Cinemática ejercicios

Cinemática: Cuerpos en caída libre

1) Las gotas de lluvia caen desde una nube situada a 1700 m sobre la superficie del suelo. Si no fueran retenidas por la resistencia del aire, ¿ a qué velocidad descenderían las gotas cuando llegan al suelo? ¿Sería seguro caminar en el exterior durante una tormenta?Resoluciónecuación de movimiento según la dirección y:

y= y0+v0 y t +12a t2

(1)

condiciones iniciales: (correspondientes al sistema de ejes x y elegidos)

y0=1700 j m posición inicial

v0 y=0 j m/s velocidad inicial

a=−g j=-9 . 8 { j m/s2¿ aceleración

Sustituyendo las condiciones iniciales en (1) tenemos:

y j=1700 { j - 12

9 .8 t2 j=(1700−12

9.8 t2) j¿ y=1700 - 12

9 .8 t2

(2)

cuando la gota llega al suelo, imponemos la condición y = 0

0=1700−12

9 . 8 t2 ⇒ t=√2 x 17009 . 8

=18 . 6 s

⇒ t=18 . 6 s tiempo de caída de la gota.

ecuación de la velocidad según y:

v y= v0 y+ a t ⇒ v y j=v0 y j - 9 . 8 t { j ⇒ v y j=(v0y−9 .8 t ) j ⇒ v y=v0 y−9.8 t ¿sustituyendo las condiciones iniciales y el tiempo de caída de la gota:

v y=−9 . 8 x 18 . 6=182 .3 m/s =655 Km/s

2) En una obra en construcción una llave cae y golpea el suelo con una velocidad de 24.0 m/s.a) ¿Desde qué altura cayo la llave?b) ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire?

b) Ecuación de la velocidad según y:

v y= v0 y+ a t (1)

Condiciones iniciales:

v0 y=0 m/s velocidad inicial


sustituyendo las condiciones iniciales en (1) tenemos:

v y j=-g t { j ⇒ v y=−g t=-9 .8 t ¿ (2)

cuando la llave llega al suelo tenemos:

v y=−24 . 0 j m/s (3)

Sustituyendo (3) en (2):

−24 . 0=−9 . 8 t ⇒ t=-24 . 0-9 . 8

=2 .5 s

⇒ t=2 .5 s tiempo de caída de la llave

a) Ecuación de movimiento según y

y= y0+v0 y t +12a t2

(4)Condiciones iniciales:

y0= y0 j mv0 y=0 m/s

velocidad inicial

a=−g j=−9 .8 { j m/s2¿ aceleración

Sustituyendo las condiciones iniciales en (4):

y j= y0 j−12g t2 j=( y0−

12g t2) j ⇒ y= y0−

12g t2

(5)

Cuando la llave llega al suelo, imponemos la condición y = 0:

0= y0−12

9 . 8 (2 .5 )2 ⇒ y0=12

9 . 8(2. 5 )2=30 . 6 m

⇒ y0=30 .6 maltura desde la cual cayó la llave

3) a) ¿A qué velocidad debe ser arrojada una pelota verticalmente hacia arriba para que llegue a una altura máxima de 53.7 m?b) ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire?

a) Datos:


y f=53.7 j m posición final

v f=0 j m/s velocidad final


de acuerdo a los datos de que disponemos aplicamos la ecuación:

v2=v02+2a ( y− y0 )

cuando llegue al punto más alto:

0=v02−2 x 9 . 8 x (53 . 7-0)

⇒ v0=√2 x 9 . 8 x 53 .7=32 . 4 m/s

por lo tanto: ⇒ v0=32 .4 m/s

velocidad a la que debe ser arrojada la pelota

b) Ecuación de la velocidad según y:v y= v0 y+ a t

(1)

Condiciones iniciales:v0 y=32. 4 { j m/s¿

a=−g j=-9 . 8 { j m/s2¿Cuando llegue al punto más alto:

v y=0 { j m/s¿ (2)

Sustituyendo las condiciones iniciales y la condición (2) en (1):

0 j=32. 4 { j -9 .8 t { j¿ ⇒ 0=32 . 4 -9 . 8 t ⇒ t=-32 . 4−9 .8

=3 .3 s¿

⇒ t=3 .3 s tiempo que estuvo en el aire

4) Una roca es arrojada desde un acantilado de 100 m de altura.a) ¿Cuánto tiempo demora en caer los primeros 50 m?b) ¿Cuánto tiempo tarda en caer los segundos 50 m?Resolucióna) Ecuación de movimiento según la dirección y:

y= y0+v0 y t +12a t2

(1)


y0=100 j m

v0 y=0

a=−g j=9 .8 { j m/s2¿Sustituyendo las condiciones iniciales en (1):

y= y0−12g t2

Cuando llega a y = 50 m tendremos:

50=100−12

9 . 8 t2

t=√ 2 (50−100 )−9 . 8

=3 .2 s

por lo tanto: t=3 . 2 s tiempo que demora en caer los primeros 50 m

OJO!! Cuando llega a los 50 m tiene una cierta velocidad que hay que calcular previamente para saber cuanto demora en caer los siguientes 50 metros.

ecuación de la velocidad:v y= v0 y+ a t

⇒ v y j=-g t { j ⇒ v y=−g t=-9 .8 t ¿⇒ v y=−g t=-9 .8 t

(1)

condiciones iniciales: v0 y=0

a=−g j=9 .8 { j m/s2¿sustituyendo las condiciones iniciales en (1)

v1=−9.8 x 3.2=- 31 .4 m/s ⇒ velocidad que tiene la llave cuando pasa por la altura de 50 m.

Ecuación de movimiento en y: y= y0+v0 y t +

12a t2

Condiciones iniciales: y=0 y0=50 { j m ¿

v0= v1= - 31 .4 { j m/s¿

Cuando la llave llega al suelo (recorriendo los últimos 50 m):

0=50−31 . 4 t − 12

9 . 8 t2 ⇒ 0=4 . 9 t2+31. 4 t −50 (ec de 2do grado en t)

t=−31. 4±√(31 . 4 )2−4 x 4 .9 x (−50 )

2 x 4 .9=−31 . 4±44 .3

9 . 8

entonces: t=1 .3 s

La otra solución t = – 7.7 s es un valor negativo y por lo tanto un tiempo negativo no tiene sentido físico.

Por lo tanto: t=1 .3 s tiempo que demora en caer los últimos 50 m

5) Una pelota es arrojada verticalmente hacia abajo a una velocidad inicial de 20.5 m/s desde una altura de 58.8 m.a) ¿Cuál será su velocidad cuando llegue al suelo?b) ¿Cuánto tiempo le lleva a la pelota llegar al suelo?c) ¿Cuáles serían las respuestas a las partes (a) y (b) si la pelota fuese arrojada verticalmente hacia arriba desde la misma altura y con la misma velocidad inicial?Resoluciónb) Ecuación del movimiento según y:

y= y0+v0 y t +12a t2

(1)


y0=58 .8 j m posición

v0 y=−20 . 5 j m/svelocidad

a=−g j m/s2 aceleración


y j=58 . 8 { j−20 .5 t { j ¿−1

29 . 8 t2 j ¿

⇒ y=58 . 8 −20 . 5 t −12

9 . 8 t 2

(2)

Cuando llega al suelo: ⇒ y=0 (3)

Imponiendo la condición (3) en (2): ⇒ 0=58 .8 −20 .5 t −1

29. 8 t2

4 . 9 t2+20. 5 t−58 . 8=0 (ec de 2do grado en t)

t=−20 .5±√(−20.5 )2−4( 4 . 9)(−58 .8)

2 x 4 .9=−20 .5±√1572. 7

9 . 8=−20 .5±39 .4

9 .8

t=−6 . 1 s no tiene sentido físico

t=1 .9 s

⇒ t=1. 9 s tiempo que demora la pelota en llegar al suelo (4)

a) Ecuación de la velocidad:v y= v0 y+ a t ⇒ v y j=v0y j+a t { j¿

(3)Sustituyendo las condiciones iniciales y el resultado (4) en (3) tenemos:

⇒ v y=−20 . 5 −9 .8 x 1 .9=−39 m/s

⇒ v y=−39 m/s velocidad con que llega al suelo, el hecho de que la velocidad sea negativa significa

que la velocidad apunta hacia el suelo, o sea en sentido contrario al versor j .

c) Ecuación de la velocidad:

v y= v0 y+ a t ⇒ v y j=v0y j+a t { j¿ (5)


y0=58 .8 j m posición

v0 y=+20 . 5 j m/svelocidad

a=−9.8 j m/s2 aceleración


v y=+ 20. 5−9 .8 t (6)

Cuando llegue a la altura máxima su velocidad será cero, entonces, imponiendo v y=0

en (6) tenemos:

0 =+ 20 .5−9 .8 t ⇒ t=-20. 5-9 .8

=2 .09 s

t=2 .09 s tiempo que demora en llegar hasta el punto de altura máxima.

Cuando empieza a caer, desde su altura máxima hasta el punto de altura 58.8 m, el tiempo de caída será de 2.09 s.

A su vez el tiempo de caída desde los 58.8 m hasta el suelo es de 1.9 s según lo calculado en la parte (b).

