circuitos4[1]

Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 109

RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC

Relembre: Bobines e condensadores Capacidade em armazenar energia

OBJECTIVO : Quantificar e caracterizar o comportamento das grandezas tensão e corrente proveniente da libertação de energia a partir destes elementos passivos sobre uma resistência inserido no circuito.

Configurações típicas

Leq R eqIo eq ReqoV+

-C

Nota: Aquando da libertação de energia, não existem fontes associadas aos circuitos.

Correntes e tensões geradas pela energia libertada

Correntes e tensões dependem da natureza do circuito

Resposta natural



Resposta natural de um circuito RL

EXEMPLO

t=0i

+

-LRI o R v

Nota: A fonte de corrente é constante (dc) e igual a I.

O interruptor permaneceu fechado por um período de tempo bastante longo.

Antes da abertura do interruptor, apenas existem correntes dc no circuito.

A bobine comporta-se como curto-circuito0=dtdiL

I

OBJECTIVO: Determinar a tensão e a corrente aos terminais da resistência, após a abertura do interruptor (t=0).

Cálculo de v(t) e i(t) para t = 0


t=0i

+

-LRI o R v


Resposta natural de um circuito RL (Cont.)

L RI

i +

-v

t=0

Cálculo de i(t) Lei da tensão de Kirchhoff

0=+ RidtdiL

Equação diferencial de 1ª ordem

R e L constantes

dtiLRdt

dtdi −=

Simplificando e dividindo por i

dtLR

idi

−=

dxx

= - RL

dyi t

i t

t

t

o o( )

( )

∫ ∫

Integrando




∫∫t

t

ti

ti oo

dyLR

- = x

dx

)(

)(

i(to)à corrente no instante inicial (to)

i(t)à corrente no instante (t)

tLR

iti

−=

)0()(

ln i(t) = i (0) e- (R/L)t Com to =0

Considerações importantes:

Não é possível verificar-se uma variação instantânea da corrente numa bobine.

A corrente na bobine antes da abertura do interruptor é igual a I.

Imediatamente após a abertura do interruptor a corrente na bobine mantém o valor.




ü Considere-se t = 0- , o tempo imediatamente antes da abertura do interruptor.

ü Considere-se t = 0+ , o tempo imediatamente após da abertura do interruptor.

i(0-) = i(0+) = I = Io Ioà Corrente inicial na bobine L RI

i +

-v

Io e i possuem o mesmo sentido

i(t) = Io e- (R/L) t, t ≥ 0

0

i(t)

t

Io

τ




0

i(t)

t

Io

τ

i(t) = Io e- (R/L) t, t ≥ 0

tI

Itiτ

00)( −=Expressão da corrente

para a taxa de decrescimento inicial

RL=τ Constante de tempo

i(t) = Io e- t/τ, t = 0

Cálculo da tensão, potência e energia

Tensão aos terminais da resistência v = R i = R Io e- (R/L)t = R Io e- t/τ , t = 0

Potência dissipadaRv

Rivip2

2 === p = R Io2 e- 2t/τ , t ≥ 0




Energia fornecida à resistência

dxe I Rpdx0

/2-2o

0∫∫ ==t

xt

w τ )-(1 2

/220

ττ teRIw −= 0 t)-(1 21 /22

0 ≥= − τteLIw

Nota: É fácil verificar que ao fim de 5τ a corrente apresenta uma fracção desprezável do seu valor inicial. Isto é, a corrente só existe temporariamente no circuito RL.

Resposta transitória


τ=0.1 seg

τ=0.01 seg

EVOLUÇÃO DA CORRENTE NUM CIRCUITO RL (RESPOSTA NATURAL)

i(t) = Io e- t/τ, t = 0


t=010A

100Ω10mH

4mH8Ωi



EXEMPLO O interruptor permaneceu na posição a por um período de tempo longo. No instante t=0, este foi movido para a posição b. Determine:

i(t) t = 0.

a b

Para t < 0

10A

100Ω10mH

I0

I0 = 10 A 10mH4mH8Ωi

t = 0

2.86mH8Ωi10A

0 ,10)(3108.2 ≥−= − teti tx


Resposta natural de um circuito RC


t = 0

CR

t = 0 +

-

vs

ü Ao fim de um tempo suficientemente longo o condensador comporta-se como um circuito aberto.

+ -

vs

CR

R1

i(t)a b

Qual é o valor da tensão aos terminais do condensador para t < 0?

Nota: Não se pode verificar uma variação instantânea da tensão aos terminais de um condensador

Vc (0+) = Vc(0-) = Vs


CR

+

-

vs

i(t)

Resposta natural de um circuito RC (Cont.)


+

-

v(t)

Dedução da expressão da tensão

Uso de nós fictícios Método das tensões nos nós.

0=+Rv

dtdv

C 0, )0()( / ≥= − tevtv RCt

v(0+) = v(0-) = V0 = Vs

τ = RC

Constante de tempo

t

o

0

v(t)

V v(t) = V o e-t/τ

v(t) = V o oVτ t-

τ

Corrente 0,)(

)( /0 ≥== − teR

VRtv

ti t τ

Potência 0,)( /22

0 ≥== − teR

Vvitp t τ

Energia ∫∫ −==t xt

dxeR

Vpdxtw

0

/22

0

0)( τ

0 t),1(21)( /22

0 ≥−= − τteCVtw


Resposta natural de um circuito RC (Cont.)


EXEMPLO

15mA

60ΚΩ 20ΚΩ

10KΩ

0.5µF

Determine:

a) Valor inicial de v( t).

b) Constante de tempo.

c) v(t) para t = 0

a) t < 0

Condensador em circuito aberto

Uso do divisor de corrente

i

mAmAKK

Ki 1015

306060

=+

= VKvv 20010x10*20)0()0( 3 === −+−

20ΚΩ0.5µF

t = 0b) τ = RC = 10ms

+

-

V0

c) 0, )0()( / ≥= − tevtv RCt

0, 200)( 100 ≥= − tetv t

Não sei se percebi isto!

t = 0+v(t)

-


Resposta em degrau de um circuito RL

RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC

Vs

R

L v(t)

t=0

i

+

-

+

-

OBJECTIVO: a) Determinar a expressão para a corrente que circula no circuito para t = 0.

b) Determinar a tensão aos terminais da bobine para t = 0.

Lei da tensão de Kirchhoff

dtdi

LRiVs +=

−

−=

+−=

RV

iLR

LVRi

dtdi ss

dtRV

iLR

dtdtdi s

−

−=

Multiplicando por dt

dtRV

iLR

di s

−

−=

Separando as variáveis

dtLR

RVidi

s

−=

− )/( ∫∫−

=−

tti

Is

dyLR

RVxdx

0

)(

0 )/(


Resposta em degrau de um circuito RL (Cont.)




Resolvendo os integrais:

tLR

)R/V(I)R/V()t(i

lns0

s −=

−− tLR

s

s eRVIRVti )/(

0 )/()/()( −=

−− 0t,e

RV

IRV

)t(i t)L/R(s0

s ≥

−+= −

Não existindo energia inicial na bobine,

0, )( )/( ≥−= − teRV

RV

ti tLRss

τ τ τ ττ2 3 4 5t

i(t)

0

0.632VsR

VsR

VsR

VsR

- e- t/ τi(t) =

VsL

ti(t) =

Após o interruptor ter sido fechado, a corrente evolui de zero até ao valor Vs/R

A taxa de crescimento é determinada pela constante de tempo do circuito (τ = L/R)






Para um tempo t = τ, após o fecho do interruptor, a corrente terá atingindo cerca de 63% do seu valor

RVe

RV

RVi sss 6321.0 )( 1 ≈−= −τ

Nota: Se a corrente mantivesse o seu crescimento à taxa inicial, a corrente atingiria o seu valor final para o valor τ

Derivando a expressão da corrente

ττ

τ//1 tsts e

LV

eRV

dtdi −− =

−−=

LV

dtdi s=)0(

Taxa inicial de variação de i

Se o crescimento da corrente se verificasse a esta taxa

tLV

ti s=)(




Determinar a tensão aos terminais da bobine para t = 0.

A Tensão aos terminais da bobine é dada por L di/dt

tLRs

tLRs eRIVeRV

ILRLtv )/(

0)/(

0 )( )( −− −=

−

−= Se I0 = 0 0, )( )/( ≥= − teVtv tLR

s

Nota: No instante em que o interruptor é fechado, a tensão na bobine assume o valor Vs – RI0

v(0)=Vs

τ τ τ ττ2 3 4 5t

0

Vs

Vs

Vs

-

e- t/ τ

Vs

v

v =

v = VsRL

t

0.367




Processo alternativo

v(t)

t=0

i

+

-

LRIs I0

Método das tensões nos nós

∫ ++=t

s IvdyLR

vI0 0

1 Derivando em ordem ao tempo

Lv

dtdv

R+= 10

Multiplicando por R e resolvendo em ordem a dv/dt

vLR

dtdv −=

Multiplicando por dt e separando as variáveis

dtLR

vdv −=∫∫

−=ttv

vdy

LR

xdx

0

)(

)0(tLRevtv )/()0()( −=

Tensão inicial aos terminais da bobine 00s v)II(R)0(v =−=

Is – I0

+

-

v0

tLRs eRIVtv )/(

0 )()( −−=




Cálculo da corrente na bobine

∫ +=t

IvdyL

ti0 0

1)( ou

Rtv

Iti s

)()( −=

Substituindo v(t) pela sua expressão

tLRss eRIV

RIti )/(

0 )(1

)( −−−=tLRss eI

RV

RV

ti )/(0 )( −

−−=

tLRss eRV

IRV

ti )/(0 )( −

−+=


EXEMPLO

Determine: a) iL para t < 0; (b) iL(t) para todo o t após o interruptor ter sido fechado.


Resposta em degrau de um circuito RC : Cálculo da corrente i(t)


+

V0

-

+ -

vs

C

R

+

Vc

-i(t)

Lei da tensão de Kirchhofft = 0

∫ ++=t

cs vidyC

RiV0

)0(1 Derivando em

ordem ao tempo

0=+Ci

dtdi

R ou 01

=+ iRCdt

di

De forma semelhante ao verificado para os circuitos RL

RCteiti / )0()( −= Corrente inicial no circuito

RVV

i s 0)0(−

=RCts e

RVV

ti /0 )( −−=


Resposta em degrau de um circuito RC


Cálculo da tensão vc(t) aos terminais do condensador

+

V0

-

+ -

vs

C

R

+

Vc

-i(t)

t = 0 RiVtv sc −=)( Substituindo a expressão da corrente

RCtssc eVVVtv /

0 )()( −−+= Se a tensão inicial no condensador for zero

RCts eRV

ti / )( −=

RCtssc eVVtv / )( −−=

i(t)

R

τ τ τ ττ2 3 4 5t

0

Vs

Vs

Vs e- t/ τ0.367

R

Ri(t) =

τ τ τ ττ2 3 4 5t

0

0.632Vs

Vs

Vs- e- t/ τ=

v

Vsvc

c


Resposta em degrau de um circuito RC


Processo alternativo

CR

Is

t = 0

+

Vc

-

+

V0

-i(t)


scc I

Rv

dtdvC =+ Dividindo por C

CI

RCv

dtdv scc =+

RCtssc eRIVRItv /

0 )()( −−+=

Cálculo da corrente

−

−== − RCt

sc eRIV

RCC

dtdv

Cti /0 )( 1)( RCt

s eRV

Iti /0 )( −

−=


RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC

Resposta natural de circuito RLC em paralelo

C RL

OBJECTIVO:

Cálculo das tensões e correntes nos ramos em paralelo, resultantes da libertação de energia armazenada nos elementos L e/ou C.

+

V0

-I0

iR

iciL

Método das tensões nos nós É óbvio

v

∫ =+++t

o dtdv

CIvdyLR

v0

01

Derivando em ordem ao tempo

01

2

2

=++dt

vdC

Lv

dtdv

R

01

2

2

=++LCv

dtdv

RCdtvd

Dividindo por C

Equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes



Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)

01

2

2

=++LCv

dtdv

RCdtvd Qual a solução? steAv = ?

A, s à incógnitas

02 =++ ststst eLCA

eRCAs

eAs

012 =

++

LCRCs

sAe st

Se A = 0 v = 0 ; solução impossível

012 =++

LCRCs

s Condição a verificar

Equação característica

SoluçõesLCRCRC

s1

21

21

2

1 −

+−=

LCRCRCs

12

12

12

2 −

−−=




LCRCRCs

12

12

12

1 −

+−=

LCRCRCs

12

12

12

2 −

−−=

steAv =

tseAv 1 11 =

tseAv 2 22 =

tsts eAeAtvtvtv 212121 )()()( +=+= Também é solução?

Cálculo das 1ª e 2ª derivadas

tsts esAesAdtdv

212211 +=

tsts esAesAdt

vd21 2

222112

2

+= Substituindo na equação diferencial

01111

22221

211

21 =

+++

++

LCs

RCseA

LCs

RCseA tsts

tsts eAeAtv 2121)( +=

Solução

= 0

= 0





Constantes calculadas por forma a satisfazer as condições iniciais.

Grandezas auxiliares

RC21

=αLC1

0 =ω

20

22 ωαα −−−=s

20

21 ωαα −+−=s

Natureza das raízes s1 e s2

Dependem de α e ω0

220 αω <Se Raízes reais e distintas

Resposta em tensão sobreamortecida

220 αω >Se Raízes complexas e conjugadas

Resposta em tensão sobamortecida

220 αω =Se Raízes reais e iguais

Resposta em tensão com amortecimento crítico




Cálculo das incógnitas A1 e A2

Resposta sobreamortecida

Valor inicial da tensão (ou corrente) Valor inicial da 1ª derivada da tensão (ou corrente)

Raízes da equação característica: reais e distintas.


C RL

+

V0

-I0

iR

iciL

v021)0( VAAv =+= 2211)0( AsAs

dtdv

+=?


0)0(00 =++

dtdvCI

RV ou

CI

RCV

dtdv 00)0( −−=




2211)0( AsAsdtdv

+=

CI

RCV

dtdv 00)0( −−=

221100 AsAs

CI

RCV

+=−− 021)0( VAAv =+=

[ ]12

00201

/)/1(ss

IRVCsVA

−++

=

[ ]12

00102

/)/1(ss

IRVCsVA

−++

=


7H142 F6Ω

EXEMPLO

Considerando que a energia inicial armazenada no condensador é zero e a energia inicial na bobine é 10A, determine v(t).

Io

)s(5.3RC21 1−==α

s1= -1 (s-1) s2= - 6 (s-1)

Assim,t6

2t

1 eAeA)t(v −− +=

Cálculo de A1 e A2 (Condições iniciais)

v(0) =0 0AA)0(v 21 =+=

21 A6A)0(dtdv −−= s/V 420

C10

C)0(i

C)0(i

C)0(i

)0(dtdv Rc ==+==

84A1 =

84A2 −=

V e84e84)t(v t6t −− −=


Representação gráfica

V e84e84)t(v t6t −− −=

V e84)t(v t−=

V e84)t(v t6−=




Resposta sobamortecida Raízes da equação característica: complexas e conjugadas.

)( 2201 αωα −−+−=s

220 αω >

2201 αωα −+−= js

djs ωα +−=1

djs ωα −−=2Frequência de amortecimento

coeficiente de amortecimento


tjtj dd eAeAtv )(2

)(1)( ωαωα +−+− +=

tjttjt dd eeAeeAtv ωαωα −−− += 21)(

Usando a identidade de Euler

θθθ sincos je j ±=±




)sincossincos()( 2211 tjAtAtjAtAetv ddddt ωωωωα −++= −

]sin)(cos)[()( 2121 tAAjtAAetv ddt ωωα −++= −

211 AAB += )( 212 AAjB −=

teBteBtv dt

dt ωω αα sincos )( 21

−− +=

Com,

RC21

=α 220 αωω −=d

Resposta sobamortecida

Cálculo de B1 e B2

Condições iniciais




Resposta sobamortecida Cálculo de B1 e B2

Valor inicial da 1ª derivada (dv/dt)Valor inicial de v

01)0( VBv ==

tBBetBBedtdv

ddt

ddt ωαωωαω αα sin) (cos) ( 2112 +−−= −−

Para t = 0,

12 )0( BBdtdv

d αω −=C RL

+

V0

-

I0 iR

iciL

v

CI

RCV

dtdv 00)0( −−=

CI

RCV

BBd00

12 −−=−αω

)2(1

0000

02 RIVIRV

CVB

ddd

+=

+−=

ωα

ωωα

teRIVteVtv dt

dd

t ωωα

ω αα sin )2(cos )( 000−− +−=




Resposta com amortecimento crítico Raízes da equação característica: reais e iguais.

RCss

21

21 −=−== α

220 αω = αω =0

teAAtv α−+= )()( 21teAtv α−= )( 3

E agora?Fácil!

tt eDetDtv αα −− += )( 21

])1[( 21 DDtedtdv t ααα −−= −

Para t = 0 02 V )0( == Dv

RV

C1

- )0( 00

21

+=−= IDD

dtdv

α

RV

C1

- 00

01

+= IVD α

)2( 001 RIVD +−= α



Resposta em degrau de circuito RLC em paralelo

C RL

+

V0

-I0

iR

iciL

vt = 0

I Cálculo das tensões nos ramos em paralelo e/ou das correntes, resultantes da aplicação de uma fonte de valor constante (dc).

OBJECTIVO

Nota: pode ou não existir energia armazenada nos elementos L e/ou C, no instante em que a fonte é aplicada.Cálculo de IL(t)

Por questões de simplicidade considere-se nula a energia inicial armazenada no circuito

Lei da corrente de Kirchhoff

Iiii CRL =++ Idtdv

CRv

iL =++

dtdi

Lv L=

2

2

dtid

Ldtdv L=

Idt

idLC

dtdi

RL

i LLL =++

2

2LCI

LCi

dtdi

RCdtid LLL =++

12

2




Cálculo da tensão Processo de análise alternativo

Idtdv

CRv

iL =++

Representação de IL em função de v.

Idtdv

CRv

dyvL

t=++∫0

1

Derivando em ordem t

01

2

2

=++dt

vdC

dtdv

RLv ou

01

2

2

=++LCv

dtdv

RCdtvd

Solução para v.

Função das raízes da equação característica teBteBtv d

td

t ωω αα sincos )( 21−− +=

tt eDetDtv αα −− += )( 21





teBteBtv dt


−− +=

tt eDetDtv αα −− += )( 21tsts eAeAtv 21

21)( +=

Idtdv

CRv

iL =++

tstsL eAeAIti 21 '

2'

1)( ++=

teBteBIti dt

dt

L ωω αα sin cos )( '2

'1

−− ++=

ttL eDetDIti αα −− ++= )( '

2'1

Nota: A1’, A2

’, B1’, B2

’, D1’, D2

’ são constantes arbitrárias,as quais são determinadas a partir de iL(0) e diL(0)/dt.

Componente forçada

Componente de resposta natural


EXEMPLO

Considere o seguinte circuito. Determine: (a) O valor da resistência R1 de modo que a resposta do circuito seja criticamente amortecida; (b) R2 por forma a que v(0) = 100V; (c) v(t) para t= 1 ms.

αω =0LC1

RC21 = 6

62 10

10x44

C4L

R === − Ω= k 1R1

a)

b)

t ≥ 0

t < 0

+

-

100 V

A1.0k1

100i1 ==

A4.01.05.0i2 =−=

Ω== 2504.0

100R2i1i2



Resposta natural de circuito RLC em série

R L

C Vo+

-

Io

i

OBJECTIVO:

Cálculo da corrente que percorre os elementos do circuito, resultantes da libertação de energia armazenada nos elementos L e/ou C.


01

0 =+++ ∫t

oVidy

Cdtdi

LRi

Derivando em ordem ao tempo

02

2

=++Ci

dtid

Ldtdi

Rou

02

2

=++LCi

dtdi

LR

dtid

Equação semelhante às verificadas nos circuitos em paralelo

012 =++

LCs

LR

s

Equação característica

LCLR

LR

s1

22

2

2,1 −

±−= 2

02

2,1 ωαα −±−=s



Resposta natural de circuito RLC em série (Cont.)

Frequência de ressonância

coeficiente de amortecimento

1 2

−= segL

Rα

sradLC

/ 1

0 =ωNatureza das raízes s1 e s2

Dependem de α e ω0

220 αω <Se Raízes reais e distintas

Resposta em corrente sobreamortecida

220 αω >Se Raízes complexas e conjugadas

Resposta em corrente sobamortecida

220 αω =Se Raízes reais e iguais

Resposta em corrente com amortecimento crítico

teBteBti dt


−− +=

tt eDetDti αα −− += )( 21

tsts eAeAti 2121)( +=

Cálculo da tensão para cada elemento



Resposta em degrau de circuito RLC em série (Cont.)

R L

C+

-i+-

V vc

v vR L

t =0

Por questões de simplicidade considere-se nula a energia inicial armazenada no circuito


cvdtdi

LRiV ++=

dtdv

Ci c=2

2

dtvd

Cdtdi c=

LCV

LCv

dtdv

LR

dtvd ccc =++2

2

Dividindo por LC

teBteBVtv dt

dt

c ωω αα sincos )( '2

'1

−− ++=

ttc eDetDVtv αα −− ++= )( '

2'1

tstsc eAeAVtv 21 '

2'

1)( ++=Solução para vc.

Função das raízes da equação característica

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