［ 復習 ： 三角関数 ］

θ

ｒｂ

ａｂ

ｓｉｎθ＝ｒ

ａｃｏｓθ＝

ｒ

・ ｃｏｓ は、直角三角形の斜辺 ｒ と

角θをはさむ辺 ａ との比

ｓｉｎ は、角θの対辺 ｂ との比

・ 斜辺 ｒ ＝ １ なら、ｃｏｓ と ｓｉｎ は、ａ，ｂ の

長さに等しくなる。ｃｏｓθ＝ａ ｓｉｎθ＝ｂ

１－１

－１

θ ｘ

ｙ

１

ａ

ｂＰ＝（ａ, ｂ）

0

ｘ－ｙ 平面に、半径が１の円（単位円と言う）を描く。円周上の点Ｐと、Ｐから ｘ 軸に垂線を下ろした点 と、原点０とは、直角三角形になる。そして、この直角三角形は、斜辺の長さが１である。

Ｐの座標を（ａ，ｂ）とする。また、ｘ軸と半径Ｐ－０とが作る角度をθとする。

すると、 ｃｏｓθ＝ａ ｓｉｎθ＝ｂ となる。

つまり、単位円の上の点Ｐの座標、（ａ，ｂ）は、（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ） となる。

ｃｏｓ と ｓｉｎ

単位円 と三角関数

ラジアンで表した円の角度

度 ０° ９０° １８０° ２７０° ３６０°

ラジアン ０ π ２π

θ ｘ

ｙ

0

θ＝０

θ＝

１

２π

３

２π

１

２π

θ＝３

２π

θ＝π

θ＝－π

θ＝－１

２π

θ＝π と θ＝－π は同じθ＝（３／２）π と θ＝（－１／２）π は同じつまり、２πを足したり引いたりしても、一周するだけなので、円の角度としては同じとなる。

