Clase 9 Prueba de Hipotesis Multivariada

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PRUEBA DE HIPÓTESIS

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ANÁLISIS MULTIVARIANTE IUNI-EPIES

Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba

Prueba del Ratio de Verosimilitud

Ho: θ∈ Ωo

H1: θ∈ Ω1

Teorema

Si Ω1⊂ Rq es un espacio q-dimensional y si Ωo⊂ Ω1 es un subespacio r-dimensional, entonces, bajo condiciones de regularidad:

∀θ∈Ωo: -2logλ → χ2(q-r) cuando n →∞

Región de rechazo R:

R = {X: -2log λ(X)> χ21-α;(q-r) }

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Hipótesis (A)

Ho: μ=μo ; Σ conocido

-2logλ = n( x - μo )’ Σ-1 ( x - μo ) ~ χ2(p)

Rα

χ2(p)

Sea x1, x2, …, xn una muestra aleatoria independiente e identicamente distribuida de una población Np(μ, Σ)



Hipótesis (B)

Ho: μ=μo ; Σ desconocido

-2logλ = nlog( 1 +d’S-1d)

((n-p)/p)d’S-1d ~ F(p, n-p)Se sabe que:

Prueba de T2 de Hotelling para una muestra

d = x - μo


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Hipótesis (C)

Ho: Σ= Σ o ; μ desconocido

Estimadores Máximo Verosímiles

Ho verdaderoH1 verdadero

μ = x y Σ = Σoμ = x y Σ = S

-2logλ = np ( a – log g - 1) ~ χ2(m)

m = p ( p + 1 )

2g = ( Πλi )1/p a = Σ λi / p

Sea x1, x2, …, xn una muestra aleatoria independiente e idénticamente distribuida de una población Np(μ, Σ)



HIPÓTESIS LINEALES

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Hipótesis Lineales I (D)

Ho: Aμ = a ; Σ conocido

donde A(qxp) y a(qx1) q≤p son conocidos

Si Ho es verdadera:

n( Ax – a )’( AΣA’)-1( Ax – a ) ~ χ2(q)

Se rechaza Ho si el estadístico calculado es mayor a χ2(q)




Hipótesis Lineales II (E)

Ho: Aμ = a ; Σ desconocido

donde A(qxp) y a(qx1) q≤p son conocidos

Si Ho es verdadera:

(n-1) ( Ax – a )’( ASA’)-1( Ax – a ) ~ T2(q, n-1)

Se rechaza Ho si el estadístico calculado es mayor a χ2(q)

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HIPÓTESIS PARA MEDIDAS REPETIDAS



Xk i j

Variablei = 1,...,p

Unidad Experimental

j = 1,...,n

Tratamientok = 1,2

Observación

6



X11jX12j...X1pj

X21jX22j...X2pj

Tratamiento k=1 Tratamiento k=2

“p” observaciones en la j-ésima unidad para el tratamiento 1

“p” observaciones en la j-ésima unidad para el tratamiento 2



Diferencias Pareadas

D1j = X11j - X21j

D2j = X12j - X22j

Dpj = X1pj - X2pj

.

.

.

donde Dtj = D1j , D2j , ... , Dpj

Supuestos

E( Dj ) = δ =

δ1δ2..δp

y Cov ( Dj ) = Σd

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Comparación de Tratamientos para un Diseño de Medidas Repetidas

X1jX2j...Xqj

Xj = j = 1, 2, ..., n

Xij es la respuesta al i-ésimotratamiento sobre la j-ésima unidad

Los “q” tratamientos se aplican repetidamente a la j-ésima unidad



(i) μ1 - μ2

μ1 - μ3

μ1 - μq

.

.

μ2 - μ1

μ3 - μ2

μq - μq-1

.

.

(ii)

=

1

1...

1

-1

0...

0

0

-1...

0

. . .

. . .

. . .

0

0...

-1

μ1

μ2

μq

.

.

=

-1

0...

0

1

-1...

0

0

1...

0

. . .

. . .

. . .

0

0...

1

μ1

μ2

μq

.

.

0

0...

-1

= C1μ

= C2μ

Contrastes para μ

8



Ho : C2μ = 0

H1 : C2μ ≠ 0

Hipótesis (F) No hay efecto de tratamientos

Hipótesis (G)

Ho : C1μ = 0

H1 : C1μ ≠ 0

Existen diferencias respecto al control

x’C’( CSC’)-1 Cx ~ F(1-α ; p-1, n-p+1)p - 1

(n- p+1)



Hipótesis (H) Comparación de dos vectores de medias

Sea xi1, xi2, …, xin1 una muestra aleatoria iid Np(μ1, Σ) y xj1, xj2, …, xjn2 una muestra aleatoria iid de una población Np(μ2, Σ) donde las variables son independientes.

