CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁChaiphong.edu.vn/sitefolders/thptnguyenbinhkhiem/1785/toan... · Web viewPhương trình lượng giác là một dạng thường gặp trong các đề

Chuyên đề phương trình lượng giác Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác là một dạng thường gặp trong các đề thi đại học. Đó là một dạng toán mà không phải học sinh nào khi gặp phải cũng làm tốt được, đặc biệt những học sinh trung bình, yếu kém thì rất lúng túng và gặp khó khăn khi gặp dạng toán này. Trong quá trình giảng dạy, công tác tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm chúng tôi thấy cần thiết phải biên soạn chuyên đề “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập thường gặp và nâng cao về phương trình lượng giác để làm tài liệu cho giáo viên giảng dạy và cung cấp một lượng lớn bài tập cho học sinh tự học.

Trong chuyên đề này chúng tôi sẽ biên soạn theo từng phương pháp giải. Mỗi phương pháp chúng tôi trình bày hệ thống bài tập để học sinh rèn luyện kĩ năng giải. Sau đó chúng tôi sẽ tổng hợp các dạng bài, học sinh phải tìm phương pháp thích hợp. Chúng tôi trong Ban biên tập rất mong chuyên đề sẽ góp một phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm.

Do thời gian chuẩn bị có hạn, chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi, những thành viên trong Ban biên tập rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy cô.

Nhóm toán khối 11-Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

1


NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a. Cung đối:

b. Cung bù:

c. Cung phụ:

d. Cung hơn kém

3. Công thức cộng

4. Công thức nhân đôi

5. Công thức hạ bậc

2


6. Công thức tính theo

7. Công thức nhân ba

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

9. Công thức biến đổi tích thành tổng

10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

║

║ ║

Chú ý:

với ứng với .

Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN1. Phương trình : Phương trình vô nghiệm

3


Tổng quát:

* Các trường hợp đặc biệt

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Giải

2. Phương trình : Phương trình vô nghiệm

4


Tổng quát:

* Các trường hợp đặc biệt


;

Giải

3. Phương trình

Tổng quát:


Giải

4. Phương trình

5


Tổng quát:


Giải

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18) 19) 20) 21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

6


Bài 2: Tìm sao cho: .

Bài 3: Tìm sao cho: .

C. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: 1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng trong đó a, b là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 5: Giải các phương trình

Giải

1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:Ví dụ 6: Giải phương trình sau:Giải

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:29) 30)

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng , trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.

7


2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện nếu đặt t bằng sin hoặc cos).

Ví dụ 7: a) b)

Giải

Đặt , điều kiện . Phương trình (1) trở thành:

Với t=1, ta được

Đặt , điều kiện . Phương trình (2) trở thành:

Với ta được

2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:

Giải

*) Giải phương trình:

*) Giải phương trình:

Vì nên phương trình vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Điều kiện: và

Khi đó:

Đặt ta giải phương trình bậc hai theo t: …..

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:8


31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38)

39) 40)

41) ; 42)

43) 44)

45) ; 46)

Bài 47. Chứng minh rằng phương trình: luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 48. Cho phương trình:

a)Giải pt khi .

b)Tìm m để phương trình có nghiệm trên .

Bài 49 : Cho phương trình a)Giải phương trình khi m = 2.b)Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng

3. Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng 3.2. Phương pháp:Cách 1:

Kiểm tra có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.

chia cả hai vế cho đưa về phương trình bậc hai theo : Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình bậc nhất đối với cos 2x và sin 2x *Một số trường hợp đặc biệt là khi a = 0 hoặc c = 0 đưa phương trình về dạng tíchVí dụ 9: Giải phương trình sau a) 3sin2x- sinxcosx+2cos2x cosx=2 b) 4 sin2x+3 sinxcosx-2cos2x=4 c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ )cos2x-5- =0Ví dụ 10: Giải phương trình sau a) sinx- 4sin3x+cosx=0 b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

9


c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx) Ví dụ 11: Giải phương trình sau a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 c) 2 cos3x= sin3x d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x f) sin3(x- /4)= sinx Bài tập đề nghị:50) 51) 52) 53) 54) 55) .56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 57)

58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 59)

60)

61)

62) 63)

64)

4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng trong đó và


4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho ta được:

Nếu : Phương trình vô nghiệm.

