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Apuntes sobre señales y sistemas discretos; autocorrelacion y correlacion.
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Análisis de Sistemas Lineales
Procesamiento Digital de Señales (PDS en español, DSP en ingles)
Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)
2
Procesamiento digital de señales
• Filtros Digitales: FIR-IIR-Adaptativos
• Transformada de Fourier – Análisis de Espectro
• Conversor A/D • Conversor D/A
Procesamiento de Señales
3
• Una señal es una función que representa una cantidad física o matemática, que contiene información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno
x(t) señal en tiempo continúox[n] señal en tiempo discreto (secuencia)
s1
t
x(t)
n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x[n]
Señales
4
s1
t
t
s2
111
110
101
100
011
010
001
000
n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(t)x[n]
quantización
Muestreo x(nTs)
Señal Analógica Señal Digital
Conversión A/D
s1
t
ta = 1 / fa
s2
Ts=1/fs
Muestreo de Señales
5
( ) cos(2 ) cos( )
Para una frecuencia de muestreo
[ ] cos(2 ) cos 2
[ ] cos 2
[ ] cos
s
ss
x t ft t
f
fx n fnT n
f
x n Fn
x n n
Muestreo de una señal de tiempo continuo
Ejemplo 1
, Frecuencia digital en radianes
Como y como debe de existir frecuencias positivas y negativas, . Así:
• Representación: x[n] = {1, 3, 7, 5 11}
(señala la posición para n=0)
13
75
11
n
x[n]
x[0]
Secuencia
6
• Reflexión
• Escalamiento -10 -5 0 5 10
-2
0
2
4
6
8
-10 -5 0 5 10-2
0
2
4
6
8
x[-n]x[n]
0 0 0
x(0.5t) x(2t)x(t)
Operaciones sobre las Señales
7
OPERACIONES SOBRE EL EJE DE TIEMPO
• Desplazamiento
-20 -10 0 10 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-20 -10 0 10 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
... ... ...
x[n] x[n-n0]
n0
x[n] y[n]=x[n-no]
Operaciones sobre las Señales
8
Propiedades de las Señales
• Señales Pares e Impares
Par: x(t) = x(t) , x[n] = x[n]
Impar: x(t) = x(t) , x[n] = x[n]
• Periodicidad
Tiempo Continúo: x(t) = x(t + T) Tiempo Discreto: x[n] = x[ n + N]
9
Secuencias Básicas
Dadas las constantes
reales y , definimos una
secuencia exponen-cial
como: . La exponencial será
decre-ciente en amplitud a
lo largo del tiempo siempre
que , mientras que será
creciente cuan-do . Para el
caso en que tenemos una
secuencia constante
10
Secuencias Exponen-ciales Reales
11
Para que x[n] sea periódica:
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
Ejemplo 2
cos 2 cos 2 ( )
cos 2 2
2 2
s
Fn F n N
Fn FN
FN k
FN k
f kF
f N
, Ω=2𝜋 𝐹=2𝜋𝑘𝑛
Así, para que exista periodicidad, F tiene que ser un numero racional y tiene que ser un numero racional multiplicado por 2π.
F: frecuencia digital (adimensional) con
-1/2 < F <1/2
: frecuencia angular digital en radianes con
- < <
12
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
Algunas observaciones respecto a las secuencias sinusoidales
• Aplicada a nuestro caso, se traduce en: siendo k una constante
entera. Sólo en el caso en que la frecuencia cumpla la anterior condición, nos encontraremos ante una secuencia sinusoidal periódica, de período N
• Nótese que una secuencia sinusoidal discreta puede proceder del muestreo de una señal continua. Dependiendo de cómo se efectúe este muestreo, los valores de las muestras seleccionadas en un período podrán coincidir (secuencia periódica) o no (secuencia noperiódica) con los valores elegidos en el resto de los períodos de la sinusoide continua.
13
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
• El conjunto de valores con constante entera, generan todos la misma secuencia sinusoidal:
Por tanto, a la hora de realizar un análisis frecuencial de la secuencia x[n] = , sólo necesitamos considerar el intervalo de frecuencias — < < .• Visto lo anterior, para un valor de cercano a 0, la sinusoide presentara pocas oscilaciones (frecuencia baja), mientras que para valores de cercanos a ± la sinusoide correspondiente oscilara rápidamente (frecuencias altas).
