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Es la parte de la física que estudia los movimientos sin tener en cuenta las causas que los producen.
CINEMÁTICA
Todos los cuerpos que nos rodean, desde las estrellas y los planetas, hasta tan diminutas partículas como los átomos y sus partes componentes, se encuentran en constante movimiento.
CONCEPTOS BÁSICOS• Movimiento• Sistema de referencia• Móvil puntual• Trayectoria• Posición (e)• Distancia recorrida (d)
• Desplazamiento Δe = ef – eo
• Movimiento: es el cambio de posición de un cuerpo respecto a otro que tomamos como referencia.
Los movimientos son siempre relativos, pues dependen del sistema de referencia que se tome. Un cuerpo puede estar quieto respecto a un punto de referencia y moviéndose respecto a otro
Vas en un coche en movimiento y hay una mosca posada en el salpicadero ¿está la mosca en movimiento?
• Sistema de referencia: es cualquier objeto o punto que se considera en reposo, aunque en realidad no lo está porque en el Universo todo se mueve.
• Móvil puntual: consideraremos a los cuerpos como si fueran puntos geométricos, es decir, como si no tuvieran dimensiones.
• Trayectoria: Es la línea que resulta de unir las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.
• Según la trayectoria los movimientos pueden ser:– Rectilíneos – Curvilíneos: circulares elípticos y parabólicos.
• Una trayectoria se puede recorrer en dos sentidos
• Posición (e): es el punto que ocupa el móvil sobre la trayectoria en un momento dado.
• Para medir la posición es necesario fijar antes el punto de referencia. Para distinguir si nos encontramos a un lado u otro del punto de referencia, asignamos por convenio un signo a cada lado.
• Distancia recorrida (d) en un intervalo de tiempo: Es la longitud entre las posiciones inicial y final medida sobre la trayectoria.
La distancia recorrida se considera siempre positiva. Si el móvil cambia de sentido a lo largo de la trayectoria, la
distancia recorrida será igual a la suma de las distancias recorridas en cada sentido.
En el ejemplo la distancia recorrida es: d= 9 m.
• Desplazamiento e = ef – eo
es la diferencia entre la posición final y la inicial
medida en línea recta.
• El signo nos indica hacía que parte de la trayectoria se ha producido el cambio de posición.
• Si el móvil se ha desplazado siempre en el mismo sentido y en línea recta, el desplazamiento coincide con la distancia recorrida.
No siempre la distancia recorrida coincide con el desplazamiento, así:
1.- Si un móvil se encuentra en la posición e = 27m en el instante t=4 s ¿hay datos para calcular la distancia recorrida? ¿Y para calcular el tiempo que ha tardado en recorrerlo?
La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar
En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su origen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.
Posición, trayectoria y desplazamiento
En reposo
En movimiento
Móvil
• La mayoría de los movimientos que estudiaremos (no todos) serán rectilíneos y sin cambio de sentido por lo que la distancia recorrida coincide con el cambio de posición.
• Para dar la posición de un móvil sobre la trayectoria es necesario escoger arbitrariamente un punto como referencia e indicar las posiciones mediante un número con signo positivo o negativo, según que el móvil se encuentre a un lado u otro de ese punto.
• Una misma trayectoria se puede recorrer en dos sentidos. Para dejar claro cuál es el sentido del movimiento, se considera positivo cuando el móvil se dirige hacía el lado de la trayectoria tomado como positiva y negativo en sentido contrario.
RECUERDA:
VELOCIDAD
La velocidad V es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la rapidez de movimiento de un móvil, esto es, la rapidez con que este cambia de posición respecto de cierto sistema de referencia.
La dirección de la velocidad del móvil siempre es tangente a su trayectoria en cada uno de
sus puntos.
Velocidad
Velocidad instantánea (Vi)
Velocidad en un momento determinado
Velocidad media (Vm)
Relación entre espacio recorrido y tiempo que ha
tardado
Velocidad media
• Representa la distancia que recorre el móvil por término medio en cada unidad de tiempo.
– Cuando el móvil se desplaza en el sentido escogido como positivo, se dice que su velocidad es positiva y si lo hace en sentido contrario, la velocidad es negativa.
