Desarrollo de un Circuito

equivalente

Introducción:Introducción: Si se desea pronosticar el comportamiento de un Si se desea pronosticar el comportamiento de un

motor de inducción trifásico resulta imprescindible motor de inducción trifásico resulta imprescindible definir el modelo ADECUADO de la máquina a partir definir el modelo ADECUADO de la máquina a partir de las siguientes leyes :de las siguientes leyes :

- Ley de Amper.- Ley de Amper.

- Ley Faraday. - Ley Faraday.

- Ley Lenz y Lorenz.- Ley Lenz y Lorenz.

- Ley de Biot y Savart.- Ley de Biot y Savart.

- Leyes de Kirchhoff.- Leyes de Kirchhoff. Este modelo debe permitir la evaluación dinámica de Este modelo debe permitir la evaluación dinámica de

los parámetros del motor en funcionamiento.los parámetros del motor en funcionamiento.

Modelo Físico:

Un motor de inducción se asemeja a un transformador trifásico con devanado secundario giratorio.

Modelo Equivalente exacto:

V1: Voltaje aplicado por faseR1: Resistencia por fase del devanado del estatorX1: 2∏ fL1: Reactancia de dispersión por fase del devanado del estatorRr: Resistencia por fase del devanado del rotorXr: 2∏fLb: Reactancia de dispersión por fase del devanado del rotorE1= 4.44fN1Kw1Фm: f.e.m inducida por fase en el devanado del estator , Фm: amplitud de flujo por fase.Eb= 4.44fN2Kw2Фm: f.e.m inducida por fase en el devanado del rotor en condiciones de rotor fijo (s=1)Er: S(Eb) , s: deslizamiento , Kw: factor de devanado , N: vueltas reales por faseI1: corriente por fase alimentada por la fuente.Ir: corriente por fase en el devanado del rotorI Ф: corriente de excitación por fase.Ic: corriente por fase en la perdida en el núcleo.Im: corriente de magnetización por fase.

La corriente en el circuito del rotor es:

Eb: f.e.m inducida por fase en el devanado del rotor en condiciones de rotor fijo (s=1)

Resistencia efectiva

Se define: a: relación de transformación

Podemos representar el motor de inducción mediante su circuito equivalente por fase referido al estator:

Donde:

Kw: factor de devanado

Forma modificada:

Resistencia de carga o resistencia dinámicaR2: Resistencia real del rotor

Planteamos las relaciones:

Modelo Equivalente Modelo Equivalente aproximado:aproximado:

NOTA: El hecho de utilizar un modelo aproximado significa correr el núcleo a los bornes, provocando un error del 2 al 5 % dependiendo del tamaño de las máquinas

Nota:Nota:

Las conexiones:Las conexiones:

a) Conexión estrellab) Conexión trianguloc) Antiguamente se usaban esas letras.

Relaciones de PotenciaRelaciones de Potencia Para hacer este análisis se considera que Para hacer este análisis se considera que

la máquina está trabajando de manera la máquina está trabajando de manera normal, es decir a voltaje y frecuencia normal, es decir a voltaje y frecuencia nominal, además que estos son iguales en nominal, además que estos son iguales en cada una de sus fases, y que el motor cada una de sus fases, y que el motor tiene un deslizamiento pequeño.tiene un deslizamiento pequeño.

Separación de las Separación de las potenciaspotencias

El circuito equivalente muestra que la resistencia de carga El circuito equivalente muestra que la resistencia de carga depende del deslizamiento, esto significa que la potencia depende del deslizamiento, esto significa que la potencia que esta consume es la potencia desarrollada por el motor que esta consume es la potencia desarrollada por el motor mientras que la potencia de entrada es la que entrega la mientras que la potencia de entrada es la que entrega la fuente Vfuente V11, R1 y R2 representan las potencias de pérdida del , R1 y R2 representan las potencias de pérdida del cobre en el estator y rotor respectivamente y Rc la pérdida cobre en el estator y rotor respectivamente y Rc la pérdida en el núcleo.en el núcleo.