• Como conclusión, dada una sinusoide periódica de perıodo N , su frecuencia fundamental vendría dada por 2/N y solo existirá un
conjunto finito de N frecuencias armónicas, a saber: .
14
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
Ejemplo . Para la señal x[n] = cos(0.1), el numero de muestras por periodo es Graficando esta señal como en la figura A genera 20 vectores (N=20) por una vuelta (revolucion). Para la señal x[n] = cos(5), el numero de muestras por periodo es
Para , N no es un entero. Graficando esta señal como en la Figura B genera dos vectores (N=2) por cinco vueltas (). Comenzando en , los primeros dos vectores son y ; el proximo vector es el cual es el primer vector repetido. Para un ejemplo final, considere la señal . Entonces
y esta ecuacion es satisfecha para . Esta señal puede ser expresada como x[n] = cos(2)=1, por lo tanto la señal de tiempo disecreto es constante.
a) La secuencia ¿es periódica?b) ¿Existe un N, tal que x[n+N]=x[n]?
Debido a que “m” y “N” son números enteros, entonces o no puede asumir cualquier valor.
( )[ ] o o o oj n j n N j n j Nx n Ce e e e
2o N m 2
o m
N
2o
m
N
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
15
Ejemplo 3
• ¿Cuál es el período de la señal?
1 2
0.2 0.3
2 2
11 1
1
22 2
2
1 2
1 2
[ ]
[ ]
Las frecuencias digitales son :
12 0.2
10
32 0.3
20
Sus peridos son 10 20
El periodo común es por tanto ( , ) 20
j n j n
j F n j F n
x n e e
x n e e
kF F
N
kF F
N
N y N
N MCM N N
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
Ejemplo 4
16
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
Ejercicios
1.Determine cual de las siguientes señales son periódicas:
a) x[n]=cos[π n] b) x[n]=cos[3 π n/2+ π] c) x[n]=1+cos[π n/2]
c) x[n]=-3 sin[0.01 π n] d) x[n]=sin[3.15n] e) x[n]=sin[3.15 π n]
2.Para cada señal, determine el periodo fundamental No, si la señal es periódica, en caso contrario, pruebe que no son periódicas.
a) x[n]=exp(j8 π n/7) b) x[n]=exp(j2 π n) c) x[n]=exp(j8n)
17
Periodicidad de una señal de tiempo discreto
Ejercicios
1.Determine cual de las siguientes señales son periódicas:
a) x[n]=cos[π n] b) x[n]=cos[3 π n/2+ π] c) x[n]=1+cos[π n/2]
c) x[n]=-3 sin[0.01 π n] d) x[n]=sin[3.15n] e) x[n]=sin[3.15 π n]
2.Para cada señal, determine el periodo fundamental No, si la señal es periódica, en caso contrario, pruebe que no son periódicas.
a) x[n]=exp(j8 π n/7) b) x[n]=exp(j2 π n) c) x[n]=exp(j8n)
18
19
Escalón
Impulso
1, 0( )
0, 0
tu t
t
( )( )
du tt
dt
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t
( ) (0) ( )Ix t x t
Señales Básicas en Tiempo Continuo
20
1, 0[ ]
0, 0
nn
n
Secuencia Impulso
0 0 0[ ] ( ) ( ) ( )x n n n x n n n
-3 -2 -1 0 1 2 3 n
......
[n]1
kn
knkn
,0
,1
k-3 k-2 k-1 k k+1 k+2 k+3 n
......
[n-k]1
Propiedad:
Señales Básicas en Tiempo Discreto
21
Secuencia Escalón
1, 0[ ]
0, 0
nu n
n
-3 -2 -1 0 1 2 3 n
......
u[n]1
kn
knknu
,0
,1
k-3 k-2 k-1 k k+1 k+2 k+3 n
......
