇔ + + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3x 7 2x 3 2x 3

2 log 2x 3 log 2x 3 log 3x 7 4+ + +

⇔ + + + + + =

( ) ( )( ) ( )

3x 7

3x 7

12 log 2x 3 3 0

log 2x 3+

+

⇔ + + − =+

( ) ( )

3x 7t log 2x 3 0

12t 3 0

t

+ = + ≠⇔ + − =

( ) ( )

3x 7

2

t log 2x 3 0

2t 3t 1 0

+ = + ≠⇔ − + =

( ) ( ) ( ) ( ) 3x 7 3x 7

1t log 2x 3 1 t log 2x 3

2+ +⇔ = + = ∨ = + =

2x 3 3x 7 3x 7 2x 3⇔ + = + ∨ + = +

( ) 2

2x 3 0x 4 L

9 12x 4x 3x 7

+ ≥⇔ =− ∨ + + = +

3x

21

x 2 x4

≥ −⇔ = − ∨ = −

1x

4⇔ =− .


x4

=− .

Các thí dụ về giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Thí dụ 208. Giải bất phương trình: ( ) 5 x

2 log x log 125 1− < ∗



● Điều kiện: 0 x 1< ≠ .

( ) 5

125

12 log x 1 0

log x∗ ⇔ − − <

5

5

32 log x 1 0

log x⇔ − − <

5

2

t log x 0

2t t 30

t

= ≠⇔ − − <

www.MATHVN.com



Page - 148 -

5t log x

3t 1 0 t

2

=⇔ <− ∨ < <

5 5

3log x 1 0 log x

2⇔ <− ∨ < <

1

x 1 x 5 55

⇔ < ∨ < < .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: ( )1x 0; 1;5 5

5

∈ ∪ .

Thí dụ 209. Giải bất phương trình: ( ) 3 3x

log x log 27 3+ ≤ ∗



0 3x 1 0 x3

< ≠ ⇔ < ≠ .

( )( )3

3

3

log 27log x 3

log 3x∗ ⇔ + ≤

( ) 3

3

3log x 3 1

1 log x⇔ + ≤

+

● Đặt 3

t log x 1= ≠− .

( ) 31 t 3

1 t⇔ + ≤

+

2t 2t

01 t

−⇔ ≤

+

( )( )

2

t 1

t 2t 1 t 0

≠⇔ − + ≤

t 1

0 t 2

≤ −⇔ ≤ ≤

3

3

log x 1

0 log x 2

< −⇔ ≤ ≤

3 3

3 3 3

1log x log

3log 1 log x log 9

<⇔

≤ ≤

1x

31 x 9

<⇔≤ ≤

.

www.MATHVN.com



Page - 149 -

● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 1

x 0; 1;03

∈ ∪ .

Thí dụ 210. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 x 1

5log x 1 log 2

2++ + ≥ ∗

Cao đẳng SP Hà Nam khối B năm 2005 – Cao đẳng SP Lai Châu khối B năm 2005


x 1 1 x 0

+ > >− ⇔ + ≠ ≠

.

( ) ( )( )2

2

1 5log x 1 0

2log x 1∗ ⇔ + + − ≥

+

( )

2t log x 1 0

1 5t 0

t 2

= + ≠⇔ + − ≥

( )

22

t log x 1 0

2t 5t 2 0

= + ≠⇔ − + ≥

( )

2t log x 1 0

1t t 2

2

= + ≠⇔ ≤ ∨ ≥

( ) ( ) 2 2

1log x 1 log x 1 2

2⇔ + ≤ ∨ + ≥

( ) ( ) 2 2

1log x 1 log x 1 2

2⇔ + ≤ ∨ + ≥

122x 1 2 x 1 2⇔ + ≤ ∨ + ≥

x 2 1 x 3⇔ ≤ − ∨ ≥ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm là: ( ) ( ) { }x 1; 2 1 3; \ 0∈ − − ∪ +∞ .

Thí dụ 211. Giải bất phương trình: ( ) ( ) x

x4 1

4

3 1 3log 3 1 . log

16 4

−− ≤ ∗

Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2006


● Điều kiện: x x3 1 0 3 1 x 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ > .

( ) ( ) ( )x x4 4 4

3log 3 1 . log 3 1 log 16 0

4

∗ ⇔ − − − + − ≤

( ) ( ) 2 x x4 4

3log 3 1 2 log 3 1 0

4⇔− − + − − ≤

www.MATHVN.com



Page - 150 -

( )

x4

2

t log 3 1

4t 8t 3 0

= −⇔ − + ≤

( )

x4

t log 3 1

1 3t t

2 2

= −⇔ ≤ ∨ ≥

( ) ( ) x x4 4

1 3log 3 1 log 3 1

2 2⇔ − ≤ ∨ − ≥

x x3 1 2 3 1 8⇔ − ≤ ∨ − ≥

x x3 3 3 9⇔ ≤ ∨ ≥

x 1 x 2⇔ ≤ ∨ ≥ .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là ( )x 0;1 2; ∈ ∪ +∞ .


22

2

log x 32

log x 3

+> ∗

+

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004


● Điều kiện: 2 2

x 0x 0 x 01log x 3 0 log x 3 x8

> > > ⇔ ⇔ + ≠ ≠ − ≠

.

( )2

2

2

log x 32 0

log x 3

+∗ ⇔ − >

+

2

2 2

2

log x 2 log x 30

log x 3

− −⇔ >

+

2

2

t log x

t 2t 30

t 3

=⇔ − − > +

2t log x

3 t 1 t 3

=⇔ − < <− ∨ >

2 2

3 log x 1 log x 3⇔− < <− ∨ >

1 1

x x 88 2

⇔ < < ∨ >

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là ( )1 1

x ; 8;8 2

∈ ∪ +∞ .

Thí dụ 213. Giải bất phương trình: ( ) 2 2x

log x log 8 4+ ≤ ∗

Đại học Y Thái Bình năm 2000

www.MATHVN.com



Page - 151 -


● Điều kiện: x 0 1

0 x0 2x 1 2

> ⇔ < ≠ ⇒ < ≠

Tập xác định: ( )1

D 0; \2

= +∞

.

( ) 2

8

1log x 4 0

log 2x∗ ⇔ + − ≤

( )

2

2

1log x 4 0

11 log x

3

⇔ + − ≤

+

2

2

t 3t 10

t 1t log x

− − ≤⇔ + =

2

3 13 3 13t 1 t

2 2t log x

− + <− ∨ ≤ ≤⇔ =

2

2

log x 1

3 13 3 13log x

2 2

< −⇔ − + ≤ ≤

3 13 3 13

2 21

x 2 x 22

− +

⇔ < ∨ ≤ ≤ .

● Kết hợp với tập xác định, tập nghiệm của hệ là 3 13 3 13

2 21

x 0; 2 ; 22

− + ∈ ∪ .

Thí dụ 214. Giải và biện luận bất phương trình: ( ) 2 2a a aa a

1log log x log log x log 2

2+ ≥ ∗

Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 2001



● Cơ số a phải thỏa mãn điều kiện: 0 a 1< ≠ .

( ) a a a a a

1 1 1log .log x log log x log 2

2 2 2

∗ ⇔ + ≥

a a a a a a

1 1 1log log log x log log x log 2

2 2 2⇔ + + ≥

a a a a

1 3 1log log log x log 2

2 2 2⇔− + ≥

a a a

3 3log log x log 2

2 2⇔ ≥

( ) a a a

log log x log 2⇔ ≥ ∗ ∗

www.MATHVN.com



Page - 152 -

● Nếu ( ) 2

a0 a 1 : 0 log x 2 a x 1< < ∗ ∗ ⇔ < ≤ ⇔ ≤ < .

● Nếu ( ) 2

aa 1 : log x 2 x a> ∗ ∗ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .

Thí dụ 215. Giải phương trình: ( ) 2 3 2 3

log x log x 1 log x. log x+ < + ∗

Đại học Ngoại Thương khối D năm 1998


● Điều kiện: x 0> ⇒ Tập xác định: ( )D 0;= +∞ .

( ) 2 2

2 2

2 2

log x log xlog x 1 log x. 0

log 3 log 3∗ ⇔ + − − <

2

2

2 2

t log x

t tt 1 0

log 3 log 3

=⇔ + − − <

( )

2

2

2 2

t log x

t 1 log 3 t log 3 0

=⇔ − + + >

2

2

t log x

t 1 t log 3

=⇔ < ∨ >

2 2 2

log x 1 log x log 3⇔ < ∨ >

x 2 x 3⇔ < ∨ > .

● Kết hợp với tập xác định, tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( )x 0;2 3;∈ ∪ +∞ .


9 3log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2+ + + > + + ∗

Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A, B năm 2000


● Điều kiện: 23x 4x 2 0, x+ + > ∀ ∈ ⇒� Tập xác định: D = � .

● Đặt ( )2

3t log 3x 4x 2 ,= + + lúc đó:

( )1

t 1 t2

∗ ⇔ + >

1

t t 12

⇔ > −

( ) 2

t 1 0 t 1 0

1 1t 0 t t 1

2 2

− < − ≥ ⇔ ∨ > > −

0 t 2⇔ ≤ <

( ) 2

30 log 3x 4x 2 2⇔ ≤ + + <

www.MATHVN.com



Page - 153 -

2

2

3x 4x 2 1

3x 4x 2 9

+ + ≥⇔ + + <

2

2

3x 4x 1 0

3x 4x 7 0

+ + ≥⇔ + − <

1 7

x 1 x 13 3

⇔− ≤ < ∨ − < ≤− .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 7 1

x ; 1 ;13 3

∈ − − ∪ − .


1 1

2 2

x 1 log x 2x 5 .log x 6 0+ + + + ≥ ∗

Đại học Luật Hà Nội – Đại học Dược Hà Nội năm 2001


● Điều kiện: x 0> ⇒ Tập xác định ( )D 0;= +∞ .

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2x 1 log x 2x 5 log x 6 0 1∗ ⇔ + − + + ≥

● Đặt 2

t log x= .

( ) ( ) ( ) ( ) 21 x 1 .t 2x 5 .t 6 0 2⇔ + − + + ≥

Lập ( ) ( ) ( )2 2

22x 5 24 x 1 4x 4x 1 2x 1∆ = + − + = − + = − .

( ) ( )

1 2

2x 5 2x 1 2x 5 2x 1 3t 2 t

x 12 x 1 2 x 1

+ + − + − +⇒ = = ∨ = =

++ +.

● Xét: 1 2

3 2x 1t t 2

x 1 x 1

−− = − =

+ +

x −∞ 1− 0 1

2 +∞

1 2t t− + 0 − 0 +

● Nếu 1 2 1 2

10 x t t 0 t t ,

2< ≤ ⇒ − < ⇔ < lúc đó tập nghiệm của ( )2 là :

( )

( )

22 1

2 2 2

log x 2 at log x t3t log x t log x b

x 1

≤ = ≤ ⇔ = ≥ ≥ +

Do đó, khi 1

0 x2

< ≤ thì ( )a thỏa ( ), b không thỏa nên tập nghiệm ( )2 là 1

0;2

( )3

● Nếu 1 2 2 1

1x t t 0 t t ,

2> ⇒ − > ⇔ < lúc đó tập nghiệm của ( )2 là

www.MATHVN.com



Page - 154 -

22 1

2 2 2

log x 2 x 4t log x t3 1t log x t log x x 2

x 1 2

≥ ≥ = ≥ ⇔ ⇔ = ≤ ≤ < ≤ +

Do đó, khi 1

x2

> thì tập nghiệm của ( )2 là )1

;2 4;2

∪ +∞

( )4

● Từ ( ) ( )3 , 4 ⇒ Tập nghiệm của phương trình là: ( )x 0;2 4; ∈ ∪ +∞ .



1/ 2 2

4 44 log x 2 log x 1 0+ + = . ĐS:

1x

2= .

2/ 2

2 4

1log x 2 log 0

x+ = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

3/ 3 2log x 2 log x 2 log x− + = − . ĐS: 1

x x 10 x 10010

= ∨ = ∨ = .

4/ 2

2 2log x 4 log x 3 0− + = . ĐS: x 2 x 8= ∨ = .

5/ 2

2 122

log x 3 log x log x 2+ + = . ĐS: 1

x x 22

= ∨ = .

6/ 2

2

1 2

2

xlog 4x log 8

8+ = . ĐS:

1x x 2

128= ∨ = .

7/ ( ) ( )2

2 1

4

log 2 x 8 log 2 x 5− − − = . ĐS: 63

x 0 x32

= ∨ = .

8/ 2

5 25log x 4 log 5x 5 0+ − = . ĐS:

1x 5 x

125= ∨ = .

9/ ( ) ( )2

2

2 2log x 1 5 log x 1− = + − . ĐS:

43x x 1 2 2

2= ∨ = + .

10/ ( ) ( )2

2

1 424

x 313 log 8x 2 log 4x log

2 2+ + = . ĐS:

1x

2= .

11/ 2 3

2

1 4 2

4

x x 32 log log 8x 3 log

4 16 2+ − = − . ĐS: x 4= .

12/ ( ) ( )2

2 2

9 93

xlog 2 log 3x log 27x 8

3+ + = . ĐS: x 3= .

13/ ( ) ( )x x 1

3 3log 3 1 .log 3 3 6+− − = . ĐS:

3 3x log 10 x log 28= ∨ = .

14/ ( ) ( )5 33log x 2 .log x 2 log x 2− = − . ĐS: x 3 x 5= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 155 -

15/ ( ) ( )x x 1

2 2log 2 1 .log 2 2 2++ + = . ĐS: x 0= .


1/ 1 2

14 lg x 2 lg x

+ =− +

. ĐS: x 10 x 100= ∨ = .

2/ 1 3

15 lg x 3 lg x

+ =− +

. ĐS: x 10 x 1000= ∨ = .

3/ 2 2

1 21

4 log x 2 log x+ =

+ −. ĐS:

1 1x x

2 4= ∨ = .

4/ 2 lg x 2

lg xlg x 1 lg x 1

= − +− −

. ĐS: 1

x 10 x100

= ∨ = .

5/ 3

3 4

2 4 26

1 log x 32 log 16x+ =

+ −. ĐS: x 9= .

6/ ( ) 32

42

1 21 0

2 log 16x3 log 4x− + =

−+. ĐS:

1x

2= .

7/ 1 1

3 3

log x 2 3 log x 1− + = + . ĐS: 1

x9

= .


1/ 5 x

12 log x 2 log

5− = . ĐS: x 5= .

2/ 7 x

1log x log 2

7− = . ĐS: x 7= .

3/ 2 9xlog 3 log x 1+ = . ĐS: x 3= .

4/ ( ) ( )x 923

27log 9x log log 3x 3 0

x+ + + = . ĐS:

1x

3= .

5/ ( ) ( )2

4 x

11log 4x log 8x

2+ = . ĐS: x 4= .

6/ ( )2 2

2 4x

x 57log 3 log 8x

16 4+ = . ĐS: x 4= .

7/ ( ) ( )2

3 x

1 213 log 9x log 3x

2 2+ = . ĐS: x 3= .

8/ ( ) ( )2

2

25 xlog 125x 2 log 5x 5+ = . ĐS: x 5= .

9/ ( )2 2

1 2 x

4

log x log x log 4x+ = . ĐS: 1 1

x 2 x x2 4

= ∨ = ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 156 -

10/ 3 2

x x xlog 10 log 10 6 log 10 0+ − = . ĐS:

3

1x 10 x

10= ∨ = .

11/ 2

x xlog 5 5 1,25 log 5− = . ĐS:

5x 5 x 5= ∨ = .

12/ ( ) ( )x 2 x

2 4log 5 1 . log 5 1 2− − = . ĐS: x 1= .

13/ ( ) x

x

2 3 3log 3 3 4.log 2 0

++ − = . ĐS: x 0= .

14/ 2 2

x

log 2 log 4x 3+ = . ĐS: x 1 x 4= ∨ = .

15/ x x x

3 81

log 3.log 3 log 3 0+ = . ĐS: 1

x 9 x9

= ∨ = .

16/ 2 3

2x 16x 4xlog x 14 log x 40 log x 0− + = . ĐS:

5

1x 1 x 2 x

64= ∨ = ∨ = .

17/ 2 x 1

log x 1 log 64 1+

+ − = . ĐS: 3

x 7 x4

= ∨ = − .

18/ 2 2xx

log 16 log 64 3+ = . ĐS: 3

1x x 4

2= ∨ = .

19/ 2

x x x

9log 5 log 5x log 5

4+ = + . ĐS:

5x 5 x 5= ∨ = .

20/ ( ) ( )3

42

x 2xx2 8

x 14log 4x 2 log 2x log

4 3+ + =− . ĐS: x 1= .

21/ ( )3 2 2

2

x x 16x

2

1 x 65log 4x 4log 2x log

2 4 12+ − = . ĐS: x 2= .

22/ ( ) ( )3

2

x 3x3

1 1log 9x log 27x 0

2 2+ + = . ĐS:

1x

3= .


1/ 2 2

3 log x log 4x 0− = . ĐS: x 2 x 16= ∨ = .

2/ ( )3 3log 27x 3 log x 1 0− − = . ĐS: x 3 x 81= ∨ = .

3/ 4 2

log 2x log 4x 3 2+ + = . ĐS: 1

x2

= .

4/ 2 2

3 3log x log x 1 5 0+ + − = . ĐS: 3x 3±= .

5/ 3 3

3 log x log 3x 1 0− − = . ĐS: x 3 x 81= ∨ = .

6/ 1 1

3 3

log x 3. log x 2 0− + = . ĐS: 1 1

x x3 81

= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 157 -

7/ 3 32 2

4log x log x

3+ = . ĐS: x 2= .

8/ 3 32 2

2log x log x

3− = − . ĐS:

1x x 2

256= ∨ = .

9/ x x

log 5x log 5= − . ĐS: 1

x25

= .

10/ 3 2 lg x 1 lg x 1− = − − . ĐS: x 10 x 100 x 10000= ∨ = ∨ = .

11/ 3 9

log 9x 2 log 3x 1 5+ + + = . ĐS: x 32= .

12/ 2

2 2log x log x 1 1+ + = . ĐS:

1 5

21

x x 1 x 22

±

= ∨ = ∨ = .

13/ 3 3

4 log x 1 log x 4− − = . ĐS: 24 8 7x 3 ±= .


1/ 2 2log 2x log x

3 2 9 2 0− − + = . ĐS: x 2= .

Cao đẳng sư phạm Hưng Yên năm 2001

2/ 9 9 3log x log x log 274 6.2 2 0− + = . ĐS: x 9 x 81= ∨ = .

3/ 3 3 3log x log x log 94 5.2 2 0− + = . ĐS: x 1 x 9= ∨ = .

4/ 2

2 2 2log 2x log 6 log 4x4 x 2.3− = . ĐS:

1x

4= .

Đại học Luật Tp. Hồ Chí Minh năm 2001

5/ 22 2log x 1 2 log x

2 x 48+= − . ĐS: 3x 2±= .

6/ 22 2

log x 1 2 log x2 224 x

++ = . ĐS:

1x 4 x

4= ∨ = .

7/ 2lg10x lg x log100x4 6 2.3− = . ĐS:

1x

100= .


8/ 2 2log x log 3

27 x 30+ = . ĐS: x 2= .

Đại học Dân lập Hải Phòng năm 2001

9/ ( )5 5

2 log 2 x log 2 x5 2 5

+ +− = . ĐS: x 0= .

10/ ( ) ( )2lg 100xlg 10x lg x4 6 2.3− = . ĐS: x 0, 01= .


11/ 2 2 24 2 4log x log x log x

64 3.2 3.4 4= + + . ĐS: 1

x x 44

= ∨ = .

12/ 2 8log x 3 log x2x 2x 5 0

−+ − = . ĐS:

1x x 2

2= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 158 -

Đại học Tổng hợp Hà Nội khối A năm 1994

13/ 2

2

xlog log 6 222.9 x x= − . ĐS: 3

1

1 log 2x 2 x 2

−= ∨ = .

14/ 2

2 2 3 2 3log x log x log x log x.log x 0− + − = . ĐS: x 1 x 2= ∨ = .


1/ ( )2

3 3log x x 12 log x 11 x 0+ − + − = . ĐS: x 3 x 9= ∨ = .

2/ 2

2 2lg x lg x.log 4x 2 log x 0− + = . ĐS: x 1 x 100= ∨ = .

3/ ( )2

2 2x.log x 2 x 1 log x 4 0− + + = . ĐS: x 4 x 2= ∨ = .

4/ ( ) ( ) ( ) ( )2

3 3x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16+ + + + + = . ĐS:

161x 1 x

81= ∨ =− .

Đại học Luật Hà Nội năm 1995

5/ ( ) ( ) ( ) ( )2

3 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16+ + + + + = . ĐS:

80x x 2

81=− ∨ = .

6/ ( )2

2 2log x x 1 log x 6 2x+ − = − . ĐS:

1x x 2

4= ∨ = .

7/ ( ) ( ) ( )2

3 3log x 1 x 5 log x 1 2x 6+ + − + = − . ĐS: x 8 x 2= ∨ = .


1/ 2

1 2

2

log x 6 log x 8 0− + ≤ . ĐS: ( )x 4;16∈ .

2/ 2 2

1 1

2 4

log x log x 0+ < . ĐS: ( )x 1;2∈ .

3/ ( ) ( ) ( )2 2 3

162 2

51log 8x 3log 4x 2log 2x

4+ − < . ĐS:

83

641

x 2 ;2

− ∈ .

4/ ( )2 2

1 8 2 24

x 293 log 2 log 4x 2 log 16

16 3+ + ≥ . ĐS:

38

9x 0;4 2 ; ∈ ∪ +∞

.

5/ ( ) ( )2

32

2x x x2

x2 log 4x 3 log 16 log 4x 0

4+ − ≤ . ĐS:

8

5x 2 ;4 ∈

.

6/ ( ) ( )2

2

1 222

xlog 4x 3 log log 8x 40

4+ + > . ĐS: ( )

9

16x 0;2 2;− ∈ ∪ +∞

.

7/ 2

2

1 8

4

x 16 13 log 2 log 0

4 x 3− − < . ĐS:

16

9x 1;2 ∈

.

8/ ( ) ( )2 2

9 1

3

2 log 3x 2 log 27x 10 0− − < . ĐS: ( )9 4 6 9 4 6x 2 ;2− − − +∈ .

www.MATHVN.com



Page - 159 -

9/ 3

4 2 2

2 1 2 12

2 2

x 32log x log 9 log 4 log x

8 x

− + < . ĐS: ( )

1 1x 4;8 ;

8 4

∈ ∪ .


1/ x 100

1log 100 log x 0

2− > . ĐS: ( )2 2x 100 ;100−∈ .

2/ 2 x

log x 2 log 4 3 0+ − ≤ . ĐS: 1 x 0≠ > .

3/ ( )( )( ) ( )x 1 x 1

log x 1 log x

x x 1 2+ +

−

+ − ≤ . ĐS: (x 1;2∈ .

4/ ( ) ( )

xlg2 lg x 12.x 1 x 1

−≥ + − . ĐS: )x 2;∈ +∞

.

5/ 26 6

log x log x6 x 12+ ≤ . ĐS:

1x ;6

6

∈

.

6/ x 2x 2

log 2.log 2. log 4x 1> . ĐS: ( )2

2

1 1x ; 1;2

22

∈ ∪ .

7/ 2

2 2

6 43

log 2x log x+ > . ĐS: ( )

3

1 1x ; 1;4

2 2

∈ ∪ .

8/ 5 5

1 21

5 log x 1 log x+ <

− +. ĐS: ( ) ( )

1; 25;125 3125;5

−∞ ∪ ∪ +∞ .

9/ 2 2

1 21

4 log x 2 log x+ ≤

+ −. ĐS: ( )

1 1 1; ; 4;16 4 2

−∞ ∪ ∪ +∞ .

10/ 4 2

2

2 2 2

log x log x2

1 log x 1 log x 1 log x+ >

− + −. ĐS: ( ) ( )

1x ;2 16; \

2

∈ −∞ ∪ +∞

.

11/ 2

3

3

1 log x1

1 log x

+>

+. ĐS: ( )

1x ; 3;

3

∈ −∞ ∪ +∞ .

12/ 3 2 3 2

log x.log x 2 log x log x 2 0− − − < . ĐS: ( )x 3;4∈ .

13/ ( ) ( )x x 1

2 1

2

log 2 1 .log 2 2 2+− − >− . ĐS: 2 2

3x log ; log 5

2

∈ .

14/ ( ) ( )x x 2

3 1

3

log 3 1 . log 3 9 3+− − >− . ĐS: 3 3

28x log ; log 4

27

∈ .

15/ ( )3x xlog 2x log 2x≤ . ĐS: )

3

1x 0; 2;

2

∈ ∪ +∞

.

16/ 2

1 1

8 8

1 9 log x 1 4 log x− > − .

17/ 2

3 3 3log x 4 log x 9 2 log x 3− + ≥ − .

www.MATHVN.com



Page - 160 -

18/ ( )2 2 2

2 2 4log x log x 3 5 log x 3− − > − . ĐS: ( )

1x 0; 8;16

2

∈ ∪

.

19/ ( ) ( )2 2

9 3log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2+ + + > + + . ĐS:

7 1x ; 1 ;1

3 3

∈ − − ∪ − .

20/ 2 4

0,5 2 16log x 4 log x 4 log x+ ≤ − . ĐS:

5 1x 1;2 8 0;

4

∈ ∪ .

21/ x x

216

1log 2. log 2

log x 6>

−. ĐS: ( ) ( ) ( )x ;1 4;8 16;64∈ −∞ ∪ ∪ .

22/ ( )2

3 36 log 1 x log x 1 5 0− + − + ≥ .

23/ ( )2

9 3 3log x log x.log 2x 1 1> + − .

