cizi svolti dicizi svolti diAnalisi matematicaAnalisi matematica … · 2018. 4. 12. · 1. Funz i on i real i d i una var i ab i le reale 6 1) Classificazione delle funzioni Siano

area

PK

21/1

Funzioni reali di una variabile re

ale

Limiti e continuità di funzioni rea

li

di una variabile reale

Derivate di funzioni reali


Studio di funzioni

Integrali di funzioni reali


Fondamenti di calcolo combinat

orio

e di calcolo delle probabilità

...in tasca

EDIZIONIEIMONSGruppo Editoriale Esselibri - Simone

Esercizi svolti diAnalisi matematic

a...Esercizi svolti di

Analisi matematica...

Estratto della pubblicazione

Copyright © 2006 Esselibri S.p.A.Via F. Russo 33/D80123 Napoli

Azienda certificata dal 2003 con sistema qualità ISO 14001 : 2004

Tutti i diritti riservatiÈ vietata la riproduzione anche parzialee con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazionescritta dell’editore.

Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro,l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alleopportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazio-ne degli interessati.

Prima edizione: Novembre 2006PK21/1ISBN 88-244-7565-5

Ristampe8 7 6 5 4 3 2 1 2006 2007 2008 2009

Questo volume è stato stampato pressoOfficina Grafica IrideVia Prov. Arzano-Casandrino, VII trav. 24 - Arzano (NA)

Per informazioni, suggerimenti, proposte: [email protected]

A cura di: Carla Iodice

Grafica e copertina: Gianfranco De Angelis

Impaginazione Pasquale Antignano


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Presentazione

Il volume presenta più di 200 esercizi svolti e commentati invista della prova di maturità o dell’esame di Analisi matematica,ed è articolato in 6 capitoli, ciascuno costituito da:

— una prima pagina in cui è indicato il percorso di lettura edè tracciata una mappa concettuale strutturata in modo damettere in evidenza le interrelazioni tra gli argomenti trattatinel capitolo;

— una parte teorica esplicativa dell’argomento in cui sonorichiamati i concetti, le regole e i teoremi fondamentali;

— esercizi in cui, anche a rischio di sembrare ripetitivi, non siè quasi mai evitata la citazione di argomenti propedeutici dimatematica;

— un test di verifica finale che, spesso, è rappresentato daesercizi guidati.

In tal modo lo studente può apprendere, non solo la tecnicarisolutiva dei vari tipi di esercizi, ma anche e soprattutto l’impo-stazione metodologica da seguire.Particolare attenzione è posta alle derivate e agli integrali difunzioni reali di una variabile reale. Tali capitoli, oltre a conte-nere i tradizionali esercizi, dedicano alcune pagine alle applica-zioni dei concetti del calcolo differenziale e dell’integrazionealla geometria.Si è preferito evitare, inoltre, di inserire le classiche prove asse-gnate (all’esame di maturità o nelle diverse facoltà), in quantole stesse si possono trovare risolte su molti siti internet.


ALFABETO GRECO

Α α alfaΒ β betaΓ γ gammaΔ δ deltaΕ ε epsilonΖ ζ zetaΗ η etaΘ θ ϑ theta

Ι ι iotaΚ κ kappaΛ λ lambdaΜ μ miΝ ν niΞ ξ xiΟ ο òmicronΠ π pi

Ρ ρ rhoΣ σ sigmaΤ τ tauΥ υ ipsilonΦ ϕ φ phiΧ χ chiΨ ψ psiΩ ω òmega

INDICE DEI SIMBOLI

> maggiore< minore≥ maggiore o uguale≤ minore o uguale≠ diverso da≅ circa uguale a± più o meno∞ infinito→ tende a∀ per ogni∈ appartiene∉ non appartiene∅ insieme vuoto∪ unione tra insiemi∩ intersezione tra insiemi⊂ sottoinsieme proprio⊆ sottoinsieme⊄ non è sottoinsieme⇒ implicazione⇔ doppia implicazionen ! n fattoriale

log( ) logaritmo decimale

ln( ) logaritmo neperianoe numero di Neperolim limite

′ ( )f x derivata∫ integrale

∑ sommatoriaΠ produttoria

an{ } successione

an

termine generico della successionesenα seno dell’angolo αcosα coseno dell’angolo αtanα tangente dell’angolo αcotanα cotangente dell’angolo αInoltre:

✔ indica un richiamo teorico ad ar-gomenti propedeutici di analisimatematica

✌ indica il passaggio o i passaggirisolutivi dell’esercizio.