u[n-k]1
Señales Básicas en Tiempo Discreto
Señales Básicas en Tiempo Discreto
, 0[ ] [ ]
0, 0
n nr n nu n
n
Secuencia Rampa
,
0,
n k n kr n k
n k
22
( )[ ] oj nx n C e
Secuencia Exponencial
Si
[ ] nx n C
,oj n je C C e
Señales Básicas en Tiempo Discreto
23
0 2
Si m=1 y N=4
Si m=1 y N=8
x[0]=x[4]
-A
x[1]
x[2]
x[3]
0 4
x[0]=x[8]
x[1]x[2]
x[3]
x[4]
x[5]x[6]
x[7]
0
0
2o
m
N
Señales Básicas en Tiempo Discreto
24
25
Un sistema puede ser definido como un proceso que realiza la transformación de señales, relacionadas a través de una función de transformación T{.}
x(t) y(t)
x[n] y[n]
Definición de Sistemas
26
1) C a u s a l i d a d Un sistema es causal si su salida para cualquier instante de tiempo depende
solamente de los valores de las entradas en el tiempo presente y pasados
Causal: No Causal:
2) L i n e a l i d a d
Obedecen a dos propiedades:
Aditividad Homogeneidad
Corresponden a las propiedades que permiten el principio da superposición
2[ ] [ ] 2 [ 1]y n x n x n
[ ] [ ] [ 1]y n x n x n
Propiedades de los Sistemas
27
• Propiedad de Aditividad
nxnxTnyny
nxTny
nxTny2121
22
11
T { }x1[n] y1[n]
T { }x2[n] y2[n]
y[n]
Propiedades de los Sistemas
x1[n]
x2[n]
T { } y[n]
28
• Propiedad de Homogeneidad:
– donde a es una constante arbitraria
naxTnaynxTny
x[n] T { }y[n]
ay[n]a
Propiedades de los Sistemas
ay[n]x[n] T { }aax[n]
29
• Considerando las dos propiedades:
nbxnaxTnbynay
nxTny
nxTny2121
22
11
T { } ay1[n]
T { } by2[n]
y[n]
x1[n]
x2[n]
a
b
y1[n]
y2[n]
Propiedades de los Sistemas
y[n]
x1[n]
x2[n]
a
b
T { }
0 0y n T x n y n n T x n n
3) I nva r i a n za e n e l ti e m p o
Un sistema es invariante en el tiempo si para un desplazamiento en el tiempo de la señal de entrada, está causa un desplazamiento en el tiempo en la señal de salida.
Desplazamiento en la entrada
Desplazamiento en la salida
Propiedades de los Sistemas
30
-2 -1 0 1 2 3 n
......
x[n] 1
T { }
4
-2 -1 0 1 2 3 n
......
y[n] 1
4
1/3
-2 -1 0 1 2 3 n
......
x[n-2] 1
T { }
4
-2 -1 0 1 2 3 n
......
y[n-2] 1
4
1/3
31
Desplazamiento en el tiempo n0=2
Propiedades de los Sistemas
00 nnxTnnynxTny
4) M e m o r i a
a) Sistema con memoria Un sistema es con memoria, si su salida depende de los valores de las
entradas pasadas
b) Sistema sin memoria Solo depende del estado actual, n
5. I nv e r ti b i l i d a d
[ ] [ ] [ 1] [ 2]y n x n x n x n
[ ] [ ]y n ax n
Propiedades de los Sistemas
32
Propiedades de los Sistemas
6. B I B O E s ta b l e
33
1
1 1
2 1 0
2 2
Determinar si el sistema es invariante en el tiempo
[ ] sin( . [ ])
SOLUCION:
Para una entrada [ ] la salida del sistema es :
[ ] sin( . [ ]) (1)
Considerando una entrada [ ] [ ] , la salida es :
[ ] sin( . [ ]) sin(
y n a x n
x n
y n a x n
x n x n n
y n a x n
1 0
1
1 1
2 1
. [ ] ) (2)
Para un desplazamiento de la salida [ ]
[ ] sin( . [ ]) (3)
Comparando (2) (3) :
[ ] [ ]
Por lo tanto el sistema es invariante en el tiempo
o o
o
a x n n
y n
y n n a x n n
y
y n y n n
SLIT
Propiedades de los Sistemas
Ejemplo 5
34
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1
-0.5
0
0.5
1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1
-0.5
0
0.5
1
n
[ ] sin( . [ ])y n a x n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
2
4
6
8
10
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
2
4
6
8
10
n
Ejemplo 5
Propiedades de los Sistemas
1
1 1
2 1 0
2 2 1 0
Determinar si el sistema es invariante en el tiempo
[ ] [ ]
SOLUCION:
Para una entrada [ ] la salida del sistema es :
[ ] [ ] (1)
Considerando una entrada [ ] [ ], la salida es :
[ ] [ ] [ ] (2)
Para un desp
y n nx n
x n
y n nx n
x n x n n
y n nx n nx n n
1
1 1
2 1
lazamiento de la salida [ ]
[ ] ( ) [ ] (3)
Comparando (2) (3) :
[ ] [ ]
Por lo tanto el sistema es variante en el tiempo
o o o
o
y n
y n n n n x n n
y
y n y n n
SLIT
Propiedades de los Sistemas
Ejemplo 6
36
Sistemas Lineales Invariantes
en el Tiempo (SLIT)
37
Formas de Representación
Una secuencia puede ser expresada en términos de una sumatoria de impulsos unitarios escalados y desplazados en el tiempo.
