Chuyende4 Tichphan P

Trung tâm DẠY – HỌC THÊM HOÀNG MINH Gv: Trần Minh Tuấn

www.tuangv.wordpress.com 1

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1. Tìm họ các nguyên hàm (dạng cơ bản)

1/2( 2012)x x dx 2/ 2 52 4 3x x x dx 3/

2

4 33 4x x x dx

4/

2 13

2

xx dx

x

5/

2 5

1 1dx

x x

6/2 4

1 3 5dx

x x x

7/

3 2 4

2 5 1

3 4dx

x x x

8/

2 23 41 19 .

2x x x dx

x

9/

2

1xdx

x

10/

4

2

2 3xdx

x

11/ 22 3x x dx 12/ (1 )(2 3 )x x dx 13/

3( 1)xdx

x

14/

2 2

2

( 1)xdx

x

15/

3(2 3 )

2

xdx

16/

3 3

4

.

.

x xdx

x x 17/

4 4

4

2x xdx

x 18/

22

cos

x

x ee dx

x

19/ ( 1)x xe e dx 20/

2 32 .3 .4x x x dx

21/1

1 1dx

x x 22/

4 1 7( 1)x xe e dx 23/ 2 3

1 15

2

x

x xdx

e

24/

20103 2x dx 25/

4(2 1)

dx

x

26/5(3 2 )

dx

x 27/2

1

4 4dx

x x 28/2

1

4 4 1dx

x x 29/2

1

6 9 1dx

x x 30/6 2 5x dx

31/1 2

dx

x 32/

3

1

3. 1dx

x

33/

5 4 3

dx

x 34/

3 1

1

x

x

edx

e 35/

2 2 2x xe e dx

36/ sin 2xdx 37/ sin 4 1x dx 38/ os 5 2c x dx 39/ sin2

xdx 40/

2 2os

3

xc dx

41/ sin2 .sin 3x xdx 42/ 2sin3 cos2x xdx 43/ cos sin5x xdx 44/ sin3 .sin 2 4 x x dx 45/2 1

xdx

x

46/2tan xdx 47/

2(tan cot )x x dx 48/2 2sin .cos

dx

x x 49/2 2

cos2

sin .cos

xdx

x x 50/

21 cos

1 cos2

xdxx

51/22sin

2

xdx 52/

2

1 cos x dx 53/3sin xdx 54/

1

1 os4dx

c x 55/

1

1 cosdx

x

56/4sin xdx 57/

1

2dx

x 58/1

3 1dx

x 59/1

3 1dx

x 60/

3

1 2dx

x

61/ 1

1

xdx

x

62/2 3

1

xdx

x

63/ 4 1

2 1

xdx

x

64/3 1

1

xdx

x

65/2 1

xdx

x

66/3 1

4 2

xdx

x

67/

2

1

1

xdx

x

68/

2

2 1

2

xdx

x

69/

2

2( 1)

xdx

x 70/

2

2

( 1)

( 2)

xdx

x

71/

2

1

2

xdx

x

72/

3

2

1

xdx

x 73/

2

1

4 4

x dx

x x

74/

2

2 3

8 1 16

x dx

x x

75/

3 2

4

3 3 1

x dx

x x x

76/

2

1

xdx

x 77/

3 1

1

xdx

x

78/

4 1

1

xdx

x

79/

54 9 1

1

x xdx

x

80/

24 6 1

2 1

x xdx

x

81/1

2 1 2dx

x x 82/

3 1 1 2

dx

x x 83/

2 1

dx

x x 84/

2 1

dx

x 85/

23 5 2

dx

x x

§1. NGUYÊN HÀM

CHUYÊN ĐỀ OTQG 2015



86/22 3

dx

x x 87/

2

5

8 2dx

x x 88/

2

5

25 4

dx

x 89/

2 2

dx

x 90/

3 2

2 1x dx

x x

91/

2

3 2

(2 1)

2

x x dx

x x 92/

2

4 11

5 6

xdx

x x

93/2

(3 4)

12

x dx

x x 94/

2

1

( 1)dx

x x 95/

2

2 3

4 3

xdx

x x

96/2

2 1

2 6 4

xdx

x x 97/

2

2 4

2 3

xdx

x x 98/

2

( 1)

2

x dx

x x 99/

2

3

3

xdx

x

100/

2

2

( 2) .

( 1)

x dx

x x

101/

3 2

2 6 5

x xdx

x x 102/

4 2

2

2

3 2

x xdx

x x 103/

2 2 6

( 1)( 2)( 4)

x xdx

x x x 104/

2

3

3 3 2

3 2

x xdx

x x 105/

2 2( 4)

dx

x

Chú ý 1: Dạng nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ ( )

( )

P xI dx

Q x

TH1: Bậc ( )P x bậc ( )Q x thì chia đa thức (Sắp bài toán chia hoặc dùng s.đồ Horne nếu ( )Q x x b )

TH2: Bậc ( )P x < bậc ( )Q x

Nếu mẫu ( )Q x có dạng tam thức bậc 2 thì viết 21 2

( ) ( 0)Q x a x b x c a x x x x rồi dùng:

( ) 1 1

( )

P x a c

Q x ad bc ax b cx dax b cx d

Nếu ( )Q x là tích của các đa thức thì dùng phương pháp “hệ số bất định” hoặc ”trị số riêng”.

Bài 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1 – 2x

, biết F( 1

) 0

2

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) biết 4( ) 5 2 2f x x x và F(1) =3

Bài 4. Tìm hàm số f(x) biết ' sin .sin2f x x x và 2f

Bài 5. Tìm hàm số f(x) biết 2

( ) , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2 b

f ' x ax f f fx

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A) CÁC HÀM PHÂN THỨC. Bài 1. Tìm họ các nguyên hàm (sử dụng chú ý 1)

1/2 3 1

dx

x x 2/

2

11

3 10dx

x x 3/

22 3

dx

x x 4/

2

2 4

4 5

xdx

x x

5/2

41

4dx

x

6/ 2

2

2 1

dx

x 7/

4 22 8

xdx

x x 8/

21 1

xdx

x x 9/

3

2

1

1

x dx

x 10/

3 2

2

2 10 16 1

5 6

x x x dx

x x

B) CÁC HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA VÀ LOGARIT.

