CIM-U3-2013

Cimentaciones Octubre 2013

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UNIDAD III. ZAPATAS AISLADAS CON CARGA EXCENTRICA TEMARIO 3.1. INTRODUCCIN 3.2. REVISION DE ZAPATAS CON MOMENTO 3.3. DISEO DE ZAPATAS CON MOMENTO


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3.1 INTRODUCCIN La excentricidad de la carga en una zapata aislada puede deberse a la presencia de un momento a que la columna se encuentre fuera del centroide de la zapata. En la siguiente figura se muestran las casos ms tpicos de zapatas con carga excntrica. Pu Pu Pu Mu (a) Zapata con carga (b) zapata con carga (c) zapata con carga vertical y momento vertical (columna en vertical (columna en (columna centrada) el borde) la esquina)

Fig. 1. Tipos de zapatas con carga excntrica

CONSECUENCIAS DE UNA CARGA EXCENTRICA

- presiones en el suelo mayores que en una carga concntrica

- zapatas de mayores dimensiones que para una carga concntrica

- posibilidad de volteo cuando hay momento

- dependencia del suelo sobre la zapata en zapatas de lindero y esquina

- Posibilidad de requerir acero en lecho superior si hay momento negativo


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HIPOTESIS

1. Las zapatas son rgidas

2. La presin del suelo se considerar linealmente variable bajo cargas de servicio.

3. La presin del suelo es uniforme en el rea efectiva bajo cargas

factorizadas. Esto se muestra en la siguiente figura. P P Pu e e e L L L qmin

qs qmax qmax

a) zapata con carga de b) Zapata con carga de c) zapata con carga servicio y excentricidad servicio y excentricidad factorizada pequea (caso 1) grande (caso 2)

Fig. 2. Presin de suelo por carga excntrica


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PRESIONES MAXIMAS Y MINIMAS Para determinar las presiones mximas y mnimas del suelo bajo la zapata, dividiremos el problema en dos casos. Caso 1. El diagrama de presiones es trapecial y la presin mnima es mayor que cero. Caso 2. El diagrama de presiones en triangular y la presin mnima es cero. A continuacin, se deducirn las formulas para calcular la presin mxima y mnima. CASO 1: presin mnima > 0 P H M PT MT Df h qmin qmax L R=(qmax+qmin)(B*L) 2 L/2 Fig. 3. Diagrama trapecial de presiones de suelo Las cargas P, H y M son cargas de servicio y son las que transmite la columna a la zapata. Al nivel de desplante, a la carga vertical debemos agregarle el peso del suelo y de la zapata y para el momento M debemos agregarle el momento producido por la fuerza horizontal H por la profundidad de desplante.


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Entonces, la fuerza vertical total es PT =P + q*Az donde:

q= presin debido al peso del suelo y de la zapata=s(Df-h)+ c*h Az = area de la zapata = B*L Y el momento total al nivel de desplante es MT = M + H*Df La excentricidad de la carga equivalente est dada por e = MT/PT Haciendo suma de fuerzas verticales iguales a cero, tenemos (considerando fuerzas positivas hacia arriba) R PT = 0 (qmax+qmin)(B*L) = PT

2 qmax + qmin = 2*PT/(B*L) (1)

Para hacer la suma de momentos, descomponemos el trapecio en un triangulo y un rectngulo como se muestra en la figura L L/2 PT

x L/3 MT R2 R1 qmin qmax-qmin Fig. 4. Diagrama de presiones compuesto Haciendo suma de momentos respecto al centro de la zapata, tenemos que PT y R2 no producen momento y solo intervienen MT y R1. Considerando momentos positivos a favor del reloj, tenemos MT R1*x = 0 R1 = MT/x L L 3L - 2L L x =---- - ----- = ------------ = --- 2 3 6 6 R1 = (qmax qmin)(B*L) 2


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Entonces (qmax-qmin)(B*L) = MT(6/L)

2 qmax qmin = 12*MT/(B*L

2) (2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), las sumamos qmax + qmin = 2*PT/(B*L) qmax qmin = 12*MT/(B*L