24/ ( )x

x

4 1

4

3 1 3log 3 1 log

16 4

− − ≤ . ĐS: ( ) )x 0;1 2;∈ ∪ +∞

.

25/ ( )

3

8 2

22

log x log 1 2x

log xlog 1 2x

+≤

+. ĐS: ( )

1x 0; 1;

2

∈ ∪ +∞

.

Bài tập 97. Giải bất phương trình: 22x xlog 64 log 16 3+ ≥ .


ĐS: (3

1 1x ; 1;4

2 2

∈ ∪

.

Bài tập 98. Giải bất phương trình: ( ) 2

x 3

3

log 3x log x 11+ < .

Đại học Y Hải Phòng năm 2001

ĐS: ( ) ( )1 5 5 1x 3 ;3 3 ;27− − −∈ ∪ .


2

24x 1x 24x 1x 24x 1log x log x log x

++++ = .

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Liên Hà – Hà Nội

ĐS: 1

x 1 x8

= ∨ = .


1 2x 1 3xlog 6x 5x 1 log 4x 4x 1 2 0

− −− + − − + − = .


ĐS: 1

x4

= .


2 2 2 22log x x log x log x.log x x 2− + − − = .

ĐS: x 2 x 4= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 161 -

Bài tập 102. Giải phương trình: ( )3 9x

3

42 log x log 3 1

1 log x− − =

−.

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Long Châu Sa – Phú Thọ

ĐS: 1

x x 813

= ∨ = .


4 43 log x 4x 2 5 log x 4x 6+ − + − − = .


2log x x 1 3 log x x 1 2− − + + − = .

Bài tập 105. Giải phương trình: ( ) ( )2 2 2

2 3 6log x x 1 . log x x 1 log x x 1− − + − = − − .


2 2 2 22 log x x log x log x.log x x 2− + − − = .


4 2 2

2 1 2 12

2 2

x 32log x log 9 log 4.log x

8 x

− + < .


ĐS: ( )1 1

x ; 4;88 4

∈ ∪ .


log x log x 2x10 1 10 1

3+ − − ≥ .

Đề thi thử Đại học khối B năm 2013 lần 2 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

ĐS: )x 3;∈ +∞


2 2x xlog 2log

2 x 20 0+ − ≤ .

Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A – Tạp chí Toán học và Tuổi Trẻ

ĐS: 1

x ;22

∈

.

Bài tập 110. Giải bất phương trình: 34 log x

x 243+

> .

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối A – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng

ĐS: ( )1

x 0; 3;243

∈ ∪ +∞ .

Bài tập 111. Giải bất phương trình: ( )2 4 82 1 log x log x log x 0+ + < .

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối B – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng

ĐS: 3

1x ;1

2 2

∈ .

Bài tập 112. Giải bất phương trình: ( )2 2 2

2 2 4log x log x 3 5 log x 3− − > − .

Đề thi thử lần 1 khối năm 2011 – THPT Trần Hưng Đạo – Hưng Yên

www.MATHVN.com



Page - 162 -

ĐS: ( )1

x 0; 8;162

∈ ∪

.


2

2

2

2x4 lg

1 x 22x

2 lg1 x

++ >

++

.

Cao đẳng sư phạm Hà Nội năm 2001

ĐS: ( ) ( ) x 100 3 1111; 1 x 1; 100 3 1111∈ − ∪ ∈ + .

Bài tập 114. Giải bất phương trình: ( )

3

8 2

22

log x log 1 2x2

3 log xlog 1 2x

−≤ −

−.

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A, B lần 2 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An

HD: ( )

2

2

log x 1t 0 x

3log 1 2x= > ⇒ =

−.


( )

( )( )

2

1 2

2

2

2

3log x 1 log x 1 6

2log x 1

2 log x 1

+ − + − ≥ +

− +.

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối D – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quãng Trị

ĐS: (5

1x 1; 3;15

64

∈ − ∪

.

Bài tập 116. Giải phương trình: ( ) ( ) 22 2log x log x3 1 x. 3 1 1 x+ + − = + .

Đề thi thử lần 1 năm 2011 khối A, B – THPT Nguyễn Huệ

HD: ( ) ( ) 2 2log x log x

u 3 1 0; v 3 1 0 x 1= + > = − > ⇒ = .

www.MATHVN.com



Page - 163 -

��


Định lí 1. Nếu hàm số ( )y f x= luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

số nghiệm trên D của phương trình ( )f x a= không nhiều hơn một và

( ) ( ) u, v D : f u f v u v∀ ∈ = ⇔ = .

Định lí 2. Nếu hàm số ( )f x và ( )g x đơn điệu ngược chiều và liên tục trên D thì số nghiệm

trên D của phương trình ( ) ( )f x g x= không nhiều hơn một.

Định lí 3. Nếu hàm số ( )f x luôn đồng biến trên D thì ( ) ( ) f x f a x a , x,a D> ⇔ > ∀ ∈ . Nếu

hàm số ( )f x luôn nghịch biến trên D thì ( ) ( ) f x f a x a , x,a D> ⇔ < ∀ ∈ .

Định lí 4. Nếu ( )f x có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời ( ) ( )kf x có đúng m

nghiệm phân biệt thì phương trình: ( ) ( )kf x sẽ có không quá ( )m 1+ nghiệm.

Một số dạng toán cơ bản thường gặp:

�� Dạng 1. ( )( )

( ) ( ) ( ) a

f xlog . g x f x

g x = α − ∗

Bước 1. Đặt điều kiện ( ) TXÐ : D .

Bước 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a alog f x log g x .g x .f x∗ ⇔ − = α −α

( ) ( ) ( ) ( ) a a

log f x .f x log g x .g x⇔ +α = +α

( ) ( ) ( ) f f x f g x 1 ⇔ =

Bước 3. Xét hàm số ( ) af t .t log t= α + trên D .

Nếu hàm số ( )f t luôn đồng biến hoặc luôn nghịch (một chiều) thì theo định

lí 1, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 f f x f g x f x g x ⇔ = ⇔ = . Từ đó, giải ra tìm x.

�� Dạng 2. ( ) ( ) ( ) a b

log f x log g x= ∗

● Nếu ( ) ( ) ( ) a b : f x g x= ∗ ⇔ = : đây là dạng toán khá quen thuộc đối với học sinh.

● Nếu ( )( )a 1 b 1 0− − < PP→ Dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh

nghiệm duy nhất dựa vào phương pháp hàm số (định lí 1).

Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số & Phương pháp đánh giá

www.MATHVN.com



Page - 164 -

● Nếu ( )( )a 1 b 1 0− − > PP→ Dùng phương pháp mũ hóa bằng ẩn phụ. Cụ thể ta

làm theo các bước:

Bước 1. Đặt điều kiện.

Bước 2. Đặt: ( ) ( )( )( )

t

ta b

f x alog f x log g x t

g x b

== = ⇒ =

. Biến đổi về phương trình

dạng ( ) ( ) t tf t A B 1 1= + =

Bước 3. Giải phương trình ( )1 theo t bằng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh

đó là nghiệm duy nhất (định lí 1).

Bước 4. Tìm x khi có được t.

Lưu ý: Bài toán có dạng: ( ) ( )a blog f x log g xα = β ta cũng làm tương tự bằng cách đặt

( ) ( ) γa b

log f x log g x .tα = β = với γ là bội số chung nhỏ nhất của α và β .

�� Dạng 3. ( ) ( )

af xlog g(x) log b= ∗

● Nếu ( ) ( ) ( )( )

( )

f x

g x 1a b : log g x 0

0 f x 1

== ∗ ⇔ = ⇔ < ≠

.

● Nếu b 1,≠ ta làm theo các bước:

Bước 1. Đặt điều kiện: ( )

( )f x 0

0 g x 1

> < ≠

.

Bước 2. Sử dụng công thức đổi cơ số. Cụ thể:

( )( )( )

b

a

b

log f xlog b

log g x∗ ⇔ =

( ) ( ) b a b

log f x log b.log g x⇔ =

( ) ( ) b a

log f x log g x⇔ = : Đây là dạng toán 2 ở trên, đã biết cách giải.

�� Dạng 4. ( ) ( )λ x

aa p log x qx rα +β = + µ + + ∗

PP→ Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II và sử dụng phương pháp

hàm số để tìm được x y= .

Lưu ý:

� Một số bài toán, sau khi đặt ẩn phụ, vẫn còn biến x (tôi gọi đây là dạng đặt ẩn phụ

không hoàn toàn). Lúc đó, ta xem đó là phương trình bậc hai theo t, còn x là hằng số.

Giải phương trình bậc hai theo t bằng cách lập ∆.

Tìm ra các nghiệm t theo x.

Sử dụng tính đơn điệu (đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất) để tìm

nghiệm x.

� Các bài toán bất phương trình logarit, ta cũng có thể giải tương tự.

www.MATHVN.com



Page - 165 -


�� Các thí dụ về giải phương trình – bất phương trình logarit bằng phương hàm số


log x 1 log 2x 1 2+ + + = ∗



x2

>− .

● Xét hàm số ( ) ( ) ( )3 5f x log x 1 log 2x 1= + + + trên

1;

2

− +∞ .

( )( ) ( )

1 2 1

f ' x 0, x ;2x 1 ln 3 2x 1 ln 5

= + > ∀ ∈ − +∞ + + .

( ) ( ) ( )3 5f x log x 1 log 2x 1⇒ = + + + đồng biến trên

1;

2

− +∞ .

● Mặt khác: ( ) ( )f x f 2 2 x 2= = ⇔ = .


Thí dụ 219. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2x lg x x 6 4 lg x 2+ − − = + + ∗



x 2 0 x 2x 3

x 2 x 3x x 6 0

+ > >− ⇔ ⇔ > <− ∨ >− − >

.

( ) ( )( ) ( )x lg x 2 x 3 log x 2 4∗ ⇔ + + − − + =

( )( )

x 2 x 3x lg 4

x 2

+ −⇔ + =

+

( ) ( ) f x x lg x 3 4⇔ = + − = .

● Xét hàm số ( ) ( )f x x lg x 3= + − trên ( )3;+∞ .

( )( )

( ) 1

f ' x 1 0, x 3;x 3 ln10

= + > ∀ ∈ +∞−

.

( ) ( )f x x lg x 3 :⇒ = + − đồng biến trên ( )3;+∞ .

● Mặt khác: ( ) ( )f x f 4 4 x 4= = ⇔ = .



2

3 2

x x 3log x 3x 2

2x 4x 5

+ + = + + ∗ + +

Đại học Ngoại Thương Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 2001


www.MATHVN.com



Page - 166 -


2

x x 30, x

2x 4x 5

+ +> ∀ ∈ ⇒

+ +� Tập xác định: D = � .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 3log x x 3 log 2x 4x 5 2x 4x 5 x x 3∗ ⇔ + + − + + = + + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2

3 3x x 3 log x x 3 2x 4x 5 log 2x 4x 5 1⇔ + + + + + = + + + + +

● Phương trình ( )1 có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2f x x 3 f 2x 4x 2 2+ + = + +

● Xét hàm số: ( ) 3f t t log t= + trên khoảng ( )0;+∞ .

Ta có: ( ) ( ) 1

f ' t 1 0, t 0 f t :t ln 3

= + > ∀ > ⇒ đồng biến trên khoảng ( ) ( ) 0; 3+∞

● Từ ( ) ( ) ( ) 2 21 , 2 , 3 x x 3 2x 4x 2⇒ + + = + +

2x 1

x 3x 2 0x 2

= −⇔ + + = ⇔ = −

.

● Vậy phương trình có hai nghiệm là x 2 x 1=− ∨ =− .


( )( )

2

2 2

2x 12x 6x 2 log

x 1

+− + = ∗

−


● Điều kiện:

x 1x 1 012x 1 0 x2

≠ − ≠ ⇔ + > >−

.

( ) 2

2 2

1x

22x 6x 2 log 2.x 2x 1

+ ∗ ⇔ − + = − +

( ) 2

2 2

1x

1 22 x 2x 1 2 x 1 1 log2 x 2x 1

+ ⇔ − + − + + = + − +

( ) ( ) 2 2

2 2

1 12 x 2x 1 log x 2x 1 2 x log x

2 2

⇔ − + + − + = + + +

( ) ( ) 2 1f x 2x 1 f x 1

2

⇔ − + = +

● Xét hàm số ( ) 2f t 2t log t= + trên ( )0;+∞ .

( ) ( ) ( ) 1

f ' t 2 0, t 0; f t :t ln2

= + > ∀ ∈ +∞ ⇒ đồng biến trên ( ) ( ) 0; 2+∞

● Từ ( ) ( ) ( )2 21 1 3 71 , 2 f x 2x 1 f x x 2x 1 x x

2 2 2

± ⇒ − + = + ⇔ − + = + ⇔ = .

www.MATHVN.com



Page - 167 -

● So sánh với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 3 7 3 7

x x2 2

− += ∨ = .

�� Nhận xét: Trong hai thí dụ trên, tôi đã sử dụng phương pháp giải dạng 1. Bạn đọc hãy

kiểm tra lại và làm bài tập rèn luyện ở phần bài tập tương tự.


2x 3x 1

2

2

1log x 3x 2 1 2

3

− + − − + + + = ∗

Đề nghị Olympic 30/04 – THPT chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa


● Điều kiện: 2x 3x 2 0 x 1 x 2− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ .

● Đặt 2 2 2 2 2t x 3x 2 0 t x 3x 2 x 3x 1 1 t= − + ≥ ⇒ = − + ⇒− + − = − .

( ) ( )21 t

2

1log t 1 2

3

− ∗ ⇔ + + =

( ) 2t 1

2log t 1 3 2−⇔ + + =

( ) ( ) ( ) 2t

2

1f t log t 1 .3 2 1

3⇔ = + + =

● Xét hàm số ( ) ( )2t

2

1f t log t 1 .3

3= + + trên nửa khoảng )0; +∞

.

( )( )

) ( ) 2t1 1

f ' t .2t.3 .ln 3 0, t 0; f t :3t 1 ln2

= + > ∀ ∈ +∞ ⇒+ đồng biến trên )0; +∞

.

● Ta có: ( ) ( ) ( )2

1f t f 1 log 1 1 .3 2 t 1

3= = + + = ⇔ = .

● Với 2 2 3 5t x 3x 2 1 x 3x 1 0 x

2

±= − + = ⇔ − + = ⇔ = .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 3 5 3 5

x x2 2

− += ∨ = .


3 2log x 2x 1 log x 2x+ + = + ∗

Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004


● Điều kiện: ( ) ( )2

2

x 2x 1 0x ; 2 0;

x 2x 0

+ + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ + >

.

● Đặt: ( ) ( )2 t

2 2

2 t3 2

x 2x 1 3 0log x 2x 1 log x 2x t

x 2x 2 0

+ + = >+ + = + = ⇒ + = >

2 t

2 t

x 2x 3 1

x 2x 2

+ = −⇔ + =

www.MATHVN.com



Page - 168 -

t t3 1 2⇔ − =

t t3 2 1⇔ = +

( ) ( )

t t

2 11 f t 1

3 3

⇔ = + =

● Nhận thấy t 1= là một nghiệm của phương trình ( )1 .


2 1f t

3 3

= + trên � :

( ) ( )

t t

2 2 1 1f ' t . ln .ln 0, t f t

3 3 3 3

= + < ∀ ∈ ⇒ � nghịch biến trên � .

● Do đó, t 1= là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1 .

● Với t 1= 2 2x 2x 2 x 2x 2 0 x 1 3⇒ + = ⇔ + − = ⇔ =− ± .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 1 3= − ± .


log x log x 2= + ∗

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000



x 0x 2 0

> ⇔ > + >

.

● Đặt ( )t

t5 7

x 5log x log x 2 t

x 2 7

== + = ⇒ + =

t

t

x 5

x 7 2

=⇔ = −

t

t t

x 5

5 7 2

=⇔ = −

t

t t

x 5

5 2 7

=⇔ + =

( )

( )

t

t t

x 5 1

5 12. 1 2

7 7

=⇔ + =

.


● Xét hàm số: ( )t t

5 1f t 2.

7 7

= + trên � .

www.MATHVN.com



Page - 169 -

( )

t t

5 5 1 1f ' t . ln 2. . ln 0, t

7 7 7 7

= + < ∀ ∈ ⇒ � ( )f t nghịch biến trên � và

( ) ( )f t f 1 t 1= ⇔ = .

● Thay t 1= vào ( ) 11 x 5 5⇒ = = . Vậy phương trình ( )∗ có một nghiệm là x 5= .


6 42 log x x log x+ = ∗



( ) ( )4

6 4

1log x x log x

2∗ ⇔ + =

( ) 4

6 4log x x log x⇔ + = .

● Đặt ( )4 t

4

6 4 t

x x 6log x x log x t

x 4

+ =+ = = ⇒ =

( ) ( )

t t

t t t 2 14 2 6 f t 1 1

3 3

⇔ + = ⇔ = + =



2 1f t

3 3

= + trên khoảng ( )0,+∞ .

( )

t t

2 2 1 1f ' t ln ln 0, t

3 3 3 3

= + < ∀ ∈ � ( )f t :⇒ nghịch biến.

● Ta có: ( ) ( )2 1

f t f 1 1 t 13 3

= = + = ⇔ = .

● Với t 1 x 4 x 16= ⇒ = ⇔ = .



log x log x 2= + ∗

Đại học Kiến Trúc Hà Nội – Hệ chuyên ban năm 2000



x 0x 2 0

> ⇔ > ⇒ + >


● Đặt ( )t

7 3 t

7 xlog x log x 2 t

3 x 2

== + = ⇒ = +

www.MATHVN.com



Page - 170 -

( ) ( )

t t

t t 7 13 7 2 1 2. f t 1

3 3

⇔ = + ⇔ = + =


7 1f t 2.

3 3

= + trên � .

( )

t t

7 7 1 1f ' t . ln 2. . ln 0, t

3 3 3 3

= + < ∀ ∈ ⇒ � Hàm số ( )f t nghịch biến trên �

và có ( )2 2

7 1f 2 2. 1

3 3

= + = . Vì vậy ( ) ( ) 2f t f 2 t 2 x 7 49= ⇔ = ⇔ = = .

● So với tập xác định, nghiệm của phương trình là x 49= .


x

77 1 2 log 6x 1− = + ∗



6x 1 0 x6

+ > ⇔ >− .

( ) ( ) ( ) x

77 1 6 log 6x 1 1∗ ⇔ = + +

● Đặt ( ) ( ) y

7log 6x 1 y 7 6x 1 2+ = ⇒ = +

( ) ( ) x1 7 1 6y 3⇔ = +

( ) ( )y

y x

x

7 6x 12 , 3 7 7 6x 6y

7 6y 1

= +⇒ ⇔ − = − = +

y x7 6y 7 6x⇔ + = +

( ) ( ) ( ) f y f x 4⇔ =

● Xét hàm số ( ) tf t 7 6t= + trên � .

( ) ( ) tf ' t 7 . ln 7 6 0, t f t := + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � ( )5

( ) ( ) ( ) ( )4 , 5 f x f y x y⇒ = ⇔ = .

( ) ( ) x x2 7 6x 1 7 6x 1 0 6⇒ = + ⇔ − − =

● Xét hàm số ( ) xf x 7 6x 1= − − trên � .

( ) xf ' x 7 . ln 7 6= − .

Cho ( ) x

7

6 6f ' x 0 7 x log

ln7 ln 7= ⇔ = ⇔ = .


www.MATHVN.com



Page - 171 -

x −∞

7

6log

ln7 +∞

( )f ' x − 0 +

( )f x

● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có tối đa hai nghiệm.

● Ta có: ( ) ( ) f 0 f 1 0 x 0 x 1= = ⇒ = ∨ = là hai nghiệm của ( )6



log 3 log 3x 1 1 x − − = ∗


● Điều kiện: ( )2

3 log 3x 1 1 0

3x 1 0

− − > − >

.

( ) ( ) x

23 log 3x 1 1 2∗ ⇔ − − = .

● Đặt ( )y y

x x2

2 3x 1 2 1 3xlog 3x 1 y

3y 1 2 2 1 3y

= − + = − = ⇒ ⇔ − = + =

y x2 2 3x 3y⇔ − = −

x y2 3x 2 3y⇔ + = +

( ) ( ) ( ) f x f y 1⇔ =

● Xét hàm số ( ) tf t 2 3t= + trên � .

( ) ( ) tf ' t 2 ln2 3 0, t f t := + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � ( )2

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 f x f y x y⇒ = ⇔ = .

x2 1 3x⇒ + =

( ) ( ) xf x 2 3x 1 0 3⇔ = − + =

● Xét hàm số ( ) xf x 2 3x 1= − + trên � .

( ) xf ' x 2 ln2 3= − .

Cho ( ) x

2

3 3f ' x 0 2 x log

ln2 ln2= ⇔ = ⇒ = .


www.MATHVN.com



Page - 172 -

x −∞

2

3log

ln2 +∞

( )f ' x − 0 +

( )f x

● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có tối đa hai nghiệm.

● Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 f x f 1 f 3 0 x 1 x 3⇒ = = = ⇒ = ∨ = .

● Đối chiếu với điều kiện, phương trình có ha nghiệm: x 1 x 3= ∨ = .


3 3x 1 log x 4x log x 16 0+ + − = ∗



● Đặt 3

t log x= .

( ) ( ) 2x 1 t 4x.t 16 0∗ ⇔ + + − = .

( ) ( ) ( )2

2 2' 4x 16 x 1 4 x 4x 4 2 x 2 ∆ = + + = + + = + .

( )

( )

2x 2 x 2t 4

x 12x 2 x 2 4

tx 1 x 1

− − + = = −+⇒ − + + = =+ +

.

● Với 4

3t 4 log x 4 x 3−= − ⇒ =− ⇔ = .

● Với ( ) 3

4 4t log x 1

x 1 x 1= ⇒ =

+ +

Nhận thấy x 3= là một nghiệm của phương trình ( )1 .

Hàm số ( ) 3f x log x := đồng biến trên ( )0;+∞ .

Hàm số ( )4

g x :x 1

=+

nghịch biến trên ( )0;+∞ .

x 3⇒ = là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1 .


x x 381

= ∨ = .


log x x 7 log x 12 4x 0+ − + − = ∗

Đề thi thử Đại học năm 2012 – Đề 12 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam



www.MATHVN.com



Page - 173 -

● Đặt 2

t log x= .

( ) ( )2t x 7 t 12 4x 0∗ ⇔ + − + − = .

( ) ( ) ( )2 2

7 x x 1t 4

2x 7 4 12 4x x 17 x x 1

t 3 x2

− + + = =

∆ = − − − = + ⇒ − − − = = −

.

● Với 2

t 4 log x 4 x 16= ⇒ = ⇔ = .

● Với ( ) 2

t 3 x log x 3 x 1= − ⇒ = −

Xét hàm số ( ) 2f x log x x 3= + − trên khoảng ( )0;+∞ .

( ) ( ) ( )1

f ' x 1 0, x 0; f x :x ln2

= + > ∀ ∈ +∞ ⇒ đồng biến trên ( )0;+∞ .

Ta lại có: ( ) ( )f x f 2 0 x 2= = ⇔ = .


Thí dụ 231. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) x x

2 3log 2 1 log 4 2 2+ + + ≤ ∗

Đại học Ngoại Thương khối A cơ sở 2 – Tp. Hồ Chí Minh năm 2000


● Điều kiện:

x

x

2 1 0

4 2 0

+ > + >

đúng x∀ ∈ ⇒� Tập xác định: D = � .

● Xét hàm số ( ) ( ) ( )x x

2 3f x log 2 1 log 4 2= + + + trên � .

( )( ) ( )

x x

x x

2 ln2 4 ln 4f ' x 0, x

2 1 ln2 4 1 ln 3= + > ∀ ∈ ⇒

+ +� Hàm số ( )f x luôn đồng biến trên

� và có ( ) 2 3f 0 log 2 lo 3 2= + = . Do đó: ( ) ( )x 0 f x f 0 x 0∀ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (x ;0∈ −∞ .

Các thí dụ về giải phương trình – bất phương trình logarit bằng phương pháp đánh giá


log 4 x x 5 1 1− + + =


● Điều kiện: 4 x 0

5 x 4x 5 0

− ≥ ⇔ − ≤ ≤ + ≥

.

● Ta có: ( ) ( ) ( ) B.C.S

2 24 x x 5 1. 4 x 1. x 5 1 1 4 x x 5 − + + = − + + ≤ + − + +

4 x x 5 3 2⇔ − + + ≤

www.MATHVN.com



Page - 174 -

( ) 3 2 3 2

log 4 x x 5 log 3 2⇔ − + + ≤

( ) ( ) 3 2

log 4 x x 5 1 2⇔ − + + ≤

● Từ ( ) ( )1 , 2 4 x x 5 1

x1 1 2

− +⇔ = ⇔ = −

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất 1

x2

= − .

�� Nhận xét

Trong lời giải trên, tôi đã sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( )B.C.S ở dạng:

( )( )2 2 2 2ax by a b x y+ ≤ + + . Dấu " "= xảy ra x y a b

haya b x y

⇔ = = .

Do bất đẳng thức Bunhiacôpxki là bài đọc thêm trong SGK lớp 10, nên ta có thể trình

bày bài giải theo bất đẳng thức Cauchy như sau:

Ta có: ( ) ( )( )2

4 x x 5 9 2 4 x x 5− + + = + − + .

Mà: ( )( )( ) ( )

Cauchy 4 x x 5

4 x x 52

− + +− + ≤ (Cauchy dạng:

a ba.b

2

+ ≤ .

( )( )2 4 x x 5 9⇔ − + ≤

( )( )9 2 4 x x 5 18⇔ + − + ≤

( )2

4 x x 5 18⇔ − + + ≤

4 x x 5 2 3⇔ − + + ≤

( ) ( ) 3 2

log 4 x x 5 1 2⇔ − + + ≤

● Từ ( ) ( )1 , 2 4 x x 5 1

x1 1 2

− +⇔ = ⇔ = −

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất 1

x2

= − .


