CIURUL LUI ERATOSTENE

Un număr natural mai mare ca numărul 1 se numește număr prim dacă are numai doi divizori numere naturale.Scriem într-un tabel numerele naturale până la 100.Numărul natural 2 este număr prim (este colorat cu culoarea roșie) și subliniat.Toate celelalte numere pare nu sunt numere prime având în plus cel puțin numărul 2 ca divizor .Coloanele 2,4,6,8,10 au toate celulele ocupate numai cu numere pare aceiași culoare cu 2 și le eliminăm.Numărul 3 este prim.Eliminăm toți multipli lui 3 rămași(9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99). Numărul 5 este prim(este colorat în albastru).Se elimină coloana 5.Se continuă procedeul pănă râmân numerele prime

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Numerele rămase sunt cele prime:2,3,5,7,11,1317,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.Sunt 25 de

numere prime mai mici decât100.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59

61 67 71 73 79 83 89 97

1.Arătați că nu se poate descompune o tablă 10×10 în dreptunghiuri 4×1.

Soluție:

Considerăm o colorare a tablei în patru culori.Colorând asfel orice dreptunghi de 1×4 acoperă câte un pătrățel de fiecare culoare.Dacă am reuși să descompunem tabla în 25 de dreptunghiuri de 4×1 atunci pe tablă ar trebui să fie câte 25 de pătrățele de fiecare culoare ,dar sunt 26 de pătrățele de culoare roșie.

Culoarea roșie corespunzătoare cifrei 2 apare de 26 de ori .Acest fapt se poate observa urmărind diagonalele.

2.În fiecare dreptunghi al unei table formată din 49 de dreptunghiuri se află câte un gândac.

La un moment dat toți gândacii zboară și apoi se așează singur într-un dreptunghi vecin după o latură cu cel de pe care a zburat.Să se arate că într-un dreptunghi nu se află nici un găndac.

Soluție:

Considerăm o colorare ca la tabla de șah.

Avem 24 de dreptunghiuri de culoare neagră și 25 de culoare albă.Un găndac plecat de pe un dreptunghi de culoare albă se așează pe un dreptunghi de culore neagră,iar un gândac plecat de pe un dreptunghi de culoare neagră se așează pe unul de culoare albă.Cum au plecat 24 de gândaci ei nu pot ocupa 25 de locuri.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3