Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian …thpt-vxuan.thuathienhue.edu.vn/imgs/Thu_muc_he_thong/...Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

1

BAØI 1 : HEÄ TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN VAØ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

VAÁN ÑEÀ 1 : Tìm toïa ñoä cuûa moät vectô vaø caùc yeáu toá lieân quan ñeán vectô thoûa maõn moät soá ñieàu kieän cho tröôùc Söû duïng caùc ñònh nghóa coù lieân quan ñeán vectô : toïa ñoä cuûa vectô , ñoä daøi cuûa vectô , bieát phaân tích moät vectô theo ba vectô khoâng ñoàng phaúng , bieát tính toång ( hieäu )mcuûa hai vectô , bieát tính caùc toïa ñoä troïng taâm cuûa moät tam giaùc ,… VAÁN ÑEÀ 2 : Chöùng minh caùc heä thöùc vectô Söû duïng qui taéc ba ñieåm ñoái vôùi pheùp coäng , pheùp tröø vectô vaø caùc tính chaát cuûa caùc pheùp toaùnveà vectô ñeå bieán ñoåi caùc heä thöùc vectô. VAÁN ÑEÀ 3 : Ñònh nghóa tích voâ höôùng vaø caùc öùng duïng cuûa tích voâ höôùng

Söû duïng tích voâ höôùng vaø bieåu thöùc toïa ñoä cuûa tích voâ höôùng Söû duïng caùc coâng thöùc tính khoaûng caùch giöõa hai ñieåm , tính goùc giöõa hai vectô

* Cho 321321 ,,,,, bbbbaaaa

vaø moät soá k , khi ñoù ta coù :

332211 ;; babababa

332211 ;; babababa

k 321 ,, kakakaa

332211 ;; babababa

a cuøng phöông

0, bRkbkab 332211. babababa

23

22

21

23

22

21

332211

..

.,coscosbbbaaa

bababa

ba

baba

vaø

0332211

babababa

21

21

13

13

32

32 ,,],[bbaa

bbaa

bbaa

ba

* Cho A( xA , yA , zA) vaø B(xB , yB , zB)

ABAA zzyyxxABBB

;;

222ABABAB zzyyxxAB

VAÁN ÑEÀ 4 : Ñònh nghóa tích vectô vaø caùc öùng duïng cuûa vectô Duøng ñònh nghóa tích vectô baèng bieåu thöùc toïa ñoä Söû duïng caùc tính chaát cuûa tích vectô nhö :

o

bbaaba ],[,],[

o

bababa ,sin..],[ .


2

* Tính dieän tích hình bình haønh ABCD baèng coâng thöùc :

],[ ADABS ABCD

* Tính dieän tích tam giaùc ABC baèng coâng thöùc :

],[21 ACABS ABC

tính theå tích V cuûa hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ baèng coâng thöùc :

'.],[ AAADABV

Duøng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå chöùng minh ba vectô

cba ,, ñoàng phaúng laø : 0.,

cba

VAÁN ÑEÀ 5: Mặt cầu Laäp phöông trình maët caàu bieát taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu ñoù

Phöông trình maët caàu taâm I ( a, b, c ) baùn kính r coù daïng : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = 0 Cho bieát phöông trình maët caàu, haõy xaùc taâm vaø baùn kình cuûa maët caàu ñoù

Phöông trình maët caàu coù daïng : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 Taâm I ( a, b, c) ; baùn kính r = dcba 222 .

Mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp (P). Khi đó:

o Nếu RIH thì (P) và (S) không có điểm chung. o Nếu RIH thì (P) và (S) tiếp xúc nhau tại H. o Nếu RIH thì (P) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( C ) có tâm H,

bàn kính 22 IHRr . Đường tròn ( C ) chính là giao của (P) và (S). Mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng d. Khi đó:

o Nếu IH > R thì d và (S) không có điểm chung o Nếu TH = R thì d và (S) tiếp xúc nha u tại H o Nếu IH < R thì d và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

-----------------------**************-------------------------

Baøi 2:PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG

CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN VAØ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI VAÁN ÑEÀ 1: Vieát phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng.

Loaïi 1: Vieát phöông trình maët phaúng khi ñaõ bieát VTPT CBAn ,,

vaø moät ñieåm 000 ,, zyxM thuoäc maët phaúng. phöông trình maët phaúng coù daïng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Khai trieån, ruùt goïn ñöa veà daïng : Ax + By + Cz + D = 0 (Vôùi D = -Ax0 – By0 – Cz0)

Loaïi 2: Vieát phöông trình maët phaúng chöùa ba ñieåm M,N,P khoâng thaúng haøng

Tìm VTPT

n = MPMN ,

ñi qua M vaø coù VTPT

n (loaïi 1) Loaïi 3: Vieát phöông trình maët phaúng chöùa 000 ,, zyxM vaø song song vôùi maët phaúng


3

0: DCzByAx Caùch 1:

o 0':// DCzByAx (1). o Thay toïa ñoä 000 ,, zyxM vaøo (1) ta tìm ñöôïc D’

Caùch 2:

o

nn//

o ñi qua M coù VTPT

n (loaïi 1) Loaïi 4: Vieát phöông trình maët phaúng chöùa hai ñieåm M,N vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng 0: DCzByAx

Tìm VTPT

n =

nMN,

ñi qua M coù VTPT

n (loaïi 1). VAÁN ÑEÀ 2: Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng. Cho 0: DCzByAx vaø 0'''': DzCyBxA

':':'::: CBACBA

'''' D

DCC

BB

AA

''''

//DD

CC

BB

AA

0'.'.'. CCBBAA VAÁN ÑEÀ 3: Khoaûng caùch Loaïi 1: Khoaûng caùch töø 000 ,, zyxM ñeán maët phaúng 0: DCzByAx

Ta duøng coâng thöùc: 222

000,CBA

DCzByAxMd

.

Loaïi 2: Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song Cho 0: DCzByAx vaø 0': DCzByAx

Choïn moät ñieåm M thuoäc Ta coù ,, Mdd

VẤN ĐỀ 4: Chùm mặt phẳng Cho 0: DCzByAx vaø 0'''': DzCyBxA . laø mặt phẳng đi qua giao tuyến của và . Khi đó : 0'''' DzCyBxADCzByAx

----------------------************------------------------

Baøi 3: PHÖÔNG TRÌNH DÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN

CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN VAØ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI VAÁN ÑEÀ 1 : Vieát phöông trình toång quaùt ñöôøng thaúng Böôùc 1 : Xaùc ñònh hai maët phaúng phaân bieät vaø cuøng chöùa Böôùc 2 : Vieát phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng vaø :

: Ax + By + Cz + D = 0 (1)


4

: A’x+ B’y + C’z + D’ = 0 (2) Böôùc 3 : Vieát phöông trình toång quaùt cuûa baèng caùch vieát moät heä goàmhai phöông trình (1) vaø (2)

0

0: '''' DzCyBxA

DCzByAx (1)

VAÁN ÑEÀ 2 : Vieát phöông trình tham soá vaø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng Böôùc 1 : Xaùc ñònh moät ñieåm coá ñònh M0( x0,y0,z0) thuoäc

Böôùc 2 : Xaùc ñònh moät VTCP 321 ,, aaaa

cuûa Böôùc 3 : Phöông trình tham soá vaø phöông trình chính taéc cuûa coù daïng :

3

0

2

0

1

0

30

20

10

:2a

zza

yya

xx

tazztayytaxx

VẤN ĐỀ 3: Cách chuyển từ PTTS sang PTTQ và ngược lại Chuyển từ PTTS sang PTTQ: Từ một trong ba phương trình của hệ (2) ta rút ra t rồi thay vào hai phương trình còn lại Chuyển từ PTTQ sang PTTS

o Cách 1: Từ (1) suy ra VTCP

nnu , . Để tìm điểm thuộc đường thẳng ta cho

một ẩn và giải hệ tìm hai ẩn còn lại. o Cách 2: Đặt một ẩn bằng t, giải hai ẩn còn lại qua t ta tìm được PTTS

VAÁN ÑEÀ 4 : xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng vaø ' trong khoâng gian

Böôùc 1 : xaùc ñònh ñieåm coá ñònh M0( x0,y0,z0) vaø moät VTCP 321 ,, aaaa

cuûa .

xaùc ñònh ñieåm coá ñònh '0

'0

'0

'0 ,, zyxM vaø VTCP '

3'2

'1

' ,, aaaa

cuûa ' .

