Postulados del lgebra de booleDefinicin: Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto K), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b K; a x b y a + b K.

Axiomas del algebra de Boole:Axioma 1:Existen elementos idnticos llamados 0 y 1, tal que, para a K :a + 0 = a (elemento neutro)a x 1 = a (elemento identidad)

Axioma 2: Ley de ConmutatividadPara a y b K :a + b = b + aa x b = b x a

Axioma3: Ley de Asociatividad, Para a, b y c K :a + ( b+c ) = ( a + b ) + c a x ( b x c ) = ( a x b ) x c

Axiomas del lgebra de boole

Axioma 4: Ley de DistributividadPara a, b y c K :a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c)a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)

Axioma 5: elemento inversoPara cada elemento a K existe su elemento inverso tal que :Postulados del lgebra de boole

Establece que si una expresin es valida en el lgebra de Boole, entonces su expresin dual tambin lo es.Determinamos la expresin dual remplazando los operadores + por x y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa.

Ejemplo: a + ( b x c ) = 1, expresin su dual es: a x ( b + c ) = 0Principio de Dualidad

TeoremasTeorema 1: Operaciones con 0 y 1

Teorema 2: Operaciones superfluas con 0 y 1:

Teorema 3:operaciones superfluas con una variable

TeoremasTeorema 4: Involucin (el complemento del complemento de A es igual a A).

Teorema 5: teorema de Absorcin:

Teorema 6: t. de simplificacin:

Teoremas Teorema 7:

Teorema 8:

Teoremas Teorema 9: Teorema de Morgan

En general:

Teoremas Teorema 10: Consenso

Funciones de ConmutacinSean x1, x2, , xn smbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1, definiremos:Funcin de conmutacin: es una correspondencia que asocia un elemento del lgebra con cada una de las combinaciones de las n variables x1, x2, , xn. Ejemplos:

En general una funcin de conmutacin queda definida por una tabla de verdad.

Representacin de una funcin de ConmutacinTabla de Verdad:Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la funcin y los colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario ascendente.

Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x ba b a+b0 0 00 1 11 0 11 1 1a b axb0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabla de VerdadDescriba una funcin de conmutacin con 3 entradas a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1).a b c f0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 1 1 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Representacin de una funcin de ConmutacinFormas AlgebraicasSuma de Productos: se construye al sumar (or) trminos productos (and).Ejemplo:

Producto de Sumas) se construye con el producto (and) de trminos suma (or).Ejemplo:

Representacin de una funcin de ConmutacinFormas Cannicas:Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con caractersticas especiales. Existe una nica forma cannica para cada funcin de conmutacin.Mintrmino: trmino de una funcin de conmutacin que corresponde al AND de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.Ejemplo:

Maxtrmino: trmino de una funcin de conmutacin que corresponde al OR de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.Ejemplo:

Formas Cannicas Suma de Productosa b c f0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 0 1 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1Relacin con la tabla de verdad:Cada mintrmino est asociado con la lnea de la tabla, tal que: Las variables no estn complementadas si tienen el valor 1 para la combinacin en la cual la funcin vale 1. Las variables estn complementadas si tienen el valor 0 para la combinacin en la cual la funcin vale 1.

Formas Cannicas Suma de Productos

Formas Cannicas Producto de Sumasa b c f0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 0 1 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1Relacin con la tabla de verdad:Cada maxtrmino est asociado con la lnea de la tabla, tal que: Las variables no estn complementadas si tienen el valor 0 para una combinacin en que la funcin vale 0 Las variables estn complementadas si tienen el valor 1 para una combinacin en que la funcin vale 0

Formas Cannicas Producto de Sumas

Representacin de una funcin de ConmutacinEspecificacin decimal:Suma de Productos:

Producto de Sumas:

Relacin Mintrminos - Maxtrminos

Deduccin de Formas CannicasTeorema de expansin de Shannon:

Ejemplo:

Si falta se multiplica por la suma es igual a 1

Convertir a Suma de Productos Cannicaa b c f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 1 1 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1

Convertir a Suma de Productos Cannica

Convertir a Producto de Sumas Cannica