2) 2*qmax = 2*PT/(B*L) + 12*MT/(B*L

2) qmax = PT/(B*L) + 6*MT/(B*L

2) Sabemos que MT = PT*e, sustituyndolo, nos queda qmax = PT/(B*L) + 6*PT*e/(B*L

2) Factorizando, obtenemos qmax = PT/(B*L)(1 + 6*e/L) = (PT/Az)(1 + 6*e/L) Para obtener la presin mnima, sustituimos qmax en la ecuacin (1) PT/(B*L)(1 + 6*e/L) + qmin = 2*PT/(B*L) qmin = 2*PT/(B*L) PT/(B*L)(1 + 6*e/L) Factorizando nos queda qmin = PT/(B*L)(2 1 6*e/L) qmin = PT/(B*L)(1 6*e/L) Estas dos formulas son validas para cuando la presin mnima es mayor que cero (diagrama trapecial de presiones). Podemos determinar el valor de la excentricidad para este caso, estableciendo la siguiente desigualdad: qmin > 0 sustituyendo su expresin, obtenemos PT/(B*L)(1 6*e/L) > 0 Como PT/(B*L) > 0 para cualquier caso, el otro factor es el que tiene que ser mayor que cero, es decir 1 6*e/L > 0 1 > 6*e/L L/6 > e e < L/6

Por lo tanto, el caso 1 ocurre cuando e < L/6


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CASO 2: e L/6 (presin mnima 0) P H M PT MT Df h qmax L R=qmax*B*L 2 L Fig. 5. Diagrama triangular de presiones de suelo Haciendo suma de fuerzas verticales iguales a cero, tenemos (considerando fuerzas positivas hacia arriba) R PT = 0 qmax(B*L) = PT 2 qmax = 2*PT/(B*L) (3)

Para hacer la suma de momentos, tenemos el triangulo como se muestra en la figura L L/2 PT

x L/3 MT R qmax L Fig. 6. Diagrama triangular para momentos


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Haciendo suma de momentos respecto al centro de la zapata, tenemos que PT no produce momento y solo intervienen MT y R. Considerando momentos positivos a favor del reloj, tenemos MT R*x = 0 R = MT/x L L x =---- - ----- 2 3 R = (qmax )(B*L) 2 Entonces qmax(B*L) MT -------------- = ----------------- 2 (L/2 L/3)

2*MT qmax = -------------------- (4) B*L(L/2 L/3) Igualando las ecuaciones (3) y (4) , tenemos 2*PT 2*MT ------ = -------------------- B*L B*L(L/2 L/3)

MT PT = ------------- L/2 L/3) MT L/2 L/3 = ---- = e PT -L/3 = e L/2 L/3 = L/2 e L = 3(L/2 e)

Entonces, conociendo la longitud efectiva de la zapata L, la presin mxima se calcula con la ecuacin (3)

qmax = 2*PT/(B*L)


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EXCENTRICIDAD MAXIMA De la expresin para qmax del caso 2, podemos obtener la frmula para la excentricidad mxima permitida para una zapata. El rea efectiva de la zapata est dada por B*L. Entonces, la longitud efectiva L no puede llegar a ser cero, es decir L > 0 De la ecuacin (4) 3(L/2 e) > 0 L/2 e > 0 L/2 > e e < L/2

Entonces, la excentricidad equivalente de las cargas (e=MT/PT) no puede llegar a ser L/2. Entonces podemos resumir lo siguiente: Si e < L/6 caso 1 Si e L/6 caso 2 Si e L/2 caso 3 No existe solucin


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Ejemplo 3.1. Para la siguiente zapata con carga excntrica, determinar si pertenece al caso 1, caso 2 o caso 3 (sin solucin) y calcule la presin mxima. Solucin: P=80 ton H=2 ton M=10 ton-m

Df=1.50 m 0.35

B=L=3 m s=1.7 ton/m3 Solucin: e=MT/PT PT = P + q*Az

q= s*(Df h)+ c*Df = 1.7(1.50 0.35)+2.4(.35)=2.79 ton/m2 Az=B*L=3x3= 9 m2 PT = 80 + 2.79(9) =80 + 25.11 = 105.11 ton MT = M + H*Df = 10 + 2(1.5) = 10 + 3 = 13 ton-m e = 13/105.11 = 0.12 m L/6 = 3/6 = 0.50 m e < L/6 caso 1

qmax = (PT/Az)(1 + 6*e/L) = (105.11/9)[1+6(0.12)/3] = 14.48 ton/m

2 Ejercicio 3.1. Para los datos de una zapata con carga excntrica, determinar si pertenece al caso 1, caso 2 o caso 3 (sin solucin) y calcule la presin mxima. Datos: Zapata:B=L=3m, h=0.35m

