Circunferencia de los nueve puntos

Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a la circunferencia asociada a cada triángulo. Su nombre deriva del hecho que la

circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son:

el punto medio de cada lado del triángulo,

los pies de las alturas, y

los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.

Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o

círculo medio-inscrito.

Contenido

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1 Historia

2 Demostración

3 Circunferencia circunscrita y de Feuerbach

4 Otras propiedades

5 Notas

6 Enlaces externos

[editar]Historia

Generalmente,1 se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que

Feuerbach descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de

un triángulo y los pies de las alturas del triángulo (en la figura, los puntos: M N P y E G J).

Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry

Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los

vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos: D F H).

[editar]Demostración

Consideremos las alturas del triángulo ABC: AE, BG y CJ (véase la figura). El triángulo GEJ es el triángulo órticodel triángulo ABC, y el punto

I es el ortocentro del triángulo ABC. Las alturas de este, son las bisectrices de los ángulos internos de aquel. Los lados del triángulo ABC son

las bisectrices exteriores del triángulo GEJ.

Las bisectrices del ángulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto, EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia circunscrita

c (descrito en el artículo de la bisectriz de un angulo).

Observemos que los triángulos ACJ y ACE son rectángulos teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro puntos A,

C, E y J son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa AC con la mediatriz

del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que N es punto medio del segmento AC.

De modo semejante, los triángulos EIB y JIB son rectángulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo tanto, los puntos E, I, J y B son

concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa IB con la mediatriz del segmento

EJ, esto es el punto F. De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. De

forma análoga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.

[editar]Circunferencia circunscrita y de Feuerbach

Por la observación de que los puntos D, F y H satisfacen

se deduce que:

la circunferencia de Feuerbach de un triángulo es homotética a la circunferencia circunscrita,

el centro de la homotecia es el ortocentro del triángulo,

la razón de la homotecia es 2.

El triángulo formado por los puntos D, F y H2 es semejante al triángulo ABC. También se observa que el centro de la circunferencia de

Feuerbach N, es punto medio del segmento IO, donde O es el circuncentro del triángulo ABC.

Finalmente, el centro de la circunferencia de Feuerbach se halla sobre la recta de Euler del triángulo.

[editar]Otras propiedades

En 1822, Karl Feuerbach descubrió una de las propiedades más profundas sobre la circunferencia que lleva su nombre: la circunferencia de

los nueve puntos es tangente exterior a los círculos exinscritos al triángulo. La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la

circunferencia de Feuerbach.

La demostración de este hecho3 puede hacerse, observando que los puntos de tangencia de dos de las circunferencias exinscritas a uno de

los lados del triángulo equidistan del punto medio de dicho lado. Usando la inversión respecto de este punto medio se le puede dar el toque

final a la demostración.

La circunferencia de FeuerbachDos puntos cualesquiera del plano determinan una única recta. Eso lo sabemos desde el

colegio. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única

circunferencia. Vamos a buscar tres puntos:

Dibujamos un triángulo cualquiera y marcamos los puntos medios de cada uno de los lados:

Por lo que hemos dicho antes, como estos tres puntos no están alineados seguro que existe

una única circunferencia que pasa por ellos. Eso no es ninguna sorpresa. Lo interesante del

asunto comienza ahora:

Dibujamos las tres alturas del triángulo, es decir, trazamos un segmento desde cada vértice

perpendicular al lado opuesto. Marcamos los puntos de corte en cada uno de los lados:

Pues curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están en la

misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa

por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta

que son exactamente la misma.

Hemos visto que el hecho de que tres puntos cualesquiera pertenezcan a una circunferencia es

evidente, pero que seis puntos cumplan esa condición comienza a ser muy interesante. Pero

todavía hay más:

Las tres alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. Si ahora señalamos los puntos

medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices obtenemos tres nuevos puntos:

Como podemos ver en la figura estos tres nuevos puntos también pertenecen a la

circunferencia que pasaba por los seis anteriores. Impresionante. Nueve puntos

calculados a partir de un triángulo acaban perteneciendo a la misma circunferencia. Esta

circunferencia se conoce como circunferencia de Feuerbach o como circunferencia de los

nueve puntos.

Pero aún hay más: ¿cuál será el centro de esa circunferencia?

Si trazamos las mediatrices de cada uno de los lados (la mediatriz de un segmento es una recta

perpendicular al segmento que pasa por su punto medio) nos encontramos con que las tres

rectas se cortan también en un único punto, llamado circuncentro. Pues sorprendentemente

el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el

ortocentro que calculamos anteriormente (punto M) con el circuncentro (punto Q):

En este enlace podéis ver la demostración de un resultado del que se deduce el de la

circunferencia de los nueve puntos.