Ho : μ1 = μ2

Si Ho es cierta, la región de rechazo está dada por:

n1n2( n1+ n2 – p - 1)p (n1+ n2)2

( x1 – x2 )’S-1 ( x1 – x2 ) ≥ F (1-α ; p, n1+n2-p-1)

H1 : μ1 ≠ μ2

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Hipótesis (I) Comparación de matrices de covarianzas

Sea xih ~ Np(μh, Σh) i=1, …, nh; h=1, …, k son variables aleatorias independientes

Ho: Σ1= Σ2 = … = Σk

H1: Σi ≠ Σj

-2logλ = n log lSl -Σ nh log lShl ~ χm2

h=1

k

m =12

(k-1) p (p+1)

(Ho cierta)



Hipótesis (J) Comparación de dos medias, diferentes matrices de covarianzas en muestras grandes

Sea xi1 ~ Np(μ1, Σ1) con i=1, …, n1; y xi2 ~ Np(μ2, Σ2) con j=1, …, n2 son variables aleatorias independientes

Ho : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2

( x1 – x2 )’ ( S1 + S2 ) ( x1 – x2 )n1 n2

-1χp

2

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ANALISIS DE PERFILES



Hipótesis (K) Perfiles Paralelos (Similares)

De Hipótesis (F):

Ho : C2 (μ1 - μ2) = 0

H1 : C2 (μ1 - μ2) ≠ 0

La hipótesis se rechaza si:

n1n2(n1+n2-p)

(n1 + n2)2(p-1)(C x)T (CSC’)-1 C x > F(1-α, p-1, n1+n2-p)

Grupo 1

Grupo 2

Perfiles Poblacionales

Media

Tratamiento

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Hipótesis (L) Igualdad de dos niveles


Ho : 1tp(μ1 - μ2) = 0

H1 : 1tp (μ1 - μ2) ≠ 0

La región de rechazo bajo Ho es:

n1 n2 (n1 + n2 - 2)

(n1 + n2)2

1tp( x1 - x2 )

2

1tp S 1p

> F (1-α; 1, n1+n2 - 2)


Hipótesis (M) Efecto Tratamiento


Ho : C2(μ1 + μ2) = 0

H1 : C2(μ1 + μ2) ≠ 0

(n1+n2-p)

p-1(C x)T (CSC’)-1 C x > F(1-α, p-1, n1+n2-p)

x = n1x1 + n2x2

n1 + n2

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APLICACIONES

ESCU

ELA

PROF

ESIO

NAL

DE I N

GENI

ERÍA

EST

ADÍS

T ICA

UNI-F

IECS



CASO: Cheques Antiguos del Banco Suizo.(en pulgadas)

x1

x2 x3

x4

x5

x6

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Se dispone de 200 datos sobre seis medidas, respecto a 100 cheques bancarios genuinos y 100 cheques falsificados

Queremos probar si la media muestral de las observaciones obtenidas de las notas bancarias falsas es igual a:

214.9129.9129.7

8.310.1

141.5

μo =

Media muestral de los cheques genuinos (asumiremos que corresponde a la media poblacional)



214.8130.3130.210.511.1

139.4

xf =

Media muestral de los cheques falsificados

Asumimos que “Σ” es conocida e igual Sf

-2logλ = n( x - μo )’ Σ-1 ( x - μo ) = 7,552.0074

χ2 (0.95; 6)=12.592

Se rechaza Ho


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Asumimos que “Σ” es desconocida

((n-p)/p)d’S-1d ~ F(p, n-p)Se sabe que: d = x - μo

De los datos: ((n-p)/p)d’S-1d = 183.147

F(0.95; 6, 94) = 2.1966

Se rechaza Ho




Se dispone de información estadística de 15 compañías del sector energía y estamos interesados en analizar sus activos (X1) y ventas(x2).

Con la información disponible se obtiene la matriz de covarianzas:

S = 107 x 1.6635 1.2410

1.2410 1.3747

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Ho: Σ= Σ o ; μ desconocido

Probar que la varianza del vector (x1,x2) del sector Energía es igual a Σ O

13608514,178 12694886,40012694886,400 16790650,178Σ O =

X1: Activos ; X2: Ventas

-2logλ = n tr(Σ o-1S) – n log Σ o

-1S - np = 4.541

χ2(0.95;3) =




Se desea comparar el valor medio de los activos del sector y de las ventas del sector energetico y manufacturero. Se dispone de 15 empresas del sector energía y 10 del sector manufacturero.

A partir de la información muestral se obtuvo los siguientes resultados:

4,0802,580.5

4,307.24,925.2x1 = x2 =

S1 = 107 x 1.6635 1.2410

1.2410 1.3747S2 = 107 x 1.2248 1.1425

1.1425 1.5112

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Probar si existe diferencias significativos de posición entre el sector Energía y Manufacturero

Ho : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2

Si Ho es cierta, la región de rechazo está dada por:

n1n2( n1+ n2 – p - 1)p (n1+ n2)2

( x1 – x2 )’S-1 ( x1 – x2 ) ≥ F (1-α ; p, n1+n2-p-1)

n1n2( n1+ n2 – p - 1)p (n1+ n2)2

( x1 – x2 )’S-1 ( x1 – x2 ) = 2.287

F(0.95; 2,22)=3.4434 Se acepta Ho


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