Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
Cdx0 Cxdx
11
1
nCn
xdxx
nn Cxdx
x ln
1
Cedxe xx Ca
adxa
xx
ln
Cxxdx cossin Cxxdx sincos
Cxdxx
tancos
12
Cxdxx
cotsin
12
Cxudxxu
xu)(ln
)(
)(
C
ax
ax
adx
axln
2
1122
Caxxa
axx
dxax 222 ln22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn ba; có nguyên hàm là )(xF .
Giả sử )(xu là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là ba;
thì ta có :
CxuxFdxxuxuf )()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
1
0
211x
xdxI b)
1
0
21x
x
e
dxeI c)
e
x
dxxI
1
3
ln1
Bài làm :
a) Đặt 2
212 dtxdxxdxdtxt
Đổi cận :
21
10
tx
tx
Vậy : 2ln2
1ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21
tt
dt
x
xdxI
b) Đặt dxedtet xx 1
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 2
Đổi cận :
12
11
2etx
etx
Vậy : )1ln(ln1
1
1
1
1
1
0
2
22
ett
dt
e
dxeI
e
e
e
e
x
x
c) Đặt dxx
tdtxt1
ln1
Đổi cận :
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
dxxxI nm .cos.sin
Cách làm :
Nếu nm, chẵn . Đặt xt tan
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt xt sin (trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
cxbxa
dxI
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
2
2
2
1
1cos
1
2sin
2tan
t
tx
t
tx
xt
Dạng 4 :
dxxdxc
xbxaI .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt : xdxc
xdxcBA
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:
dxnxdxc
mxbxaI .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
)122(3
2
3
2ln12
1
2
1
2
3
1
3
tdttx
dxxI
e
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 3
Đặt : nxdxc
C
nxdxc
xdxcBA
nxdxc
mxbxa
cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)
2
0
41)1(sin
cos
x
xdxI b)
2
0
5
2 cos
xdxI c) 4
0
6
3 tan
xdxI
Bài làm :
a) Đặt : xdxdtxt cos1sin
Đổi cận :
22
10
tx
tx
Vậy : 24
7
3
1
)1(sin
cos2
1
3
2
1
4
2
0
41
tt
dt
x
xdxI
b) Đặt : xdxdtxt cossin
Đổi cận :
12
00
tx
tx
Vậy :
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
35
1
0
1
0
24222
0
5
2
ttt
dtttdttxdxI
c) Đặt : dxxdtxt )1(tantan 2
Đổi cận :
14
00
tx
tx
Vậy :
415
13
35
1
11
1tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
64
0
6
3
duttt
dtt
ttt
dttxdxI
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 4
Tính các tích phân sau :
a)
2
02222
1
cos.sin.
cos.sin
dxxbxa
xxI b)
3
0
22cos2
cos
dxx
xI
Bài làm :
a) Đặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222
Đổi cận :
2
2
2
0
btx
atx
Nếu ba
Vậy :
baab
bat
ab
t
dt
abdx
xbxa
xxI
b
a
b
a
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22221
2
2
2
2
Nếu ba
Vậy :
ax
axdx
a
a
xdxxdx
xbxa
xxI
2
12cos
4
12sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
02222
1
b) Đặt : xdxdtxt cossin
Đổi cận :
2
3
3
00
tx
tx
Vậy :
2
3
0 2
2
3
02
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dtdx
x
xI
Đặt : ududtut sin2
3cos
2
3
Đổi cận :
42
3
20
ut
ut
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 5
Vậy :
242
1
2
1
cos12
3
sin2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2
udu
u
udu
t
dtI
Tính các tích phân sau :
a)
2
0
15cos3sin4
1
dxxx
I b)
2
0
25cos3sin4
6cos7sin
dxxx
xxI
Bài làm :
a) Đặt : 1
21
2tan
2tan
2
2
t
dtdxdx
xdt
xt
Đổi cận :
12
00
tx
tx
Vậy :
6
1
2
1
15
1
13
1
24
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
t
t
dtdt
t
t
t
t
tI
b)Đặt : 5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
xx
C
xx
xxBA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được: 1,1,1 CBA
Vậy :
6
1
8
9ln
25cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos41
5cos3sin4
6cos7sin
12
0
2
0
2
0
2
Ixxx
dxxxxx
xxdx
xx
xxI
Bạn đọc tự làm :
a) 2
6
2
3
1sin
cos
dxx
xI b)
2
0
3
2 sin.cos
xdxxI c)
2
0
32sin
x
dxI
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 6
c)
2
0
3
31cos
sin4
dxx
xI d)
2
0
53cos2sin
1
dxxx
I d)
2
0
63cos2sin
1cossin
dxxx
xxI
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
Caxnax
dxI
nn
1
1.
