CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH fileGia sư Thành Được 1 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ - Các phƣơng

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

CHUYÊN ĐỀ

PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ

- Các phƣơng pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.

2) Phương pháp đặt ẩn phụ.

3) Phương pháp biến đổi thành tích.

4) Phương pháp nhân liên hợp

5) Phương pháp đánh giá.

6) Phương pháp hàm số.

- Các phƣơng pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa.

2) Phương pháp đặt ẩn phụ

3) Phương pháp nhân liên hợp

4) Phương pháp đánh giá.


2

BÀI 1 : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. Phƣơng pháp lũy thừa. - Nêu các dạng phương trình cơ bản.

Bài 1 Giải các phương trình

a) 2 3 2 1x x x b) 23 9 1 2x x x

c) 2 2 3 4x x x d) 2 2( 3) 4 9x x x

e) 3 7 2 8x x x f) 2 3 5 2x x x

g) 2 2

( 3) 3 2 8 15x x x x x h) 2 2

( 4) 10 2 8x x x x

i) 2

3 2 13 2

xx x

x

j)

2

4 3 14 3

xx x

x

Bài 2 Giải phương trình

a) 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x

b) 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x

c) 2 2 23 2 4 3 5 4x x x x x x


a) 3 3 35 6 2 11x x x b) 3 3 31 1 5x x x

c) 3 3 32 1 1 3 1x x x 76

x (Phải thử , loại nghiệm)


a) 1 4 9 0x x x x . Bình phương 2 lần. nghiệm 0x

b) 1 16 4 9x x x x Bình phương 2 lần. nghiệm 0x

c) 3 3 1 2 2 2x x x x

II. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ.

1) Dạng 1 : Phƣơng trình có chứa ( ) à ( )f x v f x

Bài 1 Giải phương trình.

a) 2( 1)( 4) 5 5 28x x x x Nghiệm 4; 9

b) 2 25 10 1 7 2x x x x

c) 2(4 )(6 ) 2 12x x x x

d) 23( 5) 2 5 2 2x x x x

Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm

a) 2 2 4 (3 )(1 ) 2x x x x m [ 1;11]m

b) 22 5 4 (3 )(1 2 ) 2x x x x m 41 56 2

[ 1; ]8

m

Bài 3 Giải phương trình :

a) 5 1

5 2 422

x xxx

b) 3 1

3 2 722

x xxx

2) Dạng 2 : Phƣơng trình có chứa àA B v AB


a) 22 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x Nghiệm 25 6 17


3

b) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x

c) 24 4 2 12 2 16x x x x

d) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x

Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình : 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x

- Đặt 2 2 2t x x . Nghiệm 6

5x

Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm

a) 21 8 7 8x x x x m [ ]6 2 9

;32

m

b) 3 6 (3 )(6 )x x x x m

c) 2

3( 1 2 1 ) 2 1 2x x m x x x

3) Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.


a) 2 2 23 2 1 2 2x x x x x Đặt 2 2t x nghiệm 3;1t x

b) 2 2( 1) 2 3 1x x x x

c) 2 2

1 2 . 2x x x x Nghiệm 1 2x

d) 2 2

3 48 (3 10) 15x x x x

e) 2 2

2( 1). 2 1 2 1x x x x x

f) 2 2

4 ( 2). 2 15 39x x x x x

g) 2 2

(1 4 ) 4 1 8 2 1x x x x

h) 3 3

(4 1) 1 2 2 1x x x x

i) 3 3

3 2 ( 2) 2 1x x x x x

4) Phƣơng pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.