Suelo: s=1.7 ton/m3, Df=1.50 m Cargas:P=10 ton, H=2 ton, M=80 ton-m

Ejercicio 3.2. Para los datos de una zapata con carga excntrica, determinar si pertenece al caso 1, caso 2 o caso 3 (sin solucin) y calcule la presin mxima. Datos: Zapata:B=L=3m, h=0.35m

Suelo: s=1.7 ton/m3, Df=1.50 m Cargas:P=10 ton, H=2 ton, M=40 ton-m


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ESTABILIDAD AL VOLTEAMIENTO Las zapatas sujetas a momento deben revisarse para que tengan un factor de seguridad adecuado al volteamiento. El factor de seguridad (FS) es el cociente entre el momento resistente al volteamiento (MR) entre el momento de voltea-miento (MV). Es decir FS = MR/MV Podemos escribir lo anterior como MV = MR/FS El momento de volteamiento es el momento total al nivel de desplante MT. MV = MT El momento resistente es el momento contrario al volteamiento producido por el peso del suelo y de la zapata (Pq) respecto a la punta de la zapata al nivel de des-plante. L/2 MT Pq = q*Az punta de la zapata L Fig. 7. Momento resistente al volteamiento El momento resistente es MR = Pq*L/2 = q*Az*L/2 Usualmente, el factor de seguridad al volteamiento utilizado es 1.5, entonces se debe cumplir que

MT MR/1.5


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3.2. REVISIN DE ZAPATAS CON MOMENTO La revisin de zapatas aisladas con momento consiste en verificar que se cumplan todos los requerimientos del reglamento ACI-318-08, que son los siguientes:

1. Presin del suelo, qmax qa (cargas de servicio)

2. Estabilidad al volteamiento, MT MR/1.5

3. Corte en una direccin, Vu1 Vc1

4. Corte en dos direcciones, para Pu+Mu, Vu2a Vc2

5. Corte en dos direcciones, para Pu+Hu, Vu2b Vc2

6. Flexin en direccin L, MuL MnL

7. Flexin en direccin B, MuB MnB

8. Aplastamiento, Astreq Asp Adems de que se deben cumplir otros requisitos complementarios tales como

1. Peralte efectivo 15 cm

2. Espaciamiento de varillas a flexin 45 cm

3. Asmin As Asmax para refuerzo a flexin 4. La Ld para varillas rectas a flexin 5. d Ldc para varillas por aplastamiento

El cumplimiento de los requerimientos de 1 al 8 nos asegura que la zapata tiene una seguridad adecuada, pero no nos dice nada acerca de que sea econmica. Para asegurar una cierta economa en la zapata, debemos limitar la relacin carga/resistencia a valores no demasiado pequeos. Una sugerencia es que esta relacin no sea menor que 0.7, es decir, se debe cumplir la siguiente desigualdad:

0.7 Su/Rn 1 donde: Su = Fuerza interna factorizada

Rn = resistencia de diseo


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1. Presin del suelo Se determina la excentricidad e=MT/PT. Si e L/2 el problema no tiene solucin, es decir, la zapata propuesta no puede soportar esta combinacin de carga vertical y momento.

Si L/6 e < L/2, el problema est en el caso 1 y se determina la presin mxima como qmax=(PT/Az)(1 + 6*e/L) Si 0< e < L/6, el problema est en el caso 2 y la presin mxima se calcula con qmax=2*PT/(B*L) donde L=3(L/2 e) Se debe cumplir que

qmax qa adems, por economa, se recomienda que

0.7 qmax/qa 1 2. Estabilidad al volteamiento Se debe cumplir que MR/MT1.5 donde: MR = q*Az*L/2


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3. Cortante en una direccin, Vu1 Pu Hu Mu

d rea rea a corte a corte

C B d L 6 Mu 2 Vu1 = Pu + + Hu2 L El cortante resistente en una direccin lo proporcionan las dos reas punteadas

Vc1 = 0.53 fc* b1* d (donde b1= 2B)


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Cortante en dos direcciones para Pu + Mu L Seccin critica d/2 CB B d/2 d/2 CL d/2 PLANTA El cortante Vu2a estar dado por Pu Mu Az Ao Vu2a = + 4 CB+d Az donde : A0 = (CL + d)(CB + d) Az = B*L El cortante resistente en dos direcciones est dado por