1. F

unz io

n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

5

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

1. Funzioni reali di una variabile reale

Di cosa parleremo

In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una varia-bile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campodi esistenza delle varie tipologie di funzioni e ci occuperemo di concettiquali simmetria e periodicità.

Funzioni

Algebriche Trascendenti▼▼

Razionali Irrazionali▼ ▼

Logaritmiche Goniometriche

Intere Fratte Intere Fratte▼ ▼ ▼ ▼

Esponenziali▼ ▼▼


1. F

unzio

ni re

ali d

i una

var

iabi

le re

ale

6

1) Classificazione delle funzioni

Siano X e Y due sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali, per fun-zione reale di una variabile reale si intende una legge in base allaquale a ogni elemento x X∈ si associano uno o più elementi y di Y.Se a ogni valore della variabile x (detta variabile indipendente) si facorrispondere un solo valore della variabile y (detta variabile dipen-dente), la funzione si dice univoca (o monodroma); in caso contra-rio, cioè, se ad almeno un valore della x si fanno corrispondere piùvalori della y, la funzione si dice polivoca (o polidroma). Nel segui-to, si farà sempre riferimento alle funzioni univoche.

A indicare la legge di corrispondenza da X verso Y descritta da unafunzione, si adopera la notazione:

y = f(x)

dove x e y sono, rispettivamente, le variabili indipendente e dipenden-te, e f rappresenta la legge di corrispondenza descritta dalla funzione.L’insieme X è detto dominio di definizione (o campo di esistenza)della funzione; l’insieme Y prende il nome di codominio.

Nell’ambito delle funzioni univoche, si è soliti dare la seguente classi-ficazione:

— funzioni algebriche;— funzioni trascendenti.

Una funzione si dice algebrica se in essa figurano soltanto operazionialgebriche, cioè, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione,potenza e radice di monomi e polinomi. Le funzioni non algebricheprendono il nome di trascendenti; a tale insieme appartengono lefunzioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche.

Le funzioni algebriche possono essere:

— razionali (intere o fratte);— irrazionali (intere o fratte).

Si dicono razionali quelle funzioni algebriche nelle quali non figura-no radici di monomi o polinomi; se, viceversa, in una funzione alge-

1. F

unz io

n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

7

brica figura almeno un’operazione di estrazione di radice di un mono-mio o polinomio, la funzione si dice irrazionale.L’aggettivo fratta o intera sta a indicare la presenza, o meno, di mo-nomi o polinomi al denominatore di una frazione.

Esempi

È algebrica razionale intera (o polinomiale) la funzione:

y x x x= − + +2 4 3 43 2 ;

mentre è algebrica razionale fratta la funzione:

y

xx

= −+

14

3

2;

è algebrica irrazionale intera la funzione:

y x x x= − − +4 3 2 44 23 2

mentre è algebrica irrazionale fratta la funzione:

y

x

x= +

+

2

22;

infine, è trascendente la funzione:

y x= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ln sen212

2

2) Simmetrie e periodicità

Una funzione reale di una variabile reale y f x= ( ) è:

— dispari se è simmetrica rispetto all’origine, cioè se:

f x f x−( ) = − ( )

— pari se è simmetrica rispetto all’asse y, cioè se:

f x f x−( ) = ( )


1. F

unzio

ni re

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i una

var

iabi

le re

ale

8

Una funzione reale di una variabile reale è periodica se esiste T > 0tale che:

f x T f x+( ) = ( ) per ogni x

Le funzioni trascendenti sono periodiche.Il periodo delle funzioni seno, coseno, secante e cosecante è l’interacirconferenza, ossia 2π radianti; il periodo della tangente e della co-tangente è metà circonferenza, ossia π radianti.

3) Campo di esistenza

Sia data una funzione reale di una variabile reale y = f(x), il campo diesistenza, o dominio, della funzione è l’intervallo dei valori di x peri quali la funzione assume significato.

