Oscar Rosas-Ortiz*

*Investigador del Departamento de Física del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados

(Cinvestav) del Instituto Politécnico Nacional (ipn). Editor de la presente columna.

Ungatoenlaoscuridad

Cinvestav en su tinta

(Parte 2)

Oscar Rosas-Ortiz*

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¿Cinvestav en su tintaEn verdad piensas que la Luna existe solo cuando la observas? Con esta pregunta Al-bert Einstein simplificaba su punto de vista acerca del concepto de realidad en las teorías físicas ante su interlocutor y biógrafo, Abraham Pais (ver la introducción de [AP]). Para Einstein, la teoría cuántica había llegado a unos derroteros insostenibles con la interpre-

tación que de ella hacían los fundadores de la así llamada Escuela de Copenhagen. La afirmación de que es el observador quien determina la naturaleza de lo observado por medio de medir (de tal o cual forma y) tales o cuales propiedades de un sistema cuántico chocaba frontalmente con su opinión del mundo físico. Sin embargo, muy a su pesar, el mismo Einstein propició en muchas formas el crecimiento y posterior establecimiento de dicha interpretación como la canónica en la física cuántica contemporánea.

Los electrones manifiestan propiedades que son naturales en las ondas; situación que ni siquiera podría haberse sospechado antes de 1900 ya que, para ese entonces, los elec-trones se pensaban como puntos en el espacio que concentran una carga indivisible y una cierta cantidad de materia (masa). Un modelo simplificado de experimento, pro-puesto para verificar la naturaleza ondulatoria de los electrones, consiste en lanzar un ensamble (bonche) de estos a través de una pantalla con dos orificios “suficientemente pequeños”. Del otro lado colocamos una segunda pantalla con una emulsión que “reac-ciona” emitiendo luz (de hecho, un solo fotón) cada vez que un electrón incide en ella. Lo que se observa es la aparición de zonas oscuras y zonas brillantes en la segunda pantalla, es decir, un patrón de interferencia. Dicho patrón es común en el estudio de ondas cuando se les hace pasar por orificios cuya apertura es del orden de la longitud de onda correspondiente (la longitud de onda se define como la distancia que separa a dos máximos -crestas- contiguos de la onda). La propuesta de que los electrones (y las demás partículas cuánticas) presentan estas propiedades fue originalmente planteada por Louis de Broglie, inspirado en el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico (ver [RO1]). La correlación entre ondas y partículas se hizo entonces evidente: Lo que en la física clásica se había considerado como partículas (ondas) la nueva teoría lo interpretaba además como ondas (partículas). Para ser más precisos, a diferencia de la imagen “pun-tual” que la física clásica adjudicaba al electrón, con la hipótesis de Louis de Broglie el electrón adquiere ahora una longitud de onda que es inversamente proporcional a su rapidez. Situación que motivó la búsqueda experimental de un patrón de interferencia ge-nerado por partículas y que muy pronto fue obtenido en los laboratorios. Sin embargo, las ondas de materia de Louis de Broglie no resultaron suficientes como modelo teórico para justificar tales resultados.

La mecánica cuántica nace en 1925, con un artículo firmado por Werner Heisenberg donde, por primera vez, se atacan los nuevos fenómenos en un esquema formal y sis-temático, muy lejano de las formulaciones añejas de Maxwell y Newton. Casi de inme-diato Max Born y Pascual Jordan publican un “refinamiento” del trabajo de Heisen-berg aclarando que las variables físicas se representan matemáticamente por medio de matrices cuadradas (una matriz cuadrada es un arreglo tabular de n columnas con n renglones, en cada retículo de la matriz se coloca un número. Si se trata de números que pueden variar continuamente entonces la matriz puede pensarse como un arreglo infi-nito de retículos). La mecánica cuántica quedaría terminada en su primera versión con un tercer trabajo, ahora firmado por Heisenberg, Born y Jordan (estos trabajos pueden consultarse en [BLW]). Una de las principales consecuencias de esta formulación es que, a diferencia de los números convencionales, el producto de matrices no necesariamente conmuta. Es decir, si A y B son dos matrices entonces, en general AB no es igual a BA. Más tarde, esta nueva propiedad de las variables físicas llevaría a Heisenberg a postular el principio de incertidumbre que lleva su nombre (ver Apéndice). Las reacciones de la comunidad científica fueron de desconcierto ya que ni las matrices ni la forma de trabajar con ellas formaban parte del entrenamiento matemático de los físicos en aquél entonces. Quizá la siguiente frase de Einstein represente el sentir de la gente con res-pecto a la formulación matricial: “La cosa más interesante suministrada últimamente Albert Einstein