2 2log 2x 4x 2 log x 1 4x 2x+ + − = + − ∗



22 x 12x 4x 2 0 2 x 1 0x 0

x 0x 0 x 0

≠ −+ + > + > ⇔ ⇔ ⇔ > >> >

.

( ) ( )2

2

2

2x 4x 2log 2 x 2x 1 3

x

+ +∗ ⇔ = − − + +

www.MATHVN.com



Page - 175 -

( ) ( ) 2

2

2log 2x 4 2 x 1 3 1

x

⇔ + + = − − +

● Ta có: ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

Cauchy

2

22 2

222 log 2x 4 32x 4 82x 4 2xx 4x

2 x 1 0x 1 0 3 2 x 1 3 3

+ + ≥ + + ≥+ ≥ ⇔ ⇔ − − ≤− ≥ − − + ≤

● Từ ( ) ( )1 , 4 ⇒ phương trình có nghiệm khi dấu " "= trong ( )2 và ( )3 đồng thời xảy ra

x 1⇔ = .


Thí dụ 234. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 3

1log x 2 4 log 8

x 1

− + ≤ + ∗ −



● Ta có:

( )2 2

3 3

x 2 VT log x 2 4 log 4 2

1x 2 VP log 8 log 9 2

x 1

∀ ≥ ⇒ = − + ≥ = ∀ ≥ ⇒ = + ≤ = −

.

● Bất phương trình ( )∗ có nghiệm VT VP 2 x 2⇔ = = ⇔ = .

● Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2= .


Bài tập 117. Giải các phương trình sau:

1/ 2log xx 2.3 3+ = .

ĐS: x 1= .

2/ x 1 x

2

1 x2 2 log

x− −

− = .

3/ ( ) ( )2

2 2log x x 6 x log x 2 4− − + = + + .

4/ ( ) ( )2

2 2log x 4 x log 8 x 2 − + = +

.

ĐS: x 3= .

5/ 2

2

2013 2

x x 3log 7x 21x 14

2x 4x 5

+ += + +

+ +.

ĐS: x 1 x 2= − ∨ =− .

6/ 2

4 2

3 4 2

13x 13x 9log 2014x 2014x 12084x 16112

x 14x 7x 1

+ += + − −

+ + +.

ĐS: x 1 x 2=− ∨ = .

7/ 2x x x 1

22 log x 2+ ++ = .

www.MATHVN.com



Page - 176 -

HD: ( ) ( )2PT f x x f x 1 x 1⇔ + = + ⇔ = .

8/ ( )2

2 2

1 2x 1 1log x 2 x 3 log 1 2 x 2

2 x x

+ + + + = + + + + .

ĐS: 3 3

x 1 x2

+= − ∨ = .

9/

sin x cos x

5 5.cos x .sin x

2 2

= .

HD: Hàm số ( )

t

5

2f t

t

= nghịch biến trên từng khoảng ( ) ( )1;0 , 0;1− .

10/ ( )23x x 1

2

3

1log x 3x 2 2 2

5

− − − + + + = .

ĐS: 3 5 3 5

x x2 2

− −= ∨ = .

11/

( )2

3 2

2x 1log 3x 8x 5

x 1

−= − +

−.

HD: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

2 3

2log 2x 1 2x 1 log 3 x 1 3 x 1 x 2 x

3⇔ − + − = − + − ⇒ = ∨ = .

12/

( )2

2 2

2x 12x 8x log

x 1

+− =

−.

HD: ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2

x 0PT 2 x 1 log x 1 2 2x 1 log 2x 1

x 4

=⇔ − + − = + + + ⇒ =

.

13/ ( )2 3log 1 x log x+ = .

ĐS: x 9= .

14/ ( )5 3log x 2 log x+ = .

ĐS: x 3= .

15/ 3 2

2log cotx log cosx= .

ĐS: ( ) 2

x k2 , k3

π= ± + π ∈ � .

16/ ( )7 5log x 2 log x+ = .

ĐS: x 5= .

17/ 5log (x 3)

2 x+= .

www.MATHVN.com



Page - 177 -

Đại học Thủy Lợi năm 1999

ĐS: x 2= .

18/ ( )7

log x 34 x

+= .

ĐS: x 4= .

19/ ( )3log x 5

2 x 4+= + .

ĐS: x 2= − .

20/ ( )3

2 7log 1 x log x+ = .

ĐS: x 343= .

21/ ( )7 3log x log x 2= + .

ĐS: x 49= .

Đại học Thái Nguyên năm 1999

22/ ( )4 8

6 42 log x x log x+ = .

ĐS: x 256= .

23/ ( )6log x

2 6log x 3 log x+ = .

ĐS: 1

x6

= .

24/ ( ) ( )x x

5 4log 3 3 1 log 3 1+ + = + .

ĐS: x 1= .

25/ ( ) ( )4

2 2

25log x 2x 3 2 log x 2x 4− − = − − .

ĐS: x 2 x 4= − ∨ = .

26/ ( )3

3 23log 1 x x 2log x+ + = .

ĐS: x 64= .

27/ ( ) ( )4

2 2

6 5log x 2x 2 2 log x 2x 3− − = − − .

ĐS: x 2 x 4= − ∨ = .

28/ ( )3

x 1

77 1 2 log 6x 5− = + − .

ĐS: x 1 x 2= ∨ = .

29/ ( )x

33 1 x log 1 2x= + + + .

ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

30/ ( )x

66 1 2x 3 log 1 5x= + + + .

ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

www.MATHVN.com



Page - 178 -

31/ ( )x

55 1 x 5 log 1 4x= − + + .

ĐS: x 0 x 1= ∨ = .

32/ ( )x

33 1 2x 2 log 1 4x= + + + .

ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

33/ x x x

2

x 131x5 2 2 44 log 2 5

3 3

+ = − + − + .

ĐS: x 0 x 3= ∨ = .

34/ ( )22 sin x

3

4

1sin cos2x log 4 cos 2x cos6x 1

2 6

π + = + − − .

ĐS: x k= π .

35/ ( ) ( ) ( ) ( )2

3 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16+ + + + + = .

ĐS: 80

x 2 x81

= ∨ = − .

36/ ( ) ( ) ( )2

2 2log x 1 2 x 2 log x 1 2x 5− − + − = + .

ĐS: 3

x2

= .

37/ ( ) ( ) ( )2 3 4 5log x log x 1 log x 2 log x 3+ + = + + + .

ĐS: x 2= .

38/ ( ) ( ) ( )2 2

2 32 2 3log x 2x 2 log x 2x 3

++− − = − − .

ĐS: x 1 11 4 3= ± + .

Bài tập 118. Giải các bất phương trình sau:

1/ 2 3

log x 1 log x 9 1+ + + > .

ĐS: ( )x 0;∈ +∞ .

2/ ( )7 3log x log x 2< + .

ĐS: ( )x 49;∈ +∞ .

3/ ( ) ( )2 2

2 3log x 5x 5 1 log x 5x 7 2− + + + − + ≤ .

ĐS: 5 5 5 5

x 1; ;42 2

− + ∈ ∪

.

4/ ( ) ( )2

1 1

2 2

x 1 log x 2x 5 log x 6 0+ + + + ≥ .

www.MATHVN.com



Page - 179 -

ĐS: ( )x 0;2 4; ∈ ∪ +∞ .

5/ ( ) ( )

2 32 2

5 11

2


2 5x 3x

− − − − −≥

− −.

ĐS: ( ) ( ) )x ; 2 2;2 15 6;∈ −∞ − ∪ − − ∪ +∞ .


3 4log x 2 log x 4x 3− = − + .

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B lần 2 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

ĐS: x 2 3= + .

Bài tập 120. Giải phương trình: 2log x 23 x 1= − .

Đề thi thử Đại học năm 2011 khối D – THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên

ĐS: x 2= .

Bài tập 121. Giải bất phương trình: ( )5 4log 3 x log x+ > .

Đề thi thử Đại học năm 2010

ĐS: ( )x 0;4∈ .


2 7 7 2

xlog x x log x 3 2 log x 3 log x

2

+ + = + +

.

Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Bố Bạ – Bắc Giang

ĐS: x 2 x 4= ∨ = .


22 6

2011 6 2

4x 23x 1 log x

x x 1

++ + =

+ +.

HSG tỉnh Tiền Giang năm 2011 – 2012 (ngày thứ hai: 26/10/2011)

ĐS: x 2 cos x 2 cos9 9

π π= − ∨ = .

Bài tập 124. Giải phương trình: ( )2 3 2

2 23x 2x log x 1 log x− = + − .

Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004

ĐS: x 1= .

www.MATHVN.com



Page - 180 -

D – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT

Không có một công cụ vạn năng nào trong việc xử lý các hệ phương trình mũ và logarit. Ta phải căn cứ vào đặc điểm của hệ phương trình để phân tích và tìm tòi ra lời giải. Một số ý tưởng để giải hệ là

� Phương pháp thế, phương pháp cộng (biến đổi tương đương).

Phương pháp đặt ẩn phụ.

� Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

� Sử dụng bất đẳng thức.

��


Sử dụng các công thức mũ và logarit để biến đổi hệ đã cho thành những hệ cơ bản. Sau đó, dùng phương pháp thế, phương pháp cộng,… để giải.


Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: ( )( )

x y2 2 12 1

x y 5 2

+ = + =


( )2 y 5 x⇔ = − .

( ) x 5 x1 2 2 12−⇔ + =

x

x

322 12

2⇔ + =

( ) ( ) 2

x x2 12. 2 32 0⇔ − + =

x x2 8 2 4⇔ = ∨ =

x 3 x 2⇔ = ∨ = .

● Với x 3 y 2= ⇒ = .

● Với x 2 y 3= ⇒ = .

● Vậy hệ có hai nghiệm ( ) ( ) ( ){ }x;y 2;3 , 3;2= .

Thí dụ 2. Giải hệ phương trình: ( )

( )

3x 2

x x 1

x

2 5y 4y 1

4 2y 2

2 2

+

= − + = +



● Điều kiện: 25y 4y 0 4

yy 0 5

− > ⇔ > >

.

Dạng 1. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp biến đổi tương đương

www.MATHVN.com



Page - 181 -

( )( )

2x x

x

2 2.22 y

2 2

+⇔ =

+

( )( )

x x

x

2 2 2y

2 2

+⇔ =

+

x2 y⇔ =

( ) ( )3

x 21 2 5y 4y⇔ = −

3 2y 5y 4y⇔ = −

( ) y 0 L y 1 y 4⇔ = ∨ = ∨ = .

● Với xy 1 2 1 x 0= ⇒ = ⇔ = .

● Với xy 4 2 4 x 2= ⇒ = ⇔ = .

● Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ) ( ) ( ){ }x;y 0;1 , 2;4= .


x y

x y

2 .5 20 1

5 .2 50 2

= =


( )( )

x y

x y

1 2 5 2.

55 22⇔ =

x y

2 5 2.

5 2 5

⇔ =

x y

2 2 2.

5 5 5

− ⇔ =

x y

2 2

5 5

− ⇔ =

x y 1⇔ − =

x y 1⇔ = +

( ) y 1 y1 2 .5 20+⇔ =

y y2 .5 10⇔ =

y10 10⇔ =

y 1 x 1⇔ = ⇒ = .

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x;y 1;1= .


( )

2x y x

x 3 y 2 0 1

54 3 .18 0 2

− + = − =


( )2x y x2 54 3 . .18⇔ =

2

x

y543

18

⇔ =

www.MATHVN.com



Page - 182 -

2x y3 3⇔ =

2x y3 3⇔ =

2x y⇔ =

( ) 21 y 3 y 2 0⇔ − + =

y 1 y 2⇔ = ∨ =

y 1 y 1 y 2 y 2⇔ = − ∨ = ∨ = − ∨ = .

● Với y 1 x 1= − ⇒ = .

● Với y 1 x 1= ⇒ = .

● Với y 2 x 4= − ⇒ = .

● Với y 2 x 4= ⇒ = .

● Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;1 , 1; 1 , 4; 2 , 4;2= − − .

Thí dụ 5. Giải và biện luận theo tham số thực a hệ phương trình: ( )( )

2a x y xy

x y a 1 1

2 .4 2 2+ −

+ + = =

Đại học Mỏ – Địa Chất Hà Nội năm 2000


● Từ ( )1 y 1 a x⇒ = − − .

( ) ( )2 x 1 a x x 1 a xa2 2 .4 2+ − − − − −

⇔ =

a

2 2a 1 x xa x2 .4 2− − + +⇔ =

( )a

2

22 1 x xa x 1 a2 2− − + + −⇔ =

( ) a 2 22 1 x xa x 1 a⇔ − − + + = −

( ) ( ) ( ) 2

22x 2 a 1 x a 1 0 3⇔ + − + − =

● Lập ( ) ( ) ( )2 2 2

' a 1 2 a 1 a 1 0∆ = − − − = − − ≤ .

● Với ( )a 1 : ' 0 3 :≠ ∆ < ⇔ vô nghiệm ⇔ hệ vô nghiệm.

● Với ( ) 2a 1 : 3 2x 0 x 0 y 0= ⇔ = ⇔ = ⇒ = .

● Vậy a 1 :

a 1 :

≠ =

Thí dụ 6. Giải hệ phương trình: ( ) ( )

2 2

1 4

4

x y 25

1log y x log 1

y

+ = ∗ − − =


● Điều kiện: y x

y 0

> >

.

( )( )

2 2

4 4

x y 25

1log y x log 1

y

+ =∗ ⇔ − − − =

Hệ phương trình vô nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm .

www.MATHVN.com



Page - 183 -

2 2

4

x y 25

y xlog 1

y

+ =⇔ − = −

2 2x y 25

y x 1

y 4

+ =⇔ − =

22

4xy

316x

x 259

=⇔ + =

( )

x 3 x 3 L

y 4

= ∨ = −⇔ =

.

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ( ) ( )x; y 3;4= .


2 2

x y 1

y x x y 1

2 3 2+

+ = + =


( ) ( ) ( )2 21 y x y x 0⇔ − − − =

( )( ) ( ) y x y x y x 0⇔ − + − − =

( )( ) y x y x 1 0⇔ − + − =

y x

y 1 x

=⇔ = −

.

● Với y x= thì ( ) x

x x 1 x x 2

3

y xy x y x

2 x y log 322 3 2 3.3 33

+

= = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = =

.

● Với y 1 x= − thì ( ) 6

x 2 x x

6

y 1 x y 1 x x log 92

y 1 log 92 3 6 9−

= − = − = ⇔ ⇔ ⇔ = −= =

.

● Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( )2 2 6 6

3 3

x;y log 3; log 3 , log 9;1 log 9 = −

.


( )

x y

5

3 .2 1152

log x y 2

− = ∗ + =

Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối B, D năm 2006


● Điều kiện: x y 0+ > .

( )( )

x y

5

3 .2 1152

log x y 1

− =∗ ⇔ + =

x y3 .2 1152

x y 5

− =⇔ + =

www.MATHVN.com



Page - 184 -

x 5 x

y 5 x

3 .2 1152− −

= −⇔ =

5 x

y 5 x

2 .6 1152−

= −⇔ =

x

y 5 x

6 36−

= −⇔ =

x 2

y 3

= −⇔ =

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( ){ }S x;y 2;3= = − .


2 22

4 2

log x y 5

2 log x log y 4

+ = ∗ + =



● Điều kiện:

2 2 x 0x y 0

y 0x 0, y 0

>+ > ⇔ >> >

.

( )2 2

2 2

x y 32

log x log y 4

+ =∗ ⇔ + =

( )

2 2

2

x y 32

log xy 4

+ =⇔ =

( )

2

x y 2xy 32

xy 16

+ − =⇔ =

( )

2

x y 64

xy 16

+ =⇔ =

x y 8 x y 8

xy 16 xy 16

+ = + = − ⇔ ∨ = =

x y 4

x y 4

= =⇔ = = −

.

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( ){ }x;y 4;4= .


( ) ( ) 2 2

2 2

2 2

x xy y

log x y 1 log xy, x;y

3 81− +

+ = + ∗ ∈ =

� .



● Điều kiện: x.y 0> .

www.MATHVN.com



Page - 185 -

( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

x xy y 4

log x y log 2xy

3 3− +

+ =∗ ⇔ =

2 2

2 2

x y 2xy

x xy y 4

+ =⇔ − + =

( )( )

2

2

x y 0

x y xy 4

− =⇔ − + =

x y 0

xy 4

− =⇔ =

x 2 x 2

y 2 y 2

= = − ⇔ ∨ = = −

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( ){ }x;y 2; 2 , 2;2= − − .


( )

2

3 3

x 2y 4x 1

2 log x 1 log y 1 0

+ = − ∗ − − + =




y 1 0 y 1

− > > ⇔ + > > −

.

( )( ) ( )

2

3 3

x 2y 4x 1

log x 1 log y 1

+ = −∗ ⇔ − = +

2x 2y 4x 1

x 1 y 1

+ = −⇔ − = +

2

y x 2

x 2x 3 0

= −⇔ − − =

x 1 x 3

y 3 y 1

= − = ⇔ ∨ = − =

.

● Kết hợp với điều kiện, cặp nghiệm hệ là ( ) ( )x;y 3;1= .


( ) x

y

log 6x 4y 2

log 6y 4x 2

+ = ∗ + =

Đại học Đà Nẵng khối A, B đợt 1 năm 2001


● Điều kiện:

x 0, x 1

y 0, y 1

> ≠ > ≠

.

( )( )( )

2

2

6x 4y x 1

6y 4x y 2

+ =∗ ⇔ + =

www.MATHVN.com



Page - 186 -

( ) ( )

( ) ( )( )

1 2

2 x y x y x y

−

⇔ − = − +

( )( ) x y x y 2 0⇔ − + − =

x y y 2 x⇔ = ∨ = −

2 2

x y y 2 x

6x 4y x 6x 4y x

= = − ⇔ ∨ + = + =

x y y 2 x

y 0 y 10 x 4 x 2

= = − ⇔ ∨ = ∨ = = − ∨ =

x y 0 x 2 x 4

x y 10 y 0 y 6

= = = = − ⇔ ∨ ∨ = = = =

.


Thí dụ 13. Giải hệ phương trình: ( ) 8 8

log y log x

4 4

x y 4

log x log y 1

+ = ∗ − =



● Điều kiện: x 0, y 0> > .

( )8 8

log y log x

4

x y 4

xlog 1

y

+ =∗ ⇔ =

8 8log y log x

x y 4

x4

y

+ =⇔ =

( )

88

log y log 4y

x 4y

4y y 4

=⇔ + =

8 8

log 4y log 4y

x 4y

y y 4

=⇔ + =

8

log 4y

x 4y

y 2

=⇔ =

8 y

x 4y

log 4y log 2

=⇔ =

8 8

2

x 4y

1log 4 log y

log y

=⇔ + =

2

2

x 4y

2 1 1log y

3 3 log y

=⇔ + =

www.MATHVN.com



Page - 187 -

2 2

x 4y

log y 1 log y 3

=⇔ = ∨ = −

1y 2 y

8x 4y

= ∨ =⇔ =

1yy 2

8x 8 1

x2

= = ⇔ ∨ = =

.

● Vậy tập nghiệm của hệ là ( ) ( )1 1x;y ; , 8;2

2 8

= .


( )( )

2 2 2

2

lg x lg y lg xy

lg x y lg x. lg y 0

= + ∗ − + =

Đề thi thử Đại học năm 2010 – Đề số 2 – TT. BDVH & LTĐH Thành Đạt


● Điều kiện: x, y 0> .

( ) ( )( )

22 2

2

lg x lg y lg x lg y

lg x y lg x.lg y 0

= + +∗ ⇔ − + =

( )( )

22 2

2

lg x lg y lg x lg y 0

lg x y lg x.lg y 0

− − + =⇔ − + =

( )

2

2

2 lg y 2 lg x.lg y 0

lg x y lg x.lg y 0

− − =⇔ − + =

( )( )

2

lg y lg x lg y 0

lg x y lg x.lg y 0

+ =⇔ − + =

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

lg y 0 lg x lg y 01 2

lg x y lg x.lg y 0 lg x y lg x.lg y 0

= + = ⇔ ∨ − + = − + =

( ) ( ) 2

y 1 x 21

y 1lg x 1 0

= = ⇔ ⇔ =− =

( )( )

1

2

1lg x lg y lg y lg

2 ylg x y lg x. lg y 0

− = − = =⇔ − + =

2

1y

x1 1

lg x lg x.lg 0x x

=⇔ − + =

www.MATHVN.com



Page - 188 -

22 2

1y

xx 1

lg lg xx

=⇔ − =

2

x 21y

x 1yx 2

2

= = ⇔ ⇔ = =

.

● Vậy nghiệm của hệ là: ( ) ( )1x;y 2; , 2;1

2

= .

Thí dụ 15. Giải hệ phương trình:

9 9log y log x

3 1

3

x y 6

2 log x log y 6

+ = − =

( )∗


● Điều kiện: x, y 0> .

( )9 9

log x log x

3 3

y y 6

2 log x 2 log y 6

+ =∗ ⇔ + =

9

log x

3 3

y 3

log x log y 3

=⇔ + =

9 y

3 3

log x log 3

log x log y 3

=⇔ + =

3

3

3 3

1 1log x

2 log y

log x log y 3

=⇔ + =

3 3

3 3

log x.log y 2

log x log y 3

=⇔ + =

3 3

3 3

log x 1 log x 2

log y 2 log y 1

= = ⇔ ∨ = =

x 3 x 9

y 9 y 3

= = ⇔ ∨ = =

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( ){ }x;y 3;9 , 9;3= .


( )

2 2

5 3

9x 4y 5

log 3x 2y log 3x 2y 1

− = ∗ + − − =

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1998


● Điều kiện:

x 0, y 03x 2y 023x 2y 0 x y3

> > + > ⇔ − > >

.

www.MATHVN.com



Page - 189 -

( )( ) ( )

( )

2 2

5 3

9x 4y 51

log 3x 2y log 3x 2y 1

− =∗ ⇔ + − − =

( )( )( )

( )( )5

5

5

3x 2y 3x 2y 5

1 log 3x 2ylog 3x 2y 1

log 3

− + =⇔ − + − =

( )( )( ) ( )

5 5 5 5

3x 2y 3x 2y 5

log 3. log 3x 2y log 3x 2y log 3

− + =⇔ + − − =

( )

5 5 5 5

53x 2y

3x 2y5

log 3.log log 3x 2y log 33x 2y

+ = −⇔ − − = −

( )( )( ) ( )

5 5 5 5 5

3x 2y 3x 2y 5

log 3. log 5 log 3x 2y log 3x 2y log 3

− + =⇔ − − − − =

( )( )( ) ( )

5 5 5 5 5

3x 2y 3x 2y 5

log 3 log 3.log 3x 2y log 3x 2y log 3

− + =⇔ − − − − =

( )( )( ) ( )

5 5

3x 2y 3x 2y 5

log 3 1 log 3x 2y 0

− + =⇔ − − =

( )( )( )

5

3x 2y 3x 2y 5

log 3x 2y 0

− + =⇔ − =

( )( )

3x 2y 3x 2y 5

3x 2y 1

− + =⇔ − =

3x 2y 5

3x 2y 1

+ =⇔ − =

x 1

y 1

=⇔ =

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ){ }x;y 1;1= .

Thí dụ 17. Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2

3 3 3

3xx log 3 log y y log

22y

x log 12 log x y log3

+ = + ∗ + = +

Đại học Thủy Lợi Hà Nội – Hệ chưa phân ban năm 2000


● Điều kiện: x 0, y 0> > .

( )x y

2 2 2 2

x y

3 3 3 3

3xlog 3 log y log 2 log

22y

log 12 log x log 3 log3

+ = +∗ ⇔ + = +

www.MATHVN.com



Page - 190 -

( )

( )

x y

2 2

x y

3 2

3xlog 3 .y log 2 .

2

2ylog 12 .x log 3 .

3

= ⇔ =

( )

( )

x y

y x

3x3 .y 2 . 1

22y

3 . 12 .x 23

=⇔ =

( )( )

1

2 x y

y x

3 3 2 3. .2 23 12

⇔ =

x y36 6⇔ =

2x y6 6⇔ =

y 2x⇔ = .

● Thay y 2x= vào ( )1 , ta được:

( ) x 2x 3x1 3 .2x 2 .

2⇔ =

x 1 x 13 4− −⇔ =

x 1

31

4

− ⇔ =

x 1 0⇔ − =

x 1

y 2

=⇔ =

.

● Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( )x;y 1;2= .


2

4

2 x 2x 1

x 1 6 log y 1

y 2 y 2 2+

= + = +

Đề thi thử Đại học – Đề 9 – Thầy Trần Sĩ Tùng – THPT Trưng Vương – Bình Định


● Điều kiện: y 0> .

( ) 2 x x2 y 2 .y 2.4 0⇔ − − = và ta xem đây là phương trình bậc hai theo y.

( ) ( )

x xx

2x x x x x 1

x xx

2 3.2y 2.2

24 8.4 9.4 3.2 y 2 , do : y 02 3.2

y 22

+

+ = =∆ = + = = ⇒ ⇒ = >

−= = −

.

● Với x 1y 2 += thay vào ( )1 , ta được:

( ) 2 x 1

41 x 1 6 log 2 +⇔ = +

( ) 2

4x 1 6 x 1 . log 2⇔ = + +

2x 1 y 1

x 3x 4 0x 4 y 32

= − ⇒ =⇔ − − = ⇔ = ⇒ =

.

● So với điều kiện, nghiệm hệ là ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;1 , 4;32= − .

www.MATHVN.com



Page - 191 -

www.MATHVN.com



Page - 192 -


Bài tập 1. Giải các hệ phương trình mũ sau:

1/

x y

x y 1

2 2 1

+ = − =

. ĐS: ( ) ( )x;y 1;0= .