Böôùc 2 : tính

'aan . Böôùc 3 : duøng caùc daáu hieäu sau ñeå xeùt vò trí töông ñoái giöõa vaø ' .

// '

'0

0M

n

'0

' 0M

n

0.0

0

'

nMMn vaø ' cheùo nhau 0.0

nMM

VAÁN ÑEÀ 5 : xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng

Cho ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M0( x0,y0,z0) vaø coù VTCP 321 ,, aaaa

Cho : Ax + By + Cz + D = 0 . Goïi CBAn ,,

laø VTPT cuûa .

Caùch 1: Xeùt tích voâ höôùng

an . vaø thay toïa ñoä ñieåm M0 vaøo phöông trình ñeå kieåm tra, ta coù caùc tröôøng hôïp sau :


5

Tröôøng hôïp 1:

0

0.M

an d// Tröôøng hôïp 2:

0

0.M

an d naèm trong

Tröôøng hôïp 3:

0.an d caét Tröôøng hôïp 4:

dakn Caùch 2: Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d:

30

20

10

tazztayytaxx

d

thay x,y,z ôû phöông trình tham soá treân vaøo PTTQ cuûa : Ax + By + Cz + D = 0 ta ñöôïc: A(x0 + ta1) + B(y0 + ta2) + C(z0 +ta3) + D = 0 hay mt + n (1)

Xeùt soá nghieäm t cuûa phöông trình (1) ta coù caùc tröôøng hôïp sau: Tröôøng hôïp 1: (1) voâ nghieäm d// Tröôøng hôïp 2: (1) coù moät nghieäm t = t0 d caét taïi ñieåm M0(x0 + ta1 ; y0 + ta2 ; z0 + ta3) Tröôøng hôïp 3: (1) coù voâ soá nghieäm t d naèm trong Tröôøng hôïp 4: ( A:B:C) = k( a1 , a2 , a3) d VAÁN ÑEÀ 6: Tính khoaûng caùch

Loaïi 1: khoaûng caùch töø M0( x0,y0,z0) ñeán ñöôøng thaúng 3

0

2

0

1

0:a

zza

yya

xx

Caùch 1: Vieát phöông trình maët phaúng chöùa ñieåm M0 vaø vuoâng goùc Tìm giao ñieåm H cuûa vaø Tính d( M0 , ) = AH M0

Caùch 2: Laáy ñieåm A thuoäc

Tính

aAMn 0

d(M0, ) =

a

n A H a

Loaïi 2: Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng 3

0

2

0

1

0:a

zza

yya

xx

vaø

: Ax + By + Cz + D = 0 song song vôùi laáy ñieåm M0( x0,y0,z0) thuoäc

Tính d( , ) = d( M0 , ) = 222

000

CBA

DCzByAx


6

Loaïi 3: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau

3

0

2

0

1

0:a

zza

yya

xx

'

3

'0

'2

'0

'1

'0'

azz

ayy

axx

Caùch 1: Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng vaø song song vôùi ' ta ñöôïc :

: Ax + By + Cz + D = 0 Laáy ñieåm M’

0( x’0 , y’

0 , z’0 ) thuoäc '

Tính d( , ' ) = d( M’0 , ) =

222

'0

'0

'0 '

CBA

DCzByAx

M0’ ' H Caùch 2 :

Xaùc ñònh ñieåm M0 vaø ''0 M

Xaùc ñònh hai vectô

a vaø

'a laø hai VTCP cuûa vaø '

Tính

],[ 'aan M0’

Tính V =

nMM .'00 '

Tính d( , ' ) = HK =

n

V

K a

Chú ý: Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết:

o Một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP. o Nó là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì có nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên khi

chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau: + Nếu đường thẳng d đi qua M và vuông góc với đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mp đi qua M và vuông góc với d’ + Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mp đi qua M và đường thẳng d’ + Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mp (P) thì đường thẳng d nằm trong mp đi qua M và song song mp (P).


7

+ Nếu đường thẳng d song song với d’ và cắt đường thẳng d” thì đường thẳng d nằm trong mp chứa d” và song song với đường thẳng d’.

VẤN ĐỀ 7: Góc Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng c

zzb

yya

xx 000:

có VTCP cbau ;;

và '''

:''0

'0

'0

czz

byy

axx

có VTCP ';';'' cbau

.

Gọi ', . Khi đó 222222 '''.

'''cos

cbacba

ccbbaa

.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho mp 0: DCzByAx có VTPT CBAn ;;

và c

zzb

yya

xx 000:

có VTCP cbau ;;

Gọi , . Khi đó 222222 .

,cossincbaCBA

CcBbAaun

.

Góc giữa hai mặt phẳng:

Cho mp 0: DCzByAx có VTPT CBAn ;;

và 0'''': DzCyBxA có VTPT

';';' CBAn

Gọi , , với 00 900 .

Khi đó 222222 '''.

''',coscos

CBACBA

CCBBAAnn

VẤN ĐỀ 8: Hình chiếu Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng: Để tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng ta có các cách sau:

o Cách 1: Chuyển phương trình về phương trình tham số

Khi đó H là điểm :

uAHH

//

o Cách 2: Lập phương trình mp đi qua A, vuông góc với . Khi đó H là giao điểm của và .

Hình chiếu của điểm lên mp: Để tìm hình chiếu H của điểm A lên mp (P), ta có các cách sau:

o Cách 1: H là hình chiếu của A lên mp(P)

PnAH

PH

//

)(

o Cách 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Khi đó H là giao điểm của và (P).

Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Để tìm hình chiếu của đường thẳng lên mp (P) ta lập phương trình mp (Q) chứa đường thẳng và vuông góc với (P). Khi đó giao tuyến của (P) và và (Q) chính là hình chiếu của lên (P).


8

BÀI TẬP:

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1: Các phép toán về tọa độ của vectơ và của điểm

Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:

2a i j

+ K3 ; 7 8b i k

; 9c k

; 4 5d j k

Bài 2: Viết dưới dạng x i y j z k

mỗi vectơ sau đây:

0; 3;2a

4; 5;0b

4 1;0;3 3

c

1 1; ;3 5

d

Bài 3: Cho 2; 5;3 ; 0;2; 1 ; 1;7;2a b c

. Tìm tọa độ của u

, biết:

1/ 4 32

a u a b c

/ 4 2b u a b c

2/ 43

c u b c

/ 3 5d u a b c

Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x

, biết rằng:

/ 0a a x

với 1; 2;1a

/ 4b a x a

với 0; 2;1a

/ 2c a x b

với 5;4; 1 , 2; 5;3a b

Bài 5: Cho 1; 3;4a

a/ Tìm y và z để 2; ;b y z

cùng phương với a

.

b/ Tìm tọa độ của c

, biết rằng a

và c

ngược hướng và 2c a

.