Potencia de entradaPotencia de entrada

Es la potencia activa Es la potencia activa absorbida por el absorbida por el estator Pestator Penen en función en función

de los valores de de los valores de fase de la tensión Vfase de la tensión V11

y corriente Iy corriente I11

estatóricas, así como estatóricas, así como del factor de del factor de potencia.potencia.

cos3 11IVPen

Pérdidas en el estatorPérdidas en el estator

Cuando la potencia ha Cuando la potencia ha ingresado al estator aquí ingresado al estator aquí ocurren las primeras ocurren las primeras pérdidas.pérdidas.Pérdidas en el cobre (PPérdidas en el cobre (Pstst), ), potencia que se pierde en potencia que se pierde en forma de calor por efecto forma de calor por efecto Joule de la resistencia RJoule de la resistencia R11 de de las fases del estator.las fases del estator.Pérdidas en el núcleo (PPérdidas en el núcleo (Pmm), ), pérdidas debidas al los pérdidas debidas al los fenómenos de histéresis y fenómenos de histéresis y corrientes de Foucaulot corrientes de Foucaulot

12

13 RIPst

ccm RIP 23

Potencia del entrehierroPotencia del entrehierro

Se llama así a la Se llama así a la potencia neta que potencia neta que cruza el entrehierro y cruza el entrehierro y se transporta al rotor se transporta al rotor por inducción por inducción electromagnética.electromagnética.

mstenEH PPPP

Pérdidas en el rotorPérdidas en el rotor

Cuando la potencia del Cuando la potencia del entrehierro llega al rotor, en entrehierro llega al rotor, en este se producen pérdidas.este se producen pérdidas.

Pérdidas en el cobre (PPérdidas en el cobre (Protrot), ),

al igual que en el estator al igual que en el estator estas pérdidas son potencia estas pérdidas son potencia que se pierde en forma de que se pierde en forma de calor por efecto Joule de la calor por efecto Joule de la resistencia Rresistencia R22 de las fases de las fases

del rotor.del rotor.2

223 RIProt

•En el rotor también existen pérdidas magnéticas, pero estas pérdidas dependen del cuadrado de la frecuencia. Como la frecuencia de las corrientes en el rotor son muy pequeñas estas se consideran despreciables frente a las perdidas magnéticas en el estator.

strot sff

Potencia desarrolladaPotencia desarrollada

Es la potencia restante que Es la potencia restante que se convertirá de potencia se convertirá de potencia electromagnética en potencia electromagnética en potencia mecánica. Cuando es mecánica. Cuando es potencia mecánica se le potencia mecánica se le denomina potencia mecánica denomina potencia mecánica interna y es la potencia que interna y es la potencia que llega al eje de la máquina. llega al eje de la máquina. Esta es la potencia que en el Esta es la potencia que en el circuito equivalente se circuito equivalente se consume en la resistencia de consume en la resistencia de carga.carga.

EHEHd

rotEHd

SPPss

RsIP

PPP

113 2

22

s

m

s

m

N

NsS

donde

1

:

Par electromagnético Par electromagnético desarrolladodesarrollado Se le denomina así al par que produce la Se le denomina así al par que produce la

potencia mecánica interna y estas dado por:potencia mecánica interna y estas dado por:

ss

EH

m

dd s

RI

PPT

22

23

Flujo de potenciasFlujo de potencias

cos3 11IVPen

12

13 RIPst

ccm RIP 23

2223 RIProt

Pr= Pérdidas de rotación, debidas a la fricción, rozamiento y pérdidas por viento.

Potencia de entradaPen=3V1I1cos

Pérdidas en el cobre del estatorPst=3I1

2R1

Pérdidas magnéticasPm=3Ic

2Rc

Potencia del entrehierro

Pérdidas en el cobre del rotorPst=3I2

2R2

Potencia desarrollada

Potencia útil

Pérdidas rotacionales

Diagrama de PotenciasDiagrama de Potencias

EficienciaEficiencia

Del diagrama de flujo Del diagrama de flujo de potencia del motor de potencia del motor determinamos la determinamos la potencia de salida.potencia de salida.

Determinamos la Determinamos la eficiencia como la eficiencia como la relación de la potencia relación de la potencia de salida y la potencia de salida y la potencia de entrada. de entrada.

rdu PPP

en

u

P

P

Característica Velocidad-Característica Velocidad-ParPar

El Par Desarrollado por un motor de El Par Desarrollado por un motor de inducción es directamente inducción es directamente proporcional al cuadrado de la proporcional al cuadrado de la corriente en el circuito del rotor y a la corriente en el circuito del rotor y a la Resistencia equivalente hipotética del Resistencia equivalente hipotética del rotor. Recordemos que la resistencia rotor. Recordemos que la resistencia equivalente hipotética es: Requivalente hipotética es: R22/s./s.

