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Introduzione allo studio dei
CIRCUITI ELETTRONICI
ANALOGICI
a parametri concentrati e costanti
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Esprimere correttamente un valore numerico.
• Il risultato numerico r di un calcolo o di una misura è sempre affetto da un errore del quale si può, al più, valutare un valore assoluto massimo e. In tal caso, il risultato dovrebbe essere espresso nella forma r ± e ma è ovvio che non avrebbe senso scrivere, ad esempio, 12,04321 ± 0,25 perché non si può dare nessuna fiducia a tutte le cifre che hanno peso 10, 100, 1000, … volte più piccolo di quelle già rese incerte dall'entità dell'errore. Un tale risultato sarebbe quindi correttamente espresso come 12,0 ± 0,25 o, al massimo, come 12,04 ± 0,25, cioè con 3 o al massimo 4 cifre significative.
• Allorché, come spesso avviene, dell'errore si conosce soltanto l'ordine di grandezza, è proprio il numero delle cifre significative che indica l'incertezza con cui il valore numerico in questione è noto: occorre cioèarrotondare r all' n-sima cifra significativa in modo che le prime n-1 siano da ritenersi esatte mentre l'n-sima abbia peso paragonabile all'ordine di grandezza dell'errore presunto e sia, quindi, affetta da incertezza.
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Cifre significative.
• Tutti i valori non nulli rappresentano cifre significative.
• Gli zeri compresi tra digit non nulli sono cifre significative.
• Per esempio in 4506002 = 4,506002·106 tutti gli zeri sono significativi (il numero ha 7 cifre significative).
• Gli zeri che precedono la prima cifra significativa (digit non nullo) non sono cifre significative.
• Per esempio in 0,0012=1,2 ·10-3, gli zeri non sono cifre significative (il numero ha 2 sole cifre significative).
• Gli zeri finali sono significativi solo se è presente la virgola (o punto decimale).
• Per esempio in 13900=13,9 ·103 gli zeri non sono significativi (il numero ha 3 sole cifre significative), ma in 13900,0=13,9000 ·103
tutti gli zeri sono significativi (il numero ha 6 cifre significative).
Arrotondamenti.
• Se il numero da arrotondare è intero, l'arrotondamento all'n-esima cifra significativa consiste nel sostituire con zeri tutte le cifre successive, lasciando l'n-esima inalterata se l'(n+1)-sima è minore di 5 ma aumentandola di una unità se l'(n+1)-sima cifra è maggiore o uguale a 5.
• Se il numero da arrotondare è decimale, l'arrotondamento all'n-sima cifra significativa consiste nel sopprimere tutte le cifre successive, lasciando l'n-esima inalterata se l'(n+1)-sima è minore 5 ma aumentandola di una unità se l'(n+1)-sima cifra è maggiore o uguale a 5.
• Per esempio, il numero 1,23 rappresenta qualunque numero dell'intervallo [1,225 —1,23499999999…[ ≅ 1,23±0,005 .
4
In questo corso si conviene che i risultati dei calcoli delle prove scritte debbono
essere espressi con3 cifre significative.
Il modo più semplice per non sbagliare è di usare la notazione esponenziale
(scientifica o ingegneristica) come in1,23·10 x.
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Multipli e sottomultipli.
• Nota: i simboli Y, Z, ecc… si possono intendere come prefissi di un'unità di misura con i quali si indicano multipli e sottomultipli della stessa, ma anche come simboli sostitutivi dei fattori 1024, 1021, ecc. in qualunque calcolo.
• Per esempio: 6m/2n = 3M.
Fattore Nome Simbolo1024 yotta Y1021 zetta Z1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 chilo k10-3 milli m10-6 micro µ10-9 nano n10-12 pico p10-15 femto f10-18 atto a10-21 zepto z10-24 yocto y
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Circuito elettr(on)ico
• È un sistema fisico di cui si vogliono studiare le proprietà elettromagnetiche.
• Viene detto elettronico anziché elettrico quando include uno o più dispositivi tipicamente elettronici (diodi, transistori, fotocelle, … ).
• Lo studio completo consiste nello studio del sistema fisico (osservazioni, misure, esperimenti di laboratorio...) e nello studio di un opportuno modello matematico (elaborazione, manuale e su computer, di relazioni fra variabili e costanti che rappresentano grandezze fisiche); in questo corso ci si occupa quasi esclusivamente di questo secondo aspetto.
• Il progetto si effettua iterando analisi del modello alternate a modifiche dei parametri e/o del modello stesso, fino a ottenere un teorico soddisfacimento delle specifiche assegnate.
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Circuiti elettr(on)ici analogici a parametri concentrati.
• Nel caso dei circuiti oggetto di questo testo, le idee fondamentali che conducono al modello possono essere così riassunte:
1. Si opera nell’ambito della fisica classica, trascurando quindi ogni effetto quantistico e relativistico;
2. Si rappresentano le grandezze fisiche mediante funzioni a valorireali, generalmente derivabili quante volte si vuole, di quattrovariabili reali che rappresentano tre coordinate spaziali e il tempo [ciò definisce un modello analogico a parametri distribuiti, per il quale si dovranno scrivere, in generale, delle relazioni differenziali alle derivate parziali; i modelli digitali utilizzano invece funzioni i cui valori appartengono a un insieme discreto];
3. Si limita l’interesse ai fenomeni elettromagnetici modellati dalle equazioni di Maxwell e dalle equazioni che descrivono le proprietà elettromagnetiche della materia [ma in un progetto completo di circuito elettronico si dovranno a un certo punto anche "fare i conti" con problemi, e quindi con modelli, termici e meccanici]. Mediante un’approssimazione quasi-stazionaria si trascurano i fenomeni di irradiazione e propagazione del campo elettromagnetico, cosicché, inoltre, la sua densità di energia risulta pari alla somma di una densità di energia elettrica e di una densità di energia magnetica;
4. Mediante un’approssimazione ”regionale” [quando un certo fenomeno fisico ha importanza prevalente in certe regioni dello spazio e minore in altre, si possono considerare modelli in cui il fenomeno viene completamente trascurato in tutte le regioni in cui ha minor importanza, introducendo quindi delle discontinuità sui contorni; tali approssimazioni si sono dimostrate utili in molti e diversificati contesti], l’energia elettrica si considera non nulla soltanto in certe regioni, limitate, dello spazio (condensatori), l’energia magnetica in altre (induttori); in altre ancora si considerano concentrate la dissipazione di energia elettrica in calore ceduto all'ambiente esterno al circuito (resistori) e la cessione di energia elettrica da parte di sistemi fisici esterni al circuito (generatori).
5. Tutto ciò consente di sostituire alle funzioni del punto e del tempo un insieme di funzioni solo del tempo e quindi alle relazioni differenziali alle derivate parziali delle relazioni differenziali alle derivate ordinarie rispetto al tempo [con ciò si ottiene il modello circuito elettr(on)ico a parametri concentrati].