Vc2 = 0.53 (2) fc* b2* d (donde b2= CB + d)


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Cortante en dos direcciones para Pu + Hu El cortante Vu2b estar dado por Pu 2 Hu 2 Az Ao Vu2b = + 4 2 Az donde : A0 = (CL + d)(CB + d) Az = B*L El cortante resistente en dos direcciones est dado por

Vc2 = 0.53 (2) fc* b2* d (donde b2= CL + d) Momento flexionante en direccin L Pu*L1

2 2Mu*L1 MuL = + 2L L donde: L1 = (L CL)/2 Momento flexionante en direccin B Pu*L2

2 MuB = 2B donde: L2 = (B CB)/2 Momento resistente

Mn = *As*fy*(d a/2) Nota: El aplastamiento se revisa igual que para zapatas con carga concntrica.


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Ejemplo 3.2. Revisar si la zapata mostrada en la siguiente figura satisface todos los requerimientos del Reglamento ACI-318-08 P=81 t, Pu=114 t H=2.66 t M=7.30 t-m, Mu=10.24 t-m Hu=3.72 t Vrs# 5 @ 17cm colum. de Direccion B 40x40cm Suelo : qa=15.7 t/m2

4#8 1.50 m s = 1.80 t/m3

45 Materiales :

fc=250 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2 L=3.30m vrs # 5 @ 14 cm B=2.50m direccin L Solucin:

1.Verificar qmax qa MT e = PT MT = M + H*Df = 7.30 + 2.66(1.5) = 11.29 t-m PT = P + q*Az

q=s (Df h) + c*h = 1.8(1.5 - .45) + 2.4(.45) = 2.97 t/m2 Az = B*L = (2.5)(3.3) = 8.25 m2 PT = 81 + (2.97)(8.25) = 105.5 t e = 11.29/105.5 = 0.11 m < L/6 = 3.30/6 = 0.55 m caso 1 PT 6e 105.5 6(0.11) qmax = 1 + = 1 + = 15.35 t/m2 < qa=15.7 OK Az L 8.25 3.3 (qmax/qa=0.98 < 1) 2.Verificar estabilidad al volteamiento, MR/MT1.5 MT = 11.29 t-m MR = q*Az*L/2 = 2.97(8.25)(3.3)/2= 40.43 t-m MR/MT= 40.43/11.29 = 3.58 > 1.5 OK


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3.Verificar que Vu1 Vc1 d = h rec db = 45 7.5 1.59 = 35.9 cm > 15 cm OK 6 Mu 2 6(10.24) 2 Vu1 = Pu + + Hu2 = 114 + + (3.72)2 L 3.30 Vu1 = 132.67 ton

Vc1 = 0.53 fc* b1* d (donde b1= 2B) b1= 2B = 2(2.5) = 5.00 m

Vc1 = 0.53 (.75) (250)(500)(35.9)/1000 = 112.82 ton < 132.67 NO PASA

(Vu1/Vc1 = 1.17 > 1)

4.Verificar que Vu2a Vc2 Pu Mu Az Ao Vu2a = + 4 CB+d Az A0 = (CL + d)(CB + d) = (0.40+0.359)

2 = 0.58 m2 Az = B*L = 8.25 m2 CB +d = 0.40+0.359=0.76 m 114 10.24 8.25-.58 Vu2a = + = 39.02 ton 4 0.76 8.25

Vc2 = 0.53 (2) fc* b2* d b2= CB + d = 0.76

Vc2 = 0.53 (0.75) (2)(250)(76)(35.9) /1000 = 34.30 ton < Vu2a =39.02 ton NO PASA

(Vu2a/Vc2 = 1.15 > 1)


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5.Verificar que Vu2b Vc2 Pu 2 Hu 2 Az Ao Vu2b = + 4 2 Az 114 2 3.72 2 8.25 0.58 Vu2b = + = 26.55 ton 4 2 8.25

Vc2 = 34.30 ton > Vu2b = 26.55 ton OK

6.Verificar que MuL MnL S = 14 cm < 45 cm OK Pu*L1

2 2Mu*L1 MuL = + 2L L donde: L1 = (L CL)/2 = (3.30 0.40)/2 = 1.45 m 114(1.45)2 2(10.24)(1.45) MuL = + = 45.31 t-m 2(3.3) 3.3 AsL = (B/S)*Ab = (250/14)(1.98)=35.36 cm