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por la teoría es la de Heisenberg-Born-Jordan de los estados cuánticos. Un verdadero cálculo de hechicería, donde aparecen determinantes infinitos (matrices) en lugar de las coordenadas cartesianas. Esto es eminentemente ingenioso y, a causa de su compli-cación, está suficientemente protegido contra toda demostración de falsedad” (Carta de Einstein a Michele Besso fechada el 25/12/1925 [EBe, p228]). Sin embargo la locura apenas comenzaba. Como consecuencia del principio de incertidumbre se llegó de in-mediato a la conclusión (ya intuida por muchos) de que no es posible asignar dentro de la teoría cuántica una “trayectoria” para el electrón. De esta forma, el modelo de átomo que hasta ese entonces se había alcanzado —imaginándolo como un sistema planetario en pequeño con los electrones (planetas) orbitando alrededor del núcleo (Sol)— queda-ba expuesto como poco realista.

Entre los científicos descontentos con la formulación original de la mecánica cuán-tica estaba Erwin Schrödinger quien, igual que muchos otros físicos de la época, estaba convencido de que la nueva teoría debería sustentarse en una ecuación del tipo on-dulatorio. En el corazón de esta hipótesis estaba la idea de de Broglie sobre las ondas de materia cuya longitud de onda es proporcional a la velocidad de la partícula en cuestión. Además, una formulación ondulatoria encajaba perfectamente con el entrena-miento matemático de cualquier físico de ese entonces, acostumbrados a resolver —por ejemplo— las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo y al estudio de las vibra-ciones de los sólidos para producir sonidos. En 1926, Schrödinger publicó una serie de artículos donde presentó su contrapropuesta a la mecánica cuántica (dichos trabajos pueden consultarse en [ES]). En el primero de ellos obtuvo la ecuación que gobierna el comportamiento ondulatorio de los electrones a la de Broglie. Las soluciones (funcio-nes psi) de esta ecuación dieron lugar a disputas de interpretación que hoy día siguen vigentes. Conocedor de las implicaciones de la teoría cuántica, Schrödinger mencio-nó una cuidadosa (¿tímida?) interpretación de sus soluciones: “Por supuesto, queda la fuerte impresión de que deberíamos intentar relacionar la función psi con algún proceso de vibración en el átomo, el cual podría aproximarse a la realidad mejor que las órbitas electrónicas, cuya verdadera existencia está siendo muy cuestionada hoy en día” [ES, p9]. La reacción de la comunidad científica no se dejó esperar. En esta ocasión Einstein se manifestó a favor de inmediato: “Estoy convencido de que con tu trabajo has logrado un avance decisivo en la formulación cuántica, igual que estoy convencido de que el método de Heisenberg-Born es erróneo” (Carta de Einstein a Schrödinger fechada el 06/04/1926 [WM, p187]); “Schrödinger ha sacado dos trabajos excelentes sobre la regla de los cuantos que sí hacen presentir profundas verdades” (Carta de Einstein a Besso fechada el 01/02/1926 [EBe, p235]). La formulación de Schrödinger tuvo inmediata aco-gida en la física de principios del siglo pasado y pronto fue conocida como la mecánica ondulatoria.

En opinión de Born, la preferencia inicial por la mecánica ondulatoria antes que por la mecánica cuántica se debió a que la primera usaba las ecuaciones (en ese entonces ya tradicionales) de la física matemática, tales como las que surgen en los problemas de valor propio de los sistemas ondulatorios [EBB, p135]. De hecho, es debido a la poca familiaridad con el álgebra de matrices que la física cuántica que empezó a enseñarse en las aulas era la de Schrödinger. Desafortunadamente dicha costumbre ha trascen-dido hasta nuestros días. Sin embargo, cabe mencionar que para finales de 1965 las preferencias empezaban a cambiar. En la conferencia de los ganadores del Premio Nó-bel de ese año, Paul Dirac declaró que parte de las dificultades técnicas de la teoría de campos (tales como el problema de renormalización, es decir, la presencia de infinitos que requieren ser eliminados a mano de la teoría) se debían a que se partía de las ideas de Schrödinger y no de las de Heisenberg, descalificando a la mecánica ondulatoria de Schrödinger mientras aprobaba a la mecánica cuántica de Heisenberg como buena teoría [EBB, p136].