1
1 với 1,0, NCna ta có :
Nếu Ran ,1 ta có : Cxax
dxI
ln
Dạng 2 :
dx
cbxax
xI
n2
trong đó :
04
,,,,
2 acb
Rcba
* Giai đoạn 1 : 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức cbxax 2 ,
sai khác một số :
nnncbxax
dxb
a
adx
cbxax
bax
adx
cbxax
ba
bax
aI
222
2
2
2
2
22
2
* Giai đoạn 2 :
Tính
baxt
n
n
nt
dt
a
adx
cbxax
dxI
222 12
.4
* Giai đoạn 3 :
Tính
dt
tI
n1
12
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt tant
Dạng 3 : dxxQ
xPI
n
m
Ta có : 01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xPn
n
m
m
n
m
Nếu : QP degdeg thì ta thực hiện phép chia
xQ
xRxA
xQ
xP
n
rnm
n
m trong đó
phân số xQ
xR
n
r có QR degdeg
Nếu : QP degdeg ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
nn
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
1
11 ......
Vdụ 1a :
n
ii
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
22))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 7
*Qt 2':
nnn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
212
11
2
11
2...... với 0
*Qt 3:
m
i
n
ki
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 12
1
2
Vdụ 1 :
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xPt
22)(
Vdụ 2 :
22
22
2
11
22 cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
1
0
2123xx
dxI b)
1
0
222
23xx
dxI
Bài làm :
a)
1
0
1
0
1
0
212
1
1
1
2123dx
xxxx
dx
xx
dxI
b)
dxxxxx
dxxx
dxI
1
0
22
1
0
222
21
2
2
1
1
1
23
OKxxxx
1
0
2ln1ln22
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a)
1
0
24133xx
dxI b)
1
0
2221
24dx
xx
xI
Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
Ca
x
aax
dxI arctan
1220 với 0a
dx
xxxx
dx
xx
dxI
1
0
1
0
2222
1
0
2413
1
1
1
2
1
3133
32923
arctan3
1arctan
2
11
0
xx
3
4ln2ln1ln
1
0 xx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 8
b) Đặt :
12
22
1212
242
2
22
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
1
0
1
0
2221
2
2
2
21
24dx
x
x
xdx
xx
xI
9
4ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2 xx
Bạn đọc tự làm :
a)
3
2
211
1dx
xx
xI b)
5
2
2232xx
dxI
c) dxxx
xI
2
1
3
3
34
1 d)
2
3
24323
dxxx
xI
HD:
a) 11
122
x
C
x
B
x
A
xx
x b)
3132
12
x
B
x
A
xx
c)
1212
41
4
1
4
13
3
xxx
x
xx
x d)
221123 24
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
1
0
1
0
11 dxxxdxxxmnnm
Bài làm :
Xét
1
0
1 dxxxInm
Đặt : dtdxdxdtxt 1
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 9
Đổi cận :
01
10
tx
tx
Vậy :
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (đpcm)
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên đoạn aa, thì :
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
1)(
0
0
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
0
a
dxxf . Đặt dtdxdxdtxt
Đổi cận :
00 tx
atax
V ậy :
a a
a
dttfdttfdxxf0 0
0
Thế vào (1) ta được : 0I (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
aa, thì
a
a
a
dxxfdxxfI0
2
Cho 0a và xf là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
Chứng minh rằng :
dxxfdxa
xfx
01
Bài làm :
Xét
dxa
xfx
0
1
. Đặt dtdxdxdtxt
Đổi cận :
00 tx
tx
Vậy :
0 0
0
111 t
t
tx a
tfadt
a
tfdx
a
xf
0
0
1111
dxa
xfdx
a
xfdx
a
xfxxx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 10
Thế vào (1) ta được :
0
0
0111
dxxfdxa
xfdx
a
xfadx
a
xfxx
x
x (đpcm)
Cho hàm số xf liên tục trên 1,0 . Chứng minh rằng :
0 0
sin2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
0
sin. dxxfx . Đặt dtdxdxdtxt
Đổi cận :
0
0
tx
tx
Vậy :
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
0 0
sin.sin dttftdttf
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
00
00
sin2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số xf liên tục trên ba, và xfxbaf . Thì ta luôn có :
b
a
dxxfba
dxxfx
02
.