2

Asmin = min*B*h = 0.002(250)(45)=22.5 cm2 OK

Asmax=max*B*d = .019(250)(35.9)=170.52 cm2 OK AsL * fy 35.36(4200) a = = = 2.79 cm 0.85*fc*B 0.85(250)(250)

MnL = *AsL*fy*(d a/2) = (0.9)(35.36)(4200)(35.9 - 2.79/2)/105 = 46.12 t-m

MnL =46.12 > MuL = 45.31 OK


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LaL = L1 rec = 145 7.5 = 137.5 cm F = 0.8 (vrs # 5)

LdL = 0.113*F*db*fy/fc = 0.113(0.8)(1.59)(4200)/ (250) = 38.18 cm < LaL Usar varillas rectas.

7.Verificar que MuB MnB S = 17 cm < 45 cm OK Pu*L2

2 MuB = 2B donde: L2 = (B CB)/2 = (2.50 0.40)/2 = 1.05 m 114(1.05)2 MuB = = 25.14 t-m 2(2.50) AsB = (L/S)*Ab = (330/17)(1.98)=30.86 cm

2 > Asmin=0.002(330)(45) =29.7 cm2 < Asmax=0.019(330)(35.91)=225.15cm2 AsL * fy 30.86(4200) a = = = 1.85 cm 0.85*fc*L 0.85(250)(330)

MnB = *AsB*fy*(d a/2) = (0.9)(30.86)(4200)(35.9 1.85/2)/105 = 40.80 t-m

MnB =40.80 > MuB = 25.14 OK LaB = L2 rec = 105 7.5 = 97.5 cm F = 0.8 (vrs # 5)

LdB = 0.113*F*db*fy/fc = 0.113(0.8)(1.59)(4200)/ (250) = 38.18 cm < LaB Usar varillas rectas.


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8.Revisin del aplastamiento

Pn=.85*p*fc*Ac=.85(.65)(250)(40x40)/1000=221 ton > Pu = 114 t Astreq = Astmin=.005*Ac = .005(1600) = 8.0 cm

2 Asp=Nc*Ab(Kc) = 4(5.07)=20.28 cm2 > Astreq OK

L1=.075*dbc*fy/fc = .075(2.54)(4200)/(250)=50.6 cm gobierna L2=.0043*dbc*fy = .0043(2.54)(4200) = 45.87 cm Lac=d = 35.9 cm Ldc=Ldc*(Astreq/Asp)= 50.6(8.0/20.28)= 19.96 cm < Lac OK La zapata no satisface los requerimientos del ACI 318-08 Ejercicio: Hacer recomendaciones para que cumpla con el ACI 318-08 Ejercicio 3.3. Revisar la siguiente zapata aislada conforme al Reglamento ACI 318-08 P=55 t, Pu=88 t H=25 t M=85 t-m, Mu=132 t-m Hu=44 t Vrs# 8 @ 15cm columna 40x40cm Suelo : qa=12 t/m2

c/4#8 1.20 m s = 1.90 t/m3

50 Materiales :

fc=210 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2 L=5.30m vrs # 8 @ 15 cm B=5.30m


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3.3. DISEO DE ZAPATAS CON MOMENTO Mtodos -Mtodo de tanteos: Se proponen las dimensiones y armado de la de zapata y se revisa. No requiere formulas diseo adicionales -Mtodo analtico: Las dimensiones y armado se calculan directamente. Requiere formulas deducidas -Software: Se introducen los datos en un programa y los resultados se obtienen directamente. Requiere capacitacin. METODO DE TANTEOS Este mtodo no requiere formulas nuevas. Se proponen las dimensiones de la zapata (B, L, h) y el armado a flexin (AsL, AsB) y aplastamiento (Astreq) y se revisa que cumpla con todos los requerimientos del reglamento ACI-318-08 Ejemplo 3.3. Disear una zapata aislada con carga excntrica por el mtodo de tanteos, con los siguientes datos: Datos: Columna: 50x50 cm Materiales: fc=300 kg/cm2, fy=4200 kg/cm2

Suelo: qa= 8 ton/m2, s = 1.9 ton/m3, Df=1.70 m Cargas: P=50 ton, H= 4 ton, M=20 ton-m Pu=70 ton, Hu=5.6 ton, Mu=28 ton-m Solucin: Probar zapata de 4.50mx4.50mx0.50m con varillas rectas # 6 @ 25 cm en ambas direcciones, lecho inferior y 4 varillas # 8 por aplastamiento.