1/ ax b dx

2/ 3 4 2( 5) .x x dx 3/ xdxx 72 )12( 4/ dx

x

x

52 5/

3(2 ln 1)xdx

x

6/1

x

x

edx

e 7/

32

2 1

1

xdx

x x 8/

21 ln

ln

xdx

x x

9/

33ln

2x

x dxx

10/

4 3ln ln 3

x x xdx

x

11/ln(ln )

.lnx dx

x x 12/

2

1

(ln 2 ln 1)dx

x x x13/

2 4 4

x

x x

edx

e e 14/2

2

x x

x

e edx

e 15/

2 4ln ln 3

(ln 1)

x xdx

x x

16/ 1xe

dx 17/

4

10 1

xdx

x 18/9

1

( 1)dx

x x 19/6 2

1

( 1)dx

x x 20/

4

4

1

(1 )

xdx

x x



21/

2 22

1 2

x x

x

x e x edx

e

22*/2010

2010

1

(1 )

xdx

x x

23*/2011

1dx

x x 24*/

2

1

ln

x

dxx x x

25*/2011

2 1007( 1)x dx

x

C) CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ Bài 1. Tìm họ các nguyên hàm (đặt t = căn )

1/ 2 1. .x x dx 2/ 3 4 1.x x dx 3/ 21x x dx 4/ 3 21x x dx 5/ dxxx .1

6/ 2)1( xx

dx 7/ 5 2. 1x x dx 8/

3

1

1dx

x x 9/

3x

x

e

dxe 10/

4 1

xe

dxx

11/ 1 3ln .lnx xdx

x

12/

3

1

3 1

xdx

x

13/21.

x xe e dx 14/2 4

dx

x x 15/

1 ln

x xdx

x

16/1x

dx

e 17/ 1xe dx 18/

2 1

xdx

x x 19/

2 2( 1 )

dx

x x 20/

( 1 3)

1 2 1

x dx

x x

21/42 1 2 1

dx

x x 22/

3

4

1

1 . dx

x x

23/1 1

xdx

x 24/

1

5

x xdx

x

25*/

22 3 1. ln

xx e xdx

x

D) CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Bài 1. Tìm họ nguyên hàm (dùng các công thức lượng giác và đổi biến số thích hợp)

1/ cot xdx 2/2

cot

sinx

dxx

3/2

tan

cosx

dxx

4/ 2

cos sin x x dx 5/1 sin 2

sin cos

x

dxx x

6/ 4 4cos sinx x dx 7/ cos sin5x xdx 8/ cos2 sin 4 x xdx 9/ sin 2 sin5 x xdx 10/

2sin

1 cosx

dxx

11/2

2

os2 2sin 3

cos

c x xdx

x 12/ dx

x

e tgx

2cos

13/ sin xe cosxdx 14/sin

1 3

xdx

cosx 15/

cos 2

cos sinx

dxx x

16/ dxx

x5cos

sin 17/ 1 4sin xcosxdx 18/

cos

5 2sin

xdx

x 19/cos sinx

sinx cos

x

dxx

20/1 sin 2

os2

xdx

c x

21/cos2

1 2sin 2

xdx

x 22/

2

2

cot x 2 tan x 5dx

sin x

23/2

sin 2

(1 sin )x

dxx

24/2

sin 2

1 cosx

dxx

25/ sin ln

x

dxx

26/ 6 6sin cos x x dx 27/

3

cos xdx

1 sin x

28/

3

sin xdx

2 2cosx

29/sin 2 cos

1 cosx x

dxx

30/ 2

os2 os4c x c x dx

31/

2

sin 4xdx

1 cos x

32/2 2

sin 2

cos 4sin

xdx

x x 33/

1 sin 2 cos 2

sin cos

x xdx

x x

34/33 os 4sin x

os

c xdx

c x 35/

3

4

sin

osx

dxc x

36/2

1 sin 2

cos

xdx

x

37/

sin 2 2sin

dx

x x 38/ 2os . os2c x c xdx 39*/4sin 2cos

sin

x xdx

x 40/

2

3 2sin 2

sin

xdx

x

41*/3

1

sinx.cos dxx

42*/9

cot

1 sinx

dxx

43*/sin .cos( / 4)

dx

x x 44*/

3os sin3c x xdx 45*/ t anx. cos ln cos x x dx

Bài 2. Tìm họ nguyên hàm (dạng sin .cosn mx xdx ; sin .n x dx hoặc cosm xdx )

Chú ý 2: Nếu n lẻ thì đặt t = cosx; Nếu m lẻ thì đặt t = sinx; Nếu n và m cùng chẵn thì hạ bậc.