Nếu thì đặt

( hoặc )

Đưa phương trình về dạng: (hoặc ) sau

đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý: Phương trình trong đó và có nghiệm khi .Ví dụ 13: Giải các phương trình sau: a) b)

10


Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: 65) 66) 67) 68) 69) 70)

71) 72)

73) 74)

75) 76)

78) 79) 80) 81) 82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm. 83) Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. 5. Phương trình đối xứng 5.1 Phương trình đối xứng loại 1

Cách giải: a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c Đặt t = sin x+cosx

at + b =c bt2+2at-2c-b=0

Ví dụ 14 : Giải các phương trình lượng giác sau :1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 1+tanx=2sinx + 10. sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx

11. (1+sin x)(1+cosx)=2 12. 1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x .

13. sinxcosx+ =1 Bài tập đề nghị 84. 85. 86.

87.

88.

89.

11


Bài 90 : Cho phương trình . Xác định m để phương trình có nghiệm.

5.2 Phương trình đối xứng loại 2Cách giải:

a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c Đặt t= sin x- cosx

at + b =c bt2 -2at+2c-b=0.

Ví dụ 15 : Giải các phương trình lượng giác sau :1. 1- sin3x+cos3x= sin2x 2. 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=23. 4. 5.

5.3 Phương trình đối xứng với tanx và cotxCách giải: đặt t = tanx +cotx điều kiện . Đưa về phương trình chỉ có ẩn t.Bài tập đề nghị91.

92.

93. 94. 95. Cho phương trình . Xác định m để phương trình có nghiệm. D. PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO CÁC DẠNG.1. Sử dụng công thức hạ bậc

cos2x= ; sin2x=

cos3x= ; sin3x=

Bài tập 1. cos4x-5sin4x=1 2. 4sin3x-1=3- cos3x 3.sin22x+ sin24x= sin26x 4. sin2x= cos22x+ cos23x

5.

6. 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 cos4x=3 7. 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

12


8. cos4xsinx- sin22x=4sin2( )- với <3

9. 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0 10. sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x

11. 8cos3(x+ )=cos3x

12.cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

13. =1

14. cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 15. sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 16. 3cos4x-2 cos23x=1

2 . Sử dụng các hằng đẳng thức Bài tập. Giải các phương trình sau

1) sin4 +cos4 =1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3) cos3x+ sin3x= cos2x 4)

5) cos6x-sin6x= cos22x 6) sin4x+cos4x=

7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8) cos3x+sin3x=cosx-sinx

9) cos6x+sin6x=cos4x 11) cos8x+sin8x=

10) sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

12) (sinx+3)sin4 -(sinx+3) sin2 +1=0

3.Giải phương trình lượng giác đưa về dạng tích Bài tập. Giải các phương trình sau: 1) cos2x- cos8x+ cos4x=1 2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=03)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4) sin3 x+2cosx-2+sin2 x=05) 3sinx+2cosx=2+3tanx

6) sin2x+ cos2x+ cosx=0

7) 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4

8)

9) 2cos2x-8cosx+7=

10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cosx

13


11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14) 2sin3x- =2cos3x+ 15) cos3x+cos2x+2sinx-2=0

16)cos2x-2cos3x+sinx=0 17) tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- )=0

18)sin2x=1+ cosx+cos2x 19) 1+cot2x=

20) 2tanx+cot2x=2sin2x+ 21) cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

22) 1+tanx=sinx+cosx 23) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24) 2 = 25) 2tanx+cotx=