• Ej. Un atleta recorre 100 m en 10,4 s. Determinar la velocidad media en m/s y km/h
2.-Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:a) El desplazamiento se define como el número
de metros que recorre un móvil en un tiempo determinado.
b) La unidad de la velocidad en el Sistema Internacional es el km/h.
c) Una velocidad negativa indica que el móvil está frenando
• Ej - Un autobús pasó por el kilómetro 82 a las 8h 15 min, 22 s y por el km 125 de la misma carretera a las 9 h, 1min, 12 s. ¿Cuál fue su velocidad media en ese tramo?
• Solución: Un autobús pasó por el kilómetro 82 a las 8h 15 min, 22
s y por el km 125 de la misma carretera a las 9 h, 1min, 12 s. ¿Cuál fue su velocidad media en ese tramo?
3.- Un coche se encuentra inicialmente en el km 286. Se desplaza, manteniendo constante su velocidad, de forma que 5 min después se encuentra en el km 294. Frena, da la vuelta, y recorre 12 km en 10 min, pero ahora en sentido contrario al del movimiento inicial. Al final del movimiento:a) ¿Cuál es la posición final del coche?
b) ¿Qué distancia ha recorrido?
c) ¿Cuál ha sido su velocidad media?
Solución:
Un coche se encuentra inicialmente en el km 286. Se desplaza, manteniendo constante su velocidad, de forma que 5 min después se encuentra en el km 294. Frena, da la vuelta, y recorre 12 km en 10 min, pero ahora en sentido contrario al del movimiento inicial. Al final del movimiento:
a) ¿Cuál es la posición final del coche?
b) ¿Qué distancia ha recorrido?
c) ¿Cuál ha sido su velocidad media?
Solución:
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U)
• Es el que describe un móvil que sigue una trayectoria recta y mantiene su velocidad constante (recorre distancias iguales en tiempos iguales).
•V = 3 m/s
•Ejemplos de este movimiento son: una cinta transportadora o una escalera mecánica.
Movimiento rectilíneo uniforme
Rectilíneo
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Gráfica velocidad-tiempo
Δ e= ef – eo = v.t
Ecuación del M.R.U.La distancia recorrida en un intervalo de tiempo se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo invertido.
d = v.t
•Si consideramos que el movimiento es siempre en el mismo sentido, la distancia será igual a la diferencia entre la posición final y la inicial (desplazamiento).
ef = eo + v.t
Ejemplos:• Escribe las ecuaciones del movimiento en los
siguientes casos:
a) Un móvil parte de un punto situado a 20 m a la derecha del punto de referencia, alejándose del mismo y recorriendo 40 m en 5 segundos.
b) Um móvil parte de un punto situado a 15 m a la derecha del punto de referencia y se acerca a él recorriendo 2 metros cada segundo.
c) Un móvil parte de un punto situado a 20 m a la izquierda del punto de referencia y se dirige a él recorriendo 8 m cada 2 segundos.
d) Un móvil parte de un punto situado a 30 m a la derecha del punto de referencia y se dirige hacía la izquierda recorriendo 3 m cada segundo.
e) Calcula en qué posición se encontrarán los móviles cuando hayan transcurrido 10 segundos.
La ecuación: e = 20 – 2 t indica la posición de un móvil que tiene un movimiento uniforme.a) ¿Cuál es la velocidad suponiendo que la ecuación
está escrita para unidades del S.I.?
b) Calcula la su posición 5 segundos después de empezar a contar el tiempo.
c) Calcula la distancia recorrida por el móvil en los 7 primeros segundos.
d) Calcula la distancia recorrida entre los instantes t = 2 s y t = 4,5s.
Un ciclista lleva una velocidad constante de 10m/s dirigiéndose hacia la meta. Cuando empezamos a contar el tiempo está a 6 km de la meta.
a) Escribe una ecuación que nos permita calcular la posición del ciclista en cada instante.
b) ¿Cuál será su posición cuando hayan transcurrido 3 minutos?
c) ¿Cuánto tardará en llegar a la meta?
Dos móviles se mueven en vías paralelas en sentidos contrarios con velocidades de módulos V1 = 2 m/s y V2 = 3 m/s. Si inicialmente se encuentran separados 25 m, en la forma que se indica, determinar el tiempo que tardan en encontrarse y la posición.