Cho hàm số xf liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
Chứng minh rằng :
Ta
a
T
dxxfdxxf0
Bài làm :
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf0
0
Vậy ta cần chứng minh
a Ta
T
dxxfdxxf0
Xét a
dxxf0
. Đặt dxdtTxt
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 11
Đổi cận :
Tatax
Ttx 0
Vậy :
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay :
Ta
a
T
dxxfdxxf0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số xf liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
có :
T
T
T
dxxfdxxf0
2
2
Bạn đọc tự làm :
a) 1
0
6
1 1 dxxxI b)
1
1
22
2 1lncos.sin dxxxxxI
c)
0
23cos49
sin.dx
x
xxI d)
0
24cos1
sin.dx
x
xxI
e)
2
2
2
521
sin
dxxx
Ix
f)
1
1
2
2
61
sindx
x
xxI
g)
2
0
27 sin1sinln dxxxI h) dxxI
2009
0
8 2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn ba, , thì ta có :
b
a
b
a
b
avduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt xu ln hay xu alog .
*ưu tiên 2 : Đặt ??u mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 12
a) 1
0
1 . dxexI x b) 2
0
2
2 cos.
xdxxI c) e
xdxI1
3 ln
Bài làm :
a) Đặt :
xx evdxedv
dxduxu
Vậy : 11..1
0
1
0
1
0
1
0
1 eeeedxeexdxexI xxxx
b) Đặt :
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
22
Vậy : 1sin.24
sin.2cos..2
0
2
0
2
20
1
0
1
xdxxxdxxxxdxexI x
Ta đi tính tích phân 2
0
sin.
xdxx
Đặt :
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy : 1sincos.coscos.sin. 20
20
2
0
20
2
0
xxxdxxxxdxx
Thế vào (1) ta được : 4
8.
21
0
1
dxexI x
c) Đặt :
xvdxdv
dxx
duxu1
ln
Vậy : 1ln.ln.ln01
1
1
1
3 ee
ee
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a)
0
1 sin. xdxeI x b) 4
0
22cos
dxx
xI c)
e
dxxI1
3 lncos
Bài làm :
a) Đặt :
xvxdxdv
dxedueu xx
cossin
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 13
Vậy :
00
0
1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI xxx
Đặt :
xvxdxdv
dxedueu xx
sincos
Vậy : IxdxexexdxeJ xxx
00
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta được : 2
112 11
e
IeI
b) Đặt :
xvdxx
dv
dxduxu
tancos
12
Vậy : 2
2ln
4cosln
4tantan.