Muy pronto Schrödinger dejó de ser cauto con la interpretación de sus soluciones y empezó a considerar que sus funciones psi deberían reemplazar al concepto de partí-cula en fisica. No hay partículas, sólo hay ondas con sus conocidas vibraciones propias y lo que hemos llamado partículas no son sino el equivalente a paquetes de onda muy “apretados”. Sin embargo, a pesar del entusiasmo inicial, la gente empezó a notar las Erwin Schrödinger

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complicaciones que se derivan del uso de las ondas de Schrödinger. Entre otros, Hen-drik Lorentz le escribe a Schrödinger para expresarle algunas observaciones críticas. En su carta, Lorentz pone reparos a la representación de una partícula como un pa-quete de ondas ya que éste no permanece compacto con el tiempo sino que se expande gradualmente hasta ocupar volúmenes enormes en tres dimensiones (esta critica era compartida por Einstein). ¿Qué ocurría entonces con la carga del electrón que, para ese entonces, ya se aceptaba como indivisible? Como parte de su respuesta, Schrödinger le envió a Lorentz la separata de uno de sus recientes artículos donde discute el caso de un oscilador armónico al que se le puede asociar un paquete de ondas que no se dispersa con el tiempo (¡Años después se llegaría a entender que dicho paquete no es más que uno de los estados coherentes usados por Glauber en su descripción cuántica de la luz! Ver [ES, p41] y [RO1]). Además, Schrödinger se vio obligado a aceptar que, en general, existen serias dificultades si se busca asociar a psi (más bien, al modulo al cuadrado de psi) con una densidad de carga. Otra de las objeciones importantes fue que, mientras la función psi de un solo electrón podría fácilmente representarse en tres dimensiones, para dos partículas se requieren 6 dimensiones y así sucesivamente. Luego, para descri-bir un conjunto de varias partículas se necesitan ondas en espacios multidimensionales, que son muy diferente de las ondas de la física clásica y muy difíciles de imaginar [EBB, p253].

Entonces, ¿qué es la función de onda? Con los trabajos de 1926, Schrödinger muestra que su ecuación da lugar a una derivación apropiada de los datos experimentales cono-cidos, tales como el espectro de energías del átomo de hidrógeno. Dado que a cada una de estas energías le corresponde una función psi, es razonable pensar que cada función psi está asociada con una situación física diferente. Sin embargo, el dato experimental importante era el de las energías y el impacto de su trabajo fue de crucial importancia por que hasta ese entonces nadie había logrado reproducir tales resultados partiendo de un modelo teórico (aunque había, desde luego, reglas empíricas que funcionaban más o menos bien). Las funciones psi estaban entonces huérfanas de algún resultado experi-mental con el que se les pudiese comparar o poner a prueba. Por lo tanto, no estaba cla-ro cómo interpretarlas apropiadamente. En sus trabajos de 1926, Schrödinger también muestra la relación que existe entre su formulación y la de Heisenberg-Born-Jordan. Cabe notar, además, que en sus tres primeros trabajos sobre la mecánica ondulatoria Schrödinger manifiesta estar convencido de que la función psi solo toma valores reales. Sin embargo, en el cuarto de sus artículos libera a psi de tal condición y le permite ser una función compleja (ver el párrafo debajo de la ecuación (4”) en [ES, p104]). De esta forma, Schrödinger concluye que “el verdadero significado de la función psi empieza a estar más claro”. Al espacio multidimensional requerido para describir a la función psi de un sistema de varias partículas le llama espacio de configuración e interpreta al pro-ducto de psi con su complejo conjugado (es decir, al modulo al cuadrado de psi) como una función de peso en dicho espacio. Para cada punto en el espacio de configuración se tiene una función de peso de tal forma que la configuración ondulatoria del sistema cuántico es la suma (superposición) de todas las configuraciones posibles con sus fun-ciones de peso. Es en este punto de la historia donde el problema de la interpretación de psi inicia su carrera de discusiones ya que Schrödinger añade “Si gustamos de las paradojas podríamos decir que el sistema existe como si estuviese simultáneamente en todas las posiciones cinemáticas imaginables, pero no ‘con la misma presencia’ en todas partes” [ES, p120].

Aquí aparece nuevamente la figura de Born ya que, también en 1926, publica un artículo donde hace notar que la función psi no describe ni a la partícula ni a su com-portamiento. En lugar de eso, la onda describe la probabilidad de localizar a la partícula en algún punto del espacio. Este científico basó su interpretación probabilística de la mecánica ondulatoria en el estudio de la colisión entre partículas como un fenómeno de dispersión de ondas [EBB, p135]. En la versión que Born mandó a la revista se consi-deraba que la función psi era proporcional a la densidad de probabilidad. Sin embargo, en el último momento, cuando el artículo ya había sido aceptado, Born agregó en las pruebas de galera la corrección de que era psi al cuadrado y no psi lo que resultaba proporcional a la densidad de probabilidad (ver [MRO]). Seguramente influenciado por Werner Heisenberg