Por lo tanto el tiempo total desde que es arrojado hacia arriba hasta que llega al suelo es:

tTOTAL=2 x 2. 09 +1.9=6 . 08 s⇒ tTOTAL=6 .08 s

tiempo total que demora en llegar al suelo.Para calcular la velocidad con que llega al suelo, consideramos el problema como el de una pelota que

es lanzada con velocidad inicial cero, sabiendo que el tiempo de caída es:

tCAIDA=2 .09+1. 9=3. 99 s

Ecuación de la velocidad: v y= v0 y+ a t ⇒ v y j=v0y j+a t { j¿

(7)

Condiciones iniciales: v0 y=0 j m/s

velocidad

a=−9. 8 j m/s2 aceleración

tCAIDA=3 . 99 s


v y=0−9.8 x 3 .99=−39 m/s

Por lo tanto, la velocidad con la cual la pelota llega al suelo es: v y=−39 m/s

OBSERVACIÓN – Note que la velocidad con la que llega al suelo es la misma en ambos casos, como explica esto?

6) Una pelota arrojada hacia arriba tarda 2.25 s en llegar a una altura de 36.8 m.a) ¿Cuál fue la velocidad inicial de la pelota?b) ¿Cuál es la velocidad cuando llega a la altura de 36.8 m?c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará la pelota?Resolucióna) Ecuación de movimiento en la dirección y:

y= y0+v0 y t +12a t2

y { j= y0 j+v0 y t { j¿+12

a t2 j¿ (1)



y=36 . 8 j m posición final

a=−g j=−9 .8 { j m/s2¿ aceleración

t=2 .25 s tiempo de subida


36 . 8=0+v0 y (2. 25 )−12

9 .8 (2. 25 )2

36 . 8=v0 y(2 . 25)−12

9. 8(2 . 25)2

36 . 8=v0 y(2 . 25)−24 .8 ⇒ v0 y=36 . 8+24 . 8

2. 25=47 . 8 m/s

Por lo tanto: v0 y=47 .8 m/s

velocidad inicial de la pelota, el signo positivo de la velocidad significa

que ésta apunta según el versor j

b) Ecuación de la velocidad: v y= v0 y+ a t ⇒ v y j=v0y j+a t { j¿

v y=v0y−g t (2)

condiciones iniciales: v0 y=47 .8 m/s

g=9 .8 m/s2

t=2 .25 s

Sustituyendo las condiciones iniciales en (2):v y=47 .8−9.8 x 2. 25=25. 8 m/s

Por lo tanto:v y=25. 8 j m/s

velocidad de la pelota cuando llega a la altura de 36.8 m.

c) Cuando la pelota llega a su altura máxima, la condición es: v y=0 j m/s

y considerando que la pelota fue lanzada desde el suelo con una velocidad , puede utilizarse la ecuación de la velocidad para determinar el tiempo en el cual la pelota llega a su altura máxima.

0=47 . 8−9 .8 x t ⇒ t=-47. 8-9 . 8

=4 . 9 s tiempo en que llega a la altura máxima

Sustituyendo en la ecuación de movimiento (1) tendremos:

y=47 . 8 x 4 . 9−12

x 9 . 8 x (4 .9 )2=116. 6m

Por lo tanto: y=116 .6m altura máxima que alcanza la pelota

7) Se dejan caer dos esferas, desde distintas alturas; una se arroja 2.2 s después de la otra. Si las dos llegan al suelo al mismo tiempo, 4.0 s después de haber sido arrojada la primera esfera, ¿desde qué altura se dejaron caer cada una de ellas?ResoluciónEc de movimiento en y:

y= y0+v0 y t +12a t2

y j= y0 j+v0y t j+12a t2 j

y= y0+v0y t+12a t2

(1)

Condiciones iniciales para la esfera 1:

y=0 cuando llega al suelo

y0=H1 maltura desde la cual fue lanzada.

v0 y=0velocidad inicial con que fue lanzada

a=−9 . 8 m/s2aceleración

t=4 .0 s tiempo de caída.


0=H1−12

x 9 . 8x ( 4 .0 )2 ⇒ 0= H1−78 . 4 ⇒ H1=78. 4 m

Por lo tanto: ⇒ H1=78 .4 m

altura desde la cual cayó la esfera 1

Condiciones iniciales para la esfera 2:

y=0 cuando llega al suelo

y0=H2 maltura desde la cual fue lanzada.

v0 y=0velocidad inicial con que fue lanzada

a=−9 . 8 m/s2aceleración

t=( 4 .0 -2 .2 ) s=1 .8 s tiempo de caída (pues la letra dice que la segunda pelota es lanzada 2.2 segundos después dela primera)


0=H2−12

x 9 . 8x (1 . 8)2 ⇒ 0= H2−15. 88 ⇒ H2=15 . 9 m

Por lo tanto: ⇒ H2=15 .9 m

altura desde la cual cayó la esfera 2

8) Un cohete es disparado verticalmente y asciende con una aceleración vertical constante de 20 m/s2

durante 1 min. Su combustible se agota entonces totalmente y continúa como una partícula en caída libre.a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?b) ¿Cuál es el tiempo total transcurrido desde el despegue hasta que el cohete regresa a la Tierra?