1/ 2sin .cos x xdx 2/ xdxxcossin 4 3/ 2 3cos sin x xdx 4/ 3 5sin .cosx xdx 5/ 3sin . x dx



6/ 5sin xdx 7/ 2 2cos sinx xdx 8/ 3 4cos sin x xdx 9/ 3 3cos sin x xdx 10/2cos xdx

11/ 4cos xdx 12/ 5cos xdx 13/ 7cos dx 14/ 4 4sin x cos xdx 15*/6cos xdx

Bài 3. Tìm họ nguyên hàm

1/ tan xdx 2/3tan xdx 3/

5tan xdx 4/2tan .x dx 5/

4tan .x dx 6/6tan .x dx

7*/8tan . x dx 8/

4cos

dx

x 9/4sin

dx

x 10/6os

dx

c x 11/

6sindx

x 12/ x

dx

sin

13/ x

dx

cos 14/

3cos

dx

x 15/3sin

dx

x 16*/5sin

dx

x 17*/5cos

dx

x

18*/7sin

dx

x

Chú ý 3 (*): 1. Sử dụng phương pháp đổi biến số (với ntan x ) và phương pháp từng phần (với ba hàm

số còn lại) ta tìm được nguyên hàm của các hàm số sau theo công thức truy hồi

1

2

1 1sin sin .cos . 2n n

n n n

nI xdx I x x I n

n n

21

1 1 cos 2. . 2

sin 1 sin 1n n nn n

x nI dx I I n

x n x n

1

2

tantan 2

1

nn

n n n

xI xdx I I n

n

12 2 2 2 2 2

1 1 2 1. . 1

( ) 2 2n n nn

x nI dx I I n

x a na x a na

2. Bằng phép đổi biến 2

t x

ta cũng tìm được công thức truy hồi của các hàm số lượng

giác còn lại (công thức 4 cũng có thể tìm được bằng phép đổi biến a.tanx t )

2. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN. Bài 1. Tìm họ các nguyên hàm (đặt theo thứ tự ưu tiên)

1/ dxex x. 2/ xdxx sin. 3/ .xxe dx

4/ .2xx dx 5/3.ln .x x dx

6/ ln . x dx 7/ 3(2 1) xx e dx 8/ 2 ln 1x x dx 9/2( )xx e dx 10/ ( 1).sin 2x xdx

11/3

ln

xdx

x 12/ .cos

2

xx dx 13/ dx

x

x2cos

14/

dxx

x2

)1ln( 15/ dxxx )1ln( 2

16/2(x +1) .lnxdx 17/ ln .x dx 18/ 3 .lnx xdx 19/ 2ln( )x x dx 20/ 2tanx xdx

21/ 2( 2 .sin )x x x dx 22/ 2( 2 )cos .x x x dx 23/ 2ln .x dx 24/ 2( ln ) .x x dx 25/2

3( .ln )x x dx

26/2x

xdx

e 27/

2x .sin x 1dx

x

28/

2

3

os

sin x

c xdx 29/ 3 sin x xdx 30/ cosx xdx

31/3

1

sin dxx

32*/5

1

sin dxx

33*/2

x xe edx

x x

34*/

2

1 1

ln lndx

x x

35*/

2

2sin cos

x

dxx x x

Bài 2. Tìm họ các nguyên hàm (xoay vòng từng phần 2 lần)

1/ sin .xx e dx 2/ cos .

xx e dx 3/ sin .2xx dx 4/ cos sin

xx x e dx 5*/2sin .

xx e dx

§2.TÍCH PHÂN



Bài 1. Cho biết 2 5 5

1 1 1

4, 6, 8 f x dx f x dx g x dx . Hãy tính các tích phân:

a) 5

2

f x dx b) 2

1

3 f x dx c) 5

1

f x g x dx d) 5

1

4 f x g x dx

Bài 2: Cho 3 4

0 0

3, 7 f x dx f z dz , 1 3

1 1

5, 6

f t dt f r dr . Hãy tính 4

3

f t dt và 3

1

f u du

Bài 4: Tính các tích phân (dạng cơ bản)

1/2

2

1

( 3 1)x x dx 2/1

0

1

(3 1)(2 1)dx

x x 3/ 2

3 5

1

1 4dx

x x

4/

2

2

1

13x x dx

x

5/

/4

2

/4

tan

xdx

6/0

sin4

x dx

7/

/3

2

/4

(3 )sin

x

x ee dx

x 8/

0

12

x

dxx

9/

1

2

0

1

2 1

x

dxx x

10/

/2

0

sin 4 . os2

x c xdx

A. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1. Tính các tích phân (dùng các phép đổi biến số đã học ở phần tìm nguyên hàm)

1

43 4

1

0

1 I x x dx 1

2

0

2 1

1

x

I dxx

1

3

0

1

2 3 1

I dxx x

1

4 2

04 3

dx

Ix x

1

5 3

0

1

( 1)

x

I dxx

1 3

6

0

1

1

x

I dxx

2

7

1

2 1 1. I x x dx 3

5 2

8

0

. 1 I x x dx

1 2

9 2

0

(1 )

1

x

I dxx

3

102

1

1

2 10

xI dx

x x

/2

2

11

0

sin . os x

I x c dx /2

12

/2

sin 3 . os5x

I x c dx

2

2 3

13

0

11 . 1 I x x dx 14

1

1 ln

ex

I dxx

15

1

1 3ln .ln

ex x

I dxx

/2

2

16

0

1 cos

I x dx

7/3

17 30

1

3 1

xI dx

x

2

18

1

ln

ex x

I dxx

/2

2 3

19

0

sin cos

I x xdx 2

20

0

sin 2 . os x

I x c dx

32 4

21 2

1

1

xx eI dx

x

/4 2

22

0

1 2sin

1 sin 2

xI dx

x

/2

232 2

0

sin 2

cos 4sin

x

I dxx x

1

24

0 1 1 3

dxI

x

1

25

0 1

xI dx

x

7 3

2623

0 1

xI dx

x

0

27 2

2

4

2 3

I dx

x x

1

28 2

0

4 11

5 6

x

I dxx x

1

29 2

0

2 5

4 4

x

I dxx x

1 2

30 2

04

xI dx

x

1

31 4 2

05 4

xI dx

x x

32

1 4 ln

e

dxI

x x

1 2

33 2

0

3 5 1

3 4

x x

I dxx x

3 3

34 2

02 1

x

I dxx x

2

35

1 1 1

xI dx

x

12

36 2

10

2 1

2

x

I dxx x

4

37

1

1

( 1) 2

I dx

x x x

8

382

3

1

1

I dx

x x

2 3

392

5 4

dxI

x x

ln 2

40

0

1

2

x

I dxe

ln3

41

0

1 xI e dx

1 3

422

0 1

xI dx

x x

/2

43

0

sin 2 sin

1 3cos

x x

I dxx

/2

44

/6

1 sin 2 cos 2

cos sin

x x

I dxx x

/2

3 2

45

0

cos .sin

I x xdx /2

46

0

cos

7 cos 2

x

I dxx

/2

5

47

0

cos

I xdx /4

49

0

1

cos

I dxx

50

/4

*

4

0

1

cos

I dxx

/3

51 3

/4

1

sin

I dxx

52

/4 3

5

0

sin

os

x

I dxc x

/4

3

53

0

tan

I xdx



ln5

54

ln3

1

2 3

x xI dx

e e

1

55

0

(1 )