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D'ora in poi con il vocabolo circuito si indicherà un modello di circuito a parametri concentrati,
supponendo inoltre che i parametri che definiscono i
modelli di tutti i componenti siano costanti nel tempo.
[Circuito elettronico a parametri concentrati e
costanti].
9
Descrizione di un circuito.
• Può essere− Grafica (schema elettrico): la topologia determina le
relazioni di Kirchoff mentre i simboli grafici presenti nei rami sono associati alle relazioni costitutive dei (modelli di) componenti che rappresentano; è praticamente indispensabile per scrivere le equazioni del circuito, però il file ha notevoli dimensioni ed è utilizzabile solo dal simulatore con cui è stato generato;
− Alfanumerica (netlist): fa uso di un opportuno linguaggio (il più noto e diffuso è quello di SPICE); È poco adatta per scrivere direttamente le equazioni ma il file ha piccola dimensione ed è facilmente utilizzabile da diversi simulatori.
• Esempio:
VE 1 0 DC 5VR1 1 2 2KD1 2 0 nome del modello.MODEL nome del modello D [parametri ]R2 2 0 1K
E
R1
R2D1
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Suggerimenti per scrivere le equazioni di un circuito - 1.
• Bisogna cercare di scrivere equazioni che siano facilmente identificabili osservando la descrizione grafica del circuito e di mantenere il loro numero (e quindi il corrispondente numero delle incognite) il più piccolo possibile.
• A tale scopo conviene fare riferimento alle equazioni nodali e alle equazioni nodali modificate (anche diversi simulatori di circuiti, tra i quali SPICE, utilizzano una procedura sistematica per determinare un sistema di tali equazioni). Si proceda allora come segue.
• Fra gli n nodi del circuito se ne sceglie uno come nodo di riferimento (massa, terra) e lo si chiama 0 (zero).
• Gli altri n-1 nodi vengono numerati in ordine arbitrario. Le tensioni fra questi e il nodo di riferimento sono le n-1tensioni di nodo. Si scrivono le relazioni di Kirchoff per le correnti relative a tali n-1 nodi, utilizzando, per quanto possibile, le relazioni costitutive dei rami per esprimere le correnti in funzione delle tensioni di nodo.
• Se ciò è possibile, si ottiene un sistema di n-1 equazioni nodali con incognite le n-1 tensioni di nodo; una volta risolto il sistema, dalla conoscenza delle tensioni di nodo, dalle relazioni di Kirchoff per le maglie e dalle relazioni costitutive dei rami si possono ricavare tutte le altre grandezze incognite.
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Suggerimenti per scrivere le equazioni di un circuito - 2.
• Per esempio l'equazione del nodo 2 dello schema sottostante è
321R3
4
R2
R1
0
1 2 4 2 3 2
1 2 30V V V V V V
R R R− − −+ + =
e nelle equazioni dei nodi 1, 3, 4, appariranno ancora le incognite V1, V3, V4.
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Suggerimenti per scrivere le equazioni di un circuito - 3.
• Si noti però che− I nodi che congiungono solo due bipoli possono spesso
essere trascurati considerando un unico ramo con i due bipoli in serie, eliminando così una equazione e unaincognita;
− Se un ramo contiene un generatore indipendente di tensione, esso rende nota una tensione di nodo oppure la differenza fra due tensioni di nodo: è facile quindi eliminare un'equazione e un'incognita.
• Spesso però risulta scomodo attenersi rigorosamente alle equazioni nodali e conviene invece includere fra le incognite anche qualche corrente di ramo e includere fra le equazioni le corrispondenti relazioni costitutive dei rami interessati, anche se così facendo si ottiene un sistema di equazioni un po' più grande. Si parla allora di equazioni nodali modificate. − In particolare, le equazioni nodali modificate possono
essere utili quando il circuito contiene rami controllati da una corrente e quando si scrivono le equazioni differenziali di un circuito che contiene induttori.
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Suggerimenti per scrivere le equazioni di un circuito - 4.
• Altro esempio: equazioni nodali modificate per il nodo 2 dello schema sottostante.
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1L
4
R1
0
h
1 2
1
3 2
0
0
L
L
V V h IR
dIV V Ldt
− − + =
− − =
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Tensioni di nodo e schemi elettrici -1.
• L'uso sistematico delle tensioni di nodo ha prodotto delle convenzioni grafiche che influiscono sulla struttura degli schemi elettrici.
• Per la corretta interpretazione di uno schema elettrico occorre, in particolare, tenere presente che− Uno stesso nome, numero o simbolo ripetuto in
corrispondenza di quelli che sembrano esere nodi distinti indica invece che si tratta di un unico nodo, cui è ovviamente associata un'unica tensione di nodo;
− In tal caso, è sufficiente che il nome di tale tensione appaia presso una sola delle diverse rappresentazioni grafiche del nodo;
− Il simbolo grafico di un generatore di tensione che abbia un terminale coincidente con il nodo di riferimento può essere sostituito con l'indicazione del valore (numerico o simbolico) e della polarità posti accanto al nodo cui è connesso l'altro terminale.
• Si vedano gli esempi seguenti.
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Tensioni di nodo e schemi elettrici -2.
E
R1
R2D1
2
=E
R1R2
D1
21
=
E
R1
R2D1
R
E
R1R2D1
R
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Analisi di un circuito elettronico.
• Soltanto nell'analisi numerica automatica (simulazione) occorre risolvere l'intero sistema di equazioni che descrive un circuito completo (cioè elettricamente isolato).
• Nelle prime fasi del progetto occorre invece operare con carta e penna su strutture e modelli quanto più semplici possibile, altrimenti si perde di vista l'influenza dei singoli componenti sul comportamento globale, e quindi non si sa come apportare via via le modifiche necessarie.
• Occorre pertanto− Aver studiato e conoscere bene le proprietà di un buon
numero di componenti ( o sottocircuiti) relativamente semplici,
− Saper suddividre il circuito in componenti noti.− Individuare le equazioni che esprimono i vincoli che la
struttura del circuito impone ai suoi componenti.
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I segnali nella realtà fisica.
• Ogni sorgente di informazione trasmette le informazioni agli utilizzatori facendo variare una grandezza fisica che sia da essi misurabile.
• L'utilizzatore può acquisire informazione se− Non conosce a priori le variazioni che gli pervengono, − Conosce i valori di riferimento rispetto ai quali deve
valutare le variazioni,− Conosce la convenzione secondo cui alle variazioni
viene attribuito un significato.
• A tali variazioni viene dato il nome di segnali.
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I segnali nei circuiti elettronici.
• Sono rappresentati dalle grandezze elettriche impresse di generatori indipendenti.
• I circuiti che elaborano segnali contengono quindi uno o più generatori indipendenti le cui grandezze impresse rappresentano i segnali da elaborare, detti segnali di ingresso. Tali circuiti sono detti non autonomi.