Bài 6: Cho 3 vectơ 1; 1;1 ; 4;0; 1 ; 3;2; 1a b c

. Tìm

/ .a a b c

2

/ .b a b c

2 2 2

/c a b b c c a

2

/ 3 2 .d a a b b c b

Bài 7: Tính góc giữa hai vectơ a

và b

, biết:

/ 4;3;1 ; 1;2;3a a b

/ 2;5;4 ; 6;0; 3b a b

/ 2;1; 2 ; 0; 2; 2c a b

/ 3;2;2 3 ; 3;2 3; 1d a b

/ 4;2;4 ; 2 2; 2 2;0e a b

/ 3; 2;1 ; 2;1; 1f a b


9

Bài 8: Tìm vectơ u

, biết rằng:

2; 1;3 ; 1; 3;2 ; 3;2; 4/

. 5, . 11; . 20

a b ca

a u b u c u

2;3; 1 ; 1; 2;3 ; 2; 1;1/

5, 4; . 6

a b cb

a u b u c u

7;2;3 ; 4;3; 5 ; 1;1; 1/

. 5, . 7;

a b cc

a u b u c u

Bài 9: Cho hai vectơ ,a b

. Tìm m để:

2;1; 2 ; 0; 2; 2/

2 3 , à

a ba

u a m b v m a b v u v

3; 2;1 ; 2;1; 1

/3 , 3 2 à

a bb

u m a b v a m b v u v

3; 2;1 ; 2;1; 1/

3 , 3 2 à ùng

a bc

u m a b v a m b v u c phuong v

Bài 10: Cho hai vectơ ,a b

. Tính ,X Y khi biết:

4, 6,/

a b a ba

X a b

2; 1; 2 ; 6, 4

/a b a b

bY a b

04, 6, , 120/

,

a b a bc

X a b Y a b

2; 1; 2 ; 6, , 60

/,

oa b a bd

X a b Y a b

Bài 11: Cho ba vectơ , ,a b c

. Tìm ,m n để ,c a b

:

/ 3; 1; 2 ; 1;2; ; 5;1;7a a b m c

/ 6; 2; ; 5; ; 3 ; 6;33;10b a m b n c


10

/ 2;3;1 ; 5;6;4 ; ; ;1c a b c m n

Bài 12: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ , ,a b c

trong mỗi trường hợp sau:

/ 1; 1;1 ; 0;1;2 ; 4;2;3a a b c

/ 4;3;4 ; 2; 1;2 ; 1;2;1b a b c

/ 3;1; 2 ; 1;1;1 ; 2;2;1c a b c

/ 4;2;5 ; 3;1;3 ; 2;0;1d a b c

/ 2;3;1 ; 1; 2;0 ; 3; 2;4e a b c

/ 5;4; 8 ; 2;3;0 ; 1;7; 7f a b c

/ 2; 4;3 ; 1;2; 2 ; 3; 2;1g a b c

/ 2; 4;3 ; 1;3; 2 ; 3; 2;1h a b c

Bài 13: Tìm m để ba vectơ , ,a b c

đồng phẳng:

/ 1; ; 2 ; 1;2;1 ; 0; 2;2a a m b m c m

/ 2 1;1;2 1 ; 1;2; 2 ; 2 ; 1;2b a m m b m m c m m

/ 1; ; 2 ; 1; 2; ; 1;2;2c a m m m b m m m c

/ 1; 3;2 ; 1; 2;1 ; 0; 2;2d a b m m m c m

Bài 14: Cho các vectơ , , ,a b c u

. Chứng minh 3 vectơ , ,a b c

không đồng phẳng.

Biểu diễn vectơ u

theo các vectơ , ,a b c

:

2;1;0 , 1; 1;2 , 2;2; 1/

3;7; 7

a b ca

u

1; 7;9 , 3; 6;1 , 2;1; 7/

4;13; 6

a b cb

u

1;0;1 , 0; 1;1 , 1;1;0/

8;9; 1

a b cc

u

1;0;2 , 2; 3;0 , 0; 3;4/

1; 6;22

a b cd

u

2; 3;1 , 1;2;5 , 2; 2;6/

3;1;2

a b ce

u

2; 1;1 , 1; 3;2 , 3;2; 2/

4;3; 5

a b cf

u

Bài 15: Chứng minh 4 vectơ , , ,a b c d

đồng phẳng


11

/ 2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , 2; 11;1a a b c d

/ 2;6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , 2;11; 1b a b c d

Vấn đề 2: Xác định điểm trong KG. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích-

Thể tích

Bài 1: Cho điểm 1;2;3M . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên:

a/ Các mặt phẳng tọa độ

b/ Trên các trục tọa độ

Bài 2: Cho điểm 3; 1;2M . Tìm tọa độ điểm 'M đối xứng với điểm M:

a/ Qua gốc tọa độ

b/ Qua Các mặt phẳng tọa độ

c/ Qua các trục tọa độ

Bài 3: Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:

/ 1;3;1 ; 0;1;2 ; 0;0;1a A B C / 1;1;1 ; 4;3;1 ; 9;5;1b A B C

/ 10;9;12 ; 20;3;4 ; 50; 3; 4c A B C

/ 1;5; 10 ; 5; 7;8 ; 2;2; 7d A B C

Bài 4: Cho ba điểm , ,A B C .

4.1/ Chứng minh ba điểm , ,A B C tạo thành một tam giác.

4.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

4.3/ Xác định điểm D để ABCD là hình bình hành.

4.4/ Tính số đo các góc trong của tam giác ABC.

4.5/ Tính diện tích của tam giác ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của

ABC .

/ 1;2; 3 ; 0;3;7 ; 12;0;5a A B C / 0;13;21 ; 11; 23;17 ; 1;0;19b A B C

/ 3; 4;7 ; 5;3; 2 ; 1;2; 3c A B C / 4;2;3 ; 2;1; 1 ; 3;8;7d A B C

/ 3; 1;2 ; 1;2; 1 ; 1;1; 3e A B C / 4;1;4 ; 0;7; 4 ; 3;1; 2f A B C

/ 1;0;0 ; 0;0;1 ; 2;1;1g A B C / 1; 2;6 ; 2;5;1 ; 1;8;4h A B C

Bài 5: Trên các trục ,Ox Oy Oz , tìm điểm cách đều hai điểm:


12

/ 3;1;0 ; 2;4;1a A B / 1; 2;1 ; 11;0;7b A B / 4;1;4 ; 0;7; 4c A B

/ 3; 1;2 ; 1;2; 1d A B / 3; 4;7 ; 5;3; 2e A B / 4;2;3 ; 2;1; 1f A B

Bài 6: Trên mặt phẳng ,Oxy Oyz Oxz , tìm điểm cách đều ba điểm:

/ 1;1;1 ; 1;1;0 ; 3;1; 1a A B C / 3;2;4 ; 0;0;7 ; 5;3;3b A B C

/ 3; 1;2 ; 1;2; 1 ; 1;1; 3c A B C / 0;13;21 ; 11; 23;17 ; 1;0;19d A B C

/ 1;0;2 ; 2;1;1 ; 1; 3; 2e A B C / 1; 2;6 ; 2;5;1 ; 1;8;4f A B C

Bài 7: Cho bốn điểm , , ,A B C D .

7.1/ Chứng minh bốn điểm , , ,A B C D là bốn đỉnh của một tứ diện.

7.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện.

7.3/ Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện .ABCD

7.4/ Tính thể tích của khối tứ diện

7.5/ Tính diện tích của tam giác BCD .Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện kẻ

từ A .