1.Verificar qmax qa MT e = PT MT = M + H*Df = 20 + 4(1.7) = 26.8 t-m PT = P + q*Az

q=s (Df h) + c*h = 1.9(1.7 - .5) + 2.4(.5) = 3.48 t/m2 Az = B*L = 4.5x4.5 = 20.25 m2 PT = 50 + (3.48)(20.25) = 120.47 t e = 26.8/120.47 = 0.22 m < L/6 = 4.50/6 = 0.75 m caso 1


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PT 6e 120.47 6(0.22) qmax = 1 + = 1 + = 7.69 t/m2 < qa=8 OK Az L 20.25 4.5 (qmax/qa=0.96 < 1) 2.Verificar estabilidad al volteamiento MR/MR1.5 MT = 26.8 t-m MR = q*Az*L/2 = 3.48(20.25)(4.5)/2= 158.56 t-m MR/MT= 158.56/26.8 = 5.92 > 1.5 OK


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FORMULAS PARA DISEO DE ZAPATAS CON MOMENTO

1.Dimensiones (se supondr que e L/6) por capacidad de carga se debe cumplir:

qmax qa PT 6e

1 + qa B L L 6e

PT 1 + qa*B*L L PT

( L + 6 e ) qa*B*L L

PT ( L + 6 e ) qa*B*L2

PT*L + PT*6 e qa*B*L2

Sustituyendo e=MT/PT

PT*L + 6*PT*(MT/PT) qa*B*L2

PT*L + 6*MT qa*B*L2

Sustituyendo, PT= P + q*B*L (donde, q=*Df)

(P + q*B*L )*L + 6*MT qa*B*L2

P*L + q*B*L2 + 6*MT qa*B*L2

Agrupando trminos,

(qa q)*B*L2 P*L 6*MT 0 Sea qn = qa q

qn*B*L2 P*L 6*MT 0 (1) donde MT = Ms + H*Df


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Por excentricidad mxima se debe cumplir: L e < 6 pero, e=MT/PT MT L ___ < PT 6 6MT < PT*L

Sustituyendo, PT= P + q*B*L (donde, q=*Df) 6MT < (P + q*B*L)*L 6MT < P*L + q*B*L

2 q*B*L2 + P*L 6*MT> 0 (2) Por volteamiento se debe cumplir :

MR 1.5MT

q*B*L2/2 1.5MT

B*L2 3MT/q (3)


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Caso 1. Zapatas cuadradas, B=L qn*B1

3 P*B1 6*MT= 0 (usar la raz mayor) q*B2

3 + P*B2 6*MT= 0 (usar la raz mayor) B3 = (3MT/q)

1/3 B=max(B1,B2,B3) Caso 2. Zapatas rectangulares con B conocido

(qn*B)*L12 P*L1 6*MT 0 (usar la raz mayor)

(q*B)*L22 + P*L2 6*MT 0 (usar la raz mayor)

L3 [3MT/(q*B)]1/2

L=max(L1,L2,L3) Caso 3. Zapatas rectangulares con L conocido

P*L + 6*MT B1= qn*L2

6*MT P*L B2= q*L2 3*MT B3 = q*L2 B=max(B1,B2,B3)


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2.Peralte por corte en una direccin

qs*(L CL) d1 =

2*(qs + k1) donde: 6Mu 2

Pu = Pu + + Hu2 L

qs= Pu/(B*L)

k1= 0.53**fc (=.75) 3.Peralte por corte en dos direcciones por Pu+Mu Resolver la ecuacin cbica para d: C3*d

3 + C2*d2 + C1*d + C0 = 0

donde: C3 = 4*k2*Az + Pu C2 = 8*k2*Az*c + 4Mu + 3Pu*c C1 = 4k2*Az*c

2 + 8Mu*c + 3Pu*c2 Pu*Az C0 = (Pu*c + 4Mu) (c

2 Az) k2= 2k1 c=(CL+CB)/2 Az=B*L


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4.Peralte por corte en dos direcciones por Pu+Hu Resolver la ecuacin cuadrtica para d: C2*d