だから、 ｃｏｓ（－π）＝ｃｏｓπｓｉｎ（－１／２）π＝ｓｉｎ（３／２）π

などが成立する。

１－１

－１

ｔｘ

ｙ

１

ｃｏｓ ｔ

ｓｉｎ ｔ

0

Ｐ

時間を変数とした 三角関数

関数 ｃｏｓ ｔ は、単位円上を等速円周運動をする点Ｐの ｘ座標

ｔ

0

cos ｔ

信号理論（金田）

［ 複素正弦波 1/2 ］

１－１

－１

ωｔR（実）

１

ｅｊωｔ

0

複素正弦波の定義

ｅｊωｔ ＝ｃｏｓωｔ＋ｊ ｓｉｎωｔ

ω：角周波数、 t ：時間

・ ｅｊωｔ は、

実数部が ｃｏｓωｔ、虚数部が ｓｉｎωｔを持つ複素数として定義される。

I （虚）

ｓｉｎωｔ

ｃｏｓωｔ

性質： 複素数 ｅｊωｔ は、絶対値（大きさ： 原点からの距離）が１で、偏角が ωｔ の複素数である。

（証明）

・ 性質 1-1： 複素数 ｅｊωｔ の絶対値 （＝原点からの長さ）は、ωt の値によらず常に１である。

（証明）： 複素数 ｅｊωｔ の絶対値 ＝ | ｅｊωｔ | ＝ √（（実数部）2＋（虚数部）2 ）

＝ ＝ √（（ｃｏｓωｔ）2＋（ｓｉｎωｔ）2 ）＝1

・ 性質 1-2：複素数 ｅｊωｔ の偏角はωｔ である。

（証明）： 一般に、複素数 ｚ の絶対値を | ｚ |、偏角をθとすると、

実数部は | ｚ |･ｃｏｓθ、 虚数部は | ｚ |･ｓｉｎθと表される。

ｅｊωｔ の絶対値は １ なので、その実数部は ｃｏｓθ、虚数部はｓｉｎθと表される。

一方定義より、 ｅｊωｔ の実数部は ｃｏｓωｔ、虚数部はｓｉｎωｔ であるので、

偏角 θ＝ωｔ であることが示される。

（ オイラーの公式 ）

・ 性質より、時間が経過して ｔ が大きくなるにつれて、偏角が増加するので、ｅｊωｔ は半径が１の円

（単位円 ）の上を回転する。

・ ωｔ ＝ 2πｆ ｔ より、ｔ ＝ 1/ ｆ となると、ωｔ＝2π となって、１回転する。つまり、ｅｊωｔ の回転周期は、

周波数の逆数である。 1秒間に ｆ 回回転する。

［ 複素正弦波 2/2 ］

正弦波として、ｓｉｎ や ｃｏｓ ではなく、 ｅｊωｔ を使うことの利点

・ 指数関数の形をしているので、微分・積分が簡単。

)2( 1

)1( (

tjtj

tjtj

ej

dte

ejedt

d

（積分）　　

微分）　　

式からわかるように、微分は ｊωをかける、積分は ｊωで割る操作と同じになる。

・ また、２つの正弦波の掛け算や割り算も、複素正弦波の場合は簡単になる。

/

()-(

)(

2121

2121

tjtjtj

tjtjtj

eee

eee

（除算）　

乗算）　

式からわかるように、乗算は加算、除算は減算操作で表される。

通常の正弦波 ｓｉｎ， ｃｏｓ と、複素正弦波の関係。

これらの式は、ｓｉｎ （または ｃｏｓ ）が、 ｅ ｊωt と ｅ －ｊωt からできていることを表している。

が得られる。

よって、

を加算して、と式が得られる。また、式

よって、

を引き算すると、から式式となる。

として、をの式は、また、

の定義より、複素正弦波

tjtj

tjtj

tjtj

tjtj

tj

tj

tj

tj

eet

tee

eej

t

tjee

tjte

e

tjte

e

2

1cos

cos2

(2)(1)

2

1sin

sin2

(2)(1)

)2(sincos

j- j (1)

)1(sincos

［ 複素正弦波によるフーリエ級数 ］

が示された。となり、式

　　　　

」なので、周期積分するとを、周期で、「のは角周波数に代入すれば、を式

公式のときは、オイラーの

立する。であるので、上記が成　となり、のときは、を示す。

　　　　　　　

　最初に、

］の証明式［

：信号の周期　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

得られる。　をかけて積分すれば

複素共役に、同じ複素正弦波のは、の係数　複素正弦波

の求め方］係数［

　　　　　　

リエ級数複素正弦波によるフー◇

(A1)

000sin 1

cos 1

sincos 1

1

0 cossin (A1)

)A2(sincos

0

1 1 0

(A1)00

01

1

(2.26)

)26.2( )(1

)(

(2.21) )(

T

0

T

0

T

0

T

0

T

0

0

T

0

0

33

221

33

2210

0

0

0

0

00

0000000

dttmjT

dttmT

dttmjtmT

dteT

mmmT

tmjtme

m

Tdteem

m

mdte

T

T

dtetfT

F

etfFe

F

eFeFeFeFeFeFFeFtf

tjm

tjm

tjm

tjm

tjnT

n

tjnn

tjn

n

tjtjtjtjtjtj

n

tjnn

が成立する。となる。よって、式すべて

番目の積分項以外はとなるで、の関係を利用したもの第四の等号は、式

　　

　

　

(2.26) 0

(A1)

000000

1111

00

0000

0)(

0

)(

0

)2(20

)1(10 0

nFeFeF

FF

dteFT

dteFT

dteFT

dteFT

ntj

ntnnj

n

nn

T tnnjn

T tnjT tnjT tjn

dteFeFeFeFeFeFeF

T

dteeFeeFeeF

eeFeeFeeFeFT

dteeFeFeFeFeFeFFT

dtetfT

tf

tnjtnjtnjT tnjtnjtnjtjn

tjntjtjntjtjntj

T tjntjtjntjtjntjtjn

tjnT tjtjtjtjtjtj

tjnT

0000000

000000

0000000

0000000

0

)3(3

)2(2

)1(10

)3(3

)2(2

)1(10

33

221

0

33

2210

0

33

221

33

2210

0

1

1

1

)(1

)12.2()()26.2(

　　　

　　　　　

　　　

　　　　　

　　

を代入すると、に、式の式

00 0 Fn

信号理論 第４回 金田

･･･

･･････

･･･

･･･

･･･ ･･･

･･････

･･･

［ 正弦波の和による信号の合成＝フーリエ級数 ］

信号理論 第４回 金田

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin

方形波の合成

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin

のこぎり波の合成

◇ 例） 「ゲート関数」 または 「方形パルス」 （教科書の p. 19 の (c) の内容）

フーリエ変換の例

0

τ (タウ)

A

・ 時刻 -τ/2 および τ/2の間でのみ値 A を持ち、それ以外の時刻では値が 0 となる下記の信号 ｆ(t) を考える。この信号は、「ゲート関数」 または 「方形パルス」 と呼ばれる。