• Per estensione, però, sono dette "segnali" anche le variazioni che non recano informazione ma che i circuiti elettronici debbono elaborare o generare, in particolare tutte le variazioni periodiche (sinusoidi, onde quadre, onde triangolari, ecc.).
• I circuiti autonomi non contengono generatori di segnale. Ciò si verifica per tutti i circuiti nelle fasi di studio in cui ci si occupa soltanto dei valori di riferimento e, in ogni fase di studio, per i circuiti che debbono generare ma non elaborare segnali.
• Un qualunque segnale che abbia interesse considerare come risultato dell'azione del circuito viene detto segnale di uscita.
• Il sottocircuito che rappresenta l'utilizzatore viene detto anche carico.
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Valori di riferimento.
• I valori di riferimento possono anche essere tutti nulli se le relazioni costitutive del sistema di elaborazione interposto fra sorgente e utilizzatore sono− tutte lineari (filtri passivi, mezzi trasmissivi lineari... ),− anche non lineari ma proprio del tipo giusto per
eseguire la desiderata elaborazione non lineare (raddrizzatori, per esempio).
• Il più delle volte, però, una conseguenza della nonlinearità delle relazioni costitutive dei dispositivi elettronici è che tali relazioni risultano adatte a espletare la voluta elaborazione di segnale soltanto se le grandezze elettriche assumono valori interni a opportuni intervalli limitati.
• Occorre allora assegnare dei valori di riferimento pressoché centrati in ciascuno degli intervalli, in modo che i segnali che vi si debbono sovrapporre non portino mai i dispositivi a operare esternamente ad essi. Occorre cioè, come si suol dire, polarizzare i dispositivi.
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Polarizzazioni.
• Pertanto, i valori di riferimento sono comunemente chiamati anche valori di polarizzazione o polarizzazioni. In generale non è indispensabile che siano costanti nel tempo ma il caso più frequente, e l'unico trattato in questo corso, è quello delle polarizzazioni costanti.
• Per ottenere le polarizzazioni volute occorre, in generale, che il circuito contenga delle sorgenti di energia rappresentate dai generatori (indipendenti) di polarizzazione. Si tratterà quindi di generatori di tensione o di corrente costanti le cui grandezze impresse sono parametri necessari per definire la struttura del circuito, cosìcome le resistenze, le capacità, ecc.
• Una fase in cui si studiano solo le polarizzazioni è quasi sempre indispensabile o almeno di grande utilità; in tal caso si ha a che fare con un circuito autonomo in cui sono presenti solo generatori costanti: si dice allora che si studia il circuito in corrente continua ovvero il circuito equivalente per le polarizzazioni ovvero il circuito a riposo, cioè− Con gli induttori e i generatori di tensione di segnale
sostituiti da cortocircuiti,− Con i condensatori e i generatori di corrente di segnale
sostituiti da rami aperti.
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Circuito equivalente per i segnali.
• Per completare lo studio del circuito è allora sufficiente e conveniente considerare il cosiddetto circuito equivalente per i segnali.
• Infatti, ciascuna variabile X(t)=Xop+x(t) delle equazioni del circuito può essere considerata come somma del suo valore di riposo, cioè del valore Xop che assume in assenza di segnali, con il segnale x(t).
• Poiché i valori di riposo sono noti dalla fase di studio precedente, essi appaiono nelle equazioni alla stregua di parametri: le uniche incognite sono segnali e le equazioni sono interpretabili come equazioni fra segnali: la loro descrizione grafica rappresenta appunto il circuito equivalente per i segnali.
• Interpretando le variabili del circuito come coordinate di uno spazio cartesiano pluridimensionale, considerare il circuito equivalente per i segnali equivale a traslare gli assi coordinati in modo che l'origine vada a coincidere con il punto di riposo, cioè con il punto che ha come coordinate i valori di riposo.
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Segnali e polarizzazioni.
Il circuito a riposo:V2op=V3op=EIRop=(Viop-V2op )/R...
Il circuito equivalente per i segnali:f(v2)=F(V2op+v2)-F(V2op)v3=V3-V3op=E-E=0...
Un circuito3
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L
R C
I=F(V2)Vio+vi
E
R
3
21
L Ci = f(v2)
vi
Viop
3
21
R
Iop=F(V2op)
E
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Piccoli segnali (linearizzazione).
( )
( )
Si consideri una relazione costitutiva frauna variabile dipendente Y e una variabile indipendente X:
. Si separino i valori di polarizzazione dai segnali:
- - -
X Y X
y Y Y Y X Y X Y X xop op op
•
→•
= = = +
( ).
Se le variazioni di e , cioè i segnali e , vengono sempre mantenuteabbastanza piccole, il rapporto incrementale può essere approssimatocon la derivata calcolata nel punto di
Y X y xopX Y x y
y x
=
•
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
riposo,
cioè con il ' :
- ' .-
La relazione costitutiva, in generale non lineare, ( ) dà quindi origine alla relazione fra piccoli
p Y Xo
Y X x Y X dY Xy o o Y X p Xo ox X Xo dX X XoY Y X
=
+ = = =
=
• =
parametro differenzale
segnali · .y p x=
p. s.Y = Y(X) y = p(Xo)·xIn sintesi:
• Le rappresentazioni grafiche delle relazioni fra piccoli segnali sono dette circuiti equivalenti per i piccoli segnali.
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Che cosa fa un circuito elettronico.
• Le funzioni specifiche che un circuito elettronico può svolgere sono così numerose che non vale la pena di tentarne un elenco completo. È più utile fissare l'attenzione su pochi principi generali:− La funzione di un circuito non autonomo può sempre
essere considerata una elaborazione di segnali, cioè un insieme di operazioni effettuate sui segnali di ingresso per ottenere i desiderati segnali di uscita;
− Nella maggior parte dei casi, tale elaborazione viene svolta utilizzando una conversione di energia/potenza; si verifica cioè un prelievo di energia/potenza dai generatori di alimentazione e la cessione di una parte di essa al carico (il circuito o l'apparato che utilizza i segnali di uscita) secondo modalità (cioè con forme d'onda) controllate dai segnali di ingresso (l'ambiguità energia/potenza dipende dai segnali, essi infatti possono essere a energia finita o a potenza finita);
− Un circuito autonomo è un generatore di segnali, non ha segnali di ingresso, utilizza la conversione di energia per produrre grandezze dotate di specifiche forme d'onda.
− Gli scambi di energia fra diversi sottocircuiti avvengono attraverso coppie di terminali dette porte, a ciascuna delle quali è associata una tensione e una corrente.
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Amplificazione.
• La conversione di energia/potenza consente di effettuare, in particolare, la più fondamentale delle elaborazioni elettroniche di segnali: l'amplificazione.
• Per definizione, si ha amplificazione se il carico riceve una energia/potenza maggiore di quella erogata dal generatore di segnali di ingresso.
• Un circuito che realizza tale funzione viene detto amplificatore. ed è generalmente costituito da un generatore di segnale, uno o più generatori di alimentazione, un carico e un 3-porte (dispositivo o componente o sottocircuito amplificatore) che li connette.