2 + C1*d + C0 = 0 donde: C2 = k2 + qu C1 = c(k2 + 2qu) C0 = qu*(c

2 Az)

Fu qu=

Az

Pu 2 Hu 2

Fu = + 4 2

Momento flexionante en direccin L Pu*L1

2 2Mu*L1 MuL = + 2L L donde: L1 = (L CL)/2 Momento flexionante en direccin B Pu*L2

2 MuB = 2B donde: L2 = (B CB)/2


A. Zambrano 30

Ejemplo 3.4. Disear una zapata cuadrada con los siguientes datos: P=81 t, Pu=114 t H=2.66 t M=7.30 t-m, Mu=10.24 t-m Hu=3.72 t colum. de 60x40cm Suelo : qa=15.7 t/m2

60 1.50 m s = 1.30 t/m3

Materiales :

fcc=250 kg/cm2 fcz=250 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2 Solucin: 1.Dimensiones Resolver para B: qn*B1

3 P*B1 6*MT= 0 q*B2

3 + P*B2 6*MT= 0 B3 = (3MT/q)

1/3 B=max(B1,B2,B3)

=(s + c)/2 = (1.3+2.4)/2=1.85 t/m3

q = *Df = (1.85)(1.5) = 2.775 t/m2 qn=qa q = 15.7 2.775 = 12.925 t/m2 MT = Ms + H*Df = 7.3 + (2.66)(1.5) = 11.29 t-m 6MT = 6(11.29)=67.74 12.925B1

3 81B1 67.74= 0 B1 = 2.847 m 2.775B2

3 + 81B2 67.74= 0 B2 = 0.817 m B3 = [3(11.29)/2.775]

1/3 = 2.30 m B= max(2.847, 0.817, 2.30 ) = 2.847 m USAR B=L=2.90 m


A. Zambrano 31

2.Peralte por corte en una direccin

Ru*(L CL) d1 =

2*Ru+k1*b1*L 6Mu 2 6(10.24) 2 Ru = Pu + + Hu2 = 114 + + (3.72)2 = 135.24 t L 2.9 b1= 2B = 2(2.9)=5.8 m

k1= 0.53**fc= 0.53(0.75) (250) = 6.285 kg/cm2=62.85 t/m2

(135.241)(2.9 0.6) d1 = = 0.234 m = 23.4 cm

2(135.241)+(62.85)(5.8)(2.9) 3.Peralte por corte en dos direcciones por Pu+Mu Resolver la ecuacin cbica para d: C3*d

3 + C2*d2 + C1*d + C0 = 0

donde: k2= 2k1 = 2(62.85)=125.7 t/m

2 c=(CL+CB)/2 = (.6 + .4)/2 = 0.5 m Az=B*L = (2.90)2 = 8.41 m2 C3=4*k2*Az+Pu=4(125.7)(8.41)+114=4342.55 C2=8*k2*Az*c+4Mu+3Pu*c=8(125.7)(8.41)(.5)+4(10.24)+3(114)(.5)=4440.51 C1=4k2*Az*c

2+8Mu*c+3Pu*c2Pu*Az C1=4(125.7)(8.41)(.5)

2+8(10.24)(.5)+3(114)(.5)2-(114)(8.41)=224.857 C0 = (Pu*c + 4Mu) (c

2 Az)=(114x.5+4x10.24)(.52 8.41)=-799.354 4342.55d3 + 4440.51d2 + 224.857d 799.354 = 0 d2=0.348 m = 34.8 cm


A. Zambrano 32

4.Peralte por corte en dos direcciones por Pu+Hu Resolver la ecuacin cuadrtica para d: C2*d

2 + C1*d + C0 = 0 donde:

Pu 2 Hu 2 114 2 3.72 2 Fu = + = + = 28.56 ton

4 2 4 2

Fu 28.56 qu= = = 3.396 t/m2

Az 8.41 C2 = k2 + qu = 125.7 + 3.396=129.1 C1 = c(k2 + 2qu)=0.5(125.7+2x3.396)=66.2 C0 = qu*(c

2 Az)=3.396(.52 8.41)= -27.7 129.1d2 + 66.2d 27.7 = 0 d3 = 0.273 m = 27.3 cm d = max(d1,d2,d3,15 cm) = max(23.4, 34.8, 27.3, 15)= 34.8 cm h = d + 10 cm = 34.8 + 10 = 44.8 cm USAR h=45 cm 5. Momento flexionante en direccin L Pu*L1