2/ x y2 2 3

x y 1

+ = + =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 0;1 , 1;0= .

3/

x y

x y

2 2 5

2 4+

+ = =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 0;2 , 2;0= .

4/

x

x

2 4y

4 32y

= =

. ĐS: ( ) ( )x; y 3;2= .

5/

y

2 y

x 3 1

x 3 19

− = + =

. ĐS: ( ) ( )x;y 4;1= .

6/

y 1

2y 6

x 8

x 4

−

−

= =

. ĐS: ( ) ( )x; y 2;4= .

7/ ( )

2y 7y 10x 1

x y 8, x 0

− + = + = >

. ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;7 , 3;5 , 6;2= .

8/ 2x 2y 17

4 4256

x y 1

− + = + =

. ĐS: ( ) ( )x;y 2; 1= − .

9/ x y 1

3 .29

y x 2

= − =

. ĐS: ( ) ( )x;y 2;0= − .

10/

x y

x y

3 3 28

3 27+

+ = =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 0;3 , 3;0= .

11/

x 2y

x y

64 64 33

64 4 2+

+ = =

. ĐS: ( )

( )64

5 5x; y 0; , a; a

12 12

a log 16 12 2

= − = +

.

12/

x y

x y

2 .3 12

3 .2 18

= =

. ĐS: ( ) ( )x;y 1;2= .

13/

x y

y x

3 .5 75

3 .5 45

= =

. ĐS: ( ) ( )x;y 1;2= .

14/

x y

x y

2 .3 6

3 .4 12

= =

. ĐS: ( ) ( )x;y 1;1= .

15/ ( )

2

x y 1

3x 2y 3

4 1

5 125

− −

− −

= =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 4; 5 , 8;9= − − .

www.MATHVN.com



Page - 193 -

16/ ( )

2 2x y 16x 1

x y 2, x 0

− − = − = >

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1; 1 , 5;3= − .

17/ ( )

y 2

2y 3

x 4

x 64; x 0

−

−

= = >

. ĐS: ( ) ( )x; y 3;4= .

Bài tập 2. Giải các hệ phương trình loga sau

1/ 4 4

2

y 2

log x log y 1

log x log y 1

− = − =

. ĐS: ( ) ( ) 1x;y 8;2 , 2;

2

= .

2/ ( )

3 3 3

27

log x log y 2 log 2

2log x y

3

+ = + + =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 6;3 , 3;6= .

3/ 2y lg x 2

y 4 lg x 28

+ = + =

. ĐS: ( ) 1x;y ;36

100

= .

4/ ( )

y

2

x y

2 log x

log xy log x

y 4y 3

= = −

. ĐS: ( ) ( )x; y 3;3= .

Bài tập 3. Giải hệ phương trình: ( )( )

2

2

2 y x

2 x y

x y .2 1

9 x y 6

−

−

+ = + =

.

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 3;1 , 3;1= − − .

Bài tập 4. Giải hệ phương trình: ( )

4

4

4 y x

4 x y

x y .3 1

8(x y) 6 0

−

−

+ = + − =

.

ĐS: ( ) ( ) ( ){ } 4 4x;y 15; 12 , 15; 12= − .

Bài tập 5. Giải hệ phương trình:

4 2

x 4 y 3 0

log x log x 0

− + = − =

.

Dự bị Đại học năm 2002

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;1 , 9;3= .


1 x

y 2y1.9 9

3x 3y 2x

4x y

= + = −

.

ĐS: ( ) ( )3 1

x;y ; , 2;42 2

= − .


x y 2y

4

4 3.4 8x, y

x 3y 2 log 3

+ + = ∈ + = −

� .

ĐS: ( ) 4 41 log 3 1 log 3

x;y ;2 2

+ − = .

www.MATHVN.com



Page - 194 -

Bài tập 8. Giải hệ phương trình: ( )3 1

3x y

log 2x y 2 log x 1

2 2 5

− + + = + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A, B – THPT Đoàn Thượng – Hải Dương ĐS: ( ) ( )x;y 2;0= .

Bài tập 9. Giải hệ phương trình: 2x y x

x 3 y 2 0

27 3 .9 0

− + = − =

.

ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;1 , 1; 1 , 4;2 , 4; 2= − − .


9 3

x 1 2 y 1

3 log 9x log y 3

− + − = − =

.

Đại học B năm 2005

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;1 , 2;2= .


( )( )

3x 2y x 3x 2y

2

3 5.6 4.2 0

x y y 2y x 2y x

− − − + = − = + − +

.

ĐS: ( ) 3 3

2 2

1x;y log 4; log 4

2

= .

Bài tập 12. Giải hệ phương trình: ( )2

x x 2

log 3y 1 x

4 2 3y

− = + =

.


ĐS: ( ) 1x;y 1;

2

= − .

Bài tập 13. Giải hệ phương trình: ( )y

3

3 4 x3 . x 1 1

xy log x 1

− + − = + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Tống Duy Tân – Thanh Hóa ĐS: ( ) ( )x; y 3;0= .


2

2 2

x 4x y 2 0

2 log x 2 log y 0

− + + = − − =

.

Đại học khối D năm 2010 ĐS: ( ) ( )x;y 3;1= .

Bài tập 15. Giải hệ phương trình: ( ) ( )

2 2

2 3

4x y 2

log 2x y log 2x y 1

− = + − − =

.

ĐS: ( ) 3 1x;y ;

4 2

= .


x

y

log 3x 2y 2

log 2x 3y 2

+ = + =

.

Đại học Công Đoàn năm 1997

www.MATHVN.com



Page - 195 -

ĐS: ( ) ( )x; y 5;5= .


2 2

2 5

x y 3

log x y log x y 1

− = + − − =

.

ĐS: ( ) ( )x;y 2;1= .


3 2

x

3 2

y

log x 2x 3x 5y 3

log y 2y 3y 5x 3

+ − − = + − − =

.

Dự bị Đại học năm 2002 ĐS: ( ) ( )x;y 2;2= .


( )

2

3 1

2

2 2 2

2 log y log x 1

log y log x 1 . log 3

= − = −

.

ĐS: ( ) ( )x;y 2;1= .


2

32 2

82

6x 3xy x y 1

log x 1 log 4 2y 1

− + + = + = − −

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa

ĐS: ( ) ( )1 2 2 4 3x;y ; , ; , 0;1

3 3 5 5

= ± − −

.


2 2 2 2

log x y 3 log x y 2

x y 1 x y 3

+ = − + + + − − =

.

Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A – THPT Minh Châu – Hưng Yên ĐS: ( ) ( )x;y 2;2= .


42 2

1log y x log 1

y

x y 25

− − = + =

.


ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ){ }x;y 4;3 , 4; 3 , 3;4= − − .

Bài tập 23. Giải hệ phương trình: y x

x y

log xy log y

2 2 3

= + =

.

ĐS: ( ) 2 2

3 3x;y log ; log

2 2

= .

Bài tập 24. Giải hệ phương trình: 2 2 2

3 3 3

x log 3 log y y log x

x log 12 log x y log y

+ = + + = +

.

Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A – THPT Lương Ngọc Quyến – TP. Thái Nguyên

ĐS: ( ) 4 4

3 3

x;y log 2; 2 log 2 =

.

www.MATHVN.com



Page - 196 -


( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

4 4 4

2

4 4 4

log x y log 2x 1 log x 3y

xlog xy 1 log 4y 2y 2x 4 log 1

y

+ − + = + + − + − + = −

.

Đại học Mỏ – Địa chất năm 1999

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 2;1 , a,a= với a 0> .

Bài tập 26. Giải hệ phương trình: 2 2

2 4

log x 2 log y 3

x y 16

+ = + =

.

ĐS: ( )x;y 2 2; 2 2 =

.


29

2 4

log 4x 4y

log 3x 1 log y 3

2 3 0−

+ − = + =

.

ĐS: ( ) ( )x; y 5;4= .


2014 2

x

2014 2

y

log x 2x 3x 5y 2014

log y 2y 3y 5x 2014

+ − − = + − − =

.

ĐS: ( ) ( )x; y 4;4= .


( ) ( )

x y

y x

3 3

4 32

log x y 1 log x y

+ = − = − +

.

ĐS: ( ) ( )x;y 2;1= .

Bài tập 30. Giải hệ phương trình: ( ) ( )1 2

2x 4y

log x 2y log 3x 1 1

3 3 4−

+ + − = + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần 1 khối A, B – THPT Quốc Oai ĐS: ( ) ( )x;y 1;0= .


2

2 2

y 2xy y 2x 2 0

2 log 2x y 3 log y 1 4

− + − + = − + + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Thuận Thành số I

ĐS: ( ) 7x;y ;3

4

= .


2

32 2

82

6x 3xy x y 1

log x 1 log 4 2y 1

− + + = + = − −

.

Đề thi thử Đại học lần I năm 2013 – THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa

ĐS: ( ) ( )1 2 2 4 3x;y ; , ; , 0;1

3 3 5 5

= ± − −

.


x 1 2x

9

x 2

27 3

2 .log y 2 2

9.2 . log y 9 log y

+ − = − =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Ngô Gia Tự – Bắc Ninh

www.MATHVN.com



Page - 197 -

ĐS: ( ) ( )x;y 1;27= .

Bài tập 34. Giải hệ phương trình: 2 xy

y

3 2

1log x log 16 4

log 2

4x 2x y y 16x 4x y

+ = − + + = +

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần III – THPT Hồng Quang – Hải Dương

ĐS: ( ) ( )x;y 2 3;8 4 3= ±∓ .

��


Thông thường thì ta lựa chọn một phương trình của hệ để biến đổi và đặt ẩn phụ để tìm ra mối liên hệ giữa x, y và kết hợp với phương trình còn lại đối với bài toán đặt một ẩn phụ.

Đối với bài toán đặt hai ẩn phụ, ta tìm mối liên hệ bằng cách dùng công thức mũ, loga hay sự biến đổi đơn giản để đưa hệ về hệ đại số cơ bản (đối xứng, đẳng cấp,….).

Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn phụ, tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện đúng và tìm điều kiện thừa nhưng đặc biệt đối với bài toán chứa tham số, ta cần tìm điều kiện cho chính xác.


Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

( )

22log 3log xy

2 2

9 3 2. xy 1

x y 3x 3y 6 2

= + + = + +

Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương


● Điều kiện: xy 0> .

( ) ( ) ( )2 22. log xy log xy

1 3 2.3 3 0⇔ − − =

2

log xy

2

t 3 0

t 2t 3 0

= >⇔ − − =

( ) ( )( )

2

2

log xy

log xy

t 3 1 L

t 3 3

= = −⇔ = =

( ) ( ) 2

log xy 1 xy 2 3⇔ = ⇔ =

( ) ( ) ( )2

2 x y 3 x y 2xy 6 0⇔ + − + − − =

( ) ( ) 2

x y 3 x y 10 0⇔ + − + − =

( ) x y 5

4x y 2

+ =⇔ + = −

Dạng 2. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

www.MATHVN.com



Page - 198 -

( ) ( ) ( ) xy 2 xy 2

3 , 4 VNx y 5 x y 2

= = ⇔ ∨ + = + = −

2

5 17 5 17x xy 5 x

2 2x 5x 2 0 5 17 5 17

y y2 2

− + = = = − ⇔ ⇔ ∨ − + − = + − = =

.

● Vậy nghiệm của hệ là ( ) 5 17 5 17 5 17 5 17x; y ; , ;

2 2 2 2

− + + − =

.

Thí dụ 2. Giải phương trình: ( )( )

3x 1 y 2 y 3x

2

2 2 3.2 1

3x 1 xy x 1 2

+ − + + = + + = +

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Lương Tài II – Bắc Ninh


( )

2

x 1 02

3x 1 xy x 1

+ ≥⇔ + + = +

( )

x 1

x 3x y 1 0

≥−⇔ + − =

x 1 x 1

x 0 y 1 3x

≥− ≥− ⇔ ∨ = = −

.

● Với x 0= thì ( ) y 2 y1 2 2 3.2−⇔ + =

y y y

2

2

x 08 8

8 2 12.2 2 y log 811 11 y log

11

=⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇒ =

.

● Với x 1

y 1 3x

≥ − = −

thì ( ) 3x 1 3x 11 2 2 6+ − −⇔ + =

3x 1

3x 1

12 6

2

+

+⇔ + =

( )

3x 1

2

1t 2 do : x 1

4t 6t 1 0

+ = > ≥−⇔ − + =

( )( )

3x 1

3x 1

t 2 3 2 2 L

t 2 3 2 2 N

+

+

= = −⇔ = = +

( )( )

2

2

1x log 3 2 2 1

3

y 2 log 3 2 2

= + − ⇔ = − +

.

● Vậy ( ) ( ) ( ) 2 2 2

8 1x;y 0; log , log 3 2 2 1 ; 2 log 3 2 2

11 3

= + − − + .

www.MATHVN.com



Page - 199 -


( )

1 2

2x 4y

log x 2y log 3x 1 1 1

3 3 4 2−

+ + − = + =

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Quốc Oai


● Điều kiện:

1x

3x 2y 0

> + >

.

( ) ( ) ( )2 21 log x 2y log 3x 1 1⇔ − + + − =

2

3x 1log 1

x 2y

−⇔ =

+

3x 1

2x 2y

−⇔ =

+

3x 1 2x 4y⇔ − = +

x 4y 1⇔ = +

( ) 4y 1 4y1 3 3 4+ −⇔ + =

4y

4y

13.3 4 0

3⇔ + − =

4yt 3 0

13t 4 0

t

= >⇔ + − =

4y

2

t 3 0

3t 4t 1 0

= >⇔ − + =

4y

4y

t 3 1

1t 3

3

= =⇔ = =

4y 0

4y 1

=⇔ = −

1y 0 y4

x 1 x 0

= = − ⇔ ∨ = =

.

● So với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm: ( ) ( )x;y 1;0= .


( ) ( )( )

2x y2x y

22 23. 7. 6 0

3 3

lg 3x y lg y x 4 lg2 0

−− + − = ∗ − + + − =

Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006


● Điều kiện:

x 03x y 0 yx 0yy x 0 3x 0

3

⊕ > − > ⇔ ⇔ > >

+ > > >

.

www.MATHVN.com



Page - 200 -

( )( )( )

2x y 2x y

2 23. 7. 6 0

3 3

lg 3x y y x log16

− − + − = ∗ ⇔ − + =

( )( )

2x y

2 23t 7t 6 0, t 0

3

3x y y x 16

− + − = = > ⇔ − + =

( )

2x y 2x y

2 2

2 2 20 t t 3 L

3 3 3

2xy 3x y 16

− − < = = ∨ = = − ⇔ + − =

2 2

2x y 2

2xy 3x y 16

− =⇔ + − =

( ) ( ) 2

2

y 2x 2

2x 2x 2 3x 2x 2 16

= −⇔ − + − − =

( )

2

x y 2y 2x 2103x 4x 20 0 x L3

= = = − ⇔ ⇔ + − = = −

.

● Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x;y 2;2= .


( ) ( )( )

x y

y x

3 3

4 32

log x y 1 log x y

+ = ∗ − = − +



● Điều kiện: x y 0> > .

( )( ) ( )

x y 5y x 2

3 3 3

4 4

log x y log x y log 3

+ =∗ ⇔ − + + =

( )( )

x y 5

y x 2x y x y 3

+ =⇔ − + =

2 2

1 5t

t 2x y 3 0

xt

y

+ =⇔ − − = =

www.MATHVN.com



Page - 201 -

2 2

1t t 2

2x y 3 0

xt

y

= ∨ =⇔ − − = =

2 2

x 1 x2

y 2 yx y 3 0

= ∨ =⇔ − − =

2 2

y 2x x 2y

x y 3 0

= ∨ =⇔ − − =

2 2 2 2

y 2x x 2y

x y 3 0 x y 3 0

= = ⇔ ∨ − − = − − =

( ) 2 2

y 2x x 2yVN

3x 3 y 1

= = ⇔ ∨ − = =

y 1 y 1

x 2 x 2

= − = ⇔ ∨ = − =

.

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm hệ phương trình là ( ) ( ){ }x;y 2;1= .

Thí dụ 6. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

1 x 1 y

1 x 1 y

log 1 2y y log 1 2x x 4 1

log 1 2y log 1 2x 2 2

+ −

+ −

− + + + + = + + + =

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Đại học Kinh Tế khối A năm 1997


● Điều kiện:

( )

( )

22

2 2

1 2y y 0 1 y 0 1 y 0

1 x 0 x 11 2x x 0 1 x 01 x 0 0 y 10 1 x 1 1 x 0

0 y 10 1 y 1 0 y 1

− + > − > − ≠ + ≠ >−+ + > + > ⇔ ⇔ ⇔ − < ≠ ≠ << + ≠ − < ≠ ≠ << − ≠ ≠ <

.

( ) ( ) ( )2 2

1 x 1 y1 log 1 y log 1 x 4

+ −⇔ − + + =

( ) ( ) 1 x 1 y

log 1 y log 1 x 2+ −

⇔ − + + =

( )

1 xt log 1 y

1t 2

t

+ = −⇔ + =

( ) 1 x

2

t log 1 y

t 2t 1 0+

= −⇔ − + =

( ) 1 x

t log 1 y 1+

⇔ = − =

1 y 1 x⇔ − = +

( ) y x 3⇔ = −

● Thay ( )3 vào ( )2 ta được: ( ) ( )1 x 1 xlog 1 2x log 1 2x 2

+ +− + + =

www.MATHVN.com



Page - 202 -

( )( ) 1 x

log 1 2x 1 2x 2+

⇔ − + =

( ) 2

21 4x 1 x⇔ − = +

25x 2x 0⇔ + =

2xx 0

5y 0 2

y5

= − = ⇔ ∨ = =

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) 2 2x;y ;

5 5

= − .

Thí dụ 7. Giải hệ phương trình: ( ) ( )( ) ( )

2

1 x 2 y

1 x 2 y

2 log xy y 2x 2 log x 1 6

log y 5 log x 4 1− +

− +

− + − + + − = + − + =

( )( )1

2

Đề thi thử Đại học năm 2012 – THPT Đoàn Thượng – Hải Dương


● Điều kiện: 0 1 x 1 0 x 1

0 2 y 1 1 y 2

< − ≠ ≠ < ⇔ < + ≠ − ≠ >−

.

( ) ( ) ( ) ( )2

1 x 2 y1 2 log y 1 x 2 1 x 2 log 1 x 6

− + ⇔ − + − + − =

( )( ) 1 x 2 y

2 log 1 x y 2 2 log 1 x 6− + ⇔ − + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 2 y

log 1 x . y 2 log 1 x 3 do : 0 x 1− + ⇔ − + + − = ≠ <

( ) ( ) 1 x 2 y

log y 2 log 1 x 2− +

⇔ + + − =

( )( )

1 x

1 x

1log y 2 2

log y 2−

−

⇔ + + =+

( )

1 xt log y 2

1t 2

t

− = +⇔ + =

( )

2

1 x

t 2t 1 0

t log y 2−

− + =⇔ = +

( ) 1 x

t log y 2 1−

⇔ = + =

y 2 1 x⇔ + = − .

● Thay vào phương trình ( )2 , ta được:

( ) ( ) ( )1 x 1 x2 log 4 x log 4 x 1

− −⇔ − − + =

1 x

4 xlog 1

4 x−

−⇔ =

+

4 x

1 x4 x

−⇔ = −

+

2x 2x 0⇔ + =

x 0 x 2

y 1 y 1

= = − ⇔ ∨ = − =

.

www.MATHVN.com



Page - 203 -

● So với điều kiện, hệ có nghiệm duy nhất là ( ) ( )x;y 2;1= − .


x x

2 2

x 2

2

2 log y 2 log y 5

4 log y 5

+ + = ∗ + =

Cao đẳng Xây Dựng số 2 năm 2006



● Đặt x

2u 2 0, v log y= > = . Lúc đó:

( ) 2 2

u v uv 5

u v 5

+ + =∗ ⇔ + =

( )( )

2

2 u v 2uv 10

u v 2uv 5

+ + =⇔ + − =

( )

( ) ( ) 2

u v 2 u v 15 0

+

⇔ + + + − =

u v 3 u v 5

uv 2 uv 10

+ = + = − ⇔ ∨ = =

(vô nghiệm)

u 1 u 2

v 2 v 1

= = ⇔ ∨ = =

x x

2 2

2 1 2 2

log y 2 log y 1

= = ⇔ ∨ = =

x 2 x 4

y 4 y 2

= = ⇔ ∨ = =

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) ( ){ }x;y 2;4 , 4;2= .


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3log xy log xy

2 2

4 4 4

4 2 2 1

1log 4x 4y log x log x 3y 2

2

− = + = + + +


● Điều kiện: x 0, y 0> > .

● Đặt ( )3log xy

t 2 0= > .

( ) ( ) ( ) 21 t t 2 0 t 2 N t 1 L⇔ − − = ⇔ = ∨ = − .

● Với ( ) ( )3

log xy

3

3t 2 2 2 log xy 1 xy 3 y

x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

( ) 2

4 4 42

36 1 92 log 4x log x log x

2 xx

⇔ + = + + +

2

4 42

36 9log 4x log 2x x

xx

⇔ + = +

2 2

2

364x 2x 18

x⇔ + = +

4 2x 9x 18 0⇔ − + =

www.MATHVN.com



Page - 204 -

2

2

x 3 y 3x 3

6x 6 x 6 y2

= ⇒ = = ⇔ ⇔ = = ⇒ =

.

● Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ) 6x;y 3; 3 , 6;

2

=

.

Thí dụ 10. Giải hệ phương trình: ( ) 2 3

2 3

log x 3 5 log y 5

3 log x 1 log y 1

+ − = ∗ − − = −

Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006


● Điều kiện:

3 3

2 2

x 0, y 0 x 0, y 0 x 0, y 0x 2

5 log y 0 log y 5 y 1620 y 162

log x 1 0 log x 1 x 2

> > > > > > ≥ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ < ≤ − ≥ ≥ ≥

.

● Đặt:

2

3 3

2

22

a 5 log y 0 a 5 log y

b log x 1b log x 1 0

= − ≥ = − ⇒ = −= − ≥

.

( )2

2

b 1 3a 5

3b a 5 1

+ + =∗ ⇔ + − = −

2

2

b 3a 4

a 3b 4

+ =⇔ + =

2 2b 3a a 3b⇔ + = +

2 2b a 3a 3b 0⇔ − + − =

( )( ) ( ) b a b a 3 b a 0⇔ − + − − =

( )( ) b a b a 3 0⇔ − + − =

a b

a b 3

=⇔ + =

2 2

a b b 3 a

a 3a 4 0 a 9 3a 3

= = − ⇔ ∨ + − = + − =

( ) ( )

2

a b b 3 a

a 1 a 4 L a 3a 6 0 VN

= = − ⇔ ∨ = ∨ = − − + =

3

2

a 5 log y 1

b log x 1 1

= − =⇔ = − =

3

2

5 log y 1

log x 1 1

− =⇔ − =

3

2

log y 4

log x 2

=⇔ =

www.MATHVN.com



Page - 205 -

4y 3 81

x 4

= =⇔ =

.



( )

2x y 2 x 2y x y

3 3

3 3 27 9

log x 1 log y 1 1

+ + + + + = + ∗ + + + =


● Điều kiện: x 1; y 1> − > − .

( )( )

( )( )

3 x y2x y 1 x 2y 1

3

3.3 3.3 3 9

log x 1 y 1 1

++ + + − + = +∗ ⇔ + + =

( )( )( ) ( )

2x y 1 x 2y 1 3x 3y3.3 3.3 3 9 1

x 1 y 1 3 2

+ + + − + + = +⇔ + + =

● Đặt

2x y 1

3x 3y

x 2y 1

a 3 0a.b 3

b 3 0

+ +

+

+ −

= > ⇒ = = >

.

( )1 3a 3b ab 9⇔ + = +

( ) 3a ab 3b 9 0⇔ − + − =

( ) ( ) a 3 b 3 3 b 0⇔ − − − =

( )( ) a 3

a 3 3 b 0b 3

=⇔ − − = ⇔ =

● Với 2x y 1a 3 3 3 2x y 1 1 y 2x+ += ⇒ = ⇔ + + = ⇔ =− .

( ) ( )( )2 x 1 2x 1 3 :⇔ + − + = vô nghiệm.

● Với x 2y 1b 3 3 3 x 2y 1 1 x 2 2y+ −= ⇒ = ⇔ + − = ⇔ = − .

( ) ( )( ) 2

1y 0 y2 3 2y y 1 3 2y y 0 2

x 2 x 1

= = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ∨ = =

.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( ) 1x;y 2;0 , 1;

2

= .


2 2

2

2x 2 2x y y

2y 2 2x y

4 2 4 11

2 3.2 16

− +

+ +

− + = − =


( )( )

( )

22

2

2 x 1 x 1 y 2y

2y x 1 y

4 4.4 .2 2 11 2

2 3.4 .2 4

− −

−

− + =⇔ − =

● Đặt 2x 1 ya 4 0; b 2 0−= > = > .

( )( )( )

2 2

2

a 4ab b 1 32

b 3ab 4 4

− + =⇔ − =

www.MATHVN.com



Page - 206 -

( )2b 4

4 a3b

−⇒ =

( ) 4 23 2b 31b 16 0⇔ − − =

2

y

2

x 1

2 4b 4 y 2b 16

a 1 x 14 1−

== = ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = = ±=

.

● Vậy hệ có hai cặp nghiệm: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;2 , 1;2= − .


Bài tập 35. Giải các hệ phương trình sau:

1/

x y

x y

4 3 7

4 .3 144

− = =

. ĐS: ( ) ( )x;y 2;2= .

2/

x y

x y

7 16 0

4 49 0

− = − =

. ĐS: ( ) ( )x; y 0;0= .

3/

x y

x y

2 3 17

3.2 2.3 6

+ = − =

. ĐS: ( ) ( )x; y 3;2= .