Un ascensor sube con velocidad uniforme de 2 m/s. Empezamos a contar el tiempo cuando pasa por la planta correspondiente al 4º sótano. Cada planta tiene una altura de 4 m.a) Escribe una ecuación para el movimiento suponiendo
que el punto de referencia se encuentra en la planta baja.
b) Calcula el tiempo transcurrido desde que pasó por el 4º sótano hasta que llegó al 5º piso.
c) Indica el piso por el que irá cuando lleve 20 s subiendo.
En una competición deportiva un coche mantiene una velocidad constante de 35 m/s. Cuando se pone el reloj en marcha el coche se encontraba 300 m después de haber pasado frente al primer control, faltándole 200 m para llegar al segundo control. Los controles sucesivos están separados por una distancia de 500 m cada uno.a) Escribe una ecuación que represente el movimiento de ese
coche.
b) En qué instante pasó el coche por delante del segundo control?
c) Calcula en qué posición se encontraba el coche 32,5 s después de haber empezado a circular.
Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme:
1.- Gráfica posición-tiempo e/t
La posición e se pone en el eje de ordenadas (OY) y el tiempo que es la variable independiente en el eje de abscisas (OX)
Ej. v= 10m/s eo = 0 e = 10.t
ef = eo + v.t
e = 10.t
2.- Gráfica velocidad-tiempo v/t
La velocidad de un movimiento uniforme puede representarse en función del tiempo.
• Puesto que la velocidad no varía en este tipo de movimiento, la gráfica es siempre una recta paralela al eje del tiempo.
Gráfica posición-tiempo Gráfica velocidad-tiempo
Ej. Estudiar el movimiento:
•Ej. Interpreta los movimientos de las siguientes gráficas
¿Cuál de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, ¿por qué?
La representación gráfica, corresponde al movimiento de un auto, ¿corresponde a una situación real?, justifique.
En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averiguar gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.
•Estudia los movimientos:
•Estudia el movimiento:
La gráfica posición-tiempo de una moto es la siguiente:
a) ¿Cuál será la posición de la moto transcurrido un tiempo de 2 h?b) ¿Con qué velocidad circula la moto?
•Estudia el movimiento:
Un caballo corre con una velocidad constante de 14m/s. El cronómetro se pone en marcha cuando llega a un tramo recto cuya longitud es de 1200 m. La meta se encuentra 500 m antes del final de este tramo.
a) Escribe una ecuación que pueda representar el movimiento del caballo.
b) Calcula el tiempo que tarda el caballo en llegar a la meta.
c) En qué posición estará el caballo 1 minuto después de empezar a contar el tiempo?
1.El movimiento de un coche viene representado por la siguiente gráfica posición-tiempo.
20 40 60 80 t (s)
x(m)400200
a.Explica el movimiento de este automóvil.b.Calcula la velocidad en cada tramo.c.Haz la gráfica v-t que le corresponde.d.En qué instantes el coche está en la posición 200 m?e.Encuentra la velocidad media del movimiento.f.Cuál es la velocidad media hasta los 50 segundos?
– Dos pueblos, Girona y Quart, están separados por una distancia de 5 km. Una carretera recta los une. Un peatón sale de Girona hacia Quart caminando con una velocidad de 3,6 km/h.
a) En qué posición estará al cabo de 3 horas?
b) A qué distancia se encontrará de Girona?
c) Y a qué distancia de Quart estará en este momento?
– En un punto de una carretera se han cruzado dos vehículos que marchan en sentidos contrarios. El primero lleva una velocidad de 54 km/h y el segundo de 36 km/h.
a) Cuál será la distancia que los separará a los 45 minutos?
b) Representa las gráficas v-t y e-t de los dos movimientos.
c) Comprueba el resultado de la primera pregunta en la gráfica posición-tiempo.
Aceleración
Aceleración (a)
Se produce cuando cambia la velocidad de un móvil
Es una magnitud vectorial que mide la rapidez con que cambia la velocidad de un móvil
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
La aceleracióna
= =
v
t
v
2 v1
-
t2 - t1
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por tanto serán m/s2 o Km/h2 etc... Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por tanto serán m/s2 o Km/h2 etc... Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓNCOMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
aceleración tangencial (aT) :cambio del módulo de la velocidad respecto al tiempo
aceleración normal (a N):cambio de la dirección de la velocidad respecto al tiempo
LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio del módulo de la velocidad. Si aT = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el movimiento es uniforme.