Per determinare il campo di esistenza di una funzione è utile tenerconto delle seguenti regole o indicazioni:

a) nelle funzioni fratte tutti i denominatori delle frazioni devono es-sere diversi da 0;

b) nelle funzioni irrazionali i radicandi delle radici con indice paridevono essere ≥ 0;

c) nelle funzioni trascendenti logaritmiche gli argomenti dei logarit-mi devono essere > 0;

d) nelle funzioni trascendenti goniometriche si distingue:

— gli argomenti delle funzioni circolari inverse arcoseno e arco-coseno devono appartenere all’intervallo [-1, 1];

— gli argomenti della funzione tangente devono essere diversi da

2 1

2k +( )π , con k N∈ ;

— gli argomenti della funzione cotangente devono essere diversida 2kπ con k N∈ .

Nell’ambito della determinazione del campo di esistenza di una stessafunzione, è possibile che alcune delle condizioni sopra descritte vada-no imposte contemporaneamente; ciò, tradotto in termini algebrici,


1. F

unz io

n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

9

equivale a risolvere un sistema di disequazioni, ciascuna delle qualicorrisponde a una delle condizioni imposte.

4) Funzioni limitate

Una funzione y = f(x) definita in un dato intervallo [a, b] si dice ivilimitata, se, per ogni valore di x appartenente al suddetto intervallo,esiste un numero P positivo tale che:

f x P( ) ≤

La funzione è:

— limitata superiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un puntoin cui la funzione assume valore M che è non minore dei valoriassunti negli altri punti;

— limitata inferiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un punto incui la funzione assume valore m che è non maggiore dei valoriassunti negli altri punti.

5) Funzioni crescenti e decrescenti

Sia data una funzione y = f(x), considerati due punti qualsiasi x1 e x

2 di

un dato intervallo [a, b], essa si dice:

— crescente se x1 < x

2 ⇒ f(x

1) ≤ f(x

2);

— costante se x1 < x

2 ⇒ f(x

1) = f(x

2);

— decrescente se x1 < x

2 ⇒ f(x

1) ≥ f(x

2);

— strettamente crescente se x1 < x

2 ⇒ f(x

1) < f(x

2);

— strettamente decrescente se x1 < x

2 ⇒ f(x

1) > f(x

2).

Si dicono monotòne le funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti onon crescenti, ossia le funzioni che variano sempre in uno stesso verso.

6) Funzioni composte

Sia data la funzione:

y = f (z)

1. F

unzio

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var

iabi

le re

ale

10

dove z non è variabile indipendente, ma a sua volta funzione z = g(x)della variabile indipendente x, si ha che la funzione:

y f g x= ( )( )

si dice funzione composta di f e di g.

Esercizio n. 1

Determinare l’espressione analitica della funzione composta f g x( )( ) delle due funzioni:

f x x g x x( )= ( )=2 e sen

Entrambe le funzioni hanno dominio e codominio coincidente con l’insieme dei numeri reali.La funzione composta è la funzione:

✌ f g x x x

( )( )=( ) =sen sen2 2

Esercizio n. 2

Determinare le espressioni analitiche delle funzioni composte f g x g f x( )( ) ( )( )e delle due fun-

zioni:

f x x g x ex( )= + ( )= −2 1e

Le due funzioni hanno entrambe dominio coincidente con l’insieme dei numeri reali.La funzione composta di f su g è:

f g x e ex x( )( )=( ) + = +− −2 21 1

La funzione composta di g su f è:

✌ g f x e e

x x( )( )= =− +( ) − −2 21 1

7) Funzioni invertibili

Sia data una funzione:

y = f(x)

essa si dice invertibile in un intervallo chiuso [a, b] se a ogni valoredella x in [a, b] corrisponde uno e un solo valore di y in [a', b'], dove a'e b' sono il minimo e il massimo della funzione nell’intervallo [a, b], e


1. F

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var

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ale

11

viceversa a ogni valore di y in [a', b'] corrisponde uno e un solo valoredi x in [a, b].

La funzione è, pertanto, invertibile nell’intervallo [a, b], se è continuain [a, b] ed è sempre crescente o sempre decrescente in detto interval-lo. La funzione inversa si indica in questo modo:

x = f –1(y)

Negli esercizi che seguono si chiederà di determinare il campo diesistenza della funzione data e/o le coordinate degli eventuali puntidi intersezione con gli assi.