Bài 8 Giải phương trình.

a) 2( 2) 4 2x x x x bình phương, chia

2x Đặt 4

t xx

0;5t thử lại 4x

b) 2 23 2 2 2 2x x x x x chia cho x Nghiệm 2x

c) 21 4 1 3x x x x Chia 2 vế cho x và đặt 1 1

4;4

t x xx


a) 2 32( 2) 5 1x x

b) (Thi thử ninh giang 2013) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x

- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 22 5 2 5 ( 20)( 1)x x x x x

-

2 2

2 2

2( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5)

4 5 4 5 5 612 3 5 8;

4 4 2

x x x x x x

x x x xx

x x

c) 2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x

- Chuyển vế, bình phương ta được : 2 23( 5 14) 4( 5) 7 ( 5 14)( 5)x x x x x x


4

- Chia 2 vế cho ( 5)x Nghiệm 61 11137

3 2 7;18

5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đƣa về phuơng trình đẳng cấp.

Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.

Bài 10

a) 2 32( 2) 5 1x x Đặt 2 2 21; 1 2 2 5a x b x x PT a b ab 5 37

2x

b) 2 32 5 1 7 1x x x Đặt 2 2 21; 1 3 2 7u x v x x PT u v uv 4 6x

- Phương trình đã cho có dạng 2 2. . .a u b v c uv trong đó căn thường uv

c) 2 2 4 23 1 1x x x x

- Cách 1 : Đặt 2 2; 1a x b x . PT 2 23a b a b nghiệm : 1x

- Cách 2 : Đặt 2a x , thay vào PT ta được

3 236 136 200 100 0 1a a a a

d) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x (Thi thử NG 2013)


2 2 5 612( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5) 8;

2x x x x x x x

e) 2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x Nghiệm : 61 11137

3 2 7;18


Bài 11. Giải phương trình : 2 22 2 1 3 4 1x x x x x

- Điều kiện : 1

2x . Bình phương 2 vế ta có :

2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x

- Ta có thể đặt :

2 2

2 1

u x x

v x

khi đó ta có hệ :

2 2

1 5

2

1 5

2

u v

uv u v

u v

- Do , 0u v . nên 21 5 1 52 2 1

2 2u v x x x

22 2 1 5 5 1 0x x .

- 2

' 1 5 2 5 1 4 1 5 0 .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Bài 12. Giải phương trình : 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x .

- Đặt 2

2

4 5 1, 0

2 1

x x aa b

x x b

. ta có : 2 2 1 01

a ba b a b a b a b

a b

.

-

2 2

2 22 2

114 5 1 4 4 4 33

44 5 1 2 1 14 5 1 1 2 1

9

xxx x x x

x x x x xx x x x

Bài 13 Giải phương trình : 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x

- Đặt 2y x ta được phương trình : 3 2 3 3 33 2 6 0 2 3 ( 2) 0x x y x x y x x


5

3 2 33 2 0 êm 2; 2-2 32

x yx xy y nghi x

x y

- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : 3 ( 2)(3 2 2) 0x x x x

- Bài tập tương tự : 3 2 33 2 ( 1) 3 0x x x x

- Bài tập tương tự : 3 2(3 4 4) 1 0x x x x

6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đƣa về hệ phƣơng trình

Bài 14 Giải phương trình 3 2 1 6 4 (2 1)( 4) 7 0x x x x

- Đặt 2 22 1

2 7 (1)4

u xv u

v x

- Thay vào phương trình có : 3 6 7 0 (2)u v uv

- Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2 )( 3) 0 0v u u v x

Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)

a) 32 3 2 3 6 5 8 0x x (A – 2009) Nghiệm 2x

b) 32 3 2 3 6 5 16 0x x Nghiệm 2x

c) 2 217 17 9x x x x Nghiệm 1; 4x

d) 3 33 3. 35 .( 35 ) 30x x x x Nghiệm 2 ; 3x

e) 2

1 12

2x x

Nghiệm

1 31;

2x

f) 3 31 2. 2 1x x Nghiệm

1 51;

2x

g) 3 32 3. 3 2x x

7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.

Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt)

a) 21 4 5x x x PT vô nghiệm.

b) 24 9

7 728

xx x

Đặt

4 9 1

28 2

xy

c) 22 6 10x x x Đặt 2 3x y

d) 22 1 4 12 5x x x Đặt 2 1 2 3x y


6

III. Phƣơng pháp biến đổi thành tích. Bài 1 Giải phương trình

a) 23 2 1 2 4 3x x x x x x

- Phương trình ( 3 2 )( 1 1) 0 0; 1x x x x

b) 4

3 43

xx x

x

HD 2( 2 2 ) 0 1x x x

c) 2 2 2 5 972 3 9 4 : (1 3) 9 1;

18x x x HD x x x


a) 2 10 21 3 3 2 7 6x x x x

b) 2 8 15 3 3 2 5 6x x x x

c) 22 1 ( 1) 0x x x x x x

d) 2 7 4

42

x xx

x

IV. Phƣơng pháp nhân liên hợp. 1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm 0x hữu tỉ, khi đó

phương trình luôn viết được thành 0( ) ( ) 0x x P x và ( ) 0P x có thể vô nghiệm hoặc giải được.

2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị 0x để trong căn là bình phương hoặc lập phương.

Bài 1

a) (Khối B 2010) Giải phương trình : 23 1 6 3 14 8 0x x x x

- PT 3 1

( 5)( 3 1) 03 1 4 6 1

x xx x

. Nghiệm duy nhất 5x

b) Giải phương trình : 32 3 2 3 6 5 16 0x x Nghiệm duy nhất 2x

- PT 23 3

6 15( 2)[ + ]=0 2

( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4x x

x x x

c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình : 234 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x

- ĐK: 5x . Pt 234 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x 0,25

-

2

3 3

4 27 9 8(6 2 )( 3)(4 27) 0

4 10 216 4 9 37 9 37

x xx x

xx x

0,25

- TH 1. 3 0 3x x (TMPT) 0,25

- TH 2. 3x

- pt

2

3 3

36 164 27 0

4 10 216 4 9 37 9 37

xxx x

-

2

3

36 164 27 0

4 10 212 9 37 2

xxx

- Do 5x nên 36 16

4.5 27 012 4

VT . Đẳng thức xảy ra 5x

- Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3 và 5

0,25



7

a) 21 4 1 3x x x Nghiệm

10;

2x

b) 21 9 1 4x x x

c) 2 212 5 3 5x x x . Nghiệm duy nhất 2x

- Nhận xét 2 2 512 5 3 5

3x x x x để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.

d) 2 215 3 2 8x x x

e) 2 2 2 23 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x

- Nghiệm 2, ( ) 0x P x vô nghiệm.


a) 2 22 9 2 1 4x x x x x .

- Ta có 2 20 ( 4) 0 2 9 2 1VT x x x x x

- Nhân với biểu thức liên hợp ta được :

- 2 2

2

2 2

2 9 2 1 2 82 2 9 6 0;

72 9 2 1 4

x x x xx x x x

x x x x x

b) 2 22 1 1 3x x x x x . Từ phương trình 0x

- 2 2

2 2

2 1 1( 2 1 2 ) ( 1 ) 0 ( 1)[ ]=0 1

2 1 2 1

xx x x x x x x x

x x x x x x

.

Bài 4. Giải phương trình : 2 33 1 2x x x

- Điều kiện : 3 2x .

- Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

-

2

2 33

2 32 233

3 3 931 2 3 2 5 3 1

2 51 2 1 4

x x xxx x x x

xx x

- Ta chứng minh :

22

2 2 23 33

3 31 1 2

1 2 1 4 1 1 3

x x

x x x

2

3

3 9

2 5

x x

x

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.


a) 2 23 1 ( 3) 1x x x x .

b) 4 3 10 3 2x x

c) 2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x

d) 2 22 16 18 1 2 4x x x x

e) 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x

f) 2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x


a) 3 2 4 1 2 3x x x

b) 3 2 31 3 2 3 2x x x

c) 2 32 11 21 3 4 4 0x x x

d) 2 33 1 1x x x


8

V. Phƣơng pháp đánh giá. Bài 1 Giải các PT sau :

a) 2

2 4 6 11x x x x Nghiệm 3x

b) 2

2 10 12 52x x x x

c) 2

2 5 1 2x x x Nghiệm 1x

d) 2 2 2

3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x Nghiệm 1x

e) 6

2 1 19 22

10 24x x

x x

Bài 2 Giải PT sau :

a) 3 2 2

2 7 11 25 12 6 1x x x x x

- VT : 2

2 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i VP. Nghiệm 1;7x

b) 3 2 2

2 5 3 3 2 6 1x x x x x Nghiệm 1; 3x

c) 1 12

2 2 4 ( )2

x xxx

1 12( 2 ) ( 2 ) 4

2PT x x

xx

Bài 4. Giải phương trình:

22

2

6 156 18

6 11

x xx x

x x

(1)

2

2

4(1) 1 3 9

3 2x

x

Mà :

2

4 41 1 3

23 2x

và

23 9 3x .

Do đó ta có: 2

3 0 3x x .

Bài 5 Giải phương trình 2 4 2 413 9 16x x x x

- Bình phương 2 vế ta được : 2 2 2 2(13 1 9 1 ) 256x x x .

- Áp dụng bđt bunhia : 2 2 2 2 2 2 2(13 1 9 1 ) ( 13. 13 13 3 3. 3 3 ) 40(16 10 )x x x x x

- VT 2 240(16 10 )x x . Áp dụng cosi VT VP . Nghiệm 2

5x .


9

VI. Phƣơng pháp hàm số. 1) Cơ sở phương pháp :

- Để giải phương trình : ( )f x m ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến.

- Xét hàm số ( )f x luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có ( ) ( )f a f b a b .

2) Bài tập.

Bài 1 Giải các phương trình.

a) 5 7 16 14 9x x x x x .

b) 31 4 5x x x . Chuyển vế, nghiệm duy nhất 1x .

c) 22 1 3 4x x x . Chuyển vế, nghiệm duy nhất 1x .

Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình 34 ( 1) 2 1 0x x x x

- Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình 3(2 ) 2 (2 1) 2 1 2 1x x x x x

- Xét hàm số 3 2( ) '( ) 3 1 0f t t t f t t Hàm số luôn đồng biến.

- Từ phương trình có 1 5

(2 ) ( 2 1) 2 2 14

f x f x x x x

Bài tập tương tự : a) 2 2 2 3

42 (4 1) ( 3 1) 3 0;x x x x x x x

b) 34 ( 2) 2 3 0x x x x

Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm : 2 22 4 2 4m x x x x

- ' 0 0y x , vẽ bảng biến thiên [4; )m

Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm : 24 2x mx m

- Cô lập tham số, 8

' 0 0;5

y x

Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm : 1 1 5 18 3 2 1x x x x m

Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : 243 1 1 2 1x m x x

- Cô lập tham số 41 1

2 31 1

x xm

x x

Bài 7 (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm : 2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x

- Đặt ẩn phụ : 2 21 1t x x

Bài 8 (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi 0m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : 2 2 8 ( 2)x x m x

- Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba.




10

BÀI 2 : PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I) Phƣơng pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản :

- Dạng 1 :

2

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) [ ( )]

f x

f x g x g x

f x g x

- Dạng 2 :

2

( ) 0

( ) 0( ) ( )

( ) 0

( ) [ ( )]

f x

g xf x g x

g x

f x g x

- Dạng 3 : A B C

Bài 1 Giải bất phương trình :

a) 2 2 15 3x x x Kết quả : [5;6]x

b) 2 6 5 8 2x x x Kết quả : [3;5]x

c) 2 2 8 3x x x

d) 2 3 10 2x x x


a) 2 2( 3) 4 9x x x

b) 5 1 1 2 4 ( 2005)x x x A [2;10)x

c) 7 13 3 9 5 27x x x

d) 1 2 2 5 1 ( 2009)x x x CD

e) 22( 16) 7

3 ( 2004)3 3

x xx A

x x


a) 251 2

11

x x

x

b) 28 2

16 3

x x

x

c) 2

1 1

2 12 3 5 xx x

5 3( ; ) (1; ) (2; )

