Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN · Web viewHội đồng bộ môn Toán Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2013 – 2014 Chuyeân ñeà : TÍCH

Trường THPT Lai Vung 2

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP Hội đồng bộ môn Toán

Chuyên đề:

Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPTNăm học 2013 – 2014

1


Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT)

A) Tóm tắt kiến thức cơ bản :Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau :

1) Bảng các nguyên hàm:Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản

Nguyên hàm của những hàm số hợp

2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]

;

2


( k là hằng số)

( với a < c < b )

3) Các công thức lượng giác:a) Công thức nhân đôi:* sin2a = 2sina.cosa* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2ab) Công thức hạ bậc:

* sin2a =

* cos2a =

c) Công thức biến đổi tích thành tổng:

*

*

*

4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :

* và

* ;

* a0 = 1; a1 = a ; a-n =

* ;

* ;

* 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

* a2 – b2 = (a+b)(a – b) * * *

3

Trường THPT Lai Vung 2B) Ví dụ và bài tập:I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tính các tích phân

a) I1 =

b) I2 =

c) I3 =

Giải:

a) I1 = =

Vậy: I1 =

b) I2 = = = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1

Vậy: I2 = e2 –1

c) I3 = = =

Vậy: I3 =


a) J1 =

b) J2 =

c) J3 =

Giải:a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1

suy ra J1 = = = =

Vậy: J1 =

b) Ta có :

4


suy ra J2 = =

= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 .Vậy: J2 = 7ln2 – 2

c)

suy ra J3 = =

= = 25,25. Vậy: J3 =


a) K1 =

b) K2 =

c) K3 =

Giải:

a) Ta có: sin3x.cosx =

suy ra K1 = =

Vậy: K1 =

b) K2 =

Ta có: cos22x =

suy ra K2 = = = . Vậy: K2

=

c) K3 =

Ta có : e2x–1 – 1 = 0 e2x–1 = 1 = e0 2x – 1 = 0 x =

5


Suy ra K3 = =

= +

= + . Vậy K3 =

Các bài tập tự luyện:Tính các tích phân:

1) L = KQ: L =

2) I = KQ: I =

3) J = KQ: J =

4) K = KQ: K = – 2

5) M = KQ: M =

6) N = KQ: N =

7) P = KQ: P =

8) Q = KQ:

9) R = KQ:

10) S = KQ:

(HD: Phân tích 2x2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)

Từ đó

II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I =

1) Loại 1: Tiến hành theo các bước

6

Trường THPT Lai Vung 2+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.

Ví dụ 4: Tính tích phân

a) I1 =

b) I2 =

Giải:

a) I1 =

+ Đặt x = 2sint , t (u(t) = 2sint) dx = 2costdt

+ Cận mới:x= 0 2sint = 0 sint = 0 t = 0

x = 2 2sint = 2 sint = 1 t =

+ I1 = = = 4 = 4 =4

I1 = 2 = 2 = . Vậy I1 =

Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số là

3,141592654.+ Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ

cần tính , đặt x = asint , t (u(t) = asint) dx = acostdt rồi thực hiện các bước

tiếp sau tương tự trong ví dụ).

b) I2 =

+ Đặt x = 3tant, t dx = 3(1 +tan2t)dt

+ Cận mới:x = 0 3tant = 0 tant = 0 t = 0

x = 3 3tant = 3 tant = 1 t =

+ I2 = = =

7


= = = . . Vậy I2 =

Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính

, đặt x = atant , t dx = a(1 + tan2t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự.

