Parte I

Cinemtica dos corpos rgidos*Este texto corresponde a fragmentos dos livros-textos adotados: Dinmica (Meriam, Kraige),

Dinmica (Hibbeler), Mecnica Vetorial para Engenheiros (Beer).

1. Hiptese do Corpo Rgido

Um sistema de partculas para o qual as distncias entre as partculas permanecem inalteradas.

Sabemos que isto um caso ideal uma vez que todos os materiais slidos variam de forma at certoponto quando foras so aplicadas a eles.A hiptese aceitvel se os movimentos associados com as mudanas na forma so muito pequenos

em comparao com os movimentos dos corpos como um todo.

2. Motivaes para o estudo do movimento dos corpos rgidos:

1. A necessidade de gerar, transmitir ou controlar certos movimentos pela utilizao de cames,engrenagens e mecanismos de vrios tipos. Logo, devemos analisar nesse caso o deslocamento, avelocidade e a acelerao do movimento para determinar a geometria das peas mecnicas. O movimentogerado pode desenvolver foras que devem ser levadas em considerao no projeto das peas2. Em vista das foras aplicadas ao corpo rgido.

3. Movimento Plano

Ocorre quando todas as partes do corpo rgido se movem em planos paralelos. Geralmenteconsideramos o plano de movimento como o plano que contm o centro de massa e tratamos ocorpo como uma placa na cujo movimento est limitado ao plano da placa. Isto corresponde a umaidealizao.

Classicao dos movimentos planos:

3.1. Translao:

Movimento em que cada linha no corpo permanece paralela sua posio original em todosos instantes do tempo. No h rotao de nenhuma linha do corpo. Abaixo vemos uma translaoretilnea:

J a seguir vemos uma translao curvilnea onde todos os pontos se deslocam sobre curvascongruentes.

1

Observao: Podemos usar o estudo do movimento de uma partcula para este caso j quecada partcula do corpo dene isoladamente o movimento do corpo.

Dados dois pontos A e B de um corpo rgido:

a partir de um sistema de referencia xo (fora do corpo), podemos localizar estes pontos a partir dasposies !r A e !r B . A posio de B em relao (ou relativa) a A dada pelo vetor posio relativa!r B=A que uma constante no corpo rgido. Assim, por adio vetorial:

!r B = !r A +!r B=A (1)A relao entre os velocidades medidas no sistema de referencia x,y , como era de se esperar:

!v B = !v A (2)E a acelerao:

!a B = !a A (3)Logo:

Todos os pontos do corpo rgido durante a translao retilnea ou curvilnea possuem amesma velocidade e a mesma acelerao.

3.2. Rotao:

Ocorre em torno de um eixo, onde todas as partculas do corpo rgido se deslocam emtrajetrias circulares em torno do eixo de rotao, e todas as linhas do corpo que so perpendicularesao eixo de rotao giram atravs do mesmo ngulo ao mesmo tempo.

Observao: Podemos usar o estudo do movimento de uma partcula para este caso j que cadapartcula do corpo dene isoladamente o movimento do corpo.

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3.3. Movimento plano geral

Combina translao e rotao. Para estudarmos este tipo de movimento consideraremosos estudos de movimento relativo.

4. Rotao em torno de um eixo xo.

Considere um corpo rgido que gira em torno de um eixo xo AA0 que por convenincia ofazemos coincidir com o eixo z em um sistema de referncia centrado em O. Um ponto P pertencenteao corpo rgido faz seu movimento em torno de z. A distncia entre P e o eixo z constante, sendoassim, enquanto gira em torno de z, este ponto descreve um crculo cujo ponto central na gura oponto B. O raio desse crculo dado por r sen onde o ngulo entre o vetor posio e o eixo z.

Por m, a posio de P ca totalmente denida ao indicarmos o ngulo entre a linha BP(linha reta entre o ponto P e o eixo z) e o plano zx, que podemos considerar como o plano de origemdo movimento de P.