4/

y 1

y

x 3 2

3x 9 18

− + = + =

. ĐS: ( ) 3

2x;y ; log 4

3

= .

5/

y 1

y

x 2 3

4x 4 32

+ + = + =

. ĐS: ( ) ( )2x;y 17; log 10= − .

6/

2

2

x y

x y

2 2

3 2 77

3 2 7

− = − =

. ĐS: ( ) ( ) 3 2

x;y 2 log 2; 2 log 3= ± .

7/

x y

x y

113.2 2.3

43

2 34

+ = − = −

. ĐS: ( ) 2 3

17 8x;y log ; log

20 5

= .

8/

2x 2 2y 2

x 1 y

3 2 17

2.3 3.2 8

+ +

+

+ = + =

. ĐS: ( ) ( )x; y 1;1= − .

9/

x x y

x x y 1

2 2.3 56

3.2 3 87

+

+ +

+ = + =

. ĐS: ( ) ( )x;y 1;2= .

10/

x y

x y

3.2 2.3 2,75

2 3 0,75

+ = − = −

. ĐS: ( ) ( )x;y 2;0= − .

11/ ( )

( )

y 2x

1

2x y

x y .2 625

x y 5

−

−

+ = + =

.

www.MATHVN.com



Page - 207 -

12/ ( )

x5(y )

y 4x 3

3 1

x y

x y ; x, y 0

−+

−

= = >

.

13/

( )

3y 2x 1 2y x

y

4 8

42 2.2

23

log x. 3 log y 22

− + −

−

+ = + =

. ĐS: ( ) ( )1 1

x;y ; , 2;28 8

= .

14/

x y x y

3 6

2 2

2 2 6

x 5y 6xy

+ + + = + =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 5;1 , 3;3= .

15/

x y x y

2 4

2 2

3 3 12

x 3y 4xy

+ + + = + =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 3;1 , 2;2= .

16/

y

2

2y

2

4 . log x 4

log x 2 4

−

−

= + =

. ĐS: ( ) 1x; y 4;

2

= − .


1/ ( )

2y y 2

x y 2

x 1 1+ +

+ = + =

.

2/

( )

y

12y

x 9

324 2x

= =

.

3/ ( )2

2

2

2 x 1 x 1 y 2y

y x 1 y

9 4.9 .5 5 1 0

25 3.9 .5 4

− −

−

− + − = − =

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }4 4x;y 1; log 5 , 1; log 5= − .

4/

2 tan x cos y

cos y tan y

9 3

9 81 2

+ = − =

. ĐS: ( )x;y k ; k23

π = π ± + π .

5/

( )

112

28x 7yx

y 2

y x

xy .x y

−

−−

= =

.

6/ ( )

( ) y x

1 1x y

x y2 3x y .2 48−

= + − + =

.

7/ ( ) ( )

( ) ( )2 22 2

2 2

x 1 y x 1 y

cos x y 1, y 0

4 32 31.2+ + + +

π + = ≥ − =

.


5 3

3 5 log y 5 log x

3 log x 1 log y 1

− = − − = −

.

ĐS: ( ) ( )x;y 25;81= .

www.MATHVN.com



Page - 208 -


( ) ( )

2

2

x y

x y

2 4.3 32

2 2. 3 4

− = − − = −

.

Đề thi thử Đại học lần 3 năm 2013 khối B, D – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 2;2 , 2;2= − .


1/ ( )3

x y 2 3

log xy 1

+ = =

.

2/ x y

2

log y log x 2

x y 20

+ = − =

.

3/ 4 4 4log x log y 1 log 9

x y 20 0

+ = + + − =

.

4/ 2 2

3 3

2 2

xlog 1 2 log y

y

log x log y 4

− = − + =

.

5/ ( )2 2

2

4 2

log x y 5

2 log x log y 4

+ = + =

.

6/ 2

1

2

log xy 5

xlog 1

y

= =

.

7/ x

xy 64

log y 5

= =

.

8/ 2

y 2

4 4

log x log y 1

log x log y 1

− = − =

.

9/ 2 2

log y log x

2 2

x y 16

log x log y 2

+ = − =

.

10/ ( )2 2

2

3 3

log x y 6 4

log x log y 1

+ + = + =

.

11/ 3 3

log y log x

3 3

x 2.y 27

log y log x 1

+ = − =

.

12/ 2 2

log y log x

2

4 2

3.x 2.y 10

log x log y 2

+ = + =

.

13/ ( )( )

x

y

log 2x y 2 2

log 2y x 2 2

+ − = + − =

.

www.MATHVN.com



Page - 209 -

14/

( )2

2

log xy 4

xlog 2

y

= =

.

15/

( )y x

2 2

6

5log x log y

2log x y 1

+ = + =

.

16/ ( ) ( )2 2

log x y 5 log x y

lg x lg 41

lg y lg 3

− = − + − = − −

.

17/ ( )

x

x 1

log y 2

log y 23 3+

= + =

.

18/ ( )( ) ( )

2 2lg x y 1 lg 8

lg x y lg x y lg 3

+ = + + − − =

.

19/

( )

2

xy y

2

ylog log x 1

xlog y x 1

− = − =

.

20/ ( )( )

xy

xy

log x y 1

log x y 0

− = + =

.

21/ y x

2

log x log y 2

x y 12

+ = + =

.

22/ 2y log x 2

y 4 lg x 28

+ = + =

.

23/ 2

y 2 lg x 3

y 3 lg x 1

+ = − =

.

24/ ( ) ( )3

2 2

log x y log x y 1

x y 1

+ − − = − =

.

25/ ( ) x yxy 2x 2 log . log x y 1

x y 2 3

+

+ + = − =

.

26/ ( ) ( )( ) ( )

2 2

1 x 1 y

1 x 1 y

log y 1 log x 1 4

log 2y 1 log 2x 1 2+ −

+ −

− + + = + + + =

.

27/ ( )

( )xy

5 xy

log x y 1

2 log xy .log x y 1

− = + =

.

28/ ( )

5

2y

4 y

xy log x x

log y. log y 3x 1

= − =

.

www.MATHVN.com



Page - 210 -

29/ 3

2 2 2

2 2

5 log x log y log 2

log x 8 log x

= − = −

.

30/ 2 2

2 2

2 2

xlog xy.log 3

ylog x log y 5

= − + =

.

31/ ( )y x

2 log x log y 5

xy 8

+ = =

.

32/ ( )( )2 2

3 3

x y log y log x 2 xy

x y 16

− = − + + =

.

33/ 2

y 2

4 4

log x log y 1

log x log y 1

− = − =

.

Bài tập 40. Giải các hệ phương trình mũ – logarit

1/ ( ) ( )

2 2

2 2

3 3

x 2xy y

log x y 17 2 log xy

3 16− +

+ + = + =

. ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }x;y 1; 3 , 3;1 , 1;3 , 3; 1= − − − − .

2/ ( )

x y

1

3

3 .2 18

log x y 1

= + = −

.

3/ ( )

x y

3

3 .2 972

log x y 2

= − =

.

4/ 2

log x 4

2 2

2 y

log x log y 1

= − =

.

5/ ( ) ( )

lg x lg y

lg 4 lg 3

3 4

4x 3y

= =

.

6/ 4

y

y 1 log x

x 4096

= + =

.

7/ lg y

xy 40

x 4

= =

.

8/ 8 8log y log x

4 4

x y 5

log x log y 1

+ = − =

.

9/

( ) ( )0,5 5log x y log x y

2 2

2 5

1log x log y

2

+ + = + =

.

10/

y2

y y 12 2

2 log x 3 15

3 .log x 2. log x 3 +

− = = +

.

www.MATHVN.com



Page - 211 -

11/ ( )y

2x y

2 log x

log xy log x

y 4y 3

= = +

.

12/

( ) ( )

x y

y x

3 3

4 32

log x y 1 log x y

+ = − = − +

.

13/ ( )( ) ( )

x 2yx y

2 2

13

3

log x y log x y 4

−−

= + + − =

.

14/ ( ) ( )x y

2 2

x y x y

log x log y 1

+ = − − =

.

15/

( ) ( ) 33log 2log xy

2 2

4 2 xy

x y 3x 3y 12

= + + − − =

.

16/ 3 3log y log x

3 3

x 2y 27

log y log x 1

+ = − =

.

17/ y

2x y

2 log x

log xy log x

y 4y 3

= = +

.

18/ lg y

lg x lg y 4

x 1000

+ = =

.

19/ ( )

x 2y

6

x 36

4 x 2y log x 9

− = − + =

.

20/ ( )

( )

y x

5

5x y .3

273 log x y x y

− + = + = −

.

21/

4y 3

4x y 3

x x y

y x+

+ = =

.

22/ ( )

x y 12

x y 3

x y, x, y 0

y x

+

+

= > =

.

23/ 2a x y xy

x y a 1

2 .4 2+ −

+ + = =

.

24/

( )y x

2 26

5log x log y

2log x y 1

+ = + =

.

www.MATHVN.com



Page - 212 -

25/

( )

5

2y

4 y

xy log x x

log y. log y 3x 1

= − =

.

Bài tập 41. Giải các hệ phương trình logarit sau

1/

2y 2

4 4

log x log y 1

log x log y 1

− = − =

.

ĐS:

2/ ( ) ( )( ) ( )

23 x 2 y

3 x 2 y

2 log 6 3y xy 2x log x 6x 9 6

log 5 y log x 2 1

− −

− −

− + − + − + = − − + =

.

ĐS:

3/ ( )

( )

2 22 3

2 22 3

log 1 3 1 x log 1 y 2

log 1 3 1 y log 1 x 2

+ − = − + + − = − +

.

ĐS:

4/ ( )

( )xy

5 xy

log x y 1

2 log xy . log x y 1

− = + =

.

ĐS:

5/

32 2 2

2 2

5 log x log y log 2

log x 8 log x

= − = −

.

ĐS:

6/ 2 4 1

2

4 2

log x log y 2 log 4

log x log y 5 lg10

+ = − + =

.

ĐS:

7/ ( )( )

2 3

2 3

log 1 3 sin x log 3 cos y

log 1 3 cos y log 3 sin x

+ = + =

.

ĐS:

8/

( )46 2

1log x x log x

416

sin 1xx 1 cos

x 4cos

16

+ = π + π < − π

.

ĐS:

Bài tập 42. Giải các hệ bất phương trình mũ – logarit

1/

x y2 2 1

x y 2

+ ≤ + ≥−

.

2/

x y 1 2y 1

4

4 3.4 2

x 3y 2 log 3

+ − − + ≤ + ≥ −

.

www.MATHVN.com



Page - 213 -

3/

( )

( )

23x 2x 2 log 5 y 4

2

3 5

4 y y 1 y 3 8

− − − − + = − − + + ≤

.

4/

( )

23x 5x 6 log 2

y 1

2

3 2

2 y 2 5 y y 3 5

− + −− −

= − − − − ≥−

.

5/

( )

24x 8x 12 log 7

2y 1

2

4 7

y 3 3 y 2 y 1 1

− + −−

= − − − + ≥

.

6/

( )

25x 5x 4 log 2

y 3

2

5 2

3 y 5 y 1 y 2 3

− + −−

= − + + − ≤

.

7/

2 22 2

32

log x log x 0

x3x 5x 9 0

3

− < − + + >

.

8/ ( )

( ) ( )x

x 1 x 1 x2 2 2

log x 2 2

log 2 log 2 1 log 7.2 12− +

+ > + + < +

.

9/ ( )( )

7 x

y 1

log y 4 0

log 3 x 0−

−

− < − <

.

10/ ( )( )

2 x

4 y

log 2 y 0

log 2x 2 0−

−

− > − >

.

11/ ( )( )

x 1

4 y

log 5 y 0

log 2x 2 0−

−

− ≤ − ≤

.

12/

( )1 1

3 2

log 5 x log 3 x

1x

3

− < − + ∈

�

.

13/ ( ) ( ) ( )

( )

x 1 x

x

x 1 lg2 lg 2 1 lg 7.2 12

log x 2 2

+ − + + < + + >

.

14/

( )

2

2

x 40

x 16x 64

lg x 7 lg x 5 2 lg2

+ ≥ − + + ≥ − −

.


3x 2

x x 1

x

2 5y 4y

4 2y

2 2

+

= − + = +

.

ĐS: ( ) ( ) ( )x;y 0;1 , 2;4= .

www.MATHVN.com



Page - 214 -

Bài tập 44. Giải hệ phương trình: 3 3log y log x

3 3

x 2y 27

log y log x 1

+ = − =

.

ĐS: ( ) ( )1 1

x;y 3;9 , ;9 3

= .

Bài tập 45. Giải hệ phương trình: y xx y

log xy log y

2 2 3

= + =

.

Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 17 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam

ĐS: ( ) 2 2

3 3x;y log ; log

2 2

= .


2yx 3

log x log y 1 0

9.4 2.4 4

− + = − =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh ĐS: ( ) ( )x;y 1;3= .


3

2 x

x log y 3

2y y 12 3 81y

+ = − + =

.

Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 6 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam ĐS: ( ) ( )x;y 2;3= .


( )

2 2 2

2

lg x lg y lg xy

lg x y lg x.lg y 0

= + − + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH & LTĐH Thành Đạt

ĐS: ( ) ( ) 2x;y 2;1 , 2;

2

=

.

Bài tập 49. Giải hệ phương trình: 2 2 2

3 3 3

x log 3 log y y log x

x log 12 log x y log y

+ = + + = +

.

Đề thi thử Đại học năm 2011 khối A – THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên

ĐS: ( ) 4 4

3 3

x;y log 2; 2 log 2 =

.

Bài tập 50. Giải hệ phương trình: ( ) ( )2 2

xy 2x y 6

log x 1 . log y 2 2

+ + = + + =

.

Đề thi thử Đại học 2011 – Đợt 1 – TTBDVH Thăng Long – Tp. Hồ Chí Minh

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;2 , 3;0= .


3x 1 y 2 y 3x

2

2 2 3.2

3x 1 xy x 1

+ − + + = + + = +

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa

www.MATHVN.com



Page - 215 -

ĐS: ( )( )

( )2

2 2

1 log 3 2 28x;y 0; log , ;2 log 3 2 2

11 3

− + + = − +

.


( )( )

3x 2y x 3x 2y

2

3 5.6 4.2 0

x y y 2y x 2y x

− − − + = − = + − +

.


ĐS: ( ) ( ) 3 3

2 2

x;y 0;0 , 2 log 2; log 2 =

.


( )( )

2

x y

2

4 2 2

log xy log x 4x, y

2 log y log x. log 6 x

+ = ∈ = −

� .

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A, B – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 4;4 , 2;4= .


2 2

x y 1

y x x y

2 3 +

+ = + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối D – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng

ĐS: ( ) ( )2 6 6

3

x;y log ;3 , log 9;1 log 9 = −

.


2 2 2 2 23x 2y 8x 4y 8 x 4y 5 2x y 4x 42 2 33.2

2x y 2 0

+ + − + + + + + + + = + + =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần II – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

ĐS: ( ) 10 2 5 10 4 5 10 3 5 10 6 5x;y ; , ;

5 5 5 5

− ± − ± =

∓ ∓.

www.MATHVN.com



Page - 216 -

��


Xem lại lí thuyết giải phương trình và bất phương trình mũ – loga sử dụng tính đơn điệu và bất đẳng thức.

Thông thường, ta chọn một phương trình để thực hiện tính chất đơn điệu của hàm số, rồi kết hợp với phương trình còn lại. Để giải phương trình còn lại, ta cần nắm vững các phương pháp giải phương trình mũ, loga, đại số và thường gặp nhất là phương trình đại số.


Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )

( )

x y

2 2

2 2 y x xy 2 1

x y 2 2

− = − + + =

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 1995


● Thay ( )2 vào ( )1 ta được:

( ) ( )( )x y 2 21 2 2 y x xy x y⇔ − = − + +

x y 3 32 2 y x⇔ − = −

x 3 y 32 x 2 y⇔ + = +

( ) ( ) ( ) f x f y 3⇔ =

● Xét hàm số ( ) t 3f t 2 t= + trên � .

( ) ( ) t 2f ' t 2 . ln2 2t 0, t f t := + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � ( )4

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 , 4 f x f y x y⇒ = ⇔ = .

( ) 22 2x 2 x y 1⇔ = ⇔ = = ± .

● Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x;y 1;1= .


( ) ( )

3 2

3 2

2 x 2x y 1 x y 1 1

y 4x 1 ln y 2x 0 2

+ − − = + + + + + =


● Điều kiện: 2y 2x 0+ > .

( ) ( ) ( ) ( )3 21 2 x 2x 2 y 1 x y 1⇔ + − + = +

( ) ( )( ) 2 22x x 2 y 1 2 x 0⇔ + − + + =

( )( ) 2x 2 2x y 1 0⇔ + − − =

( ) 22x y 1 0 do : x 2 0⇔ − − = + >

y 2x 1⇔ = −

( ) ( ) ( )3 2

2 2x 1 4x 1 ln 2x 1 1 0

⇔ − + + + − + =

Dạng 3. Giải hệ mũ & logarit bằng phương pháp đơn điệu hàm số và bất đẳng thức

www.MATHVN.com



Page - 217 -

● Xét hàm số ( ) ( ) ( )3 2

f x 2x 1 4x 1 ln 2x 1 1

= − + + + − +

trên � .

( ) ( )( )

( )

2

2

2 2x 1f ' x 3 2x 1 4

2x 1 1

−= − + +

− +

( )( ) ( ) ( )

( )

4 2

2

3 2x 1 7 2x 1 2 2x 1 4f ' x

2x 1 1

− + − + − +=

− +

( )( ) ( ) ( )

( )

24 2

2

3 2x 1 6 2x 1 2x 1 1 3f ' x 0, x

2x 1 1

− + − + − + + = > ∀ ∈− +

� .

( )f x :⇒ đồng biến trên � .

● Ta lại có: ( ) ( )f x f 0 0 x 0 y 1= = ⇔ = ⇒ = − .

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( )x;y 0; 1= − .


( ) ( )

7 3

2 3 2

2 log 2x 3y log 2 2x 3y 1

ln 4x x 1 x 21 9y 2

+ = + + + + + + =


● Điều kiện: 2x 3y 0+ > .

● Đặt ( ) t

7log 2x 3y t 2x 3y 7+ = ⇔ + = .

( ) ( )t31 log 2 7 2t⇔ + =

t t2 7 9⇔ + =

( )

t t

1 72. 1 3

9 9

⇔ + =


1 7f t 2.

9 9

= + trên � .

( )

t t

1 1 7 7f ' t 2. . ln .ln 0, t

9 9 9 9

= + < ∀ ∈ � .

( )f t :⇒ nghịch biến trên � .

● Do đó, phương trình ( )3 có nghiệm duy nhất và ( ) ( )f t f 1 1 t 1= = ⇔ = .

2x 3y 7 3y 7 2x⇒ + = ⇔ = − .

( ) ( ) ( )2

2 32 ln 4x x 1 x 21 7 2x⇔ + + + + = −

( ) 2 3ln 4x x 1 x 6x 0⇔ + + + + = ( )4

● Xét hàm số ( ) ( )2 3f x ln 4x x 1 x 6x= + + + + trên � .

( ) 2

2 2

2 2

8x 1 24x 14x 7f ' x 3x 6 3x 0, x

4x x 1 4x x 1

+ + += + + = + > ∀ ∈

+ + + +� .

( )f x :⇒ đồng biến trên � ⇒ ( )4 có nghiệm duy nhất và

( ) ( )7

f x f 0 0 x 0 y3

= = ⇔ = ⇒ = .

www.MATHVN.com



Page - 218 -

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( )7

x;y 0;3

= .


( ) ( )

x y x y

x y

e e 2 x 1, x, y

e x y 1

− +

+

+ = + ∈ ∗ = − +

�

Đề thi thử Đại học năm 2009 lần 1 – THPT Đông Sơn I


( )x y

x y

e x y 1

e x y 1

−

+

= + +∗ ⇔ = − +

v

u

e u 1,

e v 1

= +⇔ = +

với u x y

v x y

= + = −

v ue e u v−

⇔ − = −

v ue v e u⇔ + = +

( ) ( ) f v f u⇔ =

● Xét hàm số ( ) tf t e t= + trên � .

( ) ( ) tf ' t e 1 0, t f t := + > ∀ ∈ ⇒� đồng biến trên � .

( ) ( )y 0

f v f u u v x y x yx 0

== ⇔ = ⇔ + = − ⇔ =

.

● Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y 0= = .


( )

2014

3 32 2

2ylog x 2y 1

xx y

x y 2xy

= − + = +



● Điều kiện: xy 0> .

( ) ( )x 3 3 2 22 x y xy y 0 x 0, y 0⇔ + = + > ⇒ > > .

( ) x 2y2y1 2014

x−⇔ =

x

2y

2y 2014

x 2014⇔ =

2y x2y.2014 x.2014⇔ =

( ) ( ) f 2y f x⇔ = ( )3

● Xét hàm số ( ) tf t t.2014= trên khoảng ( )0;+∞ .

( ) ( ) t tf ' t 2014 1 0, t 0;

ln2014

= + > ∀ ∈ +∞ ( )4

● Từ ( ) ( )3 , 4 2y x⇒ = .

● Thay x 2y= vào ( )2 , ta được: ( )( )

( )3

32

2

2

2y y2 2y y

2y

+⇔ = +

www.MATHVN.com



Page - 219 -

( )

2

99 xy9 5y 5y 1092 y 0 L y10

= = ⇔ = ⇔ ⇒ = =

.

● Vậy nghiệm hệ là: ( )9 9

x;y ;5 10

= .


( ) ( ) ( )

2 22

y x

2

3 2

x 20142013 1

y 20143 log x 2y 6 2 log x y 2 1 2

− + = + + + = + + +


● Điều kiện: ( ) x 2y 6 0

3x y 2 0

+ + > + + >

( )2

2 2

2013 2

x 20141 y x log

y 2014

+⇔ − =

+

( ) ( ) 2 2 2 2

2013 2013y x log x 2014 log y 2014⇔ − = + − +

( ) ( ) 2 2 2 2

2013 2013y log y 2014 x log x 2014⇔ + + = + +

( ) ( ) 2 2f y f x⇔ = ( )4

● Xét hàm số ( ) ( )f2013

t t log t 2014= + + trên )0; +∞.

( )( )

) 1

f ' t 1 0, t 0;t 2014 ln2013

= + > ∀ ∈ +∞+.

( )f t⇒ đồng biến trên )0; +∞ ( )5

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2y x

4 , 5 f y f x y xy x

=⇒ = ⇔ = ⇔ = −

.

● Với y x= thì ( ) ( ) ( )3 22 3 log 3x 6 2 log 2x 2 1⇔ + = + +

( ) ( ) 3 2

3 log 3. x 2 2 log 2. x 1 1 ⇔ + = + +

( ) ( ) 3 2

3 1 log x 2 2 1 log x 1 1 ⇔ + + = + + +

( ) ( ) 3 2

3 log x 2 2 log x 1⇔ + = + ( )6

Đặt: ( ) ( )3 23 log x 2 2 log x 1 6u+ = + = . Khi đó:

( )( )( )

3

2

log x 2 2u6

log x 1 3u

+ =⇔ + =

2u

3u

x 2 3

x 1 2

+ =⇔ + =

u

u

x 9 2

x 8 1

= −⇔ = −

u u9 2 8 1⇔ − = −

u u8 1 9⇔ + =

www.MATHVN.com



Page - 220 -

( )

u u

8 1f u 1

9 9

⇔ = + = .

Xét hàm số ( )u u

8 1f u

9 9

= + trên � .

( )

u u

8 8 1 1f ' u .ln .ln 0, u

9 9 9 9

= + < ∀ ∈ � .

( )f u⇒ nghịch biến trên � .

Ta lại có: ( ) ( )f u f 1 1 u 1= = ⇔ = .

Với

u

u

x 9 2 x y 7u 1 x y 7

x y 7x 8 1

= − = = = ⇒ ⇔ ⇔ = = = == −

.

● Với y x= − thì

( ) ( )3 22 3 log y 6 2 log 2 1⇔ + = +

( ) 3

log y 6 1⇔ + =

y 6 3⇔ + =

y 3 x 3⇔ = − ⇒ = .

● So với điều kiện ( )3 , nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( ){ }x; y 3; 3 , 7;7= − .


2 y 1

2 x 1

x x 2x 2 3 1x, y

y y 2y 2 3 1

−

−

+ − + = + ∈ ∗ + − + = +

�

Dự bị Đại học khối A năm 2007


( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2y 1 2 v

2 2 ux 1

x 1 x 1 1 3 u u 1 3 1

v v 1 3 2y 1 y 1 1 3

−

−

− + − + = + + = ∗ ⇔ ⇔ + + = − + − + =

với u x 1

v y 1

= − = −

.

( ) ( ) 2 2 v u1 2 u v u 1 v 1 3 3− ⇔ − + + − + = −

2 u 2 vu u 1 3 v v 1 3⇔ + + + = + + +

( ) ( ) f u f v⇔ = ( )3

● Xét hàm số ( ) 2 tf t t t 1 3= + + + trên � .

( ) 2

t t

2 2

t t t 1f ' t 1 3 ln 3 3 ln 3 0, t

t 1 t 1

+ += + + = + > ∀ ∈

+ +� .

⇒ hàm số ( )f t đồng biến trên � ( )4

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 , 4 f u f v u v⇒ = ⇔ = .

● Thay u v= vào ( )1 , ta được:

( ) u 21 3 u u 1⇔ = + +

( ) 2

3u log u u 1⇔ = + +

www.MATHVN.com



Page - 221 -

( ) 2

3u log u u 1 0⇔ − + + = .

● Xét hàm số ( ) ( )2

3f u u log u u 1= − + + trên � .

