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Interes Compuesto
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INTERÉS COMPUESTO
Significa que el interés ganado sobre el “capital invertido” seañade al principal, es decir se gana interés sobre el interés
Supongamos que C0 = $100 y i= 10%
C1 = C0 + i * C0 = C0 (1+i) = 110
C2 = C1 + i * C1 Intereses sobre capital más intereses.
C2 = C0 (1+i) + i*(C0 (1+i) )= 121
C2 = C0 (1+i) (1+i) = C0 (1+i)2
Para n períodos:
Cn = Cn-1 + i * Cn-1 Cn = C0 * (1 + i)n
i i ii0 1 2 43
2
INTERÉS SIMPLE VS INTERÉS COMPUESTO
Deposito de $100.000 a 5 años. La tasa de interés en ambos casoses:20% anual. En el interés simple éste no se capitaliza, en tanto que elinterés compuesto lo hace cada año.
AÑOMonto a Interés Simple Monto a Interés Compuesto
DeltaM= C x (1 + i x n) M= C x (1 + i)n
0 $100.000 $100.000 $0
1 $120.000 $120.000 $0
2 $140.000 $144.000 $4.000
3 $160.000 $172.800 $12.800
4 $180.000 $207.360 $27.360
5 $200.000 $248.832 $48.832
3
INTERÉS SIMPLE VS INTERÉS COMPUESTO
$0
$50.000
$100.000
$150.000
$200.000
$250.000
0 1 2 3 4 5
Mo
nto
Tiempo
Interés Simple vs Interés Compuesto
4
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
Es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidadefectiva de una inversión y resulta de capitalizar la tasa nominal.
La tasa de interés efectiva, se obtiene de la tasa nominal mediante laexpresión:
1 1 100
k
ne
ii
k
Donde:
5
min .
sec .
ni Tasa no al
k veces que apitalizauna inversión
CAPITALIZACIÓN DE TASAS
Si la capitalización es:
6
12
6
4
3
2
360
Mensual k
Bimestral k
Trimestral k
Cuatrimestral k
Semestral k
Diaria
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
Ejercicio 1:
¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual equivalente a una tasa deinterés anual nominal del 43,5% con capitalizaciónmensual?
12
12
43,5%1 1 100
12 100
1 0,03625 1 100
1,5331142 1 100
0,5331142 1 100
53,3%
e
e
e
e
e
i
i
i
i
i anual
7
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
Ejercicio 2:
El Sr. Pérez, desea ahorrar $2.000.000 en un banco durante un año, a unatasa de interés del 14,88% capitalizable trimestralmente. Determine latasa efectiva y el monto que recibirá.
414,88%
1 1 1004 100
ei
41 0,0372 1 100
1,157310 1 100 0,15731 100% 15,73%
e
e
i
i
8
1 1 100
k
ne
ii
k
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
Ejercicio 2:
Juan Pérez, desea ahorrar $2.000.000 en el banco de la esquina duranteun año, a una tasa de interés del 14,88% capitalizable trimestralmente.Determine la tasa efectiva y el monto que recibirá.
(1 )n kiM C
k
1 414,88
$2.000.000 14 100
M
$2.000.000 (1,1573)
$2.314.600
M
M
9
FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO
Fórmula Cálculo de Monto:
Fórmulas cálculo de Interés:
Fórmula cálculo Valor Actual o Capital:
1 1
n ki
I Ck
(1 )n k
MC
i
k
(1 )n kiM C
k
10
FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO
Fórmula cálculo Tasa de Interés:
Fórmula Número de periodos:
11
1
MLn
Cn k
Ln i
Se divide por K, sólo si requiero n en años
y la tasa se capitaliza.
1k nM
i kC
Semultiplica por K, sólo si requiero i en años
y la tasa se capitaliza.
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO: MONTO
12
Ejercicio 1: Se solicita un crédito de consumo por $1.500.000 a un plazode un año, con una tasa del 12% convertible trimestralmente. ¿cuál es elmonto que deberá pagarse?
Desarrollo:
C= $1.500.000
n= 1 año
i = 12% anual
k= 4 1
k ni
M Ck
4 112$1.500.000 (1 )
4 100M
$1.688.263,2M
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO: CAPITAL
13
Ejercicio 2: ¿Cuánto deberá depositar Doña Juanita en el banco si deseatener una cifra de $50.000 dentro de 3 años y la tasa de interés que leofrecen es de un 20% anual convertible semestralmente?
Desarrollo:
M=VF= $50.000
i = 20% anual
Capitalización= k= 2 (semestral)
n= 3 años
(1 )n k
MC
i
k
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO
14
Desarrollo:
M=VF= $50.000
i = 20% anual
Capitalización= k= 2 (semestral)
n= 3 años
(1 )k n
MC
i
k
62 3
$50.000 $50.000
20 (1 0,10)(1 )
2 100
C
6
$50.000 $50.000$28.223,7
(1,10) 1,771561C
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO: PLAZO
15
Ejercicio 3: ¿Cuántos años deben transcurrir para obtener un monto de$1.200.000, si hoy se deposita $1.000.000 a una tasa del 3,65%?
Desarrollo:
C= $1.000.000
M = $1.200.000
i= 3,65% anual
n= ¿?
1
MLn
Cn
Ln i
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO
16
(1,2) 0,1823215565,09 años
(1,0365) 0,035849652
Lnn
Ln
1.200.000
1.000.000
3,651100
Ln
nLn
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO: PLAZO
17
Ejercicio 3: ¿En cuántos años se canceló una deuda de $80.000, si la tasafue de un 15%, con capitalización trimestral, si al final se pagaron$167.052,16?
Desarrollo:
n= ¿?
C= $80.000
M = $167.052,16
i= 15% anual
K= 4
1
MLn
Cn k
Ln i
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO
18
(2,088152)4 20 trimestres 4
(1,0375)
=5años
Lnn
Ln
n
167.052,16
80.0004
151400
Ln
nLn
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO
19
Ejercicio 4: ¿A qué tasa anual se deben depositar $15.000 para disponerde $50.000 en un plazo de 5 años? Considere que los intereses secapitalizan semestralmente
Desarrollo:
i%= ¿?
C = $15.000
M = $50.000
k= 2
n= 5
1k nM
i kC
10$50.000
1 2$15.000
i
12,79% 2
25,59%
i semestral
i anual
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO
20
Ejercicio 5: ¿A qué tasa de interés mensual y anual se deben depositar$15.000 para disponer de $50.000 en un plazo de 5 años? Capitalizaciónmensual de los intereses.
60$50.000
1 12$15.000
i
2,026% 1
2
24,32%
i mensual
i anual
1k nM
i kC
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO: Tiempo Fraccionario
21
Ejercicio: Calcular el monto por contraer una deuda de $3.500.000solicitado en un plazo de 3 años y 5 meses a una tasa compuesta del4,35%.
1n
M C i Desarrollo:
M= ¿?
C = $3.500.000
n = 3 años 5 meses=41/12
i= 4,35% anual
k= No hayCapitalización
41124,35
$3.500.000 1100
M
$3.500.000 1,15659
$4.048.094,05
M
M
EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO: Tiempo Fraccionario
22
Ejercicio: Se solicitó un crédito, por el cual se tendrá que pagar en 3 años2 meses $280.000, a una tasa del 5% capitalizable trimestralmente.¿Cuál fue el monto de dinero solicitado?
1
n k
MC
i
k
Desarrollo:
C= ¿?
M = $280.000
n = 3 años 2 meses=38/3trimestre
i= 5% anual
k= 4 (trimestres en el año)
383 4 2 33
$280.000
5%1
4 100
C
$239.232,93C