Queste ultime si determinano risolvendo i due sistemi:

x

y f x

== ( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 e

y

y f x

== ( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

Un cenno a parte meritano le funzioni iperboliche che, più volte, sa-ranno trattate nel volume.

Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono così definite:

senh

–; cosh ; tanh

–– – –x

e ex

e ex

e ee

x x x x x x

x= =+ =

+2 2 ee x–

La funzione senh è strettamente crescente e quindi invertibile. La funzione inversa èchiamata settsenh (settore-seno iperbolico), ovvero senh–1 o anche arcsenh. Essa può

ricavarsi esplicitando rispetto a y l’equazione: x

e ey y= ––

2; ricavando ey dalla prece-

dente espressione si ha:

2

1 12 1 2 1 0

22 2x e

ee

exe e e xey y

y

yy y y y= = → = → =– – – – –

ponendo ey = z si ottiene l’equazione di secondo grado:

z xz z x x2 12

22 1 0 1– – ,= → = ± +

1. F

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var

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le re

ale

12

scartando la radice negativa (z è non negativo):

e x x y x x xy = + + → = = + +( )2 1 21 1senh ln–L’insieme di definizione della precedente funzione è tutto l’insieme dei numeri reali R.Allo stesso modo si ricava l’inversa della funzione cosh. Essendo questa strettamentedecrescente per valori negativi della variabile, strettamente crescente per valori positi-vi, non è invertibile. È però invertibile la sua restrizione ai valori positivi della variabile.Ripetendo il procedimento precedente si ricava:

cosh ln ––1 2 1x x x= +( )La funzione cosh–1 o arcosh è definita per x ≥ 1.La funzione tanh è strettamente crescente in tutto R, quindi invertibile. Sempre conprocedimento analogo a quello usato per ricavare l’inversa del senh, si ottiene:

tanh ln–1

12

11

xxx

= +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La funzione è definita per –1 < x < 1.

Esercizio n. 1

Determinare il campo di esistenza della funzione:

f x x x x( )= − − − −2 2 32

Si tratta di una funzione irrazionale in cui per il polinomio sotto radice deve essere:

x x2 2 3 0− − ≥

Risolvendo si ha che la disuguaglianza è verificata per:

x x≤ − ≥1 3eper cui, il campo di esistenza è:

✌ C E. . , ,= −∞ −⎤⎦ ⎤⎦∪ +∞⎡⎣ ⎡⎣1 3


1. F

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ale

13

Esercizio n. 2


f x

x

x( )=

−2 1determinarne:

— il campo di esistenza;— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.

La funzione è irrazionale fratta.

1. Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi:

x x x2 1 0 1 1− > ⇒ < − ∪ >

quindi:

✌ C. E. = ]– ∞, –1] ∪ [1, + ∞[

2. Per le intersezioni con gli assi si ha che l’origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi lacurva non interseca l’asse y; inoltre, il numeratore della funzione si annulla solo per x = 0,punto escluso dal campo di esistenza.

✌ Ne consegue che non vi sono intersezioni con gli assi cartesiani.

Esercizio n. 3


f xx x( ) -= −3 32 1

determinarne:


Si tratta di una funzione trascendente.

1. Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi:

3 3 0 3 3 2 1 12 1 2 1x x x x x x x− −− ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥

quindi:✌ C. E. = [1, + ∞[


1. F

unzio

ni re

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i una

var

iabi

le re

ale

14

2. Per le intersezioni con gli assi si ha che l’origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi lacurva non interseca l’asse y; per y = 0, si ha:

3 3 0 12 1x x x− − = ⇒ =

✌ ne consegue che la curva interseca l’asse x nel punto di coordinate (1; 0).

Esercizio n. 4


f x

e x( )=

−1

2determinarne:


Si tratta di una funzione trascendente.

1. Per quanto concerne il campo di esistenza, essendo f x( ) funzione fratta affinché non siannulli il denominatore deve essere:

e e xx x− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠2 0 2 2ln

In definitiva, si ha:

✌ C E R. . ln= −{ }22. Per le intersezioni con gli assi si distingue:

— Per x = 0 si ha:

y =

−= −1

1 21

✌ La funzione interseca l’asse delle y nel punto di coordinate (0,-1).

— Per y = 0 si ha:

12

0e x −

=

impossibile.