2 2T

Bài 4 Giải bất phương trình : 2 24 3 2 3 1 1x x x x x

II) Phƣơng pháp đặt ẩn phụ.


a) 2 25 10 1 7 2x x x x ( ; 3) (1; )T

b) 2 22 5 6 10 15x x x x

c) 2( 3)(8 ) 11 0x x x x


a) 5 1

5 2 422

x xxx

b) 1

2 31

x x

x x


11

Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình 21 4 1 3x x x x

- Chia 2 vế cho x và đặt 1 5 1

[0; ] [4; )2 4

t x t xx

Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT : 2 22 3 5 4 6x x x x x

- Điều kiện : 2x .

- Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3 ( 2)( 1) 2 ( 2) 2( 1)x x x x x x

- Chia 2 vế cho ( 1)x và đặt ( 2)

1

x xt

x

. Nghiệm [3 13; )x

Bài 5 Giải bất phương trình

a) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x


2 2

2 2

2( 4 5) 3( 4) 5 ( 4)( 4 5)

4 5 4 5 5 612 3 5 [ ;8]

4 4 2

x x x x x x

x x x xx

x x

b) 2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x


- Nghiệm x

Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT 3 2(3 4 4) 1 0x x x x

- Điều kiện : 1x . Đặt 2

01

1

yy x

y x

- Bpt trở thành 3 2 2(3 4 ) 0x x y y

0,25

- TH 1. 0 1y x . Thỏa mãn BPT

- TH 2. 0 1y x . Chia hai vế cho 3y ta được

3 2

3 4 0x x

y y

. Đặt

xt

y và giải BPT ta được 1t

0,25

- 2

1 0

01 1 1

1 0

xx

xt x xy

x x

0,25

-

1 0

0 1 51

21 5 1 5

2 2

x

xx

x

. Kết hợp 1x ta được

- 1 5

12

x

. Vậy tập nghiệm của BPT là S = 1 5

1;2

0,25

Cách 2 : Có thể biến đổi BPT về dạng tích

-

3 2 3 2

3 2

2

(3 4 4) 1 0 3 1 4( 1) 1 0

[ ( 1) 1] [3 1 3( 1) 1] 0

( 1)( 1) 0

x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

Bài tập tương tự : 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x


12

Phƣơng pháp nhân liên hợp.


a) 1 1x x x

b) 21 1 8

12

x

x

Nghiệm

1 1[ ;0) (0; )

32 2T


a) Giải phương trình : 23 1 6 3 14 8 0x x x x . Nhẩm nghiệm 5x

- BPT 3 1

( 5)( 3 1) 03 1 4 6 1

x xx x

. Trong ngoặc 0 Nghiệm 1

[ ;5)3

x

b) Giải phương trình : 32 3 2 3 6 5 16 0x x Nhẩm nghiệm 2x

- BPT 23 3

6 15 6( 2)[ + ] 0 x [ 2; ]

5( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4x

x x x

III) Phƣơng pháp đánh giá.

Bài 1 Giải các PT sau :

a) 2

2 4 6 11x x x x Nghiệm 3x

b) 2

2 10 12 52x x x x

c) 22

2 5 1 1 2x x x x x Nghiệm 1x

d) 2 2 2

3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x Nghiệm 1x

e) 6

2 1 19 22

10 24x x

x x

Bài 2 Giải PT sau :

a) 3 2 2

2 7 11 25 12 6 1x x x x x VT : 2

2 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i VP

b) 3 2 2

2 5 3 3 2 6 1x x x x x

Bài 5 (A – 2010) Giải BPT : 2

11 2( 1)

x x

x x

- Ta có 21 2( 1) 0x x nên 22( 1) 1 (1)BPT x x x x .

- Mặt khác ta lại có : 2 2 22( 1) 2(1 ) 2( ) 1 (2)x x x x x x

- Từ đó 22( 1) 1x x x x .

- Dấu bằng khi 3 5

1 ( / 0)2

x x x t m x

Documents

CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH fileGia sư Thành Được 1 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ - Các phƣơng