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los primeros tres trabajos de Schrödinger, Born concebía a psi como una función con valores reales y por esta razón se percató de que bastaba con tomar el cuadrado de psi para tener una densidad de probabilidad positiva (las probabilidades son necesariamente positivas y toman valores entre cero y uno. Si se piensa en psi como una función real y se le asocia directamente con la probabilidad está claro que cometemos un error ya que psi, en general, puede tomar tanto valores positivos como negativos). Este artículo de Born salió publicado casi al mismo tiempo que el cuarto artículo de Schrödinger, así que Born tuvo que corregir (una vez mas) su hipótesis de la densidad de probabilidad en un trabajo posterior admitiendo (igual que Schrödinger) que la función de onda psi adquiriese valores complejos. Por esta razón es que en la actualidad se toma el modu-lo al cuadrado de psi como el indicativo de la densidad de probabilidad. La nota que acabamos de presentar cobra valor histórico si recordamos que en 1954 se le otorgó el Premio Nóbel de Física a Max Born por su interpretación probabilística de la mecánica ondulatoria. A Bogdan Mielnik, especialista internacional en mecánica cuántica, le divierte mucho esta situación por que, en su opinión, este es el primer caso en el que el Nóbel se otorga por una corrección en las pruebas de galera. Por otro lado, también cabe resaltar que, por muchos años, Born se sintió resentido con el poco reconocimiento que se le daba a este y otros aportes suyos en la fundamentación de la física cuántica: “En el caso de la mecánica cuántica, que en tan poco tienes, las alabanzas y lisonjas han sido todas para Heisenberg y Schrödinger. Y Heisenberg que estaba in albis y ni siquiera sabía entonces lo que eran matrices (me consta por que fue mi ayudante)…” (Carta de Born a Einstein con fecha de 31/03/1948 EBB p 210). Posteriormente, en una carta fecha-da el 8 de noviembre de 1953, Born insistía: “El que las matrices de Heisenberg lleven ese nombre no está muy justificado, ya que Heisenberg no tenía idea en aquellos días de lo que era una matriz. Él cosechó el fruto del trabajo común: la fama, el Premio Nóbel y esas cosas. No es que me duela, pero en los últimos veinte años no he podido dejar de sentir que era en cierto modo una injusticia” [EBB, p255])

Como suele ocurrir en la historia de las ciencias, una misma idea aparece recurren-temente en un cierto conjunto de personas casi al mismo tiempo. En este caso, es clara la similitud entre la función de peso de Schrödinger y la densidad de probabilidad de Born (la historia ha colocado a esta última en un lugar privilegiado en la versión contem-

Figura 1. Se representa esquemáticamente el experimento de la doble rendija de Young. El lector puede considerar que a la izquierda se inyectan electrones que se hacen pasar por dos orificios pequeños. A la derecha, en azul, está dibujado el comportamiento de la densidad de probabilidad (el modulo al cuadrado de la función de onda —el hotel psi cuadrada—), los picos representan regiones donde es más probable encontrar al electrón después de pasar por la doble rendija. Mientras más alto es el pico mayor es la probabilidad.

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poránea de la física cuántica). Sin embargo, a pesar de que se trata del mismo objeto matemático, lo que cada uno de estos científicos leía en el modulo al cuadrado de la función psi era notoriamente diferente. La hipótesis de Born tornaba a la mecánica on-dulatoria en una teoría fundamentalmente basada en el azar más que en certidumbres causales (puramente clásicas). Situación que enloqueció no solo a Schrödinger, el padre de la mecánica ondulatoria, sino también a gente como Einstein. Recordemos que estos últimos aborrecieron la formulación de la mecánica cuántica originada por Heisenberg por que les parecía difícil de entender. Con la mecánica ondulatoria, Schrödinger estaba convencido de haber exorcizado todos aquellos fantasmas tan inaceptables como las matrices o los saltos cuánticos (hablaremos de ellos más tarde), al tiempo que se regre-saba a un terreno conocido (similar al de la mecánica clásica), con resortes que oscilan y donde no hay cambios abruptos de estado en los sistemas físicos. La hipótesis de Born, entonces, abría una caja de Pandora donde nuevamente se perdía el control de lo que se observa y lo que se dice acerca de la naturaleza de lo muy pequeño. Sin embargo, tam-bién era innegable que la interpretación probabilística de Born cuadraba perfectamente con la descripción de los ensambles de partículas. Los fenómenos de interferencia de electrones permitían, ahora si, una conexión directa entre lo observado en la pantalla y lo predicho por la teoría: las zonas brillantes se corresponden con los máximos del mó-dulo al cuadrado de psi, lo que a su vez significa mayor probabilidad (ver figura). Con todo, esta interpretación no resuelve el conflicto de no entender por qué los electrones, cuando son lanzados uno por uno, “gustan” de caer en las zonas brillantes (es decir, en las zonas más probables) antes que “preferir” caer en las menos brillantes (menos probables) que aparecen cuando se mandan todos ellos (juntos) a la vez. Si se piensa que esta “clasificación” de zonas es consecuencia de que los electrones, al ser lanzados todos a la vez, colisionan (interactúan) unos con otros en su trayecto a la pantalla, entonces podría inferirse que el patrón de interferencia se debe a estas colisiones. Sin embargo, al lanzar única y exclusivamente un solo electrón cada vez y marcando cada resultado so-bre la pantalla, al final, después de repetir muchas veces el experimento, recuperamos el patrón de interferencia. ¿Con qué interactuaron los electrones si todos y cada uno de ellos hicieron su trayecto a la pantalla sin acompañantes?