1 .

x

x

e xI dx

x e

/4

56

0

sin - cos

1 sin 2

x x

I dxx

ln 2

57

0

1

1

x

x

eI dx

e

1 2

58 2 2

0

2 2 13

( 2)( 1)

x x

I dxx x

/6

59 2

0

cos

6 5sin sin

xI dx

x x

/3

2 2

60

/6

tan cot 2

dxI x x 61

0 2

3

1

2

3 2

x x

I dxx x

/2

62

0

sin 3

1

xdxI

cosx

/4

63

0

cos sinx

cos sinx

xI dx

x

/3

64

/4

ln(tan )

sin 2

x

I dxx

2 2

65 2

1

2 1

1

x xI dx

x x

/3 2 3

66 2

0

os sin x

cos

c x

I dxx

2

2

67 2

1

12. I x dx

x

68

1

3 2ln

1 2ln

e

xI dx

x x

1 2

693 3

0

xI = dx

x + 1+ x

/3 3

70

0

3 os sin

cos

c x x

I dxx

64 3

71

1

xe xI dx

x

3

72

1

1 2ln

ex x

I dxx

73

/4

* 6

0

tan .

I x dx

1 2 2

73

0

2

1 2

x x

x

x e x eI dx

e

74 2

1

( 1).

ln

e

x dxI

x x x

0 4

75 2

1

( )

3 2

x x dx

Ix x

2 6

76 6

1

1

1

xI dx

x x

77

1

os ln

e x c xI dx

x

/3

78

/4

1

sin2x.cos

I dxx

79

4

*

1

1

xI dx

x

80

/2

* 2

/6

ln sincos 1

sin 2

xI x dx

x

Bài 2*. Tính các tích phân (dạng trị tuyệt đối) (giải theo cách 1, 2 của bài toán diện tích) 2

2

81

1

1

I x dx

2

2

82

0

4 3 I x x dx

3

3 2

83

1

5 4I x x x

3

84

0

2 4 xI dx

5

85

2

2 2

I x x dx

CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN ĐẶC BIỆT

Bài 3*. Tính các tích phân (sử dụng cách đặt ở chú ý 4)

1

86 2

0

1I dx

1 x

3

87 2

0

1I dx

x 9

1/2

88 2

0

1I

4x 1

3

89 2

0

1

3

Ix

1

90 2

0

1I dx

3x 1

1

91 4 2

0

1I dx

x 4x 3

1 2

92 4 2

0

2x 4I dx

x 4x 3

0

93 2

1

1

2 2

I dx

x x

1

94 4

0

xdxI

x 3

5/2

*

95 3

1/2

1I dx

x 1

1

2

96

0

I 1 x dx

1

972

0

1I dx

1 x

1

2 2

98

0

I x 1 x dx

3

99

0

1I dx

(x 1)(x 6)

2

100

0

4 xI dx

4 x

2

1012

1

1I dx

x 2x 2

2

1022

1

1I dx

4x 8x

2

1032

1

1I dx

x x

3

1042

2

1I dx

x x 1

2

2

105

1

I 5 2x x dx

7

2

106

5

I x 6x 5 dx 1

2

107

0

I 1 x dx 3

2

108

2

I x 4x 5 dx

1

1092 3

0

1I dx

(1 x )

1/2

1102 3

0

1I dx

(1 x )

Chú ý 4:

Dấu hiệu Cách đặt Dấu hiệu Cách đặt

2 2x a hoặc 2 2x a

a.tan ,2 2

x t t

(a > 0)

2 2x a

a

sinx

t

(a > 0)

2 2a x

a.sin ,2 2

x t t

(a > 0)

a x

a x hoặc

a x

a x

.cos2x a t hoặc t = căn



11 2 2

2

2 22 2t=

x+

x+ x ± k dtx ± kdx = dx = .dx = ln | t |+C =ln x+ x ± k +C

tx ± k x+ x ± kx+ x ± k . x ± k maãu

(*)

Bài 4*. Tính các tích phân (sử dụng chú ý 5) /6

111

0

1

cos

I dxx

/2

112

/3

1

sin

I dxx

/4

113

01 sin 2

dxI

x

/2

114

02 cos

dx

Ix

/2

115

0

1

1 cos sin

I dx

x x

/2

116

0

4sin 7cos

5.sin 3.cos

x x

I dxx x

/6

117

0

2sin 7cos

3.sin 4.cos

x x

I dxx x

/6

118

0

4sin3 5cos3

7.cos3 3.sin3

x x

I dxx x

119

0

2sin 7cos 3

4.cos 5sin 8

x x

I dxx x

Chú ý 5:

tan2

os

xt

a.sinx+ b.cosx+cdx

B. m.sinx+n.cosx+ p ' B. m.c x - n.sinxa.sinx+b.cosx+cm.sinx+ n.cosx+ p= A+ A+

m.sinx+n.cosx+ p m.sinx+n.cosx+ p m.sinx+n.cosx+ p

ñaët

Bài 5*.Tính các tích phân (Đưa về dạng sinb

a

t dt , cosb

a

t dt rồi dùng đường tròn lượng giác xét dấu)

3 /4

2

120

/6

cos .