・ この信号のフーリエ変換 Ｆ(ω)は、以下のように求められる。（教科書の式(2.42)の、τ0＝τ/2 とおいた場合）

信号理論 第５回 金田

-τ/2 τ/2ｔ

ｆ (t)

t

tAtf

2/0

2/2/)(

)2/(

)2/sin(

22/

)()(

2/2/

2/2/2/2/

2/

2/

2/

2/

Aj

eeA

eej

Aee

j

A

ej

AdteAdtetfF

jj

jjjj

tjtjtj

　　　

◇ 「標本化関数」 または 「ｓｉｎｃ関数」

・ ｓｉｎ(ｘ)/ｘ の形の関数を、「標本化関数」 または 「ｓｉｎｃ関数」 と呼ぶ。（ 上式は、ｘ＝ωτ/2 としたもの。 A と τ は一定値なので、高さはAτ）

0

ｘ

１ ｘ＝π，２π，３π，．．．で、0 となる

π2π 3π

ｓｉｎ(ｘ)ｘ ＝ ｓｉｎ(ｘ)

ｘ1

振幅

振幅が1/xで小さくなっていく正弦波

よって、

ゲート関数 標本化関数

（ ＝ゲート関数のフーリエ変換は標本化関数である ）

1ｘ

ｘ

1)sin(

lim0

x

xx

注：

ｓｉｎ(x) は 0付近では、ｓｉｎ(x) ≒ ｘ となるので

ω＝n･2π/τn＝1,2,3,･･･

ごとに0となる

最大値は Aτ

１） 一般に、信号 ｆ ( ｔ ) はいろいろな周波数の正弦波信号 （音で言えば、低い音から高い音まで）を含んでいる。

２） それぞれの周波数の正弦波（成分）を、どの位多く含んでいるかを分析するのがフーリエ変換である。

３） 分析するためには、信号 ｆ ( ｔ ) に e -ｊ ωt を乗算して積分すればよい。式で表せば、

４） Ｆ(ω) は、信号 ｆ (ｔ ) に含まれている周波数ωの正弦波の成分を表す。（ Ｆ(ω) はスペクトル、または、周波数スペクトルとも呼ばれる。）

５） Ｆ(ω) は複素数で、その絶対値 | Ｆ(ω) | と偏角 arg(Ｆ(ω) ) はそれぞれ、正弦波の大きさと位相を表す。（ それぞれ、振幅スペクトル、位相スペクトルと呼ぶ。 ）

６） Ｆ(ω) を図で表す場合、特にことわらなければ横軸に（角）周波数、縦軸に周波数成分の大きさ を描く。この振幅スペクトルを、単に 「（周波数）スペクトル」 と呼ぶことも多い。

７） ωが負の部分を描くこともあるが、＋ωと－ωは同じ周波数を表し、 | Ｆ(ω) | の値は同じ。→ よって、 | Ｆ(ω) | は ω＝0 を中心に左右対称となる。

８） 「信号 ｆ (ｔ ) のフーリエ変換が Ｆ(ω) 」 である時、

ｆ (ｔ ) Ｆ(ω)

（時間信号） （周波数スペクトル）

と表し、 「 ｆ (ｔ ) と Ｆ(ω) はフーリエ変換対である 」 と言う。

dtetfF tj )()(

周波数

| F(ω) |

省略することも多い

ω

（ フーリエ変換の式 ）

ω0

| F(ω) |

［ フーリエ変換のメモ ］ － 概要 －

信号理論 第６回 金田

大きさ

0

時間波形 → 周波数スペクトル

分析 （周波数分析）

周波数スペクトル → 時間波形

合成 （信号波形の合成）

フーリエ級数

（周期信号）

フーリエ級数：

複素正弦波表現

（周期信号）

・ 積分区間は周期 Ｔ

フーリエ変換

（非周期信号）

・ 積分区間 ∞ ・ こちらは 「逆フーリエ変換」 と呼ぶ

ＤＦＴ

（Discrete Fourier Transform： 離散フーリエ変換）

ディジタル信号

（離散時間信号）

コンピュータ計算用

・ 離散時間信号 ｘ(n) ｎ： 整数時間

・ 離散周波数スペクトル Ｘ(k) ｋ：整数周波数

・ 積分（Σ）の区間は有限 （Ｎサンプル）

（＝Ｎ個の標本化データ）

・ 計算される周波数も Ｎ個

・ 周波数間隔は Ｆｓ/Ｎ （ただし、Ｆｓは標本化

周波数）

・ こちらは 「逆ＤＦＴ」 と呼ぶ

T

k

T

k

T

dttktxT

b

dttktxT

a

dttxT

a

0 0

0 0

00

)sin()(2

)cos()(2

)(1

)}sin(

)cos({)(

0

100

tkb

tkaatx

k

kk

T tjk dtetx

TkX

0

0)(1

)(

k

tjkekXtx 0)()(

)/(21

0

)()( NknjN

n

enxkX

1

0

)/(2)(1

)(N

k

NknjekXN

nx

dtetxX tj )()(

deXtx tj)(

2

1)(

信号理論 第６回 (金田)