2 2Mu*L1 MuL = + 2L L donde: L1 = (L CL)/2 = (2.9 0.6)/2 = 1.15 m (114)(1.15)2 2(10.24)(1.15) MuL = + = 34.11 t-m 2(2.9) 2.9


A. Zambrano 33

1.7*fc*B*d 1.7(250)(290)(34.8)

= = = 1021.21 fy 4200

*MuL 1021.21(34.11x105)

= = = 26480.5

*fy*d 0.9(4200)(34.8) Resolver para As:

As2 - As + = 0 As2 1021.21As + 26480.5 = 0 As = 26.62 cm2 (usar la raz menor) Asmin = 0.002*B*h = 0.002(290)(45)= 26.1 cm2

Asmax = max*B*d = (0.191)(290)(34.8)= 192.76 cm2 As > Asmin OK As < As max OK Seleccin de varilla Probar vrs. # 6 (Ab=2.84 cm2, db=1.9 cm) SL = B*Ab/As = (290)(2.84)/26.62= 30.93 cm < Smax=45 cm OK USAR VARILLAS # 6 @ 30 cm LECHO INFERIOR Desarrollo del refuerzo: La = L1 rec = 115 7.5 = 107.5 cm F=0.8 (vrs # 6)

LdL = 0.113*F*db*fy/fc = 0.113(0.8)(1.9)(4200)/ (250) = 45.62 cm < LaL Usar varillas rectas.


A. Zambrano 34

6. Momento flexionante en direccin B Pu*L2

2 MuB = 2B donde: L2 = (B CB)/2 = (2.9 0.4)/2 = 1.25 m (114)(1.25)2 MuB = = 30.71 t-m 2(2.9) 1.7*fc*L*d 1.7(250)(290)(34.8)

= = = 1021.21 fy 4200

*MuB 1021.21(30.71x105)

= = = 23841

*fy*d 0.9(4200)(34.8) Resolver para As:

As2 - As + = 0 As2 1021.21As + 23841 = 0 As = 23.9 cm2 (usar la raz menor) Asmin = 0.002*L*h = 0.002(290)(45)= 26.1 cm2

Asmax = max*L*d = (0.191)(290)(34.8)= 192.76 cm2 As < Asmin USAR As = Asmin=26.1 cm2 As < As max OK Seleccin de varilla Probar vrs. # 6 (Ab=2.84 cm2, db=1.9 cm) SL = B*Ab/As = (290)(2.84)/26.1= 31.55 cm < Smax=45 cm OK USAR VARILLAS # 6 @ 30 cm LECHO INFERIOR


A. Zambrano 35

Desarrollo del refuerzo: La = L2 rec = 125 7.5 = 117.5 cm F=0.8 (vrs # 6)

LdL = 0.113*F*db*fy/fc = 0.113(0.8)(1.9)(4200)/ (250) = 45.62 cm < LaL Usar varillas rectas. 7.Refuerzo por aplastamiento

Pn=.85*p*fc*Ac = .85(.65)(250)(60x40)/1000= 331.5 ton > Pu=114 ton Astreq= Astmin=.005*Ac = .005(60x40) = 12 cm

2 Seleccin de varillas :Probar vrs # 6, dbp=1.9 cm, Abp=2.84 cm2 Npreq= Astreq/Abp = 12/2.84 = 4.22 Np = 6 varillas Asp = 6(2.84) = 17.04 cm2 > 12 cm2 OK Lac=d = 34.8 cm

L1=.075*dbp*fy/fc = .075(1.9)(4200)/250 = 37.85 cm gobierna L2=.0043*dbp*fy = .0043(1.9)(4200) = 34.31 cm Ldc = Ldc*Astreq/Asp = 37.85(12/17.04)= 26.65 cm < Lac OK


A. Zambrano 36

Esquema de la zapata. Acot cm 290 290 40 115 60 125 PLANTA 6 # 6 Vrs. #6 @ 30 cm ambas direcciones,lecho 150 inferior. 45 CORTE Ejercicio 3.4. Disear una zapata cuadrada con los siguientes datos: P=8.5 t, Pu=12 t H=2.5 t M=80 t-m, Mu=114 t-m Hu=3.6 t colum. De 80x80cm Suelo : qa=14 t/m2

2.00 m s = 1.60 t/m3

Materiales :

fc=200 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2

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CIM-U3-2013