I x dx 2

121

0

sin2 6

xI dx

122

0

1 cos 2

I xdx 123

/4

1 sin 2

I xdx

/3

124

/8

1 cos 4

I xdx 2

125

/2

1 sin

I xdx 2

126

/3

2 2cos 2

I xdx /2

127

0

1 sin 3

I xdx

Bài 6*. Tính các tích phân (ở mẫu số đưa 2cos x ra ngoài đặt tant x )

/4

128 2

0 sinx 2cos

dxI

x

/4

129

0cos sin cos

dxI

x x x

/4

130 2

01 2cos

dxI

x

/4

131 2

02 sin

dxI

x

/2

132

04 cos

dx

Ix

/4

133 2 2

0sin 2sin cos os

dxI

x x x c x

/4

134 2 2

0sin 9cos

dx

Ix x

/4

135 3

0

cos

sin cos

xdxI

x x

/4

136

01 sin 2

dxI

x

/2

137

0

1

1 cos sin

I dx

x x

Bài 7*. Tính các tích phân (đặt t a b x )

/2

138 2

/24 sin

x cosx

I dxx

1 4

139 2

1

sin

1

x x

I dxx

140 2

0

sin

4 cos

x x

I dxx

4

141

2

ln 9

ln 9 ln 3

xI dx

x x

1

142 2

1( 1)( 1)

x

dxI

e x

32

2

143

2

ln 1

I x x dx

/4

144

0

ln 1 t anx

I dx /2

145

0

sin

sin cos

n

n n

xI dx

x x

Bài 8*. Tính các tích phân (tích phân liên kết xét thêm tích phân tương tự)

1 3

146 3 3

0

x

x x

eI dx

e e

82

147

0

sin . os2

I x c xdx 4

148

0

cos

sin cos

xI dx

x x

2

149

0

sin

2sin 3cos

xI dx

x x

/2

4

150

0

cos

I xdx /2 2

151

0

sin

sin 3 cos

x

I dxx x

/2

152

0

cos 2

sin 3 cos

x

I dxx x

2

153

0

.cos .

xI e xdx

Bài 9*. Tính các tích phân (xét 0x rồi chia cả tử và mẫu cho 2x hoặc dùng PP hệ số bất định)



2 2

154 4

1

1

1

x

I dxx

2 2

155 4

1

1

1

x

I dxx

2

156 4

1

1

1

I dx

x

1 4

157 6

0

1

1

x

I dxx

3

157 6

11

dx

Ix

2 2

158 4 3 2

1

1

2 2 1

x

Ix x x x

Bài 10*. Tính các tích phân (Dạng

1α 2

ax+bdx t =

Ax+BAx+B . mx +nx+ p ñaët )

1/2

1592

0 1 1

dxI

x x

1

1602

0 1 1

dxI

x x

2

1612

1 1 3 2

dxI

x x x

0

1622

1 2 2 2

dx

Ix x x

Bài 11*. Tính các tích phân (đặt 1 1

t = x=x t )

1

1633 4

1/8

1

I dx

x x

164 2

1/

ln

1

n

n

xI dx

x

2 33

165 4

1

x x dxI

x

2 2

1664 2

3 . 1

dxI

x x

2

168 3

1/21

x

I dxx

Bài 12*: Tính các tích phân (Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn với chu kì T sử dụng chú ý 6)

2011

169. os2

I x c xdx 1

169 4 2

112

xI dx

x x

1

2

170

1

ln 1

I x x dx /4 5 3

171 2

/4

3 1

os

x x xI dx

c x

1

172 2

1

1 tan

1

x

I dxx

1/2

173

1/2

1cos .ln

1

xI x dx

x

2010

174

0

cos

I x dx 2011

175

0

s inx

I dx 2011

176

0

s in2x

I dx

Chú ý 6:

Nếu f x là hàm số lẻ f x f x thì 0

a

a

f x dx

Nếu f x là hàm số chẵn f x f x thì 0

2.

a a

a

f x dx f x dx

Nếu f x là hàm số tuần hoàn với chu kì T thì 0

a T T

a

f x dx f x dx

B. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1. Tính các tích phân

1

2

1

0

xJ xe dx

/2

2

0

os

J xc xdx 3

1

ln .e

J x dx 1

2

4

0

.ln(1 ) J x x dx

3

2

5

2

ln( ) J x x dx 1

6

0

x

xJ dx

e

1

2

7

0

( 2) xJ x e dx

/2

8

0

cos .ln(1 cos )

J x x dx

/4

2

9

0

(2cos 1)

J x x dx 10

1

ln

ex

J dxx

1

2

11

0

tanJ x xdx 2

12

0

(2 7) ln( 1) J x x dx

4

13

1

ln .e

J x dx /2

2

4

0

cos

lJ x xdx

/2

15

0

( osx)s inx

J x c dx 2

16 2

1

ln

xJ dx

x

3

17

1

.lne

J x x.dx 2

18

1

ln .e

J x dx /2

19 2

/6sin

x

J dxx

/2

2

20

0

( 1)sin

J x xdx

3 2

21

1

ln e

J x x dx 2

22

1

ln

e

xJ dx

x

1

18

0

xJ e dx 22

/2

* 2

/2

cos .ln 1

J x x x dx

2

23 2

1

ln

( 1)

x

J dxx

2

241

.ln e

J x x dx 3

25

1

*

0

xJ e dx 2

26

0

sin cos

J x x xdx



/42

270

tan

J x xdx

2

28

0

os

J c xdx 1

2

29

0

1 J x dx 2

ln

301

x xJ e dx

31

0

os ln

e

J c x dx 2 2 2

32 2

3

1

xJ dx

x

0 2*

33 2

1 2

xx e

J dxx

2

3

342

0

ln 1

1

x x xJ dx

x

Bài 2. Tính các tích phân (xoay vòng, từng phần 2 lần) /2

35

0

sin .

xJ x e dx

36

0

cos .