26) cotx-tanx=cosx+sinx 27) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

4. Sử dụng công thức nhân đôi. * cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x sin2x=2sinxcosx

tan2x=

* sinx = ; cosx= tanx= (tan =t)

Bài tập. Giải các phương trình sau:

1) sin3xcosx= + cos3xsinx 2) cosxcos2xcos4xcos8x=

3) tanx+2cot2x=sin2x 4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5) sin4x=tanx 6) sin2x+2tanx=3 7) sin2x+cos2x+tanx=2 8) cotx=tanx+2cot2x

9) tan2x+sin2x= cotx 10) (1+sinx)2= cosx

5. Giải phương trình LG bằng cách thực hiện phép biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng Bài tập. Giải các phương trình sau:1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3) thỏa mãn

4) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 5) sin5x+ sinx+2sin2x=1

6) 7) tanx+ tan2x= tan3x

8) 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

6. Giải PT LG bằng phương pháp đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm BBài tập. Giải phương trình

14


1/ sin( )= sin( ) 2/ sin( )=sin2x sin( )

3/ +2 =3 4/ cosx-2sin( )=3

5/ cos( )=sin(4x+3 ) 6/ 3cot2x+2 sin2x=(2+3 )cosx

7/2cot2x+ +5tanx+5cotx+4=0 8/ cos2x+ =cosx+

9/sinx- cos2x+ +2 =5

7. Giải phương trình LG bằng cách thực hiện các phép biến đổi phức tạp Bài tập. Giải các phương trình

1/ 2/ cos =1 3/

+2sinx=0 4/ 3cotx- tanx(3-8cos2x)=0

5/

6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx=7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) 10/

11/cos2 -1=tan2

12/

8. Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực8.1.Phương pháp tổng bình phương. Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lạibằng không và áp dụng tính chất:

Ví dụ 1. Giải phương trình:

GIẢI

15


ĐS Ví dụ 2: Giải phương trình:

(1)

GIẢITa có (1)

Phương trình vô nghiệm.Ví dụ 3: Giải phương trình:

GIẢITa có:

(1)Vì Và Do đó (1)

ĐS hay 8.2. Phương pháp đối lập

16


Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A R: và

thì khi đó:

Nếu ta chỉ có và , thì kết luận phương trình vô nghiệm.Ví dụ1 . Giải phương trình:

GIẢI

Vì nên

mà

Do và nên phương trình vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)

GIẢI(1)

(2)Ta thấy Mà Do đó (2)

Vậy nghiệm của phương trình là: Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

8.3. Phương pháp đoán nhận nghiệm và chứng minh tính duy nhất của nghiệm Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau: Dùng tính chất đại số Áp dụng tính đơn điệu của hàm số Phương trình có 1 nghiệm và hàm đơn điệu trong thì có nghiệm duy nhất là . Phương trình có 1 nghiệm , tăng (giảm) trong , giảm (tăng) trong thì phương trình có nghiệm là duy nhất.

17


Ví dụ 1 : Giải phương trình:

với

GIẢI Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm .

Đặt là biểu thức của hàm số có đạo hàm

(vì ) Hàm luôn đơn điệu tăng trong có 1 nghiệm duy nhất trong

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất .Ví dụ 2 . Giải phương trình:

với

Giải Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm

Đặt liên tục trên

Có đạo hàm:

do

đơn điệu tăng trên

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.8.4 Sử dụng các bất đẳng thứcVí dụ 1 : Giải phương trình:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

(1)

GIẢIĐiều kiện: Khi đó (1) Vì

Do đó và

Dấu bằng xảy ra

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

18


Bài tập đề nghịBài 1: Giải các phương trình sau:1) 2) với 3) 4) Bài 2: Giải phương trình:1) 2) cos3x+ =2(1+sin22x) 3) 2cosx+ sin10x=3 +2sinxcos28x 4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 5) 8cos4xcos22x+ +1=0