✌ Non c’è intersezione con l’asse delle x.

1. F

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var

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15

Test di verifica

1. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:

f x

ee

x

x( ) =−+

1

1considerando che la funzione e

x ≠ −1 per ogni x R∈ .

❏ a)

−∞ −] ]∪ +∞[ [, ,1 1❏ b) R

❏ c)

−∞ −] ], 1❏ d)

1,+∞[ [


f x x

x( ) = −2 8

❏ a)

−∞] ]∪ +∞[ [, ,0 2❏ b)

−∞ −] ]∪ +∞[ [, ,2 2

❏ c) R

❏ d)

−∞ −] ], 2

3. Stabilire qual è il punto di intersezione della funzione di cui al quesitoprecedente con uno degli assi.

❏ a) 0 2;( )

❏ b) 0 0;( )

❏ c) 2 0;( )

❏ d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi.


1. F

unzio

ni re

ali d

i una

var

iabi

le re

ale

16


f xx x

( ) =−( ) −( )

1

1 1 42 2

❏ a)

−∞ −] ]∪ −⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

∪ +∞] [, , ,1 12

1

21

❏ b)

−∞ −] ]∪ +∞] [, ,1 1

❏ c)

−∞ −⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

∪ +∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

, ,1

2

1

2

❏ d)

−∞ −] ]∪ −⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

, ,11

2

1

2

5. Stabilire eventuali punti di intersezione della funzione di cui al quesi-to precedente con uno degli assi.

❏ a) 1 0;( )

❏ b) 0 0;( )

❏ c) 0 1;( )

❏ d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi.

Risposte esatte

1) b); 2) a); 3) c); 4) a); 5) c).


2. L

imiti

e c

ont in

u ità

di f

unz io

n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

17

2. Limiti e continuità di funzioni reali

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○


Di cosa parleremo

Gli argomenti trattati in questo capitolo sono di fondamentale importanzadal punto di vista teorico. I concetti di limite e di continuità di funzioni realidi variabile reale sono propedeutici a numerosi altri nell’analisi matematica.Lo studente deve riuscire a comprenderli, innanzi tutto, sul piano intuitivoper poter, nel seguito, valersene.Nel trattare i limiti, inevitabile è l’estensione degli stessi alle successioni dinumeri reali, per cui alcuni esercizi saranno dedicati ai limiti di successioni.

Limiti

Definizioni▼

lim

x xf x l

→( )=

0

Limiti di successioni

▼

lim

x xf x

→( )= ∞

0

▼

lim

xf x l

→∞( )=▼

lim

xf x

→∞( )= ∞▼

▼

Unicità del limite▼

Permanenzadel segno▼

Confronto▼

Funzione opposta▼

Valore assoluto▼Teoremi

Operazionisui limiti

Formeindeterminate

Limitifondamentali

▼

▼▼

Teoremi

Operazioni sui limiti

Discontinuità

Di prima specieEliminabile Di seconda specie

Continuità

▼▼

▼▼ ▼

▼

▼

2. L

imiti

e c

ontin

uità

di f

unzio

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var

iabi

le re

ale

18

1) Definizione di limite

Per definire il concetto di limite dobbiamo dare la seguente definizione.

Il punto limite o di accumulazione x0 del campo di esistenza di

una funzione è quel punto tale che, in ogni suo intorno, per quantopiccolo, cadono sempre infiniti punti del campo di esistenza; tale pun-to può anche non appartenere al campo di esistenza considerato.

Sia data la funzione f(x) definita nell’insieme X e sia x0 un punto di accumu-

lazione per X; si dice che il limite di f(x) per x che tende a x0 è l e si scrive:

lim ( )

x xf x l

→=

0

se, fissato ad arbitrio un numero ε > 0 esiste un numero δε > 0 tale chese

0 0< − ∃ > ∀ > −

2. L

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u ità

di f

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n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

19

TEOREMA II (PERMANENZA DEL SEGNO)

Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l ≠ 0,

esiste un intorno di x0 in cui (escluso al più x

0) la funzione assume lo

stesso segno del suo limite.Viceversa, se al tendere di x a x

0, la funzione y = f(x) tende al limite l e

se esiste un intorno di x0 (escluso x

0) in cui la funzione assume segno

costante, il limite sarà o dello stesso segno della funzione o nullo.