xJ x e dx 37

0

cos .2

xJ x dx

2

38

0

sin .

xJ x e dx

/2

2

39

0

os .

xJ c x e dx

Bài 3. Tính các tích phân (Dạng từng phần và đổi biến số tách thành 2 tích phân) 2

40

1

1ln

J x xdx

x

3

41

1

1ln

ex

J xdxx

/2

42

0

sin cos

J x x xdx /2

2

43

0

s in sin

J x x xdx

/2

3

44

0

os .s inx

J x c x dx 0

2 3

45

1

1

xJ x e x dx

/3

46 2

0

sin

os

x x

J dxc x

/2

2

48

0

os

J x c x dx

BÀI TẬP TỔNG HỢP (*)

1

1

ln e

xK = x+ dx

x

2

2 2

0

sin 2

(2 sin )

xK dx

x

1 3

3 8

04

xK dx

x

22 1

4

1

os(lnx)

e xx e cK dx

x

1

5

0

xK e dx

6

0

( os )

xK x e c x dx

1 3

72

0 1

xK dx

x x

3

2

8

0

2 K x x dx

1 3

92

0 1

xK dx

x

4

10 2

0

sin 4

1 cos

xK dx

x

/8

11 6 6

0

1

sin os

K dx

x c x

ln5

12

ln32 3

x x

dxK

e e

1

2

13

0

1 K x dx 0

14 2

12 2

dx

Kx x

2

15

0

s inx +7cosx +5

3 osx + 4sinx +5

K dxc

1 4

*

16 6

0

1

1

x

K dxx

2

17

0

sin

K xdx 2

18 2 2

0

3sinx +4cosx

3sin + 4cos x

K dxx

19

1

cos(ln )

e

K x dx

2 3

20 2

.cos ln

x x xK dx

x

3 4

21

0

tan

cos 2

xK dx

x

22

2010

*

0

sin2

x

K dx 1

23 4 2

04 3

dx

Kx x

24

2

*

4

1

1

1

K dxx

/3

8

25

6s inx.sin(x+ )

6

dx

K /6

*

26

0 cos .cos( )4

dxK

x x

1/2

27

0

1

1

x

K dxx

1

*

28 3

0

1

1

K dx

x

21

29

1

ln 1

1

x

xK dx

e

/2

3

30

0

cos cos cos

K x x x dx /2

*

31

0

sin

sin cos

xK dx

x x

1/2

32

1/2

1cos .ln

1

x

K x dxx

64

33 31

dx

Kx x

/4 2

34 6

0

sin

cos

x

K dxx

2

35

0

(s inx )

xK x e dx

36

12011

1.cos

K x xdx

/2 3

37

0

sin

cos sinx

xK dx

x

38

/3

2

0

sin

cos

x x

K dxx

0

39 2

1

1

x x

K dxe e

1

40

0

xx eK e dx



2

3 4

41sin cos

e

e

K x x xdx /4

42

0

cos sin

5 sin 2

x x

K dxx

43

/4

*

0

cos sin

3 sin 2

x x

K dxx

44

/3

*

5 33/4

1

cos .s in x

K dxx

2 1

45

1/2

11 . .

xxK x e dx

x

2011

*

46

0

1 cos

K x dx

47

1 3

*

2 21 2 1 . 3 2

dx

Kx x x

1 2

*

482

0 1

x xK dx

x

49

1

*

0

1

x

xK dx

x e

1

*

5053

1/7

1

(1 )

K dx

x x

2

51

1

1

( 1)( 7)

K dx

x x

52

4

*

3

2

4

( 2)

x

K dxx

2011

*

53

0

1 cos 2

K xdx 1 6

54 2

11

x tgx

K dxx

1 4

55

12 1

x

xK dx

56

/2

* 2

2

0

sin. 1 sin

cos

x

K xdxx

57

3 2*

2 42

1

( 1) 1

xK dx

x x

/2

58 2

/6

ln s inx

sin

K dxx

59

/3

*

2

/3

s inx

os

x

K dxc x

60

/4

*

0

cos sin

3 sin 2

x x

K dxx

7 5 3/4

61 4

/4

1

cos

x x x x dxK

x

62

0

*

1

1

x

xK dx

e x

63

1

*

2 2

0

1

( 1)

K dxx

64

2

*

2 31 ( )

x

K dxx x

2

65

*

2

1 1

ln ln

e

e

K dxx x

66

ln 2

*

2

1

1

xxeK dx

x

/2

*

67

0

1 sinx.

1 cos

xK e dxx

/3

*

68

/4

sinx ln t anx

K x dx

69

1

*

0 1 . 1

n nn

dxK dx

x x

/3 2*

70 2

0 sin cos

x

K dxx x x

1

*

714 63

1/5

1

.

K dx

x x x

2 1

* 2

72

1

2 1 . .

x

xK x x e dx

2 1

2

73 2

1/2

12 .

xxK x x e dx

x

1

*

74 2

0

ln 1

1

x

K dxx

*

75

0

1 sin

xK dx

x

/3

*

76

/4

cos ln(tan )

K x x dx

4

*

77 2

1

1

4 .

x

x

x e

xx

xK

ed

3

2*

78

1

ln ln (1 ln )

ex x

K dxx x

1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.

: ( )

,

b

a

y f x

S y g x S f x g x dx

x a x b

: ( )

,

d

c

x f y

S x g y S f y g y dy

y c y d

Đặc biệt :

: 0 (truc hoành) ( )

,

b

a

y f x

S y S f x dx

x a x b

: 0 (truc tung) ( )

,

d

c

x f y

S x S f y dy

y c y d

Chú ý 7: + Nếu bài toán chưa có đủ các cận lấy tích phân thì ta phải tìm chúng.

+ Việc giải các tích phân trên thực chất là dạng tích phân hàm trị tuyệt đối đã làm

trong bài 2*

Phương pháp giải

Cách 1: Xét dấu hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối

Lập bảng xét dấu hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối.