( )( )

2

22

u1

1u 1f ' u 1 1 0, u

u 1.ln 3u u 1 .ln 3

++

= − = − > ∀ ∈++ +

� .

( )f u⇒ đồng biến trên � .

● Ta lại có: ( ) ( )u x 1 0 x 1

f x f 0 0 u 0 v 0v y 1 0 y 1

= − = = = = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = − = =

.

● Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x;y 1;1= .


( )

3 3x x y y

2 3

xe ln e 0 1

y

2y 5x 1 7 x 1 2

+ + + − = + − = −


● Điều kiện: x 1> và y 0> .

( )3 3x x y y1 e ln x ln y e 0+ +⇔ + − − =

3 3x x y ye ln x e ln y+ +⇔ + = +

( ) ( ) f x f y⇔ = ( )3

● Xét hàm số ( )3t tf t e ln t+= + trên khoảng ( )1;+∞ .

( ) ( ) ( ) 32 t t 1

f ' t 3t 1 .e 0, t 1;t

+= + + > ∀ ∈ +∞ .

( )f t :⇒ đồng biến trên ( )1;+∞ ( )4

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 , 4 f x f y x y⇒ = ⇔ = .

( ) 2 32 2x 5x 1 7 x 1⇔ + − = −

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 23 x 1 2 x x 1 7 x 1 x x 1⇔ − + + + = − + + ∗

2 2x x 1 x x 1

3 2. 7x 1 x 1

+ + + +⇔ + =

− − ( )5

Đặt ( ) 2x x 1

t , t 0x 1

+ += ≥

−.

( ) 2 15 2t 7t 3 0 t t 3

2⇔ − + = ⇔ = ∨ = .

● Với 2

2x x 1 1t 4x 4x 3 0 :

x 1 2

+ += = ⇔ + + =

− vô nghiệm.

● Với 2

2x x 1t 3 x 8x 10 0 x 4 6

x 1

+ += = ⇔ − + = ⇔ = ±

−.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( ){ }x; y 4 6;4 6 , 4 6;4 6= − − + + .

www.MATHVN.com



Page - 222 -

Lưu ý: Ở ( ),∗ tôi đã dùng đồng nhất: ( ) ( )2 22x 5x 1 x 1 x x 1+ − = α − + β + + tìm hai số

3, 2α = β = . Để tìm hiểu kĩ hơn về vấn đề này, các em học sinh nên đọc Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số của cùng tác giả.


( )

3 3

2

2

xx x log 8y 2y 1 1

y1

y xy 0 24

+ + = + + − + =



0, y 0 xy 0y> ≠ ⇔ > .

( ) 3 3

2 21 x x log x log y 8y 2y 1⇔ + + − = + +

( ) ( ) 3

3

2 2 2x x log x 2y 2y log y log 2⇔ + + = + + +

( ) ( ) 3

3

2 2x x log x 2y 2y log 2y⇔ + + = + +

( ) ( ) f x f 2y⇔ = ( )3

● Xét hàm số ( ) 3

2f t t t log t= + + trên các khoảng ( ) ( ); 0 0;−∞ ∪ +∞ .

( )( )

( )

2

2

2

12t 1 0 khi t 0;1 t ln2f ' t 2t 1

1t ln2 2t 1 0 khi t ;0t ln2

+ + > ∈ +∞= + + = + − > ∈ −∞

( ) ( ) ( ) ( ) f ' t 0, t ;0 0; f t :⇒ > ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ ⇒ đồng biến. ( )4

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )x 2y

3 , 4 f x f 2y x 2yx 2y

=⇔ = ⇔ = ⇔ = −

.

● Với x 2y= thì ( ) 2

1 11 y y

2 y 0 2 24 x 1 x 1

= = − ⇔ − + = ⇔ ∨ = = −

.

● Với x 2y= − thì ( ) 2 12 2y 0 :

4⇔ + = vô nghiệm.

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là ( ) 1 1x;y 1; , 1;

2 2

= − − .


( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

x 1 2

x 3 x 4 y y 7 1

x 1log 2 y 2

y−

− + = − − − =

Đề thi thử Đại học năm 2013 lần 4 khối A – THTP Quế Võ số 1 – Bắc Ninh


● Điều kiện: 1 x 2

0 y 2

< ≠ ≠ <

.

( ) 2 21 x x 12 y 7y⇔ + − = −

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

x 1 3 x 1 2 y 3 2 y⇔ − + − = − + −

www.MATHVN.com



Page - 223 -

( ) ( ) f x 1 f 2 y⇔ − = − ( )3

● Xét hàm số ( ) 2f t t 3t= + trên ( )0;+∞ .

( ) ( ) ( ) f ' t 2t 3 0, t 0; f t := + > ∀ ∈ +∞ ⇒ đồng biến trên ( )0;+∞ ( )4

Mà ( ) ( )x 1 0;− ∈ +∞ và ( ) ( )2 y 0;− ∈ +∞ ( )5

● Từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 , 4 , 5 f x 1 f 2 y x 1 2 y x 3 y⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − .

( ) ( )2 y 2

2 y2 log 2 y

y−

−⇔ − = 2y y 2 0⇔ + − =

( )( )

y 1 x 2 L

y 2 x 5 N

= ⇒ =⇔ = − ⇒ =

.

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x;y 5; 2= − .

Thí dụ 11. Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )

( ) ( )

22 2

2

2 2 23

y y 56 ln x y x xy y 2 1

x x 5

7x 13y 8 2x . x 3y 3x 1 2

+ + = − + + − + + + + = + −


● Ta có:

2 2 2

2 2 2

x x 5 x x x x 0 y y 50

y y 5 y y y y 0 x x 5

+ + > + ≥ + ≥ + + ⇒ > + + > + ≥ + ≥ + +

⇒ Tập xác định: D = � .

( ) ( ) ( )2 2 3 31 6 ln y y 5 6 ln x x 5 x 2x y 2y⇔ + + − + + = − − +

( ) ( ) 2 3 2 36 ln x x 5 x 2x 6 ln y y 5 y 2y⇔ + + + − = + + + +

( ) ( ) ( ) f x f y 3⇔ =

● Xét hàm số ( ) ( )2 3f t 6 ln t t 5 t 2t= + + + − trên � .

( )2

2 2 2

2 2 2

t1

6 2 2t 5f ' t 6 3t 2 3t 2 3 t

3t t 5 t 5 t 5

+ + = + − = + − = + − + + + +.

( ) ( )22

2

2 2 2

26 t 5f ' t 2 2 1 1 t 5 17t

3 3 27 27 3t 5 t 5 t 5

++ ⇒ = + − = + + + − + + +.

Mà:

( )

Cauchy2 2

32 2 2 2

2

1 1 t 5 1 1 t 53. . . 1

27 27t 5 t 5 t 5 t 5

26 t 5 26.5 130

27 27 27

+ + + + ≥ = + + + + + ≥ =

.

( )22

2 2

26 t 51 1 t 5 17 130 17 41

27 27 3 27 3 27t 5 t 5

++ ⇒ + + + − ≥ + − = + +

( )( ) ( )

f ' t 4 12f ' t 0 f t :

3 27 27⇒ ≥ ⇔ ≥ > ⇒ đồng biến trên � .

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 , 4 f x f y x y⇒ = ⇔ = .

www.MATHVN.com



Page - 224 -

( ) ( )2 2 232 7x 13x 8 2x x 3x 3x 1⇔ + + = + −

32 3 2

7 13 8 3 12 3

x xx x x⇔ + + = + − (do x 0= không là nghiệm phương trình)

3 2 238 12 7 2 3 3⇔ α + α + α = −α + α + với 1

xα =

( ) ( ) ( ) 33

2 23 32 1 2 2 1 3 3 2 3 3⇔ α + + α + = −α + α + + −α + α +

( ) ( ) 23f 2 1 f 3 3⇔ α + = −α + α + ( )5

● Xét hàm số ( ) 3f 2β = β + β trên � .

( ) ( ) 2f ' 3 2 0, f :β = β + > ∀β ∈ ⇒ β� đồng biến trên � ( )6

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )2 23 35 , 6 f 2 1 f 3 3 2 1 3 3⇒ α + = −α + α + ⇔ α + = −α + α +

( ) 3

22 1 3 3⇔ α + =−α + α +

3 28 13 3 2 0⇔ α + α + α − =

( )( ) 21 8 5 2 0⇔ α + α + α − =

5 89 5 89

116 16

− − − +⇔ α = − ∨ α = ∨ α =

16

x y 1 x y5 89

⇒ = = − ∨ = =− ±

.

● Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ) 16 16x;y 1; 1 , ;

5 89 5 89

= − − − ± − ± .


( ) ( )

2

x

x 5x 4 0 1

2 x .3 1 2

+ + ≤ + <

Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2004



( )1 4 x 1 x 4; 1 ⇔ − ≤ ≤− ⇒ ∈ − − .

( )x

12 x 2

3

⇔ + < .

● Với x 4; 1 ∈ − − . Xét hàm số ( )f x x 2= + đồng biến trên 4; 1 − −

.

( ) ( )f4; 1

max x f 1 1 − −

⇒ = − = .

● Với x 4; 1 ∈ − − . Xét hàm số ( )

x1

g x3

= nghịch biến trên 4; 1 − −

.

( ) ( )g4; 1

min x f 1 3 − −

⇒ = − = .

● Nhận thấy ( ) ( )f g4; 1 4; 1

max x min x − − − −

< , ( )1 3< nên ( ) ( )g x f x> luôn luôn đúng

x 4; 1 ∀ ∈ − − . Do đó tập nghiệm của bất phương trìn là x 4; 1 ∈ − −

.

www.MATHVN.com



Page - 225 -

Thí dụ 14. Giải hệ bất phương trình: ( )( )

x y 1 2y 1

4

4 3.4 2 1

x 3y 2 log 3 2

+ − − + ≤ + ≥ −

Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 1995


( ) 4 4

12 x 3y 2 log 3 log

3⇔ + − ≥− = .

( ) 4

1Cauchylog

x y 1 2y 1 x y 1 2y 1 x 3y 2 31 2 4 3.4 2. 4 .3.4 2. 3.4 2. 3.4 2+ − − + − − + −⇔ ≥ + ≥ = ≥ = .

Do đó:

x y 1 2y 1

x y 1 2y 1

4 3.4 2

4 3.4

+ − −

+ − −

+ = =

x y 1

2y 1

4 1

3.4 1

+ −

−

=⇔ =

x y 1 o

2y 1

4 4

14

3

+ −

−

=⇔ =

4

x y 1 0

12y 1 log

3

+ − =⇔ − =

4

4

1 1x log 3

2 21 1

y log 32 2

= +⇔ = −

.

● Vậy hệ bất phương trình có nghiệm: ( ) 4 4

1 1 1 1x; y log 3; log 3

2 2 2 2

= + − .

Thí dụ 15. Giải hệ bất phương trình:

( ) ( )

( ) ( )

23

x 2x 3 log 5y 4

2

5 3 1

4 y y 1 y 3 8 2

− − −− + = − − + + ≤

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 khối A năm 2000


● Từ ( ) ( )2

3 3x 2x 3 log 5y 4 log 5 11 5 3 3 5− − −− + − −⇔ = ≥ =

( ) ( ) y 4 1 y 3 3⇔ − + ≥− ⇔ ≤−

● Kết hợp với ( ) ( )2 , 3 , ta được: ( )

2

y 3

4y y 1 y 3 8

≤−− + − + + ≤

y 3

y 33 y 0

≤ −⇔ ⇔ =−− ≤ ≤

.

● Thay y 3= − vào ( )1 ta được: ( )2

3x 2x 3 log 5 11 3 5− − − −⇔ =

2 1

3 3x 2x 3 log 5 log 5−⇔ − − − =

2x 2x 3 0⇔ − − =

www.MATHVN.com



Page - 226 -

2x 2x 3 0⇔ − − =

x 1 x 3

y 3 y 3

= − = ⇔ ∨ = − = −

.

● Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ){ }S 1; 3 ; 3; 3= − − − .


( ) ( )

2y x y x 1

2 25 5

2 2 2 1

log x 3y 1 log y 2x 4y 1 2

− + + = + + − = − + −

Đề thi thử Đại học năm 2012 – đề số 4 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quãng Nam



● Chia hai vế ( )1 cho x2 0,> ta được:

( ) ( )2 y x y x1 2 2 2− −⇔ + =

y x

2

t 2 0

t t 2 0

− = >⇔ + − =

( )

y xt 2 0

t 2 L t 1

− = >⇔ = − ∨ =

y x2 1−⇔ =

y x 0⇔ − =

y x 0⇔ = > .

( ) ( )2 25 5

2 log x 3x 1 log x 2x 4x 1⇔ + + − = − + −

( ) 2

25

x 3x 1log 2 x 2x 1 1

x

+ +⇔ =− − + +

( ) ( ) 2

5

1log x 3 2 x 1 1 3

x

⇔ + + = − − +

● Ta có:

( ) ( ) ( )( )

Cauchy

5

2 2 2

1 1 1x 2 x 3 5 log x 3 1

x x xx 0 : 4

x 1 0 2 x 1 0 2 x 1 1 1

+ ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ ∀ > − ≥ ⇒− − ≤ ⇔ − − + ≤

● Từ ( ) ( )3 , 4 ⇒ Dấu " "= trong các đánh giá ( )4 đồng thời xảy ra x 1⇔ = .

● Vậy nghiệm hệ phương trình là ( ) ( )x;y 1;1= .


Bài tập 1. Giải các hệ phương trình sau

a/

x y

2 2

2 2 y x

2x 4x y 3

− = − + − = −

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1; 1 , 3; 3= − − − − .

b/

x

y

3 2y 1

3 2x 1

= + = +

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 0;0 , 1;1= .

www.MATHVN.com



Page - 227 -

c/

x

y

3 2x y 11

3 2y x 11

+ = + + = +

. ĐS: ( ) ( )x;y 2;2= .

d/

x 1

y 1

7 6y 5

7 6x 5

−

−

= − = −

. ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 1;1 , 2;2= .

e/

x

y

2 2x 3 y

2 2y 3 x

+ = + + = +

. ĐS: ( ) ( )x;y 1;1= .


x y

2

2 1

2

x y e e

log x 3 log y 2

− = − + =

.

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 2;2 , 4;4= .


( )

x 1 y

2

x2 2 log 0

1 yx 1 y 5y 1 0

− − + = − − + + =

.

Đề thi thử Đai học lần I năm 2013 – THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 2; 1 , 3; 2= − − .


( )

22

2

18y

x 1 2

x y

2 4 3 2 y x

3 72 x y

2 2

++

+

− = − + + =

.

ĐS: ( )4 1

x;y ;5 5

= .


( ) ( ) ( )

x 1 y 1

x 1 3

e e x yx, y

log 3 log xy x y 1 5

− −

−

− = − ∈ + − − + =

� .

Đề thi thử Đại học năm 2012 – THPT chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Sư Phạm Hà Nội

ĐS: ( ) ( ) ( )4 4x;y 4;4 , 1 3;1 3= + + .


x y

2 2

3 3 y x

9 2y1

x 2y 9

− = −

+ = +

.

ĐS: ( )3 2 3 2

x;y ;2 2

= − −

.


2 3

x yln 2 x ln 2 y

2

2x 6x 4 3 x 8

− = + − + − + = +

.

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 3 13;3 13 , 3 13;3 13= − − + + .


x x

y y

2 2 3y 3

3 2 3x 2

− = − − = −

.

www.MATHVN.com



Page - 228 -

Olympic 30 – 04 – 2008

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 0;0 , 1;1= .


2 3

log x 3 1 log y

log y 3 1 log x

+ = + + = +

.

ĐS: ( ) ( )x;y 1;1= .


x y

3

2 2

e e x y

xlog log 4y 10

2

− = − + =

.



2 2

12 12

x y 5x 3y 4 0

log x 1 log y 3 1

− + − + = − + − =

.

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ – Thanh Hóa ĐS: ( ) ( )x;y 5;6= .


3 2 3

3

y x

x 3x y 3y 2

x 2 y 1log log x 3

y 1 x 2

− = − − − − + = − − −

.

Đề thi thử Đại học năm 2010 – Đợt 2 – TTBDVH Thăng Long – Tp. HCM ĐS: ( ) ( )x;y 3;2= .


( )

2x y 1 2x y 2x y 1

3 2

1 4 5 1 2

y 4x 1 ln y 2x 0

− − + − + + = + + + + + =

.

HSG tỉnh Tiền Giang năm 2011 – 2011 (ngày thứ hai: 26/10/2011) ĐS: ( ) ( )x;y 0; 1= − .

Bài tập 14. Giải hệ phương trình: ( )( )( )2x y 1 2x y 2x y 1

2014x 2014y x y x 1

2 3 .5 1 2− − + − +

+ − = − + = +

.

ĐS: ( ) ( )x;y 1;1= .


x y

2 2

sin xe

sin y

1 1 x x 1 2 1 y

− = + − = + −

.

ĐS: ( ) ( )1 1

x;y ; , 1;12 2

= .


( ) ( )

y x

2

x 99992014

y 9999

y 4x 1 y 3 5 2x 0

− + = + + + − − =

.

ĐS: ( ) 21 1 21 1x;y ;

4 4

− − = .

www.MATHVN.com



Page - 229 -


( ) ( )

2014

2 2

3xlog 3y x

y

4y3x 2 y 3 2 x x 1 1 0

3

= − + + + + + + + =

.

ĐS: ( )1 1

x;y ;5 15

= − − .


33274

3 log y 82 log x 82 2

3 2 3

yx y x xy y 2 2 6 ln 3

xy 15x 78y 141 5 2y 9

−− − + + − + = + − + − = −

.

ĐS: ( ) ( ) 11 5 11 5x;y 4;4 , ;

2 2

± ± =

.


( )

y x 2 2 3 3

2

7 7 x y x y xy x y

x 3 y 8x 48 y 24

− = − + + + − + − − + = −

.

ĐS: ( ) ( ) ( ){ } x;y 2 2 7; 2 2 7 , 5 31; 5 31= − − − − − − − − .


y xx y

x 1 2

1 2014 1 2014

2014 y 1 y 2y 2−

+ = + = − + − +

.

ĐS: ( ) ( )x;y 1;1= .


2 2

2 3

x y x y 18

log x. log y 1

+ + + = =

.

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }x;y 2;3 , 3;2= .


( )x y 1 x y x y 2

2

1 4 .5 1 3

1x 3y y 1 2y

x

− − + − + + = + − − = −

.

ĐS: 1 5

x y x y 2 52

±= = ∨ = = ± .

Bài tập 23. Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22

3 3

2 2

3

log 2x 1 log x y 4x 4x 2 x y 1 x y 4x x 1

log 2y 2 4x 4x 1 1 2

− − − = + + − − + + − − + − − + − + = −

.

ĐS: ( ) 1 3x;y ;

2 2

= − .


22 2

2

3 2

y y 9x y x xy y 2 6 ln

x x 9

x 2x 1 y

+ + − + + − = + + − + =

.

ĐS: ( ) 3 3 5 5x;y 2cos ;2cos , 2cos ;2cos , 2cos ;2 cos

7 7 7 7 7 7

π π π π π π = .

www.MATHVN.com



Page - 230 -

E – BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PT – BPT – HPT MŨ & LOGARIT

�

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp giải bài toán có tham số thường ứng dụng kiến thức của tam thức bậc hai (rất ít) hoặc ứng dụng của đạo hàm (phổ biến) sau khi chuyển về phương trình – bất phương trình đại số. �� Ứng dụng tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai: ( ) ( ) 2 2f x ax bx c, a 0 , b 4ac= + + ≠ ∆ = − .

Gọi S, P là tổng và tích của hai nghiệm 1 2

x , x . Hệ thức Viét: 1 2

1 2

bS x x

ac

P x xa

= + = − = =

.

Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm trái dấu P 0⇔ < .

Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

P 0

∆ >⇔ >

.

Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm phân biệt dương

0

S 0

P 0

∆ >⇔ > >

.

Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm phân biệt âm

0

S 0

P 0

∆ >⇔ < >

.

Khi so sánh hai nghiệm với số 0,α ≠ ta thường đặt t x= −α để chuyển về so sánh với số 0, cụ thể như sau:

+ ( )( )

1 21 1

2 12 2 1 2

x x 2 0x x 0x x

x x 0 x x 0

+ − α >> α −α > > > α ⇔ ⇔ ⇔ > α −α > −α −α >

.

+ ( )( )

1 21 1

1 22 2 1 2

x x 2 0x x 0x x

x x 0 x x 0

+ − α << α −α < < < α ⇔ ⇔ ⇔ < α −α < −α −α >

.

+ ( )( )1 2 1 2x x x x 0< α < ⇔ −α −α < .

Dấu của ( )f x :

+ ( ) 0

f x 0, xa 0

∆ <> ∀ ∈ ⇔ >

� . + ( ) 0

f x 0, xa 0

∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ >

� .

+ ( ) 0

f x 0, xa 0

∆ << ∀ ∈ ⇔ <

� . + ( ) 0

f x 0, xa 0

∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ <

� .

Ứng dụng của đạo hàm

�� Bài toán 1. Tìm m để phương trình ( )f x;m 0= có nghiệm trên D ?

Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )f x A m= .

Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D.

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng ( )y A m=

nằm ngang cắt đồ thị hàm số ( )y f x= .

www.MATHVN.com



Page - 231 -

Bước 4. Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình ( ) ( )f x A m= có nghiệm trên D.

Lưu ý:

� Nếu hàm số ( )y f x= có GTLN và GTNN trên D thì giá trị m cần tìm là những m

thỏa mãn: ( ) ( ) ( )D D

min f x A m max f x≤ ≤ .

� Nếu bài toán yêu cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ

cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng ( )y A m= nằm ngang

cắt đồ thị hàm số ( )y f x= tại k điểm phân biệt.

�� Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình ( )f x;m 0≥ hoặc ( )f x;m 0≤ có nghiệm trên D ?

Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )f x A m≥ hoặc ( ) ( )f x A m≤ .

Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D.

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm:

+ Với bất phương trình ( ) ( )f x A m≥ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị

nằm trên đường thẳng ( )y A m ,= tức là ( ) ( )D

A m max f x≤ ( )( ) D

khi max f x ∃

.

+ Với bất phương trình ( ) ( )f x A m≤ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị

nằm dưới đường thẳng ( )y A m ,= tức là ( ) ( )D

A m min f x≥ ( )( ) D

khi min f x ∃ .

�� Bài toán 3. Tìm tham số m để bất phương trình ( ) ( )f x A m≥ hoặc ( ) ( )f x A m≤ nghiệm

đúng x D∀ ∈ ?

Bất phương trình ( ) ( )f x A m≥ nghiệm đúng ( ) ( )D

x D min f x A m∀ ∈ ⇔ ≥ .

Bất phương trình ( ) ( )f x A m≤ nghiệm đúng ( ) ( )D

x D max f x A m∀ ∈ ⇔ ≤ .

Lưu ý:

� Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện của biến mới.

� Ngoài những phương pháp trên, ta còn sử dụng điều kiện cần và điều kiện đủ để giải

quyết bài toán chứa tham số. Dựa vào đặc điểm hoặc tính chất đặc thù của đề bài mà ta

tìm ra được điều kiện cần của bài toán. Sau đó, kiểm tra lại bằng điều kiện đủ. Phương

pháp này đòi hỏi các bạn phải có trực quan tốt và một kinh nghiệm phong phú.


�� Các thí dụ về phương trình mũ – bất phương trình mũ chứa tham số

Thí dụ 1. Tìm m để phương trình: ( ) ( ) ( ) x x

2 3 2 3 m+ + − = ∗ có hai nghiệm ?

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1996


( ) ( ) ( )x x

2 3 2 3 m∗ ⇔ + + − =

www.MATHVN.com



Page - 232 -

( )( )

x

t 2 3 01

1t m

t

= + >⇔ + =

�� Cách 1. Sử dụng phương pháp hàm số

● Xét hàm số ( ) 1f t t

t= + trên ( )0;+∞ .

( ) ( ) 2

2

1 t 1f ' t 1 . Cho f ' t 0 t 1

tt

−= − = = ⇔ = ± .

Bảng biến thiên: t −∞ 1− 0 1 +∞

( )f ' t + 0 − − 0 +

( )f t

2

● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có hai nghiệm m 2> .

● Vậy ( )m 2;∈ +∞ thỏa yêu cầu bài toán.

�� Cách giải 2. Sử dụng tam thức bậc hai

2

t 0

t mt 1 0

>⇔ − + =

2m 4 0

S m 0

∆ = − >⇔ = >

m 2 m 2m 2

m 0

< − ∨ >⇔ ⇔ > >

.

● Vậy ( )m 2;∈ +∞ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 2. Tìm giá trị m để phương trình: ( ) ( ) ( ) 2

1 2

2

log m 6x log 3 2x x 0+ + − − = ∗ có nghiệm

duy nhất ?

Đề thi thử Đại học năm 2011 lần V – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội


( ) ( ) ( )22 2log m 6x log 3 2x x∗ ⇔ + = − −

2

2

3 2x x 0

m 6x 3 2x x

− − >⇔ + = − −

2

3 x 1

m x 8x 3

− < <⇔ = − − +

.

● Yêu cầu bài toán ⇔ tìm tham số m để phương trình ( ) 2f x x 8x 3 m= − − + = có

nghiệm duy nhất ( )x 3;1∈ − .

● Xét hàm số ( ) 2f x x 8x 3= − − + trên khoảng ( )3;1− .

( )f ' x 2x 8= − − .

www.MATHVN.com



Page - 233 -

( )f ' x 0 2x 8 0 x 4= ⇔ − − = ⇔ = − .

Bảng biến thiên

x −∞ 4− 3− 1 +∞

( )f ' x + 0 − −

( )f x

18

6−

● Dựa vào bảng biến thiên ( )m 6;18⇒ ∈ − thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 3. Tìm giá trị của m để cho phương trình ( ) ( )( ) ( ) 1 x 2 xxx m.3 .2 0+ −

− = ∗ có nghiệm ?