En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la aceleración tangencial.
LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN QUE ESTUDIA EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO.
Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo si an =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo.
Aceleración en un movimiento rectilíneo Para calcular la aceleración de un cuerpo en un
intervalo de tiempo, se divide lo que ha variado el módulo de la velocidad (v- v0) entre dicho tiempo.
La fórmula es:
• Sólo hay aceleración tangencial (cambio del módulo de la velocidad).
Si el vehículo de Fernando Alonso tarda en la salida del GP de Monza 7 s en ponerse a 252 km/h . Calcula el valor de la aceleración.
1. De los casos siguientes, ¿en cuál hay aceleración?:
a) Un avión a punto de despegar.
b) Un coche frenando.
c) Un ciclista rodando a 35 km/h.
d) Una persona subiendo en escalera mecánica.
3. Si un ciclista se mueve a una velocidad de 5 m/s y acelera 1 m/s2, a los 10 segundos su velocidad será de:
a) 10 m/s
b) 12 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad.
Por lo tanto un móvil puede tener una velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa
a) Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.
b) Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.
c) Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia
• Por tanto no existe relación entre el valor de la aceleración y el de la velocidad.
• La velocidad que puede alcanzar un cohete es mucho mayor que la que puede alcanzar una pelota de golf. Sin embargo el valor de la aceleración puede ser mucho menor en el primer caso que en el segundo.
• ¿Cómo puede ser que con valores de aceleración grandes no se alcancen velocidades también grandes?
• En el caso de la pelota la aceleración actúa durante 0.005 s. Para el caso del cohete es mucho mayor el tiempo que está actuando la aceleración.
El signo de la aceleración
Recuerda:
• Si el signo de v es igual al de a, sea positivo o negativo, la velocidad aumenta.
• Si el signo de v es diferente al signo de a, la velocidad disminuye.
•El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado M.R.U.A es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria rectilínea manteniendo la aceleración constante.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)
• En este tipo de movimiento el valor de la velocidad aumenta o disminuye uniformemente al transcurrir el tiempo, esto quiere decir que los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido, o, lo que es equivalente, en tiempos iguales la velocidad del móvil aumenta o disminuye en una misma cantidad
a = 2 m/s2
Gráfica velocidad-tiempo
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Rectilíneo
Ecuaciones del M.R.U.A
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
Ecuación de la velocidad:
Ecuación de la posición
Eliminando el tiempo de las dos anteriores:
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
Ecuación de la velocidad:
Ecuación de la posición
Eliminando el tiempo de las dos anteriores:
00 ttavv
20000 ··2
1· ttattvee
020
2 ··2 eeavv
Para escribir las ecuaciones de un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado:
Fija el origen a partir del cual se va a medir la distancia.
Fija el sentido al que se le asigna signo positivo.Determina el valor de las constantes del movimiento: a, e0 , v0.Adapta las ecuaciones generales al caso particular sustituyendo los valores de a,.e0 , v0 para el caso considerado.
100 m
a = 5 m/s2
v0= 20 m/s
t = 0
Escribe las ecuaciones que describen el movimiento del punto de la figura
v = v0 + a t
e = e0 + v0 t + ½ a t2Sentido positivo hacia la derecha.
e 0 = 100 mv0 = 20 m/s
Determinación de la aceleración: a = - 5 m/s2 (signo menos, ya que apunta hacia la
izquierda).Ecuaciones particulares para este movimiento:
v = 20 - 5 t
e = 100+ 20 t - 2,5 t2
Ecuaciones particulares para este movimiento:
v = 20 - 5 t
e = 100+ 20 t - 2,5 a t2
20t 4 s
5
Ejemplos: ¿Cuánto tarda en frenar el punto del ejemplo anterior?.Traducción al lenguaje ecuación: ¿qué valor toma t cuando v =0?
0 = 20 - 5 t
¿Cuál es su velocidad al cabo de 5,3 s?Traducción al lenguaje ecuación: ¿qué valor toma v cuando t = 5,3 s?