(2.26)(2.25)

(2.31)(2.30)

理論

理論

実用

理論

［ 各種の 時間－周波数変換のまとめ ］

(2.3)

(2.4)(2.5)(2.6)

◇ δ（デルタ）関数 （インパルス関数）

デルタ関数 δ(t)

ｔ0

τ

1/τ

・ 時間幅がτ、高さが 1/τ のゲート関数を考える。（面積は１）

・ このゲート関数の面積を一定にしたまま、幅を0 に近づける。 （τ → 0 ） すると、高さ 1/τ は、無限大になる。 これをδ関数と呼び、δ(t) と表す。

ｔ

0

τ

面積 １（一定）

［ 表記 ］

δ(t)： ｔ＝0 のインパルス

ｔ

0

矢印で表す

δ( t－ｔ0 )： ｔ ＝ｔ0 のインパルス

ｔ

0 ｔ0

［ 性質 ］

1)(

1)(

)(

0)(

0)(0

)0()()(

1)(

0

　　　　

　よって

　　　

より）のフーリエ変換　（②③

の値を取り出す働きの　　

なので　以外では　　

②　　

　　：面積は１①　　

t

edtet

t

ttf

tt

fdtttf

dtt

jtj

ｔ

0ω

0

1

δ関数は、全周波数成分を含む

)(2 1)(2

1

2

1)(

2

1

)(

　　または　　　　　　

　よって

　　　

の逆フーリエ変換④

dte tj

ｔ0

ω0

直流は、ω=0 でだけ値を持つ

δ(t)

δ(ω)

21

　

（一定値＝直流）

信号理論 第６回 金田

［ 関数の平行移動 ］

ｔ

ｆ（ｔ）

ｔ

ｆ（ｔ－τ）

τ0 0

τｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を

右側に「τ」移動したもの

・ 信号 ｆ（ｔ－τ） は、ｔ ＝τ の時 （ｔ ＝τを代入すると）、 値 ｆ（0） となる。

この値は、信号 ｆ（ｔ） が ｔ ＝0 の時の値である。

・ つまり、ｆ（ｔ－τ） は、ｔ ＝τ で、 ｆ（ｔ） が ｔ＝0 の時の値をとる。

したがって、ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を右側に「τ」移動したものである。

・ ｆ（ｔ ＋τ） は、ｆ（ｔ） を左側に「τ」移動したものとなる。

ｔ ＝－τ で、 ｆ（ｔ） が ｔ＝0 の時の値をとる。

時間 ｔ

ｆ（ｔ）

6時 7時5時

時間 ｔ

ｆ（ｔ －１）

6時 7時5時

時間 ｔ

ｆ（ｔ ＋１ ）

6時 7時5時

・ｆ（ｔ－１） → 信号 ｆ（ｔ）の波形が右に １時間移動→ ６時に発生した現象が、７時に発生した

→ 信号 ｆ（ｔ） が １時間遅れた

・ つまり、ｆ（ｔ－τ） は、

信号 ｆ（ｔ） に比べて時間 「τ」 遅れている。

・ｆ（ｔ ＋１） → 信号 ｆ（ｔ） の波形が左に１時間移動→ ６時に発生した現象が、５時に発生

→ 信号 ｆ（ｔ） が １時間進んだ

・ つまり、ｆ（ｔ ＋τ） は、

信号 ｆ（ｔ） に比べて時間 「τ」 進んでいる。

ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を

時間「τ」遅らせたもの

τ（タウ）

時間の単位は hour

例) ① ｙ＝ｔ と ② ｙ＝ｔ－１ を比べてみると、 ②は①を「右に」１動かしたもの

ｔ

ｙ

ｔ

ｙ

-1

1

0

関数（信号）の時間軸方向の平行移動を「時間推移」と呼ぶ

① ②

信号理論 第７回 金田

（ 時間軸上での移動 ＝ 時間推移 ）

［ 微分・積分時のスペクトル変化の補足 ］

◇ 信号 ｆ （ｔ） の微分・積分のフーリエ変換は、

)(1

)(

Fj

df

Fjtfdt

d

t　　　　

　　　　