● Điều kiện: 1 x 2− ≤ ≤ .

( ) xx m.3 0∗ ⇔ − =

( ) x

xm g x

3⇔ = =

● Xét hàm số ( )x

xf x

3= trên đoạn 1;2 −

.

( ) x

1 x.ln 3f ' x

3

−= . Cho ( ) 1

f ' x 0 x 1;2ln 3

= ⇔ = ∈ − .


t −∞ 1−

1

ln 3 2 +∞

( )f ' t + 0 −

( )f t

1

e. ln 3

3− 2

9

● Để phương trình có nghiệm thì: 1

m 3;e. ln 3

∈ −

.

Thí dụ 4. Tìm m để phương trình ( ) ( ) ( ) x xm 3 16 2m 1 4 m 1 0+ + − + + = ∗ có hai nghiệm trái

dấu ?

Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội – Hệ chưa phân ban năm 2000



● Đặt xt 4 0= > .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2f t m 3 t 2m 1 t m 1 0∗ ⇔ = + + − + + = ∗ ∗

● Gọi 1 2

x , x là hai nghiệm của ( )∗ và 1 2

t , t là hai nghiệm của ( )∗ ∗

● Để ( )∗ có hai nghiệm trái dấu 1 2

x 0 x⇔ < <

www.MATHVN.com



Page - 234 -

1 2x x

0 4 1 4⇔ < < <

1 2

0 t 1 t⇔ < < <

( ) ( )( )( ) ( )

m 3 .f 1 0

m 3 m 1 .f 0 0

+ <⇔ + + >

( )( )( )( )

m 3 4m 3 0

m 3 m 1 0

+ + <⇔ + + >

3

1 m4

⇔− < <− .

● Vậy 3

m 1;4

∈ − − thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 5. Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình: ( ) ( ) x x9 2 m 1 .3 2m 3 0− + − − > ∗ luôn

có nghiệm đúng với mọi x ?

Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1998


( ) ( ) ( ) ( )2

x x3 2 m 1 .3 2 m 1 1 0∗ ⇔ − + − + − >

( ) ( )( ) 2

x x3 1 2 m 1 3 1 0

⇔ − − + + >

( )( ) ( )( ) x x x3 1 3 1 2 m 1 3 1 0⇔ − + − + + >

( )( ) x x3 1 3 2m 3 0⇔ + − − >

x3 2m 3 0⇔ − − >

( ) x3 2m 3⇔ > − ∗ ∗

● Để ( )∗ đúng x∀ ∈ � thì ( )∗ ∗ cũng đúng x∀ ∈ �

( ) x 32m 3 0 do 3 0 m

2⇔ − < > ⇔ ≤ .

● Vậy 3

m2

≤ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 6. Tìm m để ( ) x x x9 5m.6 3m.4 0− + > ∗ nghiệm đúng với mọi giá trị của x ?

Đại học Dân Lập Văn Lang năm 1998


● Đặt

x

3t 0

2

= > .

( ) 2t 5m.t 3m 0, t 0∗ ⇔ − + > ∀ >

( ) 2t m 5t 3 , t 0⇔ > − ∀ >

( ) 2t 3 3

m f t , t 0; ;5t 3 5 5

⇔ < = ∀ ∈ ∪ +∞ − .

● Xét hàm số ( )2t

f t5t 3

=−

trên 3 3

0; ;5 5

∪ +∞ .

www.MATHVN.com



Page - 235 -

Ta có : ( )( )

( ) 2

2

5t 6t 6f ' t . Cho f ' t 0 t 0 t

55t 3

−= = ⇔ = ∨ =

−.

Bảng biến thiên t

−∞ 0 3

5

6

5 +∞

( )f ' t + 0 − − 0 +

( )f t

0 +∞ +∞

−∞ 12

25

● Dựa vào bảng biến thiên, giá trị m cần tìm là: 12

0 m25

< < .

Thí dụ 7. Xác định m để bất phương trình: ( ) x x4 m.2 m 3 0− + + ≤ ∗ có nghiệm ?

Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 1999


● Đặt xt 2 0= > .

( ) ( ) 2t mt m 3 0, t 0;∗ ⇔ − + + ≤ ∀ ∈ +∞

( ) ( ) 2t 3 m t 1 , t 0;⇔ + ≤ − ∀ ∈ +∞

( ) ( ) { } 2t 3

m f t , t 0; \ 1t 1

+⇔ ≥ = ∀ ∈ +∞

−.

● Xét hàm số ( )2t 3

f tt 1

+=

− trên ( ) { }0; \ 1+∞

( )( )

( ) { } 2

2

t 2t 3f ' t , t 0; \ 1

t 1

− −= ∀ ∈ +∞

−.

Cho ( ) f ' t 0 t 1 t 3= ⇔ = − ∨ = .

Bảng biến thiên t −∞ 1− 0 1 3 +∞

( )f ' t + 0 − − − 0 +

( )f t

3− +∞ +∞

−∞ 6

● Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm: m 3 m 6<− ∨ ≥ .

Thí dụ 8. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm đúng x 0 :∀ >

( ) ( ) ( ) x x x3m 1 .12 2 m 6 3 0+ + − + < ∗ ?



( ) ( ) ( ) ( ) x x3m 1 .4 2 m 2 1 0 1∗ ⇔ + + − + <

● Đặt xt 2 . Do x 0 t 1= > ⇒ > . Lúc đó :

( ) ( ) ( ) 21 3m 1 .t 2 m .t 1 0, t 1⇔ + + − + < ∀ >

www.MATHVN.com



Page - 236 -

( ) ( ) 2 23t t m t 2t 1, t 1;⇔ − <− − − ∀ ∈ +∞

( ) ( ) 2

2

t 2t 1m f t , t 1;

3t t

− − −⇔ < = ∀ ∈ +∞

−.

● Xét hàm số: ( )2

2

t 2t 1f t

3t t

− − −=

− trên khoảng ( )1;+∞ .

( )( )

( ) 2

22

7t 6t 1f ' t 0, t 1;

3t t

+ −= > ∀ ∈ +∞

−.


t −∞ 1 +∞

( )f ' t +

( )f t

1

3−

2−

● Dựa vào bảng biến thiên, ta được: m 2<− thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 9. Tìm tham số m để ( ) ( ) 1 x x

x

2x 6 m 1 .6 2m 1 0, x 0;1

6

−

− − − + + ≥ ∀ ∈

?

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A – đợt 1 năm 2000


● Với m 1= thì bất phương trình thỏa mãn không phụ thuộc m, nên ta chỉ cần tìm m để

bất phương trình thỏa )x 0;1∀ ∈ .

● Đặt ( ) 1 xg x x 6 −= − . Lúc đó cần tìm m để ( ) ( ) ) g x .f x 0, x 0;1≥ ∀ ∈ .

● Xét hàm số ( )x

1 x 1g x x 6 x 6.

6−

= − = − trên )0;1

.

( ) )

x

1 1g ' x 1 6. ln 0, x 0;1

6 6

= − > ∀ ∈ ⇒ Hàm số ( )g x đồng biến trên )0;1

.

) ( ) ( ) ( )x 0;1 : x 1 g x g 1 g x 0⇒ ∀ ∈ < ⇒ < ⇔ <.

● Do đó, ta chỉ cần tìm ( ) ( ) ( ) ) x

x

2f x m 1 .6 2m 1 0 , x 0;1

6= − − + + ≤ ∗ ∀ ∈ .

● Đặt xt 6= . Do ) )x 0;1 t 1;6 ∈ ⇒ ∈ .

( ) ( ) ) 2

m 1 .t 2m 1 0, t 1;6t

∗ ⇔ − − + + ≤ ∀ ∈

) 2

mt 2m t 1 0, t 1;6t

⇔ + − − + ≤ ∀ ∈

( ) ) 2

2

t t 2m h t , t 1;6

t 2t

− + ⇔ ≤ = ∀ ∈ +.

● Xét hàm số ( )2

2

t t 2h t

t 2t

− +=

+ trên )1;6

.

www.MATHVN.com



Page - 237 -

( )( )

) 2

2

3t 4t 4h ' t , t 1;6

t 2t

− − = ∀ ∈ +.

Cho ( )( )

2

2

t 23t 4t 4

h ' t 0 2tt 2t

3

=− −= = ⇔ = −+

.


t −∞

2

3−

1 2 6 +∞

( )h ' t 0 − 0 +

( )h t

2

3

2

3

1

2

● Dựa vào bảng biến thiên, ta được 1

m2

≤ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng

x 0∀ ≤ : ( ) ( ) ( ) ( ) x x

x 1a.2 2a 1 . 3 5 3 5 0+ + + − + + < ∗



( ) ( ) ( ) ( )x x

x2a 1 . 3 5 3 5 2a.2 0∗ ⇔ + − + + + <

( ) ( )

x x

3 5 3 52a 1 . 2a 0 1

2 2

− + ⇔ + + + <

● Nhận xét:

x x

x3 5 3 5 3 5 3 51 1 1

2 2 2 2

− + − + = ⇔ = = . Do đó, khi đặt

x x

3 5 3 5 1t

2 2 t

+ − = ⇒ = . Do x 0 0 t 1≤ ⇒ < ≤ .

( ) ( ) ( 1

1 2a 1 . t 2a 0, t 0;1t

⇔ + + + < ∀ ∈

( 2t 2at 2a 1 0, t 0;1⇔ + + + < ∀ ∈

( ) ( 22a t 1 t 1, t 0;1⇔ + <− − ∀ ∈

( ) ( ( ) 2t 1

2a f t , t 0;1 2t 1

− − ⇔ < = ∀ ∈ +

● Xét hàm số ( )2t 1

f tt 1

− −=

+ trên nửa khoảng đoạn (0;1 .

( )( )

2

2

t 2t 1f ' t

t 1

− − +=

+. Cho ( ) f ' t 0 t 2 1 t 2 1= ⇔ = − ∨ = − − .

Bảng xét dấu

www.MATHVN.com



Page - 238 -

t −∞ 2 1− − 0 2 1− 1 +∞

( )f ' t − 0 + 0 −

( )f t

2 2 2−

1− 1−

● Dựa vào bảng biến thiên và ( )21

2a 1 a2

⇒ ≤− ⇔ ≤− thỏa yêu cầu bài toán.

Các thí dụ về phương trình logarit – bất phương trình logarit chứa tham số

Thí dụ 11. Tìm m để phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

1 1

2 2

1m 1 .log x 2 4 m 5 log 4m 4 0

x 2− − + − + − = ∗

−

có nghiệm thực trong đoạn 5

;42

?


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

1 1

2 2

m 1 . 2 log x 2 4 m 5 log x 2 4m 4 0−

∗ ⇔ − − + − − + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1

2 2

m 1 .log x 2 m 5 log x 2 m 1 0 1⇔ − − − − − + − =

● Đặt ( )1

2

t log x 2= − .

Do ( )1

2

5 1x 4 x 2 2 1 log x 2 1 t 1;1

2 2 ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≥ − ≥− ⇒ ∈ −

.

( ) ( ) ( )21 m 1 .t m 5 t m 1 0⇔ − − − + − =

( ) 2

2

t 5t 1m f t

t t 1

− +⇔ = =

− +

● Xét hàm số ( )2

2

t 5t 1f t

t t 1

− +=

− + trên đoạn 1;1 −

.

( )( )

2

22

4t 4f ' t

t t 1

−=

− +.

Cho ( ) 2f ' t 0 4t 4 0 t 1 t 1= ⇔ − = ⇔ = − ∨ = .


t −∞ 1− 1 +∞

( )f ' t + 0 − 0 +

( )f t

7

3

3−

● Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm thực khi 7

m 3;3

∈ −

.

www.MATHVN.com



Page - 239 -

Thí dụ 12. Tìm m để phương trình: 2 2

3 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = có nghiệm thuộc 31; 3

.

Đại học khối A năm 2002 Bài giải tham khảo


● Đặt 2 2 2 2 2

3 3 3t log x 1 1 t log x 1 log x t 1= + ≥ ⇒ = + ⇔ = − .

● Ta có: 3 2

31 x 3 1 log x 1 2≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ hay t 1;2 ∈

.

● Lúc đó, yêu cầu bài toán ⇔ tìm tham số m để phương trình: 2t t 2 2m+ − = có

nghiệm t 1;2 ∈ .

● Xét hàm số ( ) 2f t t t 2= + − trên 1;2

.

Ta có: ( ) f ' t 2t 1 0, t 1;2 = + > ∀ ∈ ⇒ hàm số ( )f t đồng biến trên 1;2

.

Phương trình có nghiệm ( ) ( )f 1 2m f 2 0 m 2⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .

● Vậy m 0;2 ∈ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 13. Xác định a để bất phương trình ( ) 2 2

log x a log x+ > ∗ có nghiệm ?

Đại học Tây Nguyên khối A, B năm 2000


● Đặt 2

t log x= .

( ) ( ) t a t 1∗ ⇔ + >

2

t 0t 0

t a 0 t a t

≥< ⇔ ∨ + ≥ + >

( ) ( ) 2

t 0t 02 3

t a t t a 0

≥< ⇔ ∨ ≥ − − − <

● Để bất phương trình ( )∗ có nghiệm ( )1⇔ có nghiệm ( )2⇔ hoặc ( )3 có nghiệm.

● Xét hệ phương trình ( )3 : ( ) 2

t 0

t t a 0 3 '

≥ − − <

Ta có: ( ) ( ) 23 ' f t t t a⇔ = − < .

Xét hàm số ( ) 2f t t t= − trên )0; +∞.

( )f ' t 2t 1= − . Cho ( ) 1f ' t 0 t

2= ⇔ = .


t −∞ 0

1

2 +∞

( )f ' t − 0 +

( )f t

0 +∞

1

4−

● Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm thì 1

a4

>− .

www.MATHVN.com



Page - 240 -

Thí dụ 14. Tìm m để bất phương trình: ( ) ( ) 2

x x x 12 m.log 2 4 x+ + ≤ + − ∗ có nghiệm ?

Đại học Nông Lâm Tp. Hồ Chí Minh năm 2001


● Điều kiện:

x 0

4 x 0 0 x 4

x 12 0

≥ − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒ + ≥

Tập xác định: D 0;4 = .

● Ta có: x 0;4 ∀ ∈ thì ( )2 2

log 2 4 x log 2 1 0+ − ≥ = > .

● Lúc đó: ( )( )2

x x x 12m

log 2 4 x

+ +∗ ⇔ ≤

+ −.

● Mặt khác: x 0;4 ∀ ∈ thì

( )( ) ( )2

f x x x x 12 :

g x log 2 4 x :

= + + = + −

● Do đó: ( )( )

f x

g x đạt min là

( )( )

f 03

g 0= ⇒ ( )1 có nghiệm khi và chỉ khi m 3≥ .

● Vậy m 3≥ là giá trị cần tìm.

Thí dụ 15. Tìm m để bất phương trình được nghiệm đúng ( ) ( ) 2

mx : log x 2x m 1 0∀ − + + > ∗ ?

Đại học Đà Nẵng khối A đợt 2 năm 2001


( ) ( )2

m mlog x 2x m 1 log 1∗ ⇔ − + + >

2 2

0 m 1 m 1

x 2x m 1 1 x 2x m 1 1

< < > ⇔ ∨ − + + < − + + >

2 2

0 m 1 m 1

x 2x m 0 x 2x m 0

< < > ⇔ ∨ − + < − + >

( )

0 m 1 m 1

a 1 0 Sai a 1 0

' 0 ' 1 m 0

< < > ⇔ = < ∨ = > ∆ < ∆ = − <

m 1⇔ > .

● Vậy bất phương trình có nghiệm đúng x m 1∀ ⇔ > .

Thí dụ 16. Tìm a ∈ � để bất phương trình: ( ) 2

1 1

2 2

2 log a 3 2x log a x 0− + − < ∗ được thỏa mãn

với mọi giá trị x ∈ � ?


● Điều kiện: a 0> .

● Đặt 1

2

t 2 log a= . Khi đó :

( )

2

2

t 3 xt x 0, x

t 2 log a

− + − <∗ ⇔ ∀ ∈ = −

�

đạt min là .

đạt max là .

www.MATHVN.com



Page - 241 -

2

2

x t.x 3 t 0, x

t 2 log a

− + − >⇔ ∀ ∈ = −

�

2

2

a 1 0

t 4t 12 0

t 2 log a

= >⇔ ∆ = + − < = −

2

6 t 2

t 2 log a

− < <⇔ = −

2

6 2 log a 2⇔− <− < .

2

1 log a 3⇔− < <

1

a 82

⇔ < < (thỏa điều kiện a 0> ).

● Thỏa yêu cầu bài toán thì { }a 1;2;3;4;5;6;7∈ .

Thí dụ 17. Tìm m để x 0;2 ∀ ∈ đều thỏa mãn bất phương trình:

( ) ( ) 2 2

2 4log x 2x m 4 log x 2x m 5− + + − + ≤ ∗

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2000


● Điều kiện: 2x 2x m 0− + > .

● Đặt ( )2

4t log x 2x m 0= − + ≥ .

( ) ( )2

4

2

t log x 2x m 0

t 4t 5 0

= − + ≥∗ ⇔ + − ≤

( )

2

4t log x 2x m 0

5 t 1

= − + ≥⇔ − ≤ ≤

( ) 2

40 log x 2x m 1⇔ ≤ − + ≤

2

2

x 2x m 1

x 2x m 4

− + ≥⇔ − + ≤

( )

2

2

x 2x 1 m

x 2x 4 m

− ≥ −⇔ ∗ ∗ − ≤ −

● Xét hàm số ( ) 2f x x 2x, x 0;2 = − ∀ ∈ .

( )f ' x 2x 2= − . Cho ( )f ' x 0 x 1= ⇔ = .


x −∞ 0 1 2 +∞

( )f ' x − 0 +

( )f x

0 0

1−

www.MATHVN.com



Page - 242 -

● Dựa vào bảng biến thiên và ( )1 m 1

4 m 0

− ≤−∗ ∗ ⇒ − ≥

m 2

m 4

≥⇔ ≤

2 m 4⇔ ≤ ≤ .

● Vậy m 2;4 ∈ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 18. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2

4 1

2

2 log 2x x 2m 4m log x mx 2m 0− + − + + − = ∗ .

Xác định tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm 1 2

x , x thỏa: 2 2

1 2x x 1+ > ?

Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh năm 2001


( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2log 2x x 2m 4m log x mx 2m∗ ⇔ − + − = + −

2 2

2 2 2 2

x mx 2m 0

2x x 2m 4m x mx 2m

+ − >⇔ − + − = + −

2 2x mx 2m 0

x 2m x 1 m

+ − >⇔ = ∨ = −

.

● Để ( )∗ có hai nghiệm 1 2

x , x thỏa : 2 2

1 2x x 1+ >

1 2

2 2

1 2

2 2

1 1

2 2

2 2

x 2m, x 1 m

x x 1

x mx 2m 0

x mx 2m 0

= = − + >⇔ + − > + − >

2

2

2

4m 0

2m m 1 0

5m 2m 0

>⇔ − − + > − >

m 0

11 m

22

m 0 m5

≠⇔ − < < < ∨ >

2 1

1 m 0 m5 2

⇔− < < ∨ < < .

● Vậy ( ) 2 1m 1;0 ;

5 2

∈ − ∪ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 19. Tìm x để: ( ) ( ) ( ) 2

2 2

2 2 alog a x 5ax 3 5 x log 5 x 1

+− + + − = − − ∗ luôn đúng

a∀ ∈ � ?

Đại học Y Hải Phòng – Hệ chuyên ban năm 2000


● Điều kiện cần: Nếu hệ thức đúng a∀ thì phải đúng với a 0= .

www.MATHVN.com



Page - 243 -

( ) ( ) ( )2 2log 3 5 x log 5 x 1∗ ⇔ + − = − −

3 5 x 5 x 1⇔ + − = − −

5 x x 1 2⇔ − + − =

( )( ) 4 2 5 x x 1 4⇔ + − − =

x 5 x 1⇔ = ∨ = .

● Điều kiện đủ: Khi x 1= thì

( ) ( ) 2

2

2 2 alog a 5a 5 log 5

+∗ ⇔ − − = .

Hiển nhiên không thỏa mãn với: ( ) 5 5 5 5

a 12 2

− +< <

Khi x 5= thì

( ) ( ) 2

2

2 2 alog 25a 25a 3 log 3

+∗ ⇔ − + = .

Hiển nhiên không thỏa mãn với ( ) 5 13 5 13

a 210 10

− +< <

● Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒ không có giá trị x thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 20. Cho bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2

5 51 log x 1 log mx 4x m+ + ≥ + + ∗ . Hãy tìm tất cả các

giá trị của tham số m để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi x ?

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối D năm 1997


( ) ( ) ( )2 2

5 5log 5 x 1 log mx 4x m ∗ ⇔ + ≥ + +

( )

2 2

2

5 x 1 mx 4x m

mx 4x m 0

+ ≥ + +⇔ + + >

( )( )

2 2

2

5x 4x 5 m x 1

m x 1 4x

− + ≥ +⇔ + > −

( ) ( )

( )( )

( )

f

2

2

2

5x 4x 5x m 1

x 14x

g x m 2x 1

− + = ≥ +⇔ = − < +

● Xét hàm số ( )f2

2

5x 4x 5x

x 1

− +=

+ trên � .

Ta có : ( )( )

( ) 2

22

4x 4f ' x . Cho f ' x 0 x 1 x 1

x 1

−= = ⇔ = ∨ = −

+.


x −∞ 1− 1 +∞

( )f ' x + 0 − 0 +

( )f x

14

3

www.MATHVN.com



Page - 244 -

Dựa vào bảng biến thiên và ( )1 ta được : ( ) ( ) m min f x 3 3≤ =�

● Xét hàm số ( )( )2

4xg x

x 1

−=

+ trên � .

Ta có: ( )( )

( ) 2

22

4x 4g ' x . Cho g ' x 0 x 1 x 1

x 1

−= = ⇔ =− ∨ =

+.


x −∞ 1− 1 +∞

( )g ' x + 0 − 0 +

( )g x

2

1

Dựa vào bảng biến thiên và ( )2 ta được: ( ) ( )g m max x 2 4> =�

.

● Từ ( ) ( )3 , 4 ta được: ( m 2; 3∈ thỏa yêu cầu bài toán.

Thí dụ 21. Tìm m để bất phương trình: ( ) ( ) 21

2

log x 2x m 3− + >− ∗ có nghiệm ?


( ) ( )3

2

1 1

2 2

1log x 2x m log

2

− ∗ ⇔ − + >

2

2

x 2x m 8

x 2x m 0

− + <⇔ − + >

( ) ( )( ) ( )

2

2

f x x 2x 8 m 1

g x x 2x m 2

= − + + <⇔ = − + >

● Xét hàm số ( ) 2f x x 2x 8= − + + trên � .

( ) ( ) f ' x 2x 2. Cho f ' x 0 x 1= − + = ⇔ = .


x −∞ 1 +∞

( )f ' x + 0 −

( )f x

9

−∞ +∞

Dựa vào bảng biến thiên và ( )1 ta được : ( ) ( ) m max f x 9 3< =

● Xét hàm số ( ) 2g x x 2x=− + trên � .

( ) ( ) g ' x 2x 2. Cho g ' x 0 x 1= − + = ⇔ = .


x −∞ 1 +∞

O

www.MATHVN.com



Page - 245 -

( )g ' x + 0 −

( )g x

1

−∞ +∞

Dựa vào bảng biến thiên và ( )2 ta được ( ) ( )g m max x 1 4< = .

● Vậy m 9< thì bất phương trình có nghiệm.

�� Các thí dụ về hệ (bất) phương trình mũ – logarit chứa tham số

Thí dụ 22. Xác định của mọi giá trị của tham số m để hệ sau hai nghiệm phân biệt:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

33 32

2 x 2x 5

log x 1 log x 1 log 4 1

log x 2x 5 m log 2 5 2− +

+ − − > − + − =

Đại học Cần Thơ năm 2001


( ) ( ) ( )3 3 3

x 11

2 log x 1 2 log x 1 2 log 2

>⇔ + − − >

3 3

x 1

x 1log log 2

x 1

>⇔ + > −

x 1

x 12

x 1

>⇔ + > −

x 1

3 x0

x 1

>⇔ − > −

1 x 3⇔ < < .

● Đặt 2y x 2x 5= − + và xét hàm 2y x 2x 5= − + trên ( )1;3 .

y ' 2x 2. Cho y ' 0 x 1= − = ⇔ = .

x −∞ 1 3 +∞

y ' − 0 +

y

8

4

● Do đó : ( ) ( )x 1;3 y 4;8∀ ∈ ⇒ ∈ .

● Đặt ( )2

2t log x 2x 5= − + .

Do : ( ) ( ) ( )2 2

2y x 2x 5 4;8 t log x 2x 5 2;3= − + ∈ ⇒ = − + ∈ .

( ) m2 t 5

t⇔ − =

( ) ( ) ( ) 2f t t 5t m , t 2;3⇔ = − = ∗ ∀ ∈

● Xét hàm số ( ) 2f t t 5t= − trên khoảng ( )2;3 .

www.MATHVN.com



Page - 246 -

( ) ( ) 5

f ' t 2t 5. Cho f ' t 0 t2

= − = ⇔ = .


t −∞ 2

5

2 3

+∞

( )f ' t − 0 +

( )f t

6− 6−

25

4−

● Dựa vào bảng biến thiên, hệ có hai nghiệm phân biệt 25

m 64

⇔ − < <− .

Thí dụ 23. Tìm m để hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

4

2x 1 ln x 1 ln x 2y 1 ln y 1 ln y 1

y 1 2 y 1 x 1 m x 1 0 2

+ + − = + + − − − + − + + =

có nghiệm ?


● Điều kiện: x 0, y 0> > .