• Pertanto, ad esempio,− i trasformatori elettrici non sono dispositivi
amplificatori,− gli interruttori, i relè, i transistori sono dispositivi
amplificatori.
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Circuiti a parametri concentrati e costanti.
• Sono dunque descritti da un sistema, in generale non lineare, di equazioni differenziali alle derivate ordinarie rispetto al tempo e a coefficienti costanti.
• Nelle equazioni appaiono quindi− Funzioni assegnate del tempo, in particolare costanti,− Funzioni del tempo che sono funzioni di una o più altre
funzioni del tempo,− Derivate rispetto al tempo di funzioni del tempo,− Somme algebriche delle precedenti.
• Il sistema può (e di fatto deve, per poter scrivere le equazioni) essere rappresentato graficamente dallo schema elettrico nel quale le somme algebriche che derivano dalle leggi di Kirchoff sono indicate dalla topologia, cioè dal modo in cui sono collegati (con linee equipotenziali) i diversi componenti, i quali sono simboli grafici che rappresentano relazioni costitutive ottenute con le operazioni sopra elencate.
• Segue una descrizione dei principali componenti.
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Bipoli normali (lineari) - 1.
• Bipoli normali autonomi in regime sinusoidale di prefissata pulsazione ω0.− La relazione costitutiva è V=Z·I oppure I=Y·V, ove V e
I sono i fasori associati alla tensione e alla corrente sinusoidali, rispettivamente, mentre Z e Y sono numeri complessi detti impedenza e ammettenza, rispettivamente, che soddisfano la relazione Z·Y=1. Poiché il prodotto di due numeri complessi ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei fattori e argomento uguale alla somma degli argomenti dei fattori, ne risulta, ad esempio, che una corrente I1·cos(ω0 t+α) dà luogo alla tensione |Z|·I1·cos(ω0 t+α+∠Ζ).
• Bipoli normali autonomi soggetti a grandezze trasformabili secondo Fourier.− La relazione costitutiva è V(jω)=Z(jω)·I(jω) oppure
I(jω)=Y(jω)·V(jω), ove V(jω) e I(jω) sono le F-trasformate della tensione e della corrente, rispettivamente, mentre Z(jω) e Y(jω) sono funzioni complesse della variabile immaginaria jω dette impedenza e ammettenza, rispettivamente, che soddisfano la relazione Z(jω)·Y(jω)=1. Risulta inoltre che i numeri complessi Z(jω0) e Y(jω0) coincidono con i numeri complessi Z e Y del punto precedente.
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Bipoli normali (lineari) - 2.
• Bipoli normali autonomi soggetti a grandezze trasformabili secondo Laplace e che all'istante t=0 si trovano nello stato zero (energia elettrica e magnetica nulle).− La relazione costitutiva è V(s)=Z(s)·I(s) oppure
I(s)=Y(s)·V(s), ove V(s) e I(s) sono le L-trasformate della tensione e della corrente, rispettivamente, mentre Z(s) e Y(s) sono funzioni complesse della variabile complessa s dette impedenza generalizzata e ammettenza generalizzata, rispettivamente, che soddisfano la relazione Z(s)·Y(s)=1. Risulta inoltre che le funzioni Z(jw) e Y(jw) ottenute imponendo Re{s}=0 coincidono con le funzioni citate al punto precedente.
• Bipoli normali non autonomi.− In tutte le situazioni sopra citate, la relazione costitutiva
è di tipo affine e può essere scritta nella forma di Thèvenin V= Vca+Z·I oppure nella forma di Norton I=Icc+Y·V.
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Relazioni costitutive dei bipoli fondamentali-1.
1. La tensione non dipende dalla corrente ma è una funzione assegnata del tempo: generatore indipendente di tensione. Casi particolari:− Generatore di tensione costante− Cortocircuito
2. La corrente non dipende dalla tensione ma è una funzione assegnata del tempo: generatore indipendente di corrente. Casi particolari:− Generatore di corrente costante− Ramo aperto
I(t)
I(t)
V(t)
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Relazioni costitutive dei bipoli fondamentali-2.
• Il valore istantaneo della tensione è funzione del valore assunto dalla corrente nel medesimo istante: resistore a controllo di corrente. Casi particolari:− Tensione proporzionale alla corrente: resistore normale
• Il valore istantaneo della corrente è funzione del valore assunto dalla tensione nel medesimo istante: resistore a controllo di tensione. Casi particolari:− Corrente proporzionale alla tensione : resistore
normale
I(t)
I(t)
V(t)
31
Relazioni costitutive dei bipoli fondamentali-3.
• La corrente è la derivata rispetto al tempo di una carica elettrica che è funzione della tensione: condensatore. Casi particolari:− Carica proporzionale alla tensione : condensatore
normale
• La tensione è la derivata rispetto al tempo di un flusso di induzione magnetica che è funzione della corrente: induttore. Casi particolari:− Flusso proporzionale alla corrente: induttore normale.
I(t)
I(t)
V(t)
32
Generatori indipendenti di tensione.
• Modellano la cessione di energia elettrica al circuito; La potenza istantanea erogata è p(t) = -v(t)⋅i(t).
• Impongono fra 2 nodi una tensione indipendente dalla corrente scambiata fra i nodi stessi. Tale tensione viene detta tensione impressa.
• Un generatore di tensione con tensione impressa nulla pone i 2 nodi in cortocircuito.
• Rappresentazione alfanumerica:
− Vxxxxxxx N+ N- [DC valore AC valore SIN(…) PULSE(…) PWL(…) …]
I(t)
V(t) = E(t) ∀ I(t)E(t)
E V = E = cost. ∀ I(t)
I(t)
V=0 ∀ I(t)
I(t)
33
Generatori indipendenti di corrente.
• Modellano la cessione di energia elettrica al circuito; La potenza istantanea erogata è p(t) = -v(t)⋅i(t)
• Impongono in un ramo una corrente indipendente dalla tensione fra i suoi nodi. Tale corrente viene detta corrente impressa.
• Un generatore di corrente con corrente impressa nulla è un ramo aperto.
• Rappresentazione alfanumerica:− Ixxxxxxx N+ N- [DC valore AC valore SIN(…)
PULSE(…) PWL(…) …]
V(t)
I(t) = H(t) ∀ V(t)
H(t)
I=0 ∀ V(t)
V(t)H
I = H = cost. ∀ V(t)
V(t)
34
Resistori.
• Rappresentazione alfanumerica del resistore normale:− Rxxxxxxx N+ N- valore
I(t)
V(t) = F[I(t)]
I(t)
I(t) = F[V(t)]
V(t) = R·I(t)I(t) = G·V(t)R·G = 1
I(t)
V(t)
35
Resistori (segue).
• Passivo: modella la dissipazione di energia elettrica in calore; il grafico della relazione costitutiva nel piano cartesiano {V, I} passa per l'origine degli assi ed è tutto contenuto nel 1o e nel 3o quadrante.