En la tercera y última entrega discutiremos sobre las propuestas que se han for-mulado con respecto al significado de psi. Veremos que Einstein y Schrödinger, como representantes de un grupo inconforme con estas interpretaciones, propusieron expe-rimentos pensados a fin de exorcizar a los nuevos fantasmas mientras que dieron lugar a la introducción de conceptos y experimentos que son, hoy por hoy, fundamentales en la teoría cuántica.

Apéndice

Para adquirir una idea del funcionamien-to del principio de incertidumbre digamos que A representa a la variable “posición” (denotémosla x) y B a la variable “mo-mento lineal” (denotado por p); entonces el producto de estas matrices es no con-mutativo: la cantidad xp – px no es cero (como debería ser si x y p fuesen núme-ros convencionales) sino una matriz que resulta del producto de la raíz cuadrada del número -1 (el famoso número com-plejo “i”), la matriz identidad (un arreglo tabular que tiene unos en la diagonal y ceros en cualquier otro retículo) y una de las constantes más famosas de la física contemporánea -la constante de Planck-, denotada por un símbolo que es una le-tra “h” cruzada con una barrita diagonal (dicho símbolo se lee “hache barra”, su valor numérico no es importante en este momento pero el lector lo puede hallar, si así lo desea, en cualquier libro de física cuántica). Asociado con este resultado, un cálculo adicional muestra que el pro-ducto de los errores en la medición de x y de p es siempre mayor o igual a h-ba-rra sobre 2. Si escogemos unas unidades donde h-barra sobre 2 es igual a uno ten-dremos que el producto de Error(x) con Error(p) es siempre mayor o igual a uno. Para alcanzar el valor más bajo posible de este producto, es decir “1”, está cla-ro que un valor muy pequeño de Error(p) debe ser compensado con un valor de Error(x) muy grande. Por ejemplo, diga-mos que Error(p)=0.2. ¿Por cuánto se debe multiplicar a 0.2 para que se ten-ga como resultado 1? La respuesta es 5, así que Error(x)=5, por lo que tenemos Error(x)=5 > Error(p)=0.2. El principio de incertidumbre de Heisenberg indica que una precisión muy alta en la medición de p necesariamente conlleva un error muy grande en la medición de x, y viceversa.

BiBliografía[EBe] Albert Einstein, “Correspondencia con Michele Besso (1903-1955)”, Metatemas 36, Tusquets (Barcelona 1994)[EBB] Albert Einstein, Max y Hedwig Born, “Correspondencia (1916-1955)”, Siglo XXI (México 1999)[MRO] Bogdan Mielnik and Oscar Rosas-Ortiz, “Quantum Mechanical Laws”, in Fundamentals of Physics (Ed. J.L. Morán-López), in Encyclopedia of Life Support Systems (EOLSS), Developed under the Auspices of the UNESCO, Eolss Publishers, Oxford, UK [http://www.eolss.net] [WM] Walter Moore, “Erwin Schrödinger: una vida”, Cambridge University Press (Gran Bretaña 1996). [AP] Abraham Pais, “Subtle is the Lord. The Science and life of Albert Einstein”, Oxford Univer-sity Press (Oxford 1982)[RO1] Oscar Rosas-Ortiz, “El Premio Nóbel de Física”, Conversus (Diciembre 2005-Enero 2006) 12-14 [ES] Erwin Schrödinger, “Collected papers on wave mechanics”, Blackie & Son (London 1928).[BLW] Bartel Leendert Waerden, “Sources of quantum mechanics” Dover Publications (1968).

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