/ 2;5; 3 ; 1;0;0 ; 3;0; 2 ; 3; 1;2a A B C D

/ 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 2;1; 1b A B C D

/ 1;1;0 ; 0;2;1 ; 1;0;2 ; 1;1;1c A B C D / 2;0;0 ; 0;4;0 ; 0;0;6 ; 2;4;6d A B C D

/ 2;3;1 ; 4;1; 2 ; 6;3;7 ; 5; 4;8e A B C D

/ 5;7; 2 ; 3;1; 1 ; 9;4; 4 ; 1;5;0f A B C D

/ 2;4;1 ; 1;0;1 ; 1;4;2 ; 1; 2;1g A B C D

/ 3;2;4 ; 2;5; 2 ; 1; 2;2 ; 4;2;3h A B C D

/ 3;4;8 ; 1;2;1 ; 5;2;6 ; 7;4;3i A B C D

/ 3; 2;6 ; 2;4;4 ; 9;9; 1 ; 0;0;1j A B C D

Bài 8: Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại và tính thể tích

khối hộp.

/ 1;0;1 ; 2;1;2 ; 1; 1;1 ; ' 4;5; 5a A B D C

/ 2;5; 3 ; 1;0;0 ; 3;0; 2 ; ' 3; 1;2b A B C A

/ 0;2;1 ; 1; 1;1 ; 0;0;0 ; ' 1;1;0c A B D A

/ 0;2;2 ; 0;1;2 ; 1;1;1 ; ' 1; 2; 1d A B C C


13

Bài 9: Cho bốn điểm 3;1; 2 , 5;3;1 , 2;3; 4 , 1;2;0S A B C

a/ Chứng minh , ,SA SBC SB SAC SC SAB

b/ Chứng minh .S ABC là một hình chóp đều.

c/ Xác định tọa độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH .

Vấn đề 3: Phương trình mặt cầu

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: 2 2 2/ 8 2 1 0a x y z x y 2 2 2/ 4 8 2 4 0b x y z x y z 2 2 2/ 2 4 4 0c x y z x y z 2 2 2/ 6 4 2 86 0d x y z x y z 2 2 2/ 12 4 6 24 0e x y z x y z 2 2 2/ 6 12 12 72 0f x y z x y z 2 2 2/ 8 4 2 4 0g x y z x y z 2 2 2/ 3 4 0h x y z x y 2 2 2/ 3 3 3 6 3 15 2 0i x y z x y z 2 2 2/ 6 2 2 10 0j x y z x y z

Bài 2: Xác định các tham số , , ,...m t để các phương trình sau xác định một mặt cầu,

tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó.

2 2 2 2/ 2 2 4 2 5 9 0a x y z m x my mz m

2 2 2 2/ 2 3 2 1 2 2 7 0b x y z m x m y mz m

2 2 2/ 2 os 1 4 2 os . os2 7 0c x y z c x y c z c

2 2 2 2 2/ 2 3 2 os 4 sin 1 2 os4 8 0d x y z c x y z c

2 2 2/ 2 ln . 2 6 3ln 8 0e x y z t x y z t

2 2 2 2/ 2 2 ln 4 ln . 2 ln 1 5ln 8 0f x y z t x t y t z t

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a/ Có tâm 1; 3;5I , bán kính 3R

b/ Có tâm 2;4; 1I và đi qua 5;2;3A

c/ Có đường kính AB với 3; 2;1 ; 2;1; 3A B .

d/ Đi qua bốn đỉnh , , ,A B C D với 1;1;0 ; 0;2;1 ; 1;0;2 ; 1;1;1A B C D

e/ Đi qua 3 điểm 1;2;0 ; 1;1;3 ; 2;0; 1A B C và có tâm nằm trong mặt phẳng

Oxz .


14

f/ Có tâm 5;1;1I và tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2: 2 4 6 5 0S x y z x y z

Bài 4: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt cầu: 2 2 2

2 2 2

8 4 2 4 0/

4 2 4 5 0x y z x y z

ax y z x y z

2 2 2

2 2 2

1 2 3 9/

6 10 6 21 0

x y zb

x y z x y z

2 2 2

2 2 2

2 4 10 5 0/

4 6 2 2 0x y z x y z

cx y z x y z

2 2 2

2 2 2

8 4 2 15 0/

4 12 2 25 0x y z x y z

dx y z x y z

2 2 2

2 2 2

2 6 4 5 0/

6 2 4 2 0x y z x y z

ex y z x y z

2 2 2

2 2 2

4 2 2 3 0/

6 4 2 2 0x y z x y z

fx y z x y z

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Vấn đề 1: Viết phương trình mặt phẳng

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng P trong các trường hợp sau:

a/ P đi qua điểm 3;1;1M và có VTPT 1;1;2n

b/ P là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với 2;1;1 ; 2; 1; 1A B

c/ P đi qua điểm 1;2; 3M và có cặp VTCP 2;1;2 ; 3;2; 1a b

d/ P đi qua điểm 2;1;5M và song song với mặt phẳng : 2 10 0x y z

e/ P đi qua điểm 1; 2;1M và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

f/ P đi qua ba điểm không thẳng hàng 1; 2;4 ; 3;2; 1 ; 2;1; 3A B C

g/ P đi qua điểm 1; 2;4A và vuông góc với đường thẳng BC với

3;2; 1 ; 2;1; 3B C .

h/ P đi qua hai điểm 3;1; 1 ; 2; 1;4A B và vuông góc với

mp : 2 3 1 0x y z

i/ P đi qua điểm 1; 2;5M và vuông góc với hai mặt phẳng

: 2 3 1 0x y z , : 2 3 1 0x y z

j/ P đi qua điểm 1;2; 3M và đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

: 2 3 5 0x y z , : 3 2 5 1 0x y z .


15

k/ P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 4 0P y z , : 3 0Q x y z

và song song với mặt phẳng : 2 0R x y z

m/ P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 3 4 0P x y , : 2 3 5 0Q y z

và vuông góc với mặt phẳng : 2 3 2 0R x y z .

n/ P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 0P x y , : 5 13 2 0Q x y z

và cách điểm 1;2;3M cho trước một khoảng bằng 2.

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

2 3 2 5 0/

3 4 8 5 0x y z

ax y z

3 4 3 6 0/

3 2 5 3 0x y z

bx y z

5 5 5 1 0/

3 3 3 7 0x y z

cx y z

6 4 6 5 0/

12 8 12 5 0x y z

dx y z

2 2 4 5 0/ 255 5 10 0

2

x y ze

x y z

3 2 6 23 0

/3 2 6 33 0

x y zf

x y z

Bài 2: Xác định ,m n để các cặp mặt phẳng sau: song song; cắt nhau; trùng nhau.

3 2 7 0/

7 6 4 0x my z

anx y z

5 2 11 0

/3 5 0

x y mzb

x ny z

2 3 5 0/

6 6 2 0x my z

cnx y z

3 9 0/

2 2 3 0x y mz

dx ny z

2 3 5 0/

6 6 2 0x y z

emx y z

3 5 3 0

/2 3 1 0

x y mzf

x y z

2 0/

2 4 3 0x my z

gx y mz

2 2 1 0/

3 2 0x ny z

hx y mz

3 3 2 5 0

/2 2 10 0

x m y zi

m x y mz

Bài 3: Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc nhau:

2 7 2 0/

3 2 15 0x y mz

ax y z

2 1 3 2 3 0/

1 4 5 0

m x my zb

mx m y z

2 12 0

/7 0

mx y mzc

x my z

3 3 2 9 0

/2 2 10 0

x m y zd

m x y mz

4 3 3 0/

2 7 1 0x y z

emx y z

3 5 3 0

/3 2 5 0

x y mzf

x y z


16

Vấn đề 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng- khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng của

một điểm qua mặt phẳng.

Bài 1: Cho mặt phẳng P và điểm M

1.1/ Tính khoảng cách từ điểm M đến P .

1.2/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên P

1.2/ Tìm tọa độ điểm 'M đối xứng với M qua P .