Si t = 5,3 s ; v = 20 – 5 . 5,3 = - 6,5 m /s
(el signo menos indica que se desplaza hacia la izquierda; después de frenar ha dado la vuelta)
atvv 0
200 ··2
1· tatvee
v2
v1
t
∆ v= v2 – v1
∆ t= t2 – t1
v
t2t1
t
va
La gráfica v - t es una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración.
Para calcular v 0 hay que determinar el punto de corte de la recta con el eje “y”
s
t
a2 > a1
a2
a1
atvv 0
200 ··2
1· tatvee
e(m)
t (s)
e(m)
t (s)
V(m/s)
V0
t (s)
V (m/s) V0
t (s)
ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO.(acelerar) (frenar)
La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no de que el cuerpo acelere o frene. Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo una aceleración positiva lo frenaría.Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van en el mismo sentido.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no de que el cuerpo acelere o frene. Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo una aceleración positiva lo frenaría.Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van en el mismo sentido.
La gráfica se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo.¿Qué tipo de movimiento tiene?¿Cuáles son sus ecuaciones?
v = v0 + a t
e = e0 + v0 t + ½ a t2
Ej. La gráfica de la derecha se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo.
¿Qué tipo de movimiento tiene?¿Cuáles son sus ecuaciones?¿Qué sucede para t = 5 s?
t (s)5
40
v (m/s)
t (s)5
40
Ej. La gráfica de la derecha se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo.
¿Qué tipo de movimiento tiene?¿Cuáles son sus ecuaciones?¿Qué sucede para t = 5 s?
v (m/s)
a)La gráfica v – t es una recta con pendiente negativa. Esto nos indica que la velocidad disminuye con el tiempo, pero de forma lineal (la misma cantidad en 1 s). Luego el movimiento es uniformemente acelerado (con aceleración negativa; también se llama decelerado). Para calcular la aceleración (deceleración) calculamos la pendiente de la recta v – t:
Pendiente
2 1
22 1
m0 40v v msa 8
t t 5 0 s s
.
Observa los valores tomados: t1= 0 v1= 40 ; t2= 5 v2= 0
En la gráfica se puede leer que cuando t = 5 s, v = 0. Luego al cabo de 5 s se detiene (es un movimiento decelerado). Si t es mayor de 5 s, observa que la línea en la gráfica v – t rebasa el eje horizontal empezando la velocidad (valores del eje Y) a tomar valores negativos ¿cómo interpretas ésto?
Caída libre de los cuerpos
• Para la caída libre hasta el siglo XVI se aceptaban las enseñanzas del gran sabio de la Antigüedad, Aristóteles, que sostenían que los objetos pesados caen más rápido que los ligeros
Sabemos que si soltamos un martillo y una pluma o una hoja de papel desde una misma altura, el martillo alcanzará primero el suelo. Si arrugamos el papel dándole forma de bola se observa que ambos objetos llegarán al suelo casi al mismo tiempo.
• Fue el célebre italiano Galileo Galilei quien rebatió la concepción de Aristóteles al afirmar: • En ausencia de la resistencia del aire,
todos los objetos caen con una misma aceleración.
Galileo Galilei (1564-1642). Matemático, físico, astrónomo y filósofo italiano
• En el año 1971 un astronauta realizó en la Luna, donde no existe atmósfera, el experimento de soltar desde una misma altura y simultáneamente un martillo y una pluma.
• Ambos objetos hicieron contacto con la superficie lunar al mismo tiempo.
La aceleración de la gravedad (g) tiene un
valor de 9,8 m/s2
• Cualquier objeto que cae libremente tiene una aceleración dirigida hacia abajo.
• La magnitud de esta aceleraciónde caída libre es g, cuyo valor varía ligeramente con la altura y con la latitud.
• En la cercanía de la superficie de la Tierra el valor de g es aproximadamente 9,8 m/s2.
• La caída libre es un ejemplo común de movimiento uniformemente acelerado, con una aceleración :
a = - 9,8 m/s2.