• Attivo: può modellare qualunque bipolo non reattivo (cioè incapace di immagazzinare energia elettrica o magnetica e quindi privo di memoria e adinamico) che contenga anche sorgenti di energia. Ma se non èasintoticamente passivo, implica la possibilità di generare una potenza infinitamente grande e non è, quindi, fisicamente realizzabile: occorre allora cautela se lo si vuole usare nel modello di un circuito.
• Normale: la relazione costitutiva è lineare (legge di ohm: V(t)=±R·I(t) o I(t)=±G·V(t), R>0, G>0, R·G=1, i segni dipendono dalle convenzioni sui versi positivi di V e I).− I dispositivi fisici che approssimano il
comportamento del resistore normale possono essere realizzati con diverse tecnologie: fili metallici, strati di metalli o di semiconduttori policristallini deposti su substrati isolanti, strati di opportune miscele con varie resistività deposti su substrati isolanti, regioni di semiconduttori monocristallini.
36
Resistori (segue).
• Un qualunque sottocircuito a 2 terminali che non contenga elementi reattivi è un resistore.
• Un resistore attivo del tipo "a controllo di corrente" per il quale in realtà i valori della corrente non influiscono sui valori della tensione coincide con un generatore indipendente di tensione.− Poiché la tensione rimane diversa da zero anche se la
corrente tende all'infinito, non è asintoticamente passivo, tuttavia la serie di un generatore di tensione indipendente e di un resistore normale con resistenza comunque piccola ma non nulla è asintoticamente passivo e può quindi modellare un generatore reale.
• Un resistore attivo del tipo "a controllo di tensione" per il quale in realtà i valori della tensione non influiscono sui valori della corrente coincide con un generatore indipendente di corrente.− Poiché la corrente rimane diversa da zero anche se la
tensione tende all'infinito, non è asintoticamente passivo, tuttavia il parallelo di un generatore di corrente indipendente e di un resistore normale con conduttanza comunque piccola ma non nulla è asintoticamente passivo e può quindi modellare un generatore reale.
37
Condensatori.
• Bipolo utile per modellare la presenza di energia potenziale elettrica (è quindi reattivo, dinamico, con memoria).
• Rappresentazione alfanumerica del condensatore normale:− Cxxxxxxx N+ N- valore
I(t)
Q(t) = F[V(t)]+Q
-Q
V(t)
I(t)
Q(t) = C·V(t)+Q
-Q
V(t)
dQ t dF V t dV tI tdt dV t dtdV tC V tdt
dQ t dV tI t Cdt dt
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Induttori.
• Bipolo utile per modellare la presenza di energia potenziale magnetica (è quindi reattivo, dinamico, con memoria).
• Rappresentazione alfanumerica dell'induttore normale:− Lxxxxxxx N+ N- valore
I(t)
Φ(t) = L·I(t)V(t)
I(t)
Φ(t) = F[I(t)]V(t)
( )( ) ( )[ ]
( )
( )
( )[ ]( )
d t dF I t dI tV t
dt dI t dtdI tL I tdt
Φ= = =
=
( )( ) ( )d t dI t
V t Ldt dtΦ= =
39
Esempi di circuiti equivalenti per piccoli segnali.
V
I
resistore anomalo resistore normale
v
i
r=1/g
La resistenza differenziale r e la conduttanza differenziale g sono funzioni dei valori di riposo Io, Vo,
condensatore anomalo condensatore normalep. s.
V
I
+Q(V)
-Q(V)v
i
C(Vo) ( ) ( )( )
odv ti t C Vdt
=
p. s.
p. s.
p. s.
40
Struttura schematica di un diodo a giunzione p+/n.
p-Si
Silicio monocristallino nel cui reticolo un atomo di Si ogni 103÷105 è sostituito da
un atomo di B (o altro elemento trivalente)
n-Si
Silicio monocristallino nel cui reticolo un atomo di Si ogni 106÷108 è sostituito da
un atomo di P (o altro elemento pentavalente)
giunzione
41
Modelli resistivi dei diodi.
• Modello a soglia nulla:I = 0 per V ≤ 0V = 0 per I ≥ 0
• Modello a soglia:I = 0 per V ≤ VγV = Vγ per I ≥ 0
• Modello a soglia e resistenza:I = 0 per V ≤ VγV = Vγ + RSּI per I ≥ 0
• Modello esponenziale:I = IS (eV/Vt -1) ovveroV = Vt ln(1+I/IS)
• Modello esponenziale con coefficiente di emissione:I = IS (eV/NVt - 1) ovveroV = N Vt ln(1+I/IS)
• Modello esponenziale con coefficiente di emissione e resistenza:V = N Vt ln(1+I/IS) + RS I.
diodoV
I
Sono resistori che conducono molto meglio in un senso che nell'altro.
42
D
Vi RVu
I
−4 −2 2 4Vi
1
2
3
4
5
Vu
−T2
−T4
T4
T2
t
−4
−2
2
4
V
−π −π2
π2
πα
−4
−2
2
4
V
Esempi di applicazioni dei diodi. Raddrizzatore a semionda.
43
Esempi di applicazioni dei diodi. Raddrizzatori a onda intera(o a
doppia semionda).
Vi IVi I
−4 −2 2 4Vi
1
2
3
4
5
Vu
−π −π2
π2
π
−4
−2
2
4
44
Un circuito suddiviso in due bipoli.
• La separazione in due bipoli significa che si vogliono calcolare innanzitutto le incognite V(t) e I(t) che appaiono nelle equazioni del circuito.
• È utile se almeno un bipolo è già conosciuto e/o particolarmente semplice.
• Il bipolo A è in generale descritto da nA equazioni in V(t), I(t) e nA-2 altre funzioni incognite "interne"; analogamente per il bipolo B, ovviamente nA+nB=n.
• In particolare può avvenire che le variabili interne possano essere eliminate dando luogo, per almeno un bipolo, a una relazione costitutiva in V(t) , I(t).
• Anche se ciò non è, come in generale non è, possibile, al fine del bilancio equazioni/incognite possiamo supporre che a ciascun bipolo sia associata una relazione costitutiva fra tensione e corrente.
= V(t)
I(t)
I(t)
Bipolo A
Bipolo B
Circuito connesso e completo,descritto da un sistema di n
equazioni differenziali, in generale non lineare, in n funzioni del tempo
che rappresentano grandezze elettriche incognite, avente una
soluzione unica.
45
Principio di sostituzione - 1.
• Supponiamo di aver risolto il sistema di n equazioni, di aver cioè determinato quell'insieme di n funzioni del tempo che, sostituito nelle equazioni, produce delle identità, e siano Vs(t) e Is(t) le soluzioni corrispondenti alle incognite V(t) e I(t).
• Il sistema che si ottiene sostituendo a ciascuna incognita la corrispondente soluzione è un sistema di n identità ed è ovviamente equivalente al sistema di 2n relazioni che si ottiene aggiungendo alle n equazioni originarie le nuguaglianze del tipo V(t)=Vs(t).