/ 2; 3;5 ; : 2 2 6 0a M P x y z

/ 1; 4; 2 ; : 5 14 0b M P x y z

/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0c M P x y z

/ 2; 3;4 ; : 2 4 4 3 0d M P x y z

/ 2;1; 1 ; : 4 0e M P x y z / 1;2;4 ; : 3 2 0f M P x y z

Bài 2: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

2 3 1 0/

2 3 5 0x y z

ax y z

6 2 1 0/

6 2 3 0x y z

bx y z

2 4 5 0/

3 5 1 0x y z

cx y z

4 8 1 0/

4 8 5 0x y z

dx y z

2 4 5 0/

3 5 1 0x y z

ex y z

3 6 3 7 0/

2 1 0x y z

fx y z

Bài 3: Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:

/ 6 3 2 7 0, 3a x y z k / 3 2 6 5 0, 4b x y z k

/ 6 2 3 12 0, 2c x y z k / 2 4 4 14 0, 3d x y z k .

Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:

2 3 1 0/

2 3 5 0x y z

ax y z

6 2 1 0/

2 2 3 0x y z

bx y z

2 4 5 0/

3 5 1 0x y z

cx y z

4 8 1 0/

4 8 5 0x y z

dx y z

2 4 5 0/

3 5 1 0x y z

ex y z

3 6 3 7 0/

2 1 0x y z

fx y z

Bài 5: Tìm điểm M trên trục ,Ox Oy Oz cách đều điểm N và mặt phẳng P

/ 1;2; 2 ; : 2 2 5 0a N P x y z / 1; 4; 2 ; : 5 14 0b N P x y z

/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0c N P x y z / 2; 3;4 ; : 2 4 4 3 0d N P x y z


17

/ 2;1; 1 ; : 4 0e N P x y z / 1;2;4 ; : 3 2 0f N P x y z

Bài 6: Tìm điểm M trên trục ,Ox Oy Oz cách đều hai mặt phẳng:

1 0/

5 0x y z

ax y z

2 2 1 0/

2 2 5 0x y z

bx y z

2 4 5 0/

4 2 1 0x y z

cx y z

4 8 1 0/

4 8 5 0x y z

dx y z

2 4 5 0/

3 5 1 0x y z

ex y z

3 6 3 7 0

/2 1 0

x y zf

x y z

Bài 7: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng P đi qua điểm A và song song

với mặt phẳng Q cho trước. Tính khoảng cách giữa P và Q .

/ 1;2; 3 ; : 2 4 4 0a A Q x y z / 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0b A Q x y z

Bài 8: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng P song song với mặt phẳng

Q và cách điểm A một khoảng cách cho trước:

/ 2; 1;4 ; 4; : 2 2 5 0a A k Q x y z

/ 2; 3;4 ; 3; : 2 4 4 3 0b A k Q x y z

Bài 9: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng P cách mặt phẳng Q một

khoảng k:

/ 14; :3 2 3 0a k Q x y z / 29; : 4 3 2 5 0b k Q x y z

Vấn đề 4: Góc giữa hai mặt phẳng

Bài 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng:

1 0/

5 0x y z

ax y z

2 2 1 0/

2 2 5 0x y z

bx y z

2 4 5 0/

4 2 1 0x y z

cx y z

4 4 2 7 0/

2 4 5 0x y z

dx z

2 2 3 0/

2 2 12 0

x y ze

y z

3 3 3 2 0/4 2 4 9 0

x y zfx y z

Bài 2: Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng góc cho trước.


18

2 1 3 2 3 0

/ 1 4 5 0

90o

m x my z

a mx m y z

2 12 0

/ 7 045o

mx y mzb x my z

2 2 5 0

/ 3 2 3 0

90o

m x my mz

c mx m y z

3 0

/ 2 1 1 1 6 0

30o

mx y mzd m x m y m z

Vấn đề 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng P và mặt cầu S :

2 2 2

: 2 2 1 0/

: 6 2 4 5 0

P x y za

S x y z x y z

2 2 2

: 2 3 6 9 0/

: 1 3 2 16

P x y zb

S x y z

2 2 2

: 2 11 0/

: 2 4 2 2 0

P x y zc

S x y z x y z

2 2 2

: 2 2 5 0/

: 6 4 8 13 0

P x y zd

S x y z x y z

2 2 2

: 2 2 0/

: 6 2 2 0

P x y ze

S x y z x y z

2 2 2

: 3 0/

: 6 2 16 22 0

P zf

S x y z x y z

Bài 2: Biện luận theo m vị trí tương đối giữa mặt phẳng P và mặt cầu S :

2 2 2/ : 2 2 4 0; : 2 1 4 4 8 0a P x y z S x y z m x my z m

2 2 2 2/ : 4 2 4 5 0; : 1 2 3 1b P x y z S x y z m

2 2 2 2/ : 3 2 6 7 0; : 2 1 1 2c P x y z S x y z m

2 2 2 2/ : 2 3 6 10 0; : 4 2 1 2 3 5 4 0d P x y z S x y z mx m y z m m


19

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P cho

trước:

/ 3; 5; 2 ; : 2 3 1 0a I P x y z / 1;4;7 ; : 6 6 7 42 0b I P x y z

/ 1;1;2 ; : 2 2 3 0c I P x y z / 2;1;1 ; : 2 2 5 0d I P x y z

Bài 4: Viết phương trình m,ặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S cho trước:

2 2 2/ : 3 1 2 24a S x y z tại điểm 1;3;0M

2 2 2/ : 6 2 4 5 0b S x y z x y z tại điểm 4;3;0M

2 2 2/ : 1 3 2 49c S x y z tại điểm 7; 1;5M

2 2 2/ : 2 2 2 22 0d S x y z x y z và song song : 3 2 6 14 0x y z

2 2 2/ : 6 4 2 11 0e S x y z x y z và song song : 4 3 17 0x z

2 2 2/ : 2 4 4 0f S x y z x y z và song song : 2 2 5 0x y z

2 2 2/ : 2 6 2 8 0g S x y z x y z và chứa đường thẳng 4 4

: 1 31

x td y t

z t

h/ Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với

6; 2;3 ; 0;1;6 ; 2;0; 1 ; 4;1;0A B C D

i/ Tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2: 10 2 26 113 0S x y z x y z và song song với

hai đường thẳng : 1 25 1 13 7 1 8: , :

2 3 2 3 2 0x y z x y zd d


20

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng

Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau:

a/ đi qua điểm 1;2; 3M và có VTCP 1;3;5u

b/ đi qua hai điểm 2;3; 1 ; 1;2;4A B

c/ đi qua điểm 2; 5;3A và song song với đường thẳng 2 3

: 3 45 2

x td y t

z t

d/ đi qua điểm 3;2; 4A và song song với trục Ox .

e/ đi qua điểm 2; 5;3A và song song với đường thẳng MN với

5;3;2 ; 2;1; 2M N .

f/ đi qua điểm 2;4;3A và vuông góc với mặt phẳng : 2 3 6 19 0P x y z

g/ là giao tuyến của hai mặt phẳng

: 6 2 2 3 0; :3 5 2 1 0P x y z Q x y z

h/ đi qua điểm 1;0;5M và vuông góc với hai đường thẳng 1

1 2: 3 2

1

x td y t

z t

và

21 2 1:

1 1 3x y zd

i/ đi qua điểm 1;2; 2A , vuông góc và cắt đường thẳng ' : 12

x ty tz t

j/ đi qua điểm 2; 1;1A và cắt cả hai đường thẳng

1 2

1 1 3 ': 2 ; : 2 '

3 3 '

x t x td y t d y t

z z t

k/ nằm trong mặt phẳng : 2 0P y z và cắt hai đường thẳng


21

1 2

21: ; : 4 2

1 1 41

x tx y zd d y t

z

m/ song song với đường thẳng 1 1' :2 1 2x y z

và cắt cả hai đường thẳng

1 21 1 2 1 3: ; :

1 2 1 3 2 1x y z x y zd d

n/ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

1 2

3 2 2 3 ': 1 4 ; : 4 '

2 4 1 2 '

x t x td y t d y t

z t z t

t/ là hình chiếu của đường thẳng 2 3 1:2 1 3

x y zd

trên

mp : 2 2 3 0P x y z .

l/ đi qua điểm 0;1;1A , vuông góc với 11 2:

3 1 1x y zd

và cắt

đthẳng 2

1:

1

xd y t

z t

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 1;1;1A B C D . Viết phương

trình tham số của các đường thẳng sau:

a/ Chứa các cạnh của tứ diện ABCD

b/ Đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng ABD .

c/ Đường thẳng qua A và trọng tâm của tam giác BCD .