38
x[n]= …+7[n+2]+5[n+1]+3[n]+5[n1] +...
x[n]= …+x[2][n+2]+x[1][n+1]+x[0][n]+x[1][n1] +...
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
x [n ] = …+ x [ 2 ] [n+2 ] + x [ 1 ] [n+1 ] + x [ 0 ] [n ] + x [ 1 ] [n 1 ] + . . .
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Escalados Desplazados
39
Formas de Representación
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Respuesta al Impulso
T { }[n-k] hk[n]
Es la respuesta de un Sistema Lineal (SL) a un impulso localizado en el instante k.
knTnhk
S.L.
40
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
T { }[n-k] hk[n]
Si el Sistema es Lineal e Invariante en el Tiempo (SLIT)
S.L.I.T
knhknTnhk
41
Respuesta al impulso del sistema:
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Respuesta al Impulso
T { }x[n] y[n]
Si x[n] es una secuencia representada por una suma de impulsos
kknkxnx
kknkxTny
kknTkxny
Linealidad
42
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Respuesta al Impulso
kk nhkxny
kknTkxny
Invariante en el Tiempo
hk[n]
kknhkxny
43
Respuesta al Impulso
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Respuesta al Impulso
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Relacion entre la respuesta al impulso y la respuesta al escalon unitario
En cualquier sistema LTI de tiempo-discreto, x[n], produce la respuesta ,y[n]. Luego la excitación x[n]-x[n-1] producirá la respuesta y[n]-y[n-1-].
Se sigue que la respuesta al impulso unitario es la primera diferencia hacia atrás de la respuesta a un escalón unitario y, inversamente, que la respuesta al escalón unitario es la acumulación de la respuesta al impulso unitario.
Donde s(n) es la respuesta al escalón unitario.
44
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)Relacion entre la respuesta al impulso y la respuesta al escalon unitario
45
EjemploSuponga que la respuesta al escalón esta dado por
¿Cuál es la respuesta al impulso?
Respuesta:
k k
y n x k h n k h k x n k
Conocida la respuesta al impulso h[n], es posible calcular la respuesta a cualquier señal de entrada, a través de la sumatoria de la convolución.Ejemplo
[ ]* [ ]y n x n h n h n x n
46
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
47
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
Convolución
48
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
Convolución
49
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
50
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
51
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
52
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la Convolucion
Calcular la convolucion de
Sistemas Lineales Invariantes en el tiempo (LTI)
Sumatoria de la ConvolucionEjemplo
Análisis de Sistemas Lineales
“Sistemas Descritos por Ecuaciones en
Diferencias”
54
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Representación General
m entradasn salidas
x1[n]
xm[n]
x2[n]
y1[n]
yn[n]
y2 [n]...
.
.
.
