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APLICACIONES DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
PROFESORA: JIMENA RODRIGUEZ
Desarrollo de la clase1.- Dudas clase anterior
2.- Revisión tarea
3.- Crecimiento o Decrecimiento (Modelo de Malthus )
4.- Circuito LR en Serie
5.- Ley de Newton del enfriamiento
6.- Diseminación de una enfermedad
CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO (MODELO DE MALTHUS)
Si P(t) representa la población en el tiempo t, un modelo que permite determinar esta población En cualquier instante t, teniendo información deLa población en el tiempo t0, es conocido como Modelo de Malthus:
00)(, PtPinicialvalorconkP
dt
dP
1.-) En un cultivo de bacterias se tenían x números de familias. Después de una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de 4 horas, 3000 familias. Determinar el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo.
t=1 P=1000
t=4 P=3000
kPdt
dP
t=1 P=1000 t=4 P=3000
kdtP
dP
kdtP
dP
ck 43000ln
ComocktP ln
ck 1000ln
Como
ck 11000ln
ck 43000ln
ck 1000lnck 43000ln
Al resolver
542,6366,0 ck
cktP ln 542,6366,0 ck
542,6366,0ln tPEntonces
542,6366,0ln tP ee542,6366,0 teP
Determinar el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo. 0t
542,60366,0 eP 542,6eP 67,693P
Respuesta: Aprox. 694 familias
Circuito LR en SerieSi consideramos el siguiente circuito eléctrico
dt
diL
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de potencial a través del inductor y de la resistencia , es igual a la fuerza electromotriz (fem) aplicada al circuito y es así como se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente
iR
)(tE
)(ti
)(tERidt
diL
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente i(t) es conocida como la respuesta del sistema.
Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es ½ Henry y la resistencia es 10 ohms. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero.
RECORDEMOSL = inductanciaR = resistenciaE(t)= fuerza electromotriz i(t) =respuesta del sistema.
Entonces
R
L
tE )( 12
2/1
10
R
L
tE )( 1212
2/1 2/1
1010
)(tERidt
diL
dt
di i 2/
2420 idt
di
2420 idt
di24)(20)( thtP
])([)()()(
dttheCetidttpdttp
dttp )( dt20 t20
e
dte t2024 24 te 205
6
dtthe dttp )( t20 24 dt
20
20 te
tdttp 20)( tdttp
edtthe 20)(
5
6)(
])([)()()(´
dttheCetidttpdttp
)(ti
)(ti
et20 c te 20
5
6
tec 20´ ttee 2020
5
6 5
6)( 20´ tecti
Determine la corriente i si la corriente inicial es cero.5
6)( 20´ tecti
5
60 020´ ec
Entonces t=0 y i(t)=0
5
60 0´ ec
5
610 c
5
6c
teti 20´15
6)(
5
6
5
6)( 20´ teti
TAREA 15
Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 ohms y un inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra a T=0 . Determine la corriente para todo t
Ley de Newton del enfriamiento
Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante. Si Tam es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo inmerso en esta temperatura ambiente, entonces la temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el medio del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación
amTTkdt
dT
0)0( TTinicialvalorcon
Si la temperatura del aire es de 20ºC y una sustancia se enfría de 100ºC a 60ºC en 30 minutos. Calcule en que instante la temperatura de la sustancia será de 40ºC.
6030
1000
20
Tt
Tt
Tam
amTTk
dt
dT
20 Tkdt
dT
kdtT
dT 20
cktT )20ln(
kdtT
dT
20
1000 Ttsick 0)20100ln(
c)80ln(
6030 Ttsick 30)2060ln(
)80ln(30)40ln( k
k30
)80ln()40ln( 023,0k
)80ln(023,0)20ln( tT
)80ln(023,0)2040ln( t
)80ln(023,0)20ln( t
)20ln()80ln(023,0 t
023,0
)20ln()80ln( t
27,60t RESPUESTA: Aprox. 60 minutos
Calcule en que instante la temperatura de la sustancia será de 40° C
TAREA 16
GUIA 3 :EJERCICIOS A – B- C