Bài 3: Cho tam giác ABC có 1;2;5A và hai trung tuyến 13 6 3:

2 2 1x y zd

;

24 2 2:

1 4 1x y zd

. Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh

của tam giác.

Bài 4: Cho bốn điểm 1;2; 1 ; 3;4; 1 ; 1;4;1 ; 3;2;1S A B C .

a/ Chứng minh .S ABC là một hình chóp

b/ Viết phương rình tham số các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.


22

c/ Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.

Bài 5: Cho bốn điểm 1; 2;3 ; 2; 2;3 ; 1; 1;3 ; 1; 2;5S A B C .

a/ Chứng minh .S ABC là một tứ diện.

b/ Viết phương trình các hình chiếu của SA,SB trên mặt phẳng ABC .

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

a/ 11 2 4:

2 1 3x y zd

2

1:

2 3

x td y t

z t

b/ 1

5 2: 1

5

x td y t

z t

2

3 2 ': 3 '

1 '

x td y t

z t

c/ 1

2 2: 1

1

x td y t

z

2

1: 1 '

3 '

xd y t

z t

d/ 11 2 3:

9 6 3x y zd

27 6 5:

6 4 2x y zd

e/ 11 5 3:

2 1 4x y zd

26 1 3:

3 2 1x y zd

f/ 12 1:

4 6 8x y zd

27 2:

6 9 12x y zd

g/ 1

2 2 2 0:

2 2 4 0x y z

dx y z

2

2 2 0:

2 1 0x y z

dx y z

h/ 1

9: 5

3

x td y t

z t

2

2 3 3 9 0:

2 3 0x y z

dx y z

Bài 2: Chứng tỏ các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường

vuông góc chung của chúng.

a/ 1

1 2: 3

2 3

x td y t

z t

2

2 ': 1 '

3 2 '

x td y t

z t


23

b/ 1

1 2: 2 2

x td y t

z t

2

2 ': 5 3 '

4

x td y t

z

c/ 1

3 2: 1 4

2 4

x td y t

z t

2

2 3 ': 4 '

1 2 '

x td y t

z t

d/ 12 1:

3 2 2x y zd

21 1:

1 2 4x y zd

e/ 17 3 9:

1 2 1x y zd

23 1 1:

7 2 3x y zd

f/ 12 1 3:

2 1 2x y zd

23 1 1:

2 2 1x y zd

g/ 1

2 2 2 0:

2 2 4 0x y z

dx y z

2

2 2 0:

2 1 0x y z

dx y z

Bài 3: Tìm giao điểm của hai đường thẳng 1d và 2d :

a/ 1 : 1 23

x td y t

z t

2

1 ': 2 '

4 '

x td y t

z t

b/ 1 : 1 24 3

x td y t

z t

2

1 ': 2 '

3 '

x td y t

z t

c/ 1 : 2 38 5

x td y t

z t

2

2 ': 7 2 '

'

x td y t

z t

d/ 1

2 1 0:

1 0x y

dx y z

2

3 3 0:

2 1 0x y z

dx y

Bài 4: Tìm m để hai đường thẳng 1 2àd v d cắt nhau. Khi đó tìm tọa độ giao điểm

của chúng

1

1/ :

1 2

x mta d y t

z t

2

1 ': 2 2 '

3 '

x td y t

z t


24

1

1/ : 3 2

x tb d y t

z m t

2

2 ': 1 '

2 3 '

x td y t

z t

1

2 4 0/ :

3 0x y z

c dx y

2

2 3 0:

2 6 0x y mz

dx y z

Vấn đề 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng P . Tìm giao điểm

(nếu có) của chúng.

2

/ : 1 : 10 03

x ta d y t P x y z

z t

3 2

/ : 1 4 : 4 3 6 5 04 5

x tb d y t P x y z

z t

12 9 1/ : : 3 5 2 04 3 1

x y zc d P x y z

11 3/ : : 3 3 2 5 02 4 3

x y zd d P x y z

13 1 4/ : : 2 4 1 08 2 3

x y ze d P x y z

3 5 7 16 0/ : : 5 4 0

2 6 0x y z

f d P x zx y z

2 3 6 10 0/ : : 4 17 0

5 0x y z

g d P y zx y z

Bài 2: Cho đường thẳng d và mặt phẳng P . Tìm ,m n để:

2.1/ d cắt P 2.2/ d // P 2.3/ d P 2.4/ d P

1 2 3/ : : 3 2 5 02 1 2

x y za d P x y zm m

1 3 1/ : : 3 2 5 02 2

x y zb d P x y zm m

3 2 3 0/ : : 2 3 2 0

4 3 4 2 0x y z

c d P x y m zx y z


25

3 4

/ : 1 4 : 1 2 4 9 03

x td d y t P m x y z n

z t

3 2

/ : 5 3 : 2 3 3 5 02 2

x te d y t P m x n y z

z t

Bài 3: Cho đường thẳng d và mặt phẳng P . Tìm ,m n để:

/ : 23

x m ta d y t

z t

cắt : 2 5 0P x y z tại điểm có tung độ bằng 3.

2 3 0/ :

2 5 0x y

b dy z

cắt : 2 2 2 0P x y z m tại điểm có cao độ bằng -1.

Vấn đề 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu S . Tìm giao điểm

(nếu có) của chúng.

2 2 21 2/ : : 2 4 1 02 1 1x y za d S x y z x z

2 2 22 1 0/ : : 1 2 16

2 3 0x y z

b d S x y zx z

2 2 22 1 0/ : : 2 2 14 0

2 0x y z

c d S x y z x yx y

2 2 22 1 0/ : : 4 2 10 8 0

2 0x y z

d d S x y z x y zx y

2 2 2

2/ : : 2 4 2 2 0

3

x te d y t S x y z x y z

z t

2 2 2

1 2/ : 2 : 2 4 6 2 0

3

x tf d y t S x y z x y z

z t

2 2 2

1/ : 2 : 2 4 6 2 0

4

x tg d y t S x y z x y z

z


26

Bài 2: Biện luận theo m vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu S :

2 2 22 0/ : : 1 2 1 8

2 0x y z m

a d S x y zx y

2 2 2

1/ : : 2 4 1 0

2

x tb d y m t S x y z x z

z t

2 2 22 3 0/ : : 2 2 4 0

2 1 0x y

c d S x y z x y z mx z

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d :

1 4

/ 1; 2;1 : 3 22 4

x ta I d y t

z t

1

/ 1;2; 1 : 22

x tb I d y

z t

2 1 1/ 4;2; 1 :2 1 2

x y zc I d

2 2/ 1;2; 1 :2 1 3

x y zd I d

2 1 0/ 1;2; 1 :

1 0x y

e I dz

Bài 4: Cho mặt cầu S có tâm I và bán kính 3R . Viết phương trình tiếp tuyến

d của S

a/ d đi qua 0;0;5A S và có VTCP 1;2;2u

b/ d đi qua 0;0;5A S và vuông góc với mặt phẳng : 3 2 2 3 0x y z

Vấn đề 5: Khoảng cách

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d :

1 4

/ 2;3;1 , : 2 21 4

x ta A d y t

z t

2 2

/ 1;2; 6 , : 13

x tb A d y t

z t

2 1/ 1;0;0 , :1 2 1

x y zc A d 2 1 1/ 2;3;1 , :

1 2 2x y zd A d


27

2 1 1/ 1; 1;1 , :1 2 2

x y ze A d

2 1 0/ 2;3; 1 , :

3 2 2 0x y z

f A dx y z

Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng 1d và 2d chéo nhau. Tính khoảng cách giữa

chúng.