A medida que P move-se ocorre uma mudana no ngulo , e portanto h um . Ao ocorreruma rotao completa, dizemos que houve uma revoluo em torno de um eixo ou ponto. A unidadepara coordenadas angulares ser o radiano (rad) ou, em algumas situaes o grau (o) ou revolues(rev) :

Uma mudana na posio do ponto P implica na existncia de um comprimento s de arcopercorrido por este ponto e tambm como dito anteriormente, um ngulo , cuja relao entre ambos:

s = (BP ) = (r sen)

Dividindo ambos os membros por t, e tomando o limite em que t! 0 :

v =ds

dt= r

sen

Observao: A taxa de variao angular no tempo calculada no ponto P, mas independe

do ponto escolhido nesse corpo.

Sabemos que a velocidade um vetor e assim esta equao o mdulo de um produto vetorialentre o vetor posio !r e um vetor dado pela variao angular no tempo, ou seja uma velocidadeangular ! =

.

E portanto:

!v = !! !r (4)onde, no caso da gura o vetor velocidade angular dado por:

!! = !bk = bk (5)O sentido de !v dado pela regra da mo direita.

3

Atente para o fato que esta uma velocidade angular vetorial, cujo mdulo o prprio ! comunidade rad=s (radianos por segundo).

A derivada segunda de !v com relao a t; que a acelerao vetorial ca:

!a = d!vdt

=d

dt(!! !r )

!a = d!!dt

!r +!! d!rdt

!a = ! !r +!! !v

!a = ! !r +!! (!! !r ) (6)onde a taxa de variao da velocidade angular !! no tempo chamada de acelerao angular ! cujaunidade o radianos por segundo ao quadrado

rad=s2

:

Observe que a acelerao do ponto P do corpo rgido possui duas partes, que correspondem aduas componentes, uma tangencial que corresponde ao produto vetorial !!r . A outra a componentenormal que corresponde ao produto vetorial triplo !! (!! !r ) dirigida para o centro B do crculo.

Observao: Se o corpo move-se no sentido anti-horrio dizemos que a velocidade angular! positiva, caso contrrio ela negativa. Se esta velocidade angular cresce, ento ela e aacelerao angular possuem o mesmo sentido. De maneira anloga, se a velocidade escalar,por exemplo, do ponto P na gura acima cresce, ento ela e a acelerao tangencial possuemmesmo sentido, porm se a velocidade escalar decresce, ela e a acelerao tangencialpossuem sentidos diferentes. E como de se esperar, se a velocidade escalar constanteento a acelerao tangencial zero. O que ocasiona a acelerao normal o fato de que ovetor velocidade linear muda de direo e sentido no movimento de rotao. J a aceleraotangencial s aparece se o vetor velocidade tambm tem seu mdulo varivel.

Podemos representar o movimento de um corpo rgido por meio de uma placa representativaem um plano de referncia perpendicular ao eixo de rotao.

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Se o ngulo entre a velocidade !v e o vetor posio !r 90o e o ngulo entre a acelerao tangencial eo vetor posio e a acelerao normal tambm 90o: Em mdulo teremos:

v = !r (7)

at = r (8)

an = !v (9)

Exerccio: Obtenha as equaes referentes a uma rotao uniforme e a uma rotao uniformementeacelerada

5. Mtodos para resoluo de problemas - ver livro (Beer)

5.1. Corpo rgido em translao

5.2. Corpo rgido que gira em torno de um eixo xo

5.3. Rotao de uma placa representativa

5.4. Equaes denidoras da rotao de um corpo rgido

6. Exemplos:

6.1. Beer - 15.1 - 15.2

*came

6.2. Beer - 15.6

6.3. Meriam - 5.1

Resposta:

5

6.4. Meriam - 5.4

6.5. Meriam 5.13

6.6. Meriam - 5.26

6

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