TEOREMA III (CONFRONTO O «DEI DUE CARABINIERI»)

Date le tre funzioni y = f1(x), y = f

2(x), y = f

3(x) definite, rispettivamen-

te, negli insiemi F1, F

2, F

3, se è:

F = F1 ∩ F

2 ∩ F

3 ≠ ∅

(dove ∅ indica l’insieme vuoto) se, inoltre, risulta, per x ∈F:f1(x) < f

2(x) < f

3(x)

e se, infine, indicato con x0 un punto di accumulazione di F, risulta:

lim ( ) lim ( )

x x x xf x f x l

→ →= =

0 01 3

sarà anche:

lim ( )

x xf x l

→=

02

TEOREMA IV (FUNZIONE OPPOSTA)

Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l, avremo

anche:

lim ( )

x xf x l

→−[ ] = −

0

TEOREMA V (VALORE ASSOLUTO)

Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l, il valore

assoluto della funzione tenderà al valore assoluto del limite, cioè:

lim ( )

x xf x l

→=

0


2. L

imiti

e c

ontin

uità

di f

unzio

ni re

ali d

i una

var

iabi

le re

ale

20

3) Operazioni sui limiti e forme indeterminate

1) LIMITE DELLA SOMMA

Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negliinsiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x

0 un punto di accumu-

lazione per A ∩ B, risulta:

lim ( ) lim ( )

x x x xf x l g x l

→ →= =

0 01 2e

allora è anche:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x x x x x xf x g x f x g x

→ → →+[ ] = + =

0 0 0

ll l1 2+

In altri termini: il limite della somma di due funzioni è uguale allasomma dei limiti di ciascuna funzione.

2) LIMITE DELLA DIFFERENZA




lim ( ) lim ( )

x x x xf x l g x l

→ →= =

0 01 2e

allora è anche:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )


→ → →−[ ] = − =

0 0 0

ll l1 2−

In altri termini: il limite della differenza di due funzioni è uguale alladifferenza dei limiti di ciascuna funzione.

3) LIMITE DEL PRODOTTO




lim ( ) lim ( )

x x x xf x l g x l

→ →= =

0 01 2e

2. L

imiti

e c

ont in

u ità

di f

unz io

n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

21

allora è anche:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )


→ → →⋅[ ] = ⋅ =

0 0 0

ll l1 2⋅

In altri termini: il limite del prodotto di due funzioni è uguale al pro-dotto dei limiti di ciascuna funzione.

4) LIMITE DELLA FUNZIONE RECIPROCA

Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un

punto di accumulazione per A, risulta:

lim ( )

x xf x l

→= ≠

0

0

allora è anche:

lim

( )x x f x l→=

0

1 1

In altri termini: il limite del reciproco di una funzione è uguale alreciproco del limite della funzione.

5) LIMITE DEL QUOZIENTE




lim ( ) lim ( )

x x x xf x l g x l

→ →= =

0 01 2e

con l1 e l

2 numeri finiti e l

2 ≠ 0, allora è anche:

lim( )

( )

lim ( )

lim ( )x xx x

x x

f x

g x

f x

g x

l

l→→

→

= =0

0

0

1

2

In altri termini: il limite del quoziente di due funzioni è uguale alquoziente dei limiti di ciascuna funzione.


2. L

imiti

e c

ontin

uità

di f

unzio

ni re

ali d

i una

var

iabi

le re

ale

22

6) LIMITE DELLA POTENZA



lim ( )

x xf x l

→=

0

allora è anche ∀n ∈N:

lim ( )

x x

n nf x l→

[ ] =0

In altri termini: il limite della potenza di una funzione è uguale allapotenza del limite della funzione.

7) LIMITE DELLA RADICE



lim ( )

x xf x l

→=

0

se x0 è di accumulazione anche per l’insieme di definizione della fun-

zione f xn ( ) , con n ∈N, n > 0 allora è anche:

lim ( ) lim ( )

x x

n

x xn

nf x f x l→ →

= =0 0

In altri termini: il limite della radice di una funzione è uguale allaradice del limite della funzione.

8) LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Date le due funzioni y = f(x) e z = g(y) definite rispettivamente negli

insiemi X e Y, con f(X) ∩ Y ≠ ∅; sia, inoltre, z g f x= ( )( ) la funzione

composta dalle funzioni f e g definita nell’insieme A = f(X) ∩ Y; se,indicato con x

0 un punto di accumulazione per A, risulta:

a) lim ( )

x xf x y

→=

00


2. L

imiti

e c

ont in

u ità

di f

unz io

n i re

ali d

i una

var

iab i

le re

ale

23

b) lim ( )y y

g y l→

=0

c) f(x) ≠ y0 intorno a x

0 (f non assume il valore y

0 costantemente

intorno a x0)

allora è anche:

lim ( ( )) lim ( )

x x y yg f x g y l

→ →= =

0 0

In particolare, l’ipotesi c) è senz’altro verificata se la funzione f è mo-notòna in senso stretto a sinistra e a destra di x

0, ipotesi sempre verifi-

cata se f è elementare.Tale teorema costituisce una generalizzazione dei precedenti.Nelle ipotesi del teorema, dunque, l’operatore lim può entrare all’internodelle funzioni composte, rendendone più agevole il calcolo del limite.

Indicate con f(x) e g(x) due funzioni che soddisfino le ipotesi delteorema 8), vediamo i seguenti notevoli esempi:

Esempi

I) se a ≠ 1,

lim log ( ) log lim ( )x x a a x x

f x f x→ →

=0 0

II)

lim sen ( ) sen lim ( )x x x x

f x f x→ →

⎡⎣ ⎤⎦ =⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0 0

III)

lim ( ) lim ( )( )lim ( )

x x

g x

x x

g xf x f x x x

→ →

⎡= ⎡⎣

⎤⎦

→

0 0

0⎣⎣⎢⎤⎦⎥ se f(x) e g(x) convergono entrambe in x0, non sono ivi

entrambe infinitesime e

lim ( )x x

f x→

>0

0 .

I teoremi 1) e 2) si possono estendere, in generale, anche ai casi in cuil1 e l

2 non siano entrambi finiti; l’unica eccezione è costituita dal caso

in cui il limite risultante si presenti come differenza di due infiniti, cioènella forma ∞ – ∞, la quale può assumere qualsiasi valore (o, anche,non tendere ad alcun valore) e che, per questo, possiamo definirecome prima forma indeterminata.Allo stesso modo, il teorema 3) sul prodotto dei limiti è valido in gene-rale anche nei casi in cui i due limiti l

1 e l

2 siano infiniti o nulli; l’unica

2. L

imiti

e c

ontin

uità

di f

unzio

ni re

ali d

i una

var

iabi

le re

ale

24

eccezione è costituita dal caso in cui il limite risultante si presenti nellaforma 0 ⋅ ∞, sulla quale, come per la precedente, nulla si può dire;definiamo tale espressione come seconda forma indeterminata.Se dal teorema 5) si rimuovono le ipotesi di l

1 e l

2 finiti e l

2 ≠ 0, la tesi,

con le ovvie estensioni, continua in generale a sussistere, fatta eccezio-

ne per il caso in cui il limite risultante si presenti nella forma

0

0, detta

terza forma indeterminata, oppure ∞∞

, detta quarta forma inde-

terminata, sulle quali nulla si può dire.Anche l’esempio III) si può generalizzare ai casi di limiti infiniti, fattaeccezione per i casi in cui il limite risultante si presenti in una delleseguenti forme, sulle quali nulla si può dire: 00, detta quinta formaindeterminata, ∞0, detta sesta forma indeterminata, 1∞, detta setti-ma forma indeterminata.Anche se abbiamo individuato sette forme indeterminate, con oppor-tune semplici manipolazioni algebriche, tali forme possono tutte ri-

condursi alle due forme indeterminate fondamentali

0

0 e

∞∞

, utili per

l’applicazione del teorema di L’Hospital, che verrà presentato nellostudio delle derivate nel capitolo terzo.

Ad esempio, se le funzioni f(x) e g(x) sono entrambe infinite in x0, si

effettua la trasformazione:

f x g xg x f x

f x g x

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

− =−

⋅

1 1

1

e, se f(x) è infinita e g(x) infinitesima:

f x g xg x

f x

( ) ( )( )

( )

⋅ =1

sicché anche la terza forma indeterminata si riconduce alla seconda.


Presentazione1. Funzioni reali di una variabile realeTest di verificaRisposte esatte2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale

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