Movimiento vertical
Caída libre
Lanzamiento vertical hacia
abajo
Lanzamiento vertical hacía
arriba
v = v0 + a t
e = e0 + v0 t + ½ a t2
v = v0 + a t
e = e0 + v0 t + ½ a t2
v = v0 + a t
e = e0 + v0 t + ½ a t2
Una piedra es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. Determinar:a) Ecuaciones del movimiento.b) Altura máxima alcanzada.c) Valor de la velocidad cuando t = 0,8 s y t = 2,3 s.
mv 15
s
v = 15 – 9,8 te = 15 t – 4.9 t 2
g = - 9,8 m /s2.
Origen : el suelo (punto de lanzamiento)Sentido positivo : hacia arribaDeterminación de v0: ¿cuál es la velocidad cuando t
= 0? El tiempo empieza a contar cuando la piedra sale de la mano. Luego v0 = 15 m/s
Determinación de e0: ¿a qué distancia del origen
está la piedra cuando t =0? Cuando se lanza la piedra está en el punto de lanzamiento (origen). Luego e0 = 0
Determinación del valor de a : a = - g = - 9,8 m /s2. . El signo menos se debe a que la aceleración apunta hacia abajo y hemos considerado sentido positivo hacia arriba.
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?Traducción al lenguaje ecuación: ¿para que valor de t, v = 0? (ya que en el punto de altura máxima la piedra se detiene durante un instante)
Si v = 0 ; 0 = 15 – 10 t ;
15t 1,5 s
10
.
Para calcular la altura máxima alcanzada calculamos la distancia a la que se encuentra del origen cuando t = 1,5 s:
e = 15 t – 5 t 2
e= hmax = 15 . 1,5 – 5 . 1,5 2 = 11,25 m.
v = 15 – 9,8 te = 15 t – 4.9 t 2
Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
v = 15 – 10 te = 15 t – 5 t 2
Como se puede observar al cabo de 0,8 s del lanzamiento la piedra aún está en la fase ascendente, ya que el signo de la velocidad es positivo (sentido positivo: hacia arriba). Como se ve su velocidad va disminuyendo, debido a que durante el tramo de ascenso la aceleración lleva sentido contrario a la velocidad (movimiento decelerado)
Al cabo de 2,3 s la piedra se mueve hacia abajo. El signo es negativo: sentido hacia abajo. Efectivamente, a los 1,5 s alcanza la altura máxima, y como la aceleración continúa actuando, comienza su carrera de descenso, pero esta vez al tener el mismo sentido aceleración y velocidad, ésta aumenta.
c) Valores de la velocidad:
v (t = 0,8) = 15 – 10 . 0,8 = 7 m/s
v (t = 2,3) = 15 – 10 . 2,3 = - 8 m/s
v = 15 – 10 t
CUESTIONESCUESTIONES1. Una piedra se lanza verticalmente hacia abajo desde un puente con una
velocidad inicial de 10 m/s y tarda 3 s en llegar al agua,
a) ¿Con qué velocidad llega la piedra al agua? Solución: 39,4 m/s
b) ¿Cuál es la altura de¡ puente? Solución. 74,1 m
2. Una piedra que se deja caer desde lo alto de un edificio tarda 4 s en llegar al suelo. Calcula: a) La velocidad de la piedra justo antes de llegar al suelo. b) La altura del edificio. Solución: a) - 39,2 m/s; b) 78,4m.
3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 400 m/s. Calcula la altura máxima alcanzada y la velocidad que tiene el cuerpo a la mitad de dicha altura. Sol:Yma= 8156,8 m;vmitad= 282,7 m
4. Desde cierta altura se lanza un cuerpo horizontalmente. Demuestra que el tiempo que tarda en alcanzar el suelo es el mismo que si ese cuerpo se deja caer desde la misma altura.
v0 > 0a > 0
v0 = 0a > 0
v0 > 0a < 0 v0 > 0
a = 0
v v
vv
tt
tt
v0 < 0a > 0
v0 < 0a < 0
vv
tt
∆t
s
t
∆s
sv
t
La gráfica e/t es una parábola. Para calcular la velocidad en un punto se traza la tangente en ese punto y se determina su pendiente. Por tanto, la velocidad vo vendrá dada por la pendiente de la tangente en t = 0
La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo
so > 0v0 = 0a < 0
so > 0v0 < 0a < 0
so > 0v0 < 0a > 0
s ss
ttt
so = 0v0 > 0a < 0
so > 0v0 < 0a < 0
so > 0v0 > 0a > 0
ss
s
t tt