• Il sistema che si ottiene sostituendo a n-1 delle incognite le corrispondenti soluzioni è un sistema con una incognita costituito di n relazioni delle quali n-1 sono identità oppure duplicati dell'n-esima: la sua soluzione fornisce ovviamente quella medesima funzione che non era stata sostituita. Tale sistema è equivalente al sistema di 2n-1relazioni che si ottiene aggiungendo alle n equazioni originarie le n-1 uguaglianze del tipo V(t)=Vs(t).
• ....• Il sistema che si ottiene sostituendo a V(t) la
corrispondente soluzione Vs(t) è un sistema con n-1incognite costituito di n relazioni delle quali una è un'identità oppure un duplicato di una delle altre: la sua soluzione fornisce ovviamente quelle medesime n-1funzioni che non erano state sostituite. Tale sistema è equivalente al sistema di n+1 relazioni che si ottiene aggiungendo alle n equazioni originarie l'uguaglianza V(t)=Vs(t).
46
Principio di sostituzione -2.
• La risoluzione deve fornire I(t)=Is(t).• La corrente nel generatore di tensione è nulla.• Ai fini del calcolo di I(t) uno qualunque dei due bipoli può
essere soppresso perché si trova in parallelo a un generatore di tensione che determina da solo la tensione ai suoi capi: cambia solo la corrente nel generatore e le equazioni relative al bipolo soppresso sono superflue.
• In termini più semplici, anche se meno generali:− le 2 relazioni costitutive dei bipoli consentivano di
calcolare V(t)=Vs(t) e I(t)=Is(t);− I(t)=Is(t) si può ottenere anche da una sola delle due
relazioni costitutive associata alla V(t)=Vs(t).• Si può anche considerare il caso duale sostituendo la
corrente per calcolare la tensione.
Questa è la rappresentazione grafica del sistema di equazioni considerato alla fine della precedente diapositiva: l'aggiunta del generatore di tensione rappresenta l'aggiunta dell'equazione V(t)=Vs(t).
Vs (t)
I(t)
A B
I(t)
47
Principio di sostituzione:conclusione.
• Considerando uno qualunque dei due bipoli in uno qualunque dei due circuiti sovrastanti si possono ricavare le relazioni costitutive da impiegare nella risoluzione del circuito ottenuto connettendo tra loro i due bipoli.
V(t)
I(t)
V(t)I(t)
48
Non solo bipoli.
• Lo sviluppo dell'Elettronica è fondato sull'invenzione di quei dispositivi la cui principale funzione è di rendere la corrente in un ramo dipendente dalla tensione fra due nodi che non siano entrambi estremi del medesimo ramo.
• Tali dispositivi sono stati inizialmente realizzati con la tecnologia dei tubi a vuoto (triodi, tetrodi, pentodi, …) e successivamente con le tecnologie dello stato solido (transistori).
• Con i bipoli descritti in precedenza si possono costruire molti utili (modelli di) circuiti, ma le relazioni fra tensioni e correnti associate a coppie di nodi o a rami diversi possono essere soltanto quelle che risultano dalla topologia, manca cioè la flessibilità necessaria per costruire modelli tipici dei circuiti elettronici.
• Nell'analisi di un circuito mediante suddivisione in sottocircuiti componenti è spesso utile considerare componenti a più di due terminali.
49
Componenti n-polari.
• Convenzioni: Ik indica la corrente entrante dal terminale k nel componente in esame, Vhl indica la tensione fra il terminale h e il terminale l, Vk indica la tensione nodale del terminale k.
Le relazioni costitutive coinvolgono, eventualmente insieme ad altre variabili "interne", le correnti Ik(t) e le tensioni Vhl(t) oppure le tensioni Vk(t). Le leggi di Kirchoff impongono peròI1(t) + I2(t) + … Ik(t) + … In(t) = 0V12(t) + V23(t) + … Vn-1,n(t) + Vn1(t) = 0Quindi solo n-1 correnti e n-1 tensioni sono linearmente indipendenti.Dunque i componenti a n terminali sono rappresentazioni grafiche di n-1 relazioni costitutive fra n-1 correnti e n-1tensioni.
1
23
k
n-1
n
0
50
Circuiti connessi e completi con un componente n-polare ed n bipoli.
• Incognite: n tensioni di nodo + n correnti.
• Equazioni: n costitutive dei bipoli + 1 KCL + n-1costitutive dell’n-polo.
1
2k
n
0
• Incognite: n tensioni + n correnti dei bipoli + n correnti dell’n-polo.
• Equazioni: n costitutive dei bipoli + n KCL + 1 KVL + n-1costitutive dell’n-polo.
1
2
k
n
51
Doppio bipolo o 2-porte.
• Si può ottenere dal caso precedente con n=4 e 2 dei 4bipoli costituiti da un ramo aperto.
• Delle 3 relazioni costitutive del componente a 4 terminali se ne usano 2 avendo utilizzato la terza per eliminare una tensione (V12 o V34)
• Si può considerare una generalizzazione del bipolo: è un componente tetrapolare con i 4 terminali suddivisi in 2 coppie che si comportano come porte (corrente entrante in un terminale = corrente uscente dall'altro).
• Un qualunque circuito elettricamente isolato in cui sia messo in evidenza un 2-porte ha la struttura rappresentata in figura.
I1
I1
V1=V13
I2
I2
V2=V24
1
3
2
4
52
Doppio bipolo o 2-porte per elaborazione di segnali.
• Il bipolo G è non autonomo perché include il generatore di segnale.
• Il bipolo C è il carico ed è autonomo (non contiene generatori indipendenti).
• Se è simmetrico, non fa differenza se si scambia la porta diingresso con quella di uscita.
• Se è reciproco, si possono scambiare IN con OUT ottenendo due diverse elaborazioni di segnale.
• Se è non reciproco, la scelta delle porte di ingresso e di uscita utile per elaborare segnali è univoca.
• Se è unilaterale (e quindi anche non reciproco), le grandezze di ingresso non dipendono dal bipolo connesso alla porta di uscita.
• Tutti i doppi bipoli normali passivi (RLC) sono reciproci.• I doppi bipoli tipicamente elettronici sono per lo più non
reciproci.• Si può ulteriormente generalizzare, in modo ovvio, all'n-plo
bipolo o n-porte.
Iin
Iin
Vin
Iout
Iout
Voutin out
OUT-
OUT+
IN-
IN+
G C
53
Doppio bipolo ottenuto da un componentetripolare.
• Un importante caso particolare di doppio bipolo si verifica se le 2 porte hanno un terminale TC in comunesi dice allora che un componente tripolare viene usatocome doppio bipolo con TC comune.
Iin
Iin
Vin
Iout
Iout
VoutG CTC
54
Doppi bipoli normali autonomi - 1.