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN



Dựa vào bảng xét dấu mà đặt (+) hay (-) lên trước biểu thức lấy tích phân.

Cách 2: Phân đoạn lấy tích phân thành các đoạn nhỏ

Cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối =0, giải phương trình tìm các nghiệm

1 2 1, ,..., ;

nx x x a b

Chia đoạn lấy tích phân thành các đoạn nhỏ theo các nghiệm 1 2 1, ,...,

nx x x

S = 1 2

1 1

....

n

x x b

a x x

f x dx f x dx f x dx

Đưa dấu || ra ngoài: S = 1 2

1 1

....

n

x x b

a x x

f x dx f x dx f x dx

Tính từng tích phân trong dấu || rồi suy ra S.

Cách 3: Vẽ hình (đối với bài toán liên quan đến KSHS và bài toán giải theo cách 1,2 phức tạp)

Vẽ hình, xác định miền lấy cần tính diện tích trên hình vẽ

Trên mỗi miền lấy đường cong nằm trên trừ đường cong nằm dưới. ÁP DỤNG: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

S1: 2

2

2

4

y x x

y x x S2:

2 2

2

y x x

y x S3:

1

1

0; 1

xy

x

x x

S4:

2 3 2

1

0; 2

y x x

y x

x x

S5:

3 4

0

2; 4

y x x

y

x x

S6:3

2

y x x

y x x S7:

0

y x x

y S8:

3 23 2

0

0; 3

y x x x

y

x x

S9:

2

4

13

2

1

4

y x x

y x

S10: 2 2

2 2

y x

y x

S11:2

2

( 6)

6

y x

y x x S12:

2 1

2

0; 0

xy

x

y x

S13:

2sin

x=0; x=

y x x

y x S14:

sin

osx

x=0; x=

y x

y c S15:

ln

0

y=0; y=1

y x

x

S16:

2

4 4

y= 4 4

y x

y x

x

S17:

s inx+1

0

70;

6

y

y

x x

S18:

2

4 2

2

2

0

y x

y x x

x

S19:2

2

0

2 3

x y

x y S20:

2 2 0

0

y y x

x y

S21: (1 )

(1 )

x

y e x

y e x S22:

2 3 2

2

y x x

y S23:

2 4 3

3

y x x

y x S24 :

2

2

44

4 2

xy

xy

S25:ln

1

y x

y

S26a: 2: ; 2 C y x y x S26b: 2: 1; ' : 3 C y x C x y

S27a: : ln ; 0; C y x y x e S27b: 1 2 3 C y x x x và trục Ox.

S28: Đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = –1; x = 2.

S29: Đồ thị hàm số y = x3, y = 2 – x

2 và đường thẳng x = 0.

S30: Hai parabol (P1): y = x2 – 4, (P2): y = – x

2 – 2x và hai đường thẳng x = –3; x = –2.

S31: Đồ thị hàm số y = x3 – x

2 – 2x, trên đoạn [-1; 2] và trục hoành.



S32: Đồ thị hàm số 2

1y

x

, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4.

S33: Đồ thị hàm số 1

1

xy

x

và các trục tọa độ.

S34: Đồ thị hàm số y = x2 + 1 (P), tiếp tuyến với (P) tại điểm M(2; 5) và trục Oy.

S35: Đồ thị hàm số4 3

2 1

xy

x

, trục hoành và đường thẳng x = 1

S36: Parabol (P): y = x2 – 4x + 5 và tiếp tuyến của (P) kẻ từ điểm A(5/2; –1)

S37: Parabol (P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ từ các điểm A(1; 2), B(4; 5).

S38: Đồ thị hàm số (C):2 4

1

xy

x

; tiếp tuyến của (C) tại A(1; –1) và trục hoành.

S39: Parabol (P): y = x2 và đường tròn (C): x

2 + y

2 = 2.

S40: Đồ thị hàm số 2 2y x x và đường thẳng y = 2.

S41: Đồ thị hàm số 2 4y x và đồ thị hàm số 2

42

xy

2. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY.

2 2: ( )

,

Quay quanh

b

a

y f x

y g xV V f x g x dx

x a x b

Ox

2 2: ( )

,

Quay quanh

d

c

x f y

x g yV V f y g y dy

y c y d

Oy

Chú ý 8: Hai công thức trên thường được áp dụng cho đường cong kín (C) Việc giải tích phân này tương tự như cách giải tích phân trong phần diện tích hình phẳng.

Đặc biệt :

20 truc hoành

:,

Quay quanh

b

a

y f x

yV V f x dx

x a x b

Ox

20 truc tung

:,

Quay quanh

d

c

x f y

xV V f y dy

y c y d

Oy

V1:

22

0

y x x

y

Quay quanhOx

V2:

osx

0

0; ;

y c

y

x x Quay quanhOx

V3:

tan x

0

0; / 4;

y

y

x x Quay quanhOx

V4:

1

0; 4

y x

y x

Quay quanhOx

V5:

2.

0

0; 1,

x

y x e

y

x x Quay quanhOx

V6:

2( 2)

4

y x

y

Quay quanhOx

V7:

2( 2)

4

y x

y

Quay quanhOy

V8:

22

2 4

y x

y x

Quay quanhOx

V9:

y x

y x

Quay quanhOx

V10:

2

y x

y x

Quay quanhOx

V11:

25

0; 1; 1

x y

x y y

Quay quanhOy

V12:

2

1; 4

xy

y y

Quay quanhOy

V13: Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = khi quay quanh trục Ox

V14: Đồ thị hàm số 2y 2 1 x và y = 2(1 – x ) khi quay quanh trục Ox



V15: Đồ thị hàm số y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e khi quay quanh trục Ox

V16: Đồ thị hàm số y = 3 – x2, trục tung và đường thẳng y = 1 khi quay Oy

V17: Đồ thị hàm số y = lnx, trục tung và hai đường thẳng y = 0; y = 1 khi quay quanh trục tung

V18 : Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2

2

1;

1 2

xy y

x

. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên

do D quay quanh trục Ox.