Resolucióna)Análisis del movimiento: el cohete es lanzado con una velocidad inicial cero en dirección vertical (esto se asume de la letra pues dice: “es disparado verticalmente”, en caso de que tuviese alguna velocidad inicial debería dar el valor o dar algún dato como para calcularlo); con una aceleración constante que en este caso es una aceleración en la dirección vertical positiva (de otra forma el cohete nunca podría subir). Cuando se le acaba el combustible el cohete tiene una cierta velocidad en la dirección positiva que es la que obtuvo como consecuencia del movimiento previo en el cual tenia una aceleración positiva. La segunda parte del movimiento va a estar dominada únicamente por la aceleración de la gravedad, ahora como el cohete ya traía una cierta velocidad va a seguir subiendo hasta que la gravedad haga que su velocidad disminuya a cero y ahí empezara a caer hasta llegar al suelo.

Primera parte del movimiento:

Ecuación del movimiento según la dirección y:

y= y0+v0 y t +12a t2= y0 j+v0y t j+

12a t 2 j⇒ y= y0+v 0y t+

12a t2

(1)

condiciones iniciales:

y0=0 m posición inicial

v0 y=0 m/s velocidad inicial

a=+ 20 .0 j m/s2 ⇒ a =+ 20. 0 m/s2 aceleración

t=1min=60 s tiempo de subida

sustituyendo las condiciones iniciales en (1) obtendremos la altura hasta la cual llegó el cohete cuando se le agoto el combustible:

H1=12x20 . 0x (60 )2=36000 m

Ecuación de la velocidad según la dirección y:

v y= v0 y+ a t ⇒ v y j= v0y j + a t { j ⇒ v y=v0 y+a t ¿ (2)

sustituyendo las condiciones iniciales en (2) obtendremos la velocidad del cohete cuando se le acaba el combustible:

v1=20 .0 x 60= 1200 m/s

Por lo tanto cuando se acaba el combustible el cohete se encuentra a una altura de H1 = 36000 m con una velocidad hacia arriba de v1 = 1200 m/s.

Segunda parte del movimiento:

condiciones iniciales:

y0=H1=36000 m posición inicial

v0 y=v1=1200 m/s velocidad inicial

a=−9.8 j m/s2 ⇒ a=− 9 . 8 m/s2 aceleración

sustituyendo en (2) las condiciones iniciales para la segunda parte del movimiento obtendremos el tiempo durante el cual el cohete sigue ascendiendo:

v y=v0 y+a t ⇒ 0 m/s = 1200 m/s − 9 . 8 m/s2 x t1

t1=(0−1200 ) m/s

-9 .8 m/s2=122 .5 s

(3)tiempo durante el cual continua subiendo una vez acabado el combustible.

Sustituyendo las condiciones iniciales y el resultado obtenido en (3) en (1):

y= y0+v0y t+12a t 2 ⇒ H2= H 1+v1 x t1−

12g x t1

2

⇒ H2=36000m+1200 m/s x (122. 5 s )−12

9 .8m/ s2 x (122 .5 s )2=109469 . 4 m

Por lo tanto la altura máxima que alcanza es: H2=109469 . 4m=109 . 5Km

b) La última parte del movimiento corresponde al cohete que cae en caída libre desde una altura de H1 + H2 = 145469.4 m con una velocidad inicial cero.

Ecuación de movimiento según la dirección y: y= y0+v0y t+

12a t 2

2

(4)Condiciones iniciales:

y=0m condición de que llega al suelo

y0=H1+H 2=145469 . 4 maltura inicial desde la cual cae

v0 y=0 m/svelocidad inicial con la que cae

a=−9 . 8 m/s2pues se trata de una caída libre


0=145469 . 4 m -12

x 9. 8 x t2 ⇒ t2=√2 x (−145469 . 4 )−9 . 8

=172 .3 s

t2=172 .3 ses el tiempo que demora entre caer desde su altura máxima hasta el suelo.

Tiempo total que estuvo en el aire:

t=60 s+t1+t2=60 s +122 . 5 s+ 172. 3 s=354 .8 s

Por lo tanto, tiempo total que estuvo en el aire: ⇒ t=354 . 8 s

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