1 2

1 2 2 '/ : 3 : 1 '

2 3 3 2 '

x t x ta d y t d y t

z t z t

1 2

1 2 2 '/ : 2 2 : 5 3 '

4

x t x tb d y t d y t

z t z

1 2

3 2 2 3 '/ : 1 4 : 4 '

2 4 1 2 '

x t x tc d y t d y t

z t z t

1 22 1 1 1/ : :

3 2 2 1 2 4x y z x y zd d d

1 27 3 9 3 1 1/ : :

1 2 1 7 2 3x y z x y ze d d

1 22 1 3 3 1 1/ : :

2 1 2 2 2 1x y z x y zf d d

1 2

2 2 2 0 2 2 0/ : :

2 2 4 0 2 1 0x y z x y z

g d dx y z x y z

Bài 3: Chứng minh hai đường thẳng 1d và 2d song song với nhau.Tính khoảng cách

giữa chúng

1 2

3 2 4 4 '/ : 4 3 : 5 6 '

2 3 2 '


z t z t

1 21 2 3 2 3 1/ : :

2 6 8 3 9 12x y z x y zb d d

1 23 1 2 1 5 1/ : :

2 1 3 4 2 6x y z x y zc d d


28

1 2

2 2 10 0 7 5 9/ : :22 0 3 1 4

x y z x y zd d dx y z

Bài 4: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P . Tính khoảng

cách giữa chúng:

2 3

/ : 1 4 : 4 3 6 5 05 4

x ta d y t P x y z

z t

1 2

/ : : 8 02 2

x tb d y t P x z

z t

2 1 0/ : : 2 2 4 5 0

2 3 0x y z

c d P x y zx y z

3 2 3 0/ : : 2 2 2 0

4 3 4 2 0x y z

d d P x y zx y z

Vấn đề 6: Góc

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng 1d và 2d :

1 2

1 2 2 '/ : 1 : 1 3 '

3 4 4 2 '


z t z t

1 21 2 4 2 3 4/ : :

2 1 2 3 6 2x y z x y zb d d

1 2

92 3 3 9 0

/ : : 52 3 0

3

x tx y z

c d d y tx y z

z t

1 2

2 32 2 0

/ : : 17 3 17 0

4

x tx z

d d d yx y z

z t

1 2

2 1 01 2 2/ : :2 3 2 03 1 4x y zx y ze d d

x z

13 1 2/ :

2 1 1x y zf d

và 2d là các trục tọa độ.


29

1 2

4 0 2 3 1 0/ : :

2 1 0 0x y z x y z

g d dx y z x y z

1 2

2 3 4 0 2 3 0/ : :

3 2 7 0 4 3 7 0x y z x y z

h d dx y z x y z

Bài 2: Chứng minh hai đvường thẳng sau vuông góc nhau:

1 2

7 2 15 0 7 0: :

7 5 34 0 3 4 11 0x z x y z

d dy z x y

Bài 3: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P :

1 1 3/ : : 2 2 10 01 2 3

x y za d P x y z

4 4

1

/ : 2 5 : 5 4 03

x

b d y t P x zz t

4 2 7 0/ : : 3 1 0

3 7 2 0x y z

c d P x y zx y z

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có 3;2;6 ; 3; 1;0 ; 0; 7;3 ; 2;1; 1A B C D

a/ Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc nhau

b/Tính góc giữa AD và mặt phẳng ABC

c/ Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.

d/ Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Tính thể tích của tứ diện

ABCD

Bài 5: Cho tứ diện .S ABC có 1;2;1 ; 3;2;1 ; 1;3;1 ; 1; 2;5S A B C

a/ Viết phương trình các mặt phẳng ; ;ABC SAB SAC .

b/ Tính góc tạo bởi SC và mp ABC ; góc tạo bởi SC và AB.

c/ Tính các khoảng cách từ C đến SAB và từ B đến SAC

d/ Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC.

Bài 6: Cho tứ diện .S ABC có 1; 2;3 ; 2; 2;3 ; 1; 1;3 ; 1; 2;5S A B C

a/ Tìm phương trình các hình chiếu của SA,SB trên mp ABC .


30

b/ Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Tính góc tạo bởi SM và NP;

Tính góc tạo bởi SM và mp ABC .

c/ Tính các khoảng cách giữa SM và NP; SP và MN.

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHÖÔNG PHAÙP: Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O) Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan (coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát) Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo :

YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä).

Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä

Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.

Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp:

Ñoä daøi ñoïan thaúng Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Goùc giöõa hai maët phaúng Theå tích khoái ña dieän Dieän tích thieát dieän Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc

Boå sung kieán thöùc : 1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S' baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu cos.' SS 2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A', B', C' khaùc vôùi S Ta luoân coù:

SCSC

SBSB

SASA

V

V

ABCS

CBAS'''

.

'''. ..


31

Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 zM = 3. Tương tự M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z

1a b c

1 2 3M (ABC) 1

a b c (1).

O.ABC1

V abc6

(2).

31 2 3 1 2 3

(1) 1 3 . .a b c a b c

1abc 27

6 .

(2) min1 2 3 1

V 27a b c 3

.

Ví dụ 2 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

3 a 3AI BC

2 2

a 3 a 3OA , OI

3 6

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h),

0;0;

33aA

0;0;

63aI ;

0;

2;

63 aaB

0;

2;

63 aaC ;

2;

4;

123 haaM ;

2;

4;

123 haaN


32

Ví dụ 3: a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:

H(0; 0; 0), a aA ; 0; 0 , B ; b; 0

2 2 a a a 3, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .

2 2 2

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật AB=a, AD a 2 , SA =a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tìm thể tích khối tứ diện ANIB. Giải: dựng hệ trục Axyz với gốc A

Trong hệ trục tọa độ này, ta có A(0;0;0);D(a 2;0;0)

B(0;a;0);C(a 2;a;0);S(0;0;a) Khi đó ta có IBMIIBMI

21

21

Như vậy a 3 aI ( ; ;0)

2 3

Ta có:

2;

6;

62;

2;

2;

22;

2;

2;

23 aaaNIaaaNBaaaNA

Từ đó:

22;0;

2,

22 aaNBNA Vì vậy: 36

2.,61 3aNINBNAVANIB


33

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Bài 3.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA a 3 .

1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài 4. (A2011) : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Bài 5. (A2012) : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) la2d9ie63m H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.

1. Tính diện tích SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 .

1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.

Bài 3.(A.2007)Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N,, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc BP và tính thể tích tứ diện CMNP. Bài 4. (B. 2006): Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a , SA = a. SA vuông góc (ABCD). Gọi M là trung điểm AD và N là trung điểm SC. I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SMB) vuông góc . Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Bài 5. (A. 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.


34

1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM.

