Clase

Potencias

MT-21

Resumen de la clase anterior

Álgebra

Mínimo común múltiplo

Adición y sustracción

Máximo común divisor

Operaciones algebraicas

Multiplicacióny división

Sistema de ecuaciones

Igualación

Sustitución

Reducción

Métodos de resolución

Aprendizajes esperados

• Analizar potencias en forma algebraica.

• Calcular potencias de base entera y exponente entero.

• Expresar números mediante el uso de potencias de 10.

• Aplicar las propiedades de la potenciación en la resolución de ejercicios.

Pregunta oficial PSU

16. (2t ∙ 3s3)2 =

A) 26ts3

B) 36t2s6

C) 6t2s5

D) 6t2s6

E) 24t2s6

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

1. Potencias

Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales.

Ejemplos:

73 = 7 ∙

7 ∙

7 =

(– 6)2 = (– 6) ∙ (– 6) = 36

343

1. Potencias

an =

a ∙

a ∙

a ∙

a ∙ … a ∙

∙ a

n veces

base

exponente

1. Potencias

Por ejemplo : – 32 ≠ (– 3)2 , ya que

– 32 = – 3 ∙ 3 = – 9 y (– 3)2 = (– 3) · (– 3) = 9

– xn NO siempre es igual a (– x)n

xy

n xn

y NO siempre es igual a

Por ejemplo : , ya que

y = 23

3= 2∙2∙2

3 83

23

3= = 8

27 23

23

23

∙ ∙

= 23

3 23

3

Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia. Los paréntesis nos ayudan a identificarla.

1.1 Signos de una potencia

• Potencias con exponente par

1. Potencias

Las potencias que tienen exponente par, son siempre positivas, sin importar el signo de la base.

Ejemplos:

(– 11) ∙ (– 11) = 1211) (– 11)2 =

2) – 3

5

4

=(– 3)

5•

(– 3)

5•

(– 3)

5•

(– 3)

5=

81

625

1.1 Signos de una potencia

• Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar, son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa.

Ejemplos:

1. Potencias

1) (– 12)3 = (– 12) ∙ (– 12) ∙ (– 12) = – 1.728

2) – 2

3

5

=(– 2)

3•

(– 2)

3•

(– 2)

3•

(– 2)

3•

(– 2)

3=

– 32

243

1.2 Propiedades

• Multiplicación de potencias

1. Potencias

Igual base Igual exponente

Se conserva la base y se suman los exponentes.

an + man ∙ am =

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

(a ∙ b)nan ∙ bn =

Ejemplo:

5x + 3x5x ∙ 53x = = 54x

Ejemplo:

42 ∙ 22 = (4 ∙ 2)2 = 82 = 64

1.2 Propiedades

• División de potencias

1. Potencias

Igual base Igual exponente

Se conserva la base y se restan los exponentes.

an – man : am =

Ejemplo:

923

96= = 917923 – 6

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

(a : b)nan : bn =

Ejemplo:

42

282

= (28 : 4)2 = 72 = 49

, a ≠ 0 , b ≠ 0

• Potencia de potencia

Ejemplo:

1. Potencias

(an )m = am ∙ n

(210 )4 = 210 ∙ 4 = 2 40

1.2 Propiedades

• Potencias de exponente cero

Ejemplo: si x ≠ 12y:

a0 = 1, a ≠ 0

1

00 : indeterminado

=x

3– 4y

7 – (15 – 8)x

3– 4y

0

=

1 a– n =a

na ≠ 0

• Potencias de exponente negativo

Ejemplo:

1. Potencias

1.2 Propiedades

4– 2 ∙ = ∙ (2)2

4

2 1

= 16 1

∙ 4 = (2)2

Ejemplo:

33=

43 3

4

– 3

=

34

3=

64

27

a

b

– n

=b

a

n

a ≠ 0; b ≠ 0

4

1

Base entera Base fraccionaria

1.2 Propiedades

• Adición y sustracción de potencias

No existe propiedad para sumar y/o restar potencias. Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operación planteada.

Ejemplo:

1. Potencias

42 + 42 = 2 • (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorización para reducir una expresión que contenga sumas y/o restas de potencias.

2 • 42 = 2 • 24 = 25

• Potencias de base 10

1. Potencias

1.2 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1.000

104 = 10.000

Ejemplos:

54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000 = 54 ∙ 106

4 ∙ 10– 50,00004 = 4 ∙ 0,00001 =

Con exponente negativo

0,1

0,01

0,001

10 – 1 =

0,0001

10 – 2 =10 – 3 =

10 – 4 =

16. (2t ∙ 3s3)2 =

A) 26ts3

B) 36t2s6

C) 6t2s5

D) 6t2s6

E) 24t2s6

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

Pregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

B

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 A Potencias Conocimiento

2 A Potencias Comprensión

3 D Potencias Aplicación

4 B Potencias Aplicación

5 C Potencias Aplicación

6 E Potencias Aplicación

7 B Potencias Aplicación

8 B Potencias Aplicación

9 E Potencias Análisis

10 C Potencias Análisis

11 C Potencias Análisis

12 D Potencias Análisis

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

13 A Potencias Análisis

14 D Potencias Comprensión

15 B Potencias Comprensión

16 D Potencias Aplicación

17 C Potencias Aplicación

18 E Potencias Aplicación

19 A Potencias Aplicación

20 E Potencias Aplicación

21 D Potencias Aplicación

22 C Potencias Aplicación

23 D Potencias Análisis

24 B Potencias Evaluación

25 C Potencias Evaluación

Síntesis de la clase

Signos de una potencia

Potenciasan = a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a

n veces

Propiedades

Exponente par

Exponente impar

(– 2)2 = −2∙ −2 = 4

(– 2)3 = −2∙ −2 ∙ −2 = −8

Multiplicación

Divisiónan – m an : am =

(a : b)nan : bn =

Potencia de una potencia

Exponente 0

Exponente negativo

Potencias base 10

(a ∙ b)nan ∙ bn =

an+man ∙ am =

(an )m = am ∙ n

a0 = 1

1

a– n =

a

n

= 1

an

101 = 10102 = 100

= 0,00110 – 3

Prepara tu próxima clase

En la próxima sesión, estudiaremos Raíces