• In tutte le situazioni già considerate per i bipoli (grandezze sinusoidali o F-trasformabili o L-trasformabili), le relazioni (algebriche, lineari) fra le 4 variabili implicano l'uso di 4 parametri che possono essere disposti in una matrice 2×2, come negli esempi seguenti.
V1
I1
V2
I2
I2I1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
Matrice di impedenze:
Matrice di ammettenze:
Matrice ibrida:
i r
f o
i r
f o
i r
f o
z zV Iz zV I
y yI Vy yI V
h hV Ih hI V
=
=
=
55
Doppi bipoli normali autonomi - 2.
1 0Poiché ,
0 1
valgono le seguenti relazioni.
, ,
, ,
, ,
,
i r i r
f o f o
o ri r
i o f r i o f r
f if o
i o f r i o f r
o ri r
i o f r i o f r
f if o
i o f r i o f
z z y yz z y y
y yz zy y y y y y y y
y yz zy y y y y y y y
z zy yz z z z z z z z
z zy yz z z z z z z z
=
−= =− −
−= =
− −
−= =− −
−= =
− −,
r
56
Relazioni con i parametri h.
11
1
1
1
1
i o r f ri r
o o
ff o
o o
ri r
i i
f i o r ff o
i
i o r f r ri r
o i o i
f f i o r ff o
o i o i
hh h h hz zh hh
z zh h
hy yh hh hh h h
y yh h
z z z z z yh hz y z yz y y y y y
h hz y z y
−= =
= − =
= = −
−= =
−= = = = −
−= − = = =
57
Funzioni di rete con i parametri y.
0
1g
foutv
in o c
r finin i r v i
in o c
r foutout o
out i gI
out out out in ini c v v
in out in in in c
inin g
g in
yVAV y Y
y yIY y y A yV y Y
y yIY yV y Y
I I V V ZA Y A AI V V I Y Z
YI IY Y
=
= = −+
= = + = −+
= = −+
= = = − ⋅ ⋅ = −
=+
Iin
VinVout
i r
f o
y yy yYg YcIg
Iout
58
Schemi equivalenti per doppi bipolinormali autonomi.
• Le relazioni costitutive che usano i parametri impedenzee i parametri ammettenze possono essere rappresentategraficamente con i seguenti schemi costituiti di 4 bipoli(uno solo dei quali è un generatore dipendente, con altrematrici ne occorrono 2).
• Si noti che le 2 porte hanno in comune un terminale di un componente a 3 terminali.
V1 V2
I1 I2z11 - z12
z12
(z21-z12)I1
z22 - z12
V1 V2
I1 I2-y12
(y21-y12)V1y11+y12
y22+y12
Se z21 = z12, il doppio bipolo è reciproco ed è nulla la tensione impressa del generatore dipendente.
Se y21 = y12, il doppio bipolo è reciproco ed è nulla la corrente impressa del generatore dipendente.
59
Doppi bipoli fondamentali.
• La corrente di ingresso è nulla e la corrente di uscita non dipende dalla tensione di uscita ma è una funzione della tensione di ingresso: generatore di corrente dipendente da una tensione o VCCS da Voltage Controlled Current Source.
• La corrente di ingresso è nulla e la tensione di uscita non dipende dalla corrente di uscita ma è una funzione della tensione di ingresso: generatore di tensione dipendente da una tensione o VCVS da Voltage Controlled Voltage Source.
• La tensione di ingresso è nulla e la tensione di uscita non dipende dalla corrente di uscita ma è una funzione della corrente di ingresso: generatore di tensione dipendente da una corrente o CCVS da Current Controlled Voltage Source: è il duale del VCCS.
• La tensione di ingresso è nulla e la corrente di uscita non dipende dalla tensione di uscita ma è una funzione della corrente di ingresso: generatore di corrente dipendente da una corrente o CCCS da Current Controlled Current Source: è il duale del VCVS.
Sono utili anche le ovvie generalizzazioni con più di 2 porte per rappresentare le relazioni fra una o più grandezze di uscita e una
o più grandezze di ingresso.
60
VCCS
• Iout = F(Vin) ∀ Vout• Se IN+ coincide con OUT+ e IN- coincide con OUT-, il
doppio bipolo risulta identico al bipolo chiamato"resistore a controllo di tensione".
• Per tale ragione il generatore di corrente controllato in tensione viene anche chiamato "transresistore" , cioè resistore di trasferimento, (a controllo di tensione), anche se sarebbe stato più opportuno chiamarlo "transconduttore" lasciando il nome di transresistore al CCVS.
• Se IN- coincide con OUT-, tale doppio bipolo è realizzato con un dispositivo a 3 terminali: questo costituisce il modello più semplice del transistor il cui nome deriva appunto dalla contrazione di transfer resistor.
− Il VCCS costituisce anche il modello di base per tuttii componenti con ingresso in tensione e uscita in corrente, detti amplificatori a transconduttanza e anche OTA (Operational TransconductanceAmplifier).
0
0
Vin
Iout
Iout
Vout
OUT-
OUT+
IN-
IN+
F(Vin)
61
Dal VCCS al transistor.
• Un trans-resistore a 3 terminali potrebbe essere rappresentato come nella prima figura a lato, derivata da quella della diapositiva precedente.
• Il simbolo di generatore di corrente, però, indica, per definizione, che la corrente Ica non dipende dalla tensione Vca e quindi può, in particolare, essere sia positiva che negativa.
• Nella realtà, tuttavia, Ica ha il senso indicato dalla freccia se il potenziale elettrico del nodo C èsuperiore a quello del nodo A e il senso opposto (se non è nulla) nel caso opposto.
• Considerando anche la particolare funzione del nodo A, conviene allora usare un simbolo meno simmetrico per rappresemtare il transistor perfetto e il suocomplementare.
• Si supporrà inoltre che la funzione F(·) sia non decrescente e generalmente derivabile.
a
Ica=F(Vba)
c
b
c
a
b
Trans(fer res)istor perfetto
Ica =F(Vba)
Transistor complementarec
a
b Iac =F(Vab)==-Ica=-F(-Vba)
62
Connessioni notevoli di transistoriideali - 1.
Connessioni "a diodo" (a bipolo, a resistore)
Generatore di corrente
I=f(E)=cost.=I0E = I0
V
I=F(V)
V
I=F(V)
63
Connessioni notevoli di transistoriideali - 2.
( )( )
1 11 2 1 2
2 2
,Y f X
Se X X Y YY f X
= = ⇒ = =
V
Iin Iout=Iin
Iin+Iout
Specchio di corrente
• La tensione V e la corrente Iin non dipendono da Iout.
• Iout dipende solo da V e Iin.
• Con transistori di dimensioni diverse si può ottenere
Iout =a·Iin con a maggiore o minore di 1.
• Se Iin è costante, si ottiene un generatore di corrente (a specchio) che è preferibile alla versione elementare della pagina precedente.