6) 7) 1 - =cosx

8) ( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 9)

E- CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 1. Giải các phương trình sau:1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x2) tan2x - tanxtan3x = 23) 25 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx4) cos3xtan5x = sin7x5) tanx + cotx = 4

6) sin 2

1 + sinxx

+ 2cosx = 0

7) 2tanx + cotx = 23 +

sin2x8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1

10) 2 2cot x - tan x = 16(1 + cos4x)cos2x

11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1

1612) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

13) sin2xcosx = 14

+ cos3xsinx

14) sin6x + cos6x = cos4x

15) sin4x + cos4x = 78

cot(x + π3

)cot(π6

- x)

16) sinxcot5x = 1

cos9x17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x

18) 2sin3x - 1

sinx = 2cos3x +

1cosx

19


19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 24

20) 4 4sin + cos x 1 = sin 2 2x

x(tanx + cotx)

21) 1 + tanx = 2 2 sinx22) cosx - sinx = 2 cos3x23) 23sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx24) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1

25) 2sin(3x + 4

) = 21 + 8sin2xcos 2x

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sin4 x3

+ cos4 x3

= 58

2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 03) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0

4) 2 2

2 2(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx - tan xsinx = + tan x4(1 - sinx) 2

5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

6) cos6x + sin6x = 7

16


1) cos2 + 3cot2x + sin4x = 2

cot 2 - cos2xx

x 2)

2 24sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x = 0cosx

3) 2cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1 = 1

1 + sin2x 4) sin4x = tanx

5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0

7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 32

8) 2 + cos2x + 5sinx = 0

9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx

Bài 4. Giải phương trình lượng giác

1) cosx + 3 sinx = 3 - 3

cosx + 3sinx + 12) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 26) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x7) 3 sin2x + cos2x = 2

20


8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x

Bài 5. Giải các phương trình

1) sin3x - 23

sin2x = 2sinxcos2x

2) sin22x + cos28x = 12

cos10x

3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x

4) cosxcosx2

cos3x2

- sinxsinx2

sin3x2

= 12

5) tanx + tan2x - tan3x = 0 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 10) sin3x - sinx = sin2x

11) cos 1 sin

1 sinx x

x

12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0

13) cos4 x2

- sin4 x2

= sin2x

14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin3x + cos2x = sinx

16) sin2x + sin22x + sin23x = 32

17) cos3x + sin3x = sinx - cosx18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 19) sin2x = cos22x + cos23x20) sin23x - sin22x - sin2x = 0 21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx)26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx27) sin3x + sin2x = 5sinx


1) sin3x - sinx

1 - cos2x = cos2x + sin2x với 0 < x < 2

2) sin(2x + 5π2

) - 3cos(x - 7π2

) = 1 + 2sinx với π2

< x < 3

21


3) cos7x - 3 sin7x = - 2 với 2π 6π < x < 5 7

Bài 7. Giải các phương trình sau:1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

13)

14) 15) 16)

17)

18)

Bài 8: Tìm nghiệm trên khoảng của phương trình:

Bài 9: Giải phương trình:

1)

2)

3)

4)

22


Bài 10: Giải các phương trình sau:

1)

2) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

3)

Bài 11: Tìm nghiệm của phương trình: thoả mãn :

Bài 12: Giải phương trình.:

Bài 13: Giải phương trình: 4cos4x – cos2x =




Bài 17: Giải phương trình: .

Bài 18: Giải phương trình: cos2x + cosx + sin3x = 0


Bài 20: Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình: sinx – cos2x = 0.


Bài 22: Giải phương trình :

.





Bài 27: Giải phương trình : Bài 28: Giải phương trình: .


23





















Bài 49: Giải phương trình :




24








Bài 59: Giải phương trình: = .



Bài 62: Giải phương trình: Bài 63: Tìm nghiệm của phương trình: , biết .





Bài 68: Giải phương trình .