SISTEMA
SISO: Simple Entrada-Simple SalidaMIMO: Múltiples Entradas-Múltiples SalidasSIMO: Simple Entrada-Múltiples Salidas
55
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias General de un Sistema SISO, Lineal, Causal e Invariante en Tiempo
N
jj
M
ii
M
ii
N
jj
jkyaikxbky
ikxbjkya
10
0
00
][][][
escribir puede se 1a para
][][
(Solución abierta de la ecuación en diferencias)
56
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución cerrada)
Solución Homogénea, yh[k]
También se conoce como:
Respuesta a Entrada Cero o Respuesta Natural
yZ i[k]
Solución Particular, yp[k]
También se conoce como:
Respuesta a Estado Cero o Respuesta Forzada
yz s[k]
y [k] = yh [k] + yp [k] = yZ i[k] + yZ S[k]
Solución Completa, yc[k]
a y k j b x k ijj
N
ii
M
[ ] [ ]
0 0
57
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
i raiz la a asociada potencia una es k] donde
forma la atendr nosoluci La ltiples.um o simples
,conjugadas complejas o realesser pueden cuales la
rrr raices, N tiene noecuaci esta
auxiliar micaopolin noecuaci la define se
N21
[
][][
,...,,
0)(
0][][
1
1
1
i
N
iiih
N
k
kNk
N
N
jk
y
kyAky
qaqqD
jkyaky
58
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
ki
mki
ki
kii
i
kii
i
rkrkkrrky
ky
rky
ky
12 ,....,,,][
][
)2
][
)1
:][
funciones m generan se
m, dadmultiplici con real r Raiz
simple real r Raiz
funciones de noiDeterminac
i
i
59
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
),...sin( ),cos( ),sin( ),cos(
),sin( ),cos( ),sin( ),cos(][
][ funciones m*2generan se
m, dadmultiplicicon conjugada compleja r Raiz)4
)sin( ),cos(][
][ funciones 2generan se
r simple, conjugada compleja r Raiz)3
][ funciones den oiDeterminac
3322
i
ii
kkkkkkkk
kkkkkkky
ky
kkky
ky
e
ky
kkkk
kkkki
i
kki
i
j
i
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
60
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
)9273.0sin(5)9273.0cos(52][
aser neaehomogn osoluci la entonces,
543 ,2son raices las
050378
aserauxiliar n oecuaci la
0]3[50]2[37]1[8][
de neaehomogn osoluci laHallar
1 EJEMPLO
321
9273.03,21
23
kAkAAky
ejrr
qqq
kykykyky
kkkh
j
61
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
kkkh AkAAky
rr
qqq
kykykyky
322][
aser neaehomogn osoluci la entonces,
3 ,2son raices las
012167
aserauxiliar n oecuaci la
0][12]1[16]2[7]3[
de neaehomogn osoluci laHallar
2 EJEMPLO
321
32,1
23
62
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)
k
rq
jNN
jj
Np
k
jNN
jj
Np
jNN
jj
Np
N
jj
Arqaq
ky
rArkx
kxqaq
kykxqaqky
kxjkyaky
1
1
1
1
1Re][
,][
][1
][][][
][][][
real tipo del noexcitaci una supone se si
bien o
auxiliar ecuacion la define se
63
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)
jsk
jsq
iNN
ii
Np
jsk
jsk
jsq
iNN
ii
Np
jsk
Aeqaq
ky
sAeagskAkx
Aeqaq
ky
sAeskAkx
1
1
1agIm][
real ],[Im)sin(][
tipodel excitación una supone se si
1Re][
real ],Re[cos][
tipodel excitación una supone se si
64
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)
kp
kp
kp
k
ky
q
qqqky
qqqky
kykykyky
)5.0(26764
][
5.0
)5.0(850378
1][
)5.0(8)50378]([
)5.0(8][50]1[37]2[8]3[
23
23
será particular solución la , en evaluando
será auxiliar ecuación la
de particular solución la Hallar
3 EJEMPLO
65
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución)
Solución Homogénea, yh[k] Solución Particular, yp [k]
y [k] = yh[k] + yp[k]
Solución Completa, yc[k]
a y k j b x k ijj
N
ii
M
[ ] [ ]
0 0
66
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución)
kkkkc
kp
kkkh
k
kAkAAky
ky
kAkAAky
kykykyky
)5.0(26764
)9273.0sin(5)9273.0cos(52][
)5.0(26764
][
)9273.0sin(5)9273.0cos(52][
)5.0(8][50]1[37]2[8]3[
321
321
es completa solución la
es particular solución la
es homogénea solución la
de completa solución laHallar
4EJEMPLO
67
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución)
35666.0,05108.0,1886.2
5]2[,3]1[,2]0[
]2[],1[],0[
321
AAA
yyy
yyy
que doconsiguien
:caso este En
iniciales scondicione las cuenta en toman se
Aconstantes las determinar Para i
68
Ejercicio Torres de HanoiDibujar 3 torres y n discosa) ¿Cuántos movimientos son necesarios para trasladar n discos de una torre a otra, si
1. sólo se puede mover un disco cada vez, y
2. un disco no puede estar sobre otro menor?
y[0] = 0, y[1] = 1, y[2] = 3, y[n]=2y[n−1] + 1, n≥1.Podemos poner y[n]−2y[n−1] =u[n−1]. La ecuación característica es k−2=0, por tanto
yh[n]=C2nu[n−1].
La completa es y[n]=(C2n+D)u[n−1].