となる。 つまり、信号を微分すると周波数成分は ｊω倍され、積分すると １/ （ｊ ω）倍になる。例えば、10 kHz の周波数成分は、1kHz の周波数成分に比べてωが10倍なので、10倍大きな値になる（強調される）。

◇ 周波数成分が ｊω倍されるということの意味を考える。信号 ｆ (t) に含まれる周波数ωの成分とは、ｓｉｎ(ωt) のことである。よって、ｆ(t) ＝ sin（ωt） として、これを微分・積分してみると、

2sincossin

tttdt

d

となる。 すなわち、ｓｉｎ ωt を微分すると、振幅が ω 倍され、位相が π/2 だけ進む。位相 π/2 の進みは複素数で 「 ｊ 倍 」 と表されるので、周波数成分は、「 ｊ ω倍 」 されることになる。一方、ｓｉｎ ωt の積分は、

2

sin1

cos1

sin

ttdtt

となる。 すなわち、ｓｉｎ ωt を積分すると、振幅が 1/ω 倍され、位相が π/2 だけ遅れる。位相 π/2 の遅れは複素数で 「 1/ ｊ 倍 」 と表されるので、周波数成分は、「1/ ｊ ω倍 」 されることになる。

時間ｔ

sin（ωｔ）

0

傾きは0

傾きは負

0

cos（ωｔ）

sin（ωｔ）の微分値＝ sin（ωｔ）の傾き、であるのでｔ＝0 で傾きは最大値で、しばらく経つと傾きは0になり、その後傾きは負になる。この性質から、sin の微分は cos となることが予想できる

周波数が高いほど、傾きは大きい→周波数が高いほど、微分値は大きい

◇ さらに定性的に考えてみる。 「 微分は波形の傾き !! 」 なので、

最大値

0

傾き最大

信号理論 第７回 金田

◎ 伝達関数 H（ω） の例

ω周波数

ω周波数

ω周波数 ω

周波数

１

H（ω）

１

ωｃ ωｃ

ωｃ1 ωｃ2ωｃ2ωｃ1

信号理論 第８回 （金田）

・ 低域通過フィルタ （高域カット） ・ 高域通過フィルタ （低域カット）

H（ω）

・ 帯域通過フィルタ

H（ω）１

ω周波数

H（ω）＝ｊω

１

・ 高域強調フィルタ（微分特性）

・ 帯域除去フィルタ

H（ω）

（ラジオやテレビなどの選局に利用）

・ 低域通過フィルタ （LPF： Low Pass Filter）

・ 高域通過フィルタ （HPF： High Pass Filter）

・ 帯域通過フィルタ （BPF： Band Pass Filter）

・ 帯域除去フィルタ （BEF： Band Elimination Filter）

H（ω）

の大きさ

H（ω）

の大きさ

H（ω）

の大きさ

H（ω）

の大きさ

１

H（ω）

の大きさ

時間

時間

時間

×

＝

時間

時間

時間

×

＝

振幅変調 と パルス符号変調信号理論（金田）

◇ 振幅変調（AM： Amplitude Modulation）

① 音声信号など、周波数の低い信号（例えば、100Hz～4000Hz）

② 高い周波数の正弦波信号（搬送波、キャリア）（例えば、TBSラジオなら 954kHz）

③ 上記２つの信号の掛け算この信号が電波として送られる。

・ 正弦波信号の振幅を変化させていることから「振幅（Amplitude） 変調（Modulation)： AM」と呼ばれる。

◇ パルス符号変調（PCM： Pulse Coded Modulation）

④ ディジタル信号： （１と０との２値を持つ）・ 方形パルスの有り・無しで、１と０を表す

⑤ 高い周波数の正弦波信号（搬送波、キャリア）

⑥ 上記２つの信号の掛け算。 この信号が通信される。・ 正弦波の有無で１と０を表す・ 方形パルスで １と０のコード（符合）を表し、

正弦波信号の振幅を変化させていることから「パルス符号（Pulse Coded） 変調（Modulation)： PCM」と呼ばれる。

・ 初期のころ、PCM 信号は、AD変換されたディジタル信号をそのまま送信していたので、「PCM」とは、パソコン用語では、「AD変換されたままで、mp3 などのオーディオ圧縮されていない信号」 という意味でも用いられている。

１ 0 １ １ １ １0 0 0

0

１

①

②

③

④

⑤

⑥

※ ④で示したパルス波形そのものを伝送する場合もある。

１ 0 １ １ １ １0 0 0