64
Connessioni notevoli di transistoriideali - 3.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 1 2 2 2 1 2
1 21 2 1 2
1 2 1 2 0
, , ;2
derivando rispetto a :
, ; , ;
; ;2
; ; , ;2 2
,2
' ,2
dc a c d c d
c
a a
c a a d
d dc c c d
dc a c d
dc a c d
Vf V V V V f I V V
V
I f V V V V I f V V V V
V V V V V V V V V V
V VV V V V I I I V V
VV V V V
Vf V V V V
+ − + = ∀
= − = − + = − − − = − =
= + = − + = ∀
− −
+ −
( ) ( ) ( )
Quindi =1.
,' , 1 0 , ;
2
a
c
a c ddc a c d c d
c
VV
V V VVf V V V V V VV
∂∂
∂ + − − − = ∀ ∂
Coppia differenziale
I1 I2
I0
1 2
a
65
Connessioni notevoli di transistori ideali – 3bis.
( ) ( )
( ) ( )
1 2
' , ' , 12 2
, , ;2 2
derivando rispetto a :
è zero in virtù del risultato della pagine preceden
d d d ac a c d c a c d
c c
d dd c a c d c a c d
c
I V V Vf V V V V f V V V V
V V
V VI I I f V V V V f V V V V
V
∂ ∂= + − − − − −
∂ ∂
= − = + − − − −
( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 01 1
1 2 1 2 02 2
te.
;2 2 2 2
.2 2 2 2
Dunque non dipende da : .
d dd
d dd
cd d d d
I VI I I I II I V
I VI I I I II I V
I V I I V
+ −= + = + =
+ −= − = − =
=
66
Connessioni notevoli di transistori ideali – 3ter.
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2
0 ' , ' ,2 2
derivando rispetto a :
1 12 2
' , ' ,2 2da cui
' , '2
d a d ac a c d c a c d
d d
a
d
d
d dc a c d c a c d
dc a c d
V V V Vf V V V V f V V V V
V V
VV
I I V
V Vf V V V V f V V V V
Vf V V V V f
∂ ∂= + − − + − − −
∂ ∂
∂∂
+
− + − − − − = + − +
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
' , ' ,2 2
2
,2
derivando rispetto a :
' , ' ,2 2
2
, e sostituendo :
'
d
d
a d d ac a c d c a c d
d d
d
d
dc a c d
d
d dc a c d c a c d
c
IV
V V V Vf V V V V f V V V V
V V
IV
VV V V V
I I VV Vf V V V V f V V V V
f V
∂= −
∂
∂ ∂− + − − − −
∂ ∂
∂=
∂
− −
−
+ − + − −
+ ( ) ( )
( ) ( )
( )
01 2 1 2
0
'
, ' ,2 2
' , ' ,2 2
Nel punto di riposo con , , 0,2
si ha: ,0d
d da c d c a c d
d dc a c d c a c d
op op op op op op d c op
dop a op
d V
f
V VV V V f V V V V
V Vf V V V V f V V V V
IV V V I I I V V V
I V V VV
=
− − −
+ − + − −
= = = = = = =
∂ = − = ∂ ( )' ;
essendo la transconduttanza di ciascun transistor nel suddetto punto di riposo.
baop m
m
f V g
g
=
Si noti infine che Id è una funzione dispari di Vd con |Id| ≤ I0.
67
Transistori MOS
n-Si n-Si
G DS
p-SiSiO2
"canale n" percorso dalla corrente Ids (elettroni da S a D) B
substrato
D
S
G
Id
Is
Ig
a canale n:
D
S
G
Is
Id
Ig
a canale p:
68
Modello di livello 1 del transistor n-MOS.
( )2
0
0
2
se (regione di interdizione)
regione "lineare" o se
regione "triodo"
g
gs tn
gs tndsgs tn ds
ds gs tn dg tn
ds
I
V V
V VVV V VV V V cioè V V
I
β
=
≤
− − − − − −− − − − − − −− − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − −−> − − ≤ − ≥ −
− − − −=
( )
( ) ( )
2
2
2
12
regione di se
saturazione
gs tngs tn
ds gs tn dg tngs tn ds
V V V V
V V V cioè V VV V V
β
β λ
− −− − − − − − −− − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − −− − − − − − −− − > ≥ − ≤ − − +
VDS
0V 2.0V 4.0V 6.0VID(M1)
0A
25uA
50uA
75uA
100uA
120uA
Vgs=2.5V
Vgs=2.0V
Vgs=1.0V
n-MOST: esempio di caratteristiche statiche Id(Vds,Vgs)
69
Coppia differenziale MOS con transistori in saturazione.
Valori di riposo: V1op = V2op, I1op = I2op = ISS/2V1
I1
V2
I2
ISS
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2
2 2 2 21 2 1 2 1 2
2 2 2
.2 2
2 4 2 4; ;2
42 2
n n nd gs tn gs tn od od
n nod od od od d od od
n SS SS SS SSSS od od od od od od
n n n n
SSod od od od od od
n
I V V V V V V
V V V V V V V
I I I II V V V V V V
IV V V V V V V
β β β
β β
ββ β β β
β
= − − − = − =
= + − = +
= + + = = − = − +
+ + = − + −( )
( ) ( )
( )
1 2
2 2 21 2 1 2
21 2
;
4 4 ;
4 .
od od
SS SSod od od od d
n n
SSod od d
n
V
I IV V V V V
IV V V
β β
β
+ = − − = −
+ = −
70
Coppia differenziale MOS con transistori in saturazione (segue).
2
21
22
42
42 4
42 4
n SSd d d
n
SS n SSd d
n
SS n SSd d
n
II V V
I II V V
I II V V
ββ
ββ
ββ
= −
= + − = − −
1
2
4
4
2
SSd
T
SSd
T
SSd d
T
Ii vV
Ii vV
Ii vV
=
= −
=
Piccoli segnali:
71
Connessione di Darlington.
C
B
E
1
2
• Il bipolo tratteggiato è un resistore, normale o anomalo, (incluso il caso particolare di generatore di corrente) che può anche mancare.
• Il componente tripolare composto con 2 BJT NPN ha proprietà assai simili a quelle di un singolo transistor NPN e viene detto "transistore di Darlington".
• La tensione base-emettitore Vbe è però la somma Vbe1+Vbe2.
• Il pregio fondamentale del transistore di Darlington è che, nel funzionamento in regione normale, ha un guadagno di corrente
( )2 1 1 2 11 .F F F F F Fβ β β β β β= + + ≅
72
Transistori quasi complementari.
E
C
B P
N =B
E
C
Il transistore pnp equivalente (in assenza del bipolo a tratteggio) ha Veb=VebP , Vec = VceN , Ic = IeN, e βF = (βFN+1)βFP ≅βFNβFP.
L'analoga struttura in tecnologia MOS richiede la presenza di un bipolo in cui possa scorrere IdP ; se Rè la resistenza differenziale di tale bipolo, la transconduttanza del PMOS equivalente ègm = gmP(1+gmN R)Viene spesso usato nella connessione a drain comune per realizzare il cosiddetto super source follower.
S
D
G P
N