cos40
4
0
40
4
0
22
xxdxxxdxx
xI
c) Đặt :
xvdxdv
dxxx
duxu lnsin1
lncos
Vậy : JedxxxxdxxIe
ee
1lnsinlncos.lncos1
1
1
3
Đặt :
xvdxdv
dxxx
duxu lncos1
lnsin
Vậy : 3
1
1
1
3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
ee
e
Thế vào (1) ta được : 2
112 33
e
IeI
Bạn đọc tự làm :
a)
2ln
0
1 . dxexI x b)
e
dxxI1
2
2 ln1
c)
2
23ln
1
ln
1
e
dxxx
I d) 1
0
2
4 1ln dxxxI
e) 3
4
5 tanln.sin
dxxxI f) e
dxxI1
2
6 lncos
g)
4
0
27 2cos
xxI h)
2
0
7
cos1
sin1
dxex
xI x
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 14
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính b
a
dxxfI ta đi xét dấu xf trên đoạn ba, , khử trị tuyệt đối
Muốn tính b
a
dxxgxfI ,max ta đi xét dấu xgxf trên đoạn ba,
Muốn tính b
a
dxxgxfI ,min ta đi xét dấu xgxf trên đoạn ba,
Tính các tích phân sau :
a)
4
1
1 2dxxI b)
2
0
2
1 32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy : 4
2
22
1
24
2
2
1
4
1
1 222
2222
x
xxxdxxdxxdxxI
2
54288
2
1224
b) Lập bảng xét dấu 2,0,322 xxx tương tự ta được
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1 323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính
1
0
dxaxxIa với a là tham số :
Bài làm :
x a
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
43
33
3
2
1
32
1
0
32
1
xxx
xxxI
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 15
Nếu 0a .
1
0
1
0
232
1
023
1
23
aaxxdxaxxdxaxxIa
Nếu 10 a .
a
a
a dxaxxdxaxxdxaxxI0
1
22
1
0
223
1
3232
321
32
0
32 aaxaxxax
a
a
Nếu 1a .
1
0
1
0
232
1
023
1
23
aaxxdxaxxdxaxxIa
Tính : a) 2
0
2
1 ,1min dxxI 3
0
2
2 ,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số : 2,01 2 xx
Vậy : 3
4
3,1min
2
1
2
0
32
1
1
0
2
2
0
2
1 xx
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số : 3,01 xxx tương tự như trên ta có .
6
55
32,max
3
1
31
0
23
1
2
1
0
3
0
2
2 xx
dxxxdxdxxxI
Bạn đọc tự làm :
a)
3
2
2
1 3,min dxxxI b) 2
0
2 cos,sinmax
dxxxI c) 4
3
0
3 cossin
dxxxI
d)
3
2
2
4 34,max dxxxI d)
5
1
4 1212 dxxxxxI
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: dxcbxaxxR 2, ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
2
2 21
40
0 bax
acbxax
a
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 16
dtttSdxcbxaxxRbax
t
2
22 1,, Tới đây , đặt ut tan .
Dạng 2:
2
2 21
40
0 bax
acbxax
a
dtttSdxcbxaxxRbax
t
2
22 1,, Tới đây , đặt ut sin .
Dạng 3:
1
2
40
02
2 bax
acbxax
a
dtttSdxcbxaxxRbax
t
2
22 1,, Tới đây, đặt u
tsin
1 .
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
x
ttt
dt
cbxaxx
dx
122
Một số cách đặt thường gặp :
dxxaxS 22, đặt ttax 0cos.
dxxaxS 22, đặt 22
tan.