Bài 71: Tìm nghiệm x của phương trình

5cosx + sinx - 3 = sin .



F. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM25


1) Giải phương trình: 5cos3x + sin3xsin + 1 2sin2x

x

= cos2x + 3 (Khối A-02)

2) Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 (Khối D-02)

3) Giải phương trình: cotx - 1 = cos2x

1 + tanx + sin2x -

12

sin2x (Khối A-03)

4) Giải phương trình: sin2(x2

- π4

)tan2x - cos2 x2

= 0 (Khối D-03)

5) Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x – sinx (Khối D-04)6) Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 (Khối A-05)

7) Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - π4

)sin(3x - π4

) - 32

= 0 (Khối D-05)

8) Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phương trình:

4sin2 x2

- 3 cos2x = 1 + 2cos2(x - 3π4

) (Khối A-05 dự bị 1)

9) Giải pt: 2 2 cos3( x - π4

) - 3cosx - sinx = 0 (Khối A-05 dự bị 2)

10) Giải pt: tan(3π2

- x) + sin

1 cosx

x = 2 (Khối D-05 dự bị 1)

11) Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 (Khối D-05 dự bị 2)

12) (Khối A - 2005)13) 1+ sin x +cosx+sin 2x+ cos 2x =0 (Khối B - 2005)

14) Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 + 3 28

(Khối A-06-dự bị 1)

15) Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 (Khối A-06-dự bị 2)16) Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 (Khối B-06-dự bị 1) 17) Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 (Khối B-06-dự bị 2)18) Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 (Khối D-06-dự bị 1)19) Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 (Khối D-06)

20) Giải pt: (Khối D - 2005)

21) Giải pt: (Khối A - 2006)

22) Giải pt: (Khối B - 2006)

23) Giải pt: (Khối D - 2006)24) Giải pt (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x (KhốiA-07)25) Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx (Khối B-07)

26) Giải phương trình: (Khối D – 2007)

26


27) Giải phương trình: 2sin2(π4

- 2x) + 3 cos4x = 4cos2x - 1) (CĐ-07)

28) (Khối A – 2007)29) (Khối B – 2007)

30) Giải phương trình: 1 1 7π + = 4sin - x

3πsinx 4sin x - 2

(Khối A-08)

31) Giải phương trình: sin3x - 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx (Khối B-08)32) Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (Khối D-08)33) Giải pt: sin3x - 3 cos3x = 2sin2x ( CĐ-08)

34) Giải pt: (Khối A – 2008)

35) Giải pt: (Khối B – 2008)

36) Giải pt: (Khối D – 2008)

37) (Khối A – 2009)

38) (Khối B – 2009)39) (Khối D – 2009)

40) (Khối A – 2010)

41) (Khối B – 2010)42) (Khối D – 2010)

43) (Khối A - 2011)

44) (Khối B - 2011)

45) (Khối D - 2011)

46) (Khối A và A1 - 2012)

47) (Khối B - 2012)

48) (Khối D - 2012)

49) (Khối A- A1 – 2013)50) (Khối B - 2013)51) (Khối D - 2013)52) (Khối A- A1 - 2014)

27


53) (Khối B - 2014)

KẾT LUẬN

Trên đây là hệ thống một số dạng phương trình lượng giác, một số phương

pháp giải kèm theo hệ thống bài tập tự luyện và các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học. Muốn giải tốt các bài tập dạng này học sinh phải nắm vững kiến thức lượng giác và giải nhiều bài tập để tự rút ra kinh nghiệm riêng cho bản thân mình.

Chuyên đề còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô góp ý, rút kinh nghiệm và có những ý kiến quý báu để chuyên đề của chúng tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh Bảo, ngày 10 tháng 11 năm 2014

Nhóm toán khối 11 trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

28

Documents

CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁChaiphong.edu.vn/sitefolders/thptnguyenbinhkhiem/1785/toan... · Web viewPhương trình lượng giác là một dạng thường gặp trong các đề