2) Loại 2: Tiến hành theo các bước+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì =u(a) = u(b) .+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.


a) J1 =

b) J2 =

c) J3 =

d) J4 =

e) J5 =

Giải:

a) J1 =

+ Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = du

+ Đổi cận: x = 1 u = 12 = 1; x = 2 u = 22 = 4 ( = 1, = 4)

+ J1 = = = = ( e4 – e1) = ( e4 – e)

+ Vậy J1 = ( e4 – e)

b) J2 =

+ Đặt u = u2 = 1 + lnx 2udu = dx

+ Đổi cận: x = 1 u = = 1; x = e u = =

8


+ J2 = = = = ) =

+ Vậy J2 =

Ghi nhớ:

Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx du = dx

ln1 = 0 và lne = 1

c) J3 =

+ Đặt u = x4 – 1 du = 4x3dx x3dx = du

+ Đổi cận: x = 0 u = 0 – 1 = –1; x = 1 u = 14 – 1 = 0

+ J3 = = = =

+ Vậy J3 =

d) J4 =

+ Đặt u = u2 = 4 – x 2 2udu = – 2xdx xdx = –udu

+ Đổi cận: x = 0 u = = 2; x = 2 u = = 0

+ J4 = = = = =

+ Vậy J4 =

Chú ý: Học sinh cần phân biệt tích phân I1 = và tích phân vừa tính để tránh nhầm lẫn về

cách đổi biến.

e) J5 =

+ Đặt u = 1 + sinx du = cosxdx

+ Đổi cận: x = 0 u = 1 +sin0 = 1; x = u = 1 + sin = 2

+ J5 = = = = =

+ Vậy J5 =

Các bài tập tự luyện:1) Tính các tích phân:

9


a) I = KQ: I =

b) J = KQ: J = –4

c) K = KQ: K =

d) L = KQ: L =

e) M = KQ: M =

g) N = KQ: N = ln

h) P = KQ: P =

(Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10-7)

i) Q = ( Đặt x = sint) KQ:

2) Tính các tích phân:

a) I1 = KQ: 4

b) J1 = KQ:

c) P = KQ: 2ln3

d) Q= KQ: 16/3

e) L1 = KQ:

g) N1 = KQ: ln(e+1)

h) J4’ = KQ:

(Kết quả J4’máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 0,1015873016)

III) Phương pháp tích phân từng phần:

10


Công thức:

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính

Dạng hàm P(x): Đa thức

Q(x): sinkx hay coskxP(x): Đa thức

Q(x):ekxP(x): Đa thứcQ(x):ln(ax+b)

P(x): Đa thức

Q(x): hay

Cách đặt

* u = P(x)* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân


* u = ln(ax + b)* dv = P(x)dx



a) I1 =

b) I2 =

c) I3 =

Giải:

a) I1 =

Đặt: u = 2x du = 2dx;

dv = cos2xdx v = sin2x

I1 = = – = =

=

b) I2 =

Đặt: u = x +1 du = dx;

dv = e2xdx v = e2x

I2 = = –

= = =

Vậy: I2 =

11


c) I3 =

Đặt: u = ln(x – 1) du = dx;

dv = 2xdx v = x2

I3 = = –

= 9ln2 – 0 – = 9ln2 – = 8ln2 –

Vậy: I3 = 8ln2 –

Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu

Đặt: u = ln(x – 1) du = dx;

dv = 2xdx v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1)Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết

, trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn.


a) J1 =

b) J2 =

Giải:

a) J1 =

Đặt: u = x du = dx;

dv = v = tanx

J1 = = – = = =

Vậy: J1 =

Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm thì có thể biến đổi tanx =

rồi đặt u = cosx (đổi biến loại 2).

b) J2 =

12


Đặt: u = lnx du = dx

dv = dx v = (HD: có 1 nguyên hàm là )

J2 = = + = = =

Vậy: J2 =

Lưu ý: Nếu tính thì ta lại dùng phương pháp đổi biến

Các bài tập tự luyện:1) Tính các tích phân:

a) I 1= KQ: I =

b) I2 = KQ:

c) I3 = KQ: M = – ln

d) I4 = KQ: N = 2(1 – )

2) Tính các tích phân:

a) K1= KQ:

b) K2 = KQ:

c) K3 = KQ: J = 2

d) K4 = KQ:

e) K5 = KQ:

(xem thêm bài tập 18c trang 161 SGK GT 12 nâng cao)

IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:1) Diện tích hình phẳng:

Cơ sở lí thuyết:

13

Trường THPT Lai Vung 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0

(trục hoành) được tính bởi: S = (1).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b

được tính bởi: S = (2).

Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2.Giải:

Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =

thì S =

Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]

Vậy S = + = + = 2

Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x.Giải: Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2

= x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2

Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì S =

Vậy S = = = =

* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b].

2) Thể tích vật thể tròn xoay:Cơ sở lí thuyết:Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh

trục Ox được tính bởi: V = (3)

Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,

Giải: Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2

Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =

Ta có V = =

14


= (đvtt)

b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.Giải:

Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = –

x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:

Có V1 = =

Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3, x = 0, x = -1 và trục Ox…:

Có V2 = =

Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt)

Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục

Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết quả sai KQs : V =

đvtt.

Các bài tập tự luyện:1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x2 + 4x vaø truïc hoaønh.

KQ: S = ñvdt

2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x2 vaø

y = – x – 2 . KQ: S = ñvdt

3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3]KQs: S = 200 ñvdt

4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox:

a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2 KQ: 16 ñvtt

b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt

c) y = ; y = 0; x = 0; x = KQ:

V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:

Bài 1: Tính tích phân I (TNTHPT năm 2007– 2008)

Bài 2: Tính tích phân I = (TNTHPT năm 2008– 2009)

15





Bài 6: Tính tích phân J = . (TNTHPT năm 2012– 2013)

VI) Một số bài tập nậng cao :Chúng tôi đề nghị các bài tập ở phần sau dành cho các em học sinh khá, giỏi. Các em học sinh chỉ

muốn ôn tập để thi TNTHPT không nhất thiết phải làm các bài tập dưới đây.

Bài 1: Tính các tích phân

1) I1 = KQ:

2) I2 = KQ: I2 =

3) I3 = KQ: I3 = 2

4) I4 = KQ:

5) I5= KQ:

6) I6 = KQ:


1) J1 = KQ: J1 =

2) J2 = KQ: J2 =

3) J3 = KQ: J3 =

4) J4 = KQ: J4 =

5) J5 = KQ: J5 =

16


6) J6 = KQ: J6 =

7) J7 = ( a, b>0) KQ: J7 =

8) J8 = KQ: J8 =


1) K1 = KQ: K1 =

2) K2 = KQ: K2 =

3) K3 = KQ: K3 =

4) K4 = KQ: K4 =

5) K5 = KQ: K5 =

6) K6 = KQ: K6 =

VII) Một số đề thi cao đẳng và đại học các năm trước có liên quan đến tích phân:

Bài 1: Tính tích phaân: I (Khối A năm 2009– 2010)

HD: Viết I + = I1 + I2 .Tính I1 dùng đổi biến

KQ:

Bài 2: Tính tích phân I = (Khối B năm 2009– 2010)

HD:Đặt t = 2 + lnx KQ:

Bài 3 : Tính tích phân (Khối D năm 2009– 2010)

HD: Tách làm hai tích phân một dùng từng phần, một dùng đổi biến

KQ:

17


Bài 4: Tính tích phân I (CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009)

KQ: 2 – 3ln2

Bài 5: Tính tích phân I =

KQ: (A – 2011)


KQ: (B – 2011)


KQ: (D – 2011)

Bài 8: Tính tích phân I = ( tách I1 + I2. I2 từng phần)

KQ: (A – 2012)


KQ: (B – 2012)


KQ: (D – 2012)

Bài 11: Tính tích phân (B – 2013) KQ:

Bài 12: Tính tích phân (A&A1 – 2013)

HD: PP từng phần KQ:

18

Documents

Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN · Web viewHội đồng bộ môn Toán Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2013 – 2014 Chuyeân ñeà : TÍCH