ttax
dxaxxS 22, đặt
ktt
ax
2cos
dxcbxaxxS 2, đặt
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
m
dcx
baxxS , đặt 0;
cbad
dcx
baxt m
Tính :
32 74xx
dxI
Bài làm :
23232 374 xt t
dt
xx
dx
Đặt : duudtut 1tan3tan3 2
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 17
Ta có
uu
udu
u
duuI
tan3tan332
2
cos3
1
1tan.33
1tan3
Cxx
xC
t
tCu
74
2
3
1
13
1sin
3
1
22
Tính : a)
12 xx
xdxI b)
122 xxx
dxI
Bài làm :
a)
3
12222 1
13
2
1
4
3
2
11 xt
dtt
t
x
xdx
xx
xdx
Cxxxxx
Ctttdtt
tI
xt
12
1ln
2
11
1ln2
11
2
3
1
13
2
1
22
22
3
122
b)Đặt : 2
1
t
dtdx
tx
C
t
t
dt
xxx
dxI
tx
2
1arcsin
1212 122
Cx
Cx
2
1arcsin
2
11
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a)
3 11 xx
dxI b)
11 xx
dxI
Bài làm :
a)Đặt : dxdttxtxt 566 611
Vậy :
66 1
2
1
23
5
3 1
1166
11 xtxt
dtt
tttt
dtt
xx
dxI
Cxxxx
Ctttt
11ln6161312
1ln6632
663
23
b)
dxx
xdxxdx
x
xx
xx
dxI
1
2
11
2
1
2
11
11
2
1
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 18
11
2
1
2
1dx
x
xxx
Xét dxx
x
1Đặt :
dt
t
tdx
tx
x
xt
2221
2
1
11
Vậy :
OKt
dttdx
x
x
x
xt
1
2
2
12
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a) dxxxI 9. 22 b) dxxxI 4.16 22
Bài làm :
a)Đặt : dtt
tdx
t
txtxx
2
222
2
9
2
99
Vậy :
C
xx
xxxx
Ct
tt
dttt
t
dtt
tdt
t
t
t
t
t
tI
42
2
42
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
1
94
65619ln162
4
9
16
1
4
6561ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9.
2
9.
2
9
b)Đặt : dtt
tdx
t
txtxx
2
222
2
4
2
44
C
xx
xxxx
Ct
tt
dttt
t
dtt
tdt
t
t
t
t
t
tI
42
2
42
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
4
644ln36
4
4
64ln36
4
25636
16
4
4.
2
4.
2
416
Tính các tích phân sau :
a)
1
2
1
2
1 dxxxI b)
8
3
21
dxxx
dxI
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 19
Bài làm :
1
2
1
21
2
1
2
1 1212
1dxxdxxxI
Đặt : tdtdxtx cos2
1sin12
Đổi cận :
21
02
1
tx
tx
Vậy : 2
0
2
0
2
0
2
1 2sin2
11
8
12cos1
8
1cos
4
1
tdtttdtI
b) Đặt : dxtdtxt 21
Đổi cận :
38
23
tx
tx
Vậy :
3
2
2
3
2
2
8
3
21
21
21 t
dt
tt
tdtdx
xx
dxI
Bạn đọc tự làm :
a)
12
1
xx
dxI b) dxxxI 2
2 4 c)
32
3
4x
dxI
d) dxxI 2
4 1 d)
dx
x
xI
11
11
2
2
5 d) dxx
I11
1
26
Bất đẳng thức tích phân :
Nếu 0,0 dxxfbaxxfb
a
Nếu dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
,
16
00028
1
2ln1ln2
1ln
1
1ln
3
2
t
t
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 20
Nếu abMdxxfabmbaxxfm
b
a
,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) 1
04
11 dxxx b)
2
1
15
22
1
2
dx
x
x c)
1
0
211 dxxx
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
1,04
1
2
11
2
x
xxxx
Vậy : 4
1
4
11
1
0
1
0
dxdxxx (đpcm)
b) Xét hàm số : 2,112
xx
xxf
Đạo hàm :
1
10
1
122
2
x
xxf
x
xxf
Ta có :
5
22
2
11
f
f
Vậy :
2
1
15
2
2
1
15
2
2,12
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
dxx
x
dxdxx
xdx
xx
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
1,02111111 22 xxxxx
Vậy : 01211
1
0
dxxx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 21
1
0
211 dxxx (đpcm)
Chứng minh rằng : e
dxx
xe x
121
sin.3
1
2
Bài làm :
e
exx x 113,1
3
1
2
3
1
2 1
1
1
sin.dx
xedx
x
xe x
Xét
3
1
2 1
1dx
xe
Đặt : dttdxtx 1tantan 2
Đổi cận :
33
41
tx
tx
Do đó : 121tan
1tan 3
4
3
4
2
2
e
dt
te
dtt
Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)10cos3516
2
0
2
x
dx b)
2
1sin
4
3 3
6
dxx
x c)
8
2
46
3
6
32
xx
dx
d*) Cho 2 hàm số liên tục : 1,01,0:;1,01,0: gf
Chứng minh rằng :
1
0
1
0
21
0
.. dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số xfxf & liên tục trên đoạn ba, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :
11
1
sin.22
xex
xe x
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 22
xgy
bx
xfy
ax;
Được tính như sau :
b
a
dxxgxfS
2)Tính thể tích :
Nếu diện tích xS của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn ba, thì thể tích vật thể được tính :
dxxfV
b
a
Nếu hàm số xf liên tục trên ba, và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
dxxfVb
a
2
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
dxxfxf
b
a
n
i
iin
1
.lim trong đó
1
1
iix
ii
xx
xx
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
n
i
nn
if
nS
1
1 sau đó lập phân hoạch đều trên 1,0 , chọn
n
ixii ta có
1
01
1lim dxxf
n
if
n
n
in
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh xfy thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
dxylb
a
2
1 với ba, là hoành độ các điểm đầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 23
Hình1a hình1b
hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :
22222 xRyRyx
Do tính đối xứng của đồ thị nên : dxxRSR
0
224
Đặt : tdtRdxtRx cossin
Đổi cận :
2
00
tRx
tx
2
00
tRx
tx
Vậy :
dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
22
0
2
2
0
22
0
22
2sin2
12
2cos12cossin4
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 24
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2xy , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng. 41 xky
Phương trình hoành độ giao điểm .
0441 22 kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 21 xx
Vậy diện tích là :
*42
1
3
1
423
41
12
2
121
2
212
23
2
2
1
2
1
kxxkxxxxxx
xkxkx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
44.4
4.
2
12
2
12
222
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx
Thế vào * ta được :
1641646
1
42
144
3
1164
22
222
kkkk
kkkkkkS
341226
1164
6
1 3232 kkk
Vậy : 34min S khi 2k
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
2
xay
yax
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét 0a
Xét :
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
Với yx ta được :
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 25
lx
nax
a
xay
yx
00
2
Với 0 ayx ta được :
lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
00
0
0
0
2
22
2
Ta lại có :
00
22
2
a
a
xy
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :
dvttaa
xxa
dxa
xxadx
a
xaxS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)
2
01
013
x
yx
yx
b)
4
4
2
y
xy
xy
c) 0
0
2
y
yx
yx
d)
0,
12
2
2
2
ba
b
y
a
x
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
hình a hình b
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 26
hình c hình d
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
6
5555 ...321
n
nSn
Tính .limnnS
Bài làm :
5
1
5555
.1
.......3211
n
i
n
n
n
nnnnS
n
i
n
Xét hàm số 1,05 xxf .
Ta lập phân hoạch đều trên 1,0 với các điểm chia :
1.....0 1210 nn xxxxx và chiều dài phân hoạch n
xxl ii
11
Chọn n
ixii ta có
5
11
1 .1
lim
n
i
nfxx
n
i
n
i
iiin
6
1limlim
1
0
5
0
dxxSSn
nl
n
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
nnnnn
Sn
1
......3
1
2
1
1
1
Tính .limnnS
Bài làm :
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 27
1
1.
1
1
1......
13
1
12
1
11
11
1
n
in
n
n
nnn
nS
n
i
n
Xét hàm số 1,01
1
xxf .
Ta lập phân hoạch đều trên 1,0 với các điểm chia :
1.....0 1210 nn xxxxx và chiều dài phân hoạch n
xxl ii
11
Chọn n
ixii ta có
1
1.
1lim
11
1
n
infxx
n
i
n
i
iiin
2ln1ln1
limlim1
0
1
00
xx
dxSS
nn
ln