( ) ( ) ( )x 1 y 11 2x 1 .ln 2y 1 .ln

x y

+ +⇔ + = +

( ) ( ) ( ) f x f y 3⇔ =

● Xét hàm số ( ) ( )t 1

f t 2t 1 . lnt

+= + trên khoảng ( )0;+∞ .

Giả sử 1 2

t t< và ( )1 2t , t 0;∈ +∞ .

Ta có: ( ) ( )2 2

2 12 12 1

2 12 1

2t 1 2t 1 0t 1 t 1

2t 1 ln 2t 1 lnt 1 t 1ln ln 0 t t

t t

+ > + > + + ⇒ + > ++ + > >

.

( ) ( ) ( )2 1 2 1t t f t f t f t :⇒ > ⇔ > ⇒ đồng biến ( )4

● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 , 4 f x f y x y⇒ = ⇔ = .

( ) ( )( )42 x 1 2 x 1 x 1 m x 1 0⇔ − − + − + + =

4x 1 x 1

2. m 0x 1 x 1

− −⇔ − + =

+ + ( )5

● Đặt 4x 1

a ,x 1

−=

+ với )a 0;1∈

.

( ) ( )25 a 2a m f a⇔− + = = .

● Xét hàm số ( ) 2f a a 2a=− + trên )0;1.

( )f ' a 2a 2= − + .

Cho ( ) )f ' a 0 2a 2 0 a 1 0;1= ⇔ − + = ⇔ = ∉ .

● Để phương trình có nghiệm ( ) ( )f 0 m f 1 0 m 1⇔ ≤ < ⇔ ≤ < .

● Vậy )m 0;1∈ .

www.MATHVN.com



Page - 247 -

Thí dụ 24. Tìm a sao cho hệ: ( )( ) ( ) ( )

xx 2

4

2 2

3 4 5 1

1 log a x log x 1 2

− ≥ + − ≥ +

có nghiệm ?

Đại học Tổng Hợp Tp. Hồ Chí Minh năm 1995


( ) ( ) ( )

xxx

x 1 51 3 4 5 1 4. 1'

3 3

⇔ ≥ + ⇔ ≥ +

● Xét hàm số ( )xx

1 5f x 4.

3 3

= + trên � .

( )

xx

1 1 5 5f ' x 4. ln . ln 0, x

3 3 3 3

= + < ∀ ∈ � ⇒ ( )f x nghịch biến trên � .

( ) ( ) ( ) ( )1' 1 f x f 2 f x x 2⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .

( ) ( ) ( )4

2 22 log 2 a x log x 1 ⇔ − ≥ +

( ) 42 a x x 1⇔ − ≥ +

( ) ( ) 41

a x 2x 1 g x2

⇔ ≥ + + = .

● Xét hàm số ( ) ( )41g x x 2x 1

2= + + với mọi x 2≥ .

( ) ( ) )31g ' x 4x 2 0, x 2;

2= + > ∀ ∈ +∞ ⇒

( )g x đồng biến trên )2; +∞.

Bảng biến thiên x −∞ 2 +∞

( )g ' x +

( )g x

+∞

21

2

● Vậy hệ có nghiệm khi 21

a2

≥ .

Thí dụ 25. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho hệ ( )

( ) ( ) ( )

2 2

m 3

9x 4y 5 1

log 3x 2y log 3x 2y 1 2

− = + − − =

có nghiệm ( )x; y thỏa 3x 2y 5+ ≤ ?


● Ta có: ( )( )3x 2y 3x 2y 5

3x 2y 13x 2y 5

+ − = ⇒ − ≥ + ≤

.

● Đặt 5

t 3x 2y 3x 2yt

= − ⇒ + = .

www.MATHVN.com



Page - 248 -

( ) m 3

52 log log t 1

t

⇔ − =

m 3 3

5log 3. log 1 log t

t

⇔ = +

3m

3

1 log tlog 3

5log

t

+⇔ =

( ) 3m

3 3

1 log tlog 3 3

log 5 log t

+⇔ =

−

● Đặt ( ) 3

z log t, z 0 do t 3x 2y 1= ≥ = − ≥ .

( ) ( ) m

3

z 13 log 3 f z , z 0

z log 5

+⇔ = = ∀ ≥

− + và

3z log 5≠ .

● Xét hàm số: ( )3

z 1f z

z log 5

+=− +

trên ) { }30; \ log 5 +∞

.

( )( )

) { } 3

32

3

log 5 1f ' z 0, z 0; \ log 5

z log 5

+ = > ∀ ∈ +∞− +

.

Bảng biến thiên z −∞ 0

3log 5 +∞

( )f ' z 0 + +

( )f z

+∞ 1−

5

log 3 −∞

● Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thỏa 3x 2y 5+ ≤ thì

m m 5

log 3 1 log 3 log 3≤− ∨ ≥

3 3 5

1 1 11

log m log m log 3⇔ ≤− ∨ ≥

3 3 3

log m 1 log m log 5⇔ ≥− ∨ ≤

1

m m 53

⇔ ≥ ∨ ≤ .

● Vậy giá trị lớn nhất của m là m 5= .

Thí dụ 26. Tìm m để hệ bất phương trình: ( )

( ) ( )

5x x 1 5 x 1

2

7 7 2014x 2014 1

x m 2 x 2m 3 0 2

+ + + + − + ≤ − + + + ≥

có nghiệm ?


● Điều kiện: x 1≥− .

( ) 5x x 1 5 x 11 7 .7 7 .7 2014 2014x+ +⇔ − ≤ −

( ) ( ) ( ) x 1 5x 57 7 7 2014 1 x 3+⇔ − ≤ −

www.MATHVN.com



Page - 249 -

● Với ( )( )

( ) ( ) ( )

x 1 5x 5x 1 5x 57 7 7 0

x 1 7 7 7 2014 1 x 42014 1 x 0

++

− >> ⇒ ⇒ − > − − <

( ) ( ) ( )3 , 4 3 :⇒ Vô nghiệm khi x 1> .

● Với ( )x 1;1 3 : ∈ − ⇒ luôn đúng.

● Hệ có nghiệm ⇔ ( )2x m 2 x 2m 3 0− + + + ≥ có nghiệm x 1;1 ∀ ∈ −

( )2x 2x 3

m f xx 2

− +⇔ ≥ =

− có nghiệm x 1;1 ∀ ∈ − ( )

1;1m min f x

−

⇔ ≥ .

● Xét hàm số ( )2x 2x 3

f xx 2

− +=

− trên 1;1 −

.

( )( )

2

2

x 4x 1f ' x , x 1;1

x 2

− + = ∀ ∈ − −

.

Cho ( ) 2x 2 3 1;1

f ' x 0 x 4x 1 0x 2 3 1;1

= + ∉ − = ⇔ − + = ⇔ = − ∈ −

.

Tính ( ) ( )

( ) ( )1;1

f 1 f 1 2min f x 2

f 2 3 2 2 3 −

− = = − ⇒ =− − = −

.

● Vậy m 2≥− thỏa yêu cầu bài toán.

www.MATHVN.com



Page - 250 -


Bài tập 25. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm ?

1/ x x4 5.2 m 0+ + = . ĐS: ( )m ;0∈ −∞ .

2/ x x9 3 m 0+ + = .

3/ x x9 m.3 1 0+ − = .

4/ x x 14 2 m+− = .

5/ ( )x x2 m 1 .2 m 0−+ + + = .

6/ x x25 2.5 m 2 0− − − = .

7/ ( )x 2x16 m 1 .2 m 1 0− − + − = .

8/ x x25 m.5 1 2m 0+ + − = .

9/ 2 2sin x cos x81 81 m+ = .

10/ 2 24 2x 2 x3 2.3 2m 3 0− −− + − = .

11/ x 1 3 x x 1 3 x4 14.2 8 m+ + − + + −− + = .

12/ 2 2x 1 x x 1 x9 8.3 4 m+ − + −− + = .

13/ ( )2 21 1 x 1 1 x9 m 2 .3 2m 1 0+ − + −− + + + = . ĐS:

48m 4;

7

∈

.

14/

x x

7 3 5 7 3 5m 8

2 3

+ − + = . ĐS: (m ;16∈ −∞

.

Bài tập 26. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất ?

1/ x xm.2 2 5 0−+ − = . ĐS: 25

m 0 m4

= ∨ = .

2/ x x xm.16 2.81 5.36+ = . ĐS: 25

m8

= .

3/ ( ) ( )x x

x5 1 m. 5 1 2+ + − = . ĐS: 1

m4

= .

4/

x x

7 3 5 7 3 5m. 8

2 2

+ − + = . ĐS: m 4= .

5/ x x 34 2 3 m+− + = . ĐS: ( )m 13;3∈ − .

6/ x x9 m.3 1 0+ + = . ĐS: ( )m ; 4∈ −∞ − .

Bài tập 27. Tìm tham số m để các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu ?

1/ ( )x x 249 m 1 .7 m 2m 0+ − + − = . ĐS: Không có m thỏa YCBT.

2/ ( ) ( )x x 1m 1 .4 3m 2 .2 3m 1 0++ + − − + = . ĐS: 1

m 1;3

∈ − .

3/ ( )x x9 3 m 1 .3 5m 2 0+ − − + = . ĐS: 2

m 0;5

∈ .

4/ ( ) ( )x xm 3 .16 2m 1 .4 m 1 0+ + − + + = . ĐS: 3

m 1;4

∈ − − .

www.MATHVN.com



Page - 251 -

5/ ( )x x4 2 m 1 .2 3m 8 0− + + − = . ĐS: 8

m ;93

∈ .

6/ x x4 2 6 m− + = . ĐS: Không tồn tại m thỏa YCBT.

Bài tập 28. Tìm m để bất phương trình:

( ) ( )1 x x

x

2

2x 6 m 1 6 2m 1

60

ex x 2014

− − − − + + ≥

− π + có nghiệm đúng

x 0;1 ∀ ∈ ?

ĐS: 1

m2

≤ .

Bài tập 29. Tìm tham số m để các phương trình

1/ ( )x x x x16 m.8 2m 1 .4 m.2− + − = có ba nghiệm phân biệt ?

ĐS: m 3 2 2 m 3 2 2> + ∨ < − .

2/ 2 2x x 24 2 6 m+− + = có ba nghiệm phân biệt ?

ĐS: m 3= .

3/ 2 2x x9 4.3 8 m− + = có ba nghiệm phân biệt ?

ĐS: m 5= .

Bài tập 30. Cho phương trình: ( ) 2 m 1x 4x 5

1 1

42+− +

= ∗

1/ Giải phương trình khi m 0= . ĐS: x 1 x 3= ∨ = .

2/ Tìm m để ( )∗ có hai nghiệm trái dấu ? ĐS: 3

m2

> .

3/ Tìm m để ( )∗ có hai nghiệm thuộc ( )1;4 ? ĐS: 1

m ;02

∈ − .

Bài tập 31. Cho phương trình: 2 2x 5x 6 1 x 6 5x2 2 2.2 m− + − −+ = + ( )∗

1/ Giải phương trình khi m 1= . ĐS: x 1 x 2 x 3= ± ∨ = ∨ = .

2/ Tìm m để ( )∗ có 4 nghiệm phân biệt ? ĐS: ( )1 1

m 0;2 \ ;8 256

∈

.

Bài tập 32. Cho phương trình: 2 2x 2x 2 2x 4x 4 23 2 x 2x 2 m 0− + − ++ + − + − = ( )∗

1/ Giải phương trình với m 8= . ĐS: x 1= .

2/ Giải phương trình với m 27= . ĐS: x 0 x 2= ∨ = .

3/ Tìm m để phương trình có nghiệm ? ĐS: m 8> .

Bài tập 33. Cho phương trình: 3 2

2

mx 2x 3x 2

mx x 2

127

9

− + −

− − += ( )∗

1/ Giải phương trình với m 3= − . ĐS: 1 2

x 1 x x3 3

= − ∨ = ∨ = .

2/ Tìm m để ( )∗ có ba nghiệm dương phân biệt ? ĐS: ( )3

m 0;1 \4

∈

.

Bài tập 34. Cho phương trình: ( ) ( )x x2m 3 .16 4m 2 .4 3m 8 0+ − − + − = ( )∗

1/ Giải phương trình với m 3= . ĐS: 2

x 0 x log 3= ∨ =− .

2/ Tìm m để ( )∗ có hai nghiệm trái dấu ? ĐS: 3

m ;32

∈ − .

www.MATHVN.com



Page - 252 -

Bài tập 35. Tìm m để phương trình x x4 m.2 m 3 0− + + ≤ có nghiệm ?

ĐS: m 3 m 6<− ∨ ≥ .

Bài tập 36. Tìm m để phương trình: ( )2 2 2 227 1

3

3 log 2x x 2m 4m log x mx 2m 0− + − + + − =

có hai nghiệm phân biệt 1 2

x , x thỏa: 2 2

1 2x x 1+ > ?

Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 18 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quãng Nam

ĐS: ( )2 1

m 1;0 ;5 2

∈ − ∪ .

Bài tập 37. Tìm m để bất phương trình: ( )2 2 22x x 2x x 2x xm.9 2m 1 .6 m.4 0− − −− + + ≤ nghiệm đúng với

mọi x thỏa mãn 1

x2

≥ ?

ĐS: (m ;1∈ −∞ .

Bài tập 38. Tìm m để phương trình: 2 2

5 5log x 2 log x 1 m 2 0+ + − − = có ít nhất một nghiệm thuộc

đoạn 31;5

?

Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – THPT Nguyễn Trung Ngạn ĐS: m 0;5 ∈

.

Bài tập 39. Tìm a để phương trình: 2 8

3 3log x a log x a 1 0+ + + = có đúng hai nghiệm phân biệt ?

Đề thi thử Đại học năm 2012 lần 3 – THPT Chuyên – Đại học Sư Phạm Hà Nội

ĐS: ( ) 1 5

a a ; 12

−= ∨ ∈ −∞ − .

Bài tập 40. Tìm m để phương trình: ( )x x25 m 1 5 2m 3 0+ − + + = có nghiệm duy nhất ?

Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH Thăng Long – Tp. HCM

Bài tập 41. Tìm a để phương trình: ( )x

5 5log 25 log a x− = có nghiệm duy nhất ?

Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

ĐS: 4

1a a 1

5= ∨ ≥ .

Bài tập 42. Tìm m để phương trình: ( ) ( )3

1 3

27

log 27x 1 log x m 1 0+ + + + = có nghiệm x 0≥ ?

Đề thi thử Đại học năm 2011 – Đợt 1 – TTBDVH Thăng Long – Tp. HCM

ĐS: 1

m 0;3

∈

.

Bài tập 43. Tìm m để phương trình: cos x cos x4 2 4 1 m+ − − = có nghiệm ?


Bài tập 44. Tìm a để bất phương trình: ( )2

1 1

3 3

log x 1 log ax a+ > + có nghiệm ?

Đề thi thử lần 1 năm 2011 khối A, B – THPT Nguyễn Huệ

ĐS: ( ) 2a ; 1 ;

2

∈ −∞ − ∪ +∞ .

www.MATHVN.com



Page - 253 -

Bài tập 45. Tìm m để hệ ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )4

2x 1 ln x ln x 1 2y 1 ln y 1 y 0

y 1 2 y 1 x 2 m x 0

− + − − + + = − − + − + =

có nghiệm ?

ĐS: )m 0;1∈ .

Bài tập 46. Tìm m để hệ ( ) ( )( ) 2

33 3

22 x 2x 5

log x 1 log x 1 log 4

log x 2x 5 m log 5− +

+ − − > − + − =

có hai nghiệm thực phân biệt ?


ĐS: 25

m ; 64

∈ − − .

Bài tập 47. Tìm m để hệ phương trình:

2

3 3

32

1log x log y 0

2

x y my 0

− = + − =

có nghiệm ?

Đề thi thử Đại học khối A năm 2011 – Đại học Sư Phạm Hà Nội

ĐS: ( )m 0;∈ +∞ .

Bài tập 48. Tìm a để hệ phương trình:

( ) ( )

xx x 2

4

2 2

3 4 5

1 log a x log x 1

− ≥ + − ≥ +

?


ĐS: 21

a2

≥ .

Bài tập 49. Xác định m để hệ phương trình

x 2

2 2

2 x x y m

x y 1

+ = + + + =

có nghiệm duy nhất ?

ĐS: m 0= .

Bài tập 50. Cho phương trình: ( )x x4 4m 2 1 0− − = .

1/ Giải phương trình khi m 1= .

2/ Tìm m để phương trình có nghiệm ?

Bài tập 51. Cho phương trình: ( ) ( )x x

2 3 2 3 m+ + − = .


2/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ?

Bài tập 52. Cho phương trình: x x xm.16 2.81 5.36+ = .


2/ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất ?

Bài tập 53. Cho hương trình: ( )

2x 2x

21m m 1

3

− = + + ∗

1/ Giải phương trình khi m 1= − . 2/ Tìm m để ( )∗ có bốn nghiêm phân biệt ?

Bài tập 54. Tìm tham số m để phương trình

2x 4x 3

4 21m m 1

5

− + = − +

có bốn nghiệm phân biệt ?

www.MATHVN.com



Page - 254 -

ĐS: 0 m 1< < .

Bài tập 55. Cho phương trình: ( )x x 24 2m 1 .2 m m 0− + + + = .

1/ Giải phương trình khi m 1= và 1

m2

= − .

2/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ?

Bài tập 56. Cho phương trình: ( ) ( ) x xm.4 2m 1 .2 m 4 0− + + + = ∗

1/ Giải ( )∗ khi m 0= và m 1= .

2/ Tìm m để phương trình có nghiệm ?

3/ Tìm m để phương trình có nghiệm x 1;1 ∈ − ?

Bài tập 57. Cho phương trình: ( ) x x 14 m.2 2m 0+− + = ∗

1/ Giải ( )∗ khi m 2= .

2/ Tìm m để ( )∗ có hai nghiệm thỏa 1 2

x x 3+ = .

Bài tập 58. Tìm tham số m để các phương trình logarit sau có nghiệm duy nhất ?

1/ ( ) 33log x 3 log mx+ = .

2/ ( )2 lg x 3 1 lg mx+ = + .

3/ ( ) ( )2lg x mx lg 8x 3m 3+ = − + .

4/ ( ) ( )2lg x 2mx lg 8x 6m 3 0+ − − − = .

5/ ( ) ( )2

1

10

lg 2x m 1 log x 4mx 0− − + + = .

6/ ( ) ( )2

2 3 2 3log x 2 m 1 x log 2x m 2 0

+ −

− + + + − = .

7/ ( ) ( )22log x 2 log mx− = .

8/ ( )2

5 2 5 2log x mx m 1 log x 0

+ −+ + + + = .

9/ ( ) ( )2

3 3log x 4mx log 2x 2m 1+ = − − .

10/ ( ) ( )22 2 7 2 2 7

log x m 1 log mx x 0+ −

− + + − = .

Bài tập 59. Tìm tham số m để phương trình: ( )x

2log 4 m x 1− = + có hai nghiệm phân biệt ?

Bài tập 60. Tìm tham số m để phương trình: ( )x 3

3log 9 9m 2+ = có hai nghiệm phân biệt ?

Bài tập 61. Tìm tham số m để phương trình: ( )2

3 3log x m 2 . log x 3m 1 0− + + − = có hai nghiệm

phân biệt 1 2

x , x thỏa: 1 2

x x 27= ?

Bài tập 62. Tìm m để phương trình ( )2 2 2

2 1 4

2

log x log x 3 m log x 3+ − = − có nghiệm x 32≥ ?

Bài tập 63. Tìm m để phương trình ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1

2 2

m 1 log x 2 m 5 log x 2 m 1 0− − − − − + − =

có

nghiệm 1 2

x , x thỏa: 1 2

2 x x 4≤ ≤ ≤ ?

Bài tập 64. Tìm m để phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1

2 2

m 3 log x 4 2m 1 log x 4 m 2 0− − − − − + + = có hai

nghiệm phân biệt 1 2

x , x thỏa: 1 2

4 x x 6< < < ?

www.MATHVN.com



Page - 255 -

Bài tập 65. Tìm m để phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2m 4 log 2 x 2m 1 log 2 x m 1 0− − − − − + + = có hai

nghiệm phân biệt 1 2

x , x thỏa: 1 2

0 x x 2< < < ?

Bài tập 66. Tìm m để phương trình ( )2

2 1

2

4. log x log x m 0− + =

có nghiệm trên( )0;1 ?

Bài tập 67. Tìm m để phương trình ( ) ( )2lg x 2mx lg 2x m 1 0+ − − − = có duy nhất một nghiệm ?

Bài tập 68. Tìm m để phương trình 2 2

2

mm mx x

xlog m . log log x log 4. log m

2+ = có nghiệm và tìm

nghiệm đó ?

Bài tập 69. Tìm m để tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình

m m2 log x 1 log x 1− − = bằng 34 ?

Bài tập 70. Tìm tham số m để phương trình ( )( )

( )2log 4 x 2 3

mx 2 2 . x 2−

− = − có hai nghiệm phân biệt

1 2

x , x thỏa: 1 2

5x x 4

2≤ < ≤ ?

Bài tập 71. Tìm ( )5;16 ,α ∈ biết rằng phương trình:

cos x sin x

2 x 3 11 cos

2 8 3

π − α π + + =

có nghiệm

1;2 ∈ ?

Bài tập 72. Tìm ( )2;7 ,α ∈ biết rằng phương trình: 2

3

5log 1 sin x cos x 1

2 2

π π + + = α − có

nghiệm thuộc 1;2

?

Bài tập 73. Tìm tham số m để các bất phương trình mũ – logarit sau có nghiệm ?

1/ x x9 m.3 1 0+ + ≤ . ĐS: m 2≤ .

2/ 2x 23 1 m≥ + .

3/ x 1 23 1 m−≤ − .

4/ x 25 1 m

−≥ + .

5/ x 2

12m 1

4−= − .

6/ x x4 m.2 m 3 0− + + ≤ .

7/ x x9 m.3 m 3 0− + + ≤ .

8/ x x2 7 2 2 m+ + − ≤ .

9/ ( ) ( )2 2x x 1

2 1 2 1 m−

+ + − ≥− .

10/ x x4 m.2 m 1 0+ + − ≤ .

11/ ( ) ( )2x 1 x3 m 3 .3 2 m 3+ − + < + .

12/ ( )x x 1 24 2m 1 .2 m m 0+− + + + ≥ .

13/ ( )x x 29 2m 1 .3 m m 0− − + − ≥ .

14/ ( ) ( )x x3.4 m 1 .2 2 m 1 0− − − − < .

15/ x xm.25 5 m 1 0− − − > .

www.MATHVN.com



Page - 256 -

16/ 2x x x 4 x 43 m.3 9.9 0+ + +− − < . ĐS: 4

1 729 3m

81 3

−> .

17/ x m

1log 100 log 100 0

2− > .

18/ m m

1 21

5 log x 1 log x+ <

− +.

19/ 2m

m

1 log x1

1 log x

+>

+.

20/ 2 2

log x m log x+ > .

21/ ( ) ( )2 2x m x m

log x 1 log x x 2− −

− > + − .

Bài tập 74. Tìm tham số m để các bất phương trình mũ – logarit sau có nghiệm đúng với:

1/ ( ) ( ) x x x3m 1 .12 2 m .6 3 0, x 0+ + − + < ∀ > .

2/ ( ) x x 1m 1 .4 2 m 1 0, x+− + + + > ∀ .

3/ ( ) x x xm.9 2m 1 .6 m.4 0, x 0;1 − + + ≤ ∀ ∈ .

4/ ( ) x x 2m.9 m 1 .3 m 1 0, x++ − + − > ∀ .

5/ ( ) cos x cos x 24 2 2m 1 .2 4m 3 0, x+ + + − < ∀ .

6/ x x3 3 5 3 m, x+ + − ≤ ∀

7/ ( ) ( ) x x x2.25 2m 1 .10 m 2 .4 0, x 0− + + + ≥ ∀ ≥ .

8/ ( ) x 1 x4 m. 2 1 0, x− − + > ∀ .

9/

1x 3x 3 27 4.7 m 0, x

− +− +− − > ∀ .

10/ sin x 1 sin x4 2 m, x++ > ∀ .

11/ ( ) ( ) 2 25 5

1 log x 1 log mx 4x m , x+ + ≥ + + ∀ .

12/ ( ) ( ) 2 22 2

log 7x 7 log mx 4x m , x+ ≥ + + ∀ .

13/ ( ) 21

m 1

log x 2 m 0, x

−

+ > ∀ .

14/ 21 1 1

2 2 2

m m m2 log x 2 1 log x 2 1 log 0, x

m 1 m 1 m 1

− − + − + > ∀ + + + .

Bài tập 75. Tìm tham số m để mọi nghiệm của bất phương trình ( )1 đều là nghiệm của bất phương

trình( )2 :

1/ ( )

( ) ( ) ( )

2 11

x x

2 2

1 13 12 1

3 3

m 2 x 3 m 6 x m 1 0 2

+ + > − − − − − <

.

www.MATHVN.com



Page - 257 -

2/ ( )

( ) ( )

2 11

x x

22

2 2 8 1

4x 2mx m 1 0 2

+ − > − − − <

.

3/ ( )

( ) ( ) ( )

2x 1 . x

2

2 9.2 4 0 1

m 1 x m x 3 1 0 2

+ − + ≤ + + + + >

.

4/ ( )

( ) ( )

2 12

x x

2

1 19. 12 1

3 3

2x m 2 x 2 3m 0 2

+ + > + + + − <

.

5/ ( )

( )

2 21 1

2 42 2

log x log x 0 1

x mx m 6m 0 2

+ < + + + <

.

6/ ( ) ( )

( )

2x

2 4

log 5x 8x 3 0 1

x 2x 1 m 0 2

− + > − + − >

.

www.MATHVN.com


Documents

Chuyen de. PT - BPT - HPT Mu Loga (Le Van Doan)2.pdf