Como y[1] = 1 e y[2] = 3, solución completa y[n]=(2n−1)u[n−1]. 69
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución)
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
EJERCICIO 1Determine la solución completa de las ecuaciones en diferencias siguientes
ecuación
y[k] + 0.6 y[k-1] +0.08y[k-2]= 4 2
y[1]
5
y[0]
1 2
1 2
2 5
2 5y[k] + 0.6 y[k-1] +0.25y[k-2]= 4(0.4)k
y[k] + 0.6 y[k-1] +0.09y[k-2]= 4cos(k/3)
y[k] + 8y[k-1] + 80y[k-2]= x[k]+3x[k-1]x[k]= 3cos(pk/3)
y[k] + 6y[k-1] + 9y[k-2]= x[k]+3x[k-1]x[k]= 2k (0.4)k
70
Correlación de Señales
71
Correlación
Relación, Vínculo, Parentesco, Similitud
Correlación de SeñalesSimilitud temporal entre señales
t
x(t)t
y(t)
𝑹𝒙𝒚 (𝒕)Correlación x, y Rxy(t)
Correlación de Señales
72
Correlación Rxy(t) (Tiempo Contínuo)
(t) = x(t) y(t-t) dt
t = -
t=
= x(t+t) y(t) dt
t = -
t=
Señales: x(t), y(t)
Propiedad: (t) = (-t)
Autocorrelación de una señal x(t): Rxx(t)
(t) = x(t) x(t-t) dt
t = -
t=
= x(t+t) x(t) dt
t = -
t=
73
Correlación de Señales
Correlación Rxy(m)
Rxy(m) = S x(n) y(n-m) n= -
n= S x(n+m) y(n)
n= -
n= =
0.72
3.60
3.84
3.51
-0.56
1.44
-0.72
.
.
.
x(n) =
n=0 0.81
1.32
2.23
2.34
-0.98
1.71
-2.23
.
.
.
y(n) =
n=-2 2.32
1.21
-0.29
0.43
-0.21
3.33
-0.28
.
.
.
Rxy(m) =
m=-2
Rxy(m) = Ryx(-m)
74
Correlación de Señales
Autocorrelación Rxx(m)
Rxx(m) = S x(n) x(n-m) n= -
n= S x(n+m) x(n)
n= -
n= = Rxx(m) = Rxx(-m)
t
x(t)
t
x(t)
t
Rxx(t)
La autocorrelación es máxima para t =0 (n=0)
75
Correlación de Señales
Correlación Rxx(m) de señales desfasadas en el tiempo
t
x(t)
t
y(t)t
Rxy(t)
La autocorrelación es máxima para t = t (n=n*)
tt
76
Correlación de Señales
Autocorrelación Rxx(m) de señales periódicas
t
x(t)
El periodo T aparece en la correlación
t
x(t)t
Rxx(t)
TT
T
Periodo T (seg)
77
Correlación de Señales
Aplicaciones de la Correlación
• Determinación de distancias
• Determinación de velocidades
• Determinación de frecuencias
• Determinación de periodicidad
• Determinación de usuarios
78
Correlación de Señales
Determinación de Distancia
Radar
Aviónd
t
Rxx(t)
t
Señal emitida
t
x(t)
t
y(t)
t
Señal recibida
Correlación
79
Correlación de Señales
Determinación de Velocidad
t
Rxy(t)
t
Señal rueda delantera
t
x(t)
t
y(t)
t
Correlación
d
Señal rueda trasera
v
80
Correlación de Señales
Determinación de Frecuencia
t
y(t)
Correlación
Señal recibida
Radar A Radar B
Señal periódica más ruido
t
Rxx(t)
TT
81
Correlación de Señales
Determinación de Usuarios (Telefonía Móvil)
t
x(t)Señal recibida por antena
Usuario B
Usuario A
Antena
Usuario Z
Código Usuario B
t
B(t)
t
A(t) Código Usuario A
Código Usuario Z
t
Z(t)
.
.
.
.
82
Correlación de Señales
Determinación de Usuarios (Telefonía Móvil)
Usuario B
Usuario A
Antena
Usuario Z
.
.
.
.
t
RxA(t)x - A
t
RxZ(t)
x - ZSeñal de usuario B
t
x - B
RxB(t)
83
Correlación de Señales
Problema
Calcular la autocorrelación de la señal
x(n) = anu(n)
Problema
Hacer un programa en Matlab para calcular y graficar la correlación de dos señales x(n) , y(n).