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Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4

Escola Politécnica Universidade de São Paulo

Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 - Capítulo 4

Redução de Redes e

Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas

L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres


ASSOCIAÇÕES SÉRIE Req = R1 + R2 Geq = G1 . G2 G1 + G2

Leq = L 1 + L2

Ceq = C1 . C2 C1 + C2

ASSOCIAÇÕES PARALELO

Req = R1 . R2 R1 + R2 Geq = G1 + G2 Leq = L 1 . L2 L1 + L2 Ceq = C1 + C2

R1 R2

G1 G2

L1 L2

C1 C2

R1

R2

G1

G2

L2

L1

C1

C2


L 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 24ΩΩΩΩ

12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ

L

12ΩΩΩΩ

12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ

( a ) ( b )

12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ

L 12ΩΩΩΩ 12.24

12 248

+=

( c )

12ΩΩΩΩ

L 12ΩΩΩΩ 20ΩΩΩΩ

( d )

( f )

12ΩΩΩΩ

L 12.20

12 20152+

= L 12152

392

+ = ΩΩΩΩ

( e )


DIVISÃO DE TENSÃO

v2 = v0 . R2

R1 + R2 = i

DIVISÃO DE CORRENTE

i2 = i0 . G2 = i0 . R1 G1 + G2 R1 + R2 = v

R1

R2 v2 v0

i

G1 G2

i0 i2

v


FONTES EQUIVALENTES

v = es – Rs. i i = i s – v / Rp

⇒ v = Rp . i s – Rp . i

es – Rs . i = Rp. i s – Rp . i

válido para ∀∀∀∀v e ∀∀∀∀i SE :

Rp = Rs

Rp.i s = es

is Rp v

i

es v

i Rs


µµµµv

R

µµµµv R

R

R

gmv

R gmv R


FONTES POTENCIALMENTE DUAIS

FONTES ESTRITAMENTE DUAIS es = is

R = G

is G v

i

es v

i R


i

es

Rs

v is

i

Rp v

Rp = Rs es = Rp is

es

Ls

is Lp

d ( is(t) ) dt

Lp = Ls

es(t) = L

es

Cs

is Cp

Cp = Cs

is(t) = C

d ( es(t) ) dt


Teorema da Máxima Transferência de Potência

Rs fixo

Potência na carga R L :

pLmax. ocorre para RL = Rs →→→→ condição de carga casada

pv

R

e R

R RLL

s L

s L

= =+

2 2

2

.

( )

pe

RLs

smax .

=2

4 η = =p

pL

total

50%

Rendimento :

v es

Rs

RL

i

is

RL Rs


r E = 10V

R = 1

r

Pr


Tensão

a’ es

i1

a

d

c

b

i2

i3 es

i1

a

d

c

b

i2

i3

es

es

a’

i1 b

a’

es

a c i2

d i3

es

es

a

b

c d

e

is a

b

c d

e

is

is is

is

Corrente


R10

e1

R20 R30

e2 e3

R12

e1

R23

R31

e2 e3

R10 = R12 R31 R∆∆∆∆

R20 = R12 R23 R∆∆∆∆

R30 = R31 R23 R∆∆∆∆

R∆∆∆∆ = R12 + R23 + R31

R12 = R10 R20 RY

R23 = R20 R30 RY

R31 = R30 R10 RY

GY = G10 + G20 + G30

RY = 1 GY

Para R10 = R20 = R30 então Restrela = Rtriângulo 1 3


LINEARIDADE

Elemento

Linear

• HOMOGENEIDADE :

K. x(t) →→→→ K. y(t)

• ADITIVIDADE : Então :

Se : x1(t) →→→→ y1(t) x 1(t) + x 2(t) →→→→ x2(t) →→→→ y2(t) y1(t) + y2(t)

CONSEQÜÊNCIAS :

Proporcionalidade entre excitação e resposta

Superposição

K1. x1(t) + K 2. x2(t) →→→→ K1. y1(t) + K 2. y2(t)

x(t) y(t)


TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

REDE LINEAR VÁRIAS EXCITAÇÕES RESPOSTA = ∑ respostas devidas a cada gerador independente, com os demais desativados Fonte de Tensão = curto-circuito Fonte de Corrente = circuito aberto ATENÇÃO : Nunca inativar gerador vinculado


TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON

REDE LINEAR FIXA Ro = eo io = eo

io Ro

eo

Ro

v

i

io Ro v

i

R

R

R

v

i

v

i

R

is

es

Req v

i


Leon-Charles Thévenin (1857-1927)

Engenheiro telegráfico, oficial e educador francês (École Polytechnique), famoso por seu teorema publicado em 1883. Trabalhou ativamente no estudo e projeto de sistemas telegráficos (incluindo transmissão subterrânea), capacitores cilíndricos e eletromagnetismo.

Edward L. Norton (1898-1983)

Engenheiro elétrico, cientista e inventor americano, da Bell Laboratories. Propôs em 1926, na AT&T, o dual do teorema de Thévenin, para facilitar o projeto de instrumentos de gravação, operados por corrente. Realizou pesquisas nas áreas de circuitos, sistemas acústicos, telefonia e transmissão de dados. Obteve 19 patentes com seus trabalhos.


TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON

Rede “Morta” = Rede linear inativada

e0 = tensão em aberto produzida pela rede linear entre

os terminais A e B

i0 = corrente de curto produzida pela rede linear entre

os terminais A e B

Rede Linear

Rede

Arbitrária v

i A

B

B

Rede “Morta”

Rede “Morta”

Rede

Arbitrária

Rede

Arbitrária

v

v

i

i

A

A

B e0

i0

Thévenin:

Norton:


Aplicação dos Teoremas de

Thévenin e Norton

1- Circuito com Resistores e Geradores independentes:

®Calcular eo ou io com geradores ativados

®Calcular Ro com geradores desativados

2- Circuito com Resistores e Geradores vinculados (nenhum gerador independente)

® eo = io = 0

®Calcular Ro impondo tensão e calculando corrente (ou

vice-versa)

3- Circuito com Resistores e Geradores vinculados e

Geradores independentes

® Calcular eo

® Calcular io

® Calcular Ro = eo / io


ATENUADORES RESISTIVOS

• quadripolos resistivos

• tensão de saída vo é uma fração

conhecida da tensão de entrada v i

Tipos de atenuadores resistivos

• Lineares

• Logarítmicos

• Resistência característica constante

v i vo Atenuador


ATENUADOR RESISTIVO LINEAR

Atenuação com a chave na

k-ésima posição:

∑

∑

=

===f

ii

k

ii

i

kk

R

R

v

vA

1

1

Rf

Rk

R1

vi

vk

f f-1 k k-1 1


ATENUADOR RESISTIVO LOGARÍTMICO

Atenuação em decibéis (dB) com a chave

na k-ésima posição:

v i

vo

R0

R1

Rk

Rn

RF

A dBv

vko

i

( ) .log=FHGIKJ20


EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR LOGARÍTMICO

Atenuação/passo= -6 dB Dados No. passos: n=3 Resistência total: RT = 100kΩ

• Cálculo de N (atenuação por passo):

k=1 A1 = 20 logN=-6 N=0,501

• Cálculo de R0 :

R N RT0 1= −( ) = 49,9 kΩ

• Cálculo das resistências intermediárias:

R NR ii i+ = =1 0 1, ,

R N R k

R NR k1 0

2 1

25

12 53

= == =

RSTΩ

Ω,

• Cálculo de RF :

R R R R R kF T= − + + =( ) ,0 1 2 1257 Ω


ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE

Quadripolos que, terminados pela

resistência característica Rc,

apresentam à entrada a mesma

resistência Rc

Atenuação k = v2 / v1

Resistência característica: RC

RC v1 v2 RC


EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE

Atenuador em “T”

• Atenuação: k= 0,1

• Resistência característica: RT = 50 Ω Cálculo dos resistores:

Rk

kR

Rk

kR

S T

p T

= −+

= −+

=

=−

=−

=

1

1

1 0 1

1 0 150 40 91

2

1

0 2

1 0 0150 10 102

.,

,. ,

.,

,. ,

Ω

Ω

v2 v1

RT

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