Bài 2. (A. 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chop A’ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’,B’C’ Bài 3. (D. 2009): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC vuông tại B, AB = a , AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC). Bài 4. (B.2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = 3a . Hình chiếu

vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

MỘT SỐ ĐỀ THI CÁC NĂM QUA A. TỐT NGHIỆP THPT

Bài 1: (Đề thi tốt nghiệp 2006) Hệ phân ban:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1;1;2), B(0;1;1),

C(1;0;4).

1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đương thẳng

AB.

2. Gọi M là điểm sao cho 2MB MC

. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và

vuông góc với đường thẳng BC.

Hệ không phân ban: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 0; -1), B(1; 2;

1), C(0;2;0). G là trọng tâm của tam giác ABC.

a/ Viết phương trình đường thẳng OG.

b/ Viết phương trình mặt cầu S đi qua 4 điểm O,A,B,C.

c/ Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc

với S .

Bài 2: (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)

Hệ phân ban:

Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng )( có

phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0.

1.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng )( .


35

2.Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm E và vuông góc mặt

phẳng )( .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1;-1; 0) và mặt phẳng

)( có phương trình x+y-2z-4=0

a/ Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm M và song song với mp P .

b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc

với mp P . Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng d và mp P .

Hệ không phân ban: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 1:

1 2 3x y zd

và mặt phẳng P có phương trình: 3 2 0x y z

a/ Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng P .

b/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P .

Bài 3: (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Hệ phân ban: Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và

đường thẳng (d) có phương trình

tzty

tx

63

21

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng

(d).

2. Viết phương trình tham số của đương thẳng đi qua hai điểm M và N.

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(1; -4; 5), N(3; 2; 7)

a/ Viết phương trình mặt cầu S đi qua điểm F và có tâm E.

b/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn EF.

Hệ không phân ban: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 1:

1 2 1x y zd

và 1

' : 1 21 3

x td y t

z t

a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng d và 'd vuông góc với nhau.

b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 1; 2;1K và vuông góc với đường

thẳng 'd .

Bài 4: (Đề thi tốt nghiệp 2008)

Hệ phân ban: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1),

B(2;4;3) và C(2;2;-1)

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

2. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.


36

Hệ không phân ban: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) và mặt

phẳng có phương trình: 2x – 3y + 3z + 35 = 0

a/ Viết phương trình đương thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng .

b/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm N thuộc trục

Ox sao cho độ dài đoạn thẳng MN bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng .


Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có

phương trình: (S): 36221 222 zyx và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.

1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt

phẳng (P).

2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P).

Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2;3) và đường thẳng d có

phương trình 1 2 32 1 1

x y z

a/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường

thẳng d.

b/ Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và

tiếp xúc với d.


Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm 1;0;0 ; 0;2;0 ; 0;0;3A B C .

a/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC .

b/ Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng có phương trình 1 1

2 2 1x y z

a/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng .

b/ Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng .


Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 3;1;0A và mặt phẳng P có

phương trình 2 2 1 0x y z .

a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng P . Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua

A và song song với mặt phẳng P .


37

b/ Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng P .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

0;0;3 ; 1; 2;1 ; 1;0;2A B C

a/ Viết phương trình mặt phẳng ABC

b/ Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.


Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2;2;1 ; 0;2;5A B và mặt phẳng

P có phương trình: 2 5 0x y .

a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

b/ Chứng minh rẳng P tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB.

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2;1;2A và đường thẳng có

phương trình 1 32 2 1

x y z .

a/ Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và O.

b/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đi qoa O. Chứng minh tiếp xúc

với (S).


Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;1M và mặt phẳng P có

phương trình: 2 2 3 0x y z

a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với

mp P .

b/ Viết phương trình mặt cầu S có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp P .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;1;0A và đường thẳng d

có phương trình: 1 11 2 1

x y z

a/ Viết phương trình mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d .

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho độ dài đoạn AM bằng 6 .


38

B. ĐẠI HỌC

Bài 1: ĐH KA,A1-2013:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 6 1 2:3 2 1

x y z

và điểm 1;7;3A . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với . Tìm

tọa độ điểm M thuộc sao cho 2 30AM .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 3 11 0P x y z và

mặt cầu 2 2 2: 2 4 2 8 0S x y z x y z . Chứng minh P tiếp xúc với S . Tìm tọa

độ tiếp điểm của P và S . Bài 2: ĐH KB-2013:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0) và mặt phẳng P có

phương trình 2 3 7 0x y z . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với

P . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua P .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;1); B(-1;2;3) và đường

thẳng 1 2 3:2 1 3

x y z . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với hai

đường thẳng AB và .

Bài 3: ĐH KD-2013:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;-2); B(0;1;1) và mặt

phẳng P có phương trình: 1 0x y z . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên

P . Viết phương trinh mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với P .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A(-1;3;-2) và mặt phẳng P

có phương trình: 2 2 5 0x y z . Tính khoảng cách từ A đến P . Viết phương trình mặt

phẳng đi qua A và song song với P .

Bài 4: CĐ KA,A1,B,D-2013:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;-1;3) và đường thẳng d có

phương trình: 1 1 32 1 1

x y z

. Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d .


39

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A(-1;3;2) và mặt phẳng P

có phương trình: 2 5 4 36 0x y z . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên mp P .

Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A.

Bài 5: ĐH KA,A1-2012:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2:1 2 1

x y zd và

điểm 0;0;3I . Viết phương trình mặt cầu S có tâm I và cắt d tại hai điểm A,B sao cho

tam giác IAB vuông tại I.

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 1 2:2 1 1

x y zd , mặt

phẳng : 2 5 0P x y z và điểm 1; 1;2A . Viết phương trình đường thẳng cắt

d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Bài 6: ĐH KB-2012:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1:2 1 2

x y zd

và hai

điểm 2;1;0 ; 2;3;2A B . Viết phương trình đườmạt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc

đường thẳng d .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;3); M(1;2;0). Viết

phương trình mặt phẳng P đi qua A và cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại B và C sao cho

tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.

Bài 7: ĐH KD-2012:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 2 10 0P x y z và

điểm 2;1;3I . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt P theo một đường tròn có bán

kính bằng 4.

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng 1 1:2 1 1

x y zd

và

hai điểm 1; 1;2 ; 2; 1;0A B . Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB

vuông tại M.

Bài 8: CĐ KA,A1,B,D-2012:


40

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 21

x td y t t R

z t

và

2

1 2: 2 2

x sd y s s R

z s

. Chứng minh 1d và 2d cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng

chứa cả hai đường thẳng 1d và 2d .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng 2 1 1:1 1 1

x y zd

,

mặt phẳng : 2 2 0P x y z . Đường thẳng nằm trong P vuông góc với d tại giao

điểm của d và P . Viết phương trình đường thẳng .

Bài 9: ĐH KA-2011:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm A(2;0;1); B(0;-2;3) và mặt phẳng

: 2 4 0P x y z . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho 3MA MB .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu 2 2 2: 4 4 4 0S x y z x y z

và điểm A(4;4;0). Viết phương trình mặt phẳng OAB , biết B thuộc S và tam giác OAB

đều.

Bài 10: ĐH KB-2011:

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1:1 2 1

x y z

và

mặt phẳng : 3 0P x y z . Gọi I là giao điểm của và P . Tìm tọa độ điểm M

thuộc P sao cho MI vuông góc với và 4 14MI .

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng 2 1 5:1 3 2

x y z

và hai điểm 2;1;1 ; 3; 1;2A B . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho

tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .

Bài 11: ĐH KD-2011:


41

Chuần: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng

1 3:2 1 2

x y zd

. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với đường

thẳng d và cắt trục Ox.

Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng 1 3:2 4 1

x y z và

mặt phẳng : 2 2 0P x y z . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ,

bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P .

Documents

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian …thpt-vxuan.thuathienhue.edu.vn/imgs/Thu_muc_he_thong/...Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn