Instituto Tecnológico de Santo Domingo(INTEC)

Área de Ingenierías

Estática (ING-205) Sección 01Asignatura

FuerzaTrabajo

José Quintilian Toirac CorralProfesor

Jorge Frias 1058239 13-0325 Yvette Smith 1056743 13-0620 Lorainys Lora 1057022 13-0415 Esteban Bencosme 1054582 12-0740

Estudiantes

22 de enero de 2015Fecha

Santo Domingo, Distrito Nacional, RD

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Índice de contenidos

1. Introducción………………………………………………………….……………..32. Círculo de Mohr………….……….…….………………………………………….42.1. Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones……………………………..42.2. Teoría del círculo de Mohr para tres dimensiones …......……………………..5

3. Ejemplo práctico de aplicación de Círculo de Mohr……..……………………...64. Desarrollo del Círculo de Mohr ….…………………………………………….....85. Circunferencia de Mohr para momentos de inercia……………………………..96. Ejemplo Numérico..............................................................................................…107. Conclusión…………………………………………………………………...........118. Bibliografía……………………………………………………………………......12

Introducción

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En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor. Si un elemento superficial particular dentro del material se selecciona, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Algunos ejemplos de tensores físicos son el tensor de energía-momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctrico. El enfoque clásico visualiza los tensores como "matrices" de orden superior que son generalizaciones n-dimensionales de los escalares, vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. El enfoque moderno visualiza los tensores inicialmente como objetos abstractos en los que se define un producto tensorial que permite construir estructuras típicas del álgebra multilineal.

En mecánica de medios continuos, el tensor tensión es aquel que da cuenta de la distribución de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo. Hacia el año 1882 el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918), famoso por el uso de las herramientas gráficas, desarrolló lo que hoy en día conocemos como el Círculo de Mohr. Un método gráfico en dos dimensiones para el análisis de tensión conocido como y lo usó para proponer la nueva teoría de resistencia de materiales, basada en el esfuerzo cortante. También desarrolló el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y la teoría de Maxwell-Mohr para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.

Circulo de Mohr3

El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo, usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta

Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Cuando un punto de un material es sometido a un estado planar de esfuerzos, existen en su interior dos planos ortogonales sobre los cuales los esfuerzos cortantes que actúan sobre ellos son nulos y los esfuerzos normales son: un máximo, σ1 y un mínimo, σ3

Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

Circunferencia de Mohr para un estado de tensión bidimensional.

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

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Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal   y el

eje vertical representa la tensión cortante o tangencial   para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

Teoría del círculo de Mohr para tres dimensiones

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

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Ejemplo práctico de aplicación de Círculo de Mohr

Ejemplo de Circulo de Mohr para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio. Estructuras III. Antico, F. Pezzotti, S. (2008). Facultad de Ingeniería. UNLP.

El ejemplo a continuación es un ejemplo demostrativo (sin valores numéricos) del análisis mediante el Circulo de Mohr.

Sea una viga empotrada con Presión Interna, Momento Torsor y una carga P aplicada en el extremo libre.

Sección :

Se desea conocer el tensor de tensiones para ciertos puntos del sistema dado, según el estado de cargas. El tensor de tensiones será de la forma:

Punto 1:

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Punto 2:

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Desarrollo del Círculo de Mohr

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Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

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Ejemplo Numérico

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Conclusión

Una vez realizado los estudios acerca de las tensiones en el interior de un cuerpo rígido, se encuentra la utilidad del Círculo de Mohr como método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo de tensiones simétricas así como los momentos de inercia de estos cuerpos. El uso de este recurso nos facilita el trabajo ya que no es necesario el empleo de largas y complejas integraciones para el cálculo de estos aspectos en cuerpos rígidos.

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Bibliografía

Circulo de Mohr para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio. Estructuras III. Antico, F. Pezzotti, S. (2008). Facultad de Ingeniería. UNLP.

Problemas Resueltos. Tema 4: Tracción – Compresión. Santillana, Jaime. (2008). USAL. http://es.notices-pdf.com/problemas-resueltos-circulo-de-mohr-pdf.html

Círculo de Mohr para esfuerzos en 2D. Juárez, G. (2002). UAM. México D.F. Artículo Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr Círculo de Mohr. Martínez, E. OCW-UPM. http://ocw.upm.es/ingenieria-

agroforestal/mecanica-y-mecanismos/Contenidos/Teoria/1.3.Circulo-Mohr.pdf

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