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8/13/2019 CIRCUITOS DIGITAIS -
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Cincia da Computao
Circuitos Digitais
Teoria de circuitos digitais usando portas
lgicas
Introduo a lgebra de Boole
Implementao e simplificao de circuitoslgicos com portas lgicas
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Circuitos digitaisso circuitos eletrnicos que baseiam o seu funcionamento
na lgica binria, em que toda a informao guardada e processada sob a
forma de !eros "#$ e uns "%$& 'sta representao conseguida usando dois
n()eis discretos de Tenso eltrica& 'stes n()eis so frequentemente
representados por * e + "do ingls low bai-o e high alto , respecti)amente$&
.s computadores, tele m)eis, *eitores de D/D, so alguns e-emplos de
aparel0os que baseiam a totalidade, ou parte, do seu funcionamento em circuitos
digitais&
Portas Lgicas
1ortas lgicas so dispositi)os, ou circuitos lgicos, que operam um ou mais
sinais lgicos de entrada para produ!ir uma e somente uma sa(da, dependente
da funo implementada no circuito& 2o geralmente usadas em circuitos
eletrnicos3 o comportamento das portas lgicas con0ecido pela tabela
)erdade que apresenta os estados lgicos das entradas e das sa(das&
4o in(cio da era da eletrnica, todos os problemas eram resol)idos por sistemas
analgicos, isto , sistemas lineares& 5penas em %678, o engen0eiro americano
Claude 'l9ood 20annon utili!ou as teorias da lgebra de Boole para a soluo
de problemas de circuitos de telefonia com rels, tendo publicado um trabal0o
denominado 2:mbolic 5nal:sis of ;ela: and 29itc0ing, praticamente
introdu!indo na rea tecnolgica o campo da eletrnica digital& 'sse ramo da
eletrnica emprega em seus sistemas um pequeno grupo de circuitos bsicos
padroni!ados con0ecidos como 1ortas *gicas&
ausncia de tenso "# )olt$ enquanto o n()el lgico %, > presena de tenso "aqual geralmente ? )olts$&
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5s portas lgicas so geralmente indicadas por seu nome em ingls& 5s portas
lgicas, seus correspondentes na lgica matemtica, bem como sua simbologia
pela norma 542I ' I'C so apresentadas na tabela a seguir@
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Auno 54D "'$@ 5ssume )alor % quando todas as )ari)eis forem iguais a % e
assume )alor !ero nos outros casos poss()eis&
Auno .; ".
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5 lgebra Booleana de dois elementos tambm utili!ada no c em engen0aria
eltrica3 aqui # e % representam os dois diferentes estados de um bit em um
circuito digital, tipicamente alta e bai-a )oltagem&
.s circuitos so descritos por e-press=es contendo )ari)eis, e as tais duas
e-press=es so iguais para todos os )alores das )ari)eis se e somente se o
circuito correspondente ti)er o mesmo comportamento de entradasa(da&
K frequente serem simplesmente escritos como ', .< ou 4. "so mais
comuns os seus equi)alentes em ingls@ 54D, .; e 4.T$&
4a descrio de circuitos tambm podem ser utili!ados 454D "4.T 54D$, 4.;
"4.T .;$ e .; ".; e-clusi)o$&
.s matemticos usam com frequncia L para .< e & para ' ")isto que sob alguns
aspectos estas opera=es so anlogas > adio e multiplicao noutras
estruturas algbricas$ e representam 4. com uma lin0a traada sobre ae-presso que est a ser negada&
.utra notao comum, com M "ou M para bro9sers que no suportam esse
caracter$ para ', / "ou )$ para .
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2o comuns, para os )alores # e %, as designa=es &also e veraeiro,
respecti)amente&
Operaes Bsicas
5s opera=es fundamentais da lgebra de Boole tm semel0ana com
opera=es aritmticas comuns, inclusi)e alguns s(mbolos so idnticos, mas no
so necessariamente coincidentes@
%$ .perao OU
$ .perao E
7$ .perao !O
# interpretado como falsoU e % )erdadeiroV
Opera"o OU
K similar > adio comum, mas a correspondncia no plena&
2(mbolo usual o mesmo da adio&
'-emplo@
Q 5 L B "lse igual a 5 ou B$&
multiplicao comum e 0 correspondncia, como poder ser )isto
adiante& 2(mbolo usual o mesmo da multiplicao&
'-emplo@
Q 5 X B "lse igual a 5 e B$&
Puitas )e!es, tambm de forma semel0ante > lgebra comum, o sinal de ponto
suprimido@ Q 5B&
. e comercial "Y$ um s(mbolo usado em algumas linguagens " Q 5 Y B$&
Opera"o !O
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Tambm denominada negao ou complemento, pode ser considerada similar
ao negati)o da lgebra comum&
'ntretanto, no 0 correspondncia plena porque a lgebra de Boole no usa
sinal negati)o& 2(mbolo usual uma barra acima "ou antes$ da )ari)el&
'-emplo@
Q "lse igual a no 5$& 5lguns outros s(mbolos so o sinal de e-clamao
" Q Z5$ e o apstrofo " Q 5[$&
.s postulados da lgebra de Boole definem os resultados das opera=es bsicas
informadas no tpico anterior&
Postulados
Postulados da opera"o OU
# L # Q #
# L % Q %
% L # Q %
% L % Q %
'lgumas re&erncias escrevem postulaos a ai(o. )as lembrar *ue # i(o
booleana, n(o e*uivale plenamente + ai(o comum plenamente + ai(o
comum por*ue, para esta ltima, - - eve ser /.%
Postulados da opera"o E
# X # Q #
# X % Q #
% X # Q #
% X % Q %
0m algumas re&erncias, s(o enominaos postulaos a multiplica(o. 1otar
*ue h e*uivalncia plena com a multiplica(o comum.%
Postulados da opera"o !O
# Q %
% Q #
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E#erc$cio@
2mitino as emonstraes, algumas ientiaes poem ser euzias a partir
os postulaos acima3
a4 5a opera(o 26
$ / 7 8
$ - 7 8
$ $ 7 8
b4 5a opera(o 0
$ 9 / 7 8
$ 9 - 7 8
$ 9 $ 7 8
c4 5a opera(o 1:2
; ; $ 7 8
%olu"o&
a4 5a opera(o 26
$ / 7 $
$ - 7 -
$ $ 7 $
$ $ 7 -
b4 5a opera(o 0
$ 9 / 7 /
$ 9 - 7 $
$ 9 $ 7 $
$ 9 $ 7 /
c4 5a opera(o 1:2
; ; $ 7 $
Propriedades e 'eore(as
)* Propriedade co(utativa
5 L B Q B L 5
5 X B Q B X 5
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+* Propriedade associativa
5 L "B L C$ Q 5 L "B L C$ Q 5 L B L C
5 X "B X C$ Q 5 X "B X C$ Q 5 X B X C
,* Propriedade distributiva
5 X "B L C$ Q 5XB L 5XC\
-* 'eore(as de .organ
/* Outras 0gualdades
1 2 1 3 B 4 1
1 2 1 3 B 4 1 2 B
51 2 B* 3 51 2 C* 4 1 2 B 3 C
6un"o Booleana
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4a prtica, podese di!er que uma funo que estabelece uma relao entre
um conunto de m )ari)eis de entrada com um conunto de n )ari)eis de sa(da&
Desde que os )alores das )ari)eis so discretos "apenas # e %$, o mapeamento
da funo pode ser apresentado em forma tabular, denominada tabela de
)erdade da funo& . quadro Tab #% d um e-emplo para trs entradas e duas
sa(das&
E#e(plo
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Conclus"o&
5 lgebra booleana importante na cincia computacional&
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1ara a obteno da equao a partir do circuito, iniciase a anlise pr-imo >s
entradas e escre)ese a equao de sa(da de cada porta lgica, at obter a
equao de sa(da final do circuito&
E#e(plos
2s parnteses nas e*uaes intermeirias, na saemplos ?a4 e ?c4 h parnteses ispensveis.
"e voc @souber o *ue est &azenoA, poe suprimi;los j nas e*uaes
intermeirias.