Entender esta parte de la sección de Entender esta parte de la sección de Circuito Equivalente en las Maquinas Circuito Equivalente en las Maquinas Asíncronas, suele trae mucha Asíncronas, suele trae mucha confusión, ya que según la ecuación confusión, ya que según la ecuación siguiente, al aumentar la Resistencia siguiente, al aumentar la Resistencia equivalente hipotética, la corriente equivalente hipotética, la corriente disminuye y por lo tanto no se sabe , a disminuye y por lo tanto no se sabe , a primera impresión, si el Par aumenta o primera impresión, si el Par aumenta o disminuye. disminuye.

Confusion del Torque DesarrolladoConfusion del Torque Desarrollado

E1 aumenta (dt)-> E1 aumenta (dt)->

I2 aumenta (dt)I2 aumenta (dt)-> ->

Nm aumenta -> Nm aumenta ->

s disminuye s disminuye

-> R2/s aumenta -> R2/s aumenta

-> I2 disminuye-> I2 disminuye

Análisis de ParámetrosAnálisis de Parámetros Parámetro X2Parámetro X2

Parámetro R2/sParámetro R2/s

¿Cómo razonamos ante este ¿Cómo razonamos ante este problema de interdependencia?problema de interdependencia?

La respuesta ante esta pregunta La respuesta ante esta pregunta esta en primero, despejar la esta en primero, despejar la corriente en función de la corriente en función de la Resistencia equivalente hipotética, Resistencia equivalente hipotética, y luego determinar cuál es el y luego determinar cuál es el parámetro de impedancia que parámetro de impedancia que desempaña un mayor papel desempaña un mayor papel dominante en un determinado dominante en un determinado intervalo de tiempo.intervalo de tiempo.

Análisis de Parámetros Análisis de Parámetros

Observacioón:Observacioón:

Dado que existe una excitación Dado que existe una excitación abrupta inicial, esto hará que por la abrupta inicial, esto hará que por la Ley de Faraday el motor Asíncrono Ley de Faraday el motor Asíncrono empiece a funcionar, es decir, empiece a funcionar, es decir, comenzará a girar, y la velocidad comenzará a girar, y la velocidad relativa del campo magnético del relativa del campo magnético del estator y del rotor, disminuirá. estator y del rotor, disminuirá.

Como consecuencia, el valor de s, Como consecuencia, el valor de s, ira decreciendo. Esto trae otro ira decreciendo. Esto trae otro efecto secundario mas, que es efecto secundario mas, que es dado dado que decrece el valor del que decrece el valor del deslizamiento s, el torque irá deslizamiento s, el torque irá aumentando, hasta que la aumentando, hasta que la Resistencia hipotética se hace lo Resistencia hipotética se hace lo suficientemente grande para dejar suficientemente grande para dejar de pasar desapercibidade pasar desapercibida, que , que debemos reformular nuestra debemos reformular nuestra función de corriente I2.función de corriente I2.

Parámetro X2 Parámetro X2 (Nuevo Análisis)(Nuevo Análisis)Parámetro dominante* R2/sParámetro dominante* R2/s

Análisis del Gráfico de Análisis del Gráfico de Velocidad-ParVelocidad-Par

En esta Curva observamos que el En esta Curva observamos que el Par de arranque es menor que el Par de arranque es menor que el Par máximo alcanzando. Par máximo alcanzando.

Asimismo, este par máximo o Par Asimismo, este par máximo o Par crítico se alcanza en el punto de crítico se alcanza en el punto de Deslizamiento Critico. (sb)Deslizamiento Critico. (sb)

Después de este punto el Par Después de este punto el Par empieza a bajar, hasta que se llega empieza a bajar, hasta que se llega al punto de Deslizamiento sin al punto de Deslizamiento sin carga (si no hubiera carga), y si carga (si no hubiera carga), y si hubiera carga se llega al punto de hubiera carga se llega al punto de Deslizamiento con carga.Deslizamiento con carga.

Métodos de ArranqueMétodos de Arranque

En la figura se muestran las curvas de par e intensidad en función de la velocidad, de cada una de las dos configuraciones. Y como se puede apreciar, ambas curvas se dividen por tres en todos los puntos, incluido lógicamente el arranque.

La forma en la que se efectúa la maniobra de arranque consistirá en conectar el motor en estrella a la red, dejarlo que alcance cierta velocidad, y entonces conmutar a la configuración en triángulo.

Detalles AdicionalesDetalles AdicionalesReducción de la tensión de alimentación: Inserción de resistencias en el rotor

Si por alguna razón se redujera la Tensión aplicada al motor, sería lógico pensar que el par también se reduciría.

Además de reducir la corriente tomada de la red, con este método se consigue que el par máximo se mantenga intacto, no sólo esto, sino que además, ese par máximo se presentará en velocidades más bajas, lo cual favorece el arranque.

PROBLEMAS DE PROBLEMAS DE MAQUINA ASÍNCRONAMAQUINA ASÍNCRONA

Empleando su circuito equivalente Empleando su circuito equivalente exacto.exacto.

Problema 1:Problema 1:

1.- Un motor de inducción trifásico tetrapolar, de 10 hp, 440V, 60 Hz y conectado en Y opera a 1725 rpm a plena carga. La pérdida en el cobre del estator es de 212 W y la pérdida por rotación es de 340 W. Determine:

A) La potencia desarrollada.B) La potencia en el entrehierro.C) Las pérdidas en el cobre del rotor.D) La potencia de entrada total.E) La eficiencia del motor.F) El par en el eje.

SOLUCIÓN:SOLUCIÓN:1° Ordenamos los datos que nos brinda el problema:

2° Armamos el diagrama de árbol de potencias:

33° Identificamos que lo que se nos pide en la parte A , ° Identificamos que lo que se nos pide en la parte A , que se halla con una simple suma:que se halla con una simple suma:

44° Identificamos la fórmula que relaciona potencia ° Identificamos la fórmula que relaciona potencia desarrollada con potencia en el entrehierro:desarrollada con potencia en el entrehierro:

Sin embargo no conocemos s, por lo que procedemos a hallarlo:

Reemplazando (2) en (1):

Para las demás potencias simplemente seguiremos las ecuaciones mostradas en el árbol:

Al parecer nos falta conocer Pm; sin embargo, en este problema no se especifica cuales son las perdidas componentes de las perdidas rotacionales y al no haber forma posible de hallar de otro modo las perdidas magnéticas se asume que ya fueron consideradas en las pérdidas rotacionales. Este modelo es válido también y se encuentra en el diagrama de flujos de potencia ubicado en la figura 9.5 (b) de la separata.

En consecuencia:

Dado que ya se conocen las potencias tanto de entrada como de salida procedemos a hallar la eficiencia:

Como ya es conocida la potencia de salida y la velocidad del motor, podremos hallar el torque de salida sin ningún problema:

Problema 2:Problema 2:

2. - Un motor de inducción trifásico, tetrapolar, de 2 hp, 120 V, 60 Hz y conectado en Y opera a 1650 rpm a plena carga. La impedancia del rotor en reposo es de 0.02 + j0.06 Ω/fase. Determine la corriente en el rotor si la pérdida por rotación es de 160 W. ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en el rotor?

SOLUCIÓN: Ordenamos los datos que nos brinda el problema:

Aplicamos las ecuaciones de potencia convenientes para obtener ecuaciones que nos acerquen a la solución:

Reemplazando (2) en (1):

Al reemplazar (4) en (3) notamos claramente que se cancelan las a:

Finalmente observamos en el circuito de abajo que se cumple:

Problema 3:Problema 3:3.- Un motor de inducción trifásico, de 12 polos, 208 V, 50 Hz, y conectado en Y tiene una impedancia en el estator de 0.1+ j0.3 Ω/fase y la del rotor en reposo reducida al estator vale: R2= 0.06 y X2=0.8 Ω/fase. La resistencia de la pérdida en el núcleo es de 150 Ω/fase y la reactancia de magnetización es de 750 Ω/fase. La perdida por fricción y viento es de 2 kW. Si el motor opera a plena carga con deslizamiento de 5%: A) Calcule la potencia de entrada.B) La pérdida en el cobre del estator.C) La pérdida en el cobre del rotor.D) La potencia en el entrehierro.E) La potencia desarrollada.F) La potencia de salida.G) La eficiencia.H) El par en el eje.I) La especificación de potencia del motor en caballos de fuerza.

SOLUCIÓNOrdenamos los datos que nos brinda el problema:

Aplicamos las ecuaciones de potencia convenientes para obtener lo que se nos pide:

Reemplazando en la ecuación planteada al inicio tenemos:

Para hallar el par en el eje primero debemos conocer la velocidad síncrona:

FIN

GRACIAS POR SU ATENCIÓN