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT, CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC 2005 – 2011

1) I =/2

2

0

sin 2

4 os

xdx

c x

(TN.THPT 2006) 2) I =

ln5

ln 2

1

1

x x

x

e edx

e

(TN.THPTPB 2006)

3) I =2

1

lne x

dxx

(TNTHPT 2007) 4) I =2

21

2

1

xdx

x (TNTHPT PB 2007)

5) I = 1

22

0

1x x dx

(TN .THPT 2010) 6) I = 0

1 cosx xdx

(TN.THPT 2009)

7) 1

0

(1 ) xI e xdx (TN . THPT 2008 – K1) 8)

1

2 3 4

1

(1 )

I x x dx (TN.THPT 2008 – K2)

9) /2

2

0

sin cos I x x xdx

(TN.THPT 2005) 10) Tìm 3 2

2

3 3 1

2 1

x x xF x dx

x xbiết F(1)=1/3

(TN2003) 11) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và đường thẳng d: y = x (CĐ A, B, D 2008)

12) 1

0

2 1

1

xI dx

x (Cao Đẳng Khối A,B,D – 2010) 13) I =

1

2

0

x xe x e dx (Cao Đẳng A, B, D

2009)

14) /2

0

sin 2 sin

1 3cos

x xI dx

x

(ĐH Khối A năm 2005) 15)/2

0

sin 2 cos

1 cos

x x

I dxx

(ĐH Khối B năm

2005)

16) /2

sinx

0

cos cos I e x xdx

(Khối D 2005) 17) 1

2

0

2 xI x e dx

(ĐH Khối D năm

2006)

18)

/2

2 20

sin 2

cos 4sin

xI dx

x x

(ĐH Khối A năm 2006) 19)

ln5

ln3 2 3

x x

dxI

e e (ĐH Khối B năm

2006) 20) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = (e + 1)x và y = (1+ e

x)x (Khối A 2007)

21) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= xlnx; y = 0 và x = e. Đem hình phẳng quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay thu được (Khối B năm 2007)

22) 3 2

1

ln e

I x xdx (ĐH Khối D năm 2007) 23)2

3

1

ln

xI dx

x (ĐH Khối D năm 2008)



24) /4 4

0

tan

cos2

xI dx

x


/4

0

sin4

sin 2 2 1 sin cos

x

I dxx x x

(Khối B2008)

26) /2

3 2

0

cos 1 cos I x xdx


3

2

1

3 ln

1

xI dx

x (Khối B năm 2009)

28) 3

1 1

x

dxI

e (ĐH Khối D năm 2009) 29)

1 2 2

0

2

1 2

x x

x

x e x eI dx

e (ĐH Khối A năm 2010)

30)

2

1

ln

2 ln

e x

I dxx x

(ĐH Khối B năm 2010) 31) 1

32 ln

e

I x xdxx

(ĐH Khối D năm 2010)

32) /4

0

sin ( 1)cos

sin cos

x x x xI dx

x x x

(ĐH Khối A- 2011) 33) /3

2

0

1 sin

cos

x xI dx

x

(ĐH Khối B năm 2011)

34) 4

0

4 1

2 1 2

xI dx

x

(ĐH Khối D năm 2011) 35)

2

1

2 1

( 1)

xI dx

x x

(Cao Đẳng A, B, D 2011)



BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM

ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN HÀM SỐ HỢP HÀM SỐ CƠ BẢN HÀM MỞ RỘNG f ax b

C’ = 0 .k dx kx C x’ = 1 C

xdxx

1

1

C

bax

adxbax

1.

11

1' .x x 1' . . 'u u u Cxxdx cossin Cbaxa

dxbax

cos.1

sin

1

'2

xx

1

' . '2

u uu

osx sin x+Cc dx Cbaxa

dxbax sin.1

cos

2

1 1'

x x

2

1 1' . 'u

u u

Cxdx

xtan

cos

12

Cbaxa

dxbax

tan.1

cos

12

sin ' cosx x sin ' cos . 'u u u Cxdx

xcot

sin

12

Cbaxa

dxbax

cot.1

sin

12

cos ' sinx x cos ' sin . 'u u u

1ln ( 0)dx x C x

x Cbax

adx

bax

ln.11

2

1tan '

cosx

x

2

1tan ' . '

cosu u

u +Cx xe dx e Ce

adxe baxbax

.1

2

1cot '

sinx

x

2

1cot ' . '

sinu u

u

C

a

adxa

xx ln

1.

ln

ax bax b A

A dx Ca A

' .lnx xa a a ' .ln . 'u ua a a u 1. Tích phân đổi biến số

'b t b

a t a

f t x t x dx f t dt Chú ý 9: Đổi biến thì phải đổi cận.

2. Tích phân từng phần b b

b

aa a

udv uv vdu Chú ý 10: Ưu tiên 1: đặt u = ln, log và dv = phần còn lại Ưu tiên 2: đặt u = đa thức và dv = phần còn lại

1

log '.ln

ax

x a

1log ' . '

.lnau u

u a

'x xe e ' . 'u ue e u

1

ln 'xx

1

ln ' . 'u uu

( ) ' . 'ku k u

( ) ' ' 'uv u v uv

( ) ' ' 'u v u v 2

' ''

u u v uv

v v

--------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ghi chú:

Tài liệu ôn tập HK2, TN. THPT và Luyện thi Đại Học – Cao Đẳng 2012 (Cho cả 2 ban)

Tài liệu có một số bài tập khó, nâng cao, học sinh không nhất thiết làm hết các dạng bài tập đó

(các bài và dạng bài có dấu * tương đối khó)

Lưu hành nội bộ.

Documents

Chuyende4 Tichphan P