E8ua"o 9 tabela verdade
*embre que a tabela )erdade quem descre)e o too o funcionamento lgico
de um circuito digital combinacional, ou too o comportamento de uma equao
lgica& 5ssim, a tabela )erdade de)e contemplar todas as possibilidades deentrada do circuito`equao e cada sa(da correspondente& 5s entradas de)em
ser organi!adas na forma de uma contagem binria crescente&
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.:todo )
Decompor a equao em opera=es menores e obter as sa(das de cada
operao menor em colunas au-iliares, at obter a sa(da final& Caso sea dado o
Circuito e no a equao, obter a equao correspondente e ento aplicar omtodo&
E#e(plo
.:todo +
2ubstituir cada possibilidade de entrada na equao e obter o resultado& Caso
sea dado o circuito e no a equao, obter a equao correspondente e ento
aplicar o mtodo&
E#e(plo
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.:todo ,
5plicar cada possibilidade de entrada no circuito e obter a sa(da& Caso sea dada
a equao e no o circuito, obter o circuito correspondente e ento aplicar o
mtodo&
E#e(plo
E#erc$cio
Desen0e o circuito lgico para a equao A Q "] L ; $
1asso %@ Desen0ar a porta in)ersora que implementa &
1asso @ Desen0ar a porta U.
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E#presses Boolenas Obtidas de Circuitos Lgicos
Todo circuito lgico e-ecuta uma e-presso booleana e, por mais comple-o que
sea, formado pela interligao das portas lgicas bsicas&
1odemos obter a e-presso booleana que e-ecutada por um circuito lgico
qualquer& 1ara o procedimento, )amos obter a e-presso que o circuito da figura
abai-o e-ecuta@
/amos di)idir o circuito em partes@
4a sa(da 2%, teremos o produto 5&B, pois sendo este bloco uma porta ', sua
e-presso se sa(da ser@ 2% Q 5&B& Como 2 inetada em uma das entradas da
porta .< pertencente > segunda parte do circuito e na outra entrada est a
)ari)el C, a e-presso de sa(da ser 2 Q 2% L C&
1ara determinarmos a e-presso final, basta agora, substituirmos a e-presso
de 2% na e-presso acima, obtemos ento@
2 Q 5 & B L C que a e-presso que o circuito e-ecuta&
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2 Q 5 & B L C
E#e(plo de Circuito Lgico
Dada uma equao Booleana qualquer, poss()el desen0arse o circuito lgico
que a implementa& . circuito lgico composto das portas lgicas relacionadas>s opera=es que so reali!adas sobre as )ari)eis de entrada& .s resultados
das opera=es so condu!idos por fios, os quais, no desen0o, so
representados por lin0as simples&
.s passos a serem seguidos para se reali!ar o desen0o do circuito lgico a partir
de uma equao so praticamente os mesmos usados na a)aliao da
e-presso& Tomemos como e-emplo a equao, na tabela #%& Inicialmente,
identificamos as )ari)eis independentes, que no caso so , ] e & 1ara cada
uma destas, traamos uma lin0a "da esquerda para a direita$, representando os
fios que condu!em os )alores& Aeito isto, de)ese seguir desen0ando as portas
necessrias para representar cada uma das sube-press=es, na mesma ordem
tomada para a a)aliao, ou sea@
Tabela #%&
% parntesis "dos mais internos para os mais e-ternos$3
opera=es '3
7 opera=es .
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5 figura mostra o circuito lgico para a equao Q L ]& &
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2eguindo o processo descrito, temos@
2 Q 5 & B L C L C & D
Idem, para figura acima@
. c(rculos colocados nas terminais de entrada unto >s portas, representam
tambm in)ersores&
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2olucionando, temos@
F ual a e-presso e-ecutada pelo circuito da figura abai-o@
;esoluo@
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%i(pli
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%i(pli
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Com a e-presso agora sob a forma de somadeprodutos, de)emos procurar
por )ari)eis comuns dentre os )rios termos com a inteno de fatorar& .
primeiro e terceiro termo tm'! em comum, que pode ser fatorado@
Aig& % '-emplo %%
Q'!"B L B L 5 B $
que B L B Q % ento
Q 5C"%$ L 5 B
Q 5C L 5 B
1odemos agora fatorar 5, o que resulta em 5"C L B
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'ste resultado no pode mais ser simplificado& 5 implementao do circuito
mostrada na Aig& %"b$& K b)io que o circuito em "b$ bem mais simples do
que o circuito original "a$&
'-emplo %&
2implifique a e-presso ! Q 5BC L 5B C L 5 B C&
%olu"o
/amos )er dois modos diferentes de c0egar ao mesmo resultado&
)#too -3 .s primeiros dois termos na e-presso tm o produto 5B em comum*ogo&
Q 5B"C L C $ L 5 B C
Q 5B"%$ L 5 B C
Q 5B L 5 B C
1odemos fatorar a )ari)el'de ambos os termos@
Q 5"B L B C$
5plicando o teorema "%?$&
Q 5"B L C$
)#too B35 e-presso original ! Q 5BC L 5B C L 5 B C&
.s primeiros dois termos tm 'C em comum& . primeiro e o Jltimo termo tm
'!em comum& Como saber se de)emos fatorar'Cprimeiros dois termos ou'!
dos dois termos e-tremosj 4a )erdade, podemos fa!er ambos usando o termo
5BC duas )e!es& ' outras pala)ras, podemos reescre)er e-presso como
! Q 5BC L 5B C L 5 B C L 5BC
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.nde somamos um termo e-tra 5BC& Isto )alido e no altera o )alor da
e-presso, tendo em )ista que 5BC L 5BC Q 5BC kteorema "$& 5gora podemos
fatorar'Cdos dois primeiros termos e'!dos dois Jltimos termos@
! Q 5B"C L C L 5C" B L B$
Q 5B & % L 5C & %
Q 5B L 5C Q 5"B L C$
'ste naturalmente o mesmo resultado obtido com o mtodo %& 'sse artificio de
usar o mesmo termo duas )e!es sempre pode ser usado& De fato, o mesmo
termo duas )e!es sempre pode ser usado& De fato, o mesmo termo pode ser
usado mais de duas )e!es se for necessrio&
E#erc$cio&
% 2implificar um circuito com quatro portas lgicas&
% 1orta 4.T entrou 5 e saiu 5_
1orta '4D entrou B C saiu termo BC
7 ue a entrada da porta .;
F 2a(da da porta .; )ai ser "5_LBC$_ que ser entrada da porta '4D
untamente com termo 5C, logo a e-presso ser 51=2BC*=> 1 > B
"5_LBC$_ 5 B ;eescre)endo ficou assim@
Q 5B"5_ L BC$_ aplicando o teorema de Demorgan alterando termo .; parao termo '4D a simplificao ser assim@
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Q 5B"5 "BC$$ aplicando o teorema de Demorgan no)amente para o termo
BC a simplificao ser assim@
Q 5B "5 "B_ L C_$$ aplicando a propriedade distributi)a
Q 5B "B_ L C_$ e no)amente aplicando a propriedade distributi)a teremos&
Q 5BB_ L 5BC_ ue BB_ igual a # portanto podemos eliminalos
Q 5BC_ Tornado est simplificao&
' assim teremos a e-presso abai-o@
2implifique a equao abai-o&
Pri(eiro& 0denti
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Inicialmente, in)ertemos o primeiro termo& Depois, in)ertemos o segundo termo&
1or Jltimo, alteramos o operador .; para 54D&
;epare que foi acrescentado um parnteses ao segundo termo& Isso foi
necessrio porque agora e-iste um operador 54D fa!endo a operao com o
segundo termo& Como o segundo termo formado por mais de uma )ari)el
necessrio separlas&
'erceiro& 1plicar nova(ente o teore(a
5ps aplicarmos o teorema no segundo passo, surgiu outra in)erso composta
uais so os termos dessa in)erso compostaj 5 )ari)el B e a )ari)el&
5ssim, aplicamos o teorema in)ertendo o primeiro termo, in)ertendo o segundo
termo e alterando o operador 54D para o operador .;&
@uarto& 1plicar os outros teore(as
5gora no e-iste mais nen0uma in)erso compostaZ Basta aplicarmos os
teoremas para simplificar ainda mais a equao& 2endo assim, fa!emos@
$ 5plicamos a propriedade distributi)a
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Bibliografia@
*.