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Circuitos Eléctricos en Corriente Continua
Verano 2018-2019
Ing. Sergio Arriola-Valverde. M.Sc
Escuela de Ingeniería Electrónica
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Unidad 8Circuito RLC
Contenidos y Cronograma
2
• Cronograma
• Circuito RLC
3
Cronograma del CursoDía Fecha Tema / Actividad
1 L 10-12-2018 1. Definiciones fundamentales
2 K 11-12-2018 2. Introducción a los circuitos eléctricos
3 M 12-12-20183. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos simples
4 J 13-12-2018
5 V 14-12-2018
4. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos complejos6 L 17 -12-2018
7 K 18 -12-2018
8 M 19-12-2018
9 J 20-12-2018 5. Dispositivos de almacenamiento de energía eléctrica
Receso de Navidad y Fin de Año
10 M 02-01-20196. Circuitos eléctricos simples RL y RC
11 J 03-01-2019
V 04-01-2019 Examen 1 (Temas 1,2,3 y 4)
12 K 08-01-2019
7. Circuitos RL y RC con excitación13 M 09-01-2019
14 J 10-01-2019
15 K 15-01-2019
8. El circuito RLC16 M 16-01-2019
17 J 17-01-2019
L 21-01-2019 Examen 2 (Temas 5,6,7 y 8)
18 J 24-01-2019 Entrega de actas
Contenidos y Cronograma
4
• Cronograma
• Circuito RLC
5
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Los circuitos RLC se conforman al menos por resistencias, inductores
y capacitores, los cuales puede ser interconectados de diversas formas.
Para modelar la corriente y tensión, es necesario utilizar las ecuaciones
que describe corriente y tensión para el inductor y capacitor, las cuales
mediante un proceso matemático dan origen a una ecuación diferencial
de segundo orden, es por ello que les llaman también circuitos de
segundo de orden.
En este apartado se estudiarán configuraciones RLC serie, paralelo y
mixta.
6
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
El circuito RLC paralelo se caracteriza por tener interconectado de
forma paralela elementos resistivos, inductivos y capacitivos.
Considérese el siguiente circuito eléctrico RLC paralelo, el cual posee
un corriente inicial en el inductor de 𝐼0 y para el capacitor de 𝑉0.
7
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
De forma matemática es posible decir que:
Donde se conoce que una interconexión paralelo, el potencial en los
nodos comunes es el mismo, esto no permitirá aplicar una análisis
nodal respetando la ley pasiva de signos.
8
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Aplicando un análisis de nodos se tiene que:
Con las siguiente condiciones iniciales para el inductor y capacitor
9
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Para reducir la siguiente ecuación integro-diferencial, se derivará en
ambos lados
El siguiente resultado, al aplicar el operador de derivación en ambos
lados
10
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Según la ecuación diferencial de segundo orden
Es necesario determinar v(t), es por ello que para su solución
asumiremos, algo semejante al caso de circuito RC y RL
𝒗 𝒕 = 𝑨𝒆𝒔𝒕
Donde es posible que A y s puedan ser números complejos
11
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Sustituyendo la señal v(t) y sus derivadas en la ecuación diferencial se
tiene que:
𝑪𝑨𝒔𝟐𝒆𝒔𝒕 +𝟏
𝑹𝑨𝒔𝒆𝒔𝒕 +
𝟏
𝑳𝑨𝒆𝒔𝒕 = 𝟎
Simplificando se tiene
𝑨𝒆𝒔𝒕 𝑪𝒔𝟐 +𝟏
𝑹𝒔 +
𝟏
𝑳= 𝟎
12
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Para que está expresión sea 0, al menos uno de los términos debería ser
0.
𝑨𝒆𝒔𝒕 𝑪𝒔𝟐 +𝟏
𝑹𝒔 +
𝟏
𝑳= 𝟎
Analicemos
• Si 𝑨𝒆𝒔𝒕 = 𝟎 → 𝒗 = 𝟎 𝑵𝑶 𝑺𝑰𝑹𝑽𝑬
• Nos quedaría analizar 𝑪𝒔𝟐 +𝟏
𝑹𝒔 +
𝟏
𝑳
13
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
A la ecuación cuadrática que nos queda por analizar se le conoce como
ecuación característica o auxiliar.
𝑪𝒔𝟐 +𝟏
𝑹𝒔 +
𝟏
𝑳= 𝟎
Debido a que la forma que posee la ecuación característica es de forma
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Se sabe que sus soluciones se determinan como: 𝒙 =−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
14
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Resolviendo la ecuación característica se tiene que:
𝒔𝟏 =−𝟏
𝟐𝑹𝑪+
𝟏
𝟐𝑹𝑪
𝟐
−𝟏
𝑳𝑪
𝒔𝟐 =−𝟏
𝟐𝑹𝑪−
𝟏
𝟐𝑹𝑪
𝟐
−𝟏
𝑳𝑪
15
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Utilizando las soluciones 𝒔𝟏 y 𝒔𝟐 en la ecuación característica, se
formula que:
𝒗𝟏 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆𝒔𝟏𝒕
𝒗𝟐(𝒕) = 𝑨𝟐𝒆𝒔𝟐𝒕
Con base en las expresiones 𝒗𝟏 𝒕 y 𝒗𝟐 𝒕 se infiere que existen dos
tensiones eléctricas que dan solución a la ecuación.
16
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Por lo tanto habrían dos ecuaciones diferenciales descritas como:
𝑪𝒅𝒗𝟏
𝟐
𝒅𝒕𝟐+
𝟏
𝑹
𝒅𝒗𝟏
𝒅𝒕+
𝟏
𝑹𝒗𝟏 = 𝟎
𝑪𝒅𝒗𝟐
𝟐
𝒅𝒕𝟐+
𝟏
𝑹
𝒅𝒗𝟐
𝒅𝒕+
𝟏
𝑹𝒗𝟐 = 𝟎
Véase que sucede si se suman estas ecuaciones diferenciales.
17
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Aplicando una suma entre ambas ecuaciones diferenciales se tiene que:
𝑪𝒅𝟐 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐
𝒅𝒕𝟐+
𝟏
𝑹
𝒅 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐
𝒅𝒕+
𝟏
𝑹𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 = 𝟎
Se ve que hay linealidad, y que entonces la suma de 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 ,
también es una solución por lo que la respuesta natural es:
𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆𝒔𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆𝒔𝟐𝒕 𝑽
Donde hay que determinar a 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 utilizando v(0) y dv(0)/dt, que
deben satisfacer condiciones iniciales.
18
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Caracterización de los términos de la ecuación
La solución obtenida para la tensión eléctrica v(t), no proporciona
mucha información es por que será reescrita para tener una mejor
percepción.
Véase que 𝒆𝒔𝟏𝒕, el exponente es completamente adimensional, esto
quiere decir que 𝒔𝟏,𝟐 →𝟏
𝒔y como:
𝒔𝟏,𝟐 =−𝟏
𝟐𝑹𝑪±
𝟏
𝟐𝑹𝑪
𝟐
−𝟏
𝑳𝑪
Implica 𝒔𝟏,𝟐 →𝟏
𝒔→ 𝑯𝒛 → frecuencia
19
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
En relación a lo anterior se tiene entonces que:
𝜔0 =1
𝐿𝐶→ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝛼 =1
2𝑅𝐶→ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑎
𝑁𝑝
𝑠
Por lo tanto se puede escribir
𝒔𝟏,𝟐 = −𝜶 ± 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐
Factor de amortiguamiento
→
20
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Determinación de valores iniciales y finales
Como se vio en el análisis de circuitos RC y RL, era muy común
determinar las condiciones iniciales i(0) y v(0) y finales i(∞) y v(∞)
para inductores y capacitores.
Para los circuitos RLC, además de las condiciones iniciales es
necesario determinar ahora las condiciones iniciales de sus derivadas,
dv/dt y di/dt.
Es importante tener en cuenta la polaridad v(t) del capacitor y la
corriente en el inductor i(t), respetando siempre la ley pasiva de
signos.
21
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
Ejemplo
Determine las siguientes condiciones, para t > 0.
a) 𝑖 0− y 𝑣 0−
b) 𝑖 0+ y 𝑣 0+
c) 𝑑𝑖 0+ /𝑑𝑡 y d𝑣 0+ /𝑑𝑡d) 𝑖 ∞ y 𝑣 ∞
22
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
a) Calculo de 𝑖 0− y 𝑣 0−
Simplificando el circuito se tiene que:
23
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
b) Calculo de 𝑖 0− y 𝑣 0−
Simplificando el circuito se tiene que:
24
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
c) Calculo de 𝑑𝑖 0+ /𝑑𝑡 y d𝑣 0+ /𝑑𝑡
Simplificando el circuito se tiene que:
Se sabe que:
También se sabe:
25
8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes
d) Calculo de 𝑖 ∞ y 𝑣 ∞
Simplificando el circuito se tiene que:
26
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
La descripción matemática para un circuito RLC, es proceso de análisis
es similar a un circuito RLC paralelo. No obstante al ser un circuito
RLC serie la diferencia radica primordialmente en que la variable que
se desea determinar es la corriente i(t)
Con base en lo anterior considere el siguiente circuito RLC serie sin
fuente.
27
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Ahora bien, para este análisis tomaremos como condiciones iniciales
para en el inductor y capacitor.
A partir de las condiciones iniciales, al aplicar una malla al circuito se
obtiene, la siguiente ecuación integro-diferencial.
28
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Simplificando la ecuación y aplicando el operador de derivación en
ambos lados se tiene que:
Del mismo modo, se asumirá como una posible solución a la ecuación
diferencial la siguiente expresión
29
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Derivando la expresión de i(t), y evaluándola en la ecuación diferencial
se tiene que:
Simplificando la ecuación diferencial anterior, se tiene:
30
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Se había inferido que la una parte de la ecuación que puede ser 0, es
Únicamente tenemos la ecuación característica, encontrando sus
raíces de modo que:
31
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Reescribiendo las soluciones para 𝒔𝟏,𝟐, en términos de 𝜶 y 𝝎𝟎 se tiene
que:
Con 𝜶 y 𝝎𝟎
32
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Reescribiendo la ecuación característica en términos de 𝜶 y 𝝎𝟎
Ahora suponiendo que la ecuación característica, posee dos posibles
soluciones se puede afirmar que:
33
8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes
Mediante una combinación lineal la solución para i(t) es:
Finalmente las constante 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 se determinan a partir de los valores
iniciales de i(0) y di(0)/dt
34
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
De manera general se han estudiado circuitos de segundo orden, los
cuales están conformados por elementos pasivos tales como R, L y C.
No obstante ahora se estudiarán casos particulares donde sus respuestas
dependerán directamente de los parámetros 𝜶 y 𝝎𝟎, esto quiere decir
que:
1. Si 𝜶 > 𝝎𝟎, su respuesta es tipo sobreamortiguada, lo que implica
soluciones reales para la ecuación característica.
2. Si 𝜶 = 𝝎𝟎, su respuesta es tipo críticamente amortiguada, lo que
implica una única solución para la ecuación característica.
3. Si 𝜶 < 𝝎𝟎, su respuesta es tipo subamortiguada, lo que implica
soluciones complejas para la ecuación característica.
35
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Caso sobreamortiguado
Según la configuración del circuito RLC, sea serie, paralelo o mixto, es
necesario determinar las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
Para que la respuesta sea sobreamortiguada, se tiene que cumplir que:
𝛼 > 𝜔0
RLC Serie RLC Paralelo
36
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
En relación a lo anterior, se puede decir al ser 𝜶 > 𝝎𝟎 las soluciones
de la ecuación característica 𝒔𝟏,𝟐 son reales negativas. Esto implica
que:
Por lo tanto
−𝜶 − 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐 < −𝜶 + 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎
𝟐 < 𝟎
37
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Lo anterior implica que la relación entre los componentes pasivos del
circuito son:
𝑪 >𝟒𝑳
𝑹𝟐
Finalmente su respuesta en dominio del tiempo será:
𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡
Según la respuesta anterior, se sabe que al ser 𝒔𝟏,𝟐 constantes reales
negativas, y como 𝒔𝟐 > 𝒔𝟏 , el término 𝑨𝟐𝒆𝒔𝟐𝒕 decrece más rápido
en relación al término 𝑨𝟏𝒆𝒔𝟏𝒕.
38
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
De manera gráfica se muestra un ejemplo de una señal de corriente de
tipo sobreamortiguada.
39
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Ejemplo
Determine la respuesta v(t), suponiendo que v(0) = 5V e i(0) = 0A
40
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Como no hay fuentes
encontraremos la respuesta
natural, mediante una ecuación
diferencial.
Aplicando nodos
41
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Para eliminar las integrales, se
aplica una derivada a ambos lados
Reacomodando a la forma de la
ecuación característica se tiene:
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0
𝒔𝟐 + 𝟓𝟐𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎
42
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =1
2𝑅𝐶=
1
2 ∗ 1.923 ∗ 10𝑚= 26
𝜶 = 𝟐𝟔
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
1 ∗ 10𝑚= 10
𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,
respuesta sobreamortiguada
43
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = −26 + 262 − 102 = −2𝒔𝟏 = −𝟐
𝑠2 = −26 − 262 − 102 = −50𝒔𝟐 = −𝟓𝟎
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑽
44
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y
𝑨𝟐 , se deberán utilizar condiciones
iniciales.
𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑽
𝒗 𝟎 = 𝑨𝟏𝒆−𝟐∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎∗𝟎𝒕 𝑽
𝟓 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
45
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y
𝑨𝟐 , se deberán utilizar condiciones
iniciales de su derivada
46
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝟐𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 − 𝟓𝟎𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟐𝑨𝟏 − 𝟓𝟎𝑨𝟐 = −𝟐𝟔𝟎
47
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟓
−𝟐𝑨𝟏 − 𝟓𝟎𝑨𝟐 = −𝟐𝟔𝟎
𝑨𝟏 =−𝟓
𝟐𝟒
𝑨𝟐 =𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟒
48
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Rescribiendo la respuesta de v(t)
𝒗 𝒕 =−𝟓
𝟐𝟒𝒆−𝟐𝒕 +
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟒𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
49
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
50
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
51
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Ejemplo
Determine la respuesta v(t) para t > 0.
52
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Cálculo de condiciones iniciales para L y C
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟓𝟎
𝟑𝟎 + 𝟓𝟎∗ 𝟒𝟎𝑽 = 𝟐𝟓𝑽
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟐𝟓𝑽
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− =−𝟒𝟎𝑽
𝟖𝟎Ω= −𝟎. 𝟓𝑨
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = −𝟎. 𝟓𝑨
Caso t < 0
53
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de v.
Por nodos
𝒊𝑹 + 𝒊𝑪 + 𝒊𝑳 = 𝟎𝒗
𝑹+ 𝑪
𝒅𝒗
𝒅𝒕+ 𝒊𝑳 = 𝟎
Reescribiendo
𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= −
𝒗 𝟎 + 𝑹𝒊 𝟎
𝑹𝑪= −
𝟐𝟓 − 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟓
𝟓𝟎 ∗ 𝟐𝟎µ𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= 𝟎
Caso t > 0
54
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Como no hay fuentes
encontraremos la respuesta
natural, mediante una ecuación
diferencial.
Aplicando nodos
55
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Para eliminar las integrales, se
aplica una derivada a ambos lados
Reacomodando a la forma de la
ecuación característica se tiene:
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0
𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒔 + 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟎
56
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =1
2𝑅𝐶=
1
2 ∗ 50 ∗ 20µ= 500
𝜶 = 𝟓𝟎𝟎
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
0.4 ∗ 20µ= 354
𝝎𝟎 = 𝟑𝟓𝟒Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,
respuesta sobreamortiguada
57
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = −500 + 5002 − 3542 = −854𝒔𝟏 = −𝟏𝟒𝟔
𝑠2 = −500 − 5002 − 3542 = −854𝒔𝟐 = −𝟖𝟓𝟒
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕 𝑽
58
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y
𝑨𝟐 , se deberán utilizar condiciones
iniciales.
𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕 𝑽
𝒗 𝟎 = 𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒∗𝟎 𝑽
𝟐𝟓 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
59
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝟏𝟒𝟔𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 − 𝟖𝟓𝟒𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟏𝟒𝟔𝑨𝟏 − 𝟖𝟓𝟒𝑨𝟐 = 𝟎
60
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟐𝟓
−𝟏𝟒𝟔𝑨𝟏 − 𝟖𝟓𝟒𝑨𝟐 = 𝟎
𝑨𝟏 =𝟏𝟎𝟔𝟕𝟓
𝟑𝟓𝟒
𝑨𝟐 =−𝟏𝟖𝟐𝟓
𝟑𝟓𝟒
61
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Rescribiendo la respuesta de v(t)
𝒗 𝒕 =−𝟏𝟖𝟐𝟓
𝟑𝟓𝟒𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕 +
𝟏𝟎𝟔𝟕𝟓
𝟑𝟓𝟒𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
62
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
63
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
64
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
Caso críticamente amortiguado
De la misma forma que el caso sobreamortiguado, el circuito RLC, sea
serie, paralelo o mixto, es necesario determinar las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
Para que la respuesta sea críticamente amortiguada, se tiene que
cumplir que:
𝛼 = 𝜔0
RLC Serie RLC Paralelo
65
En relación a lo anterior, se puede decir al ser 𝜶 = 𝝎𝟎 las soluciones
de la ecuación característica 𝒔𝟏,𝟐 son iguales. Esto implica que:
Por lo tanto
−𝜶 − 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐 = −𝜶 + 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎
𝟐
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
66
Lo anterior implica que la relación entre los componentes pasivos del
circuito son:
𝑪 =𝟒𝑳
𝑹𝟐
Finalmente su respuesta en dominio del tiempo será:
𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝐴1𝑒−𝛼𝑡 + 𝐴2𝑒
−𝛼𝑡 = 𝐴3𝑒−𝛼𝑡
Según la respuesta anterior, se sabe que 𝐴3 = 𝐴1 + 𝐴2, pero no de
manera analítica esta solución no puede ser debido a que las dos
condiciones iniciales no pueden satisfacerse con la constante 𝐴3.
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
67
Analizando lo anterior, ¿Qué está malo en el análisis?
La respuesta circunda en que no se puede suponer ahora de una
solución exponencial es incorrecta debido a que no satisface la
ecuación, únicamente para este caso críticamente amortiguado.
Consideremos por ejemplo la condición de que 𝜶 = 𝝎𝟎, analícese ´por
ejemplo la siguiente ecuación diferencial.
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
68
Reescribiendo la ecuación diferencial se tiene que:
Realizando un cambio de variable se tiene que:
Finalmente reescribiendo
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
69
Se observa que el cambio de variable permite llegar a una ecuación
diferencial de primer orden, donde la solución para f es:
Y sustituyendo se tiene que f :
Reordenando
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
70
Donde se puede reescribir como:
Para despejar i se aplica una integración en ambos lados, se obtiene:
Donde ahora 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 son constantes, y la suma de ambas con un
termino lineal genera una respuesta críticamente amortiguada.
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
71
Finalmente se puede concluir que la respuesta críticamente
amortiguada en el dominio del tiempo para un circuito RLC es:
𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = (𝐴1+𝐴2𝑡)𝑒−𝛼𝑡
No obstante es posible argumentar que el termino 𝐴2𝑡𝑒−𝛼𝑡, consigue
su valor máximo cuando 𝑡 =1
𝛼esto indica una constante de tiempo, y
luego decrecerá hasta llegar a ser 0.
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
72
De manera gráfica se muestra un ejemplo de una señal de corriente de
tipo críticamente amortiguada.
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
73
Ejemplo
Determine la respuesta v(t), suponiendo que v(0) = 5V e i(0) = 0A
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
74
Como no hay fuentes
encontraremos la respuesta
natural, mediante una ecuación
diferencial.
Aplicando nodos
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
75
Para eliminar las integrales, se
aplica una derivada a ambos lados
Reacomodando a la forma de la
ecuación característica se tiene:
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0
𝒔𝟐 + 𝟐𝟎𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
76
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =1
2𝑅𝐶=
1
2 ∗ 5 ∗ 10𝑚= 10
𝜶 = 𝟏𝟎
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
1 ∗ 10𝑚= 10
𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 = 𝝎𝟎,
respuesta críticamente amortiguada
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
77
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = −10 ± 102 − 102 = −10
𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = −𝟏𝟎
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟏𝟎𝒕 𝑽
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
78
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguadaCálculo de condiciones iniciales para la
derivada de v.
Por nodos
𝒊𝑹 + 𝒊𝑪 + 𝒊𝑳 = 𝟎𝒗
𝑹+ 𝑪
𝒅𝒗
𝒅𝒕+ 𝒊𝑳 = 𝟎
Reescribiendo
𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= −
𝒗 𝟎 + 𝑹𝒊 𝟎
𝑹𝑪= −
𝟓 + 𝟓 ∗ 𝟎
𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝒎𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= −𝟏𝟎𝟎
79
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y
𝑨𝟐 , se deberán utilizar condiciones
iniciales.
𝒗 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟏𝟎𝒕 𝑽
𝒗 𝟎 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐 ∗ 𝟎)𝒆−𝟏𝟎∗𝟎 𝑽
𝟓 = 𝑨𝟏
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
80
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= (−𝟏𝟎𝑨𝟏 − 𝟏𝟎𝑨𝟐𝒕𝒆−𝟏𝟎𝒕 + 𝑨𝟐) 𝒆−𝟏𝟎𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟏𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟏𝟎𝟎
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
81
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐 = 𝟓
−𝟏𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟏𝟎𝟎
𝑨𝟏 = 𝟓
𝑨𝟐 = −𝟓𝟎
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
82
Rescribiendo la respuesta de v(t)
𝒗 𝒕 = (𝟓 − 𝟓𝟎𝒕)𝒆−𝟏𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
83
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
84
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
85
Ejemplo
Determine la respuesta i(t) para t > 0.
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
86
Cálculo de condiciones iniciales para L y C
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟒𝟎Ω ∗ 𝟑𝟎𝑽
𝟓𝟎Ω= 𝟐𝟒𝑽
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟐𝟒𝑽
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟎
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟎𝑨
Caso t < 0
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
87
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de i.
Por mallas
𝑹𝒆𝒒𝒊 + 𝒗 𝟎 + 𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕= 𝟎
Reescribiendo
𝒅𝒊(𝟎)
𝒅𝒕= −
𝒗 𝟎 + 𝑹𝒆𝒒𝒊
𝑳= −
𝟐𝟒 − 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎
𝟐. 𝟓
𝒅𝒊(𝟎)
𝒅𝒕= −𝟗. 𝟔
Caso t > 0
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
88
Como no hay fuentes
encontraremos la respuesta
natural, mediante una ecuación
diferencial.
Aplicando mallas
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
89
Para eliminar las integrales, se
aplica una derivada a ambos lados
Reacomodando a la forma de la
ecuación característica se tiene:
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0
𝒔𝟐 + 𝟒𝟎𝒔 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
90
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =𝑅
2𝐿=
100
2 ∗ 2.5= 20
𝜶 = 𝟐𝟎
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
2.5 ∗ 1𝑚= 20
𝝎𝟎 = 𝟐𝟎Según los resultados 𝜶 = 𝝎𝟎,
respuesta críticamente amortiguada
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
91
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = 𝑠2 − 20 ± 202 − 202 = −20
𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = −𝟐𝟎
La respuesta será:
𝒊 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑨
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
92
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y
𝑨𝟐 , se deberán utilizar condiciones
iniciales.
𝒊 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑨
𝒊 𝟎 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐 ∗ 𝟎)𝒆−𝟐𝟎∗𝟎 𝑨
𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
93
Determinar la derivada de𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑖
𝑑𝑡= (−𝟐𝟎𝑨𝟏 − 𝟐𝟎𝑨𝟐𝒕 + 𝑨𝟐) 𝒆−𝟐𝟎𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟐𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟗. 𝟔
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
94
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐 = 𝟎
−𝟐𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟗. 𝟔
𝑨𝟏 = 𝟎
𝑨𝟐 = −𝟗. 𝟔
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
95
Rescribiendo la respuesta de i(t)
𝒊 𝒕 = −𝟗. 𝟔𝒕𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada
96
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
97
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
Caso subamortiguado
Según la configuración del circuito RLC, sea serie, paralelo o mixto, es
necesario determinar las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
Para que la respuesta sea subamortiguada, se tiene que cumplir que:
𝛼 < 𝜔0
RLC Serie RLC Paralelo
98
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
En relación a lo anterior, se puede decir al ser 𝜶 < 𝝎𝟎 las soluciones
de la ecuación característica 𝒔𝟏,𝟐 son complejas conjugadas. Esto
implica que:
Donde
Frecuencia de amortiguamiento
99
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
Lo anterior implica que la relación entre los componentes pasivos del
circuito son:
𝑪 >𝟒𝑳
𝑹𝟐
Finalmente su respuesta en dominio del tiempo será:
𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝐴1𝑒−(𝛼−𝑗𝜔𝑑)𝑡 + 𝐴2𝑒
−(𝛼+𝑗𝜔𝑑) 𝑡
𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝑒−𝛼𝑡(𝐴1𝑒+𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2𝑒
−𝑗𝜔𝑑𝑡)
La expresión obtenida es un poco difícil de entender debido a las
constantes complejas que posee, es por ello que se reescribirá la
expresión de otra manera.
100
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
Usando notación de Euler se tiene que:
Reescribiendo la expresión se tiene que:
Donde se agrupan las constantes (𝐴1+𝐴2) → 𝐵1 y 𝑗(𝐴1 − 𝐴2) → 𝐵2,
finalmente se tiene que:
𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝑒−𝛼𝑡(𝐵1cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2sin(𝜔𝑑𝑡))
101
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
Con base a en la expresión obtenida se tiene claro que la respuesta
natural en este caso particular esta amortiguada de manera exponencial
y será de carácter oscilatorio
Esta respuesta tiene una constante de tiempo de 1/𝛼 y un periodo de
oscilación de 𝑇 = 2𝜋/𝜔𝑑
102
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
De manera gráfica se muestra un ejemplo de una señal de corriente de
tipo subamortiguada.
103
Ejemplo
Determine la respuesta v(t), suponiendo que v(0) = 5V e i(0) = 0A
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
104
Como no hay fuentes
encontraremos la respuesta
natural, mediante una ecuación
diferencial.
Aplicando nodos
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
105
Para eliminar las integrales, se
aplica una derivada a ambos lados
Reacomodando a la forma de la
ecuación característica se tiene:
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0
𝒔𝟐 + 𝟏𝟔𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
106
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =1
2𝑅𝐶=
1
2 ∗ 6.25 ∗ 10𝑚= 8
𝜶 = 𝟖
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
1 ∗ 10𝑚= 10
𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 < 𝝎𝟎,
respuesta subamortiguada
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
107
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1,2 = −8 ± 82 − 102 = −8 ± 𝑗6
𝒔𝟏,𝟐 = −𝟖 ± 𝒋𝟔
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟔𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒕))𝒆−𝟖𝒕 𝑽
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
108
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de v.
Por nodos
𝒊𝑹 + 𝒊𝑪 + 𝒊𝑳 = 𝟎𝒗
𝑹+ 𝑪
𝒅𝒗
𝒅𝒕+ 𝒊𝑳 = 𝟎
Reescribiendo
𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= −
𝒗 𝟎 + 𝑹𝒊 𝟎
𝑹𝑪= −
𝟓 + 𝟔. 𝟐𝟓 ∗ 𝟎
𝟔. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝒎𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= −𝟖𝟎
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
109
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se deberán
utilizar condiciones iniciales.
𝒗 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟔𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒕))𝒆−𝟖𝒕 𝑽
𝒗 𝟎 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟔 ∗ 𝟎) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟔 ∗ 𝟎))𝒆−𝟖∗𝟎𝑽
𝟓 = 𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
110
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= −8𝑒−8𝑡(𝐵1𝑐𝑜𝑠 6𝑡 + 𝐵2sen(6t)) + 𝑒−8𝑡(−6𝐵1𝑠𝑒𝑛 6𝑡 + 6𝐵2𝑐𝑜𝑠 6𝑡 )
Evaluada en t = 0
−𝟖𝑩𝟏 + 𝟔𝑩𝟐 = −𝟖𝟎
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
111
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟓
−𝟖𝑩𝟏 + 𝟔𝑩𝟐 = −𝟖𝟎
𝑩𝟏 = 𝟓
𝑩𝟐 = −𝟐𝟎
𝟑
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
112
Rescribiendo la respuesta de v(t)
𝒗 𝒕 = (𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒕 −𝟐𝟎
𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒕))𝒆−𝟖𝒕𝑽 𝒕 > 𝟎
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
113
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
114
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
115
Ejemplo
Determine la respuesta i(t) para t > 0.
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
116
Cálculo de condiciones iniciales para L y C
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟔Ω ∗ 𝟏𝟎𝑽
𝟏𝟎Ω= 𝟔𝑽
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟔𝑽
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− =𝟔𝑽
𝟔Ω= 𝟏𝑨
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟏𝑨
Caso t < 0
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
117
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de i.
Por mallas
𝑹𝒆𝒒𝒊 + 𝒗 𝟎 + 𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕= 𝟎
Reescribiendo
𝒅𝒊(𝟎)
𝒅𝒕= −
𝒗 𝟎 + 𝑹𝒆𝒒𝒊
𝑳= −
−𝟔 + 𝟗 ∗ 𝟏
𝟎. 𝟓
𝒅𝒊(𝟎)
𝒅𝒕= −𝟔
Caso t > 0
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
118
Como no hay fuentes
encontraremos la respuesta
natural, mediante una ecuación
diferencial.
Aplicando mallas
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
119
Para eliminar las integrales, se
aplica una derivada a ambos lados
Reacomodando a la forma de la
ecuación característica se tiene:
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0
𝒔𝟐 + 𝟏𝟖𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
120
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =𝑅
2𝐿=
9
2 ∗ 0.5= 9
𝜶 = 𝟗
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
0.5 ∗ 0.02= 10
𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 < 𝝎𝟎,
respuesta subamortiguada
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
121
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1,2 − 9 + 92 − 102 = −9 ± 𝑗 19
𝒔𝟏,𝟐 = −𝟗 ± 𝒋 𝟏𝟗
La respuesta será:
𝒊 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟗𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟗𝒕))𝒆−𝟗𝒕𝑨
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
122
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se deberán
utilizar condiciones iniciales.
𝒊 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟗𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟗𝒕))𝒆−𝟗𝒕𝑨
𝒊 𝟎 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟗 ∗ 𝟎) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟗 ∗ 𝟎))𝒆−𝟗∗𝟎𝑨
𝟏 = 𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
123
Determinar la derivada de𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑖
𝑑𝑡= −9𝑒−9𝑡(𝐵1𝑐𝑜𝑠 19𝑡 + 𝐵2sen( 19t)) + 𝑒−9𝑡(− 19𝐵1𝑠𝑒𝑛 19𝑡
+ 19𝐵2𝑐𝑜𝑠 19𝑡 )
Evaluada en t = 0
−𝟗𝑩𝟏 + 𝟏𝟗𝑩𝟐 = −𝟔
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
124
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟏
−𝟗𝑩𝟏 + 𝟏𝟗𝑩𝟐 = −𝟔
𝑩𝟏 = 𝟏
𝑩𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟖𝟖𝟐
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
125
Rescribiendo la respuesta de i(t)
𝒊 𝒕 = (𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟗𝒕 + 𝟎. 𝟔𝟖𝟖𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟗𝒕 )𝒆−𝟗𝒕𝑨 𝒕 > 𝟎
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
126
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
127
8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada
128
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
La respuesta completa es la suma de la respuesta natural mas la
forzada. Sin embargo la resolución es al misto estilo de lo trabajado
hasta ahora, únicamente hay que resaltar que para la determinación de
las condiciones iniciales para determinar el valor de las constantes de
la respuesta se necesita más pericia.
En relación a lo anterior, tal como en la respuesta completa para RC y
RL, la respuesta forzada es constante por ejemplo 𝑣𝑓(𝑡) → 𝑣𝑓 o
𝑖𝑓(𝑡) → 𝑖𝑓 mientras que la respuesta natural ya es conocida
𝑖(𝑡)𝑛 = 𝑣(𝑡)𝑛 = 𝐴𝑒𝑠1𝑡 + 𝐵𝑒𝑠2𝑡
129
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Sin embargo como es de esperar se puede determinar con facilidad los
valores de 𝑣𝑓, 𝑖𝑓, 𝑠1 y 𝑠2, se conocen del circuito y de las funciones
forzadas (fuentes).
De aquí se conocerá la condición inicial de 𝑣(0±) e 𝑖(0±) que dará la
ecuación, sin embargo casi siempre la otra ecuación sale de un análisis
que involucra la derivada de la respuesta
𝑑𝑣
𝑑𝑡𝑡=0
o 𝑑𝑖
𝑑𝑡𝑡=0
La relación de esta derivada con el resto del circuito dependerá de las
condiciones particulares de este, por lo que debe recurrirse a la
observación determinada.
130
Ejemplo (serie)
Determine la respuesta v(t) e i(t) para t > 0. Con R= 1Ω.
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
131
Cálculo de condiciones iniciales para L y C
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟏Ω ∗ 𝟐𝟒𝑽
𝟐Ω= 𝟏𝟐𝑽
𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟏𝟐𝑽
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− =𝟏𝟐𝑽
𝟏Ω= 𝟏𝟐𝑨
𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟏𝟐𝑨
Caso t < 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
132
Cálculo de v infinito
𝒗 ∞ = 𝟐𝟒𝑽
𝒗 ∞ = 𝟐𝟒𝑽
Caso t > 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
133
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de v.
𝑪𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= 𝟏𝟐
Reescribiendo𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕=
𝟏𝟐
𝑪
𝒅𝒗(𝟎)
𝒅𝒕= 𝟒𝟖
Caso t > 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
134
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =𝑅
2𝐿=
1
2 ∗ 1= 0.5
𝜶 = 𝟎. 𝟓
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
0.25 ∗ 1= 2
𝝎𝟎 = 𝟐Según los resultados 𝜶 < 𝝎𝟎,
respuesta subamortiguada
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
135
Determinando la raíces de la ecuación característica.
𝑠1,2 − 0.5 + 0.52 − 22 = −9 ± 𝑗 15/4
𝒔𝟏,𝟐 = −𝟗 ± 𝒋 𝟏𝟓/𝟒
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = 𝟐𝟒 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟓/𝟒𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟓/𝟒𝒕))𝒆−𝟎.𝟓𝒕𝑽
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
136
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se deberán utilizar condiciones
iniciales.
𝒗 𝒕 = 𝟐𝟒 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓
𝟒𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏
𝟏𝟓
𝟒𝒕 )𝒆−𝟎.𝟓𝒕𝑽
𝒗 𝟎 = 𝟐𝟒 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟓
𝟒∗ 𝟎) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(
𝟏𝟓
𝟒∗ 𝟎))𝒆−𝟎.𝟓∗𝟎𝑽
−𝟏𝟐 = 𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
137
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −0.5𝑒−0.5𝑡(𝐵1𝑐𝑜𝑠𝟏𝟓
𝟒𝑡 + 𝐵2sen
𝟏𝟓
𝟒𝑡 + 𝑒−0.5𝑡(−
𝟏𝟓
𝟒𝐵1𝑠𝑒𝑛
𝟏𝟓
𝟒𝑡
+𝟏𝟓
𝟒𝐵2𝑐𝑜𝑠
𝟏𝟓
𝟒𝑡 )
Evaluada en t = 0
−𝟎. 𝟓𝑩𝟏 +𝟏𝟓
𝟒𝑩𝟐 = 𝟒𝟖
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
138
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = −𝟏𝟐
−𝟎. 𝟓𝑩𝟏 + 𝟏𝟓/𝟒𝑩𝟐 = 𝟒𝟖
𝑩𝟏 = −𝟏𝟐
𝑩𝟐 = 𝟐𝟏. 𝟔𝟖
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
139
Rescribiendo la respuesta de v(t)
𝒗 𝒕 = 𝟐𝟒 + (−𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓
𝟒𝒕 + 𝟐𝟏. 𝟔𝟖𝒔𝒆𝒏
𝟏𝟓
𝟒𝒕 )𝒆−𝟎.𝟓𝒕𝑽 𝒕 > 𝟎
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
140
Rescribiendo la respuesta de i(t)
𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝒊 𝒕 = (𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓
𝟒𝒕 + 𝟑. 𝟏𝒔𝒆𝒏
𝟏𝟓
𝟒𝒕 )𝒆−𝟎.𝟓𝒕 𝑨 𝒕 > 𝟎
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
141
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
142
Ejemplo (paralelo)
Determine la respuesta i(t) e 𝑖𝑅(𝑡) para t > 0.
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
143
Cálculo de condiciones iniciales para L y CCaso t < 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
144
Cálculo de condiciones al infinito
𝑖 ∞ = 4 𝐴
Caso t > 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
145
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de iCaso t > 0
146
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
𝛼 =1
2𝑅𝐶=
1
2 ∗ 10 ∗ 8𝑚= 6.25
𝜶 = 𝟔. 𝟐𝟓
𝜔0 =1
𝐿𝐶=
1
20 ∗ 8𝑚= 2.5
𝝎𝟎 = 𝟐. 𝟓Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,
respuesta sobreamortiguada
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
147
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = −6.25 + 6.252 − 2.52 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝒔𝟏 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖
𝑠2 = −6.25 − 6.252 − 2.52 = −𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝒔𝟐 = −𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖
La respuesta será:
𝒊 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕 𝑨
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
148
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐, se
deberán utilizar condiciones iniciales.
𝒊 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕 𝑨
𝒊 𝟎 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖∗𝟎 𝑨
𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
149
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 + −𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝑨𝟏−𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝑨𝟐= 𝟎. 𝟕𝟓
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
150
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟎
−𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝑨𝟏−𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝑨𝟐= 𝟎. 𝟕𝟓
𝑨𝟏 =𝟑𝟕𝟓𝟎
𝟓𝟕𝟐𝟖𝟏
𝑨𝟐 =−𝟑𝟕𝟓𝟎
𝟓𝟕𝟐𝟖𝟏
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
151
Finalmente se tiene que:
𝒊 𝒕 = 𝟒 +𝟑𝟕𝟓𝟎
𝟓𝟕𝟐𝟖𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 − 𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕 𝒖(𝒕) 𝑨
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
152
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
153
Considere el siguiente circuito (combinado)
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
154
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
a) Determine las condiciones iniciales para 𝑖(0±), 𝑣(0±) y di(0±)/dt
b) Determine la ecuación diferencial que describe i(t) para t >0.
c) Determine la ecuación característica correspondiente, y los valores
de frecuencia naturales, resonancia y coeficiente de amortiguamiento
exponencial.
d) Determine i(t) para t >0
155
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
a) Determine las condiciones iniciales para 𝑖(0±), 𝑣(0±) y di(0±)/dt
𝑖 0± = 0A
𝑣 0± = 0𝑉
di(0±)/dt =𝑣𝐿(0+)
𝐿= 2 𝐼1 − 𝐼2 + 2 𝐼2 − 𝐼3 + 𝑣𝑐 0+ + 2𝐼2
di(0±)/dt =𝑣𝐿(0+)
𝐿= 2 𝐼1 − 0 + 2 0 − 𝐼3 + 𝑣𝑐 0+ + 2 ∗ 0
di(0±)/dt = = 2 ∗ 2 + 2 +4 = 8 𝐴/𝑠
156
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
b) Determine la ecuación diferencial que describe i(t) para t >0.
Malla 1
𝐼1 = 2 𝐴Malla 3
𝐼3 =𝑉1
2
Donde 𝐼3 = 𝐼1 − 𝐼2
157
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
b) Determine la ecuación diferencial que describe i(t) para t >0.
Malla 2
−𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣𝑐 + 𝑣𝐿 + 𝑣3 = 0
2 𝐼2 − 𝐼1 + 2 𝐼2 − 𝐼3 + 6 0
𝑡
𝐼2 − 𝐼3 𝑑𝑡 + 𝑣𝑐 0+ + 𝐿𝑑𝐼2𝑑𝑡
= 0
Simplificando:
𝒅𝟐𝒊𝑳𝒅𝒕𝟐
+ 𝟖𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕
+ 𝟏𝟐𝒊𝑳 = 𝟔𝑰𝟏
158
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
c) Determine la ecuación característica correspondiente, y los valores
de frecuencia naturales, resonancia y coeficiente de amortiguamiento
exponencial.
𝒔𝟐 + 𝟐𝜶𝒔 + 𝝎𝟎𝟐 = 𝟎
𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝜶 = 𝟒
𝝎𝟎 = 𝟏𝟐
𝒔𝟏,𝟐 = −𝟒 ± 𝟒𝟐 − 𝟏𝟐𝟐
𝒔𝟏 = −𝟐 𝒚 𝒔𝟐 = −𝟔
159
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
d) Determine i(t) para t >0
Antes de determinar la respuesta completa es necesario calcular la
condición de 𝑖 ∞𝑖 ∞ =
𝑣1
2
𝑣1 = 2(2 −𝑣1
2)
𝒊 ∞ =𝒗𝟏
𝟐=
𝟐
𝟐= 𝟏𝑨
160
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
d) Determine i(t) para t >0
Se sabe que 𝜶 = 𝟒 𝐲 𝝎𝟎 = 𝟏𝟐, esto implica que 𝛼 > 𝜔0, por lo
tanto la respuesta sobreamortiguada.
𝒊 𝒕 = 𝟏 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟔𝒕 𝒖 𝒕 𝑨
Condiciones iniciales
𝑖 0 → 0 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝟏
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟏
161
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
d) Determine i(t) para t >0
Aplicando di/dt𝑑𝑖
𝑑𝑡= −𝟐𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 − 𝟔𝑨𝟐𝒆−𝟔𝒕
𝟖 = −𝟐𝑨𝟏 − 𝟔𝑨𝟐
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
𝑨𝟏 =𝟏
𝟐
𝑨𝟐 =−𝟑
𝟐
162
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
d) Determine i(t) para t >0
Finalmente se tiene que:
𝒊 𝒕 = 𝟏 +𝟏
𝟐𝒆−𝟐𝒕 −
𝟑
𝟐𝒆−𝟔𝒕 𝒖 𝒕 𝑨
163
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
164
Ejemplo (combinado)
Determine la respuesta v(t) e 𝑖(𝑡) para t > 0.
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
165
Cálculo de condiciones iniciales para L y CCaso t < 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
166
Cálculo de condiciones al infinitoCaso t > 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
167
8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada
Cálculo de condiciones iniciales para la
derivada de iCaso t > 0
168
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0 Aplicando un nodo
Aplicando un malla
169
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0 Calculando v
Reescribiendo
Ecuación característica
170
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
2𝛼 = 5 → 𝛼 = 2.5
𝜶 = 𝟐. 𝟓
𝜔0 = 6
𝝎𝟎 = 𝟔
Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,
respuesta sobreamortiguada
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0
171
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = −2.5 + 2.52 − 62
= −𝟐
𝒔𝟏 = −𝟐
𝑠2 = −2.5 − 2.52 − 62
= −𝟑
𝒔𝟐 = −𝟑
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟑𝒕 𝑽
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
172
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐, se
deberán utilizar condiciones iniciales.
𝒗 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟑𝒕 𝑽
𝒗 𝟎 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟑∗𝟎 𝑽
𝟖 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
173
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝟐𝟏𝒆−𝟐𝒕 + −𝟑𝑨𝟐𝒆−𝟑𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟐𝑨𝟏−𝟑𝑨𝟐= −𝟏𝟐
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
174
Resolviendo el sistema de ecuaciones
se tiene que:
𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟖
−𝟐𝑨𝟏−𝟑𝑨𝟐= −𝟏𝟐
𝑨𝟏 = 𝟏𝟐
𝑨𝟐 = −𝟒
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
175
Finalmente se tiene que:
𝒗 𝒕 = (𝟒 + 𝟏𝟐𝒆−𝟐𝒕 − 𝟒𝒆−𝟑𝒕)𝒖(𝒕) 𝑽Para obtener i(t)
Se obtiene que:
𝒊 𝒕 = (𝟐 − 𝟔𝒆−𝟐𝒕 + 𝟒𝒆−𝟑𝒕)𝒖(𝒕) 𝑨
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
176
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
177
Considere el siguiente circuito (combinado)
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
178
a) Determine 𝑖𝐿(0±), 𝑣𝑐(0
±), dv0±/dt, y 𝑣𝑐(∞)b) Determine la ecuación diferencial de segundo orden que describe la
respuesta natural de 𝑖𝐿(𝑡), en función de R, L, C y P.
c) Determine el valor de constante P para que su respuesta sea
críticamente amortiguada.
d) Determine la respuesta completa para 𝑣𝑐(𝑡) para t > 0.
e) Grafique 𝑣𝑐(𝑡) para t > 0.
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
179
Cálculo de condiciones iniciales para
L y C
𝒗𝒂 = −𝟒𝑷𝒗𝒂 𝒕 = −𝟒𝑷𝒗𝒂
A menos de que P= -1/4 la única
solución será para t = 0 de que 𝒗𝒂 =𝟎.
𝒗𝒄 𝟎± = 𝟏𝟎𝑽𝒊𝑳 𝟎± = 𝟎𝑨
Caso t < 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
180
Cálculo de condiciones al infinito
𝒗𝒄 ∞ = 𝟏𝟔𝑽
Para dv𝟎±/dt
Dado que 𝑖𝐿 0+ = 0 𝐴 →𝑣𝑎 0+ = 0𝑉 → 𝑖𝑐 0+ = 0 𝐴
𝒅𝒗𝒄
𝒅𝒕= 𝟎 𝑽/𝒔
Caso t > 0
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
181
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0 Aplicando un nodo
𝒊𝑳 = 𝑷𝒗𝒂 + 𝒊𝒄
𝒊𝑳 = −𝑹𝒊𝑳𝑷 + 𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕= (𝑹𝑷 + 𝟏)𝒊𝑳
182
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0 Aplicando una supermalla
𝒗𝑳 − 𝒗𝒂 + 𝒗𝒄 = 𝟎
𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕+ 𝑹𝒊𝑳 + 𝒗𝒄 = 𝟎
𝒗𝒄 = −𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕− 𝑹𝒊𝑳
183
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0 Sustituyendo 𝒗𝒄
−𝑪𝑳𝒅𝒊𝑳
𝟐
𝒅𝒕𝟐− 𝑹𝑪
𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕
= (𝑹𝑷 + 𝟏)𝒊𝑳
𝒅𝒊𝑳𝟐
𝒅𝒕𝟐+
𝑹
𝑳
𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕
+𝑹𝑷 + 𝟏
𝑳𝑪𝒊𝑳 = 𝟎
Sustituyendo valores
𝒅𝒊𝑳𝟐
𝒅𝒕𝟐+ 𝟒𝟎
𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕
+ (𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷)𝒊𝑳 = 𝟎
184
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0 Ecuación diferencial
Ecuación característica
𝒔𝟐 + 𝟐𝜶𝒔 + 𝝎𝟎𝟐 = 𝟎
𝒔𝟐 + 𝟒𝟎𝒔 + (𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷) = 𝟎
𝒅𝒊𝑳𝟐
𝒅𝒕𝟐+ 𝟒𝟎
𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕
+ (𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷)𝒊𝑳 = 𝟎
185
Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.
2𝛼 = 40 → 𝛼 = 20
𝜶 = 𝟐𝟎 = 𝝎𝟎
𝝎𝟎 = 𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷 = 𝟐𝟎
𝑷 = 𝟔
Según los resultados 𝜶 = 𝝎𝟎, respuesta
críticamente amortiguada
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
Caso t > 0
186
Determinando la raíces de la ecuación
característica.
𝑠1 = −20 + 202 − 202 = −𝟐𝟎
𝒔𝟏 = −𝟐𝟎
𝑠2 = −20 − 202 − 202 = −𝟐𝟎𝒔𝟐 = −𝟐𝟎
La respuesta será:
𝒗 𝒕 = 𝟏𝟔 + (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
187
Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐, se
deberán utilizar condiciones iniciales.
𝒗 𝒕 = 𝟏𝟔 + (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽
𝒗 𝟎 = 𝟏𝟔 + (𝑨𝟏+𝑨𝟐 ∗ 𝟎)𝒆−𝟐𝟎∗𝟎 𝑽
−𝟔 = 𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
188
Determinar la derivada de𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝑨𝟐 𝒆−𝟐𝟎𝒕 − 𝟐𝟎(𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕
Evaluada en t = 0
−𝟐𝟎𝑨𝟏+𝑨𝟐= 𝟎
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
189
Resolviendo el sistema de ecuaciones se
tiene que:
𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐 = −𝟔−𝟐𝟎𝑨𝟏+𝑨𝟐= 𝟎
𝑨𝟏 = −𝟔𝑨𝟐 = −𝟏𝟐𝟎
Finalmente se tiene que:
𝒗 𝒕 = (𝟏𝟔 − (𝟔 + 𝟏𝟐𝟎𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕)𝒖(𝒕) 𝑽
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
190
8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)
191
En relación a todos los casos de circuitos de segundo orden, finalmente
resulta importante estudiar circuitos eléctricos que tenga la característica
ser generar respuesta oscilatorias en el dominio del tiempo.
No obstante para el fin de este curso, únicamente se estudiarán circuitos
LC sin perdidas, debido a que el contenido se basa en componentes
pasivos y no activos.
Ahora bien, según los circuitos RLC serie y paralelo, es posible conseguir
circuitos resonadores o LC, tomando como elemento variable a la
resistencia eléctrica.
8.7 Circuito LC sin pérdida
192
Analicemos el caso para un circuito RLC paralelo
Su ecuación diferencial se describe como:
8.7 Circuito LC sin pérdida
193
Donde 𝛼 y 𝜔0 se describían a partir de la ecuación característica como:
Finalmente decíamos que:
8.7 Circuito LC sin pérdida
194
Supongamos ahora que R→ ∞, y además que L y C poseen condiciones
iniciales
8.7 Circuito LC sin pérdida
195
Asumiendo que R→ ∞, la ecuación diferencial y característica se pueden
reescribir como:
En donde las constantes 𝛼 y 𝜔0 se reducen a:
8.7 Circuito LC sin pérdida
196
Al ser 𝛼 = 0, es implica que siempre 𝜔0 > 𝛼, por lo tanto su respuesta en
el dominio del tiempo será:
Donde simplificando, se obtiene un respuesta natural de:
La ausencia de 𝛼 permite que la señal mantenga su amplitud en tiempo, y
no se extinga, es importante notar que su respuesta es de carácter
oscilatorio o variante en tiempo.
8.7 Circuito LC sin pérdida
197
Gráficamente la ausente del factor exponencial se visualiza en el
siguiente caso:
8.7 Circuito LC sin pérdida
α ≠ 0 α = 0
198
El caso oscilatorio de esta respuesta se da debido a la constante carga y
descarga de los elementos que almacenan energía tal como se muestra a
continuación:
8.7 Circuito LC sin pérdida
199
Finalmente este caso particular, se puede extrapolar a un circuito RLC
serie en donde se asumirá que R→ 0, donde sus ecuaciones diferenciales
para respuesta natural se resumen:
8.7 Circuito LC sin pérdida
200
Y además su respuesta completa es posible escribir como la suma de la
respuesta forzada y natural.
Donde para determinar las constantes 𝐴1 y 𝐴2, se deberán considerar las
condiciones iniciales y también sus derivadas respectivamente, esto
permite satisfacer su condición inicial.
8.7 Circuito LC sin pérdida
201
Ejemplo
Determine v(t) para t > 0, considerando que 𝑖 0 =−1
6𝐴, 𝑣 0 = 0𝑉, L =
4H y 𝐶 =1
36𝐹
8.7 Circuito LC sin pérdida
202
Determinando𝒅𝒗
𝒅𝒕en condición inicial
8.7 Circuito LC sin pérdida
Aplicando ley fundamental del capacitor.
𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗(𝟎+)
𝒅𝒕
Aplicando un nodo
𝒊𝑳 + 𝒊𝒄 = 𝟎
Sustituyendo
𝒊𝑳 = −𝑪𝒅𝒗 𝟎+
𝒅𝒕→
−𝒊𝑳𝑪
=𝒅𝒗 𝟎+
𝒅𝒕= 𝟔 𝑨/𝒔
203
Se plantea la ecuación integro-diferencial
𝟏
𝟒 𝒕𝟎
𝒕
𝒗𝒅𝒕 −𝟏
𝟔+
𝟏
𝟑𝟔
𝒅𝒗
𝒅𝒕= 𝟎
Derivando a ambos lados
𝟏
𝟒𝒗 +
𝟏
𝟑𝟔
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒕𝟐= 𝟎
Donde se obtiene
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒕𝟐= −𝟗𝒗
𝒔𝟐 = −𝟗
8.7 Circuito LC sin pérdida
204
Determinando las soluciones para s
𝒔𝟏,𝟐 = −𝜶 ± 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐
𝒔𝟏,𝟐 = −𝟎 ± 𝟎𝟐 − 𝟑𝟐 = ±𝒋𝟑
Implica que 𝜶 < 𝝎𝟎, por lo tanto 𝝎𝟎 = 𝝎𝒅
8.7 Circuito LC sin pérdida
𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒅𝒕))
205
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se evalúa la condición inicial
𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟑𝒕))
Evaluando en t = 0
𝒗 𝟎 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟎 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟎))
Se tiene
𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟎
Donde es obvio observar que no hay respuesta forzada
8.7 Circuito LC sin pérdida
206
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se evalúa la condición inicial
de la derivada
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕= (−𝟑𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟑𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕))
Evaluando en t = 0
−𝟑𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟎 + 𝟑𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟔
Se tiene
𝟎𝑩𝟏 + 𝟑𝑩𝟐 = 𝟔
8.7 Circuito LC sin pérdida
207
La respuesta total para v(t) para t > 0 es:
𝒗 𝒕 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑽
Si se desea considerar determinar 𝒊𝒄(𝒕)
𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝒊𝒄 𝒕 = 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑨
8.7 Circuito LC sin pérdida
208
La respuesta total para v(t) para t > 0 es:
𝒗 𝒕 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑽
Si se desea considerar determinar 𝒊𝒄(𝒕)
𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝒊𝒄 𝒕 =𝟏
𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑨
8.7 Circuito LC sin pérdida
209
8.7 Circuito LC sin pérdida
210
Ejemplo
Determine v(t) e i(t) para t > 0. Asuma que L= 20H y C = 0.8 F
8.7 Circuito LC sin pérdida
211
Determinando condiciones iniciales
8.7 Circuito LC sin pérdida
Debido a la desconexión de la fuente
por el escalón se tiene que:
𝒗𝒄 𝟎± = 𝟎𝑽
𝒊𝑳 𝟎± = 𝟎𝑨
212
Determinando condiciones al infinito
8.7 Circuito LC sin pérdida
Debido a la desconexión de la fuente
por el escalón se tiene que:
𝒗𝒄 ∞ = 𝟎𝑽
𝒊𝑳 ∞ = 𝟏𝟎𝑨
213
Determinando𝒅𝒗
𝒅𝒕en condición inicial
8.7 Circuito LC sin pérdida
Aplicando ley fundamental del
capacitor.
𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗(𝟎+)
𝒅𝒕
Aplicando un nodo
𝒊𝑳 + 𝒊𝒄 = 𝟏𝟎Sustituyendo
𝒅𝒗 𝟎+
𝒅𝒕=
𝟏𝟎
𝑪= 𝟏𝟐. 𝟓 𝑽/𝒔
214
Se plantea la ecuación integro-diferencial en el nodo
𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕+
𝟏
𝑳 𝒕𝟎
𝒕
𝒗𝒅𝒕 − 𝒗(𝟎) = 𝟏𝟎
Derivando a ambos lados
𝑪𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒕+
𝟏
𝑳𝒗 = 𝟎
Donde se obtiene
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒕𝟐= −
𝟏
𝑳𝑪𝒗
𝒔𝟐 = −𝟏
𝑳𝑪
8.7 Circuito LC sin pérdida
215
Determinando las soluciones para s
𝒔𝟏,𝟐 = −𝜶 ± 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐
𝒔𝟏,𝟐 = −𝟎 ± 𝟎𝟐 −𝟏
𝟏𝟔
𝟐
= ±𝒋𝟏
𝟒
Implica que 𝜶 < 𝝎𝟎, por lo tanto 𝝎𝟎 = 𝝎𝒅
8.7 Circuito LC sin pérdida
𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒅𝒕))
216
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se evalúa la condición inicial
𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟎. 𝟐𝟓𝒕))
Evaluando en t = 0
𝒗 𝟎 = 𝟎 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟎 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟎))
Se tiene
𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟎
8.7 Circuito LC sin pérdida
217
Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se evalúa la condición inicial
de la derivada
𝒅𝒗 𝒕
𝒅𝒕= (−𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟐𝟓𝒕))
Evaluando en t = 0
−𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟓
Se tiene
−𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟓
8.7 Circuito LC sin pérdida
218
La respuesta total para v(t) para t > 0 es:
𝒗 𝒕 = 𝟓𝟎𝒔𝒊𝒏 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 𝒖 𝒕 𝑽
Si se desea considerar determinar 𝒊𝑳(𝒕)
𝒊𝑳 = 𝟏𝟎 − 𝑪𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝒊𝑳 𝒕 = 𝟏𝟎 − 𝟎. 𝟖 ∗ 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 𝒖 𝒕 𝑨
𝒊𝑳 𝒕 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 𝒖 𝒕 𝑨
8.7 Circuito LC sin pérdida
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8.7 Circuito LC sin pérdida
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Bibliografía
[1] Alexander, Charles K. y Sadiku, Matthew N. O. Fundamentos de
Circuitos Eléctricos. 5ª Ed. México: McGraw-Hill, 2013. (Imágenes)
Para más información pueden ingresar a: tec-digital ó
http://www.ie.tec.ac.cr/sarriola/
Esta presentación se ha basado parcialmente en compilación para semestre
anteriores de cursos de Circuitos Eléctricos en Corriente Continua y Teoría
Electromagnética I por Aníbal Coto-Cortés y Renato Rimolo-Donadio
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